Nordic 2003

P1

Cerchi vettori impulso in campo magnetico

Grafico F/N vs distanza d[mm] magnete

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Magnet, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1

Cerchi vettori impulso in campo magnetico

Grafico F/N vs distanza d[mm] magnete

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Magnet, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.2

The figure represents the net moment $P_{\text{res}}$ after $2n$-th impulse, and also the net impulse $P_{\text{res}}^{\prime }$ for another time moment $2n^{\prime }\Delta t$. For an odd number of impulses, the pattern is exactly the same, except that all the vectors have opposite direction (because the lastly added component, the vertical vector, has opposite direction).

7. Telescope (12 pts)

1. The light flux density decreases inversely proportionally to the square of the distance, therefore $w_1=w_0{R}_p^2/L_p^2$, where $R_p$ is the solar radius, and $L_p$ — the solar distance. Due to $\varphi =2R_p/L_p$, we obtain $w_1=w_0{\varphi }^2/4$.

2. The previous result can be applied to the star flux density, which is $q^{-2}{w}_1$; hence $P_2=\frac{1}{4}\pi D^2{w}_1{q}^{-2}=w_0\pi (\varphi D/4q{)}^2$.

3. The paper surface area $S$ radiates towards the lens of the telescope the power $P_3=w_1\alpha S(\frac{\pi }{4}{D}^2/L^2)$, where $L$ is the telescope distance. The image of this piece of paper has size $s=S{F}^2/L^2$; thus, $w_3=P_3/s=w_1\alpha (\frac{\pi }{4}{D}^2/F^2)=w_0\alpha \pi (\varphi D/4F{)}^2$.

4. The angular distance of the first diffraction minimum (using the single slit approximation — circle is actually not a slit) is $\lambda /D$. Hence, the bright circle radius can be estimated as $\delta =F\lambda /D$. Consequently, $w_2=P_2/\pi {\delta }^2=w_0(\varphi D^2/4qF\lambda {)}^2$.

5. $k=(w_2+w_3)/w_3=1+(\alpha \pi {)}^{-1}(D/\lambda q{)}^2\approx 4$ (assuming $\lambda \approx 500$ nm).

6. $k-1\sim 1$ (or $k-1>1$) means that the star can be easily seen (as is the case for the telescope); $k-1\ll 1$ means that the star cannot be seen (for the eye, $k-1\approx 1\cdot 10^{-4}$).

8. Experiment (12 pts)

1. We incline the plate until sheet starts sliding: the static coefficient is found as ${\mu }_{\text{static}}=h/\sqrt{l^2-h^2}$, where $h$ is height of the plate endpoint, and $l$ — the plate length. Now we push the sheet laying on the plate slightly, and find the inclination angle, for which the sheet will slide down with a constant velocity; we use again the formula ${\mu }_{\text{kinetic}}=h/\sqrt{l^2-h^2}$. The reasonable numerical values are ${\mu }_{\text{static}}\approx 0.37$ and ${\mu }_{\text{kinetic}}\approx 0.29$.

2. We put several paper stripes on the plate, and the magnet on the top of them. We make a loop of cord, put it around the magnet, and pull it using the dynamometer sideward (sliding the whole system of paper and magnet). The attraction force $F\approx N$ (where $N$ is the reaction force) is found as the ratio of the reading of the dynamometer $F_d$ and the appropriate friction coefficient (depends, which reading is taken: either the maximal one, or the one corresponding to sliding), $F\approx F_d/\mu$. The distance $d$ is measured in the number of paper stripes (one stripe had a thickness of $\approx 0.2$ mm). For large distances (approximately $d>4$ mm), the weight of the paper $F_p$ stripes and magnet is no longer negligible, the accuracy of the results can be enhanced by subtracting this weight from $N$: $F=F_d/\mu -F_p$.

3. We use a similar set-up, except that smaller number of paper stripes is used (totaling up to around 2 mm), and a steep slope of the plate. We let the brick slide down the slope and hit on the magnet. We keep the falling height and plate slope constant, and measure the sliding path, which is covered by the papers and the magnet after having been hit by the brick. This path is inversely proportional to the attraction force $N$. If this path turns out to be too short for an accurate measurement (for very small distances between the magnet and the plate), several brick hits can be used. In that case, the single-hit path can be found as the measured path, divided by the number of hits. The constant of proportionality can be found by comparing the results of this and previous question, for those distances, which are covered by both measuring techniques. Reasonable measurement results are given in the attached graph.

4. The same technique as in the case of previous question is applied, except that a larger number of hits has to be used ($\approx 10-20$). Reasonable result for $d=0.2$ mm (one paper stripe) is $F\approx 270$ N. Note that the result is much larger than the double result in the case of a single magnet; this is due to closing the ferromagnetic loop of magnetic field lines.

Topic: Geometric Optics, Wave Optics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Experimental Data Analysis, Interference & Diffraction Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Lens, Star, Magnet Fonte: Testo (PDF) — p.2

Figure

p.1 — Pallone compresso su parete con vettori pressione

p.1 — Curva I(mA)-U(V) diodo tunnel

p.1 — Coefficiente attrito efficace mu vs velocita w

La figura rappresenta il momento netto $P_{\text{res}}$ dopo $2n$- impulso, e anche l’impulso netto $P_{\text{res}}^{\prime }$ per un altro momento di tempo $2n^{\prime }\Delta t$. Per un numero impar di impulsi, il modello è esattamente lo stesso, tranne che tutti i vettori hanno direzioni opposte (perché l’ultimo componente aggiunto, il vettore verticale, ha direzioni opposte).

7. Telescopio (12 punti)

1. La densità del flusso luminoso diminuisce in proporzione inversa al quadrato della distanza, quindi $w_1=w_0{R}_p^2/L_p^2$, dove $R_p$ è il raggio solare e $L_p$ la distanza solare. A causa di $\varphi =2R_p/L_p$, otteniamo $w_1=w_0{\varphi }^2/4$.

2. Il risultato precedente può essere applicato alla densità del flusso stellare, che è $q^{-2}{w}_1$; quindi $P_2=\frac{1}{4}\pi D^2{w}_1{q}^{-2}=w_0\pi (\varphi D/4q{)}^2$.

3. L’area di superficie della carta $S$ irradia verso la lente del telescopio la potenza $P_3=w_1\alpha S(\frac{\pi }{4}{D}^2/L^2)$, dove $L$ è la distanza del telescopio. L’immagine di questo pezzo di carta ha dimensioni $s=S{F}^2/L^2$; quindi $w_3=P_3/s=w_1\alpha (\frac{\pi }{4}{D}^2/F^2)=w_0\alpha \pi (\varphi D/4F{)}^2$.

4. La distanza angolare del primo minimo di diffrazione (con l’approssimazione di una fessura singola il cerchio non è in realtà una fessura) è $\lambda /D$. Pertanto, il raggio di un cerchio luminoso può essere stimato come $\delta =F\lambda /D$. Di conseguenza, $w_2=P_2/\pi {\delta }^2=w_0(\varphi D^2/4qF\lambda {)}^2$.

5. $k=(w_2+w_3)/w_3=1+(\alpha \pi {)}^{-1}(D/\lambda q{)}^2\approx 4$ (assumendo $\lambda \approx 500$ nm).

6. $k-1\sim 1$ (o $k-1>1$) significa che la stella può essere facilmente vista (come nel caso del telescopio); $k-1\ll 1$ significa che la stella non può essere vista (per l’occhio, $k-1\approx 1\cdot 10^{-4}$).

8. Esperimento (12 punti)

1. Inclinare la piastra fino a quando la foglia inizia a scivolare: il coefficiente statico è ${\mu }_{\text{static}}=h/\sqrt{l^2-h^2}$, dove $h$ è l’altezza del punto di fine della piastra e $l$ la lunghezza della piastra. Ora spingiamo leggermente il foglio che si trova sulla piastra, e troviamo l’angolo di inclinazione, per il quale il foglio scivola giù con una velocità costante; usiamo di nuovo la formula ${\mu }_{\text{kinetic}}=h/\sqrt{l^2-h^2}$. I valori numerici ragionevoli sono ${\mu }_{\text{static}}\approx 0.37$ e ${\mu }_{\text{kinetic}}\approx 0.29$.

2. Mettiamo diverse strisce di carta sulla piastra e il magnete sopra. Facciamo un ciclo di cavo, lo mettiamo intorno al magnete e lo tiriamo a lato usando il dinamometro (sliando l’intero sistema di carta e magnete). La forza di attrazione $F\approx N$ (dove $N$ è la forza di reazione) è rilevata come il rapporto tra la lettura del dinamometro $F_d$ e il corrispondente coefficiente di attrito (dipendendo da quale lettura si prende: la massima o quella corrispondente al scivolamento), $F\approx F_d/\mu$. La distanza $d$ è misurata nel numero di strisce di carta (una strisce aveva uno spessore di $\approx 0.2$ mm). Per le grandi distanze (circa $d>4$ mm), il peso delle strisce e dei magnete $F_p$ non è più trascurabile, la precisione dei risultati può essere migliorata sottraendo questo peso da $N$: $F=F_d/\mu -F_p$.

3. Si utilizza una struttura simile, tranne che si utilizza un numero minore di strisce di carta (il totale è di circa 2 mm) e una pendenza ripida della piastra. Lasciamo scivolare il mattone sulla pendice e colpiamo il magnete. Tenere costante l’altezza della caduta e la pendenza della piastra, e misurare il percorso scivolante, che viene coperto dalle carte e dal magnete dopo essere stato colpito dal mattone. Questo percorso è inversamente proporzionale alla forza di attrazione $N$. Se questo percorso si rivela troppo breve per una misurazione precisa (per distanze molto piccole tra il magnete e la piastra), possono essere utilizzate diverse colpi di mattoni. In tal caso, il percorso di colpo singolo può essere trovato come il percorso misurato, diviso per il numero di colpi. La costante di proporzionalità può essere trovata confrontando i risultati di questa e di una domanda precedente, per quelle distanze che sono coperte da entrambe le tecniche di misura. I risultati delle misure ragionevoli sono riportati nel grafico allegato.

4. Si applica la stessa tecnica della domanda precedente, tranne che occorre utilizzare un numero maggiore di colpi ($\approx 10-20$). Risultato ragionevole per $d=0.2$ mm (una striscia di carta) è $F\approx 270$ N. Si noti che il risultato è molto più grande del doppio risultato nel caso di un singolo magnete; questo è dovuto alla chiusura del ciclo ferromagnetico delle linee di campo magnetico.

Topic: Geometric Optics, Wave Optics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Experimental Data Analysis, Interference & Diffraction Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Lens, Star, Magnet Fonte: Testo (PDF) — p.2

Figura

Pallone compresso su parete con pressione di controllo

**p.1 ** Curva I(mA) -U(V) tunnel diodo

**p.1 ** Coefficiente di attrito efficace mu vs velocita w