Spagna 2007

P1 El puenting. Seguramente conoces o has visto algún reportaje sobre uno de los deportes de riesgo mas llamativos, el “puenting” (bungee jumping en ingles1). Consiste en saltar desde lo alto de un puente con los tobillos sujetos a una cuerda elástica, que frena la caída con suavidad, como se muestra en la foto de la figura 1. Aunque una descripción realista del movimiento es bastante compleja, no es difícil analizar aproximadamente sus dos primeras fases: en la primera, el saltador cae libremente con la cuerda destensada, y en la segunda la cuerda se estira elásticamente hasta detener la caída del saltador en su punto más bajo. En esta segunda fase puede aceptarse que la cuerda cumple la ley de Hooke, es decir que se comporta como un muelle ideal de constante k. Supongamos que un aficionado al puenting dispone de una cuerda de longitud L = 48 m y quiere usarla para saltar desde un puente de altura h = 98 m (figura 2). Naturalmente, antes de lanzarse quiere tener ciertas garantías de que su cuerda es adecuada. En particular quiere saber si la longitud máxima que llegará a alcanzar la cuerda cuando se estire, Lmax, es menor que la altura h, ya que en caso contrario su integridad física se vería gravemente amenazada. Para tener un dato experimental sobre la elasticidad de la cuerda, este aficionado al puenting se cuelga de la cuerda y comprueba que, en equilibrio, se alarga $\Delta L$ = 12 m. a) Despreciando la resistencia del aire y suponiendo que el saltador se deja caer sin velocidad inicial, haz una estimación de la longitud máxima que llegará a tener la cuerda, Lmax. ¿Es prudente utilizar esta cuerda para saltar desde el puente indicado? b) En el proceso de caída, la cuerda empieza a jugar su papel cuando la distancia recorrida por el saltador supera la longitud “natural” L de la cuerda y comienza a estirarse hasta su longitud máxima, cuando el saltador se detiene. Haz una representación gráfica de la aceleración del saltador en función de la distancia vertical, y, recorrida desde la parte superior del puente, y = 0, hasta el punto más bajo de la caída, y = Lmax. Durante este proceso de caída ¿cuál es la aceleración máxima a la que se ve sometido el saltador? c) Supuesto que la masa del saltador es m = 70 kg, calcula la máxima fuerza que ha de soportar el enganche de la cuerda con el puente. d) Por prudencia, el aficionado al puenting decide utilizar dos cuerdas iguales en paralelo. Esto significa que el muelle equivalente a las dos cuerdas tiene una constante elástica doble, 2k. ¿Qué longitud máxima llegarán a alcanzar las dos cuerdas? ¿Cuál será la aceleración máxima del saltador en estas condiciones?

Aceleraciones comprendidas entre 4g y 6g pueden producir lesiones si no se adoptan medidas de seguridad adecuadas. Teniendo esto en cuenta, ¿es conveniente usar una cuerda “doble” para realizar un salto más seguro?

Advertencia: Aunque hayas sido capaz de resolver todas las preguntas de este problema, no creas que estás capacitado para hacer un salto de estas características. El puenting es un deporte de alto riesgo y es necesario un entrenamiento dirigido por una persona especialmente preparada.

1 Las primeras referencias de este tipo de saltos datan de 1930, cuando se descubrió que eran realizados por los indígenas de la isla Vanuatu (Islas de Pentecostés) con lianas sujetas a los pies, para probar su valor. En el club de deportes de riesgo de Bristol se realizaron en 1979 los primeros saltos con una cuerda elástica de 78 m.

Fig. 1 Fig. 2 OAF 2007 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Solución

a) Despreciando la resistencia del aire, suponiendo que el saltador se deja caer sin velocidad inicial y aceptando que la cuerda se comporta como un muelle ideal de constante k, en el proceso del salto se conserva la energía mecánica. Si consideramos como nivel de referencia para la energía potencial gravitatoria el punto más bajo que alcanza el saltador se tiene que

( ) [ ] ( )2 2 1 max max L k L L mg $\Delta$ $\Delta$

(1)

donde ( )max L $\Delta$ es el alargamiento máximo que experimenta la cuerda.

Por otra parte, como la cuerda se alarga L $\Delta$ cuando el “aficionado” se cuelga de ella y permanece en equilibrio, se verifica que

mg L k

$\Delta$

(2)

Combinando (1) y (2) se llega a la siguiente ecuación de segundo grado

( ) ( ) 0 2 2 2

$-$ $-$ L L L L L max max $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$

cuya solución es

( ) L L L L L max $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ 2 2 + $\pm$

Sustituyendo los datos numéricos del enunciado y prescindiendo del valor negativo de la solución, que no tiene sentido físico, se obtiene

( ) m 48

max L $\Delta$

Por tanto, la longitud máxima que llega a alcanzar la cuerda es

( )max max L L L $\Delta$ +

$\Rightarrow$ m 96

max L

Aunque m 98

< h Lmax , la diferencia es muy pequeña, máxime si se tiene en cuenta que el aficionado al puenting tiene una estatura no despreciable y se lanza con la cuerda atada a sus tobillos, como se aprecia en la figura 1. En un cálculo más realista debería tenerse en cuenta la distancia de su centro de masas a sus pies en el momento de lanzarse, y a su cabeza en el punto más bajo. Sin necesidad de hacer cálculos, como su altura es de unos dos metros, se comprende que su salud puede sufrir un serio quebranto si decide hacer el salto en las condiciones descritas.

b) La cuerda no juega ningún papel mientras la distancia recorrida en la caída sea menor que su longitud L, por lo que el saltador cae con una aceleración constante g. Desde que la cuerda comienza a estirarse sobre el saltador actúa, además de su peso, la fuerza recuperadora que es proporcional al estiramiento, y - L. Considerando como origen de coordenadas el punto de lanzamiento y sentido positivo hacia abajo, la segunda ley de Newton permite escribir,

( )

para 0

para L y k mg ma L y L mg ma L y max $-$ $-$

$\le$ $\le$

$\le$ $\le$

(3)

Por tanto, en la primera fase de la caída, la aceleración con que se mueve el saltador es

L y g a $\le$ $\le$

0

para

Y en la segunda fase, teniendo en cuenta (2), la aceleración en función de y es

( ) max L y L L L g y L g y a $\le$ $\le$

$-$

para

1 $\Delta$ $\Delta$

(4)

Para y = L, esta aceleración coincide con g. Para ( )max max L L L y $\Delta$ +

= la aceleración toma su valor máximo (en valor absoluto), dado por

( )

$-$

L L g a max max $\Delta$ $\Delta$ 1 $\Rightarrow$ g amax 3 $-$

OAF 2007 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Entre estos dos extremos la dependencia (4) de la aceleración con y es lineal, por lo que la gráfica que se pide es la de la figura 3. c) El enganche de la cuerda con el puente tiene que soportar la tensión de la cuerda que es igual a la fuerza elástica, ( ) L y k $-$ . Por lo tanto, la máxima fuerza que tiene que soportar el enganche es

( ) ( ) mg L L mg L k F max max max 4

=

$\Delta$ $\Delta$ $\Delta$

Es decir

N 10 7 2 3 $\cdot$ = , Fmax

d) Si el aficionado al puenting utiliza dos cuerdas iguales en paralelo, la constante del muelle equivalente es 2k, como indica el enunciado. La cuerda doble es más “dura”, el alargamiento máximo, ( ) max L ${}^{\prime }$ $\Delta$ , es menor y el frenado más brusco, con mayor aceleración.

El cálculo de ( )’ max L $\Delta$ se realiza partiendo de la ecuación (1) cambiando la constante del muelle por 2k. De esta forma, la ecuación de segundo grado que se obtiene es

( ) ( ) 0 2

$-$ ${}^{\prime }$ $-$

${}^{\prime }$ L L L L L max max $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$

$\Rightarrow$ ( ) m 31

${}^{\prime }max$ L $\Delta$

La longitud máxima que alcanza la cuerda en este caso es

m 79

${}^{\prime }max$ L

La nueva aceleración $a^{\prime }$ se obtiene como en (3), pero cambiando la constante del muelle

( ) y L k mg a m $-$ $-$

${}^{\prime }$ 2

Teniendo en cuenta (2)

( )

$-$ $-$

${}^{\prime }$ L y L g a $\Delta$ 2 1

Por lo que la aceleración máxima es

( )

${}^{\prime }$ $-$

${}^{\prime }$ L L g a max max $\Delta$ $\Delta$ 2 1 $\Rightarrow$ g , amax 1 4 $-$

${}^{\prime }$

En efec

bungee jumping con corda elastica

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Elasticity & Materials Metodi: Hooke’s Law, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1

P1 Il ponte. Probabilmente conosci o hai visto qualche articolo su uno dei sport a rischio più famosi, il puenting (bungee jumping in inglese) Consiste nel saltare da un ponte con le ginocchia attaccate a una corda elastica, che frenare il caduto con delicatezza, come mostrato nella foto di figura 1. Anche se una descrizione realistica del movimento è La velocità di un salto è molto complessa, non è difficile analizzare circa le sue due prime fasi: nella prima, il salvatore cade liberamente con la corda estesa, e nella seconda la corda si allunga elasticamente fino a fermare il salto del saltatore al suo punto più basso. In questa seconda fase si può accettare che la corda rispetti la legge di Hooke, cioè si comporta come un molo ideale di costante k. Supponiamo che un appassionato di puenting abbia una corda di lunghezza L = 48 m e voglia usarla per saltare da un punto di vista di velocità. un ponte di altezza h = 98 m (Figura 2). Naturalmente, prima di lanciare vuole avere certe garanzie che la sua corda è

• Proprio così. In particolare, vuole sapere se la lunghezza massima che raggiungerà la corda quando si allunga, Lmax, è inferiore a La quota h, altrimenti la sua integrità fisica sarebbe gravemente minacciata. Per avere un dato sperimentale sull’elasticità della corda, questo appassionato di puenting si appende alla corda e verifica che, in equilibrio, si allunga $\Delta L$ = 12 m. a) Scommetendo la resistenza dell’aria e supponendo che il saltatore si faccia cadere senza velocità iniziale, si fa una stima di la lunghezza massima che raggiungerà la corda, Lmax. È prudente usare questa corda per saltare dal ponte? indicato? b) Nel processo di caduta, la corda inizia a svolgere il suo ruolo quando la distanza percorsa dal saltatore supera la lunghezza L della corda e inizia a stendere fino alla sua lunghezza massima, quando il saltatore si ferma. Fate una. una rappresentazione grafica dell’accelerazione del saltatore in funzione della distanza verticale e, percorso dalla parte il ponte superiore, e = 0, fino al punto più basso della caduta, e = Lmax. Durante questo processo di caduta, qual è la l’accelerazione massima al quale viene sottoposto il saltatore? c) Se il salto è di 70 kg, si calcola la forza massima che deve sopportare il collegamento della corda con il ponte. d) Per prudenza, l’amatore del puenting decide di usare due corde uguali in parallelo. Questo significa che il molo L’equivalente delle due corde ha una costante doppia elastica, 2k. Qual è la lunghezza massima che raggiungeranno i due
• Le corde? Qual è la massima velocità del saltatore in queste condizioni?

Le accelerazioni comprese tra 4g e 6g possono causare lesioni se non vengono adottate adeguate misure di sicurezza. Considerando questo, è conveniente usare una corda doble per fare un salto più sicuro?

Attenzione: anche se hai risolto tutte le domande di questo problema, non credi di essere qualificato per fare un salto di queste caratteristiche. Il puenting è un sport ad alto rischio e richiede un’addestramento Diretto da una persona particolarmente preparata.

1 I primi riferimenti di questo tipo di salti risalgono al 1930, quando si scoprì che erano stati fatti dagli indigeni dell’isola di Vanuatu (Isole di Pentecoste) con le linenate attaccate ai piedi, per provare il loro valore. Nel 1979 si è svolta la Bristol Risk Sports Club i primi salti con una corda elastica di 78 m.

Fig. 1 Fig. 2 OAF 2007 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica

Soluzione

a) Scommettere che il salvatore si lascia cadere senza velocità iniziale e accettare che la velocità di salto sia La corda si comporta come un molo ideale di costante k, nel processo di salto viene conservata l’energia meccanica. Si Considerando il livello di riferimento per l’energia potenzialmente gravitazionale il punto più basso raggiunto dal saltatore è

• Deve essere

( ) [ ] ( )2 2 1 Max Max L k L L mg $\Delta$ $\Delta$

(1)

dove ( )max L $\Delta$ è l’allungamento massimo che la corda prova.

D’altra parte, come la corda si allunga L $\Delta$ Quando l’amatore si appende a essa e rimane in equilibrio, si verifica che

mg L k

$\Delta$

(2)

Combinando (1) e (2) si ottiene la seguente equazione di secondo grado

( ) ( ) 0 2 2 2

$-$ $-$ L L L L L Max Max $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$

La cui soluzione è

( ) L L L L L max $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ 2 2 + $\pm$

Sostituendo i dati numerici della frase e dispense il valore negativo della soluzione, non ha senso fisica, si ottiene

( ) m 48

Max L $\Delta$

Quindi la lunghezza massima che raggiunge la corda è

( )max Max L L L $\Delta$ +

$\Rightarrow$ m 96

Max L

Anche se m 98

< h Lmax , la differenza è molto piccola, soprattutto se si tiene conto che l’amatore di puenting ha una statura non sconsiderata e lanciata con la corda attaccata alle arti, come si vede nella figura 1. In un calcolo La maggior parte dei lanciatori dovrebbe tenere conto della distanza dal loro centro di massa ai piedi al momento del lancio, e della loro la testa al punto più basso. Non occorre calcolare, poiché il suo altezza è di circa due metri, si comprende che il suo la salute può essere gravemente compromessa se si decide di fare il salto nelle condizioni descritte.

b) La corda non svolge alcun ruolo finché la distanza percorsa nel caduto è inferiore alla sua lunghezza L, quindi il salter si abbassa con una costante accelerazione g. Da quando la corda inizia a stendersi sul saltatore agisce, oltre a il peso, la forza di recupero proporzionale all’estensione, e - L. Considerando come fonte di coordinate il punto di lancio e senso positivo verso il basso, la seconda legge di Newton consente di scrivere,

( )

per 0

per L y k mg ma L y L mg ma L y Max $-$ $-$

$\le$ $\le$

$\le$ $\le$

(3)

Quindi, nella prima fase del caduta, l’accelerazione con cui il saltatore si muove è

L y g a $\le$ $\le$

0

per

E nella seconda fase, considerando (2), l’accelerazione in funzione di e è

( ) Max L y L L L g y L g y a $\le$ $\le$

$-$

per

1 $\Delta$ $\Delta$

(4)

Per y = L, questa accelerazione corrisponde a g. Per ( )max Max L L L y $\Delta$ +

= L’accelerazione prende il suo massimo valore (in valore assoluto), dato da

( )

$-$

L L g a Max Max $\Delta$ $\Delta$ 1 $\Rightarrow$ g

• Ma non è vero. 3 $-$ = OAF 2007 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica

Tra queste due estremità la dipendenza (4) dell’accelerazione con e è lineare, per che la grafica che viene richiesta è quella della figura 3. c) Il collegamento della corda con il ponte deve sopportare la tensione della corda che è uguale alla forza elastica, ( ) L y k $-$ . La forza massima che ha a sopportare il colpo è

( ) ( ) mg L L mg L k F Max Max Max 4

=

$\Delta$ $\Delta$ $\Delta$

Cioè,

N 10 7 2 3 $\cdot$ = , Fmax

d) Se l’amatore di puenting usa due corde uguali in parallelo, la costante di prato equivalente è 2k, come indicato la frase. La corda doppia è più dura, l’allungamento massimo, ( ) max L ${}^{\prime }$ $\Delta$ , è più piccolo e il frenaggio più brusco, con maggiore accelerazione.

Il calcolo di ( )’ Max L $\Delta$ La misurazione è effettuata partendo dall’equazione (1) cambiando la costante del molo per 2k. In questo modo, la Equazione di secondo grado che si ottiene è

( ) ( ) 0 2

$-$ ${}^{\prime }$ $-$

${}^{\prime }$ L L L L L Max Max $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$

$\Rightarrow$ ( ) m 31

${}^{\prime }max$ L $\Delta$

La lunghezza massima che raggiunge la corda in questo caso è

m 79

${}^{\prime }max$ L

La nuova accelerazione $a^{\prime }$ viene ottenuta come in (3), ma cambiando la costante del molo

( ) y L k mg a m $-$ $-$

${}^{\prime }$ 2

Considerando (2)

( )

$-$ $-$

${}^{\prime }$ L y L g a $\Delta$ 2 1

Quindi l’accelerazione massima è

( )

${}^{\prime }$ $-$

${}^{\prime }$ L L g a Max Max $\Delta$ $\Delta$ 2 1 $\Rightarrow$ g ,

• Ma non è vero. 1 4 $-$ = ${}^{\prime }$

In effetti

bungee jumping con corda elastica

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Elasticity & Materials Metodi: Hooke’s Law, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1

P1 The bridging. You’ve probably seen or heard of one of the most striking risk sports, the Puenting. (bungee jumping in English1) It consists of jumping from the top of a bridge with the ankles attached to an elastic rope, which slow down the fall gently, as shown in Figure 1. Although a realistic description of the movement is The first is that the jumpper falls freely with the the rope is untied, and in the second the rope is stretched elastically until the jumper stops falling at its lowest point. In this second phase it can be accepted that the rope complies with Hooke’s law, that is, it behaves as an ideal dock of constant k. Suppose a puenting enthusiast has a string of length L = 48 m and wants to use it to jump from a bridge with a height of h = 98 m (Figure 2). Naturally, before you launch you want to have certain assurances that your rope is It’s a good one. In particular, he wants to know if the maximum length that will reach the rope when it is stretched, Lmax, is less than The height h, otherwise its physical integrity would be seriously threatened. To get an experimental data on the elasticity of the rope, this puenting enthusiast hangs from the rope and comprueba que, en equilibrio, se alarga $\Delta L$ = 12 m. a) If the air resistance is negligible and the jumper is dropped without initial speed, make an estimate of The maximum length that the rope will reach, Lmax. Is it wise to use this rope to jump off the bridge?

• What’s the point? b) In the falling process, the rope starts to play its part when the distance travelled by the jumper exceeds the length The rope starts to stretch to its maximum length when the jumper stops. Make one a graphical representation of the acceleration of the jumper in relation to the vertical distance, and, travelled from the part above the bridge, and = 0, to the lowest point of fall, and = Lmax. During this falling process what is the maximum acceleration at which the jumper is subjected? c) Assuming the mass of the jumper is m = 70 kg, calculate the maximum force to be withstood by the rope’s attachment with The bridge. d) For prudence, the puenting enthusiast decides to use two equal strings in parallel. This means that the pier It’s equivalent to the two strings, it has a double elastic constant, 2k. What maximum length will the two reach? The ropes? What will be the maximum jump acceleration under these conditions?

Accelerations between 4g and 6g may cause injury if adequate safety measures are not taken. With this in mind, is it appropriate to use a double rope to make a safer jump?

Warning: Even if you’ve been able to solve all the questions in this problem, you don’t think you’re qualified to I’m going to make a leap of these characteristics. Puenting is a high-risk sport and training is required It is directed by a person specially trained.

1 The first references to this type of jump date back to 1930, when it was discovered that they were made by the indigenous people of the island of Vanuatu (Pentecostal Islands) with lianas attached to the feet, to prove their worth. At the Bristol Risk Sports Club they were held in 1979 The first jump with a 78 m rope.

Fig. 1 Fig. 2 2007 Proofs of the ZARAGOZA University District The Spanish Royal Physical Society

Solution

a) The first is that the air resistance is neglected, assuming that the jumper is dropped without initial speed and accepting that the The rope behaves like an ideal constant k dock, in the jump process the mechanical energy is preserved. Si We consider the reference level for the gravitational potential energy the lowest point the jumper reaches is You have to

( ) [ ] ( )2 2 1 Max Max L k L L mg $\Delta$ $\Delta$

(1)

where ( (max) L $\Delta$ is the maximum length the string experiences.

On the other hand, as the rope stretches L $\Delta$ When the amateur hangs from it and stays in balance, verify that

mg L k

$\Delta$

(2)

Combining (1) and (2) leads to the following second-degree equation

( ) ( ) 0 2 2 2

$-$ $-$ L L L L L Max Max $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$

whose solution is

( ) L L L L L max $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ 2 2 + $\pm$

Substituting the numerical data in the statement and disregarding the negative value of the solution, which makes no sense Physically, you get

( ) m 48

Max L $\Delta$

So the maximum length that reaches the rope is

( (max) Max L L L $\Delta$ +

$\Rightarrow$ m 96

Max L

Although m 98

< h Lmax The difference is very small, especially if you consider that the puenting enthusiast has a not-despicable stature and thrown with the rope tied to its ankles, as shown in Figure 1. In a calculation The most realistic should take into account the distance from its mass center at its feet at the time of launch, and its Head to the lowest point. It is not necessary to make calculations, as its height is about two metres, it is understood that its The health of the person can be seriously affected if he decides to make the leap under the conditions described.

(b) The rope does not play a role as long as the distance travelled in the fall is less than its length L, so the rope is not Jump falls at a constant acceleration g. Since the rope starts to stretch over the jumper it acts, in addition to its weight, the recuperative force that is proportional to the stretch, and - L. Considering as the source of coordinates the point of launch and positive direction down, Newton’s second law allows you to write,

( )

for 0

for L y k mg ma L y L mg ma L y Max $-$ $-$

$\le$ $\le$

$\le$ $\le$

(3)

Therefore, in the first phase of the fall, the acceleration at which the jumper moves is

L y g a $\le$ $\le$

0

for

And in the second phase, taking into account (2), the acceleration function of y is

( ) Max L y L L L g y L g y a $\le$ $\le$

$-$

for

1 $\Delta$ $\Delta$

(4)

For y = L, this acceleration is equal to g. Stop ( (max) Max L L L y $\Delta$ +

= The acceleration takes its maximum value (in value) absolute), given by

( )

$-$

L L g a Max Max $\Delta$ $\Delta$ 1 $\Rightarrow$ g amax 3 $-$

2007 Proofs of the ZARAGOZA University District The Spanish Royal Physical Society

Between these two extremes the dependence (4) of acceleration with y is linear, by So what the graph you’re asking for is the graph in Figure 3. c) The cable ‘s connection to the bridge has to withstand the tension of the cable which is equal to the elastic force, ( ) L y k $-$ . Therefore, the maximum force that He has to endure the hook is

( ) ( ) mg L L mg L k F Max Max Max 4

=

$\Delta$ $\Delta$ $\Delta$

I mean,

N 10 7 2 3 $\cdot$ = , Fmax

d) If the puenting enthusiast uses two equal strings in parallel, the equivalent dock constant is 2k, as indicated The sentence. The double string is more hard, the maximum length, ( ) max L ${}^{\prime }$ $\Delta$ , is smaller and braking more abrupt, with The speed of the engine is greater.

The calculation of ( )’ Max L $\Delta$ The value of the value of the underlying asset is the sum of the underlying asset’s assets. In this way, the The second-degree equation that you get is

( ) ( ) 0 2

$-$ ${}^{\prime }$ $-$

${}^{\prime }$ L L L L L Max Max $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$

$\Rightarrow$ ( ) m 31

${}^{\prime }max$ L $\Delta$

The maximum length that the rope reaches in this case is

m 79

${}^{\prime }max$ L

The new acceleration $a^{\prime }$ is obtained as in (3), but changing the constant of the dock

( ) y L k mg a m $-$ $-$

${}^{\prime }$ 2

Taking into account (2)

( )

$-$ $-$

${}^{\prime }$ L y L g a $\Delta$ 2 1

So the maximum acceleration is

( )

${}^{\prime }$ $-$

${}^{\prime }$ L L g a Max Max $\Delta$ $\Delta$ 2 1 $\Rightarrow$ g , amax 1 4 $-$

${}^{\prime }$

In effect

bungee jumping with elastic rope

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Elasticity & Materials Metodi: Hooke’s Law, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1

P2 Baroscopio. El baroscopio es un aparato que se utiliza para comprobar indirectamente el principio de Arquímedes. Consta de una balanza de cuyos brazos se suspenden dos esferas, una hueca y otra maciza de mucho menor tamaño. En la figura 1 se esquematiza un baroscopio con balanza de brazos iguales, y en la figura 2 se muestra el baroscopio de una colección de instrumentos científicos antiguos. Una vez equilibrada la balanza, es decir con sus brazos horizontales y el fiel marcando el centro de la escala (situación de la figura 1), se coloca el aparato en el interior de una campana de vidrio. Al hacer el vacío dentro de la campana, la balanza se desequilibra y alcanza una nueva posición de equilibrio con los brazos inclinados y el fiel desviado (situación de la figura 2). La esfera hueca tiene un radio R = 5,00 cm y su masa es M = 40,0 g. A temperatura ambiente, la presión antes de hacer el vacío es la atmosférica, p0 = 5 10 01 ,1 $\cdot$ Pa y, en estas condiciones, la densidad del aire es 3 kg/m 30 ,1

aire $\rho$ . La resolución de la balanza es de 100 mg, es decir, una variación entre las masas suspendidas de 100 mg hace que el fiel se desvíe una división de la escala. Considerando que el aire se comporta como un gas perfecto y que el volumen de la esfera maciza es despreciable frente al de la hueca, responde a las siguientes cuestiones: a) Antes de hacer el vacío:

1. Calcula el empuje sobre la esfera hueca.
2. Determina la masa m de la esfera maciza para que la balanza esté equilibrada. b) Después de hacer el vacío y suponiendo que la temperatura no ha cambiado:
3. ¿Hacia qué lado se desequilibra la balanza? Razona tu respuesta.
4. Si el fiel de la balanza se desvía 6 divisiones, ¿cuál es la presión en el interior de la campana? Fig. 2 Fig. 1 Fiel Escala Vacío M m OAF 2007 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Solución

a1) El teorema de Arquímedes, conocido por todos desde casi la más tierna infancia, establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascensional igual al peso del volumen de fluido desalojado. De acuerdo con ello, antes de haber hecho vacío en el interior de la campana, el empuje que experimenta la esfera grande de la balanza viene dado por

g R B aire $\rho$ $\pi$ 3 3 4

(1)

Numéricamente

N 10 68 6 3 $-$ $\cdot$ = , B

a2) El peso aparente de la esfera grande es igual a su propio peso menos este empuje. En la esfera maciza el empuje es despreciable debido a su pequeño tamaño. Como los brazos de la balanza son iguales, en equilibrio mecánico se cumple

mg B Mg

$-$

$\Rightarrow$ aire R M m $\rho$ $\pi$ 3 3 4 $-$

$\Rightarrow$ kg 10 93 3 2 $-$ $\cdot$ = , m

b1) Cuando se hace vacío disminuye la masa de aire encerrado en el volumen de la campana y, por tanto, disminuye su densidad y también el empuje sobre la esfera grande. Su peso aparente aumenta y la balanza se desquilibra hacia la izquierda, como se observa en la figura 2 del enunciado. b2) El fiel marca una desviación de $\beta$ = 6 divisiones cuando, hecho el vacío, se alcanza el nuevo equilibrio mecánico. Como la resolución de la balanza es r = 100 mg/división, la desviación del fiel significa que el peso aparente de la esfera grande ha aumentado una cantidad g $r\beta$ , que realmente corresponde a una disminución del empuje hidrostático

g r B $\beta$ $\Delta$

El nuevo empuje B ́ será entonces

g r B B $\beta$ $-$

${}^{\prime }$

(2)

Si llamamos aire ${\rho }^{\prime }$ a la densidad del aire residual en la campana, se tendrá que

g R B aire $\rho$ $\pi$ ${}^{\prime }$

${}^{\prime }$ 3 3 4

(3)

Combinando (1), (2) y (3) se obtiene

3 4 3 R r aire aire $\pi$ $\beta$ $\rho$ $\rho$

${}^{\prime }$ $-$

(4) La densidad del aire puede relacionarse con la presión mediante la ecuación de los gases perfectos. Si V es el volumen de la campana, n, $n^{\prime }$ , p0 y p los números de moles de aire y las presiones antes y después de hacer el vacío

nRT V p

0 , RT n pV ${}^{\prime }$

Llamando Mm a la masa molar del aire

V / nM m aire = $\rho$ , V / M n m aire ${}^{\prime }$

${}^{\prime }$ $\rho$

Luego

RT M p m aire $\rho$

0 , RT M p m aire ${\rho }^{\prime }$

De las relaciones anteriores se deduce que

0 p p aire aire $\rho$ $\rho$

${}^{\prime }$

Llevando esta expresión a (4) se obtiene finalmente

$-$

aire R r p p $\rho$ $\pi$ $\beta$ 3 0 4 3 1 $\Rightarrow$ atm 118 0 Pa 10 20 1 4 , , p

$\cdot$

OAF 2007 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

bilancia con sfera e campana vuoto

dettaglio sfera e campana baroscopio

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Sphere, Lever, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.4

P2 Baroscopo. Il baroscopio è un apparecchio che viene utilizzato per verificare indirettamente il principio di Archimede. Consiste in una Scala dalle cui braccia si sospendono due sfere, una buca e un’altra massa di dimensioni molto minori. In figura 1 si Il progetto di questo progetto di ricerca è stato sviluppato in modo da permettere di sviluppare un’ottica di ricerca e di sviluppo. strumenti scientifici antichi. Una volta che la bilancia è equilibrata, cioè con i braccia orizzontali e il fiato segnando il centro della scala (situzione di figura 1), l’apparecchio è inserito all’interno di una campana di vetro. Quando si fa il vuoto all’interno della campana, la bilancia si Il corpo si sbilanciano e raggiunge una nuova posizione di equilibrio con le braccia inclinate e il fiolo deviato (situazione di figura 2). La sfera vuota ha un raggio R = 5,00 cm e la sua massa è M = 40,0 g. A temperatura ambiente, la pressione prima di fare il vuoto è l’atmosfera, p0 = 5 10 01 ,1 $\cdot$ E, in queste condizioni, la densità dell’aria è 3 kg/m 30 ,1

aria $\rho$ . La risoluzione della bilancia è di 100 mg, cioè una variazione tra le masse sospese di 100 mg fa sì che il si allontana una divisione della scala. Considerando che l’aria si comporta come un gas perfetto e che il volume della sfera massiccia è dispregiato rispetto alla massa di di cui al punto 1.3.1, risponde alle seguenti domande: a) Prima di fare il vuoto:

1. Calcola la spinta sulla sfera vuota.
2. Determina la massa m della sfera massica in modo che la bilancia sia equilibrata. b) Dopo aver fatto il vuoto e supponendo che la temperatura non sia cambiata:
3. Da che parte si destabilizza la bilancia? Raziona la tua risposta.
4. Se il fidele della bilancia si allontana 6 divisioni, qual è la pressione all’interno della campana? Fig. 2 Fig. 1 Fedeli Scala Vaccio M m OAF 2007 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica

Soluzione

a1) Il teorema di Archimede, conosciuto da tutti fin dalla più tenera infanzia, stabilisce che ogni corpo immerso in un fluido prova una forza ascendente pari al peso del volume di fluido sfrattato. In base a ciò, prima di Se si è fatto un vuoto all’interno della campana, la spinta che la grande sfera della bilancia prova viene data per

g R B aria $\rho$ $\pi$ 3 3 4

(1)

Numericamente

N 10 68 6 3 $-$ $\cdot$ = , B

a2) Il peso apparente della grande sfera è uguale al suo peso meno questo impulso. Nella sfera massica il pulso è dispregiata a causa della sua piccola dimensione. Poiché le braccia della bilancia sono uguali, in equilibrio meccanico si ottengono

mg B Mg

$-$

$\Rightarrow$ aria R M m $\rho$ $\pi$ 3 3 4 $-$

$\Rightarrow$ kg 10 93 3 2 $-$ $\cdot$ = , m

b) Quando viene svuotato diminuisce la massa di aria contenuta nel volume della campana e quindi diminuisce il volume di aria contenuta nella campana. densità e anche la spinta sulla grande sfera. Il suo peso apparente aumenta e la bilancia si sbilanciano verso la a sinistra, come si vede nella figura 2 della frase. b2) Il fedele segna una deviazione di $\beta$ = 6 divisioni quando, dopo il vuoto, si raggiunge il nuovo equilibrio meccanico. Come la risoluzione della bilancia è r = 100 mg/divisione, la deviazione del fiel significa che il peso apparente della grande sfera ha aumentato un certo numero g $r\beta$ , che corrisponde in realtà a una diminuzione della spinta idrostatica

g r B $\beta$ $\Delta$

Il nuovo impulso B sarà allora

g r B B $\beta$ $-$

${}^{\prime }$

(2)

Se chiamiamo aria ${\rho }^{\prime }$ alla densità dell’aria residua nella campana, si dovrà

g R B aria $\rho$ $\pi$ ${}^{\prime }$

${}^{\prime }$ 3 3 4

(3)

Combinando (1), (2) e (3) si ottiene

3 4 3 R r aria aria $\pi$ $\beta$ $\rho$ $\rho$

${}^{\prime }$ $-$

(4) La densità dell’aria può essere correlata alla pressione attraverso l’equazione dei gas perfetti. Se V è il volume di la campana, n, $n^{\prime }$, p0 e p i numeri di molli d’aria e le pressioni prima e dopo il svuotamento

nRT V p

0 , RT n pV ${}^{\prime }$

Chiamando Mm alla massa molare dell’aria

V / nM m aria = $\rho$ , V / M n m aria ${}^{\prime }$

${}^{\prime }$ $\rho$

Poi

RT M p m aria $\rho$

0 , RT M p m aria ${\rho }^{\prime }$

Dalle relazioni precedenti si deduce che

0 p p aria aria $\rho$ $\rho$

${}^{\prime }$

Portando questa espressione a (4) si ottiene finalmente

$-$

aria R r p p $\rho$ $\pi$ $\beta$ 3 0 4 3 1 $\Rightarrow$ ATM 118 0 Pa 10 20 1 4 , , p

$\cdot$

OAF 2007 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica

ballo con sfera e campana vuota

dettaglio sfera e campana baroscopico

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Sphere, Lever, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.4

P2 Baroscope. The baroscope is an apparatus used to indirectly test the principle of Archimedes. It consists of one A scale whose arms are suspended by two spheres, one hollow and the other a much smaller mass. In Figure 1 it is The first is a diagram of a baroscope with equal arms, and in Figure 2 the baroscope of a collection of Ancient scientific instruments. Once the scale is balanced, i.e. with its horizontal arms and the faithful marking the centre of the scale (situation of the scale) Figure 1), the apparatus is placed inside a glass bell. By making the void inside the bell, the scale is The balance is lost and the balance is reached with the arms bent and the foot deflected (figure 2). The hollow sphere has a radius R = 5,00 cm and its mass M = 40,0 g. At room temperature, the pressure before making the vacuum is the atmospheric, p0 = 5 10 01 ,1 $\cdot$ Pa and, under these conditions, the density of the air is 3 kg/m 30 ,1

Air $\rho$ . The resolution of the scale is 100 mg, i.e. a variation between the suspended masses of 100 mg makes the a division of the scale deviates. Whereas air behaves like a perfect gas and the volume of the mass sphere is negligible in comparison to the mass of the atmosphere The answer to the following questions: a) Before you make the vacuum:

1. Calculate the thrust over the hollow sphere.
2. Determine the mass m of the mass sphere so that the balance is balanced. b) After you empty the vacuum and assume the temperature hasn’t changed:
3. Which side of the scale is imbalanced? You’re right about your answer.
4. If the true of the scale deviates 6 divisions, what is the pressure inside the bell? Fig. 2 Fig. 1 Faithful The scale Empty M m 2007 Proofs of the ZARAGOZA University District The Spanish Royal Physical Society

Solution

a1) Archimedes’ theorem, known to everyone from almost the earliest childhood, states that every body immersed in a fluid experiences an ascent force equal to the weight of the volume of displaced fluid. Accordingly, before If the inside of the bell is empty, the push that the large ball of the scale experiences is given. by

g R B Air $\rho$ $\pi$ 3 3 4

(1)

Numerically

N 10 68 6 3 $-$ $\cdot$ = , B

a2) The apparent weight of the large sphere is equal to its own weight less this thrust. In the mass sphere the thrust is despicable because of its small size. Since the arms of the scale are equal, in mechanical equilibrium it is fulfilled

mg B Mg

$-$

$\Rightarrow$ Air R M m $\rho$ $\pi$ 3 3 4 $-$

$\Rightarrow$ kg 10 93 3 2 $-$ $\cdot$ = , m

(b1) When emptying the air mass enclosed in the bell volume decreases and therefore its volume decreases. density and also the thrust over the large sphere. Its apparent weight increases and the balance is unbalanced towards the left, as shown in Figure 2 of the statement. (b2) The true marks a deviation of $\beta$ = 6 divisions when, after the vacuum is filled, the new mechanical balance is reached. As The resolution of the scale is r = 100 mg/division, the deviation of the faithful means that the apparent weight of the large sphere has increased a number g $r\beta$ , which actually corresponds to a decrease in hydrostatic thrust

g r B $\beta$ $\Delta$

The new push B will be then

g r B B $\beta$ $-$

${}^{\prime }$

(2)

If we call Air ${\rho }^{\prime }$ the density of the residual air in the bell, it shall be

g R B Air $\rho$ $\pi$ ${}^{\prime }$

${}^{\prime }$ 3 3 4

(3)

Combining (1), (2) and (3) is obtained

3 4 3 R r Air Air $\pi$ $\beta$ $\rho$ $\rho$

${}^{\prime }$ $-$

(4) The density of air can be related to the pressure by the perfect gas equation. If V is the volume of the bell, n, $n^{\prime }$, p0 and p the air springs numbers and pressures before and after vacuuming

nRT V p

0 , RT n pV ${}^{\prime }$

Calling Mm to the molar mass of the air

V / nM m Air = $\rho$ , V / M n m Air ${}^{\prime }$

${}^{\prime }$ $\rho$

Then

RT M p m Air $\rho$

0 , RT M p m Air ${\rho }^{\prime }$

It follows from the above relationships that

0 p p Air Air $\rho$ $\rho$

${}^{\prime }$

Taking this expression to (4) finally gets

$-$

Air R r p p $\rho$ $\pi$ $\beta$ 3 0 4 3 1 $\Rightarrow$ Other 118 0 Pa 10 20 1 4 , , p

$\cdot$

2007 Proofs of the ZARAGOZA University District The Spanish Royal Physical Society

balance sheet with sphere and empty bell

spherical and baroscope bell detector

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Sphere, Lever, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.4

P3 Espectroscopia con red de difracción.

1. Fundamento teórico Como sabrás, cada especie atómica puede absorber y emitir luz de una serie de longitudes de onda (espectros atómicos de absorción y emisión), relacionadas con las transiciones de los átomos entre sus diversos niveles de energía. Los instrumentos de observación y medida de estos espectros se conocen como espectroscopios, uno de cuyos componentes esenciales es el elemento dispersor. Cuando sobre él incide un haz de luz policromática (de varias longitudes de onda), lo divide en varios haces monocromáticos, uno para cada longitud de onda, que viajan en direcciones diferentes. Para este fin puede emplearse un prisma de vidrio, como se esquematiza en la figura 1, pero en este problema se va a usar como elemento dispersor una red de difracción. En esencia, una red de difracción puede describirse como un gran número de rendijas muy estrechas, paralelas y equiespaciadas. La luz incidente se difracta en todas direcciones en cada rendija, y los haces difractados en una cierta dirección por todas las rendijas interfieren entre sí. Como resultado, la luz es transmitida por la red en una serie de direcciones muy bien definidas (llamadas órdenes de difracción) para cada longitud de onda, correspondientes a las direcciones de interferencia constructiva. La ecuación que relaciona la longitud de onda de la luz incidente con los ángulos de desviación en los diversos órdenes de difracción es muy fácil de deducir: En la figura 2 se representan dos rendijas adyacentes separadas una distancia d (conocida como periodo de la red) sobre las que incide luz monocromática de longitud de onda $\lambda$. Los haces difractados a un ángulo $\theta$ respecto a la dirección de incidencia interferirán constructivamente2 cuando la diferencia de caminos ópticos entre ambos sea un múltiplo entero de $\lambda$. Este razonamiento es extensible a todas las rendijas.

$\lambda$ m

$\Delta$

con … ,2 ,1 ,0 $\pm$ $\pm$

m

De la geometría de la figura 2 se deduce

$\theta$ sen d

$\Delta$

Por tanto, la ecuación de la red queda3 (véase la figura 3)

$\lambda$ $\theta$ m d m = sen

(1) Si la luz incidente es policromática, la red de difracción separa las diversas componentes espectrales, dentro de cada orden de difracción (excepto el 0), como se esquematiza en la figura 4.

2 En el $\infty$ o en el plano focal de una lente convergente (por ejemplo en la retina de nuestro ojo). 3 Esta ecuación no depende del número total de rendijas de la red. Interesa que este número sea muy alto para mejorar el poder resolutivo de la red, es decir para que la difracción de cada $\lambda$ se produzca dentro de un margen angular muy estrecho. De esta forma se pueden observar separadas (resueltas) longitudes de onda próximas y determinar con gran precisión el valor de cada $\lambda$. El poder resolutivo de una red de difracción suele ser muy superior al de un prisma. $\lambda 1$ + $\lambda 2+\lambda 3$ $\lambda 1$ $\lambda 2$ $\lambda 3$ Fig. 1 $\lambda$ m = 0 m = 1 m = 2 m = -2 m = -1 $\theta 1$ $\theta 2$ $\theta -1$ $\theta -2$ Fig. 3 Red de difracción $\lambda 1+\lambda 2$ m = 0 m = 1 m = 2 m = -2 m = -1 Fig. 4 Red de difracción $\lambda 1+\lambda 2$ $\lambda 1$ $\lambda 2$ $\lambda 1\lambda 2$ $\lambda 2$ $\lambda 1$ $\lambda 2$ $\lambda 1$ $\theta$ $\Delta$ d $\lambda$ Fig. 2 OAF 2007 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

2. Datos experimentales. Imagina que dispones de un espectroscopio de red con el que quieres determinar experimentalmente las longitudes de onda del espectro del Na. No conoces el periodo d de la red de difracción, por lo que, para determinar este parámetro y tener calibrado el espectroscopio, es necesario realizar unas medidas previas con luz de espectro conocido. 2.1) Calibrado del espectroscopio de red. Se dispone de una lámpara espectral de Hg – Cd, que emite en longitudes de onda visibles conocidas. Se miden con el espectroscopio de red los ángulos de desviación en primer orden de difracción (m = 1) de estas longitudes de onda, obteniendo los resultados que se recogen en la Tabla I. 2.2) Espectro del Na. A continuación se miden las desviaciones angulares, también en primer orden de difracción, de las líneas visibles de una lámpara espectral de Na, obteniendo los resultados de la Tabla II.

Tabla I. Lámpara de Hg - Cd

Tabla II. Lámpara de Na Color Elemento $\lambda$ (nm) $\theta 1$ (o) Violeta Hg 404,6 14,14 Azul/violeta Hg 435,8 15,26 Azul Cd 467,8 16,40 Azul Cd 480,0 16,86 Verde Cd 508,5 17,90 Amarillo/verde Hg 546,0 19,24 Amarillo Hg 576,9 20,39 Amarillo Hg 579,0 20,49 Rojo Cd 643,8 22,90

3. Tareas y preguntas.

• A. Representa gráficamente en el papel milimetrado los puntos experimentales (x, y) = $(sen\theta 1$, $\lambda$) de la tabla I.
• B. Ajusta estos puntos experimentales a una línea recta.
• C. Teniendo en cuenta la ecuación de la red (1), deduce el periodo, d, de la red de difracción empleada.
• D. A partir de los datos de la Tabla II, determina las longitudes de onda visibles del espectro del Na.
• E. Haz una estimación de la incertidumbre (margen de error) de estas longitudes de onda. f) Una de las medidas presentadas en la Tabla II es cláramente errónea. ¿Cuál de ellas? Piensa cuál puede ser la causa de este error e intenta remediarlo. Color $\theta 1$ (o) Verde/ azul 17,51 Verde 18,14 Amarillo 20,84 Amarillo 20,87 Rojo 21,82 Azul 34,36 OAF 2007 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Solución

a, b) La gráfica pedida se muestra a continuación, junto con su ajuste a una línea recta. La recta debe pasar por el origen, puesto que la ecuación de la red (1) prevé una proporcionalidad directa entre $\lambda$ y sen $\theta$.

El ajuste que se presenta ha sido realizado con Excel, aplicando la herramienta “agregar línea de tendencia” a los puntos experimentales, con la opción de que la recta pase por el origen (“señalar intersección = 0”). Los cálculos que realiza esta herramienta corresponden al método clásico de ajuste a una línea recta por “mínimos cuadrados”. Este tipo de ajuste también puede realizarse fácilmente con muchas calculadoras científicas, que tienen preprogramados estos cálculos con el nombre de “regresión lineal” o similar. Este ajuste también puede realizarse con buena precisión sobre la gráfica dibujada a mano en papel milimetrado. Para ello, debe trazarse “a ojo” la recta que mejor pasa por los puntos experimentales y tomar dos puntos alejados sobre esta recta. Si las coordenadas de estos dos puntos son (x1, y1) y (x2, y2), la pendiente de la recta es ( ) ( ) 1 2 1 2 / x x y y $-$ $-$ .

c) Teniendo en cuenta la ecuación de la red (1), la pendiente de la recta ajustada es el periodo de la red, es decir

nm 4, 1655

d

Se da este resultado con cinco cifras significativas, ya que los datos del problema están dados con cuatro cifras significativas y es de esperar que el ajuste a una línea recta de nueve puntos experimentales mejore apreciablemente la precisión. Como los puntos experimentales tienen una incertidumbre muy pequeña (datos con cuatro cifras significativas) y están muy bien alineados, no es posible en este problema hacer una estimación de la incertidumbre de la pendiente trazando las rectas que, con pendientes máxima y mínima, se ajustan razonablemente a los puntos experimentales4.

4 Un cálculo estadístico que no detallaremos aquí, por no ser exigible a estudiantes de Bachillerato, conduce a que el error típico de la pendiente es de 0,4 nm, lo que confirma el número de cifras significativas con que debe expresarse el valor de d. y = 1655,377x 400 450 500 550 600 650 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 sen $\theta$ $\lambda$ (nm) OAF 2007 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Método alternativo5 para obtener d: Teniendo en cuenta la ecuación (1), el periodo de la red puede obtenerse, para cada longitud de onda, en la forma

1 $sen\theta$ $\lambda$

d

Los valores obtenidos en cada caso se recogen en la última fila de la siguiente tabla

$\lambda$ (nm) 404,6 435,8 467,8 480,0 508,5 546,0 576,9 579,0 643,8 $\theta 1$ (o) 14,14 15,26 16,40

prisma di diffrazione con raggi spettrali

reticolo di diffrazione con angoli

ordini di diffrazione monocromatica

ordini di diffrazione bicromatica

grafico lambda vs sen theta con regressione

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Diffraction Grating, Prism, Slit, Lens Fonte: Testo (PDF) — p.6

P3 Spettroscopia con rete di diffrazione.

1. Fondamento teorico Come saprai, ogni specie atomica può assorbire e emettere luce di una serie di lunghezze d’onda (spettri atomici di assorbimento e emissione), correlate alle transizioni degli atomi tra i vari livelli energetici. Gli strumenti per l’osservazione e la misura di questi spettri si chiamano spettroscopi, uno dei cui componenti essenziali è l’elemento dispersore. Quando su di esso incide un fascio luminoso policromatico (di diverse lunghezze d’onda), lo divide in diversi fasci monocromatici, uno per ogni lunghezza d’onda, che si propagano in direzioni diverse. Per questo scopo può essere utilizzato un prisma di vetro, come schematizzato nella figura 1, ma in questo problema si utilizzerà come elemento dispersore una rete di diffrazione. In sostanza, una rete di diffrazione può essere descritta come un gran numero di fenditure molto strette, parallele ed equidistanti. La luce incidente si diffonde in tutte le direzioni da ciascuna fenditura, e i fasci diffusi in una certa direzione da tutte le fenditure si interferiscono tra loro. Di conseguenza, la luce viene trasmessa dalla rete in una serie di direzioni molto ben definite (chiamate ordini di diffrazione) per ogni lunghezza d’onda, corrispondenti alle direzioni di interferenza costruttiva. L’equazione che collega la lunghezza d’onda della luce incidente con gli angoli di deviazione nei vari ordini di diffrazione è molto semplice da ricavare: nella figura 2 sono rappresentate due fenditure adiacenti separate da una distanza d (nota come periodo della grata) su cui incide luce monocromatica di lunghezza d’onda $\lambda$. I raggi diffratti a un angolo $\theta$ rispetto alla direzione di incidenza interferiranno costruttivamente quando la differenza dei cammini ottici tra i due raggi sia un multiplo intero di $\lambda$. Questo ragionamento si estende a tutte le fenditure.

$\lambda$ m

$\Delta$

con … ,2 ,1 ,0 $\pm$ $\pm$ = m

Dalla geometria della figura 2 si ricava

$\theta$ sen d

$\Delta$

Pertanto, l’equazione della grata diventa (vedi figura 3)

$\lambda$ $\theta$ m d m = sen

(1) Se la luce incidente è policromatica, la grata di diffrazione separa le diverse componenti spettrali, in ciascun ordine di diffrazione (eccetto lo 0), come schematicamente illustrato nella figura 4.

2 Nello $\infty$ o nel piano focale di una lente convergente (ad esempio nella retina del nostro occhio). 3 Questa equazione non dipende dal numero totale di fenditure della grata. È importante che tale numero sia molto elevato per migliorare la potenza risolutiva della grata, ovvero perché la diffrazione di ciascuna $\lambda$ si verifichi entro un angolo molto ristretto. In tal modo è possibile osservare separate (risolte) lunghezze d’onda vicine e determinarne con grande precisione il valore di ciascuna $\lambda$. La potenza risolutiva di una grata di diffrazione è solitamente molto superiore a quella di un prisma. $\lambda 1$ + $\lambda 2+\lambda 3$ $\lambda 1$ $\lambda 2$ $\lambda 3$ Fig. 1 $\lambda$ m = 0 m = 1 m = 2 m = -2 m = -1 $\theta 1$ $\theta 2$ $\theta -1$ $\theta -2$ Fig. 3 Grata di diffrazione $\lambda 1+\lambda 2$ m = 0 m = 1 m = 2 m = -2 m = -1 Fig. 4 Grata di diffrazione $\lambda 1+\lambda 2$ $\lambda 1$ $\lambda 2$ $\lambda 1\lambda 2$ $\lambda 2$ $\lambda 1$ $\lambda 2$ $\lambda 1$ $\theta$ $\Delta$ d $\lambda$ Fig. 2 OAF 2007 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA SOCIETÀ SPAGNOLA DI FISICA

2. Dati sperimentali. Immagina di disporre di uno spettrometro a reticolo con cui vuoi determinare sperimentalmente le lunghezze d’onda dello spettro del Na. Non conosci il periodo d della griglia di diffrazione, pertanto, per determinare questo parametro e avere lo spettrometro calibrato, è necessario effettuare delle misure preliminari con luce di spettro noto.

2.1) Calibrazione dello spettrometro a reticolo. Si dispone di una lampada spettrale di Hg – Cd, che emette a lunghezze d’onda visibili note. Si misurano con lo spettrometro a reticolo gli angoli di deviazione nel primo ordine di diffrazione (m = 1) per queste lunghezze d’onda, ottenendo i risultati riportati nella Tabella I.

2.2) Spettro del Na. Successivamente si misurano le deviazioni angolari, anch’esse nel primo ordine di diffrazione, delle linee visibili di una lampada spettrale di Na, ottenendo i risultati della Tabella II.

Tabella I. Lampada di Hg – Cd

Tabella II. Lampada di Na

Colore	Elemento	$\lambda$ (nm)	$\theta 1$ (°)
Violetto	Hg	404,6	14,14
Blu/violetto	Hg	435,8	15,26
Blu	Cd	467,8	16,40
Blu	Cd	480,0	16,86
Verde	Cd	508,5	17,90
Giallo/verde	Hg	546,0	19,24
Giallo	Hg	576,9	20,39
Giallo	Hg	579,0	20,49
Rosso	Cd	643,8	22,90

3. Compiti e domande.

• A. Rappresenta graficamente sul cartone millimetrato i punti sperimentali (x, y) = $(sen\theta 1$, $\lambda$ della Tabella I.
• B. Effettua un adattamento lineare di questi punti sperimentali a una retta.
• C. Tenendo conto dell’equazione della rete (1), deduci il periodo, d, della rete di diffrazione utilizzata.
• D. A partire dai dati della Tabella II, determina le lunghezze d’onda visibili dello spettro del Na.
• E. Fai una stima dell’incertezza (margine di errore) di queste lunghezze d’onda. f) Una delle misure riportate nella Tabella II è chiaramente errata. Quale? Rifletti su quale potrebbe essere la causa di questo errore e cerca di correggerlo.

Colore $\theta 1$ (o) Verde/azzurro 17,51 Verde 18,14 Giallo 20,84 Giallo 20,87 Rosso 21,82 Azzurro 34,36

OAF 2007 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA SOCIETÀ SPAGNOLA DI FISICA

Soluzione

a, b) La grafica richiesta è mostrata di seguito, insieme al suo adattamento a una retta. La retta deve passare per l’origine, poiché l’equazione della rete (1) prevede una proporzionalità diretta tra $\lambda$ e sen $\theta$.

L’adattamento presentato è stato effettuato con Excel, applicando lo strumento “aggiungi linea di tendenza” ai punti sperimentali, con l’opzione che la retta passi per l’origine (“intercetta = 0”). I calcoli effettuati da questo strumento corrispondono al metodo classico di adattamento a una retta mediante “minimi quadrati”. Questo tipo di adattamento può anche essere eseguito facilmente con molte calcolatrici scientifiche, che dispongono già preprogrammati questi calcoli con il nome di “regressione lineare” o simili.

Questo adattamento può anche essere effettuato con buona precisione su un grafico disegnato a mano su carta millimetrata. A tale scopo, deve essere tracciata “a occhio” la retta che meglio passa per i punti sperimentali e devono essere scelti due punti distanti su tale retta. Se le coordinate di questi due punti sono (x1, y1) e (x2, y2), la pendenza della retta è ( ) ( ) 1 2 1 2 / x x y y $-$ $-$ .

c) Tenendo conto dell’equazione della rete (1), la pendenza della retta adattata è il periodo della rete, cioè

nm 4, 1655 = d

Se da questo risultato con cinque cifre significative, poiché i dati del problema sono forniti con quattro cifre significative e ci si aspetta che il fitting a una retta di nove punti sperimentali migliori notevolmente la precisione.

Poiché i punti sperimentali presentano un’incertezza molto piccola (dati con quattro cifre significative) e sono ben allineati, in questo problema non è possibile stimare l’incertezza della pendenza tracciando le rette con pendenza massima e minima che si adattano ragionevolmente ai punti sperimentali4.

4 Un calcolo statistico, che non dettaglieremo qui perché non è richiesto agli studenti del liceo, porta a un errore tipo della pendenza di 0,4 nm, il che conferma il numero di cifre significative con cui deve essere espresso il valore di d.

y = 1655,377x 400 450 500 550 600 650 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 sen $\theta$ $\lambda$ (nm) OAF 2007 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Metodo alternativo5 per ottenere d: Tenendo conto dell’equazione (1), il periodo della rete può essere ottenuto, per ogni lunghezza d’onda, nella forma

1 $sen\theta$ $\lambda$ = d

I valori ottenuti in ogni caso sono riportati nell’ultima riga della seguente tabella

$\lambda$ (nm) 404,6 435,8 467,8 480,0 508,5 546,0 576,9 579,0 643,8 $\theta 1$ (o) 14,14 15,26 16,40

prisma di diffrazione con raggi spettrali

reticolo di diffrazione con angoli

ordini di diffrazione monocromatica

ordini di diffrazione bicromatica

grafico lambda vs sen theta con regressione

P3 Spectroscopy with diffraction network.

1. Theoretical basis As you know, each atomic species can absorb and emit light of a series of wavelengths (atomic spectra). The energy levels of the atoms are the same as those of the atoms. The instruments for observing and measuring these spectra are They are known as spectroscopes, one of the essential components of which is the the dispersant element. When a polychromatic beam of light hits him (of various wavelengths), divides it into several monochrome beams, One for each wavelength, traveling in different directions. For this purpose a glass prism can be used, as is the case with the This is the problem that I’m going to use as a The dispersant element is a diffraction net. In essence, a diffraction network can be described as a large number of very narrow, parallel and They’re spatially spaced. The incident light diffracts in all directions in each slit, and the beams diffracted in a certain direction All the gaps interfere with each other. As a result, the light is transmitted through the network in a series of directions very well. defined (called diffraction orders) for each wavelength, corresponding to the direction of interference It’s constructive. The equation relating the wavelength of incident light to the angles of deviation in the various orders The difference between the two is very easy to deduce: Figure 2 shows two adjacent slits separated by a distance d (known as the network period) on which monochrome light of longitud de onda $\lambda$. Beams diffracted at an angle $\theta$ with respect to the direction of The effect of the effect on the optical pathways is to interfere constructively2 when the difference in optical pathways is between them is an integer multiple of $\lambda$. This reasoning is applicable to all

• I’m not going to.

$\lambda$ m

$\Delta$

with … ,2 ,1 ,0 $\pm$ $\pm$

m

From the geometry of Figure 2 it is deduced

$\theta$ Other d

$\Delta$

The network equation is therefore remaining3 (see Figure 3)

$\lambda$ $\theta$ m d m = Other

(1) If the incident light is polychromatic, the diffraction network separates the various spectral components within each order of diffraction (except 0), as outlined in Figure 4.

2 In the $\infty$ or focal plane of a convergent lens (e.g. in the retina of our eye). 3 This equation does not depend on the total number of gaps in the network. It is interesting that this figure is very high to improve the resolution power of The net, that is, so that the diffraction of each $\lambda$ occurs within a very narrow angular margin. This is how you can see separate (resolved) nearby wavelengths and determine with great precision the value of each $\lambda$. The resolution power of a network of The diffraction is usually much higher than a prism. $\lambda 1$ + $\lambda 2+\lambda 3$ $\lambda 1$ $\lambda 2$ $\lambda 3$ Fig. 1 $\lambda$ m = 0 m = 1 m = 2 m = -2 m = -1 $\theta 1$ $\theta 2$ $\theta -1$ $\theta -2$ Fig. 3 Network of diffraction $\lambda 1+\lambda 2$ m = 0 m = 1 m = 2 m = -2 m = -1 Fig. 4 Network of diffraction $\lambda 1+\lambda 2$ $\lambda 1$ $\lambda 2$ $\lambda 1\lambda 2$ $\lambda 2$ $\lambda 1$ $\lambda 2$ $\lambda 1$ $\theta$ $\Delta$ d $\lambda$ Fig. 2 2007 Proofs of the ZARAGOZA University District The Spanish Royal Physical Society

2. Experimental data. Imagine that you have a network spectroscope with which you want to experimentally determine the lengths of the The spectrum of the Na. You don’t know the period d of the diffraction network, so to determine this parameter and have The spectrometer shall be calibrated and the measurements shall be made in advance with known spectral light. 2.1) Calibrated from the network spectroscope. It has a spectral lamp of Hg Cd, which emits at known visible wavelengths. They are measured with The network spectroscope the first order diffraction deviation angles (m = 1) of these lengths of The results are presented in Table I. 2.2) Specter of the Na. The angular deviations, also in first order of diffraction, of the visible lines of the a spectral lamp of Na, obtaining the results of Table II.

Table I. Lamp of Hg - Cd

The following table is inserted: Lamp of Na Color The following elements $\lambda$ (nm) $\theta 1$ (o) Purple Hg 404,6 14,14 Blue/violet Hg 435,8 15,26 Blue Cd 467,8 16,40 Blue Cd 480,0 16,86 Green Cd 508,5 17,90 Yellow/green Hg 546,0 19,24 Yellow Hg 576,9 20,39 Yellow Hg 579,0 20,49 Red Cd 643,8 22,90

3. Tasks and questions.

• A. Graphically represents on millimeter paper the experimental points (x, y) = $(sen\theta 1$, $\lambda$) of Table I.
• B. Adjust these experimental points to a straight line.
• C. Taking into account the network equation (1), deduct the period, d, of the diffraction network used.
• D. From the data in Table II, determine the visible wavelengths of the Na spectrum.
• E. Estimate the uncertainty (margin of error) of these wavelengths. (f) One of the measures set out in Table II is clearly erroneous. Which one? Think about what may be the cause of This mistake and try to fix it. Color $\theta 1$ (o) Green/blue 17,51 Green 18,14 Yellow 20,84 Yellow 20,87 Red 21,82 Blue 34,36 2007 Proofs of the ZARAGOZA University District The Spanish Royal Physical Society

Solution

(a) The ordered graph is shown below, together with its alignment to a straight line. The straight line must go through the source, Since the network equation (1) provides for a direct proportionality between $\lambda$ and $\theta$.

The presenting adjustment has been done with Excel, applying the “add trendline” tool to the points The test results shall be presented in the form of a test report. The calculations made by this The tool corresponds to the classical method of adjusting to a straight line by “minimum squares”. This kind of adjustment It can also be easily done with many scientific calculators, which have these calculations preprogrammed with the name of ‘linear regression’ or similar. This adjustment can also be made with good precision on hand-drawn paper graphics. For that, The best route through the experimental points should be drawn “in the eye” and two points taken away from this line. Si The coordinates of these two points are (x1, y1) and (x2, y2), the slope of the straight line is ( ) ( ) 1 2 1 2 / x x y y $-$ $-$ .

(c) Taking into account the network equation (1), the slope of the adjusted straight line is the period of the network, i.e.

nm 4, 1655

d

This result is given with five significant figures, since the problem data is given with four figures The results of the study are therefore not as good as the results of the study. The exactness. As experimental points have very little uncertainty (data with four significant figures) and are very Well aligned, it is not possible in this problem to make an estimate of the slope uncertainty by plotting the straight lines The test results shall be presented in accordance with the following criteria:

4 A statistical calculation which we will not detail here, because it is not required of undergraduate students, leads to the typical error of the slope is 0,4 nm, confirming the number of significant figures with which the value of d must be expressed. y = 1655,377x 400 450 500 550 600 650 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 sen $\theta$ $\lambda$ (nm) 2007 Proofs of the ZARAGOZA University District The Spanish Royal Physical Society

Alternative method5 for obtaining d: Taking into account equation (1), the period of the network can be obtained, for each wavelength, in the form

1 $sen\theta$ $\lambda$

d

The values obtained in each case are collected in the last row of the following table

$\lambda$ (nm) 404,6 435,8 467,8 480,0 508,5 546,0 576,9 579,0 643,8 $\theta 1$ (o) 14,14 15,26 16,40

prisma di diffrazione con raggi spettrali

reticolo di diffrazione con angoli

ordini di diffrazione monocromatica

ordini di diffrazione bicromatica

grafico lambda vs sen theta con regressione

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Diffraction Grating, Prism, Slit, Lens Fonte: Testo (PDF) — p.6