Spagna 2008

1. Fundamento teórico La masa de un electrón es muy pequeña, me ~ 10-30 kg, por lo que es imposible medirla con una balanza convencional. Para determinarla experimentalmente puede recurrirse a la vieja y conocida segunda ley de Newton: si se hace actuar una fuerza F conocida sobre una partícula y se mide la aceleración con que se mueve, a, la masa de la partícula puede deducirse como

a F m =

En el caso del electrón, si se supone conocida su carga C 10 6 1 19 $-$ $\cdot$ $-$

$-$

, e q e , un posible método para determinar su masa me es observar la trayectoria que describe cuando penetra con velocidad vr en una región del espacio donde existe un campo magnético B r . Como bien sabrás, la fuerza que actúa sobre el electrón (fuerza de Lorentz) es

B v e F r r r $\times$ $-$

Esta fuerza es perpendicular a vr , de forma que la aceleración que produce es puramente centrípeta, es decir cambia la dirección de vr pero no su módulo v. En particular, si vr y B r son perpendiculares y B r es uniforme, la trayectoria del electrón es circular (figura 1) y se cumple

v R B e R v B v e a F m e

=

/ 2

(1) donde R es el radio de la trayectoria. Para acelerar el electrón hasta la velocidad v puede emplearse el campo eléctrico producido por dos electrodos entre los que se establece una diferencia de potencial V (cañón de electrones). Supuesto que los electrones parten del reposo, su velocidad final v puede determinarse planteando la conservación de la energía mecánica.

2 1 2 2 2 1 / ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

$\to$

e e m eV v v m V e

(2) Sustituyendo (2) en (1) y despejando me se obtiene

V R B e m e 2 2 2

(3) Para producir un campo magnético uniforme pueden emplearse un par de bobinas en montaje de Helmholtz1, que crean un campo proporcional a la corriente I que circula por ellas. Llamando k a la constante de proporcionalidad

I k B =

(4) En total, (3) puede escribirse

2 2 2 2 R V I k e m e =

(5) En resumen, para determinar me es necesario conocer la constante k de las bobinas y medir el radio R de la trayectoria de los electrones para valores conocidos de I y V. En la fotografía de la figura 2 se muestra un montaje real para realizar este experimento2. Se observan dos fuentes de alimentación, para el cañón de electrones y para las bobinas, que permiten regular y medir V e I respectivamente. El cañón de electrones se encuentra en el interior de un bulbo esférico de vidrio con gas Ar a baja presión en su interior. Los electrones excitan por colisiones los átomos de Ar que encuentran a su paso, y éstos se desexcitan emitiendo fotones de luz visible, de forma que se visualiza la trayectoria circular de los electrones y se puede medir su radio con una simple regla.

1 Se demuestra que dos espiras circulares situadas en planos paralelos, por las que circula la misma corriente y separadas una distancia igual a su radio (montaje de Helmholtz), producen un campo magnético aproximadamente uniforme en un volumen relativamente amplio en torno al centro geométrico del sistema. 2 Esta práctica se realiza en la asignatura “Laboratorio de Física” de primer curso de Físicas en la Universidad de Zaragoza.

vr R B r Fig. 1 OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Topic: Electromagnetism, Newtonian Mechanics, Electrostatics Metodi: Lorentz Force Analysis, Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron, Coil, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2

1. Fondamento teorico La massa di un elettrone è molto piccola, me ~ 10-30 kg, quindi è impossibile misurarla con una bilancia

• Conventionale. Per determinarla sperimentalmente si può ricorrere all’antica e nota seconda legge di Newton: fa agire una forza F nota su una particella e si misura l’accelerazione con cui si muove, a, la massa della particella si può dedurre come

a F m =

Nel caso dell’elettrone, se il suo carico è presunto conosciuto C 10 6 1 19 $-$ $\cdot$ $-$

$-$

, e q e , un possibile metodo per Per determinare la sua massa, si deve osservare la traccia che descrive quando penetra a velocità vr in una regione dello spazio. dove esiste un campo magnetico B r . Come ben sapete, la forza che agisce sull’elettrone (forza di Lorentz) è

B v e F r r r $\times$ $-$

Questa forza è perpendicolare a vr , quindi l’ accelerazione che produce è puramente Centripetto, cioè cambia la direzione di vr ma non il modulo v. In particolare, se vr e B r Sono perpendicolari e B r è uniforme, il percorso dell’elettrone è circolare (Figura 1) e si

v R B e R v B v e a F m e

=

/ 2

(1) dove R è il raggio di percorso. Per accelerare l’elettrone fino alla velocità v si può usare il campo elettrico prodotto da due elettrodi tra che stabiliscono una differenza di potenziale V (canone di elettroni). Se gli elettroni partono dal riposo, il loro La velocità finale v può essere determinata considerando la conservazione dell’energia meccanica.

2 1 2 2 2 1 / ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

$\to$

e e m eV v v m V e

(2) Sostituendo (2) in (1) e eliminando mi si ottiene

V R B e m e 2 2 2

(3) Per produrre un campo magnetico uniforme possono essere impiegati un paio di bobine di montaggio di Helmholtz1, che creano un campo proporzionale al corrente I che circola attraverso di loro. Chiamando k alla costante di proporzionalità

I k B =

(4) In totale, (3) può essere scritto

2 2 2 2 R V I k e m e =

(5) In breve, per determinare i è necessario conoscere la costante k delle bobine e misurare il raggio R della la traccia degli elettroni per i valori noti di I e V. La fotografia di cui alla figura 2 mostra un montaggio reale per eseguire questo esperimento2. Si osservano due fonti di alimentazione, per il cannone di elettroni e per le bobine, che consentono di regolare e misurare rispettivamente V e I. Il cannone La luce di un’energia elettronica si trova all’interno di un bulbo di vetro sfero con gas aria a bassa pressione all’interno. I Gli elettroni eccitano per colpi gli atomi di aria che trovano il loro passo, e questi si desaccettano emettendo fotoni di luce La radius di un’elettrona è visibile, in modo da visualizzare la traiettoria circolare degli elettroni e poterne misurare il raggio con una semplice regola.

1 Si dimostra che due spirale circolari situate in piani paralleli, per le quali circola la stessa corrente e separate da una distanza L’aumento di una massa di energia di cui al punto 1.5.1 è pari al loro raggio (montaggio di Helmholtz), producono un campo magnetico approssimativamente uniforme in un volume relativamente elevato. La dimensione di questo sistema è ampia intorno al centro geometrico del sistema. 2 Questa pratica è effettuata nel corso di prima classe di fisica “Laboratorio di fisica” presso l’Università di Saragozza.

vr R B r Fig. 1 OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica

Topic: Electromagnetism, Newtonian Mechanics, Electrostatics Metodi: Lorentz Force Analysis, Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron, Coil, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2

1. Theoretical background The mass of an electron is very small, me ~ 10⁻³⁰ kg, so it is impossible to measure it with a conventional balance. To determine it experimentally, one may resort to the well-known second law of Newton: if a known force F is applied to a particle and its acceleration a is measured, the mass of the particle can be deduced as

a F m =

In the case of the electron, if its charge is assumed known as

C 10 6 1 19 $-$ $\cdot$ $-$

$-$

, e q e , a possible method to determine its mass me is to observe the trajectory it describes when it enters with velocity vr into a region of space where there exists a magnetic field B r. As you know, the force acting on the electron (Lorentz force) is

B v e F r r r $\times$ $-$

This force is perpendicular to vr, so the acceleration it produces is purely centripetal, meaning it changes the direction of vr but not its magnitude v. In particular, if vr and B r are perpendicular and B r is uniform, the electron’s trajectory is circular (Figure 1), and the following holds

v R B e R v B v e a F m e

=

/ 2

(1) where R is the radius of the trajectory.

To accelerate the electron up to velocity v, an electric field produced by two electrodes between which a potential difference V is established may be used (electron gun). Assuming the electrons start from rest, their final velocity v can be determined by applying conservation of mechanical energy.

2 1 2 2 2 1 / ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = $\to$ = e e m eV v v m V e

(2) Substituting (2) into (1) and solving for me yields

V R B e m e 2 2 2

(3) To produce a uniform magnetic field, a pair of coils arranged in Helmholtz configuration1 can be used, which generate a magnetic field proportional to the current I flowing through them. Denoting k as the proportionality constant

I k B =

(4) In total, equation (3) can be rewritten as

2 2 2 2 R V I k e m e =

(5) In summary, to determine me it is necessary to know the coil constant k and measure the electron trajectory radius R for known values of I and V. In the photograph in Figure 2, a real setup for performing this experiment is shown2. Two power supplies are visible: one for the electron gun and another for the coils, allowing independent adjustment and measurement of V and I respectively. The electron gun is located inside a spherical glass bulb filled with low-pressure argon gas (Ar). Electrons excite Ar atoms via collisions along their path, and these atoms de-excite by emitting visible photons, thus making the circular electron trajectory visible. The radius of this path can then be measured using a simple ruler.

1 It is demonstrated that two circular loops positioned in parallel planes, through which the same current flows and separated by a distance equal to their radius (Helmholtz configuration), produce a magnetic field approximately uniform over a relatively large volume around the geometric center of the system. 2 This experiment is carried out in the “Physics Laboratory” course, first year of Physics at the University of Zaragoza.

vr R B r Fig. 1

OAF 2008 DISTRICT UNIVERSITY COMPETITION OF ZARAGOZA SPANISH PHYSICAL SOCIETY

2. Datos experimentales. Para calibrar las bobinas, es decir para determinar su constante k, se mide con un teslámetro el campo magnético B que crean en su centro en función de la intensidad I con que se alimentan. En la tabla I se presentan estas medidas.

Tabla I. Calibrado de las bobinas. I (A) 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 B (mT) 0,14 0,34 0,47 0,58 0,76 0,95 1,12 1,19 1,43 1,49

El cañón de electrones opera con una tensión aceleradora constante V = 150 V. Para diversos valores de la corriente I que circula por las bobinas se mide el radio R de la trayectoria de los electrones. Los resultados se presentan en la tabla II.

Tabla II. Radios de curvatura en función de I. I (A) 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 R (cm) 9,1 7,5 6,6 6,0 5,3 4,8

Topic: Electromagnetism, Magnetism Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Coil, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3

2. Dati sperimentali. Per calibrare le bobine, cioè per determinare la costante k, si misura con un teslametro il campo magnetico B che creano al centro di loro in base all’intensità I con cui si alimentano. Le misure sono riportate in tabella I.

Tabella I. Calibrato dalle bobine. I (A) 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 B (mT) 0,14 0,34 0,47 0,58 0,76 0,95 1,12 1,19 1,43 1,49

Il cannone di elettroni opera con una tensione di accelerazione costante V = 150 V. Per vari valori del corrente I che circola attraverso le bobine misurano il raggio R del percorso degli elettroni. I risultati sono riportati nella tabella II.

Tabella II. Radi di curvatura a funzione di I. I (A) 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 R (cm) 9,1 7,5 6,6 6,0 5,3 4,8

Topic: Electromagnetism, Magnetism Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Coil, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3

2. Experimental data. To calibrate the coils, i.e. to determine their constant k, the magnetic field B is measured with a theslameter They’re creating their own center based on the intensity I they feed on. These measures are set out in Table I.

Table I. Coil calibration. I (A) 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 B (mT) 0,14 0,34 0,47 0,58 0,76 0,95 1,12 1,19 1,43 1,49

The electron cannon operates at a constant accelerating voltage V = 150 V. For various current values I circulating through the coils is measured by the radius R of the electron trajectory. The results are presented in Table II.

The following table is inserted: Radius of curvature according to I. I (A) 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 R (cm) 9,1 7,5 6,6 6,0 5,3 4,8

Topic: Electromagnetism, Magnetism Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Coil, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3

3. Tareas y preguntas.

• A. Representa gráficamente en el papel milimetrado los puntos experimentales (x, y) = (I, B) de la tabla I.
• B. Ajusta estos puntos experimentales a una línea recta.
• C. Determina el valor de la constante de calibración de las bobinas, k.
• D. Haz una estimación de la incertidumbre (margen de error) de k.
• E. Determina la masa de un electrón, me. f) En este experimento se realizan medidas directas y determinaciones indirectas de diversas variables. La incertidumbre de cada una de ellas influye en el margen de error de la masa del electrón. Suponiendo que la principal fuente de error es la determinación de la constante k de las bobinas, haz una estimación de la incertidumbre de me. Fig. 2 Cañón de electrones Traza de los electrones Bobinas Fuentes de alimentación OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Problema experimental. Pesando un electrón

Solución

• A. En la figura 3 se presenta la gráfica pedida, con un aspecto similar al que tendría dibujada en papel milimetrado.
• B. En la misma gráfica se ha trazado con una regla la recta que mejor se ajusta a los puntos experimentales. Esta recta, de acuerdo con lo previsto en (4), pasa por el origen. Por tanto, para determinar su pendiente basta con tomar un punto de la recta alejado del origen. Por ejemplo, para I = 2 A el campo indicado por la recta es B = 1,54 mT, de forma que la pendiente es1

T/A 10 7 7 A 2,0 mT 54 1 4 $-$ $\cdot$

= , , p

c) Según (4), la constante de calibración de las bobinas, k, coincide con la pendiente de la recta anterior, es decir

T/A 10 7 7 4 $-$ $\cdot$

, k

d) Puede hacerse una estimación de la incertidumbre de k trazando las rectas que, con pendientes máxima y mínima, se ajustan razonablemente a los puntos experimentales. A la hora de trazar estas dos rectas sería conveniente tener en cuenta la incertidumbre de los propios puntos experimentales (barras de error). Como no se da ningún dato en el enunciado sobre estas incertidumbres, puede recurrirse a observar la dispersión de los datos experimentales respecto a la mejor recta para decidir las de máxima y mínima pendiente.

En la figura 4 se presenta una estimación gráfica de estas rectas, con pendientes

T/A 10 9 7 A 2,0 mT 58 1 4 $-$ $\cdot$

= , , max k , T/A 10 5 7 A 2,0 mT 50 1 4 $-$ $\cdot$

= , , min k

Por tanto, una estimación razonable de la incertidumbrede k sería2

2 min max k k k $-$

$\Delta$

$\to$ T/A 10 2 0 4 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , k

1 Un cálculo analítico empleando el método de mínimos cuadrados conduce a una pendiente p = $7,686\cdot 10-4$ T/A. 2 Cálculos estadísticos que no detallamos aquí conducen a que el error típico de k es $0,09\cdot 10-4$ T/A, y a que su incertidumbre es de $0,20\cdot 10-4$ T/A, con un nivel de confianza del 95%. Fig. 3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 B (mT) I (A) OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA e) Conocidas la constante de calibración de las bobinas, k, y la tensión aceleradora del cañón de electrones, V = 150 V, basta aplicar (5) para calcular me con cada pareja de valores (I, R) de la tabla II. Se obtienen los siguientes seis valores:

me (10-31 kg) 9,43 8,72 8,82 9,22 8,88 8,82

Obviamente, el mejor valor final para la masa del electrón es el promedio de los seis anteriores:

kg 10 98 8 31 $-$ $\cdot$ = , e m

No tiene sentido dar este resultado con más de tres cifras significativas, pues casi todos los datos de la tabla II tienen dos cifras significativa y el número de medidas no es suficientemente elevado como para mejorar mucho esta precisión. f) Operando en (5) con los valores máximo y mínimo estimados para k se obtienen los correspondientes valores máximo y mínimo de me

kg 10 45 9 31 $-$ $\cdot$

, max m , kg 10 52 8 31 $-$ $\cdot$

, min m

Por tanto, la incertidumbre transmitida a me es

kg 10 5 0 31 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , e m

Nótese que se ha redondeado esta incertidumbre a una única cifra significativa, puesto que se trata de una estimación.

Esta incertidumbre puede calcularse de una forma matemáticamente más elegante, aunque no más exacta. La dependecia (5) de me con k es cuadrática, luego su incertidumbre relativa se propaga duplicada, como puede comprobarse inmediatamente tomando incrementos en (5)

2 k m e $\alpha$

$\to$ k k m e $\Delta$

$\Delta$ $\alpha$ 2 $\to$ 052 0 2 ,

$\Delta$

$\Delta$ k k m m e e $\to$ kg 10 5 0 31 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , e m

Con esta incertidumbre no tiene sentido dar me con más de dos cifras significativas, por lo que el resultado de la “pesada” sería

( ) kg 10 5 0 0 9 31 $-$ $\cdot$ $\pm$

, , e m

Fig. 4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 B (mT) I (A)

Topic: Electromagnetism, Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Graph Linearization, Error Propagation, Statistical Averaging Competenze: Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Objects: Coil, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3

3. Compiti e domande.

• A. Rappresenta graficamente, su carta millimetrata, i punti sperimentali (x, y) = (I, B) della Tabella I.
• B. Effettua il fit dei punti sperimentali con una retta.
• C. Determina il valore della costante di taratura delle bobine, k.
• D. Fai una stima dell’incertezza (errore massimo) di k.
• E. Determina la massa di un elettrone, me. f) In questo esperimento vengono effettuate misure dirette e determinazioni indirette di diverse variabili. L’incertezza di ciascuna influenza il margine d’errore della massa dell’elettrone. Supponendo che la principale fonte di errore sia la determinazione della costante k delle bobine, effettua una stima dell’incertezza di me.

Fig. 2 Cannone elettronico Traccia degli elettroni Bobine Fonti di alimentazione

OAF 2008 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA SOCIETÀ SPAGNOLA DI FISICA

Problema sperimentale. Pesa un elettrone

Soluzione

• A. Nella Figura 3 è riportata la grafica richiesta, con un aspetto simile a quello che avrebbe se disegnata su carta millimetrata.
• B. Nella stessa grafica è stata tracciata con una riga la retta che meglio si adatta ai punti sperimentali. Tale retta, in accordo con quanto previsto in (4), passa per l’origine. Pertanto, per determinare la sua pendenza basta prendere un punto della retta lontano dall’origine. Ad esempio, per I = 2 A il campo indicato dalla retta è B = 1,54 mT, da cui la pendenza risulta essere1

T/A 10 7 7 A 2,0 mT 54 1 4 $-$ $\cdot$

= , , p

c) Secondo (4), la costante di taratura delle bobine, k, coincide con la pendenza della retta precedente, cioè

T/A 10 7 7 4 $-$ $\cdot$

, k

d) È possibile effettuare una stima dell’incertezza di k tracciando le rette che, con pendenze massima e minima, si adattano ragionevolmente ai punti sperimentali. Nella tracciatura di queste due rette sarebbe utile considerare l’incertezza stessa dei punti sperimentali (barre di errore). Poiché nel testo non viene fornito alcun dato riguardante queste incertezze, si può ricorrere all’osservazione della dispersione dei dati sperimentali rispetto alla migliore retta per decidere le pendenze massima e minima.

Nella figura 4 è presentata un’ stima grafica di queste rette, con pendenze

T/A 10 9 7 A 2,0 mT 58 1 4 $-$ $\cdot$

= , , max k , T/A 10 5 7 A 2,0 mT 50 1 4 $-$ $\cdot$

= , , min k

Di conseguenza, una stima ragionevole dell’incertezza di k sarebbe

2 min max k k k $-$

$\Delta$

$\to$ T/A 10 2 0 4 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , k

1 Un calcolo analitico utilizzando il metodo dei minimi quadrati conduce a una pendenza p = $7,686\cdot 10-4$ T/A. 2 Calcoli statistici, che non dettagliamo qui, conducono a un errore tipo di k pari a $0,09\cdot 10-4$ T/A e a un’incertezza di $0,20\cdot 10-4$ T/A, con un livello di confidenza del 95%.

Fig. 3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 B (mT) I (A)

OAF 2008 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA SOCIETÀ REALE SPAGNOLA DI FISICA

e) Note la costante di calibrazione delle bobine, k, e la tensione acceleratrice del cannone degli elettroni, V = 150 V, basta applicare (5) per calcolare me con ciascuna coppia di valori (I, R) della tabella II. Si ottengono i seguenti sei valori:

me (10⁻³¹ kg) 9,43 8,72 8,82 9,22 8,88 8,82

Ovviamente, il miglior valore finale per la massa dell’elettrone è la media dei sei precedenti:

kg 10 98 8 31 $-$ $\cdot$ = , e m

Non ha senso fornire questo risultato con più di tre cifre significative, poiché quasi tutti i dati della tabella II hanno due cifre significative e il numero di misure non è sufficientemente elevato da migliorare notevolmente questa precisione.

f) Operando in (5) con i valori massimo e minimo stimati per k si ottengono i corrispondenti valori massimo e minimo di me

kg 10 45 9 31 $-$ $\cdot$ = , max m , kg 10 52 8 31 $-$ $\cdot$ = , min m

Pertanto, l’incertezza trasmessa a me è

kg 10 5 0 31 $-$ $\cdot$ = $\Delta$ , e m

Si osservi che l’incertezza è stata arrotondata a una sola cifra significativa, poiché si tratta di un’ stima.

Questa incertezza può essere calcolata in modo matematicamente più elegante, anche se non più preciso. La dipendenza (5) di me da k è quadratica, quindi la sua incertezza relativa si propaga raddoppiata, come immediatamente verificabile prendendo incrementi in (5)

2 k m e $\alpha$

$\to$ k k m e $\Delta$

$\Delta$ $\alpha$ 2 $\to$ 052 0 2 ,

$\Delta$

$\Delta$ k k m m e e $\to$ kg 10 5 0 31 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , e m

Con questa incertezza non ha senso esprimere me con più di due cifre significative, quindi il risultato della “misurazione” sarebbe

( ) kg 10 5 0 0 9 31 $-$ $\cdot$ $\pm$

, , e m

Fig. 4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 B (mT) I (A)

3. Tasks and questions.

• A. On millimeter paper, graphically represent the experimental points (x, y) = (I, B) from Table I.
• B. Fit these experimental points to a straight line.
• C. Determine the value of the coil calibration constant, k.
• D. Estimate the uncertainty (error margin) of k.
• E. Determine the mass of an electron, me. f) In this experiment, both direct measurements and indirect determinations are made of various variables. The uncertainty in each affects the error margin of the electron mass. Assuming that the main source of error is the determination of the coil calibration constant k, estimate the uncertainty in me.

Fig. 2 Electron gun Electron trajectory Coils Power supplies OAF 2008 DISTRICT UNIVERSITY COMPETITION OF ZARAGOZA SPANISH PHYSICAL SOCIETY Experimental Problem. Weighing an Electron

Solution

• A. Figure 3 shows the requested graph, with a shape similar to what would be drawn on millimeter paper.
• B. On the same graph, a straight line that best fits the experimental points has been drawn using a ruler. As expected from (4), this line passes through the origin. Therefore, to determine its slope it is sufficient to take a point on the line away from the origin. For example, for I = 2 A, the field indicated by the line is B = 1.54 mT, so the slope is1

T/A 10 7 7 A 2.0 mT 54 1 4 $-$ $\cdot$

= , , p

c) According to (4), the calibration constant of the coils, k, coincides with the slope of the above straight line, that is

T/A 10 7 7 4 $-$ $\cdot$

, k

d) An estimate of the uncertainty of k can be made by drawing the straight lines that, with maximum and minimum slopes, reasonably fit the experimental points. When drawing these two straight lines, it would be advisable to take into account the uncertainty of the experimental points themselves (error bars). Since no data are given in the statement about these uncertainties, one can resort to observing the dispersion of the experimental data with respect to the best straight line in order to decide the maximum and minimum slope ones.

Figure 4 presents a graphical estimate of these straight lines, with slopes

T/A 10 9 7 A 2.0 mT 58 1 4 $-$ $\cdot$

= , , max k , T/A 10 5 7 A 2.0 mT 50 1 4 $-$ $\cdot$

= , , min k

Therefore, a reasonable estimate of the uncertainty of k would be2

2 min max k k k $-$

$\Delta$

$\to$ T/A 10 2 0 4 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , k

1 An analytical calculation using the least squares method yields a slope p = $7,686\cdot 10-4$ T/A. 2 Statistical calculations, not detailed here, lead to a standard error of k equal to $0,09\cdot 10-4$ T/A, and an uncertainty of $0,20\cdot 10-4$ T/A at a 95% confidence level.

Fig. 3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 B (mT) I (A)

OAF 2008 DISTRICT UNIVERSITY TESTS OF ZARAGOZA SPANISH PHYSICAL SOCIETY

e) Given the coil calibration constant k and the electron gun accelerating voltage V = 150 V, it suffices to apply (5) to calculate me for each pair of values (I, R) from Table II. The following six values are obtained:

me (10⁻³¹ kg) 9,43 8,72 8,82 9,22 8,88 8,82

Obviously, the best final value for the electron mass is the average of the six previous values:

kg 10 98 8 31 $-$ $\cdot$ = , e m

It is not meaningful to report this result with more than three significant figures, since almost all data in Table II have two significant figures and the number of measurements is not sufficiently large to significantly improve this precision.

f) By performing calculations in (5) with the maximum and minimum estimated values of k, one obtains the corresponding maximum and minimum values of me

kg 10 45 9 31 $-$ $\cdot$ = , max m , kg 10 52 8 31 $-$ $\cdot$ = , min m

Therefore, the propagated uncertainty in me is

kg 10 5 0 31 $-$ $\cdot$ = $\Delta$ , e m

Note that this uncertainty has been rounded to a single significant figure, since it is an estimate.

This uncertainty may be calculated in a mathematically more elegant way, although not more accurately. The dependence (5) of me on k is quadratic, so its relative uncertainty propagates doubled, as can be immediately verified by taking differentials in (5):

2 k m e $\alpha$

$\to$ k k m e $\Delta$

$\Delta$ $\alpha$ 2 $\to$ 052 0 2 ,

$\Delta$

$\Delta$ k k m m e e $\to$ kg 10 5 0 31 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , e m

Given this uncertainty, it makes no sense to report me with more than two significant figures; thus, the result of the “weighing” would be

( ) kg 10 5 0 0 9 31 $-$ $\cdot$ $\pm$

, , e m

Fig. 4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 B (mT) I (A)