Spagna 2008

1. Fundamento teórico La masa de un electrón es muy pequeña, me ~ 10-30 kg, por lo que es imposible medirla con una balanza convencional. Para determinarla experimentalmente puede recurrirse a la vieja y conocida segunda ley de Newton: si se hace actuar una fuerza F conocida sobre una partícula y se mide la aceleración con que se mueve, a, la masa de la partícula puede deducirse como

a F m =

En el caso del electrón, si se supone conocida su carga C 10 6 1 19 $-$ $\cdot$ $-$

$-$

, e q e , un posible método para determinar su masa me es observar la trayectoria que describe cuando penetra con velocidad vr en una región del espacio donde existe un campo magnético B r . Como bien sabrás, la fuerza que actúa sobre el electrón (fuerza de Lorentz) es

B v e F r r r $\times$ $-$

Esta fuerza es perpendicular a vr , de forma que la aceleración que produce es puramente centrípeta, es decir cambia la dirección de vr pero no su módulo v. En particular, si vr y B r son perpendiculares y B r es uniforme, la trayectoria del electrón es circular (figura 1) y se cumple

v R B e R v B v e a F m e

=

/ 2

(1) donde R es el radio de la trayectoria. Para acelerar el electrón hasta la velocidad v puede emplearse el campo eléctrico producido por dos electrodos entre los que se establece una diferencia de potencial V (cañón de electrones). Supuesto que los electrones parten del reposo, su velocidad final v puede determinarse planteando la conservación de la energía mecánica.

2 1 2 2 2 1 / ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

$\to$

e e m eV v v m V e

(2) Sustituyendo (2) en (1) y despejando me se obtiene

V R B e m e 2 2 2

(3) Para producir un campo magnético uniforme pueden emplearse un par de bobinas en montaje de Helmholtz1, que crean un campo proporcional a la corriente I que circula por ellas. Llamando k a la constante de proporcionalidad

I k B =

(4) En total, (3) puede escribirse

2 2 2 2 R V I k e m e =

(5) En resumen, para determinar me es necesario conocer la constante k de las bobinas y medir el radio R de la trayectoria de los electrones para valores conocidos de I y V. En la fotografía de la figura 2 se muestra un montaje real para realizar este experimento2. Se observan dos fuentes de alimentación, para el cañón de electrones y para las bobinas, que permiten regular y medir V e I respectivamente. El cañón de electrones se encuentra en el interior de un bulbo esférico de vidrio con gas Ar a baja presión en su interior. Los electrones excitan por colisiones los átomos de Ar que encuentran a su paso, y éstos se desexcitan emitiendo fotones de luz visible, de forma que se visualiza la trayectoria circular de los electrones y se puede medir su radio con una simple regla.

1 Se demuestra que dos espiras circulares situadas en planos paralelos, por las que circula la misma corriente y separadas una distancia igual a su radio (montaje de Helmholtz), producen un campo magnético aproximadamente uniforme en un volumen relativamente amplio en torno al centro geométrico del sistema. 2 Esta práctica se realiza en la asignatura “Laboratorio de Física” de primer curso de Físicas en la Universidad de Zaragoza.

vr R B r Fig. 1 OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Topic: Electromagnetism, Newtonian Mechanics, Electrostatics Metodi: Lorentz Force Analysis, Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron, Coil, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2

1. Fondamento teorico La massa di un elettrone è molto piccola, me ~ 10-30 kg, quindi è impossibile misurarla con una bilancia

• Conventionale. Per determinarla sperimentalmente si può ricorrere all’antica e nota seconda legge di Newton: fa agire una forza F nota su una particella e si misura l’accelerazione con cui si muove, a, la massa della particella si può dedurre come

a F m =

Nel caso dell’elettrone, se il suo carico è presunto conosciuto C 10 6 1 19 $-$ $\cdot$ $-$

$-$

, e q e , un possibile metodo per Per determinare la sua massa, si deve osservare la traccia che descrive quando penetra a velocità vr in una regione dello spazio. dove esiste un campo magnetico B r . Come ben sapete, la forza che agisce sull’elettrone (forza di Lorentz) è

B v e F r r r $\times$ $-$

Questa forza è perpendicolare a vr , quindi l’ accelerazione che produce è puramente Centripetto, cioè cambia la direzione di vr ma non il modulo v. In particolare, se vr e B r Sono perpendicolari e B r è uniforme, il percorso dell’elettrone è circolare (Figura 1) e si

v R B e R v B v e a F m e

=

/ 2

(1) dove R è il raggio di percorso. Per accelerare l’elettrone fino alla velocità v si può usare il campo elettrico prodotto da due elettrodi tra che stabiliscono una differenza di potenziale V (canone di elettroni). Se gli elettroni partono dal riposo, il loro La velocità finale v può essere determinata considerando la conservazione dell’energia meccanica.

2 1 2 2 2 1 / ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

$\to$

e e m eV v v m V e

(2) Sostituendo (2) in (1) e eliminando mi si ottiene

V R B e m e 2 2 2

(3) Per produrre un campo magnetico uniforme possono essere impiegati un paio di bobine di montaggio di Helmholtz1, che creano un campo proporzionale al corrente I che circola attraverso di loro. Chiamando k alla costante di proporzionalità

I k B =

(4) In totale, (3) può essere scritto

2 2 2 2 R V I k e m e =

(5) In breve, per determinare i è necessario conoscere la costante k delle bobine e misurare il raggio R della la traccia degli elettroni per i valori noti di I e V. La fotografia di cui alla figura 2 mostra un montaggio reale per eseguire questo esperimento2. Si osservano due fonti di alimentazione, per il cannone di elettroni e per le bobine, che consentono di regolare e misurare rispettivamente V e I. Il cannone La luce di un’energia elettronica si trova all’interno di un bulbo di vetro sfero con gas aria a bassa pressione all’interno. I Gli elettroni eccitano per colpi gli atomi di aria che trovano il loro passo, e questi si desaccettano emettendo fotoni di luce La radius di un’elettrona è visibile, in modo da visualizzare la traiettoria circolare degli elettroni e poterne misurare il raggio con una semplice regola.

1 Si dimostra che due spirale circolari situate in piani paralleli, per le quali circola la stessa corrente e separate da una distanza L’aumento di una massa di energia di cui al punto 1.5.1 è pari al loro raggio (montaggio di Helmholtz), producono un campo magnetico approssimativamente uniforme in un volume relativamente elevato. La dimensione di questo sistema è ampia intorno al centro geometrico del sistema. 2 Questa pratica è effettuata nel corso di prima classe di fisica “Laboratorio di fisica” presso l’Università di Saragozza.

vr R B r Fig. 1 OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica

Topic: Electromagnetism, Newtonian Mechanics, Electrostatics Metodi: Lorentz Force Analysis, Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron, Coil, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2

1. Theoretical basis The mass of an electron is very small, me ~10-30 kg, so it’s impossible to measure it with a scale It’s conventional. To determine this experimentally, we can use Newton’s old and well-known second law: It causes a known force F to act on a particle and measures the acceleration at which the particle mass moves, a. can be deduced as

a F m =

In the case of the electron, if its charge is assumed to be known C 10 6 1 19 $-$ $\cdot$ $-$

$-$

, e q e , a possible method for Determining its mass is to observe the trajectory it describes when it penetrates at velocity vr into a region of space where there is a magnetic field B r . As you know, the force acting on the electron (Lorentz force) is

B v e F r r r $\times$ $-$

This force is perpendicular to vr , so the acceleration it produces is purely centrifuge, that is, change the direction of vr but not its module v. In particular, if vr and B r They are Perpendiculars and B r is uniform, the path of the electron is circular (Figure 1) and is

v R B e R v B v e a F m e

=

/ 2

(1) where R is the radius of the path. To accelerate the electron to velocity v, the electric field produced by two electrodes between the two electrodes may be used. The electron is the electron that is the electron. Suppose the electrons leave the rest, their The final velocity v can be determined by considering the conservation of mechanical energy.

2 1 2 2 2 1 / ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

$\to$

e e m eV v v m V e

(2) Substituting (2) for (1) and clearing me gets

V R B e m e 2 2 2

(3) To produce a uniform magnetic field a pair of Helmholtz mount coils may be used, which They create a field proportional to the current I that is flowing through them. Calling k to the proportionality constant

I k B =

(4) In total, (3) can be written

2 2 2 2 R V I k e m e =

(5) In short, to determine m it is necessary to know the coil constant k and measure the radius R of the coil trajectory of electrons for known values of I and V. The photo in Figure 2 shows a real assembly for this experiment2. Two sources of The power supply for the electron cannon and coils, which allow the V and I to be regulated and measured respectively. The cannon electron is located inside a glass spherical bulb with low pressure gas Air inside. The electrons excite the atoms of air that find their way through collisions, and these are excited by emitting photons of light The electron radius is measured by a simple rule.

1 It is shown that two circular spirals situated in parallel planes, through which the same current circulates and separated by a distance equal to their radius (Helmholtz assembly), produce a magnetic field approximately uniform at a relatively It’s wide around the geometric center of the system. 2 This practice is carried out in the first-year Physics course “Physics Laboratory” at the University of Zaragoza.

vr R B r Fig. 1 The Commission has also adopted a number of proposals for the establishment of a new European Union programme for the prevention of trafficking in human beings. The Spanish Royal Physical Society

Topic: Electromagnetism, Newtonian Mechanics, Electrostatics Metodi: Lorentz Force Analysis, Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron, Coil, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2

2. Datos experimentales. Para calibrar las bobinas, es decir para determinar su constante k, se mide con un teslámetro el campo magnético B que crean en su centro en función de la intensidad I con que se alimentan. En la tabla I se presentan estas medidas.

Tabla I. Calibrado de las bobinas. I (A) 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 B (mT) 0,14 0,34 0,47 0,58 0,76 0,95 1,12 1,19 1,43 1,49

El cañón de electrones opera con una tensión aceleradora constante V = 150 V. Para diversos valores de la corriente I que circula por las bobinas se mide el radio R de la trayectoria de los electrones. Los resultados se presentan en la tabla II.

Tabla II. Radios de curvatura en función de I. I (A) 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 R (cm) 9,1 7,5 6,6 6,0 5,3 4,8

Topic: Electromagnetism, Magnetism Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Coil, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3

2. Dati sperimentali. Per calibrare le bobine, cioè per determinare la costante k, si misura con un teslametro il campo magnetico B che creano al centro di loro in base all’intensità I con cui si alimentano. Le misure sono riportate in tabella I.

Tabella I. Calibrato dalle bobine. I (A) 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 B (mT) 0,14 0,34 0,47 0,58 0,76 0,95 1,12 1,19 1,43 1,49

Il cannone di elettroni opera con una tensione di accelerazione costante V = 150 V. Per vari valori del corrente I che circola attraverso le bobine misurano il raggio R del percorso degli elettroni. I risultati sono riportati nella tabella II.

Tabella II. Radi di curvatura a funzione di I. I (A) 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 R (cm) 9,1 7,5 6,6 6,0 5,3 4,8

Topic: Electromagnetism, Magnetism Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Coil, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3

2. Experimental data. To calibrate the coils, i.e. to determine their constant k, the magnetic field B is measured with a theslameter They’re creating their own center based on the intensity I they feed on. These measures are set out in Table I.

Table I. Coil calibration. I (A) 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 B (mT) 0,14 0,34 0,47 0,58 0,76 0,95 1,12 1,19 1,43 1,49

The electron cannon operates at a constant accelerating voltage V = 150 V. For various current values I circulating through the coils is measured by the radius R of the electron trajectory. The results are presented in Table II.

The following table is inserted: Radius of curvature according to I. I (A) 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 R (cm) 9,1 7,5 6,6 6,0 5,3 4,8

Topic: Electromagnetism, Magnetism Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Coil, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3

3. Tareas y preguntas.

• A. Representa gráficamente en el papel milimetrado los puntos experimentales (x, y) = (I, B) de la tabla I.
• B. Ajusta estos puntos experimentales a una línea recta.
• C. Determina el valor de la constante de calibración de las bobinas, k.
• D. Haz una estimación de la incertidumbre (margen de error) de k.
• E. Determina la masa de un electrón, me. f) En este experimento se realizan medidas directas y determinaciones indirectas de diversas variables. La incertidumbre de cada una de ellas influye en el margen de error de la masa del electrón. Suponiendo que la principal fuente de error es la determinación de la constante k de las bobinas, haz una estimación de la incertidumbre de me. Fig. 2 Cañón de electrones Traza de los electrones Bobinas Fuentes de alimentación OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Problema experimental. Pesando un electrón

Solución

• A. En la figura 3 se presenta la gráfica pedida, con un aspecto similar al que tendría dibujada en papel milimetrado.
• B. En la misma gráfica se ha trazado con una regla la recta que mejor se ajusta a los puntos experimentales. Esta recta, de acuerdo con lo previsto en (4), pasa por el origen. Por tanto, para determinar su pendiente basta con tomar un punto de la recta alejado del origen. Por ejemplo, para I = 2 A el campo indicado por la recta es B = 1,54 mT, de forma que la pendiente es1

T/A 10 7 7 A 2,0 mT 54 1 4 $-$ $\cdot$

= , , p

c) Según (4), la constante de calibración de las bobinas, k, coincide con la pendiente de la recta anterior, es decir

T/A 10 7 7 4 $-$ $\cdot$

, k

d) Puede hacerse una estimación de la incertidumbre de k trazando las rectas que, con pendientes máxima y mínima, se ajustan razonablemente a los puntos experimentales. A la hora de trazar estas dos rectas sería conveniente tener en cuenta la incertidumbre de los propios puntos experimentales (barras de error). Como no se da ningún dato en el enunciado sobre estas incertidumbres, puede recurrirse a observar la dispersión de los datos experimentales respecto a la mejor recta para decidir las de máxima y mínima pendiente.

En la figura 4 se presenta una estimación gráfica de estas rectas, con pendientes

T/A 10 9 7 A 2,0 mT 58 1 4 $-$ $\cdot$

= , , max k , T/A 10 5 7 A 2,0 mT 50 1 4 $-$ $\cdot$

= , , min k

Por tanto, una estimación razonable de la incertidumbrede k sería2

2 min max k k k $-$

$\Delta$

$\to$ T/A 10 2 0 4 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , k

1 Un cálculo analítico empleando el método de mínimos cuadrados conduce a una pendiente p = $7,686\cdot 10-4$ T/A. 2 Cálculos estadísticos que no detallamos aquí conducen a que el error típico de k es $0,09\cdot 10-4$ T/A, y a que su incertidumbre es de $0,20\cdot 10-4$ T/A, con un nivel de confianza del 95%. Fig. 3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 B (mT) I (A) OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA e) Conocidas la constante de calibración de las bobinas, k, y la tensión aceleradora del cañón de electrones, V = 150 V, basta aplicar (5) para calcular me con cada pareja de valores (I, R) de la tabla II. Se obtienen los siguientes seis valores:

me (10-31 kg) 9,43 8,72 8,82 9,22 8,88 8,82

Obviamente, el mejor valor final para la masa del electrón es el promedio de los seis anteriores:

kg 10 98 8 31 $-$ $\cdot$ = , e m

No tiene sentido dar este resultado con más de tres cifras significativas, pues casi todos los datos de la tabla II tienen dos cifras significativa y el número de medidas no es suficientemente elevado como para mejorar mucho esta precisión. f) Operando en (5) con los valores máximo y mínimo estimados para k se obtienen los correspondientes valores máximo y mínimo de me

kg 10 45 9 31 $-$ $\cdot$

, max m , kg 10 52 8 31 $-$ $\cdot$

, min m

Por tanto, la incertidumbre transmitida a me es

kg 10 5 0 31 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , e m

Nótese que se ha redondeado esta incertidumbre a una única cifra significativa, puesto que se trata de una estimación.

Esta incertidumbre puede calcularse de una forma matemáticamente más elegante, aunque no más exacta. La dependecia (5) de me con k es cuadrática, luego su incertidumbre relativa se propaga duplicada, como puede comprobarse inmediatamente tomando incrementos en (5)

2 k m e $\alpha$

$\to$ k k m e $\Delta$

$\Delta$ $\alpha$ 2 $\to$ 052 0 2 ,

$\Delta$

$\Delta$ k k m m e e $\to$ kg 10 5 0 31 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , e m

Con esta incertidumbre no tiene sentido dar me con más de dos cifras significativas, por lo que el resultado de la “pesada” sería

( ) kg 10 5 0 0 9 31 $-$ $\cdot$ $\pm$

, , e m

Fig. 4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 B (mT) I (A)

Topic: Electromagnetism, Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Graph Linearization, Error Propagation, Statistical Averaging Competenze: Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Objects: Coil, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3

3. Compiti e domande.

• A. Rappresenta graficamente sul carta millimetrica i punti sperimentali (x, y) = (I, B) della tabella I.
• B. Aggiusta questi punti sperimentali in una linea retta.
• C. Determina il valore della costante di calibrazione delle bobine, k.
• D. Fai una stima dell’incertezza (margine di errore) di k.
• E. Determina la massa di un elettrone, me. f) L’esperimento prevede misure dirette e determinazioni indirette di varie variabili. La L’incertezza di ciascuna di queste fonti influisce sul margine di errore della massa dell’elettrone. Supponendo che la La principale fonte di errore è la determinazione della costante k delle bobine, fate una stima dell’incertezza de me. Fig. 2 Cano di di elettroni Traccia dei di elettroni Coichi Fonti di alimentazione OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica Problema sperimentale. Pesando un elettrone

Soluzione

• A. La figura 3 presenta il grafico richiesto, con un aspetto simile a quello che avrebbe disegnato su carta millimetrica.
• B. Nella stessa grafica è stata tracciata con una regola la retta che meglio si adatta ai punti sperimentali. Questa retta, di In conformità del paragrafo 4, esso passa per l’origine. Per determinare la sua pendenza basta quindi prendere un punto di la retta lontana dall’origine. Per esempio, per I = 2 A il campo indicato dalla retta è B = 1,54 mT, così che la pendente è1

T/A 10 7 7 A 2,0 mT 54 1 4 $-$ $\cdot$

= , , p

c) Secondo il punto 4, la costante di calibrazione delle bobine, k, coincide con la pendenza della retta precedente, cioè

T/A 10 7 7 4 $-$ $\cdot$

, k

d) Si può calcolare l’incertezza di k tracciando le linee di linea che, con pendici massimi e minimi, si possono La Commissione ha adottato una decisione che prevede che le misure adottate siano adeguate ai punti di prova. Quando si tratta di tracciare queste due linee, sarebbe opportuno avere in Il numero di punti di prova è un numero di punti di prova. Come non si dà alcun dato in La Commissione ha inoltre adottato una decisione che prevede che le misure di cui all’articolo 6 del regolamento (CEE) n. È meglio che siate più reciti per decidere quali sono le più alte e quelle meno lunghe.

La figura 4 presenta una stima grafica di queste linee, con pendenti

T/A 10 9 7 A 2,0 mT 58 1 4 $-$ $\cdot$

= , , Max k , T/A 10 5 7 A 2,0 mT 50 1 4 $-$ $\cdot$

= , , Min k

Quindi, una stima ragionevole dell’incertezza k sarebbe2

2 Min Max k k k $-$

$\Delta$

$\to$ T/A 10 2 0 4 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , k

1 Un calcolo analitico che utilizza il metodo dei minimi quadrati porta ad una pendenza p = $7,686\cdot 10-4$ T/A. 2 Calcoli statistici che non abbiamo dettagliato qui portano a che l’errore tipico di k è $0,09\cdot 10-4$ T/A, e che la sua incertezza è di $0,20\cdot 10-4$ T/A, con un livello di fiducia del 95%. Fig. 3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 B (mT) I (A) OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica e) Conosciuta la costante di calibrazione delle bobine, k, e la tensione acceleratrice del cannone di elettroni, V = 150 V, Basta applicare (5) per calcolare i con ogni coppia di valori (I, R) della tabella II. Si ottengono i seguenti sei valori:

me (10-31 kg) 9,43 8,72 8,82 9,22 8,88 8,82

Ovviamente, il miglior valore finale per la massa dell’elettrone è la media dei sei precedenti:

kg 10 98 8 31 $-$ $\cdot$ = , e m

Non è opportuno dare questo risultato con più di tre cifre significative, poiché quasi tutti i dati di tabella II hanno La Commissione ha adottato una decisione che prevede che il sistema di controllo dei dati sia stato adottato in base a una decisione del Consiglio. f) Operando su (5) con i valori massimi e minimi stimati per k si ottengono i valori massimi e minimi corrispondenti. minimo di me

kg 10 45 9 31 $-$ $\cdot$

, Max m , kg 10 52 8 31 $-$ $\cdot$

, Min m

L’incertezza che mi è stata trasmessa è:

kg 10 5 0 31 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , e m

Si noti che questa incertezza è stata ridotta a un singolo numero significativo, dato che si tratta di una stima.

Questa incertezza può essere calcolata in un modo matematicamente più elegante, sebbene non più accurato. La La dipendenza (5) di me con k è quadrata, quindi la sua incertezza relativa si diffonde doppiata, come può verificarsi immediatamente prendendo incrementi in (5)

2 k m e $\alpha$

$\to$ k k m e $\Delta$

$\Delta$ $\alpha$ 2 $\to$ 052 0 2 ,

$\Delta$

$\Delta$ k k m m e e $\to$ kg 10 5 0 31 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , e m

In questo modo non ha senso avere più di due cifre significative, quindi il risultato della “pesante” sarebbe

( ) kg 10 5 0 0 9 31 $-$ $\cdot$ $\pm$

, , e m

Fig. 4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 B (mT) I (A)

Topic: Electromagnetism, Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Graph Linearization, Error Propagation, Statistical Averaging Competenze: Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Objects: Coil, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3

3. Tasks and questions.

• A. Graphically represents on millimeter paper the experimental points (x, y) = (I, B) of Table I.
• B. Adjust these experimental points to a straight line.
• C. Determines the value of the coil calibration constant, k.
• D. Estimate the uncertainty (margin of error) of k.
• E. Determines the mass of an electron, me. (f) This experiment involves direct measurements and indirect determinations of various variables. La The uncertainty of each of these factors influences the error margin of the electron mass. Assuming that the The main source of error is determining the constant k of the coils, make an estimate of the uncertainty de me. Fig. 2 Cannon of electrons Trace of the electrons Other, of a kind used for the manufacture of goods Sources of food The Commission has also adopted a number of proposals for the establishment of a new European Union programme for the prevention of trafficking in human beings. The Spanish Royal Physical Society It’s an experimental problem. Weighing an electron

Solution

• A. In Figure 3 the graph requested is shown, with a similar appearance to that it would have on millimeter paper.
• B. In the same graph the right that best fits the experimental points is plotted with a rule. This straight line, of In accordance with Article 4 (4), it shall be the originator. Therefore, to determine its slope, it is sufficient to take a point of the straight away from the source. For example, for I = 2 A the field indicated by the straight is B = 1,54 mT, so that the slope is1

T/A 10 7 7 A 2,0 mT 54 1 4 $-$ $\cdot$

= , , p

(c) According to (4), the calibration constant of the coils, k, is the same as the slope of the upper straight, i.e.

T/A 10 7 7 4 $-$ $\cdot$

, k

(d) An estimate of the uncertainty of k can be made by tracing the lines which, with maximum and minimum slopes, are The Commission has already decided to adopt a new proposal for a directive on the approximation of the laws of the Member States relating to the use of the chemical substances. In the course of drawing these two lines it would be convenient to have in The test points themselves are uncertain (error bars). As no data is given in the The Commission’s proposal for a directive on the protection of the environment in the field of biotechnology is based on the following: The Commission has already decided to adopt a proposal for a directive on the protection of workers’ rights.

Figure 4 shows a graphical estimate of these straight lines, with slopes

T/A 10 9 7 A 2,0 mT 58 1 4 $-$ $\cdot$

= , , Max k , T/A 10 5 7 A 2,0 mT 50 1 4 $-$ $\cdot$

= , , Min k

Therefore, a reasonable estimate of uncertainty k would be2

2 Min Max k k k $-$

$\Delta$

$\to$ T/A 10 2 0 4 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , k

1 An analytical calculation using the least squares method leads to a slope p = $7,686\cdot 10-4$ T/A. 2 Statistical calculations that we do not detail here lead to the typical error of k being $0,09\cdot 10-4$ T/A, and to its uncertainty being of $0,20\cdot 10-4$ T/A, with a 95% confidence level. Fig. 3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 B (mT) I (A) The Commission has also adopted a number of proposals for the establishment of a new European Union programme for the prevention of trafficking in human beings. The Spanish Royal Physical Society (e) Known coil calibration constant, k, and electron cannon accelerating voltage, V = 150 V, The following table shows the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the first. The following six values are obtained:

me (10-31 kg) 9,43 8,72 8,82 9,22 8,88 8,82

Obviously, the best end value for the electron mass is the mean of the previous six:

kg 10 98 8 31 $-$ $\cdot$ = , e m

It is not useful to give this result with more than three significant figures, since almost all the data in Table II have The Commission has already taken a number of measures to improve the accuracy of the data. (f) Operating on (5) with the maximum and minimum values estimated for k gives the corresponding maximum and minimum values. The least of me

kg 10 45 9 31 $-$ $\cdot$

, Max m , kg 10 52 8 31 $-$ $\cdot$

, Min m

The uncertainty conveyed to me is therefore

kg 10 5 0 31 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , e m

Note that this uncertainty has been rounded to a single significant figure, since this is an estimate.

This uncertainty can be calculated in a more elegant, but not more accurate, mathematically way. La The dependence (5) of me with k is quadratic, then its relative uncertainty spreads double, as can be immediately verified by taking increments in (5)

2 k m e $\alpha$

$\to$ k k m e $\Delta$

$\Delta$ $\alpha$ 2 $\to$ 052 0 2 ,

$\Delta$

$\Delta$ k k m m e e $\to$ kg 10 5 0 31 $-$ $\cdot$

$\Delta$ , e m

With this uncertainty, it makes no sense to give me more than two significant figures, so the result of the “heavy” would be

( ) kg 10 5 0 0 9 31 $-$ $\cdot$ $\pm$

, , e m

Fig. 4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 B (mT) I (A)

Topic: Electromagnetism, Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Graph Linearization, Error Propagation, Statistical Averaging Competenze: Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Objects: Coil, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3