USA 2008

Four square metal plates of area $A$ are arranged at an even spacing $d$ as shown in the diagram. (Assume that $A ≫ d^{2}$ .)

Plate 1, Plate 2, Plate 3, and Plate 4 are arranged vertically with spacing $d$ between consecutive plates.

Plates 1 and 4 are first connected to a voltage source of magnitude $V_{0}$ , with plate 1 positive; plates 2 and 3 are then connected together with a wire. The wire is subsequently removed. Finally, the voltage source attached between plates 1 and 4 is replaced with a wire. The steps are summarized in the diagrams below.

Step 1: Plates 1 and 4 connected to voltage source $V_{0}$ (plate 1 positive). Step 2: Plates 2 and 3 connected together with a wire. Step 3: Voltage source between plates 1 and 4 replaced with a wire.

Find the resulting potential difference $Δ V_{12}$ between plates 1 and 2; likewise find $Δ V_{23}$ and $Δ V_{34}$ , defined similarly.

Assume, in each case, that a positive potential difference means that the top plate is at a higher potential than the bottom plate.

Four parallel metal plates with spacing d

Topic: Electrostatics, Circuits Metodi: Gauss’s Law, Superposition Principle, Electric Potential Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Wire, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.3

Quattro lastre di metallo quadrate di superficie $A$ sono disposte ad un intervallo pari $d$ come mostrato nel diagramma. (Supponiamo che $A ≫ d^{2}$ .)

Le piastrelle 1, 2, 3 e 4 sono disposte in verticale con spazi $d$ tra piastrelle consecutive.

Le piastre 1 e 4 sono prima collegate a una fonte di tensione di magnitudo $V_{0}$ , con piastra 1 positiva; le piastre 2 e 3 sono poi collegate insieme con un filo. Il filo viene poi rimosso. Infine, la fonte di tensione collegata tra le lastre 1 e 4 viene sostituita da un filo. I passaggi sono riassunti nei diagrammi di seguito.

Passo 1: piastre 1 e 4 collegate alla fonte di tensione $V_{0}$ (piastre 1 positiva). Passo 2: piastre 2 e 3 collegate insieme con un filo. Passo 3: sorgente di tensione tra le lastre 1 e 4 sostituita da un filo.

Trova la differenza di potenziale risultante $Δ V_{12}$ tra le lastre 1 e 2; trova anche $Δ V_{23}$ e $Δ V_{34}$ , definite in modo simile.

Supponiamo, in ogni caso, che una differenza di potenziale positiva significhi che la piastra superiore sia ad un potenziale superiore alla piastra inferiore.

Quattro lastre di metallo parallele con spaziamento d

A simple heat engine consists of a moveable piston in a cylinder filled with an ideal monatomic gas. Initially the gas in the cylinder is at a pressure $P_{0}$ and volume $V_{0}$ . The gas is slowly heated at constant volume. Once the pressure reaches $32 P_{0}$ the piston is released, allowing the gas to expand so that no heat either enters or escapes the gas as the piston moves. Once the pressure has returned to $P_{0}$ the outside of the cylinder is cooled back to the original temperature, keeping the pressure constant. For the monatomic ideal gas you should assume that the molar heat capacity at constant volume is given by $C_{V} = \frac{3}{2} R$ , where $R$ is the ideal gas constant. You may express your answers in fractional form or as decimals. If you choose decimals, keep three significant figures in your calculations.

a. Let $V_{m a x}$ be the maximum volume achieved by the gas during the cycle. What is $V_{m a x}$ in terms of $V_{0}$ ? If you are unable to solve this part of the problem, you may express your answers to the remaining parts in terms of $V_{m a x}$ without further loss of points.

b. In terms of $P_{0}$ and $V_{0}$ determine the heat added to the gas during a complete cycle.

c. In terms of $P_{0}$ and $V_{0}$ determine the heat removed from the gas during a complete cycle.

d. What is the efficiency of this cycle?

P-V diagram of heat engine cycle

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Cylinder, Piston, Heat Engine Fonte: Testo (PDF) — p.4

Un semplice motore termico consiste in un pistone mobile in un cilindro riempito di un gas monatomo ideale. Inizialmente il gas nel cilindro è a pressione $P_{0}$ e volume $V_{0}$ . Il gas si riscaldano lentamente a volume costante. Una volta che la pressione raggiunge $32 P_{0}$ il pistone viene rilasciato, consentendo al gas di espandersi in modo che non entri né esci il calore dal gas mentre il pistone si muove. Una volta che la pressione è tornata a $P_{0}$ , l’esterno del cilindro viene raffreddato alla temperatura originale, mantenendo la pressione costante. Per il gas ideale monatomo si suppone che la capacità di calore molare a volume costante sia data da $C_{V} = \frac{3}{2} R$ , dove $R$ è la costante ideale del gas. Potete esprimere le vostre risposte in forma frazionaria o decimale. Se scegliete i decimali, conservate tre numeri significativi nei calcoli.

a. Il volume massimo raggiunto dal gas durante il ciclo deve essere $V_{m a x}$ . Qual è $V_{m a x}$ in termini di $V_{0}$ ? Se non riesci a risolvere questa parte del problema, puoi esprimere le tue risposte alle altre parti in termini di $V_{m a x}$ senza ulteriori perdite di punti.

b. In termini di $P_{0}$ e $V_{0}$ si determina il calore aggiunto al gas durante un ciclo completo.

c. In termini di $P_{0}$ e $V_{0}$ si determina il calore rimosso dal gas durante un ciclo completo.

d. Qual è l’efficienza di questo ciclo?

Diagramma P-V del ciclo del motore termico

A certain planet of radius $R$ is composed of a uniform material that, through radioactive decay, generates a net power $P$ . This results in a temperature differential between the inside and outside of the planet as heat is transferred from the interior to the surface.

The rate of heat transfer is governed by the thermal conductivity. The thermal conductivity of a material is a measure of how quickly heat flows through that material in response to a temperature gradient. Specifically, consider a thin slab of material of area $A$ and thickness $Δ x$ where one surface is hotter than the other by an amount $Δ T$ . Suppose that an amount of heat $Δ Q$ flows through the slab in a time $Δ t$ . The thermal conductivity $k$ of the material is then

$k = \frac{Δ Q}{Δ t} \frac{1}{A} \frac{Δ x}{Δ T} .$

It is found that $k$ is approximately constant for many materials; assume that it is constant for the planet.

For the following assume that the planet is in a steady state; temperature might depend on position, but does not depend on time.

a. Find an expression for the temperature of the surface of the planet assuming blackbody radiation, an emissivity of 1, and no radiation incident on the planet surface. You may express your answer in terms of any of the above variables and the Stefan–Boltzmann constant $σ$ .

b. Find an expression for the temperature difference between the surface of the planet and the center of the planet. You may express your answer in terms of any of the above variables; you do not need to answer part (a) to be able to answer this part.

Topic: Thermodynamics, Astrophysics Metodi: Differential Equations, Physical Modeling, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.5

Un determinato pianeta di raggio $R$ è composto da un materiale uniforme che, attraverso il decadimento radioattivo, genera una potenza netta $P$ . Ciò si traduce in un differenziale di temperatura tra l’interno e l’esterno del pianeta, poiché il calore viene trasferito dall’interno alla superficie.

Il tasso di trasferimento del calore è regolato dalla conducibilità termica. La conducibilità termica di un materiale è una misura di quanto velocemente il calore scorre attraverso quel materiale in risposta a un gradiente di temperatura. In particolare, si deve considerare una scia sottile di materiale di superficie $A$ e spessore $Δ x$ in cui una superficie è più calda dell’altra di una quantità $Δ T$ . Supponiamo che una quantità di calore $Δ Q$ fluisca attraverso la lastra in un tempo $Δ t$ . La conducibilità termica $k$ del materiale è quindi

$k = \frac{Δ Q}{Δ t} \frac{1}{A} \frac{Δ x}{Δ T} .$

Si scopre che $k$ è approssimativamente costante per molti materiali; supponiamo che sia costante per il pianeta.

Per i seguenti supponiamo che il pianeta sia in uno stato stabile; la temperatura potrebbe dipendere dalla posizione, ma non dipende dal tempo.

a. Trova un’espressione per la temperatura della superficie del pianeta, assumendo la radiazione del corpo nero, un’emissività di 1, e no incidente di radiazione sulla superficie del pianeta. La risposta può essere espressa in termini di una delle variabili di cui sopra e della costante di StefanBoltzmann $σ$ .

b. Trova un’espressione per la differenza di temperatura tra la superficie del pianeta e il centro del pianeta. È possibile esprimere la risposta in termini di una delle variabili sopra indicate; è necessario rispondere alla parte (a) per poter rispondere a questa parte.

A tape recorder playing a single tone of frequency $f_{0}$ is dropped from rest at a height $h$ . You stand directly underneath the tape recorder and measure the frequency observed as a function of time. Here $t = 0$ s is the time at which the tape recorder was dropped.

$t$ (s)	$f$ (Hz)
2.0	581
4.0	619
6.0	665
8.0	723
10.0	801

The acceleration due to gravity is $g = 9.80$ m/s $^{2}$ and the speed of sound in air is $v_{snd} = 340$ m/s. Ignore air resistance. You might need to use the Doppler shift formula for co-linear motion of sources and observers in still air,

$f = f_{0} \frac{v _{snd} \pm v _{obs}}{v _{snd} \pm v _{src}}$

where $f_{0}$ is the emitted frequency as determined by the source, $f$ is the frequency as detected by the observer, and $v_{snd}$ , $v_{src}$ , and $v_{obs}$ are the speed of sound in air, the speed of the source, and the speed of the observer. The positive and negative signs are dependent upon the relative directions of the motions of the source and the observer.

a. Determine the frequency measured on the ground at time $t$ , in terms of $f_{0}$ , $g$ , $h$ , and $v_{snd}$ . Consider only the case where the falling tape recorder doesn’t exceed the speed of sound $v_{snd}$ .

b. Verify graphically that your result is consistent with the provided data.

c. What (numerically) is the frequency played by the tape recorder?

d. From what height $h$ was the tape recorder dropped?

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

Un registratore che suona un singolo tono di frequenza $f_{0}$ viene lasciato cadere dal riposo ad un’altezza $h$ . Si trova direttamente sotto la cassetta e si misura la frequenza osservata in funzione del tempo. Qui $t = 0$ s è l’ora in cui è stato lasciato cadere il registratore.

$t$ (s)	$f$ (Hz)
2.0	581
4.0	619
6.0	665
8.0	723
10.0	801

L’accelerazione dovuta alla gravità è $g = 9.80$ m/s $^{2}$ e la velocità del suono nell’aria è $v_{snd} = 340$ m/s. Ignora la resistenza dell’aria. Potrebbe essere necessario usare la formula del spostamento di Doppler per il movimento co-lineare di fonti e osservatori in aria ferma,

$f = f_{0} \frac{v _{snd} \pm v _{obs}}{v _{snd} \pm v _{src}}$

se $f_{0}$ è la frequenza emessa determinata dalla fonte, $f$ è la frequenza rilevata dall’osservatore e $v_{snd}$ , $v_{src}$ e $v_{obs}$ sono la velocità del suono nell’aria, la velocità della fonte e la velocità dell’osservatore. I segni positivi e negativi dipendono dalle direzioni relative dei movimenti della fonte e dell’osservatore.

a. Determinare la frequenza misurata a terra nel tempo $t$ , in termini di $f_{0}$ , $g$ , $h$ e $v_{snd}$ . Considerare solo il caso in cui la registrazione cadente non superi la velocità del suono $v_{snd}$ .

b. Verificare graficamente che il risultato sia coerente con i dati forniti.

c. Qual è la frequenza riprodotta dalla registrazione?

d. From what height $h$ was the tape recorder dropped?

A platform is attached to the ground by an ideal spring of constant $k$ ; both the spring and the platform have negligible mass; assume that your mass is $m_{p}$ . Sitting on the platform is a rather large lump of clay of mass $m_{c} = r m_{p}$ , with $r$ some positive constant that measures the ratio $m_{c} / m_{p}$ . You then gently step onto the platform, and the platform settles down to a new equilibrium position, a vertical distance $D$ below the original position. Throughout the problem assume that you never lose contact with the platform.

a. You then slowly pick up the lump of clay and hold it a height $h$ above the platform. Upon releasing the clay you and the platform will oscillate up and down; you notice that the clay strikes the platform after the platform has completed exactly one oscillation. Determine the numerical value of the ratio $h / D$ .

b. Assume the resulting collision between the clay and the platform is completely inelastic. Find the ratio of the amplitude of the oscillation of the platform after the collision ( $A_{f}$ ) to the amplitude of the oscillations of the platform before the collision ( $A_{i}$ ). Determine $A_{f} / A_{i}$ in terms of the mass ratio $r$ and any necessary numerical constants.

c. Sketch a graph of the position of the platform as a function of time, with $t = 0$ corresponding to the moment when the clay is dropped. Show one complete oscillation after the clay has collided with the platform. It is not necessary to use graph paper.

d. The above experiment is only possible if the mass ratio $r$ is less than some critical value $r_{c}$ . Otherwise, despite the clay having been dropped from the height determined in part (a), the oscillating platform will hit the clay before the platform has completed one full oscillation. On your graph in part (c) sketch the position of the clay as a function of time relative to the position of the platform for the mass ratio $r = r_{c}$ .

Spring-platform-clay system diagram

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Conservation of Momentum, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.8

Una piattaforma è collegata al suolo da una molla ideale di costante $k$ ; sia la molla che la piattaforma hanno una massa trascurabile; supponiamo che la vostra massa sia $m_{p}$ . Sediato sulla piattaforma è un gran grumetto di argilla di massa $m_{c} = r m_{p}$ , con $r$ una costante positiva che misura il rapporto $m_{c} / m_{p}$ . Si passa poi delicatamente sulla piattaforma e la piattaforma si stabilisce in una nuova posizione di equilibrio, una distanza verticale $D$ al di sotto della posizione originale. Durante il problema, supponi che non perdi mai il contatto con la piattaforma.

a. Poi si prende lentamente il grumetto di argilla e si tiene a una altezza $h$ sopra la piattaforma. Quando rilasci l’argilla, tu e la piattaforma oscillerete su e giù; notate che l’argilla colpisce la piattaforma dopo che la piattaforma ha completato esattamente una oscillazione. Determinare il valore numerico del rapporto $h / D$ .

b. Supponiamo che la collisione tra l’argilla e la piattaforma sia completamente inelastica. Trova il rapporto tra l’ampiezza dell’oscillazione della piattaforma dopo la collisione ( $A_{f}$ ) e l’ampiezza delle oscillazioni della piattaforma prima della collisione ( $A_{i}$ ). Determinare $A_{f} / A_{i}$ in termini di rapporto di massa $r$ e di eventuali costanti numeriche necessarie.

c. Segnare un grafico della posizione della piattaforma in funzione del tempo, con $t = 0$ corrispondente al momento in cui viene abbassata l’argilla. Mostra una oscillazione completa ** dopo che** l’argilla ha colpito la piattaforma. Non è necessario utilizzare carta grafica.

d. L’esperimento di cui sopra è possibile solo se il rapporto di massa $r$ è inferiore a un certo valore critico $r_{c}$ . In caso contrario, nonostante l’argilla sia stata abbassata dall’altezza determinata nella parte (a), la piattaforma oscillante colpirà l’argilla prima che la piattaforma abbia completato una completa oscillazione. Nella grafica della parte c) del grafico, disegna la posizione dell’argilla in funzione del tempo rispetto alla posizione della piattaforma per il rapporto di massa $r = r_{c}$ .

*Diagramma del sistema di piattaforma-terra-sciaglia *

Consider a parallel plate capacitor with the plates vertical. The plates of the capacitor are rigidly supported in place. The distance between the plates is $d$ . The plates have height $h$ and area $A ≫ d^{2}$ . Assume throughout this problem that the force of air resistance may be neglected; however, the force of gravity cannot be neglected. Neglect any edge effects as well as any magnetic effects.

a. A small metal ball with a mass $M$ and a charge $q$ is suspended from a string of length $L$ that is tied to a rigid support. When the capacitor is not charged, the metal ball is located at the center of the capacitor — at a distance $d /2$ from both plates and at a height $h /2$ above the bottom edge of the plates. If instead a constant potential difference $V_{0}$ is applied across the plates, the string will make an angle $θ_{0}$ to the vertical when the metal ball is in equilibrium.

i. Determine $θ_{0}$ in terms of the given quantities and fundamental constants.

ii. The metal ball is then lifted until it makes an angle $θ$ to the vertical where $θ$ is only slightly greater than $θ_{0}$ . The metal ball is then released from rest. Show that the resulting motion is simple harmonic motion and find the period of the oscillations in terms of the given quantities and fundamental constants.

iii. When the ball is at rest in the equilibrium position $θ_{0}$ , the string is cut. What is the maximum value for $V_{0}$ so that the ball will not hit one of the plates before exiting? Express your answer in terms of the given quantities and fundamental constants.

b. Suppose instead that the ball of mass $M$ and charge $q$ is released from rest at a point halfway between the plates at a time $t = 0$ . Now, an AC potential difference $V (t) = V_{0} sin ω t$ is also placed across the capacitor. The ball may hit one of the plates before it falls (under the influence of gravity) out of the region between the plates. If $V_{0}$ is sufficiently large, this will only occur for some range of angular frequencies $\omega_\min < \omega < \omega_\max$ . You may assume that $\omega_\min \ll \sqrt{g/h}$ and $\omega_\max \gg \sqrt{g/h}$ . Making these assumptions, find expressions for $\omega_\min$ and $\omega_\max$ in terms of the given quantities and/or fundamental constants.

c. Assume that the region between the plates is not quite a vacuum, but instead humid air with a uniform resistivity $ρ$ . Ignore any effects because of the motion of the ball, and assume that the humid air doesn’t change the capacitance of the original system.

i. Determine the resistance between the plates.

ii. If the plates are originally charged to a constant potential source $V_{0}$ , and then the potential is removed, how much time is required for the potential difference between the plates to decrease to a value of $V_{0} / e$ , where $ln e = 1$ ?

iii. If the plates are instead connected to an AC potential source so that the potential difference across the plates is $V_{0} sin ω t$ , determine the amplitude $I_{0}$ of the alternating current through the potential source.

Vertical parallel plate capacitor with ball

Topic: Electrostatics, Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Electric Potential Method, Simple Harmonic Motion Analysis, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Ball, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.9

Considera un condensatore di piastre parallele con le piastre verticali. Le piastre del condensatore sono rigidamente sostenute in posizione. La distanza tra le piastre è $d$ . Le lastre hanno altezza $h$ e superficie $A ≫ d^{2}$ . Supponiamo che, in tutto questo problema, la forza della resistenza dell’aria possa essere trascurata; tuttavia, la forza della gravità non può essere trascurata. Lasciate perdere gli effetti di bordo e gli effetti magnetici.

a. Una piccola palla di metallo di massa $M$ e carica $q$ è sospesa da una corda di lunghezza $L$ che è legata a un supporto rigido. Quando il condensatore non è carico, la sfera metallica si trova al centro del condensatore a una distanza $d /2$ da entrambe le piastre e ad un’altezza $h /2$ sopra il bordo inferiore delle piastre. Se invece si applica una differenza di potenziale costante $V_{0}$ su tutte le lastre, la corda farà un angolo $θ_{0}$ verso la verticale quando la sfera metallica è in equilibrio.

i. Determinare $θ_{0}$ in termini di quantità e costanti fondamentali.

ii. La palla di metallo viene poi sollevata fino a raggiungere un angolo $θ$ verso la verticale, dove $θ$ è solo leggermente superiore a $θ_{0}$ . La palla di metallo viene quindi rilasciata dal riposo. Mostrare che il movimento risultante è un semplice movimento armonico e trovare il periodo delle oscillazioni in termini di dati quantità e costanti fondamentali.

iii. Quando la palla è in riposo nella posizione di equilibrio $θ_{0}$ , la corda viene tagliata. Qual è il valore massimo per $V_{0}$ in modo che la palla ** non ** colpisca una delle lastre prima di uscire? Esprimi la tua risposta in termini di quantità e costanti fondamentali.

b. Supponiamo invece che la palla di massa $M$ e carica $q$ sia rilasciata dal riposo in un punto a metà strada tra le lastre al momento $t = 0$ . Ora, una differenza di potenziale AC $V (t) = V_{0} sin ω t$ viene anche posizionata sul condensatore. La palla può colpire una delle piastre prima di cadere (sotto l’influenza della gravità) fuori dalla regione tra le piastre. Se $V_{0}$ è sufficientemente grande, questo si verifica solo per alcune frequenze angolari $\omega_\min < \omega < \omega_\max$ . Si può supporre che $\omega_\min \ll \sqrt{g/h}$ e $\omega_\max \gg \sqrt{g/h}$ . Per fare queste ipotesi, si possono trovare espressioni per $\omega_\min$ e $\omega_\max$ in termini di quantità e/o costanti fondamentali.

c. Supponiamo che la regione tra le piastre non sia del tutto un vuoto, ma un’aria umida con una resistenza uniforme $ρ$ . Ignorare gli effetti del movimento della palla, e supporre che l’aria umida non modifichi la capacità del sistema originale.

i. Determina la resistenza tra le piastre.

ii. Se le lastre sono originariamente caricate a una fonte di potenziale costante $V_{0}$ e poi il potenziale viene rimosso, quanto tempo è necessario per ridurre la differenza di potenziale tra le lastre a un valore di $V_{0} / e$ , dove $ln e = 1$ ?

iii. Se invece le piastre sono collegate a una fonte di potenziale di CA in modo che la differenza di potenziale tra le piastre sia $V_{0} sin ω t$ , determinare l’ampiezza $I_{0}$ della corrente alternata attraverso la fonte potenziale.

Condensatore di piastre parallele verticali con sfera

Optical Society of America Bonus Question

Researchers have developed a lens made of liquid. The spherical lens consists of a droplet of transparent liquid resting on an electrically controllable surface. When the voltage of the surface is changed, the droplet itself changes shape; it either tries to “ball-up” more strongly or it becomes flatter. The figure below is a sketch of the liquid lens and several parameters that describe it, including the thickness of the lens ( $t$ ), the radius of curvature of the top surface ( $R$ ) and the contact angle ( $θ$ ), which represents the angle between the flat surface beneath the droplet and the tangent to the curved surface at the point of contact.

a. When a certain voltage is applied, both the contact angle and lens thickness increase (and the lens becomes more curved). In this case, is the liquid attracted or repelled by the surface?

b. Express the contact angle as a function of $R$ and $t$ .

c. The total volume of the liquid lens is an important parameter because as the liquid lens changes shape, its volume is conserved. Calculate the volume of the lens as a function of $R$ and $t$ .

d. Use your result to part (b) to eliminate the variable $t$ from your expression for the volume and find $V (R, θ)$ .

e. By changing the voltage on the control surface, the contact angle $θ$ can be changed, which in turn changes the focal length of the lens $f$ . The lensmaker’s formula can be used to calculate the focal length and is given by

$\frac{1}{f} = (n_{liquid} - n_{air}) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}),$

where $n_{liquid}$ and $n_{air}$ are the refractive indices of the liquid in the lens and air around it, and $R_{1}$ and $R_{2}$ are the radii of curvature of the two surfaces of the lens. In the figure, $R_{1}$ is the curved face and $R_{2}$ is the flat face. Use the lensmaker’s formula to calculate the focal length of the lens in terms of the total volume of the liquid, the contact angle, and the relevant refractive indices.

Liquid lens droplet with parameters R, t, theta

Topic: Geometric Optics, Fluid Mechanics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Physical Modeling, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Lens, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.11

La Società Optica d’America Domanda Bonus

I ricercatori hanno sviluppato una lente fatta di liquido. L’obiettivo sferico è costituito da una goccia di liquido trasparente che riposa su una superficie elettricamente controllabile. Quando la tensione della superficie viene modificata, la goccia stessa cambia forma; o cerca di “ball-up” più forte o diventa più piatta. La figura seguente è uno schema della lente liquida e di diversi parametri che la descrivono, tra cui lo spessore della lente ( $t$ ), il raggio di curvatura della superficie superiore ( $R$ ) e l’angolo di contatto ( $θ$ ), che rappresenta l’angolo tra la superficie piatta sotto la goccia e la tangente alla superficie curva al punto di contatto.

a. Quando viene applicata una certa tensione, aumentano sia l’angolo di contatto che lo spessore della lente (e la lente diventa più curva). In questo caso, il liquido è attratto o respinto dalla superficie?

b. Esprimere l’angolo di contatto come funzione di $R$ e $t$ .

c. Il volume totale della lente liquida è un parametro importante perché, man mano che la lente liquida cambia forma, il suo volume viene conservato. Calcolare il volume della lente in funzione di $R$ e $t$ .

d. Utilizzare il risultato della parte (b) per eliminare la variabile $t$ dall’espressione del volume e trovare $V (R, θ)$ .

e. Cambiando la tensione sulla superficie di controllo, si può modificare l’angolo di contatto $θ$ , che a sua volta modifica la distanza focale della lente $f$ . La formula del lentigno può essere utilizzata per calcolare la distanza focale e viene data da

$\frac{1}{f} = (n_{liquid} - n_{air}) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}),$

dove $n_{liquid}$ e $n_{air}$ sono gli indici di rifrazione del liquido nella lente e dell’aria che la circonda, e $R_{1}$ e $R_{2}$ sono i raggi di curvatura delle due superfici della lente. Nella figura, $R_{1}$ è la faccia curva e $R_{2}$ è la faccia piatta. Utilizzare la formula del produttore di obiettivi per calcolare la distanza focale della lente in termini di volume totale del liquido, angolo di contatto e indici di rifrazione pertinenti.

L’obiettivo liquido con parametri R, t, theta

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