Spagna 2008

P1 El lanzamiento del Pabellón-Puente

El Pabellón-Puente, uno de los edificios emblemáticos de EXPO 2008, es un amplio espacio expositivo sobre el Ebro, diseñado por la prestigiosa arquitecta iraquí Zaha Hadid. Su construcción ha supuesto un enorme reto tecnológico, ya que su total falta de simetría ha obligado a diseñar por separado cada una de sus piezas metálicas. Una mitad del puente ha sido construida in situ aprovechando una pequeña isla natural en el cauce del río. La otra mitad se ha hecho en tierra firme, en la ribera derecha, de forma que una vez terminada ha sido preciso “lanzarla” para ensamblarla con la primera mitad.

La fotografía de la figura 1.a muestra el inicio del lanzamiento. Puede apreciarse a la izquierda la gran estructura provisional levantada para realizar el lanzamiento. En la figura 1.b se ve la parte delantera del puente que está siendo lanzado. La figura 1.c corresponde al final del lanzamiento, con las dos mitades del puente preparadas para su unión. (Las fotografías son cortesía de EXPO 2008).

El complejo proceso del lanzamiento del puente, maniobra sin precedentes, se llevó a cabo muy lentamente, de forma que en todo momento se pudiese considerar en equilibrio estático. En Física este tipo de proceso se denomina cuasiestático.

Para realizar un estudio preliminar se recurre, como también es habitual en Física, a un modelo simplificado. Con este modelo se pueden hacer cálculos estimativos, que son el objeto de este problema.

En el modelo que se presenta (figura 2) se considera al puente como una barra homogénea de longitud L y masa M, que se apoya sin rozamiento sobre una base fija, que constituye el estribo derecho del puente. Así mismo, se considera que la estructura provisional es un poste vertical rígido de altura h, apoyado en lo que será el estribo central. De este poste se tienden dos cables, uno AE de longitud fija, hacia una sujeción provisional y el otro AB, hacia la barra. Acortando lentamente este último cable, la barra se desplaza hacia la izquierda. Para que en todo momento se conserve el equilibrio es necesario un tercer cable CD prácticamente horizontal, que une la parte derecha de la barra con otro soporte fijo. Lógicamente, el desplazamiento de la barra exige que la longitud de este tercer cable aumente.

Utilizando este modelo, responde a las siguientes cuestiones: a) Determina las tensiones T1 y T2 en los cables AB y CD cuando la distancia del extremo B de la barra a la columna es x. Puede despreciarse el rozamiento entre la barra y el soporte. b) Dibuja de forma aproximada la grafica de T2 en función de x, desde x = 0 hasta x = L/2, y determina la distancia xm para la cual la tensión T2 es máxima, así como la expresión del valor máximo T2max de dicha tensión. c) Si kg 10 2 2 6 $\cdot$ = , M , m 0 120, L = y m 0, 40

h , calcula el valor de T2max. d) Si o 30

$\beta$ , determina y calcula el valor de la tensión del cable AE, max T3 , cuando T2 es máxima. Supón que la fuerza de reacción del suelo sobre el poste es vertical.

Fig. 1.a Fig. 1.b Fig. 1.c Fig. 2 L h A B D C L x $\beta$ E OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA P1. El lanzamiento del Pabellón-Puente

Solución

a) Consideramos la barra como sistema mecánico en equilibrio, cuando su extremo derecho se encuentra a una distancia x de la base del poste. Las fuerzas exteriores que actúan, representadas en la figura 3, son las tensiones T1 y T2 , el peso Mg y la reacción normal N del soporte. Llamamos $\alpha$ al ángulo que forma el cable AB con la vertical.

La condición de equilibrio del sistema impone, por una parte, que la suma de todas las fuerzas exteriores sea igual a cero y, por otra, que el momento resultante de las fuerzas exteriores respecto a cualquier punto sea nulo.

Por lo tanto, de la primera condición, la suma de las componentes de las fuerzas según la horizontal y según la vertical deben ser cero, es decir,

0 s 2 1

$-T$ en T $\alpha$

(1)

0 cos 1

$-$ + mg N T $\alpha$

(2)

Tomando como origen de momentos el punto B, de la segunda condición se tiene

( ) 0 2

$-$ $-$ x L N L Mg

$\Rightarrow$ ( ) x L L Mg N $-$

2

Sustituyendo en (2)

( ) Mg x L x L T $-$ $-$ = 2 2 cos 1 $\alpha$

(3)

Dividiendo miembro a miembro (1) y (3) y despejando 2 T

( ) $\alpha$ tg 2 2 2 x L x L Mg T $-$ $-$

Teniendo en cuenta que h x / tg

$\alpha$ , resulta,

( ) ( ) x L x x L h Mg T $-$ $-$

2 2 2

Sustituyendo en (1) y despejando 1 T ,

( ) $\alpha$ cos 1 2 2 1 x L x L Mg T $-$ $-$

$\Rightarrow$ ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 h x x L x x L h Mg T + $-$ $-$

b) Como era de esperar, las tensiones 1 T y 2 T son funciones de x. Para hacer una representación gráfica de ( ) x T2 en el rango 2 / 0 L x $\le$ $\le$ que es el de interés en el problema, conviene comenzar por los “puntos de corte” con el eje de abscisas: ( ) 0 0 2

= x T

y ( ) 0 2 / 2

= L x T

Por otra parte, en el rango citado ( ) 0 2

x T , luego para un cierto valor m x tiene que tener un máximo cuya determinación exige 0 2 = dx dT

$\Rightarrow$ 0 4 2 2 2

$-$ L Lx x

Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son

⎪⎩ ⎪⎨ ⎧

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ $\pm$

L , L , L x 30 0 7 1 2 2 1

Fig. 3 L h L x T2 T1 $\alpha$ N Mg B OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Como la primera solución, corresponde a un valor de la distancia x mayor que L, fuera del rango de interés, nos quedamos con la segunda, por lo que

L , xm 30 0

El valor max 2 T de la tensión máxima es

h L Mg , T max 2 2 10 6 8 $-$ $\cdot$

Estos resultados son suficientes para poder trazar la gráfica aproximada de ( ) x T2 que se muestra en la figura 4. c) Con los datos del enunciado, se obtiene m 36

m x

y N 10 5 5 6 2 $\cdot$ = , T max

d) Si la reacción del suelo sobre el soporte es vertical, tal como indica el enunciado, significa que la resultante de las tensiones 3 1 T T T r r r +

tiene que ser también vertical, para que el poste permanezca en equilibrio, como se indica en la figura 5. Por lo tanto las componentes horizontales de dichas tensiones verifican que $\alpha$ $\beta$ sen sen 1 3 T T

$\Rightarrow$ $\beta$ $\alpha$ sen sen 1 3 T T =

Teniendo en cuenta (1), $\beta$ sen 2 3 T T =

Como se pide el valor 3 T para 2 T máxima, se tiene que

$\beta$ sen 2 3 max max T T

$\Rightarrow$ N 10 1 1 7 3 $\cdot$ = , T

Nota: en el modelo simplificado que se ha adoptado en este problema, no se ha tenido en cuenta la estructura rígida inclinada, paralela a los cables EA, y claramente visible en la serie de fotos de la figura 1, cuya finalidad es dar rigidez al poste. Su inclusión en el modelo supondría una complicación excesiva para el nivel que se ha pretendido dar a este ejercicio.

Fig. 5 h x 3 T r

$\alpha$ $\beta$ 1 T r

T r x T2(x) T2max xmax 0 L/2 Fig. 4 OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Rod, String Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1 Il lancio del ponte-pavilone

Il Pabellone-Ponte, uno degli edifici emblematici di EXPO 2008, è un ampio spazio espositivo sull’Ebro, progettato dalla prestigiosa architetta irachena Zaha Hadid. La costruzione di questo edificio è stata una sfida tecnologica enorme, poiché La sua totale mancanza di simmetria ha costretto a progettare separatamente ogni singolo pezzo metallico. La metà del ponte è stata costruita in situ sfruttando una piccola isola naturale nel corso del fiume. L’altra metà è stata fatta su terra ferma, in La parte destra della sponda, così che una volta terminata, è stata necessario lanciarla per assemblarla con la prima metà.

La fotografia di cui alla figura 1.a mostra l’inizio del lancio. La grande struttura si può vedere a sinistra Il lancio è stato effettuato con il preliminarissimo sollevamento. Nella figura 1.b si vede la parte anteriore del ponte che sta lanciato. La figura 1.c corrisponde al termine del lancio, con le due metà del ponte preparate per la sua connessione. (Le Le fotografie sono cortesia di EXPO 2008).

Il complesso processo di lancio del ponte, manovra senza precedenti, si è svolto molto lentamente, in modo che la costruzione di una piattaforma di ponte fosse un’operazione di grande rilievo. che si possa considerare in equilibrio statico in ogni momento. In fisica questo tipo di processo è chiamato quasiestatico.

Per effettuare uno studio preliminare si ricorre, come è abituale in fisica, a un modello semplificato. Con questo La modellazione è un’attività che si può fare in modo stimativo, che è l’oggetto di questo problema.

Nel modello presentato (Figura 2) il ponte è considerato come una barra omogenea di lunghezza L e massa M, che si appoggia senza rottura su una base fissa, che costituisce il tratto destro del ponte. Inoltre, si ritiene che la struttura provvisoria è un rigido palo verticale di altezza h, appoggiato su ciò che sarà lo stribbo centrale. Da questo posto si si tende due cavi, uno AE di lunghezza fissa, verso un supporto provvisorio e l’altro AB, verso la barra. Accorciando lentamente questo ultimo cavo, la barra si sposta verso sinistra. Per mantenere l’equilibrio in ogni momento è È necessario un terzo cavo CD praticamente orizzontale, che collega la parte destra della barra con un altro supporto fisso. Logicamente, il spostamento della barra richiede che la lunghezza di questo terzo cavo aumenti.

L’interrogazione è stata presentata in un’intervista di stampa. a) Determina le tensioni T1 e T2 sui cavi AB e CD quando la distanza dall’estremità B della barra alla colonna è x. Si può disprezzare il ruggine tra la barra e il supporto. b) Spetta a un’immagine di T2 in funzione di x, da x = 0 a x = L/2, e determina la distanza xm per il quale la tensione T2 è massima, nonché l’espressione del valore massimo T2max di tale tensione. c) Si kg 10 2 2 6 $\cdot$ = , M , m 0 120, L = y m 0, 40

h , calcola il valore di T2max. d) Si o 30

$\beta$ , determina e calcola il valore della tensione del cavo AE, Max T3 , quando T2 è massimo. Supponiamo che la la forza di reazione del suolo sul palo è verticale.

Fig. 1.a Fig. 1.b Fig. 1.c Fig. 2 L h A B D C L x $\beta$ E OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica P1. Il lancio del ponte-pavillo

Soluzione

a) Consideramo la barra come un sistema meccanico in equilibrio, quando il suo estremo destro si trova a una Distanza x dalla base del palo. Le forze esterne che agiscono, rappresentate nella figura 3, sono le tensioni T1 e T2, il peso Mg e la reazione normale N del supporto. Chiamiamo $\alpha$ l’angolo che forma il cavo AB con la verticale.

La condizione di equilibrio del sistema impone, da una parte, che la somma di tutte le forze esterne sia uguale La Commissione ha adottato una decisione che prevede che il tempo di lavoro di cui all’articolo 1 del regolamento (CEE) n.

La prima condizione, quindi, è la somma dei componenti delle forze in base alla Verticali devono essere zero, cioè,

0 s 2 1

$-T$ en T $\alpha$

(1)

0 cos 1

$-$ + mg N T $\alpha$

(2)

Prendendo come origine dei momenti il punto B, della seconda condizione si ha

( ) 0 2

$-$ $-$ x L N L Mg

$\Rightarrow$ ( ) x L L Mg N $-$

2

Sostituendo in (2)

( ) Mg x L x L T $-$ $-$ = 2 2 cos 1 $\alpha$

(3)

Dividendo membro a membro (1) e (3) e eliminando 2 T

( ) $\alpha$ tg 2 2 2 x L x L Mg T $-$ $-$

Considerando che h x / tg

$\alpha$ , si scopre,

( ) ( ) x L x x L h Mg T $-$ $-$

2 2 2

Sostituendo (1) e eliminando 1 T ,

( ) $\alpha$ cos 1 2 2 1 x L x L Mg T $-$ $-$

$\Rightarrow$ ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 h x x L x x L h Mg T + $-$ $-$

b) Come si aspettava, le tensioni 1 T y 2 T sono funzioni di x. Per fare una rappresentazione grafica di ( ) x T2 en il rango 2 / 0 L x $\le$ $\le$ che è di interesse nel problema, è meglio iniziare con i punti di taglio con l’asse di abcissi: ( ) 0 0 2

= x T

y ( ) 0 2 / 2

= L x T

In particolare, nel campo citato ( ) 0 2

x T , poi per un certo valore m x deve avere un massimo di la determinazione richiede 0 2 = dx dT

$\Rightarrow$ 0 4 2 2 2

$-$ L Lx x

Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono

⎪⎩ ⎪⎨ ⎧

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ $\pm$

L , L , L x 30 0 7 1 2 2 1

Fig. 3 L h L x T2 T1 $\alpha$ N Mg B OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica Come prima soluzione, corrisponde a un valore della distanza x maggiore di L, fuori dal range di interesse, Abbiamo preso la seconda, quindi

L , xm 30 0

Il valore Max 2 T di tensione massima è

h L Mg , T max 2 2 10 6 8 $-$ $\cdot$

Questi risultati sono sufficienti per poter tracciare il grafico approssimativo di ( ) x T2 che è mostrato nella figura 4. c) Con i dati della frase, si ottiene m 36

m x

y N 10 5 5 6 2 $\cdot$ = , T max

d) Se la reazione del suolo sul supporto è verticale, come indicato nella frase, Ciò significa che la tensione che si verifica 3 1 T T T r r r +

deve essere anche verticale, per mantenere il palo in equilibrio, come indicato in figura 5. Per il le componenti orizzontali di tali tensioni verificano che $\alpha$ $\beta$ sen sen 1 3 T T

$\Rightarrow$ $\beta$ $\alpha$ sen sen 1 3 T T =

considerando (1) $\beta$ sen 2 3 T T =

Come si richiede il valore 3 T per 2 T massima, si deve

$\beta$ sen 2 3 Max Max T T

$\Rightarrow$ N 10 1 1 7 3 $\cdot$ = , T

Nota: nel modello semplificato adottato in questo problema, non è stata presa in considerazione la struttura rigida inclinata, parallelo ai cavi EA, e chiaramente visibile nella serie di foto della figura 1, che serve a rendere rigido il palo. Su L’inclusione nel modello comporterebbe un’eccessiva complicazione per il livello che si è intenzionato a dare a questo esercizio.

Fig. 5 h x 3 T r

$\alpha$ $\beta$ 1 T r

T r x T2(x) T2max xmax 0 L/2 Fig. 4 OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Rod, String Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1 The launch of the Bridge Pavilion

The Pavilion-Ponte, one of the flagship buildings of EXPO 2008, is a large exhibition space on the Ebro, Designed by the prestigious Iraqi architect Zaha Hadid. The construction of the new facility has been a major technological challenge, as the The total lack of symmetry has forced the design of each of its metal parts separately. Half the bridge has been The project is being built on site on a small natural island in the riverbed. The other half has been made on land, in the The first half of the project was to be assembled with the first half.

The photograph in Figure 1a shows the start of the launch. The large structure can be seen on the left. Provisional lift for launch. Figure 1.b shows the front of the bridge which is being thrown. Figure 1.c corresponds to the end of the launch, with the two halves of the bridge ready for joining. (The The photographs are courtesy of EXPO 2008).

The complex process of launching the bridge, an unprecedented maneuver, was carried out very slowly, in such a way that the The Commission has already taken a number of measures to ensure that the Community’s financial resources are not used to finance the implementation of the budget. In physics this type of process is called quasi-static.

A simplified model is used to perform a preliminary study, as is also the case in physics. With this one The model can be made estimate calculations, which are the object of this problem.

In the model presented (Figure 2) the bridge is considered as a homogeneous bar of length L and mass M, It shall be supported without friction on a fixed base which is the right-hand side of the bridge. It is also considered that The provisional structure is a rigid vertical post of height h, supported on what will be the central pole. From this post I Two cables, one fixed length AE, are tilted to a provisional anchorage and the other AB, to the bar. Shortening Slowly this last cable, the bar moves to the left. To maintain the balance at all times is to A third, almost horizontal CD cable is needed, which connects the right side of the bar with another fixed support. Logically, the bar’s displacement requires that the length of this third cable increase.

Using this model, it answers the following questions: a) Determines the T1 and T2 voltages on the AB and CD cables when the distance from the B end of the bar to the column is x. The friction between the bar and the support can be scorned. b) Draw the graph of T2 in a function of x, from x = 0 to x = L/2, and determine the distance xm for which the T2 stress is maximum, as well as the expression of the maximum T2max value of that stress. c) Si kg 10 2 2 6 $\cdot$ = , M , m 0 120, L = y m 0, 40

h , calculates the value of T2max. d) Si o 30

$\beta$ , determines and calculates the voltage value of the AE cable, Max T3 , when T2 is maximum. Suppose the The ground reaction force over the pole is vertical.

Fig. 1.a Fig. 1.b Fig. 1.c Fig. 2 L h A B D C L x $\beta$ E The Commission has also adopted a number of proposals for the establishment of a new European Union programme for the prevention of trafficking in human beings. The Spanish Royal Physical Society P1. The launch of the Pavilion-Bridge

Solution

a) We consider the bar as a mechanical system in equilibrium, when its right end is at a distance x from the base of the pole. The external forces acting, as shown in Figure 3, are T1 stresses and T2, the Mg weight and the normal reaction N of the support. Llamamos $\alpha$ al ángulo que forma el cable AB con la vertical.

The equilibrium condition of the system requires, on the one hand, that the sum of all the external forces be equal to the sum of the external forces. The resulting momentum of the external forces in relation to any point is zero.

Therefore, from the first condition, the sum of the components of the forces according to the horizontal and according to the Vertical must be zero, that is,

0 s 2 1

$-T$ en T $\alpha$

(1)

0 body 1

$-$ + mg N T $\alpha$

(2)

Taking as the origin of moments point B, of the second condition we have

( ) 0 2

$-$ $-$ x L N L Mg

$\Rightarrow$ ( ) x L L Mg N $-$

2

Substituting in (2)

( ) Mg x L x L T $-$ $-$ = 2 2 body 1 $\alpha$

(3)

Dividing member by member (1) and (3) and clearing 2 T

( ) $\alpha$ tg 2 2 2 x L x L Mg T $-$ $-$

Given that h x / tg

$\alpha$ , it turns out,

( ) ( ) x L x x L h Mg T $-$ $-$

2 2 2

Substituting in (1) and clearing 1 T ,

( ) $\alpha$ body 1 2 2 1 x L x L Mg T $-$ $-$

$\Rightarrow$ ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 h x x L x x L h Mg T + $-$ $-$

b) As expected, tensions 1 T y 2 T is a function of x. To make a graphic representation of ( ) x T2 en the range 2 / 0 L x $\le$ $\le$ The problem is that the first point of interest is the axis. of an abscess: ( ) 0 0 2

= x T

y ( ) 0 2 / 2

= L x T

In the above-mentioned range, ( ) 0 2

x T Then for a certain value m x You have to have a maximum of determination requires 0 2 = dx dT

$\Rightarrow$ 0 4 2 2 2

$-$ L Lx x

The solutions to this second-degree equation are

⎪⎩ ⎪⎨ ⎧

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ $\pm$

L , L , L x 30 0 7 1 2 2 1

Fig. 3 L h L x T2 T1 $\alpha$ N Mg B The Commission has also adopted a number of proposals for the establishment of a new European Union programme for the prevention of trafficking in human beings. The Spanish Royal Physical Society As the first solution, it corresponds to a value of the distance x greater than L, outside the range of interest, we We got the second one, so

L , xm 30 0

The value Max 2 T The maximum voltage is

h L Mg , T max 2 2 10 6 8 $-$ $\cdot$

These results are sufficient to draw the approximate graph of the ( ) x T2 The following is shown in Figure 4. c) The data in the statement gives m 36

m x

y N 10 5 5 6 2 $\cdot$ = , T max

d) If the ground reaction on the support is vertical, as indicated in the statement, This means that the resulting stresses 3 1 T T T r r r +

It has to be vertical too. so that the post remains in balance, as shown in Figure 5. So what? Both the horizontal components of these stresses verify that $\alpha$ $\beta$ Other Other 1 3 T T

$\Rightarrow$ $\beta$ $\alpha$ Other Other 1 3 T T =

Having regard to point (1) of Article 2 (1) of Regulation (EU) No 1308/2013 $\beta$ Other 2 3 T T =

How to ask for the value 3 T for 2 T maximum, you have to

$\beta$ Other 2 3 Max Max T T

$\Rightarrow$ N 10 1 1 7 3 $\cdot$ = , T

Note: the simplified model adopted in this problem does not take into account the rigid sloping structure, parallel to the EA cables, and clearly visible in the series of photos in Figure 1, which is intended to give rigidity to the post. Su The Commission has already decided to take the necessary measures to ensure that the financial year is not too difficult to implement.

Fig. 5 h x 3 T r

$\alpha$ $\beta$ 1 T r

T r x T2(x) T2max xmax 0 L/2 Fig. 4 The Commission has also adopted a number of proposals for the establishment of a new European Union programme for the prevention of trafficking in human beings. The Spanish Royal Physical Society

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Rod, String Fonte: Testo (PDF) — p.2

P2 Un disparo real

Un cañón ajustado con un ángulo de tiro $\alpha$, dispara un proyectil con una velocidad inicial v0. Si se considera despreciable la fricción con el aire,

• A. Determina la expresión del alcance horizontal R.
• B. Calcula el valor de este alcance si v0 = 470 m/s y $\alpha$ = 40o. Toma como valor de la aceleración de la gravedad 2 m/s 8 9, g = . c) Si la velocidad inicial v0 se conoce con una imprecisión del $\pm$ 2%, determina la incertidumbre del alcance horizontal suponiendo que la medida del ángulo de disparo está exenta de errores.

El Regimiento de Artillería de Campaña ATP no 20 de la Brigada de Caballería “Castillejos II” de Zaragoza, utiliza una pieza obús ATP-109 autopropulsada, de calibre 155/32. El proyectil, de masa m = 40 kg , lleva una velocidad s / m v 470 0 = al salir de la pieza. Cuando el ángulo de tiro se ajusta a 40o, el alcance horizontal es de 4.400 m.

d) Con las aproximaciones que estimes conveniente, haz una estimación de las pérdidas energéticas debidas a la fricción con el aire de este proyectil.

En la figura 1 se muestra un esquema, a escala, de las trayectorias del proyectil con y sin fricción con el aire.

X Y O Fig. 1 OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA P2. Un disparo real

Solución

a) Ecuaciones del movimiento en el Sistema de Referencia de la figura:

2 sen sen Y

Eje

cos cos 0 X

Eje 2 0 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ $-$

$-$

$-$

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

=

/ t g t v y t g v v g a t v x v v a y y x x $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$

(1)

Eliminando t entre x e y de las expresiones (1), se obtiene la ecuación de la trayectoria:

2 2 2 0 cos 2 tg x v g x y $\varphi$ $\varphi$ $-$

(2)

Si en (2) se hace y = 0, el valor de x corresponde al alcance horizontal R

g v R $\varphi$ 2 sen 2 0

(3)

b) Sustituyendo los valores de g, $\varphi$ y v0 en la ecuación anterior, se obtiene

R = 22.000 m

c) Una imprecisión $\text{Deltav}0$ en la determinación de la velocidad de salida del proyectil, provoca que el valor del alcance R esté comprendido entre

( ) $\varphi$ $\Delta$ 2 sen 2 2 0 0 g v v Rmax +

( ) $\varphi$ $\Delta$ 2 sen 2 2 0 0 g v v Rmin $-$

Lo que nos permite evaluar la incertidumbre $\text{DeltaR}$ en el alcance como el promedio de los valores anteriores

( ) ( ) [ ] 0 2 0 0 2 0 0 2 sen 2 2 sen 2 v g v v v v g R R R min max $\Delta$ $\varphi$ $\Delta$ $\Delta$ $\varphi$ $\Delta$

$-$ + +

$-$

Dividiendo los miembros de la ecuación anterior por (3), se obtiene la imprecisión relativa en el alcance en función de $\text{Deltav}0$ / v0

0 0 2 v v R R $\Delta$ $\Delta$

Como 02 0 0 0 , v v $\pm$

$\Delta$

$\Rightarrow$ 04 0, R R $\pm$

$\Delta$ ; es decir del $\pm$ 4%. El valor del alcance horizontal es

m 890 000 22 $\pm$

. R

d) Esta cuestión es de respuesta abierta y tiene como objetivo comprobar la capacidad de razonamiento. X Y O v0 $\varphi$ R g OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Error Propagation, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Estimation & Approximation Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2 Un vero colpo

Un cannone regolato con un angolo di lancio $\alpha$, lancia un proiettile a velocità iniziale v0. Se si considera sconsiderato il frattura con l’aria,

• A. Determina l’espressione della portata orizzontale R.
• B. Calcola il valore di questo raggio se v0 = 470 m/s e $\alpha$ = 40o. Prendi come valore l’accelerazione della gravità 2 m/s 8 9, g = . c) Se la velocità iniziale v0 è conosciuta con un’imprecisione $\pm$ 2%, determina l’incertezza di portata orizzontale, supponendo che la misura dell’angolo di lancio sia esente da errori.

Il Reggimento di Artiglieria di Campaign ATP n. 20 della Brigata di Cavalleria Castillejos II di Zaragoza, utilizza un obuso ATP-109 autopropulsato, calibro 155/32. Il proiettile, di massa m = 40 kg, porta una velocità s / m v 470 0 = uscendo dalla stanza. Quando l’angolo di tiro è regolato a 40°, la portata orizzontale è di 4.400 m.

d) Con le approcci che riteniate opportune, fate un’estimazione delle perdite energetiche dovute alla

• Frottura con l’aria di questo proiettile.

La figura 1 mostra uno schema, su scala, dei percorsi del proiettile con e senza frizione con l’aria.

X Y O Fig. 1 OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica P2. Un vero colpo

Soluzione

a) Equations di movimento nel sistema di riferimento della figura:

2 sen sen Y

Axe

cos cos 0 X

Axe 2 0 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ $-$

$-$

$-$

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

=

/ t g t v y t g v v g a t v x v v a y y x x $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$

(1)

Sbarazzando t tra x e e le espressioni (1), si ottiene l’equazione di La durata del percorso:

2 2 2 0 cos 2 tg x v g x y $\varphi$ $\varphi$ $-$

(2)

Se in (2) si fa y = 0, il valore di x corrisponde alla gamma orizzontale R

g v R $\varphi$ 2 sen 2 0

(3)

b) Sostituendo i valori di g, $\varphi$ e v0 nell’equazione precedente, si ottiene

R = 22.000 m

c) Un’imprecisione $\text{Deltav}0$ nel determinare la velocità di uscita del proiettile, provoca che il valore di raggio R è compresa tra:

( ) $\varphi$ $\Delta$ 2 sen 2 2 0 0 g v v Rmax +

( ) $\varphi$ $\Delta$ 2 sen 2 2 0 0 g v v Rmin $-$

Ciò ci permette di valutare l’incertezza $\text{DeltaR}$ nella portata come la media dei valori precedenti

( ) ( ) [ ] 0 2 0 0 2 0 0 2 sen 2 2 sen 2 v g v v v v g R R R Min Max $\Delta$ $\varphi$ $\Delta$ $\Delta$ $\varphi$ $\Delta$

$-$ + +

$-$

Dividendo i membri dell’equazione precedente per (3), si ottiene l’imprecisione relativa nella portata di Funzione di $\text{Deltav}0$ / v0

0 0 2 v v R R $\Delta$ $\Delta$

Come 02 0 0 0 , v v $\pm$

$\Delta$

$\Rightarrow$ 04 0, R R $\pm$

$\Delta$ ; cioè $\pm$ 4%. Il valore della portata orizzontale è

m 890 000 22 $\pm$

. R

d) La questione è di risposta aperta e ha lo scopo di verificare la capacità di ragionamento. X Y O v0 $\varphi$ R g OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Error Propagation, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Estimation & Approximation Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2 A real shot

A cannon fitted with a shooting angle $\alpha$ fires a projectile at an initial velocity of v0. If it is considered The friction with the air is despicable,

• A. Determines the expression of the horizontal range R.
• B. Calculate the value of this range if v0 = 470 m/s and $\alpha$ = 40o. Take as value the acceleration of gravity 2 m/s 8 9, g = . (c) If the initial speed v0 is known with an imprecision of $\pm$ 2%, it determines the range uncertainty horizontal assuming that the measurement of the shooting angle is error-free.

The ATP Campaign Artillery Regiment no 20 of the Cavalry Brigade Castillejos II of Zaragoza, It uses a self-propelled ATP-109 howitzer, caliber 155/32. The projectile, with a mass m = 40 kg, carries a velocity s / m v 470 0 = when you leave the room. When the shooting angle is adjusted to 40°, the horizontal range is 4,400 m.

(d) With the approximations you deem appropriate, make an estimate of energy losses due to the friction with the air of this projectile.

Figure 1 shows a scale-based outline of the projectile’s trajectories with and without friction with the air.

X Y O Fig. 1 The Commission has also adopted a number of proposals for the establishment of a new European Union programme for the prevention of trafficking in human beings. The Spanish Royal Physical Society P2. A real shot

Solution

(a) Equations of motion in the reference system of the figure:

2 Other Other Y

Axis

body body 0 X

Axis 2 0 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ $-$

$-$

$-$

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

=

/ t g t v y t g v v g a t v x v v a y y x x $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$

(1)

By removing t between x and e from the expressions (1), we get the equation of the The following is the list of the countries of origin:

2 2 2 0 body 2 tg x v g x y $\varphi$ $\varphi$ $-$

(2)

If in (2) y = 0, the value of x corresponds to the horizontal range R

g v R $\varphi$ 2 Other 2 0

(3)

(b) Substituting the values of g, $\varphi$ and v0 in the above equation,

R = 22.000 m

(c) An imprecision $\text{Deltav}0$ in the determination of the projectile’s output speed causes the range value R to be is comprised of:

( ) $\varphi$ $\Delta$ 2 Other 2 2 0 0 g v v Rmax +

( ) $\varphi$ $\Delta$ 2 Other 2 2 0 0 g v v Rmin $-$

This allows us to assess the uncertainty $\text{DeltaR}$ in the range as the average of the above values

( ) ( ) [ ] 0 2 0 0 2 0 0 2 Other 2 2 Other 2 v g v v v v g R R R Min Max $\Delta$ $\varphi$ $\Delta$ $\Delta$ $\varphi$ $\Delta$

$-$ + +

$-$

Dividing the members of the above equation by (3), the relative imprecision in the scope of the The following is the function of $\text{Deltav}0$ / v0

0 0 2 v v R R $\Delta$ $\Delta$

As 02 0 0 0 , v v $\pm$

$\Delta$

$\Rightarrow$ 04 0, R R $\pm$

$\Delta$ ; es decir del $\pm$ 4%. The horizontal range value is

m 890 000 22 $\pm$

. R

(d) This question is open to answer and aims to test the capacity for reasoning. X Y O v0 $\varphi$ R g The Commission has also adopted a number of proposals for the establishment of a new European Union programme for the prevention of trafficking in human beings. The Spanish Royal Physical Society

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Error Propagation, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Estimation & Approximation Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.5

P3 Pimpón electrostático Un generador de Van de Graff (figura 1) es una máquina electrostática que consigue cargar una esfera hasta muy altos potenciales, del orden de 100 kV. Mediante un generador de este tipo se establece una diferencia de potencial V entre dos placas conductoras planas y paralelas (condensador plano), separadas una distancia d. Con este dispositivo y una pelota de pimpón, de radio R y masa M, pintada con pintura conductora, puede realizarse la experiencia conocida como “pimpón electrostático”, cuyo esquema se representa en la figura 2.

Figura 1.- Generador de Van de Graff Figura 2.- Esquema del pimpón electrostático. Cuando se pone en marcha el generador, una placa adquiere densidad de carga positiva $+\sigma$ y la otra densidad de carga negativa $-\sigma$ . La pelota, inicialmente en contacto con la placa positiva, adquiere una carga +Q y es atraída por la placa negativa. Cuando llega a esta placa, con la que choca inelásticamente, le transfiere su carga positiva y adquiere una carga $-Q$, de forma que es atraída por la placa positiva y se produce el retorno a la posición inicial, donde se repite el choque inelástico y la permuta de carga. Este movimiento de vaivén se repite mientras se mantenga la diferencia de potencial. El análisis exacto de este proceso es complejo, pero haciendo algunas simplificaciones se pueden obtener resultados realistas. Considera que sobre la pelota sólo actúan fuerzas electrostáticas y que el campo eléctrico E r entre las dos placas es uniforme, perpendicular a sus superficies y que no se modifica apreciablemente por la presencia de la pelota cargada. También puedes considerar que las dimensiones de la pelota son despreciables frente a la separación entre las placas, es decir que R << d. a) Si la pelota de pimpón parte del reposo desde una placa, determina el tiempo t que tarda en llegar a la otra. Expresa el resultado en función de Q, M, d y E. b) Supón que, tras chocar la pelota con una placa, la carga que adquiere es proporcional a la densidad de carga superficial que tiene esa placa, es decir Q = k $\sigma$. Determina el valor de la carga en función de la constante de proporcionalidad k y de los parámetros experimentales d y V. c) Cuando las placas del condensador están separadas una distancia d = 0,2 m y se ajusta el voltaje a V = 36 kV, la frecuencia de las oscilaciones de la pelota es de 0,5 Hz. Determina los valores de k y Q. ¿Qué unidades tiene k?

La masa reglamentaria de una bola de pimpón es m = 2,7 g. La pintura conductora incrementa esta masa en 0,9 g.

Constante de Coulomb: ( ) 2 2 9 0 C m N 10 9 4 1 $-$ $\cdot$

$\pi ϵ$ /

d) Calcula la intensidad media que marca el nanoamperímetro (nA) de la figura 2. e) Relaciona la potencia eléctrica suministrada por el generador de Van de Graff con la energía mecánica entregada por la pelota a una placa en cada choque. Generador Van de Graff 0 $ϵ$ $\sigma$ /

E

d M, Q nA V OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA P3. Pimpón electrostático

Solución

a) La diferencia de potencial aplicada entre las placas del condensador crea un campo eléctrico uniforme en el espacio comprendido entre ellas que viene dado por

i i E E r r r 0 $ϵ$ $\sigma$

=

donde $\sigma$ es la densidad de carga existente en cada placa $(+\sigma$ en la de la izquierda y $-\sigma$ en la de la derecha) e i r el vector unitario en la dirección del eje 0X, horizontal y con origen en la placa izquierda.

La pelota de pimpón puede considerarse aproximadamente para nuestro problema como una partícula con carga Q, luego experimentará un movimiento uniformemente acelerado producido por la fuerza eléctrica

i M E Q i a a a M E Q F r r r r r r

= $\Rightarrow$

=

(1)

Por tanto, recorrerá la distancia d en un tiempo t que cumple

2 2 1 t a d = $\Rightarrow$ a d t 2

$\Rightarrow$ E Q M d t 2

(2)

El camino de vuelta se realiza en el mismo tiempo, ya que también parte del reposo tras un choque inelástico. La única diferencia es que ahora la pelota habrá adquirido una carga –Q, y por tanto la fuerza será en sentido opuesto.

b) Teniendo en cuenta la relación entre el campo electrostático uniforme y la diferencia de potencial

d V E =

(3)

tenemos que

0 $\Rightarrow$

$\Rightarrow$

E $ϵ$ k Q k Q $\sigma$ d V $ϵ$ k Q 0

=

c) Datos numéricos:

d = 0,2 m

V = 36.000 V.

M= m+0,9 g = 3,6 g.

f = 0,5 Hz. Por tanto el periodo de oscilación (tiempo que le cuesta ir de una placa a otra y volver) es T = 1/f = 2 s, y el tiempo que tarda en viajar de una placa hasta la otra es la mitad, t = 1 s.

Sustituyendo el campo eléctrico en función del potencial, expresión (3), en la expresión (2) obtenemos

V Q M d t 2 2

despejando Q y sustituyendo los valores numéricos

nC

8 C 10 8 2 9 2 2

$\cdot$

= $-$ V t M d Q

Podemos calcular k una vez obtenida Q en la forma

E Q Q k 0 $ϵ$ $\sigma$ =

$\Rightarrow$ 2 3 0 m

10 03 5 $-$ $\cdot$

= , V d Q k $ϵ$

d) Cada segundo el flujo de carga neto es de + 8 nC (bien +8 nC de izquierda a derecha, bien – 8 nC de derecha a izquierda, que es equivalente), por tanto la intensidad media vendrá dada por

t Q I = $\Rightarrow$ nA

8 A 10 8 9

$\cdot$

$-$ I OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA e) La potencia eléctrica media suministrada por el generador viene dada por

I V P = $\Rightarrow$ mW

288 0,

W 10 88 2 4

$\cdot$

$-$ , P

La pelota entrega toda su energía cinética a la placa en cada choque. Para calcular esta energía necesitamos conocer su velocidad final antes del choque vf ,. Como es un movimiento uniformemente acelerado, partiendo del reposo

m/s 4 0,

=

= t d M V Q t M E Q t a v f

Por tanto su energía cinética es

J 10 88 2 2 1 4 2 $-$ $\cdot$

= , f c Mv E

Se observa que, como era de esperar, la potencia eléctrica suministrada por el generador ( W 10 88 2 4 $-$ $\cdot$ , , es decir

10 88 2 4 $-$ $\cdot$ , Julios cada segundo) coincide con la energía mecánica que entrega la pelota a las placas en cada choque, es decir cada segundo, puesto que este es el tiempo de vuelo de una placa a la otra.

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Electric Potential Method, Kinematic Equations, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.7

P3 Pimpone elettrostatico Un generatore Van de Graff (Figura 1) è una macchina elettrostatica che riesce a caricare una sfera fino a molto alte Potenziali, dell’ordine di 100 kV. Un generatore di questo tipo determina una differenza di potenziale V tra due a) plate di conduttore piane e parallele (condensatore piano), separate a distanza d. Con questo dispositivo e una palla di pimpone, di raggio R e massa M, dipinta con la pittura conduttiva, si può realizzare la l’esperienza conosciuta come “pimpone elettrostatico”, il cui schema è rappresentato nella figura 2.

Figura 1.- Generatore di Van de Graff Figura 2.- Schema del pomponetto elettrostatico. Quando si accende il generatore, una scheda acquista la densità di carica positiva $+\sigma$ e l’altra la densità di carica Negativo $-\sigma$ . La palla, inizialmente in contatto con la placca positiva, acquista una carica +Q ed è attratta dalla placca

• Negativo. Quando arriva a questa scheda, con la quale colpisce inelasticamente, trasmette la sua carica positiva e acquisisce una carica $-Q$, in modo che sia attratto dalla placca positiva e si verifichi il ritorno alla posizione iniziale, dove si ripete la collisione inelastico e il permuto di carico. Questo movimento di vagabondazione si ripete pur mantenendo la differenza di potenziale. L’analisi esatta di questo processo è complessa, ma facendo alcune semplificazioni si possono ottenere risultati
• E’ realistico. Considera che sulla palla agiscono solo forze elettrostatiche e che il campo elettrico E r tra le due placche è uniforme, perpendicolare alle sue superfici e non si modifica sensibilmente per la presenza della palla carica. Potete anche considerare le dimensioni della palla dispregiate rispetto alla separazione tra le placche, è dire che R << d. a) Se la palla di pimpone parte dal riposo da una piastra, determina il tempo t necessario per raggiungere l’altra. Esprima il Risultato in funzione di Q, M, d ed E. b) Suppone che, dopo aver colpito la palla con una scheda, il carico che acquista sia proporzionale alla densità di carico superficiale che ha quella targa, cioè Q = k $\sigma$. Determina il valore della carica in base alla costante di proporzionalità k e di parametri sperimentali d e V. c) Quando le schede del condensatore sono distanti da un’altra di 0,2 m e la volta è regolata a V = 36 kV, la la frequenza di oscillazione della palla è di 0,5 Hz. Determina i valori di k e Q. Quali unità ha k?

La massa regolare di una palla di pippone è m = 2,7 g. La vernice conduttrice aumenta questa massa di 0,9 g.

Costante di Coulomb: ( ) 2 2 9 0 C m N 10 9 4 1 $-$ $\cdot$

$\pi ϵ$ /

d) Calcola l’intensità media del nanoperimetro (nA) di figura 2. e) Relaziona la potenza elettrica fornita dal generatore Van de Graff con l’energia meccanica fornita dalla

• Un pallone a una targa a ogni colpo. Generatore Van di Graff 0 $ϵ$ $\sigma$ / = E

d M, Q nA V OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica P3. Pimpone elettrostatico

Soluzione

a) La differenza di potenziale applicata tra le schede del condensatore crea un campo elettrico uniforme nello spazio compresa tra le quali viene dato da

i i E E r r r 0 $ϵ$ $\sigma$

=

dove $\sigma$ è la densità di carico esistente su ciascuna scheda $(+\sigma$ sulla sinistra e $-\sigma$ sulla destra) e i r el Vettore unitario nella direzione dell’asse 0X, orizzontale e originario della targa sinistra.

La palla di pimpone può essere considerata circa per il nostro problema come una particella con carica Q, poi sperimenterà un movimento uniformemente accelerato prodotto dalla forza elettrica

i M E Q i a a a M E Q F r r r r r r

= $\Rightarrow$

=

(1)

Quindi, percorrerà la distanza d in un tempo t che soddisfa

2 2 1 t a d = $\Rightarrow$ a d t 2

$\Rightarrow$ E Q M d t 2

(2)

Il ritorno è effettuato nello stesso tempo, poiché parte anche del riposo dopo un colpo inelastico. La La sola differenza è che ora la palla avrà acquisito una carica Q, e quindi la forza sarà in senso opposto.

b) Considerando il rapporto tra campo elettrostatico uniforme e differenza di potenziale

d V E =

(3)

Dobbiamo

0 $\Rightarrow$

$\Rightarrow$

E $ϵ$ k Q k Q $\sigma$ d V $ϵ$ k Q 0

=

c) Dati numerici:

d = 0,2 m

V = 36.000 V.

M= m+0,9 g = 3,6 g.

f = 0,5 Hz. Quindi il periodo di oscillazione (il tempo che ci vuole per andare da una piastra all’altra e tornare indietro) è T = 1/f = 2 s, e il Il tempo necessario per viaggiare da una scheda all’altra è metà, t = 1 s.

Sostituendo il campo elettrico in funzione del potenziale, espressione (3), in espressione (2) otteniamo

V Q M d t 2 2

Sbarazzando Q e sostituendo i valori numerici

nC

8 C 10 8 2 9 2 2

$\cdot$

= $-$ V t M d Q

Possiamo calcolare k una volta ottenuto Q in forma

E Q Q k 0 $ϵ$ $\sigma$ =

$\Rightarrow$ 2 3 0 m

10 03 5 $-$ $\cdot$

= , V d Q k $ϵ$

d) Ogni secondo il flusso di carico netto è di +8 nC (vale a dire +8 nC da sinistra a destra, vale a dire 8 nC da destra a La media di intensità è data da

t Q I = $\Rightarrow$ nA

8 A 10 8 9

$\cdot$

$-$ I OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica e) La potenza elettrica media fornita dal generatore è data da

I V P = $\Rightarrow$ mW

288 0,

W 10 88 2 4

$\cdot$

$-$ , P

La palla consegna tutta la sua energia cinetica alla scheda in ogni colpo. Per calcolare questa energia, dobbiamo conoscere il suo velocità finale prima dello scontro vf , Come è un movimento uniformemente accelerato, partendo dal riposo

m/s 4 0,

=

= t d M V Q t M E Q t a v f

Quindi la sua energia cinetica è

J 10 88 2 2 1 4 2 $-$ $\cdot$

= , f c Mv E

Si osserva che, come si poteva aspettarsi, la potenza elettrica fornita dal generatore ( W 10 88 2 4 $-$ $\cdot$ , , cioè

10 88 2 4 $-$ $\cdot$ , Giuli ogni secondo) corrisponde all’energia meccanica che consegna la palla alle placche in ogni colpo, Cioè ogni secondo, visto che questo è il tempo di volo da una targa all’altra.

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Electric Potential Method, Kinematic Equations, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.7

P3 Electrostatic pump A Van de Graff generator (Figure 1) is an electrostatic machine that can charge a sphere to very high The Commission has not yet taken any further action. A generator of this type establishes a potential V difference between two Flat and parallel conductive plates (flat capacitor), separated by a distance d. With this device and a pimpling ball, R-ray and M-mass, painted with conductive paint, the The experiment known as the electrostatic pump, whose scheme is shown in Figure 2.

Figure 1.- Graff Van generator Figure 2.- Scheme of the electrostatic piston. When the generator is started, one plate acquires a positive charge density $+\sigma$ and the other a charge density negativa $-\sigma$ . The ball, initially in contact with the positive plate, acquires a +Q charge and is attracted by the plate

• No, I’m not. When it reaches this plate, which it collides inelastically with, it transfers its positive charge to it and acquires a charge. $-Q$, so that it is attracted by the positive plate and returns to the starting position, where the impact is repeated Inelastic and load-bearing. This swing motion is repeated as long as the potential difference is maintained. The exact analysis of this process is complex, but by making some simplifications results can be obtained. It’s realistic. It considers that only electrostatic forces act on the ball and that the electric field E r between the two plates It is uniform, perpendicular to its surfaces and not appreciably modified by the presence of the ball being loaded. You can also consider the dimensions of the ball to be despicable in the face of the separation between the plates, is say that R << d. (a) If the pimpon ball starts at rest from one plate, determine the time t takes to reach the other. It expresses the resulting from Q, M, d and E. (b) Assume that after hitting the ball with a plate, the load it acquires is proportional to the surface load density que tiene esa placa, es decir Q = k $\sigma$. Determine the load value based on the proportionality constant k and of experimental parameters d and V. (c) When the capacitor plates are separated by a distance d = 0,2 m and the voltage is adjusted to V = 36 kV, the The frequency of the ball oscillations is 0.5 Hz. Determine the values of k and Q. What units does k have?

The regulatory mass of a pimp ball is m = 2,7 g. The conductive paint increases this mass by 0.9 g.

Coulomb constant is the following: ( ) 2 2 9 0 C m N 10 9 4 1 $-$ $\cdot$

$\pi ϵ$ /

(d) Calculate the mean intensity of the nanoperiometer (nA) in Figure 2. (e) Relates the electrical power supplied by the Van de Graff generator to the mechanical power supplied by the He’s a plaque ball in every hit. Other power generators Van de Graff is a 0 $ϵ$ $\sigma$ /

E

d M, Q nA V The Commission has also adopted a number of proposals for the establishment of a new European Union programme for the prevention of trafficking in human beings. The Spanish Royal Physical Society P3. Electrical pumps

Solution

a) The potential difference applied between the capacitor plates creates a uniform electric field in space including among them that is given by

i i E E r r r 0 $ϵ$ $\sigma$

=

where $\sigma$ is the load density existing on each plate $(+\sigma$ on the left and $-\sigma$ on the right) and i r el Unit vector in the direction of the 0X axis, horizontal and originating in the left plate.

The pimp ball can be considered approximately for our problem as a Q-charged particle, Then you’ll experience uniformly accelerated motion produced by the electrical force.

i M E Q i a a a M E Q F r r r r r r

= $\Rightarrow$

=

(1)

So it will travel the distance d in a time t that meets

2 2 1 t a d = $\Rightarrow$ a d t 2

$\Rightarrow$ E Q M d t 2

(2)

The return journey takes place at the same time, as it also takes part in the rest after an inelastic shock. La The only difference is that now the ball will have acquired a charge of Q, and therefore the force will be in the opposite direction.

b) Taking into account the relationship between the uniform electrostatic field and the potential difference

d V E =

(3)

We have to

0 $\Rightarrow$

$\Rightarrow$

E $ϵ$ k Q k Q $\sigma$ d V $ϵ$ k Q 0

=

c) The following data are available:

d = 0,2 m

V = 36.000 V.

M= m+0,9 g = 3,6 g.

f = 0,5 Hz. Thus the oscillation period (the time it takes to go from one plate to another and back) is T = 1/f = 2 s, and the The time it takes to travel from one plate to another is half, t = 1 s.

Substituting the electric field by the potential, expression (3), in expression (2) we get

V Q M d t 2 2

clearing Q and replacing numerical values

nC

8 C 10 8 2 9 2 2

$\cdot$

= $-$ V t M d Q

We can calculate k once we get Q in the form

E Q Q k 0 $ϵ$ $\sigma$ =

$\Rightarrow$ 2 3 0 m

10 03 5 $-$ $\cdot$

= , V d Q k $ϵ$

d) Each second the net load flow is of +8 nC (either +8 nC left to right, or 8 nC right to The average intensity will be given by the

t Q I = $\Rightarrow$ nA

8 A 10 8 9

$\cdot$

$-$ I The Commission has also adopted a number of proposals for the establishment of a new European Union programme for the prevention of trafficking in human beings. The Spanish Royal Physical Society e) The average electrical power supplied by the generator is given by

I V P = $\Rightarrow$ mW

288 0,

W 10 88 2 4

$\cdot$

$-$ , P

The ball delivers all its kinetic energy to the board in each impact. To calculate this energy we need to know its Final speed before the impact vf , As it is a uniformly accelerated movement, starting from rest

m/s 4 0,

=

= t d M V Q t M E Q t a v f

So its kinetic energy is

J 10 88 2 2 1 4 2 $-$ $\cdot$

= , f c Mv E

It is noted that, as expected, the electrical power supplied by the generator ( W 10 88 2 4 $-$ $\cdot$ , I mean ,

10 88 2 4 $-$ $\cdot$ , Every second) matches the mechanical energy that delivers the ball to the plates in each impact, That’s every second, since this is the flight time from one plate to the next.

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Electric Potential Method, Kinematic Equations, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.7