Spagna 2008

P1 El lanzamiento del Pabellón-Puente

El Pabellón-Puente, uno de los edificios emblemáticos de EXPO 2008, es un amplio espacio expositivo sobre el Ebro, diseñado por la prestigiosa arquitecta iraquí Zaha Hadid. Su construcción ha supuesto un enorme reto tecnológico, ya que su total falta de simetría ha obligado a diseñar por separado cada una de sus piezas metálicas. Una mitad del puente ha sido construida in situ aprovechando una pequeña isla natural en el cauce del río. La otra mitad se ha hecho en tierra firme, en la ribera derecha, de forma que una vez terminada ha sido preciso “lanzarla” para ensamblarla con la primera mitad.

La fotografía de la figura 1.a muestra el inicio del lanzamiento. Puede apreciarse a la izquierda la gran estructura provisional levantada para realizar el lanzamiento. En la figura 1.b se ve la parte delantera del puente que está siendo lanzado. La figura 1.c corresponde al final del lanzamiento, con las dos mitades del puente preparadas para su unión. (Las fotografías son cortesía de EXPO 2008).

El complejo proceso del lanzamiento del puente, maniobra sin precedentes, se llevó a cabo muy lentamente, de forma que en todo momento se pudiese considerar en equilibrio estático. En Física este tipo de proceso se denomina cuasiestático.

Para realizar un estudio preliminar se recurre, como también es habitual en Física, a un modelo simplificado. Con este modelo se pueden hacer cálculos estimativos, que son el objeto de este problema.

En el modelo que se presenta (figura 2) se considera al puente como una barra homogénea de longitud L y masa M, que se apoya sin rozamiento sobre una base fija, que constituye el estribo derecho del puente. Así mismo, se considera que la estructura provisional es un poste vertical rígido de altura h, apoyado en lo que será el estribo central. De este poste se tienden dos cables, uno AE de longitud fija, hacia una sujeción provisional y el otro AB, hacia la barra. Acortando lentamente este último cable, la barra se desplaza hacia la izquierda. Para que en todo momento se conserve el equilibrio es necesario un tercer cable CD prácticamente horizontal, que une la parte derecha de la barra con otro soporte fijo. Lógicamente, el desplazamiento de la barra exige que la longitud de este tercer cable aumente.

Utilizando este modelo, responde a las siguientes cuestiones: a) Determina las tensiones T1 y T2 en los cables AB y CD cuando la distancia del extremo B de la barra a la columna es x. Puede despreciarse el rozamiento entre la barra y el soporte. b) Dibuja de forma aproximada la grafica de T2 en función de x, desde x = 0 hasta x = L/2, y determina la distancia xm para la cual la tensión T2 es máxima, así como la expresión del valor máximo T2max de dicha tensión. c) Si kg 10 2 2 6 $\cdot$ = , M , m 0 120, L = y m 0, 40

h , calcula el valor de T2max. d) Si o 30

$\beta$ , determina y calcula el valor de la tensión del cable AE, max T3 , cuando T2 es máxima. Supón que la fuerza de reacción del suelo sobre el poste es vertical.

Fig. 1.a Fig. 1.b Fig. 1.c Fig. 2 L h A B D C L x $\beta$ E OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA P1. El lanzamiento del Pabellón-Puente

Solución

a) Consideramos la barra como sistema mecánico en equilibrio, cuando su extremo derecho se encuentra a una distancia x de la base del poste. Las fuerzas exteriores que actúan, representadas en la figura 3, son las tensiones T1 y T2 , el peso Mg y la reacción normal N del soporte. Llamamos $\alpha$ al ángulo que forma el cable AB con la vertical.

La condición de equilibrio del sistema impone, por una parte, que la suma de todas las fuerzas exteriores sea igual a cero y, por otra, que el momento resultante de las fuerzas exteriores respecto a cualquier punto sea nulo.

Por lo tanto, de la primera condición, la suma de las componentes de las fuerzas según la horizontal y según la vertical deben ser cero, es decir,

0 s 2 1

$-T$ en T $\alpha$

(1)

0 cos 1

$-$ + mg N T $\alpha$

(2)

Tomando como origen de momentos el punto B, de la segunda condición se tiene

( ) 0 2

$-$ $-$ x L N L Mg

$\Rightarrow$ ( ) x L L Mg N $-$

2

Sustituyendo en (2)

( ) Mg x L x L T $-$ $-$ = 2 2 cos 1 $\alpha$

(3)

Dividiendo miembro a miembro (1) y (3) y despejando 2 T

( ) $\alpha$ tg 2 2 2 x L x L Mg T $-$ $-$

Teniendo en cuenta que h x / tg

$\alpha$ , resulta,

( ) ( ) x L x x L h Mg T $-$ $-$

2 2 2

Sustituyendo en (1) y despejando 1 T ,

( ) $\alpha$ cos 1 2 2 1 x L x L Mg T $-$ $-$

$\Rightarrow$ ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 h x x L x x L h Mg T + $-$ $-$

b) Como era de esperar, las tensiones 1 T y 2 T son funciones de x. Para hacer una representación gráfica de ( ) x T2 en el rango 2 / 0 L x $\le$ $\le$ que es el de interés en el problema, conviene comenzar por los “puntos de corte” con el eje de abscisas: ( ) 0 0 2

= x T

y ( ) 0 2 / 2

= L x T

Por otra parte, en el rango citado ( ) 0 2

x T , luego para un cierto valor m x tiene que tener un máximo cuya determinación exige 0 2 = dx dT

$\Rightarrow$ 0 4 2 2 2

$-$ L Lx x

Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son

⎪⎩ ⎪⎨ ⎧

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ $\pm$

L , L , L x 30 0 7 1 2 2 1

Fig. 3 L h L x T2 T1 $\alpha$ N Mg B OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Como la primera solución, corresponde a un valor de la distancia x mayor que L, fuera del rango de interés, nos quedamos con la segunda, por lo que

L , xm 30 0

El valor max 2 T de la tensión máxima es

h L Mg , T max 2 2 10 6 8 $-$ $\cdot$

Estos resultados son suficientes para poder trazar la gráfica aproximada de ( ) x T2 que se muestra en la figura 4. c) Con los datos del enunciado, se obtiene m 36

m x

y N 10 5 5 6 2 $\cdot$ = , T max

d) Si la reacción del suelo sobre el soporte es vertical, tal como indica el enunciado, significa que la resultante de las tensiones 3 1 T T T r r r +

tiene que ser también vertical, para que el poste permanezca en equilibrio, como se indica en la figura 5. Por lo tanto las componentes horizontales de dichas tensiones verifican que $\alpha$ $\beta$ sen sen 1 3 T T

$\Rightarrow$ $\beta$ $\alpha$ sen sen 1 3 T T =

Teniendo en cuenta (1), $\beta$ sen 2 3 T T =

Como se pide el valor 3 T para 2 T máxima, se tiene que

$\beta$ sen 2 3 max max T T

$\Rightarrow$ N 10 1 1 7 3 $\cdot$ = , T

Nota: en el modelo simplificado que se ha adoptado en este problema, no se ha tenido en cuenta la estructura rígida inclinada, paralela a los cables EA, y claramente visible en la serie de fotos de la figura 1, cuya finalidad es dar rigidez al poste. Su inclusión en el modelo supondría una complicación excesiva para el nivel que se ha pretendido dar a este ejercicio.

Fig. 5 h x 3 T r

$\alpha$ $\beta$ 1 T r

T r x T2(x) T2max xmax 0 L/2 Fig. 4 OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Rod, String Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1 Il varo del Padiglione-Ponte

Il Padiglione-Ponte, uno degli edifici emblematici di EXPO 2008, è un ampio spazio espositivo sull’Ebro, progettato dalla prestigiosa architetta irachena Zaha Hadid. La sua costruzione ha rappresentato un’enorme sfida tecnologica, poiché la sua totale mancanza di simmetria ha reso necessario progettare separatamente ciascuno dei suoi elementi metallici. Una metà del ponte è stata costruita in situ sfruttando una piccola isola naturale nell’alveo del fiume. L’altra metà è stata realizzata sulla terraferma, sulla riva destra, cosicché una volta terminata è stato necessario “vararla” per assemblarla con la prima metà.

La fotografia della figura 1.a mostra l’inizio del varo. Si può notare a sinistra la grande struttura provvisoria eretta per effettuare il varo. Nella figura 1.b si vede la parte anteriore del ponte che viene varato. La figura 1.c corrisponde alla fine del varo, con le due metà del ponte pronte per la loro unione. (Le fotografie sono per cortesia di EXPO 2008).

Il complesso processo del varo del ponte, manovra senza precedenti, è stato eseguito molto lentamente, cosicché in ogni momento si potesse considerare in equilibrio statico. In Fisica questo tipo di processo è denominato quasi-statico.

Per realizzare uno studio preliminare si ricorre, come è anche usuale in Fisica, a un modello semplificato. Con questo modello si possono fare calcoli estimativi, che sono l’oggetto di questo problema.

Nel modello presentato (figura 2) si considera il ponte come una barra omogenea di lunghezza L e massa M, che si appoggia senza attrito su una base fissa, che costituisce la spalla destra del ponte. Parimenti, si considera che la struttura provvisoria sia un palo verticale rigido di altezza h, appoggiato su quello che sarà la spalla centrale. Da questo palo si tendono due cavi, uno AE di lunghezza fissa, verso un ancoraggio provvisorio e l’altro AB, verso la barra. Accorciando lentamente quest’ultimo cavo, la barra si sposta verso sinistra. Perché in ogni momento si conservi l’equilibrio è necessario un terzo cavo CD praticamente orizzontale, che unisce la parte destra della barra con un altro supporto fisso. Logicamente, lo spostamento della barra esige che la lunghezza di questo terzo cavo aumenti.

Utilizzando questo modello, rispondi alle seguenti questioni: a) Determina le tensioni T1 e T2 nei cavi AB e CD quando la distanza dell’estremo B della barra dalla colonna è x. Si può trascurare l’attrito tra la barra e il supporto. b) Disegna in modo approssimativo il grafico di T2 in funzione di x, da x = 0 fino a x = L/2, e determina la distanza xm per la quale la tensione T2 è massima, nonché l’espressione del valore massimo T2max di tale tensione. c) Se kg 10 2 2 6 $\cdot$ = , M , m 0 120, L = e m 0, 40 = h , calcola il valore di T2max. d) Se o 30

$\beta$ , determina e calcola il valore della tensione del cavo AE, max T3 , quando T2 è massima. Supponi che la forza di reazione del suolo sulla colonna sia verticale.

Fig. 1.a Fig. 1.b Fig. 1.c Fig. 2 L h A B D C L x $\beta$ E OAF 2008 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA P1. Il lancio del Padiglione-Ponte

Soluzione

a) Consideriamo la barra come sistema meccanico in equilibrio, quando il suo estremo destro si trova a una distanza x dalla base della colonna. Le forze esterne che agiscono, rappresentate nella figura 3, sono le tensioni T1 e T2 , il peso Mg e la reazione normale N del supporto. Chiamiamo $\alpha$ l’angolo che il cavo AB forma con la verticale.

La condizione di equilibrio del sistema impone, da una parte, che la somma di tutte le forze esterne sia uguale a zero e, dall’altra, che il momento risultante delle forze esterne rispetto a qualsiasi punto sia nullo.

Pertanto, dalla prima condizione, la somma delle componenti delle forze secondo l’orizzontale e secondo la verticale devono essere zero, cioè,

0 s 2 1

$-T$ in T $\alpha$

(1)

0 cos 1

$-$

• mg N T $\alpha$

(2)

Prendendo come origine dei momenti il punto B, dalla seconda condizione si ha

( ) 0 2

$-$ $-$ x L N L Mg

$\Rightarrow$ ( ) x L L Mg N $-$

2

Sostituendo in (2)

( ) Mg x L x L T $-$ $-$ = 2 2 cos 1 $\alpha$

(3)

Dividendo membro a membro (1) e (3) e ricavando 2 T

( ) $\alpha$ tg 2 2 2 x L x L Mg T $-$ $-$

Tenendo conto che h x / tg

$\alpha$ , risulta,

( ) ( ) x L x x L h Mg T $-$ $-$

2 2 2

Sostituendo in (1) e ricavando 1 T ,

( ) $\alpha$ cos 1 2 2 1 x L x L Mg T $-$ $-$

$\Rightarrow$ ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 h x x L x x L h Mg T + $-$ $-$

b) Come era da aspettarsi, le tensioni 1 T e 2 T sono funzioni di x. Per fare una rappresentazione grafica di ( ) x T2 nell’intervallo 2 / 0 L x $\le$ $\le$ che è quello di interesse nel problema, conviene cominciare dai “punti di intersezione” con l’asse delle ascisse: ( ) 0 0 2

= x T

e ( ) 0 2 / 2

= L x T

D’altra parte, nell’intervallo citato ( ) 0 2

x T , quindi per un certo valore m x deve avere un massimo la cui determinazione esige 0 2 = dx dT

$\Rightarrow$ 0 4 2 2 2

$-$ L Lx x

Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono

⎪⎩ ⎪⎨ ⎧

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ $\pm$

L , L , L x 30 0 7 1 2 2 1

Fig. 3 L h L x T2 T1 $\alpha$ N Mg B OAF 2008 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Poiché la prima soluzione corrisponde a un valore della distanza x maggiore di L, al di fuori dell’intervallo di interesse, prendiamo la seconda, per cui

L , xm 30 0

Il valore max 2 T della tensione massima è

h L Mg , T max 2 2 10 6 8 $-$ $\cdot$

Questi risultati sono sufficienti per poter tracciare il grafico approssimativo di ( ) x T2 mostrato nella figura 4. c) Con i dati del testo, si ottiene m 36 = m x

e N 10 5 5 6 2 $\cdot$ = , T max

d) Se la reazione del suolo sul supporto è verticale, come indica il testo, significa che la risultante delle tensioni 3 1 T T T r r r + = deve essere anch’essa verticale, affinché il palo rimanga in equilibrio, come si indica nella figura 5. Pertanto le componenti orizzontali di tali tensioni verificano che $\alpha$ $\beta$ sen sen 1 3 T T

$\Rightarrow$ $\beta$ $\alpha$ sen sen 1 3 T T =

Tenendo conto di (1), $\beta$ sen 2 3 T T =

Poiché si chiede il valore 3 T per 2 T massima, si ha che

$\beta$ sen 2 3 max max T T

$\Rightarrow$ N 10 1 1 7 3 $\cdot$ = , T

Nota: nel modello semplificato adottato in questo problema, non è stata considerata la struttura rigida inclinata, parallela ai cavi EA, e chiaramente visibile nella serie di foto della figura 1, la cui finalità è dare rigidità al palo. La sua inclusione nel modello comporterebbe una complicazione eccessiva per il livello che si è voluto dare a questo esercizio.

Fig. 5 h x 3 T r

$\alpha$ $\beta$ 1 T r

T r x T2(x) T2max xmax 0 L/2 Fig. 4 OAF 2008 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

P1 The Launching of the Bridge-Pavilion

The Bridge-Pavilion, one of the emblematic buildings of EXPO 2008, is a large exhibition space over the Ebro, designed by the prestigious Iraqi architect Zaha Hadid. Its construction has represented an enormous technological challenge, since its total lack of symmetry made it necessary to design each of its metal pieces separately. One half of the bridge was built in situ taking advantage of a small natural island in the riverbed. The other half was made on solid ground, on the right bank, so that once finished it had to be “launched” to assemble it with the first half.

The photograph in figure 1.a shows the beginning of the launch. On the left, the large temporary structure erected to carry out the launch can be seen. In figure 1.b, the front part of the bridge that is being launched is visible. Figure 1.c corresponds to the end of the launch, with the two halves of the bridge ready for joining. (The photographs are courtesy of EXPO 2008).

The complex process of launching the bridge, an unprecedented maneuver, was carried out very slowly, so that at all times it could be considered in static equilibrium. In Physics this type of process is called quasi-static.

To carry out a preliminary study, as is also usual in Physics, a simplified model is used. With this model, estimative calculations can be made, which are the object of this problem.

In the model presented (figure 2), the bridge is considered as a homogeneous bar of length L and mass M, which rests without friction on a fixed base, which constitutes the right abutment of the bridge. Likewise, the temporary structure is considered to be a rigid vertical post of height h, supported on what will be the central abutment. From this post, two cables are stretched, one AE of fixed length, toward a temporary anchorage, and the other AB, toward the bar. By slowly shortening this latter cable, the bar moves to the left. In order for equilibrium to be preserved at all times, a third practically horizontal cable CD is necessary, which connects the right part of the bar to another fixed support. Logically, the displacement of the bar requires that the length of this third cable increase.

Using this model, answer the following questions: a) Determine the tensions T1 and T2 in cables AB and CD when the distance from end B of the bar to the column is x. Friction between the bar and the support may be neglected. b) Draw approximately the graph of T2 as a function of x, from x = 0 to x = L/2, and determine the distance xm for which the tension T2 is maximum, as well as the expression for the maximum value T2max of said tension. c) If kg 10 2 2 6 $\cdot$ = , M , m 0 120, L = and m 0, 40 = h , calculate the value of T2max. d) If o 30

$\beta$ , determine and calculate the value of the tension of cable AE, max T3 , when T2 is maximum. Assume that the reaction force of the ground on the post is vertical.

Fig. 1.a Fig. 1.b Fig. 1.c Fig. 2 L h A B D C L x $\beta$ E OAF 2008 TESTS OF THE UNIVERSITY DISTRICT OF ZARAGOZA ROYAL SPANISH PHYSICS SOCIETY P1. The launch of the Pabellón-Puente

Solution

a) We consider the bar as a mechanical system in equilibrium, when its right end is at a distance x from the base of the post. The external forces acting, represented in figure 3, are the tensions T1 and T2 , the weight Mg and the normal reaction N of the support. We call $\alpha$ the angle that cable AB forms with the vertical.

The equilibrium condition of the system imposes, on the one hand, that the sum of all external forces be equal to zero and, on the other, that the resultant moment of the external forces with respect to any point be zero.

Therefore, from the first condition, the sum of the components of the forces along the horizontal and along the vertical must be zero, that is,

0 s 2 1

$-T$ in T $\alpha$

(1)

0 cos 1

$-$

• mg N T $\alpha$

(2)

Taking point B as the origin of moments, from the second condition we have

( ) 0 2

$-$ $-$ x L N L Mg

$\Rightarrow$ ( ) x L L Mg N $-$

2

Substituting into (2)

( ) Mg x L x L T $-$ $-$ = 2 2 cos 1 $\alpha$

(3)

Dividing term by term (1) and (3) and solving for 2 T

( ) $\alpha$ tg 2 2 2 x L x L Mg T $-$ $-$

Taking into account that h x / tg

$\alpha$ , it follows that,

( ) ( ) x L x x L h Mg T $-$ $-$

2 2 2

Substituting into (1) and solving for 1 T ,

( ) $\alpha$ cos 1 2 2 1 x L x L Mg T $-$ $-$

$\Rightarrow$ ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 h x x L x x L h Mg T + $-$ $-$

b) As was to be expected, the tensions 1 T and 2 T are functions of x. To make a graphical representation of ( ) x T2 in the range 2 / 0 L x $\le$ $\le$ which is the one of interest in the problem, it is convenient to begin with the “intercepts” with the abscissa axis: ( ) 0 0 2

= x T

and ( ) 0 2 / 2

= L x T

On the other hand, in the aforementioned range ( ) 0 2

x T , therefore for a certain value m x it must have a maximum whose determination requires 0 2 = dx dT

$\Rightarrow$ 0 4 2 2 2

$-$ L Lx x

The solutions of this second-degree equation are

⎪⎩ ⎪⎨ ⎧

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ $\pm$

L , L , L x 30 0 7 1 2 2 1

Fig. 3 L h L x T2 T1 $\alpha$ N Mg B OAF 2008 UNIVERSITY DISTRICT OF ZARAGOZA TESTS ROYAL SPANISH PHYSICS SOCIETY Since the first solution corresponds to a value of the distance x greater than L, outside the range of interest, we keep the second one, so

L , xm 30 0

The value max 2 T of the maximum tension is

h L Mg , T max 2 2 10 6 8 $-$ $\cdot$

These results are sufficient to be able to draw the approximate graph of ( ) x T2 shown in figure 4. c) With the data from the statement, we obtain m 36 = m x

and N 10 5 5 6 2 $\cdot$ = , T max

d) If the reaction of the ground on the support is vertical, as indicated in the statement, it means that the resultant of the tensions 3 1 T T T r r r + = must also be vertical, so that the post remains in equilibrium, as shown in figure 5. Therefore the horizontal components of said tensions satisfy $\alpha$ $\beta$ sen sen 1 3 T T

$\Rightarrow$ $\beta$ $\alpha$ sen sen 1 3 T T =

Taking into account (1), $\beta$ sen 2 3 T T =

Since the value 3 T is requested for maximum 2 T, we have

$\beta$ sen 2 3 max max T T

$\Rightarrow$ N 10 1 1 7 3 $\cdot$ = , T

Note: in the simplified model adopted in this problem, the inclined rigid structure, parallel to the cables EA, and clearly visible in the series of photos in figure 1, whose purpose is to give rigidity to the pole, has not been taken into account. Its inclusion in the model would entail excessive complication for the level that has been intended for this exercise.

Fig. 5 h x 3 T r

$\alpha$ $\beta$ 1 T r

T r x T2(x) T2max xmax 0 L/2 Fig. 4 OAF 2008 UNIVERSITY DISTRICT OF ZARAGOZA TESTS ROYAL SPANISH SOCIETY OF PHYSICS

P2 Un disparo real

Un cañón ajustado con un ángulo de tiro $\alpha$, dispara un proyectil con una velocidad inicial v0. Si se considera despreciable la fricción con el aire,

• A. Determina la expresión del alcance horizontal R.
• B. Calcula el valor de este alcance si v0 = 470 m/s y $\alpha$ = 40o. Toma como valor de la aceleración de la gravedad 2 m/s 8 9, g = . c) Si la velocidad inicial v0 se conoce con una imprecisión del $\pm$ 2%, determina la incertidumbre del alcance horizontal suponiendo que la medida del ángulo de disparo está exenta de errores.

El Regimiento de Artillería de Campaña ATP no 20 de la Brigada de Caballería “Castillejos II” de Zaragoza, utiliza una pieza obús ATP-109 autopropulsada, de calibre 155/32. El proyectil, de masa m = 40 kg , lleva una velocidad s / m v 470 0 = al salir de la pieza. Cuando el ángulo de tiro se ajusta a 40o, el alcance horizontal es de 4.400 m.

d) Con las aproximaciones que estimes conveniente, haz una estimación de las pérdidas energéticas debidas a la fricción con el aire de este proyectil.

En la figura 1 se muestra un esquema, a escala, de las trayectorias del proyectil con y sin fricción con el aire.

X Y O Fig. 1 OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA P2. Un disparo real

Solución

a) Ecuaciones del movimiento en el Sistema de Referencia de la figura:

2 sen sen Y

Eje

cos cos 0 X

Eje 2 0 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ $-$

$-$

$-$

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

=

/ t g t v y t g v v g a t v x v v a y y x x $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$

(1)

Eliminando t entre x e y de las expresiones (1), se obtiene la ecuación de la trayectoria:

2 2 2 0 cos 2 tg x v g x y $\varphi$ $\varphi$ $-$

(2)

Si en (2) se hace y = 0, el valor de x corresponde al alcance horizontal R

g v R $\varphi$ 2 sen 2 0

(3)

b) Sustituyendo los valores de g, $\varphi$ y v0 en la ecuación anterior, se obtiene

R = 22.000 m

c) Una imprecisión $\Delta v0$ en la determinación de la velocidad de salida del proyectil, provoca que el valor del alcance R esté comprendido entre

( ) $\varphi$ $\Delta$ 2 sen 2 2 0 0 g v v Rmax +

( ) $\varphi$ $\Delta$ 2 sen 2 2 0 0 g v v Rmin $-$

Lo que nos permite evaluar la incertidumbre $\Delta R$ en el alcance como el promedio de los valores anteriores

( ) ( ) [ ] 0 2 0 0 2 0 0 2 sen 2 2 sen 2 v g v v v v g R R R min max $\Delta$ $\varphi$ $\Delta$ $\Delta$ $\varphi$ $\Delta$

$-$ + +

$-$

Dividiendo los miembros de la ecuación anterior por (3), se obtiene la imprecisión relativa en el alcance en función de $\Delta v0$ / v0

0 0 2 v v R R $\Delta$ $\Delta$

Como 02 0 0 0 , v v $\pm$

$\Delta$

$\Rightarrow$ 04 0, R R $\pm$

$\Delta$ ; es decir del $\pm$ 4%. El valor del alcance horizontal es

m 890 000 22 $\pm$

. R

d) Esta cuestión es de respuesta abierta y tiene como objetivo comprobar la capacidad de razonamiento. X Y O v0 $\varphi$ R g OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Error Propagation, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Estimation & Approximation Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2 Un vero colpo

Un cannone regolato con un angolo di lancio $\alpha$, lancia un proiettile a velocità iniziale v0. Se si considera sconsiderato il frattura con l’aria,

• A. Determina l’espressione della portata orizzontale R.
• B. Calcola il valore di questo raggio se v0 = 470 m/s e $\alpha$ = 40o. Prendi come valore l’accelerazione della gravità 2 m/s 8 9, g = . c) Se la velocità iniziale v0 è conosciuta con un’imprecisione $\pm$ 2%, determina l’incertezza di portata orizzontale, supponendo che la misura dell’angolo di lancio sia esente da errori.

Il Reggimento di Artiglieria di Campaign ATP n. 20 della Brigata di Cavalleria Castillejos II di Zaragoza, utilizza un obuso ATP-109 autopropulsato, calibro 155/32. Il proiettile, di massa m = 40 kg, porta una velocità s / m v 470 0 = uscendo dalla stanza. Quando l’angolo di tiro è regolato a 40°, la portata orizzontale è di 4.400 m.

d) Con le approcci che riteniate opportune, fate un’estimazione delle perdite energetiche dovute alla

• Frottura con l’aria di questo proiettile.

La figura 1 mostra uno schema, su scala, dei percorsi del proiettile con e senza frizione con l’aria.

X Y O Fig. 1 OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica P2. Un vero colpo

Soluzione

a) Equations di movimento nel sistema di riferimento della figura:

2 sen sen Y

Axe

cos cos 0 X

Axe 2 0 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ $-$

$-$

$-$

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

=

/ t g t v y t g v v g a t v x v v a y y x x $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$

(1)

Sbarazzando t tra x e e le espressioni (1), si ottiene l’equazione di La durata del percorso:

2 2 2 0 cos 2 tg x v g x y $\varphi$ $\varphi$ $-$

(2)

Se in (2) si fa y = 0, il valore di x corrisponde alla gamma orizzontale R

g v R $\varphi$ 2 sen 2 0

(3)

b) Sostituendo i valori di g, $\varphi$ e v0 nell’equazione precedente, si ottiene

R = 22.000 m

c) Un’imprecisione $\Delta v0$ nel determinare la velocità di uscita del proiettile, provoca che il valore di raggio R è compresa tra:

( ) $\varphi$ $\Delta$ 2 sen 2 2 0 0 g v v Rmax +

( ) $\varphi$ $\Delta$ 2 sen 2 2 0 0 g v v Rmin $-$

Ciò ci permette di valutare l’incertezza $\Delta R$ nella portata come la media dei valori precedenti

( ) ( ) [ ] 0 2 0 0 2 0 0 2 sen 2 2 sen 2 v g v v v v g R R R Min Max $\Delta$ $\varphi$ $\Delta$ $\Delta$ $\varphi$ $\Delta$

$-$ + +

$-$

Dividendo i membri dell’equazione precedente per (3), si ottiene l’imprecisione relativa nella portata di Funzione di $\Delta v0$ / v0

0 0 2 v v R R $\Delta$ $\Delta$

Come 02 0 0 0 , v v $\pm$

$\Delta$

$\Rightarrow$ 04 0, R R $\pm$

$\Delta$ ; cioè $\pm$ 4%. Il valore della portata orizzontale è

m 890 000 22 $\pm$

. R

d) La questione è di risposta aperta e ha lo scopo di verificare la capacità di ragionamento. X Y O v0 $\varphi$ R g OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Error Propagation, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Estimation & Approximation Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2 A real shot

A cannon fitted with a shooting angle $\alpha$ fires a projectile at an initial velocity of v0. If it is considered The friction with the air is despicable,

• A. Determines the expression of the horizontal range R.
• B. Calculate the value of this range if v0 = 470 m/s and $\alpha$ = 40o. Take as value the acceleration of gravity 2 m/s 8 9, g = . (c) If the initial speed v0 is known with an imprecision of $\pm$ 2%, it determines the range uncertainty horizontal assuming that the measurement of the shooting angle is error-free.

The ATP Campaign Artillery Regiment no 20 of the Cavalry Brigade Castillejos II of Zaragoza, It uses a self-propelled ATP-109 howitzer, caliber 155/32. The projectile, with a mass m = 40 kg, carries a velocity s / m v 470 0 = when you leave the room. When the shooting angle is adjusted to 40°, the horizontal range is 4,400 m.

(d) With the approximations you deem appropriate, make an estimate of energy losses due to the friction with the air of this projectile.

Figure 1 shows a scale-based outline of the projectile’s trajectories with and without friction with the air.

X Y O Fig. 1 OAF 2008 UNIVERSITY DISTRICT OF ZARAGOZA TESTS The Spanish Royal Physical Society P2. A real shot

Solution

(a) Equations of motion in the reference system of the figure:

2 Other Other Y

Axis

body body 0 X

Axis 2 0 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ $-$

$-$

$-$

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

=

/ t g t v y t g v v g a t v x v v a y y x x $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$

(1)

By removing t between x and e from the expressions (1), we get the equation of the trajectory:

2 2 2 0 body 2 tg x v g x y $\varphi$ $\varphi$ $-$

(2)

If in (2) y = 0, the value of x corresponds to the horizontal range R

g v R $\varphi$ 2 Other 2 0

(3)

(b) Substituting the values of g, $\varphi$ and v0 in the above equation,

R = 22.000 m

(c) An imprecision $\Delta v0$ in the determination of the projectile’s output speed causes the range value R to be is comprised of:

( ) $\varphi$ $\Delta$ 2 Other 2 2 0 0 g v v Rmax +

( ) $\varphi$ $\Delta$ 2 Other 2 2 0 0 g v v Rmin $-$

This allows us to assess the uncertainty $\Delta R$ in the range as the average of the above values

( ) ( ) [ ] 0 2 0 0 2 0 0 2 Other 2 2 Other 2 v g v v v v g R R R Min Max $\Delta$ $\varphi$ $\Delta$ $\Delta$ $\varphi$ $\Delta$

$-$ + +

$-$

Dividing the members of the above equation by (3), the relative imprecision in the scope of the The following is the function of $\Delta v0$ / v0

0 0 2 v v R R $\Delta$ $\Delta$

As 02 0 0 0 , v v $\pm$

$\Delta$

$\Rightarrow$ 04 0, R R $\pm$

$\Delta$ ; es decir del $\pm$ 4%. The horizontal range value is

m 890 000 22 $\pm$

. R

(d) This question is open to answer and aims to test the capacity for reasoning. X Y O v0 $\varphi$ R g OAF 2008 UNIVERSITY DISTRICT OF ZARAGOZA TESTS The Spanish Royal Physical Society

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Error Propagation, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Estimation & Approximation Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.5

P3 Pimpón electrostático Un generador de Van de Graff (figura 1) es una máquina electrostática que consigue cargar una esfera hasta muy altos potenciales, del orden de 100 kV. Mediante un generador de este tipo se establece una diferencia de potencial V entre dos placas conductoras planas y paralelas (condensador plano), separadas una distancia d. Con este dispositivo y una pelota de pimpón, de radio R y masa M, pintada con pintura conductora, puede realizarse la experiencia conocida como “pimpón electrostático”, cuyo esquema se representa en la figura 2.

Figura 1.- Generador de Van de Graff Figura 2.- Esquema del pimpón electrostático. Cuando se pone en marcha el generador, una placa adquiere densidad de carga positiva $+\sigma$ y la otra densidad de carga negativa $-\sigma$ . La pelota, inicialmente en contacto con la placa positiva, adquiere una carga +Q y es atraída por la placa negativa. Cuando llega a esta placa, con la que choca inelásticamente, le transfiere su carga positiva y adquiere una carga $-Q$, de forma que es atraída por la placa positiva y se produce el retorno a la posición inicial, donde se repite el choque inelástico y la permuta de carga. Este movimiento de vaivén se repite mientras se mantenga la diferencia de potencial. El análisis exacto de este proceso es complejo, pero haciendo algunas simplificaciones se pueden obtener resultados realistas. Considera que sobre la pelota sólo actúan fuerzas electrostáticas y que el campo eléctrico E r entre las dos placas es uniforme, perpendicular a sus superficies y que no se modifica apreciablemente por la presencia de la pelota cargada. También puedes considerar que las dimensiones de la pelota son despreciables frente a la separación entre las placas, es decir que R << d. a) Si la pelota de pimpón parte del reposo desde una placa, determina el tiempo t que tarda en llegar a la otra. Expresa el resultado en función de Q, M, d y E. b) Supón que, tras chocar la pelota con una placa, la carga que adquiere es proporcional a la densidad de carga superficial que tiene esa placa, es decir Q = k $\sigma$. Determina el valor de la carga en función de la constante de proporcionalidad k y de los parámetros experimentales d y V. c) Cuando las placas del condensador están separadas una distancia d = 0,2 m y se ajusta el voltaje a V = 36 kV, la frecuencia de las oscilaciones de la pelota es de 0,5 Hz. Determina los valores de k y Q. ¿Qué unidades tiene k?

La masa reglamentaria de una bola de pimpón es m = 2,7 g. La pintura conductora incrementa esta masa en 0,9 g.

Constante de Coulomb: ( ) 2 2 9 0 C m N 10 9 4 1 $-$ $\cdot$

$\pi ϵ$ /

d) Calcula la intensidad media que marca el nanoamperímetro (nA) de la figura 2. e) Relaciona la potencia eléctrica suministrada por el generador de Van de Graff con la energía mecánica entregada por la pelota a una placa en cada choque. Generador Van de Graff 0 $ϵ$ $\sigma$ /

E

d M, Q nA V OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA P3. Pimpón electrostático

Solución

a) La diferencia de potencial aplicada entre las placas del condensador crea un campo eléctrico uniforme en el espacio comprendido entre ellas que viene dado por

i i E E r r r 0 $ϵ$ $\sigma$

=

donde $\sigma$ es la densidad de carga existente en cada placa $(+\sigma$ en la de la izquierda y $-\sigma$ en la de la derecha) e i r el vector unitario en la dirección del eje 0X, horizontal y con origen en la placa izquierda.

La pelota de pimpón puede considerarse aproximadamente para nuestro problema como una partícula con carga Q, luego experimentará un movimiento uniformemente acelerado producido por la fuerza eléctrica

i M E Q i a a a M E Q F r r r r r r

= $\Rightarrow$

=

(1)

Por tanto, recorrerá la distancia d en un tiempo t que cumple

2 2 1 t a d = $\Rightarrow$ a d t 2

$\Rightarrow$ E Q M d t 2

(2)

El camino de vuelta se realiza en el mismo tiempo, ya que también parte del reposo tras un choque inelástico. La única diferencia es que ahora la pelota habrá adquirido una carga –Q, y por tanto la fuerza será en sentido opuesto.

b) Teniendo en cuenta la relación entre el campo electrostático uniforme y la diferencia de potencial

d V E =

(3)

tenemos que

0 $\Rightarrow$

$\Rightarrow$

E $ϵ$ k Q k Q $\sigma$ d V $ϵ$ k Q 0

=

c) Datos numéricos:

d = 0,2 m

V = 36.000 V.

M= m+0,9 g = 3,6 g.

f = 0,5 Hz. Por tanto el periodo de oscilación (tiempo que le cuesta ir de una placa a otra y volver) es T = 1/f = 2 s, y el tiempo que tarda en viajar de una placa hasta la otra es la mitad, t = 1 s.

Sustituyendo el campo eléctrico en función del potencial, expresión (3), en la expresión (2) obtenemos

V Q M d t 2 2

despejando Q y sustituyendo los valores numéricos

nC

8 C 10 8 2 9 2 2

$\cdot$

= $-$ V t M d Q

Podemos calcular k una vez obtenida Q en la forma

E Q Q k 0 $ϵ$ $\sigma$ =

$\Rightarrow$ 2 3 0 m

10 03 5 $-$ $\cdot$

= , V d Q k $ϵ$

d) Cada segundo el flujo de carga neto es de + 8 nC (bien +8 nC de izquierda a derecha, bien – 8 nC de derecha a izquierda, que es equivalente), por tanto la intensidad media vendrá dada por

t Q I = $\Rightarrow$ nA

8 A 10 8 9

$\cdot$

$-$ I OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA e) La potencia eléctrica media suministrada por el generador viene dada por

I V P = $\Rightarrow$ mW

288 0,

W 10 88 2 4

$\cdot$

$-$ , P

La pelota entrega toda su energía cinética a la placa en cada choque. Para calcular esta energía necesitamos conocer su velocidad final antes del choque vf ,. Como es un movimiento uniformemente acelerado, partiendo del reposo

m/s 4 0,

=

= t d M V Q t M E Q t a v f

Por tanto su energía cinética es

J 10 88 2 2 1 4 2 $-$ $\cdot$

= , f c Mv E

Se observa que, como era de esperar, la potencia eléctrica suministrada por el generador ( W 10 88 2 4 $-$ $\cdot$ , , es decir

10 88 2 4 $-$ $\cdot$ , Julios cada segundo) coincide con la energía mecánica que entrega la pelota a las placas en cada choque, es decir cada segundo, puesto que este es el tiempo de vuelo de una placa a la otra.

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Electric Potential Method, Kinematic Equations, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.7

P3 Pimpone elettrostatico Un generatore Van de Graff (Figura 1) è una macchina elettrostatica che riesce a caricare una sfera fino a molto alte Potenziali, dell’ordine di 100 kV. Un generatore di questo tipo determina una differenza di potenziale V tra due a) plate di conduttore piane e parallele (condensatore piano), separate a distanza d. Con questo dispositivo e una palla di pimpone, di raggio R e massa M, dipinta con la pittura conduttiva, si può realizzare la l’esperienza conosciuta come “pimpone elettrostatico”, il cui schema è rappresentato nella figura 2.

Figura 1.- Generatore di Van de Graff Figura 2.- Schema del pomponetto elettrostatico. Quando si accende il generatore, una scheda acquista la densità di carica positiva $+\sigma$ e l’altra la densità di carica Negativo $-\sigma$ . La palla, inizialmente in contatto con la placca positiva, acquista una carica +Q ed è attratta dalla placca

• Negativo. Quando arriva a questa scheda, con la quale colpisce inelasticamente, trasmette la sua carica positiva e acquisisce una carica $-Q$, in modo che sia attratto dalla placca positiva e si verifichi il ritorno alla posizione iniziale, dove si ripete la collisione inelastico e il permuto di carico. Questo movimento di vagabondazione si ripete pur mantenendo la differenza di potenziale. L’analisi esatta di questo processo è complessa, ma facendo alcune semplificazioni si possono ottenere risultati
• E’ realistico. Considera che sulla palla agiscono solo forze elettrostatiche e che il campo elettrico E r tra le due placche è uniforme, perpendicolare alle sue superfici e non si modifica sensibilmente per la presenza della palla carica. Potete anche considerare le dimensioni della palla dispregiate rispetto alla separazione tra le placche, è dire che R << d. a) Se la palla di pimpone parte dal riposo da una piastra, determina il tempo t necessario per raggiungere l’altra. Esprima il Risultato in funzione di Q, M, d ed E. b) Suppone che, dopo aver colpito la palla con una scheda, il carico che acquista sia proporzionale alla densità di carico superficiale che ha quella targa, cioè Q = k $\sigma$. Determina il valore della carica in base alla costante di proporzionalità k e di parametri sperimentali d e V. c) Quando le schede del condensatore sono distanti da un’altra di 0,2 m e la volta è regolata a V = 36 kV, la la frequenza di oscillazione della palla è di 0,5 Hz. Determina i valori di k e Q. Quali unità ha k?

La massa regolare di una palla di pippone è m = 2,7 g. La vernice conduttrice aumenta questa massa di 0,9 g.

Costante di Coulomb: ( ) 2 2 9 0 C m N 10 9 4 1 $-$ $\cdot$

$\pi ϵ$ /

d) Calcola l’intensità media del nanoperimetro (nA) di figura 2. e) Relaziona la potenza elettrica fornita dal generatore Van de Graff con l’energia meccanica fornita dalla

• Un pallone a una targa a ogni colpo. Generatore Van di Graff 0 $ϵ$ $\sigma$ / = E

d M, Q nA V OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica P3. Pimpone elettrostatico

Soluzione

a) La differenza di potenziale applicata tra le schede del condensatore crea un campo elettrico uniforme nello spazio compresa tra le quali viene dato da

i i E E r r r 0 $ϵ$ $\sigma$

=

dove $\sigma$ è la densità di carico esistente su ciascuna scheda $(+\sigma$ sulla sinistra e $-\sigma$ sulla destra) e i r el Vettore unitario nella direzione dell’asse 0X, orizzontale e originario della targa sinistra.

La palla di pimpone può essere considerata circa per il nostro problema come una particella con carica Q, poi sperimenterà un movimento uniformemente accelerato prodotto dalla forza elettrica

i M E Q i a a a M E Q F r r r r r r

= $\Rightarrow$

=

(1)

Quindi, percorrerà la distanza d in un tempo t che soddisfa

2 2 1 t a d = $\Rightarrow$ a d t 2

$\Rightarrow$ E Q M d t 2

(2)

Il ritorno è effettuato nello stesso tempo, poiché parte anche del riposo dopo un colpo inelastico. La La sola differenza è che ora la palla avrà acquisito una carica Q, e quindi la forza sarà in senso opposto.

b) Considerando il rapporto tra campo elettrostatico uniforme e differenza di potenziale

d V E =

(3)

Dobbiamo

0 $\Rightarrow$

$\Rightarrow$

E $ϵ$ k Q k Q $\sigma$ d V $ϵ$ k Q 0

=

c) Dati numerici:

d = 0,2 m

V = 36.000 V.

M= m+0,9 g = 3,6 g.

f = 0,5 Hz. Quindi il periodo di oscillazione (il tempo che ci vuole per andare da una piastra all’altra e tornare indietro) è T = 1/f = 2 s, e il Il tempo necessario per viaggiare da una scheda all’altra è metà, t = 1 s.

Sostituendo il campo elettrico in funzione del potenziale, espressione (3), in espressione (2) otteniamo

V Q M d t 2 2

Sbarazzando Q e sostituendo i valori numerici

nC

8 C 10 8 2 9 2 2

$\cdot$

= $-$ V t M d Q

Possiamo calcolare k una volta ottenuto Q in forma

E Q Q k 0 $ϵ$ $\sigma$ =

$\Rightarrow$ 2 3 0 m

10 03 5 $-$ $\cdot$

= , V d Q k $ϵ$

d) Ogni secondo il flusso di carico netto è di +8 nC (vale a dire +8 nC da sinistra a destra, vale a dire 8 nC da destra a La media di intensità è data da

t Q I = $\Rightarrow$ nA

8 A 10 8 9

$\cdot$

$-$ I OAF 2008 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica e) La potenza elettrica media fornita dal generatore è data da

I V P = $\Rightarrow$ mW

288 0,

W 10 88 2 4

$\cdot$

$-$ , P

La palla consegna tutta la sua energia cinetica alla scheda in ogni colpo. Per calcolare questa energia, dobbiamo conoscere il suo velocità finale prima dello scontro vf , Come è un movimento uniformemente accelerato, partendo dal riposo

m/s 4 0,

=

= t d M V Q t M E Q t a v f

Quindi la sua energia cinetica è

J 10 88 2 2 1 4 2 $-$ $\cdot$

= , f c Mv E

Si osserva che, come si poteva aspettarsi, la potenza elettrica fornita dal generatore ( W 10 88 2 4 $-$ $\cdot$ , , cioè

10 88 2 4 $-$ $\cdot$ , Giuli ogni secondo) corrisponde all’energia meccanica che consegna la palla alle placche in ogni colpo, Cioè ogni secondo, visto che questo è il tempo di volo da una targa all’altra.

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Electric Potential Method, Kinematic Equations, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.7

P3 Electrostatic Ping-Pong

A Van de Graaff generator (Figure 1) is an electrostatic machine capable of charging a sphere to very high potentials, on the order of 100 kV. Using such a generator, a potential difference V is established between two parallel conducting plates (a flat capacitor), separated by a distance d.

With this device and a ping-pong ball of radius R and mass M, painted with conductive paint, the well-known experiment called “electrostatic ping-pong” can be performed; its schematic is shown in Figure 2.

When the generator is turned on, one plate acquires a positive surface charge density $+\sigma$ and the other a negative surface charge density $-\sigma$. The ball, initially in contact with the positively charged plate, acquires a charge +Q and is attracted toward the negatively charged plate. Upon reaching this plate, it collides inelastically with it, transferring its positive charge and acquiring a new charge $-Q$. As a result, it is now attracted toward the positively charged plate, and returns to its initial position, where another inelastic collision occurs and charge exchange takes place. This oscillatory motion repeats as long as the potential difference is maintained. The exact analysis of this process is complex, but by making some simplifications realistic results can be obtained. Consider that only electrostatic forces act on the ball, and that the electric field E between the two plates is uniform, perpendicular to their surfaces, and does not appreciably change due to the presence of the charged ball.

You may also assume that the dimensions of the ball are negligible compared to the separation between the plates, i.e. R ≪ d.

a) If the table tennis ball starts from rest at one plate, determine the time t it takes to reach the other plate. Express your result in terms of Q, M, d, and E.

b) Suppose that after the ball collides with a plate, the charge it acquires is proportional to the surface charge density of that plate, i.e. Q = k $\sigma$. Determine the value of the charge in terms of the proportionality constant k and the experimental parameters d and V.

c) When the capacitor plates are separated by a distance d = 0.2 m and the voltage is adjusted to V = 36 kV, the frequency of the ball’s oscillations is 0.5 Hz. Determine the values of k and Q. What are the units of k?

The official mass of a table tennis ball is m = 2.7 g. The conductive paint increases this mass by 0.9 g.

Coulomb’s constant: ( ) 2 2 9 0 C m N 10 9 4 1 $-$ $\cdot$

$\pi ϵ$ /

d) Calculate the average current reading indicated by the nanoammeter (nA) shown in Figure 2.

e) Relate the electrical power supplied by the Van de Graaff generator to the mechanical energy delivered by the ball to a plate during each collision.

Van de Graaff Generator 0 $ϵ$ $\sigma$ /

E

d M, Q nA V OAF 2008 DISTRICT UNIVERSITY TESTS OF ZARAGOZA SPANISH PHYSICAL SOCIETY

P3. Electrostatic Pimpón

Solution

a) The potential difference applied between the capacitor plates creates a uniform electric field in the space between them, given by

i i E E r r r 0 $ϵ$ $\sigma$

=

where $\sigma$ is the surface charge density on each plate ($(+\sigma$ on the left plate and $-\sigma$ on the right plate) and i r is the unit vector along the 0X axis, horizontal and originating at the left plate.

The pimpón ball may be approximately considered for our problem as a point mass with charge Q, so it will experience uniformly accelerated motion due to the electric force

i M E Q i a a a M E Q F r r r r r r

= $\Rightarrow$

=

(1)

Therefore, it will traverse the distance d in a time t satisfying

2 2 1 t a d = $\Rightarrow$ a d t 2

$\Rightarrow$ E Q M d t 2

(2)

The return path takes the same time, since it also starts from rest after an inelastic collision. The only difference is that now the ball will have acquired a charge –Q, and thus the force will be in the opposite direction.

b) Taking into account the relationship between the uniform electrostatic field and the potential difference

d V E =

(3)

we obtain

0 $\Rightarrow$

$\Rightarrow$

E $ϵ$ k Q k Q $\sigma$ d V $ϵ$ k Q 0

=

c) Numerical data:

d = 0.2 m V = 36,000 V M = m + 0.9 g = 3.6 g f = 0.5 Hz. Therefore, the oscillation period (time to go from one plate to the other and return) is T = 1/f = 2 s, and the time taken to travel from one plate to the other is half of that, t = 1 s.

Substituting the electric field in terms of potential, expression (3), into expression (2), we obtain

V Q M d t 2 2

Solving for Q and substituting the numerical values

nC 8 C 10 8 2 9 2 2

$\cdot$

= $-$ V t M d Q

We can now calculate k once Q has been obtained, in the form

E Q Q k 0 $ϵ$ $\sigma$ =

$\Rightarrow$ 2 3 0 m 10 03 5 $-$ $\cdot$

= , V d Q k $ϵ$

d) Each second, the net charge flux is +8 nC (either +8 nC from left to right or –8 nC from right to left, which is equivalent), so the average current is given by

t Q I = $\Rightarrow$ nA 8 A 10 8 9

$\cdot$

$-$ I OAF 2008 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

e) The average electrical power supplied by the generator is given by

I V P = $\Rightarrow$ mW 288 0, W 10 88 2 4

$\cdot$

$-$ , P

The ball transfers all its kinetic energy to the plate in each collision. To calculate this energy, we need to know its final velocity before impact, vf. Since it is a uniformly accelerated motion starting from rest,

m/s 4 0,

=

= t d M V Q t M E Q t a v f

Therefore, its kinetic energy is

J 10 88 2 2 1 4 2 $-$ $\cdot$

= , f c Mv E

It is observed that, as expected, the electrical power supplied by the generator ( W 10 88 2 4 $-$ $\cdot$ , i.e. 10 88 2 4 $-$ $\cdot$ , joules per second) matches the mechanical energy delivered by the ball to the plates in each collision, i.e. per second, since this is the flight time of a plate from one to the other.