Spagna 2009

P1.- Velocidad de caída en un plano inclinado.

La fotografía de la figura muestra un antiguo plano inclinado de ángulo variable que se utilizó a principios del siglo XX en la Facultad de Ciencias de Zaragoza. Forma parte de la exposición permanente INSTRUMENTA que se encuentra en dicha Facultad.

a) Con el plano en posición horizontal, se coloca sobre él un bloque cúbico ligero de arista $b=7,00\text{ cm}$ y masa $M=125\text{ g}$. A continuación se va inclinando el plano hasta que, para un ángulo ${\alpha }_0=23,8°$, el bloque comienza a deslizar. Calcula el coeficiente de rozamiento estático ${\mu }_e$ entre el bloque y el plano.

b) A continuación, con un ángulo $\alpha =30,0°$, se coloca el bloque en el extremo superior del plano inclinado y se abandona sin velocidad inicial. Sabiendo que la longitud del plano es $L=85,0\text{ cm}$, que el coeficiente de rozamiento cinético es ${\mu }_c={\mu }_e/3$ y sin tener en cuenta la fuerza de resistencia del aire:

b1) Obtén la expresión de la velocidad $V_F$ con que llega el bloque a su extremo inferior y calcula su valor.

b2) ¿Cuánta energía mecánica del bloque se ha disipado en forma de calor en este proceso?

c) En este apartado se va a considerar además la fuerza de resistencia $F_r$ que el aire ejerce sobre el bloque. Esta fuerza, que se opone al movimiento, depende de la velocidad $v$ del bloque, en la forma:

$F_r=\frac{1}{2}C\rho S{v}^2$

Donde $\rho =1,29{\text{ kg/m}}^3$ es la densidad del aire, $S$ es la superficie frontal del bloque ($S=b^2$) y $C$ es un coeficiente que depende de la forma del objeto que se mueve. En el caso de un bloque cúbico, $C=1,10$.

c1) Escribe la ecuación de la aceleración del bloque en su movimiento por el plano.

c2) Representa gráficamente la aceleración $a$ del bloque en función de su velocidad $v$, desde $v=0$ hasta una velocidad de $12\text{ m/s}$.

c3) Justifica que el bloque aumenta su velocidad hasta llegar a un valor $V_L$ constante que se denomina velocidad límite. Determina la expresión de $V_L$ y calcula su valor.

c4) La longitud $L$ del plano inclinado ¿es suficiente para que la velocidad del bloque llegue a aproximarse a la velocidad límite? Razona tu respuesta.

Inclined plane apparatus photos

Historical inclined plane device

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1.- Velocità di caduta in piano inclinato.

La fotografia della figura mostra un antico piano inclinato di angolo variabile che è stato utilizzato all’inizio del XX secolo presso la Facoltà di Scienze di Zaragoza. Fa parte dell’esposizione permanente INSTRUMENTA che si trova presso tale Facoltà.

a) Con il piano in posizione orizzontale, si colloca sopra un blocco cubico leggero di bordo $b=7,00\text{ cm}$ e massa $M=125\text{ g}$. Quindi inclinare il piano fino a quando, per un angolo ${\alpha }_0=23,8°$, il blocco inizia a scivolare. Calcola il coefficiente di ruggine statico ${\mu }_e$ tra il blocco e il piano.

b) Poi, con un angolo $\alpha =30,0°$, il blocco è posto all’estremità superiore del piano inclinato e viene lasciato senza velocità iniziale. Sapendo che la lunghezza del piano è $L=85,0\text{ cm}$, che il coefficiente di rottura cinetica è ${\mu }_c={\mu }_e/3$ e senza tenere conto della forza di resistenza dell’aria:

b) Ottieni l’espressione della velocità $V_F$ con cui il blocco arriva alla sua estremità inferiore e calcoli il suo valore.

b2) Quanta energia meccanica del blocco è stata dissipata in forma di calore in questo processo?

c) In questo paragrafo si considererà inoltre la forza di resistenza $F_r$ esercitata dall’aria sul blocco. Questa forza, che si oppone al movimento, dipende dalla velocità $v$ del blocco, in modo:

$F_r=\frac{1}{2}C\rho S{v}^2$

Dove $\rho =1,29{\text{ kg/m}}^3$ è la densità dell’aria, $S$ è la superficie frontale del blocco ($S=b^2$) e $C$ è un coefficiente che dipende dalla forma dell’oggetto che si muove. Per un blocco cubo, $C=1,10$.

c1) Scrivi l’equazione dell’accelerazione del blocco in movimento per il piano.

c2) Rappresenta graficamente l’accelerazione $a$ del blocco in funzione della sua velocità $v$, da $v=0$ a una velocità $12\text{ m/s}$.

c3) giustifica che il blocco aumenta la velocità fino a raggiungere un valore costante $V_L$ denominato velocità limite. Determina l’espressione $V_L$ e ne calcola il valore.

c4) La lunghezza $L$ del piano inclinato è sufficiente per avvicinare la velocità del blocco alla velocità limite? Raziona la tua risposta.

Inclined plane apparatus photos

Historical inclined plane device

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1.- Drop speed in an inclined plane.

The photograph of the figure shows an ancient inclined plane of variable angle that was used in the early 20th century at the Faculty of Sciences of Zaragoza. It is part of the permanent exhibition INSTRUMENTA at the Faculty.

(a) With the plane in a horizontal position, a light cubic block of $b=7,00\text{ cm}$ edge and mass $M=125\text{ g}$ shall be placed over it. The plane is then tilted until, for an angle ${\alpha }_0=23,8°$, the block starts to slide. Calculate the static friction coefficient ${\mu }_e$ between the block and the plane.

(b) Then, at an angle $\alpha =30,0°$, the block is placed at the upper end of the inclined plane and is left without initial speed. Knowing that the length of the plane is $L=85,0\text{ cm}$, that the kinetic friction coefficient is ${\mu }_c={\mu }_e/3$ and not taking into account the resistance of the air:

(b1) Get the expression of the speed $V_F$ at which the block reaches its lower end and calculate its value.

(b2) How much mechanical energy of the block has been dissipated as heat in this process?

(c) In this section the resistance force $F_r$ of air on the block will also be considered. This force, which is opposed to motion, depends on the $v$ speed of the block, in the form:

$F_r=\frac{1}{2}C\rho S{v}^2$

Where $\rho =1,29{\text{ kg/m}}^3$ is the density of air, $S$ is the front surface of the block ($S=b^2$) and $C$ is a coefficient that depends on the shape of the moving object. In the case of a cubic block, $C=1,10$.

(c1) Write the equation of the acceleration of the block in its motion along the plane.

c2) Graphically represents the acceleration $a$ of the block according to its speed $v$, from $v=0$ to a speed $12\text{ m/s}$.

(c3) Justify that the block increases its speed to a constant value $V_L$ called the speed limit. Determine the expression of $V_L$ and calculate its value.

c4) Is the length $L$ of the tilted plane sufficient for the block speed to approach the speed limit? You’re right about your answer.

The following table shows the results of the evaluation of the results of the evaluation:

The following table shows the number of units in the range of the units:

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.2

P2.- Ondas estacionarias transversales en una cuerda tensa.

Para poder observar y medir las características de las ondas estacionarias en una cuerda tensa se monta en el laboratorio de un Centro de Enseñanza Secundaria el sistema de la figura 1. Un vibrador, V, excita transversalmente, con una frecuencia $f$ y pequeña amplitud, un extremo de una cuerda horizontal. La cuerda se mantiene tensa haciéndola pasar por una polea P y colgando del extremo libre una masa conocida, $M$.

Al ir modificando $M$, y por tanto la tensión $T$ de la cuerda, se encuentran sucesivas situaciones en las que se forma una onda estacionaria, fruto de la interferencia constructiva entre las sucesivas ondas reflejadas en los extremos. La distancia, $d$, entre dos nodos consecutivos de la onda estacionaria puede medirse experimentalmente con una regla, R, provista de dos cursores móviles, C.

La fotografía de la figura 1 se ha obtenido con los siguientes datos: frecuencia $f=50,0\text{ Hz}$; masa $M=65,0\text{ g}$. Se ha medido una distancia entre nodos consecutivos $d=237\text{ mm}$.

a) Determina y calcula la velocidad, $v$, de propagación de las ondas transversales en la cuerda.

b) La velocidad $v$ de propagación de ondas transversales en una cuerda tensa depende de la densidad lineal de masa $\mu$ de la cuerda (masa por unidad de longitud) y de su tensión $T$. La forma de esta dependencia es una de las cuatro siguientes:

• A. $v=\mu T$
• B. $v=\sqrt{T/\mu }$
• C. $v=\frac{1}{\mu T}$
• D. $v=\sqrt{\mu T}$

b1) Basándote en el principio de homogeneidad de las fórmulas físicas, indica razonadamente cuál de estas expresiones es la única correcta.

b2) Calcula la densidad lineal de masa $\mu$ de la cuerda empleada.

c) Los vientres (antinodos) de la onda estacionaria de la figura tienen una amplitud de oscilación $A=12,7\text{ mm}$. Escribe la ecuación de la onda estacionaria.

d) Escribe la ecuación de la velocidad máxima $V_t$ de vibración de cualquier punto de la cuerda y determina su valor para un punto situado a una distancia $x=3\lambda /4$ de un extremo de la cuerda, siendo $\lambda$ la longitud de onda.

Standing wave apparatus with vibrator and mass

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Wave Equation, Dimensional Analysis, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String, Pulley, Block, Tuning Fork Fonte: Testo (PDF) — p.4

P2.- Ondate stazionarie trasversali su una corda tensa.

Per osservare e misurare le caratteristiche delle onde stazionarie su una corda tensa viene montato nel laboratorio di un Centro di istruzione secondaria il sistema di cui alla figura 1. Un vibratore, V, eccita transversalmente, con una frequenza $f$ e una piccola larghezza, un’estremità di una corda orizzontale. La corda viene tensa passando attraverso una polea P e appendendo dall’estremità libera una massa nota, $M$.

Quando si modifica $M$, e quindi la tensione $T$ della corda, si trovano successive situazioni in cui si forma un’onda stazionaria, frutto dell’interferenza costruttiva tra le successive onde riflesse alle estremità. La distanza, $d$, tra due nodi consecutivi dell’onda stazionaria può essere misurata sperimentalmente con una regola, R, fornita da due cursori mobili, C.

La fotografia di figura 1 è stata ottenuta con i seguenti dati: frequenza $f=50,0\text{ Hz}$; massa $M=65,0\text{ g}$. La distanza tra i nodi successivi $d=237\text{ mm}$ è stata misurata.

a) Determina e calcola la velocità, $v$, di diffusione delle onde trasversali nella corda.

b) La velocità $v$ di diffusione delle onde trasversali su una corda tensa dipende dalla densità lineare di massa $\mu$ della corda (massa per unità di lunghezza) e dalla sua tensione $T$. La forma di tale dipendenza è una delle quattro seguenti:

• A. $v=\mu T$
• B. $v=\sqrt{T/\mu }$
• C. $v=\frac{1}{\mu T}$
• D. $v=\sqrt{\mu T}$

b) Basandosi sul principio di omogeneità delle formule fisiche, indichi ragionevolmente quale di queste espressioni sia l’unica corretta.

b2) Calcola la densità di massa lineare $\mu$ della corda utilizzata.

c) Le antenne (antenodi) della onda stazionaria della figura hanno un’ampiezza di oscillazione $A=12,7\text{ mm}$. Scrivi l’equazione dell’onda stazionaria.

d) Scrivere l’equazione della velocità massima di vibrazione $V_t$ di qualsiasi punto della corda e determinare il suo valore per un punto situato a una distanza $x=3\lambda /4$ da un’estremità della corda, essendo $\lambda$ la lunghezza d’onda.

Apparecchi di onde in stand stand con vibratore e massa

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Wave Equation, Dimensional Analysis, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String, Pulley, Block, Tuning Fork Fonte: Testo (PDF) — p.4

P2.- Static transverse waves in a tense string.

In order to observe and measure the characteristics of stationary waves on a tense rope, the system in Figure 1 is installed in the laboratory of a Secondary Education Centre. A V vibrator excites transversely, at a frequency $f$ and small width, one end of a horizontal rope. The rope is kept tense by passing it through a P pole and hanging from the free end a known mass, $M$.

When $M$ is modified, and hence the tension $T$ of the rope, successive situations are encountered in which a stationary wave is formed, as a result of constructive interference between successive waves reflected at the ends. The distance, $d$, between two consecutive nodes of the stationary wave can be measured experimentally with a rule, R, provided with two moving cursors, C.

The photograph in Figure 1 was obtained with the following data: frequency $f=50,0\text{ Hz}$; mass $M=65,0\text{ g}$. A distance between consecutive nodes $d=237\text{ mm}$ has been measured.

(a) Determine and calculate the speed, $v$, of propagation of cross-wave waves in the rope.

(b) The $v$ speed of propagation of cross waveforms in a tense string depends on the linear density of mass $\mu$ of the string (mass per unit length) and its voltage $T$. The form of this dependence is one of the following four:

• A. $v=\mu T$
• B. $v=\sqrt{T/\mu }$
• C. $v=\frac{1}{\mu T}$
• D. $v=\sqrt{\mu T}$

(b1) Based on the principle of homogeneity of physical formulas, it is reasonable to indicate which of these expressions is the only correct one.

(b2) Calculate the linear mass density $\mu$ of the rope used.

(c) The ventricles (anthenoids) of the stationary wave in the figure have a oscillation amplitude $A=12,7\text{ mm}$. Write the equation of the stationary wave.

(d) Write the equation of the maximum vibration speed $V_t$ of any point on the string and determine its value for a point located at a distance $x=3\lambda /4$ from one end of the string, being $\lambda$ the wavelength.

Standing wave apparatus with vibrator and mass

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Wave Equation, Dimensional Analysis, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String, Pulley, Block, Tuning Fork Fonte: Testo (PDF) — p.4

P3.- Ionización en un condensador.

La fotografía de la figura 1 corresponde a un montaje experimental existente en un laboratorio de electromagnetismo. El dispositivo, que se esquematiza en la figura 2, consta de un condensador plano formado por dos placas conductoras planoparalelas de área $S=6,25\times 10^{-2}{\text{ m}}^2$, separadas una distancia $d=0,1\text{ m}$. Una de las placas está conectada al borne positivo de una batería de f.e.m. $\epsilon =60\text{ V}$ y la otra está unida a tierra a través de una resistencia $R=10^7\text{ Ω}$. El otro borne de la batería está unido a tierra.

En esta situación, las placas adquieren densidades de carga $+{\sigma }_0$ y $-{\sigma }_0$.

a) Determina el módulo, dirección y sentido del campo electrostático $E$ en el espacio entre las placas, suponiendo que es prácticamente uniforme.

b) Calcula la densidad de carga ${\sigma }_0$.

c) Se introduce entre las placas un delgado tubo de vidrio que conduce un gas inflamable. Cuando se hace arder, la llama produce la ionización de algunas moléculas que hay entre las placas.

c1) Suponiendo que cada molécula ionizada da lugar a un ion positivo y a un único electrón. ¿Qué les ocurrirá a estas cargas?

c2) Manteniendo constante la llama, el voltímetro marca un voltaje de 20 mV. ¿Cómo lo explicas?

c3) ¿Cuánta carga circula por la resistencia $R$ durante un segundo?

c4) ¿Cuántas moléculas se ionizan por segundo?

c5) Se sabe que, en promedio, la energía necesaria para producir una ionización en nuestro sistema es de 34 eV. ¿Qué potencia invierte la combustión en ionizar moléculas?

Datos: $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=9,0\times 10^9{\text{ N⋅m}}^2/{\text{C}}^2$ $e=1,6\times 10^{-19}\text{ C}$

Lab photo ionization experiment setup

Lab photo capacitor apparatus

Circuit schematic capacitor with battery R

Topic: Electrostatics, Circuits Metodi: Electric Potential Method, Gauss’s Law, Kirchhoff’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Battery, Resistor, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6

P3.- Ionizzazione in un condensatore.

La fotografia di cui alla figura 1 corrisponde ad un montaggio sperimentale esistente in un laboratorio di elettromagnetismo. Il dispositivo, che è descritto in figura 2, è costituito da un condensatore piano formato da due piastre conduttrici piano-paralleli di superficie $S=6,25\times 10^{-2}{\text{ m}}^2$, separate da una distanza $d=0,1\text{ m}$. Una delle placche è collegata al terminale positivo di una batteria di f.e.m. $\epsilon =60\text{ V}$ e l’altra è legata a terra attraverso una resistenza $R=10^7\text{ Ω}$. L’altro portabatteria è collegato a terra.

In questa situazione, le lastre acquisiscono densità di carico $+{\sigma }_0$ e $-{\sigma }_0$.

a) Determina il modulo, la direzione e il senso del campo elettrostatico $E$ nello spazio tra le plache, supponendo che sia praticamente uniforme.

b) Calcola la densità di carico ${\sigma }_0$.

c) Si inserisce tra le lastre un piccolo tubo di vetro che conduce un gas infiammabile. Quando si brucia, la fiamma produce l’ionizzazione di alcune molecole che ci sono tra le placche.

c1) Supponendo che ogni molecola ionizzata produca un ione positivo e un singolo elettrone. Cosa accadrà a queste cariche?

c2) Tenendo costante la fiamma, il voltimetro segna una tensione di 20 mV. Come lo spieghi?

c3) Quanta carica circola per la resistenza $R$ per un secondo?

c4) Quante molecole si ionizzano al secondo?

c5) Si sa che, in media, l’energia necessaria per produrre un ionizzazione nel nostro sistema è di 34 eV. Che potenza inversa la combustione nell’ionizzare le molecole?

**Dati: ** $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=9,0\times 10^9{\text{ N⋅m}}^2/{\text{C}}^2$ $e=1,6\times 10^{-19}\text{ C}$

Lab photo ionization experiment setup

Lab photo capacitor apparatus

Circuit schematic capacitor with battery R

Topic: Electrostatics, Circuits Metodi: Electric Potential Method, Gauss’s Law, Kirchhoff’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Battery, Resistor, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6

P3.- Ionización en un condensador.

The photograph in Figure 1 corresponds to an experimental assembly in an electromagnetism laboratory. The device, outlined in Figure 2, consists of a flat capacitor consisting of two parallel flat-plate conductors of $S=6,25\times 10^{-2}{\text{ m}}^2$ area, separated by a distance $d=0,1\text{ m}$. One of the plates is connected to the positive end of an f.e.m. battery. $\epsilon =60\text{ V}$ y la otra está unida a tierra a través de una resistencia $R=10^7\text{ Ω}$. The other battery is grounded.

In this situation, the plates acquire load densities $+{\sigma }_0$ and $-{\sigma }_0$.

(a) Determine the module, direction and direction of the electrostatic field $E$ in the space between the plates, assuming that it is practically uniform.

(b) Calculate the load density ${\sigma }_0$.

(c) A thin glass tube conducting flammable gas is inserted between the plates. When the flame is ignited, it ionizes some of the molecules between the plates.

c1) Assuming that each ionized molecule gives rise to a positive ion and a single electron. What will happen to these charges?

c2) By keeping the flame constant, the voltmeter shall indicate a voltage of 20 mV. How do you explain it?

c3) How much load is passed by the resistance $R$ for one second?

c4) How many molecules are ionized per second?

c5) It is known that, on average, the energy required to produce an ionization in our system is 34 eV. What power does combustion invest in ionizing molecules?

Datos: $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=9,0\times 10^9{\text{ N⋅m}}^2/{\text{C}}^2$ $e=1,6\times 10^{-19}\text{ C}$

Lab photo ionization experiment setup

Lab photo capacitor apparatus

Circuit schematic capacitor with battery R

Topic: Electrostatics, Circuits Metodi: Electric Potential Method, Gauss’s Law, Kirchhoff’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Battery, Resistor, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6