Spagna 2009

Problema Experimental. Densidades y principio de Arquímedes

El famoso principio de Arquímedes suele expresarse en la forma: “Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascensional (empuje) igual al peso del fluido desalojado”.

Por tanto, el empuje experimentado por el cuerpo depende de la densidad del fluido, de forma que unas medidas experimentales adecuadas permiten obtener dicha densidad.

Un método sencillo y directo para determinar la densidad de un líquido, $ρ_{l}$ , sería el siguiente: con un dinamómetro (por ejemplo) se mide el peso de un objeto, $w$ . A continuación se repite la medida, pero con el cuerpo completamente sumergido en el líquido, obteniéndose un “peso aparente” inferior $w_{a}$ . La diferencia entre estas dos medidas es el empuje $E$ del líquido.

$E = w - w_{a} = ρ_{l} V g \Rightarrow ρ_{l} = \frac{w - w _{a}}{V g}$

donde $V$ es el volumen del líquido desalojado por el objeto, y $g = 9, 8 m/s^{2}$ es la aceleración de la gravedad.

Para mejorar la precisión del resultado final es conveniente realizar varias medidas del peso aparente, con el objeto parcial y progresivamente sumergido. En esta prueba experimental se plantea un problema de este tipo.

Imagina que en el laboratorio se dispone del siguiente material:

Dinamómetro de carga máxima 1 N y resolución 0,01 N.
Cilindro metálico de densidad desconocida, con una regla impresa en su superficie lateral, graduada en mm.
Vaso con el líquido problema.
Gato mecánico para variar la altura del vaso.

Con estos elementos es posible medir el peso aparente del cuerpo cilíndrico para diversas longitudes sumergidas, $x$ , empleando el montaje de la figura. En la tabla siguiente se presentan los pesos aparentes medidos, $w_{a}$ .

$x$ (cm)	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0	11,0	12,0
$w_{a}$ (N)	1,00	0,97	0,93	0,88	0,84	0,81	0,77	0,72	0,69	0,66	0,61	0,58

El peso $w$ del cilindro es superior a 1 N, por lo que no se puede medir con el dinamómetro.

Con un calibre de 0,1 mm de resolución se miden las dimensiones del cuerpo cilíndrico:

Longitud: $L = 12, 50 cm$
Diámetro: $D = 2, 00 cm$

a) Representa en el papel milimetrado los puntos experimentales $(x, w_{a})$ y ajústalos a una línea recta.

b) Determina las densidades del líquido, $ρ_{l}$ , y del cilindro, $ρ_{c}$ .

c) Suponiendo que la incertidumbre (margen de error) de $D$ es la principal fuente de error con este método de medida, haz una estimación de la incertidumbre de $ρ_{l}$ .

Experimental setup: cylinder partially submerged

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.1

Il problema sperimentale. Densità e principio di Archimede**

Il famoso principio di Archimede si esprime spesso in questa forma: “Ogni corpo immerso in un fluido sperimenta una forza ascendente (push) uguale al peso del fluido sfollato”.

La spinta del corpo dipende quindi dalla densità del fluido, in modo che una misurazione sperimentale adeguata permetta di ottenere tale densità.

Un metodo semplice e diretto per determinare la densità di un liquido, $ρ_{l}$ , sarebbe il seguente: con un dinamometro (ad esempio) si misura il peso di un oggetto, $w$ . Successivamente si ripete la misura, ma con il corpo completamente immerso nel liquido, ottenendo un “peso apparente” inferiore $w_{a}$ . La differenza tra queste due misure è la spinta $E$ del liquido.

$E = w - w_{a} = ρ_{l} V g \Rightarrow ρ_{l} = \frac{w - w _{a}}{V g}$

in cui $V$ è il volume del liquido sfrattato dall’oggetto e $g = 9, 8 m/s^{2}$ è l’accelerazione della gravità.

Per migliorare l’accuratezza del risultato finale, è opportuno effettuare diverse misurazioni del peso apparente, con l’obiettivo parzialmente e progressivamente immerso. In questo test sperimentale si pone un problema di questo tipo.

Immaginate che il laboratorio dispone del materiale seguente:

Dinamometro di carico massimo 1 N e risoluzione 0,01 N.
cilindro metallico di densità sconosciuta, con una regola stampata sulla sua superficie laterale, gradata in mm.
Un bicchiere con il problema del liquido.
Gatto meccanico per variare l’altezza del bicchiere.

Con questi elementi è possibile misurare il peso apparente del corpo cilindrico per diverse lunghezze immerse, $x$ , utilizzando l’assemblaggio della figura. I pesoni apparenti misurati $w_{a}$ sono riportati nella tabella seguente.

$x$ (cm)	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0	11,0	12,0
$w_{a}$ (N)	1,00	0,97	0,93	0,88	0,84	0,81	0,77	0,72	0,69	0,66	0,61	0,58

Il peso $w$ del cilindro è superiore a 1 N, quindi non può essere misurato con il dinamometro.

Con un calibro di 0,1 mm di risoluzione si misurano le dimensioni del corpo cilindrico:

Lunghezza: $L = 12, 50 cm$
Diametro: $D = 2, 00 cm$

a) Rappresenta i punti sperimentali $(x, w_{a})$ su carta millimetrica e li regola in una linea retta.

b) Determina le densità del liquido, $ρ_{l}$ , e del cilindro, $ρ_{c}$ .

c) Supponendo che l’incertezza (margine di errore) di $D$ sia la principale fonte di errore con questo metodo di misurazione, si fa un’estimazione dell’incertezza di $ρ_{l}$ .

Settatura sperimentale: cilindro partialmente submerso

The problem is experimental. Densities and principle of Archimedes**

Archimedes’ famous principle is usually expressed in the form: “Every body submerged in a fluid experiences an ascension force (push) equal to the weight of the displaced fluid”.

The body’s thrust is therefore dependent on the density of the fluid, so that appropriate experimental measurements can be used to obtain that density.

A simple and straightforward method for determining the density of a liquid, $ρ_{l}$ , would be as follows: with a dynamometer (for example) the weight of an object, $w$ is measured. The measurement is then repeated, but with the body completely submerged in the liquid, giving a lower “apparent weight” $w_{a}$ . The difference between these two measurements is the $E$ thrust of the liquid.

$E = w - w_{a} = ρ_{l} V g \Rightarrow ρ_{l} = \frac{w - w _{a}}{V g}$

where $V$ is the volume of liquid discharged by the object, and $g = 9, 8 m/s^{2}$ is the acceleration of gravity.

To improve the accuracy of the final result, several measurements of the apparent weight should be carried out, with the object partially and gradually submerged. This experimental test poses a problem of this kind.

Imagine that the following material is available in the laboratory:

Maximum load dynamometer 1 N and resolution 0.01 N.
Metal cylinder of unknown density, with a rule printed on its side surface, graded in mm.
I’m having a problem with the liquid.
Mechanical cat to vary the height of the glass.

These elements allow measuring the apparent weight of the cylindrical body for various submerged lengths, $x$ , using the mounting of the figure. The following table shows the apparent weights measured, $w_{a}$ .

$x$ (cm)	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0	11,0	12,0
$w_{a}$ (N)	1,00	0,97	0,93	0,88	0,84	0,81	0,77	0,72	0,69	0,66	0,61	0,58

The $w$ weight of the cylinder is greater than 1 N, so it cannot be measured with the dynamometer.

The dimensions of the cylindrical body shall be measured with a caliber of 0,1 mm resolution:

Length: $L = 12, 50 cm$
diameter: $D = 2, 00 cm$

(a) Represents the experimental points $(x, w_{a})$ on the millimeter paper and adjusts them to a straight line.

(b) Determine the densities of the liquid, $ρ_{l}$ , and the cylinder, $ρ_{c}$ .

(c) Assuming that the uncertainty (error margin) of $D$ is the main source of error with this measurement method, make an estimate of the uncertainty of $ρ_{l}$ .

The test results shall be presented in accordance with the following formula:

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