USAPhO 2009 Quarterfinal

Below is an image of Fomalhaut b, the first extrasolar planet to be observed directly by visible light, obtained by the Hubble Space Telescope.

Astronomy Picture of the Day 2008 November 14 http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap081114.html Image Credit: NASA, ESA, P. Kalas, J. Graham, E. Chiang, E. Kite (Univ. California, Berkeley), M. Clampin (NASA/Goddard), M. Fitzgerald (Lawrence Livermore NL), K. Stapelfeldt, J. Krist (NASA/JPL)

The scale of the larger diagram is shown on the lower left; the $1 3^{''}$ refers to the angle, in arc-seconds, subtended by 100 AU at the distance of Fomalhaut. The scale of the inset can be determined by size of the small box.

(a) A planet is in a circular orbit of radius $R$ and period $T$ . Derive an expression for the mass of a star in terms of $R$ , $T$ , and the gravitational constant $G$ . You may assume that the mass of the planet is much, much less than the mass of the star.
(b) From the image, estimate the mass of the star Fomalhaut in solar masses. You may assume that the orbit of Fomalhaut b is circular and ignore any errors associated with the fact that the plane of the image is not coincident with the plane of the orbit. Recall that the radius of the Earth’s orbit around the Sun is 1 AU. You do not need to do an error analysis, but the number of significant digits in your answer ought reflect the accuracy of your answer.

Topic: Gravitation Astrophysics Metodi: Kepler’s Laws Newton’s Law of Gravitation Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning Estimation & Approximation Measurement & Instrumentation Objects: Planet Star Fonte: Testo (PDF) - p.3

Di seguito è riportata un’immagine di Fomalhaut b, il primo pianeta extra solare da osservare direttamente con la luce visibile, ottenuto dal telescopio spaziale Hubble.

Foto dell’Astronomia del Giorno 2008 14 novembre http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap081114.html Foto: NASA, ESA, P. Kalas, J. Graham, E. Chiang, E. Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città di Città California, Berkeley), M. Clampin (NASA/Goddard), M. Fitzgerald (Lawrence Livermore NL), K. Stapelfeldt, J. Krist (NASA/JPL)

La scala del diagramma più grande è mostrata in basso a sinistra; il $1 3^{''}$ si riferisce all’angolo, in arc-secondi, sottoscritto da 100 AU alla distanza da Fomalhaut. La scala dell’insetto può essere determinata dalla dimensione della piccola scatola.

(a) Un pianeta si trova in orbita circolare di raggio $R$ e periodo $T$ . Derivare un’espressione per la massa di una stella in termini di $R$ , $T$ e costante gravitazionale $G$ . Potreste supporre che la massa del pianeta sia molto, molto inferiore a quella della stella.
(b) Sulla immagine, calcolare la massa della stella Fomalhaut in masse solari. Si può presumere che l’orbita di Fomalhaut b sia circolare e ignorare eventuali errori associati al fatto che il piano dell’immagine non coincida con il piano dell’orbita. Ricordate che il raggio di orbita della Terra attorno al Sole è di 1 UA. Non è necessario fare un’analisi degli errori, ma il numero di cifre significative nella risposta dovrebbe riflettere l’accuratezza della risposta.

A ball of mass $m$ is thrown vertically upward with a speed of $v_{0}$ . The ball is subject to an air resistance force that is proportional to the velocity, $F = - k v$ . The ball rises up to height of $h$ and then returns to the starting point after some total time $t_{f}$ . The acceleration of free fall is $g$ .

Determine the following:

(a) An expression for the velocity as a function of time in terms of any or all of the constants.
(b) Sketch the graph of velocity vs time. On the sketch indicate the time to rise to the highest point, $t_{r}$ , and the total time of flight, $t_{f}$ . You do not need to find either $t_{r}$ or $t_{f}$ at this point, but your graph should reflect relative positions of both.
(c) Find the time to rise, $t_{r}$ , to the highest point, $h$ , in terms of any or all of the constants.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Differential Equations Kinematic Equations Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Mathematical Modeling Diagrammatic Reasoning Objects: Ball Projectile Fonte: Testo (PDF) - p.3

Una palla di massa $m$ viene lanciata verticalmente verso l’alto con una velocità $v_{0}$ . La palla è soggetta a una forza di resistenza all’aria proporzionale alla velocità, $F = - k v$ . La palla sale fino ad una altezza di $h$ e poi ritorna al punto di partenza dopo un certo tempo totale $t_{f}$ . L’accelerazione della caduta libera è $g$ .

Determinare quanto segue:

(a) Espressione della velocità come funzione del tempo in termini di una o tutte le costanti.
(b) Segnare il grafico della velocità contro il tempo. Sulla schizza è indicato il tempo di salita al punto più alto, $t_{r}$ , e il tempo totale di volo, $t_{f}$ . Non è necessario trovare né $t_{r}$ né $t_{f}$ a questo punto, ma il grafico dovrebbe riflettere le posizioni relative di entrambe.
(c) Trova il tempo di aumento, $t_{r}$ , al punto più alto, $h$ , in termini di una o tutte le costanti.

A parallel plate capacitor is made of two square parallel plates of area $A$ , and separated by a distance $d ≪ A$ . The capacitor is connected to a battery with potential $V$ and allowed to fully charge. The battery is then disconnected. A square metal conducting slab also with area $A$ but thickness $d /2$ is then fully inserted between the plates, so that it is always parallel to the plates. How much work has been done on the metal slab while it is being inserted?

Topic: Electrostatics Metodi: Energy Conservation Method Electric Potential Method Competenze: Physical Reasoning Mathematical Modeling Objects: Capacitor Fonte: Testo (PDF) - p.4

Un condensatore di piastre parallele è costituito da due piastre parallele quadrate di superficie $A$ , separate da una distanza $d ≪ A$ . Il condensatore è collegato a una batteria con potenziale $V$ e può essere completamente caricato. La batteria viene poi scollegata. Una lastra di conduttore metallico quadrata anche con superficie $A$ ma spessore $d /2$ viene quindi inserita interamente tra le lastre, in modo che sia sempre parallela alle lastre. Quanto lavoro è stato fatto sulla lastra metallica mentre viene inserita?

Topic: Electrostatics Metodi: Energy Conservation Method Electric Potential Method Competenze: Physical Reasoning Mathematical Modeling Objects: Capacitor Fonte: Testo (PDF) - p.4

A certain electric battery is not quite ideal. It can be thought of as a perfect cell with constant output voltage $V_{0}$ connected in series to a resistance $r$ , but there is no way to remove this internal resistance from the battery.

The battery is connected to $N$ identical lightbulbs in parallel. The bulbs each have a fixed resistance $R$ , independent of the current through them.

(a) Derive an expression for the total power dissipated by the $N$ bulbs in terms of $r$ , $R$ , and $V_{0}$ .
(b) It is observed that the configuration dissipates more total power through the bulbs when $N = 5$ than it does for any other value of $N$ . In terms of $R$ , what range of values is possible for $r$ ?

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws Equivalent Circuit Reduction Competenze: Physical Reasoning Mathematical Modeling Objects: Battery Resistor Fonte: Testo (PDF) - p.4

Una certa batteria elettrica non è perfetta. Si può pensare che sia una cella perfetta con tensione di uscita costante $V_{0}$ collegata in serie ad una resistenza $r$ , ma non c’è modo di rimuovere questa resistenza interna dalla batteria.

La batteria è collegata in parallelo alle lampadine identiche $N$ . Le lampadine hanno ciascuna una resistenza fissa $R$ , indipendente dalla corrente che le attraversa.

a) Derivare un’espressione della potenza totale dissipata dalle lampadine $N$ in termini di $r$ , $R$ e $V_{0}$ .
(b) Si osserva che la configurazione dissipa più potenza totale attraverso le lampadine quando $N = 5$ rispetto a qualsiasi altro valore di $N$ . In termini di $R$ , quale gamma di valori è possibile per $r$ ?

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws Equivalent Circuit Reduction Competenze: Physical Reasoning Mathematical Modeling Objects: Battery Resistor Fonte: Testo (PDF) - p.4

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