Spagna 2010

Problema experimental. Determinación de la viscosidad de un líquido.

Cuando un cuerpo sólido se mueve en el seno de un fluido (gas o líquido), experimenta una fuerza de fricción, llamada habitualmente fuerza de arrastre, que frena su movimiento. Si la velocidad del cuerpo es suficientemente pequeña, se encuentra que la fuerza de arrastre es directamente proporcional a dicha velocidad. La constante de proporcionalidad depende de la forma del cuerpo y de la viscosidad del fluido. En el caso particular de un cuerpo esférico, se demuestra que la fuerza de arrastre $F_a$ es (Ley de Stokes)

$F_a=6\pi \eta Rv(1)$

donde $v$ es la velocidad, $R$ es el radio de la esfera y $\eta$ es el llamado coeficiente de viscosidad del fluido.

En este problema experimental vamos a trabajar con uno de los métodos más comunes de determinar el coeficiente $\eta$ de un líquido: medida de la velocidad límite de caída de esferas en una columna de ese líquido.

Cuando una esfera cae moviéndose en el seno de un líquido, sobre ella actúan dos fuerzas: su peso aparente, que tiende a acelerar el movimiento hacia abajo, y la fuerza de arrastre (1) que tiende a frenar este movimiento, es decir dirigida hacia arriba. Como la primera es constante y la segunda crece con la velocidad, la aceleración disminuye conforme la esfera cae y gana velocidad. Al cabo de un tiempo y un recorrido suficientemente grandes, las dos fuerzas llegan a igualarse y la aceleración se anula, de forma que la esfera se mueve con velocidad uniforme. Ésta es la llamada velocidad límite.

El peso aparente de la esfera es igual al peso real, $m_{e}g$, menos el empuje de Arquímedes, igual al peso del líquido desalojado, $m_{l}g$. Poniendo estos pesos en función de las densidades respectivas, ${\rho }_e$ y ${\rho }_l$, y recordando que el volumen de una esfera es $4\pi R^3/3$, la fuerza $F_p$ que tiende a acelerar el movimiento es

$F_p=\frac{4}{3}\pi R^3({\rho }_e-{\rho }_l)g$

Igualando esta fuerza con la de arrastre dada en (1) se deduce la velocidad límite

$v_{\lim }=\frac{2({\rho }_e-{\rho }_l)g}{9\eta }{R}^2(2)$

Esta velocidad es fácil de medir experimentalmente, si no es muy grande, cronometrando el tiempo que tarda la esfera en recorrer una distancia $L$ a lo largo del líquido (figura 1) una vez alcanzada la velocidad límite, es decir sin tener en cuenta la primera parte del recorrido.

Imagina que en el laboratorio dispones de una probeta grande llena de glicerina y siete bolitas de acero, de radios diferentes y conocidos. Con un cronómetro manual mides el tiempo $t$ que tarda cada bolita en recorrer una distancia $L=30,0$ cm. Los radios de las esferas y los respectivos tiempos medidos se presentan en la siguiente tabla.

$R$ (mm)	1,00	1,25	1,50	1,75	2,00	2,25	2,50
$t$ (s)	20,82	13,38	9,20	6,75	5,26	4,17	3,28

a) Construye una tabla con los valores de $R^2$ y $v_{\lim }$ de las diferentes esferas. Dibuja en el papel milimetrado una gráfica con los puntos $(x,y)=(R^2,v_{\lim })$.

b) Determina la pendiente de la recta que mejor se ajusta a estos puntos. Ten en cuenta que, según (2), la recta debe pasar por el origen.

c) Determina el coeficiente de viscosidad, $\eta$, de la glicerina.

d) Haz una estimación de la incertidumbre (margen de error) de la pendiente de la recta. Calcula la incertidumbre transmitida al coeficiente de viscosidad.

Datos: ${\rho }_e=7,86\times 10^3{\text{kg/m}}^3$; ${\rho }_l=1,264\times 10^3{\text{kg/m}}^3$; $g=9,81{\text{m/s}}^2$.

Probeta con esfera cayendo distancia L

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Error Propagation Objects: Sphere, Container Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il problema sperimentale. Determinazione della viscosità di un liquido.**

Quando un corpo solido si muove nel seno di un fluido (gasso o liquido), sperimenta una forza di attrito, chiamata di solito forza di trazione, che frenano il suo movimento. Se la velocità del corpo è sufficientemente piccola, si trova che la forza di trazione è direttamente proporzionale a tale velocità. La costante proporzionalità dipende dalla forma del corpo e dalla viscosità del fluido. Nel caso particolare di un corpo sferico, è dimostrato che la forza di trazione $F_a$ è (legge di Stokes)

$F_a=6\pi \eta Rv(1)$

dove $v$ è la velocità, $R$ è il raggio della sfera e $\eta$ è il cosiddetto coefficiente di viscosità del fluido.

In questo problema sperimentale, lavoreremo con uno dei metodi più comuni per determinare il coefficiente $\eta$ di un liquido: misura della velocità limite di caduta delle sfere in una colonna di quel liquido.

Quando una sfera cade muovendosi nel seno di un liquido, su di essa agiscono due forze: il suo peso apparente, che tende ad accelerare il movimento verso il basso, e la forza di trascinamento (1) che tende a frenare questo movimento, cioè rivolta verso l’alto. Poiché la prima è costante e la seconda cresce con la velocità, l’accelerazione diminuisce con la caduta della sfera e la velocità. Dopo un tempo e un percorso sufficientemente grande, le due forze si eguagliano e l’accelerazione viene annullata, in modo che la sfera muova a velocità uniforme. Questa è la cosiddetta velocità limite.

Il peso apparente della sfera è pari al peso reale, $m_{e}g$, meno il pulso di Archimede, pari al peso del liquido sfogliato, $m_{l}g$. Mettendo questi pesi in base alle rispettive densità, ${\rho }_e$ e ${\rho }_l$, e ricordando che il volume di una sfera è $4\pi R^3/3$, la forza $F_p$ che tende ad accelerare il movimento è

$F_p=\frac{4}{3}\pi R^3({\rho }_e-{\rho }_l)g$

Equazionando questa forza con quella di trazione data in (1) si deduce la velocità limite

$v_{\lim }=\frac{2({\rho }_e-{\rho }_l)g}{9\eta }{R}^2(2)$

Questa velocità è facile da misurare sperimentalmente, se non è molto grande, cronometrando il tempo che la sfera impiega per percorrere una distanza $L$ lungo il liquido (figura 1) una volta raggiunta la velocità limite, cioè senza tenere conto della prima parte del percorso.

Immaginate di avere in laboratorio una grande prova piena di glicerina e sette palline di acciaio, di diversi e noti raggi. Con un cronometro manuale misura il tempo $t$ impiegato da ogni pallone per percorrere una distanza $L=30,0$ cm. I radii delle sfere e i rispettivi tempi misurati sono riportati nella tabella seguente.

$R$ (mm)	1,00	1,25	1,50	1,75	2,00	2,25	2,50
$t$ (s)	20,82	13,38	9,20	6,75	5,26	4,17	3,28

a) Costruisce una tabella con i valori $R^2$ e $v_{\lim }$ delle diverse sfere. Disegnare su carta millimetrica un grafico con i punti $(x,y)=(R^2,v_{\lim })$.

b) Determina la pendice della retta che meglio si adatta a questi punti. Si noti che, secondo il paragrafo 2, la retta deve passare per l’origine.

c) Determina il coefficiente di viscosità, $\eta$, della glycerina.

d) Estimare l’incertezza (margine di errore) della pendenza della retta. Calcola l’incertezza trasmessa al coefficiente di viscosità.

**Dati: ** ${\rho }_e=7,86\times 10^3{\text{kg/m}}^3$; ${\rho }_l=1,264\times 10^3{\text{kg/m}}^3$; $g=9,81{\text{m/s}}^2$.

Sproba con sfera cadente distanza L

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Error Propagation Objects: Sphere, Container Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema experimental. Determination of viscosity of a liquid.

When a solid body moves within a fluid (gas or liquid), it experiences a frictional force, usually called drag force, that slows its movement. If the speed of the body is small enough, the force of drag is directly proportional to that speed. The proportionality constant depends on the shape of the body and the viscosity of the fluid. In the particular case of a spherical body, the drag force $F_a$ is shown to be (Stokes’ law)

$F_a=6\pi \eta Rv(1)$

where $v$ is the velocity, $R$ is the radius of the sphere and $\eta$ is the so-called viscosity coefficient of the fluid.

En este problema experimental vamos a trabajar con uno de los métodos más comunes de determinar el coeficiente $\eta$ de un líquido: medida de la velocidad límite de caída de esferas en una columna de ese líquido.

When a sphere falls moving in the bosom of a liquid, two forces act on it: its apparent weight, which tends to accelerate the downward movement, and the drag force (1) which tends to slow this movement, that is, directed upward. Since the first is constant and the second grows with speed, the acceleration decreases as the sphere falls and gains speed. After a time and a sufficiently large course, the two forces become even and the acceleration is cancelled, so that the sphere moves at uniform speed. This is the so-called speed limit.

The apparent weight of the sphere is equal to the real weight, $m_{e}g$, minus the Archimedes thrust, equal to the weight of the displaced liquid, $m_{l}g$. By putting these weights on the basis of the respective densities, ${\rho }_e$ and ${\rho }_l$, and remembering that the volume of a sphere is $4\pi R^3/3$, the force $F_p$ that tends to accelerate the motion is

$F_p=\frac{4}{3}\pi R^3({\rho }_e-{\rho }_l)g$

Equating this force with the drag force given in (1) results in the limit speed

$v_{\lim }=\frac{2({\rho }_e-{\rho }_l)g}{9\eta }{R}^2(2)$

This speed is easily measured experimentally, if not very large, by timing the time it takes the sphere to travel a distance $L$ along the liquid (Figure 1) once the speed limit is reached, i.e. without taking into account the first part of the path.

Imagine that in the lab you have a large sample full of glycerin and seven steel balls, with different and familiar radii. With a manual chronometer measure the time $t$ it takes each ball to travel a distance $L=30,0$ cm. The radii of the spheres and their measured times are given in the following table.

$R$ (mm)	1,00	1,25	1,50	1,75	2,00	2,25	2,50
$t$ (s)	20,82	13,38	9,20	6,75	5,26	4,17	3,28

(a) Build a table with the values of $R^2$ and $v_{\lim }$ of the different spheres. Draw a graph on millimeter paper with the $(x,y)=(R^2,v_{\lim })$ points.

(b) Determine the slope of the straight line which best fits these points. Please note that, according to (2), the strait must pass through the source.

(c) Determines the viscosity coefficient of glycerin, $\eta$.

(d) Estimate the uncertainty (error margin) of the slope of the straight line. Calculate the uncertainty transmitted to the viscosity coefficient.

Datos: ${\rho }_e=7,86\times 10^3{\text{kg/m}}^3$; ${\rho }_l=1,264\times 10^3{\text{kg/m}}^3$; $g=9,81{\text{m/s}}^2$.

Sphere test falling distance L

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Error Propagation Objects: Sphere, Container Fonte: Testo (PDF) — p.2