Spagna 2010

Problema 1 – Subidón de adrenalina bajo el puente (4 puntos) Entre los llamados deportes de riesgo ha alcanzado gran popularidad el bungee jumping (en castellano goming, puenting). Consiste en dejarse caer colgado de una cuerda elástica atada a un sólido amarre. La elasticidad de la cuerda frena progresivamente la caída y el saltador oscila verticalmente colgado de la cuerda elástica (goming). Un día decides ir con los amigos a practicar goming y te pones en contacto con la afamada empresa de multiaventura Adrenaline Downloads, pero antes quieres hacer unos cálculos sobre la física del salto. La descripción del movimiento es sencilla. Te dejas caer con velocidad inicial nula atado a una cuerda elástica de longitud $L$ desde un puente de altura $H$ sobre el agua ( $L < H$ , ¡por supuesto!). Inicialmente (primera parte de la caída) tu velocidad crece con la aceleración de la gravedad $g$ y caes en caída libre una distancia $L$ , momento en que la cuerda empezará a estirarse. La creciente fuerza recuperadora elástica va frenando progresivamente tu caída y la aceleración disminuye hasta anularse cuando $g$ se compensa con el estiramiento de la cuerda (segunda parte). Por fin la aceleración neta cambia de signo hasta anular la velocidad en el punto más bajo de la caída (tercera parte). A continuación volverías de nuevo hacia arriba y hacia abajo … Para simplificar los cálculos supondremos que la masa de la cuerda es despreciable, que el saltador se comporta como una masa puntual y que no hay disipación de energía durante el movimiento. I. Pues bien, sea $M$ la masa del saltador (tu masa) y se sabe que en la caída, en el punto más bajo de tu trayectoria, llegarás exactamente a rozar el agua. ¿Eres capaz de responder a estas preguntas? a. ¿Cuánto vale la constante recuperadora elástica $k$ de la cuerda? b. ¿Cuál es la aceleración $a$ del saltador en función de su posición $z$ ? Debes distinguir las tres diferentes zonas señaladas. Haz una gráfica de $a = f (z)$ . (Por sencillez, se recomienda medir la posición del saltador, coordenada $z$ , desde el puente, es decir, positiva hacia abajo). c. ¿Cuál es la velocidad máxima $v_{m}$ durante la caída? ¿Dónde se alcanza? d. Haz una gráfica aproximada de $v = f (z)$ . Para ello no hagas los cálculos matemáticos, sólo se pide una gráfica aproximada. e. ¿Cuál es la aceleración máxima $a_{m}$ en la caída? ¿Dónde se alcanza?

II. Merece la pena hacer unos números. Supongamos los siguientes datos: $H = 40 m$ , $L = 20 m$ y $M = 50 kg$ . Tomando $g \approx 10 m/s^{2}$ , calcula

A. El valor de la constante elástica $k$ .
B. La velocidad $v_{m}$ y aceleración $a_{m}$ máximas alcanzadas. III. En la práctica, la oscilación se amortigua por la disipación de energía (fricción con el aire y cuerda no perfectamente elástica) y el saltador, tras ejecutar pequeñas oscilaciones, acabará parándose a una distancia $L + M g / k$ debajo del punto de apoyo. ¿Cuál es su periodo? ¿Se trata de un oscilador armónico? IV. Te acompaña un amigo que no entiende de Física y también quiere tirarse. Le aconsejas que no lo haga porque está muy gordo, pesa el doble que tú, y chocaría violentamente contra el agua. Con el fin de garantizar la integridad de tu amigo decides doblar la cuerda formando otra de longitud $L /2$ :
A. Calcula la nueva constante elástica $k^{'}$ de la cuerda doblada.
B. Si la masa de tu amigo es $100 kg$ (aún lo seguiremos considerando como una masa puntual; ya ves, cosas de la Física…) ¿A qué distancia mínima, $h$ , del agua llegará en su caída? ¿Se mojará?

Nota: Pueden verse multitud de vídeos sobre goming en Internet (véase, por ejemplo, http://www.youtube.com/watch?v=nPycY6969N8). A veces, a las oscilaciones se le añade un fuerte balanceo lateral (puenting) (http://www.youtube.com/watch?v=BeNzE9P79Ao). Cerca de Salamanca, en el puente de Ledesma sobre el río Tormes, se practica este deporte con frecuencia. Entraña peligros evidentes y sólo debe hacerse empleando materiales de primerísima calidad y bajo el asesoramiento de expertos.

saltatore bungee con corda elastica

Topic: Oscillations & Waves, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Energy Conservation Method, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 1 Rivaldi di adrenalina sotto il ponte (4 punti) Tra i cosiddetti sport a rischio è giunta a grande popolarità il bungee jumping (in spagnolo goming, puenting). Consiste nel lasciarsi cadere appeso da una corda elastica legata a un’amaratura solida. L’elasticità della corda frenerà progressivamente la caduta e il saltatore oscillerà appeso verticalmente alla corda elastica (goming). Un giorno decidi di andare con i tuoi amici a praticare goming e ti metti in contatto con la famosa Adrenaline downloads, ma prima vuoi fare qualche calcolo sulla fisica del salto. La descrizione del movimento è semplice. Ti lasci cadere con velocità iniziale zero legata a una corda elastica di lunghezza $L$ da un ponte di altitudine $H$ sull’acqua ( $L < H$ , per Certo! Inizialmente (prima parte della caduta) la tua velocità cresce con l’accelerazione della gravità $g$ e scende in caduta libera una Distanza $L$ , momento in cui la corda inizierà a stendersi. La crescente forza recuperatrice elastica sta frenando gradualmente la tua caduta e l’accelerazione diminuisce fino a annullare quando $g$ è compensato dal tondo esteso (seconda parte). Finalmente l’accelerazione netta cambia segno fino a annullare la velocità al punto più basso del caduto (parte terza). Poi torneresti di nuovo su e giù … Per semplificare i calcoli, supponiamo che la massa della corda sia scarsa, che la massa della corda sia scarsa. La massa di un salto si comporta come una massa puntuale e non vi è dissipazione di energia durante il salto movimento. I. Pues bien, sea $M$ la masa del saltador (tu masa) y se sabe que en la caída, en el punto más Sotto il tuo percorso, arriverai esattamente a spazzare il acqua. Sei in grado di rispondere a queste domande? a. ¿Cuánto vale la constante recuperadora elástica $k$ de la

La corda? b. Qual è l’accelerazione $a$ del saltatore in funzione del suo posizione $z$ ? Devi distinguere le tre zone diverse
Le segnalazioni. Fai un grafico di $a = f (z)$ . (Per la semplicità, si raccomanda di misurare la posizione del saltatore, coordinata $z$ , dal ponte, cioè positivo verso il basso). c. Qual è la velocità massima $v_{m}$ durante il caduta? Dove si arriva? d. Fai un grafico approssimativo di $v = f (z)$ . Non fare i calcoli matematici, solo si chiede un grafico approssimativo. e. Qual è l’accelerazione massima $a_{m}$ nel cadere? Dove si arriva?

II. Vale la pena fare dei numeri. Supponiamo i seguenti dati: $H = 40 m$ , $L = 20 m$ y $M = 50 kg$ . Prendendo $g \approx 10 m/s^{2}$ , si calcola

A. Il valore della costante elastica $k$ .
B. La velocità $v_{m}$ e l’accelerazione $a_{m}$ massime raggiunte. III. In pratica, l’oscillazione è ammortizzata dalla dissipazione di energia (frizione con l’aria e La corda non è perfettamente elastica) e il saltatore, dopo aver eseguito piccole oscillazioni, finirà a una distanza $L + M g / k$ dal punto di appoggio. Qual è il suo periodo? ¿Se
Si tratta di un oscillatore armonico? IV. Un amico che non sa la fisica e vuole anche buttarsi. - Gli consigli di… Non farlo perché è troppo grasso, pesa il doppio di te, e colpirebbe violentamente contro il acqua. Per garantire l’integrità del tuo amico decidi di piegare la corda formando di una lunghezza $L /2$ :
A. Calcola la nuova costante elastica $k^{'}$ della corda piegata.
B. Se la massa del tuo amico è $100 kg$ (solo lo considereremo ancora come massa) puntual; ya ves, cosas de la Física…) ¿A qué distancia mínima, $h$ , del agua llegará en su
E’ caduto? Si bagni?

Nota: si possono vedere numerosi video sul goming su Internet (vedi, per esempio, Il mio gruppo è stato un gruppo di volontari. A volte, alle oscillazioni viene aggiunto un forte sbalzo laterale (puenting) (http://www.youtube.com/watch?v=BeNzE9P79Ao). Praticamente La maggior parte dei giovani che si trovano in questo paese, che si trova a Ledesma, si trova a Salamanca, sul ponte di Ledesma sul fiume Tormes. frequenza. Il rischio è evidente e deve essere realizzato solo utilizzando materiali di La prima è di qualità e sotto il consiglio di esperti.

saltatore bungee con corda elastica

Problem 1 Rise of adrenaline under the bridge (4 points) Among the so-called risk sports bungee jumping has reached great popularity (in Spanish goming, puenting). It consists of letting yourself fall by hanging from an elastic rope tied to a a solid anchor. The rope’s elasticity gradually slows down the fall and the jumper oscillates Vertically suspended from the elastic rope (goming). One day you decide to go with your friends to practice goming and you get in touch with the famous woman Multi-adventure company Adrenaline Downloads, but first you want to do some calculations about the physics of the jump. The description of the movement is simple. You let yourself fall with 0 initial speed tied to an elastic rope of length $L$ from a bridge $H$ above the water ( $L < H$ , by Of course I did! Initially (first part of the fall) your speed It grows with gravitational acceleration $g$ and falls in free fall one distance $L$ , the time when the rope will start to stretch. La increasing elastic recuperative force is braking Gradually your fall and acceleration decreases to be cancelled when $g$ is compensated by the stretching of the rope (second part). Finally the net acceleration changes sign to cancel the speed at the lowest point of the fall (part three). Then you’d come back back up and down … To simplify the calculations we will assume that the mass of the rope is negligible, that the The jumping fluid behaves as a point mass and there is no energy dissipation during the The movement. I. Pues bien, sea $M$ la masa del saltador (tu masa) y se sabe que en la caída, en el punto más down your path, you’ll get to exactly squash the

What? Are you able to answer these questions? a. ¿Cuánto vale la constante recuperadora elástica $k$ de la The rope? b. What is the $a$ acceleration of the jumper based on its the position $z$ ? You must distinguish the three different zones
I’m not sure. Make a graph of $a = f (z)$ . (For simplicity, we are recommends measuring the position of the jumper, coordinate $z$ , from the bridge, i.e. positive downwards). c. What is the maximum speed $v_{m}$ during the fall? Where do you get it? d. Make an approximate graph of $v = f (z)$ . Don’t do the math calculations for that, just You ask for a rough chart. e. What is the maximum acceleration $a_{m}$ in the fall? Where do you get it?

II. It’s worth doing some numbers. Let’s say the following data: $H = 40 m$ , $L = 20 m$ y $M = 50 kg$ . Taking $g \approx 10 m/s^{2}$ , calculate the

A. The value of the elastic constant $k$ .
B. The maximum speed $v_{m}$ and acceleration $a_{m}$ reached. The Commission shall adopt the following: In practice, oscillation is dampened by the dissipation of energy (friction with air and The rope is not perfectly elastic) and the jumper, after running small oscillations, will finish stopping at a distance $L + M g / k$ below the support point. What’s your period? ¿Se Is it a harmonic oscillator? IV. You’re accompanied by a friend who doesn’t understand physics and also wants to fuck off. You advise him that Don’t do it because he’s too fat, he weighs twice as much as you, and he’d bump violently against the
What? In order to ensure the integrity of your friend you decide to bend the rope forming Other length $L /2$ :
A. Calculate the new elastic constant $k^{'}$ of the folded rope.
B. Si la masa de tu amigo es $100 kg$ (aún lo seguiremos considerando como una masa puntual; ya ves, cosas de la Física…) ¿A qué distancia mínima, $h$ , del agua llegará en su
What? Will it get wet?

Note: Many videos about gomming can be viewed on the Internet (see, for example, The first is the “PycY6969N8”. Sometimes, to the oscillations is added a The following is a list of the most common types of electrical equipment used in the manufacture of electrical equipment. Nearly Salamanca, on the Ledesma bridge over the Tormes River, is played this sport with frequency. It involves obvious hazards and must be made only by using materials of The Commission’s proposal for a directive on the protection of workers’ rights and the right to a fair trial is a very important one.

bungee jumper with elastic rope*

Problema 2 (1,5 puntos) El telescopio espacial Hubble se encuentra en una órbita circular a 600 km sobre la superficie terrestre. Durante la mitad de su período orbital lo ilumina la luz solar, pero durante la otra mitad se encuentra en la oscuridad producida por la sombra de la Tierra. a) Para poder hacer ciertas reparaciones en el telescopio unos astronautas necesitan trabajar en oscuridad. ¿Cuánto tiempo pueden trabajar de forma ininterrumpida? b) Como consecuencia de las reparaciones la masa del satélite que porta el telescopio ha aumentado en un 20%. ¿Cuál es el nuevo período de rotación alrededor de la Tierra? c) En el momento del lanzamiento la masa del satélite era 11000 kg. ¿Qué energía se ha suministrado para colocarlo en su órbita si se lanzó desde la superficie terrestre? Datos: $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} \cdot kg^{- 2}$ ; $m_{Tierra} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ ; $R_{Tierra} = 6371 km$ .

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 2 (1,5 punti) Il telescopio spaziale Hubble si trova in orbita circolare a 600 km dalla superficie terrestri. Per metà del suo periodo orbitale, lo illumina la luce solare, ma per l’altra metà è nell’oscurità prodotta dall’ombra della Terra. a) Per poter fare alcune riparazioni al telescopio, gli astronauti hanno bisogno di lavorare nel buio. Per quanto tempo potranno lavorare senza interruzioni? b) A seguito delle riparazioni, la massa del satellite trasportato dal telescopio è Il tasso di crescita è aumentato del 20%. Qual è il nuovo periodo di rotazione intorno alla Terra? c) Al momento del lancio il satellite aveva una massa di 11.000 kg. Che energia c’è fornito per metterlo in orbita se è stato lanciato dalla superficie terrestre? Dati: $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} \cdot kg^{- 2}$ ; $m_{Tierra} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ ; $R_{Tierra} = 6371 km$ .

The following points are added: The Hubble Space Telescope is in a circular orbit 600 km above the surface. The land. During half of its orbital period it is illuminated by sunlight, but during the other Half of it is in the darkness produced by the Earth’s shadow. (a) To be able to make certain repairs on the telescope, astronauts need to working in the dark. How long can they work uninterruptedly? (b) As a result of repairs the mass of the satellite carried by the telescope has increased by 20%. What’s the new period of rotation around the Earth? c) At the time of launch, the satellite’s mass was 11,000 kg. What energy is there? Supplied to put it in orbit if it was launched from the Earth’s surface? Datos: $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} \cdot kg^{- 2}$ ; $m_{Tierra} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ ; $R_{Tierra} = 6371 km$ .

Problema 3 (1,5 puntos) Un objeto de forma cilíndrica, con radio mucho mayor que su ancho, flota en la Mar Muerto de forma que está hundido justo hasta su mitad (fig. 1). Se observa que al colocar encima una masa de 70 kg, el objeto se hunde justo en su totalidad (fig. 2). ¿Cuál es la densidad del agua del Mar Muerto? Dato: el objeto tiene un volumen de 113 litros. Fig. 1 Fig. 2 70 kg

oggetto cilindrico galleggiante Mar Morto

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 3 (1,5 punti) Un oggetto cilindrico, con un raggio molto più grande della sua larghezza, galleggia nel Mar Morto di La forma è immersa fino alla metà (fig. 1). Si osserva che, quando si pone sopra una La massa di 70 kg, l’oggetto si immerge in tutto (fig. 2). Qual è la densità dell’acqua?

del Mar Morto? Data: l’oggetto ha un volume di 113 litri. Fig. 1 Fig. 2 70 kg

oggetto cilindrico galleggiante Mar Morto

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.4

The following points are added: A cylindrical object, with a radius much larger than its width, floats in the Dead Sea of The shape is sunk right to its half (fig. 1). It is noted that by placing a The mass of the object is 70 kg, the object sinks just in its entirety (fig. 2). What is the density of the water? from the Dead Sea? Date: the object has a volume of 113 litres. Fig. 1 Fig. 2 70 kg

The following is the list of the types of vehicles used:

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 4 (1,5 puntos) Sea un conductor rectilíneo de longitud infinita por el que circula una corriente de 5 A. Una espira cuadrada de lado 10 cm está colocada con dos lados paralelos al conductor y a una distancia mínima de 3 cm. Por la espira circula una intensidad de 0,2 A. Determina: a) Módulo, dirección y sentido del campo magnético creado por el conductor rectilíneo en cada uno de los dos lados de la espira paralelos al conductor. b) Módulo, dirección y sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético sobre cada uno de los cuatro lados de la espira.

Nota: El módulo del campo magnético creado por una corriente infinita $I$ a una distancia $d$ es

$B = \frac{μ _{0} I}{2 π d}$

donde $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} kg \cdot m \cdot C^{- 2}$ , mientras que su dirección viene dada por la regla de la mano derecha. Por otro lado, la fuerza ejercida por un campo magnético sobre una corriente es

$F = I (L \times B) .$

3 cm 10 cm $I_{1} = 5 A$ $I_{2} = 0, 2 A$

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Biot-Savart Law, Ampère’s Law, Lorentz Force Analysis, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire, Coil Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 4 (1,5 punti) Essere un conduttore rettilineo di lunghezza infinita attraverso il quale circola un flusso di 5 A. Una spirale quadrata laterale di 10 cm è posizionata con due lati paralleli al conducente e a una Distanza minima di 3 cm. Per la spira circola un’intensità di 0,2 A. Determina: a) Modulo, direzione e senso del campo magnetico creato dal conduttore rettilineo in ciascuna delle due spine parallele al conducente. b) Modulo, direzione e senso della forza esercitata dal campo magnetico su ciascuna delle i quattro lati del spiro.

Nota: Il modulo del campo magnetico creato da un corrente infinito $I$ a una distanza $d$ è

$B = \frac{μ _{0} I}{2 π d}$

dove $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} kg \cdot m \cdot C^{- 2}$ , mentre la sua direzione è data dal regolamento della mano

Si’, si’. D’altra parte, la forza esercitata da un campo magnetico su un corrente è

$F = I (L \times B) .$

3 cm 10 cm $I_{1} = 5 A$ $I_{2} = 0, 2 A$

The following points are added: Be a straight line conductor of infinite length through which a current of 5 A circulates. One of them. 10 cm side square spindle is placed with two sides parallel to the driver and one minimum distance of 3 cm. A 0.2A intensity is circulated through the spiral. Determine: (a) Module, direction and direction of the magnetic field created by the rectangular conductor in the Each of the two sides of the spindle parallel to the driver. (b) Module, direction and direction of the force exerted by the magnetic field on each of the the four sides of the spire.

Note: The magnetic field module created by an infinite current $I$ at a distance $d$ is

$B = \frac{μ _{0} I}{2 π d}$

where $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} kg \cdot m \cdot C^{- 2}$ , while its address is given by the rule of the hand Right. On the other hand, the force exerted by a magnetic field over a current is

$F = I (L \times B) .$

3 cm 10 cm $I_{1} = 5 A$ $I_{2} = 0, 2 A$

Problema 5 (1,5 puntos) Es posible que hayas visto en alguna ocasión el juguete llamado Mirascopio (ver figura 1). Este juguete consiste en un juego de dos espejos cóncavos iguales enfrentados entre sí, uno de ellos (espejo 2, ver fig. 2) con un agujero en su centro. Cuando se coloca un objeto en la base del espejo 1 (foco del espejo 2), observamos que se forma una imagen de dicho objeto con una apariencia muy real en la región donde se ha practicado el agujero al espejo 2.

Fig. 1 Fig.2 Teniendo en cuenta la formación de imágenes en espejos cóncavos, dibuja el trazado de rayos de las dos reflexiones que permiten que la imagen se forme. ¿A qué distancia deben ponerse ambos espejos? Para realizar los cálculos te puede ayudar el considerar los espejos esféricos y de radio 16 cm. Espejo 1 Espejo 2 Objeto Imagen d

giocattolo Mirascopio vista 3D

schema due specchi concavi contrapposti

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema 5 (1,5 punti) Forse hai visto un giocattolo chiamato Mirascopio (vedi figura 1). Questo giocattolo consiste in un gioco di due specchi concavi uguali di fronte a uno di La Commissione ha adottato una decisione che prevede che il Consiglio non possa prendere decisioni. 2) con un buco al centro. Quando si colloca un oggetto sulla base Il mirror 1 (focus mirror 2) mostra che si forma un’immagine di questo oggetto con un La presenza di un’altra specie di specchio è molto reale nella regione dove è stato praticato il foro allo specchio 2.

Fig. 1 Fig.2 Tenendo conto della formazione di immagini in specchi concavi, disegna il tracciato dei raggi di due riflessioni che permettono di formare l’immagine. A che distanza devono essere messi entrambi gli specchi? Per fare i calcoli può aiutare il Considerare gli specchi sferici e di radio 16 cm. Specchio 1 Specchio 2 Obbiettivo Immagine d

giocattolo Mirascopio vista 3D

schema due specchi concavi contrapposti

The following is the list of the main problems: You may have seen the Mirascope (see Figure 1). This one toy consists of a game of two equal concave mirrors facing each other, one of The Commission has also adopted a number of measures to ensure that the Community’s financial resources are not used to finance the implementation of the programme. 2) with a hole in the center. When an object is placed on the base In mirror 1 (mirror focus 2), we see that an image of this object is formed with a This is a very real-life sight in the region where the mirror hole has been practiced.

Fig. 1 Figure 2 Taking into account the formation of images in concave mirrors, draw the trajectory of lightning The two reflections that allow the image to form. How far should both mirrors be placed? To make the calculations you can help the consider spherical mirrors and 16 cm radius mirrors. Mirror 1 Mirror 2 The object Image of the d

The following is a list of the main features of the product:

The Commission has also adopted a proposal for a regulation on the protection of the environment.

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