Spagna 2011

P1. Acelerómetro.

Un acelerómetro es, como su propio nombre indica, un dispositivo para medir aceleraciones. Un modelo sencillo consiste en un cilindro cuyo eje coincide con la dirección de la aceleración que se desea medir. Dentro del cilindro hay una bola sujeta a los extremos mediante dos muelles iguales, y un líquido viscoso que amortigua las oscilaciones de la bola cuando se produce un cambio en la aceleración. En ausencia de aceleración, la bola está en equilibrio en el centro del cilindro, como se representa en la figura 1a. Sin embargo, cuando el dispositivo sufre una aceleración en el sentido del eje OX indicado, la bola alcanza un nuevo estado de equilibrio dinámico, desplazada una distancia 0 < x , como se indica en la figura 1b. Esta distancia no cambia mientras la aceleración sea constante. a) El acelerómetro se sujeta horizontalmente en un vehículo, de forma que el eje del cilindro coincida con la dirección del movimiento (eje OX). En estas condiciones, determina el desplazamiento en equilibrio de la bola, x , en función de la aceleración del vehículo, a, la constante elástica de cada muelle, k, y la masa de la bola, M. b) Mientras el vehículo acelera uniformemente de 0 a 40 km/h en 3,0 s, el desplazamiento en equilibrio de la bola es cm 0 3, $-$

x . Sabiendo que la masa de la bola es g 10

M , calcula el valor de la constante k de cada uno de los muelles. c) La gráfica de la figura 2 muestra un registro de la posición x de la bola en función del tiempo t mientras un automóvil se mueve, desde t = 0 hasta t = 20 s. En esta gráfica se observan claramente tres intervalos de tiempo con aceleraciones diferentes. Calcula la aceleración del automóvil en cada uno de estos intervalos. d) Si el automóvil del apartado anterior ha partido del reposo en 0

t , representa gráficamente, de forma aproximada, su velocidad en función del tiempo entre t = 0 y t = 20 s. e) Calcula por último el espacio total que ha recorrido desde t = 0 hasta t = 20 s.

0 1 -1 -2 -3 x (cm) t (s) Fig. 2 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 20 Fig. 1a Fig. 1b X O X O x 0 1 2 3 -1 -2 -3 2 x 0 1 2 3 -1 -2 -3 OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Solución P1. Acelerómetro.

a) Los dos resortes son iguales, es decir tienen la misma constante elástica k y la misma longitud natural. Cuando están montados en el acelerómetro, unidos a los extremos del cilindro y a la bola, en ausencia de aceleración ambos están deformados (estirados o comprimidos) la misma distancia 0 x , de forma que están ejerciendo fuerzas de igual módulo 0 0 kx F = sobre la bola, pero en sentidos opuestos, y ésta permanece en el centro del cilindro.

Cuando el sistema se mueve con aceleración uniforma a, tras amortiguarse la oscilación de la bola se alcanza un nuevo estado de equilibrio dinámico en el que todo el sistema, incluida la bola, se mueve con esta aceleración. Por tanto, sobre la bola debe estar actuando una fuerza neta Ma en el sentido de la aceleración. Obviamente esta fuerza es la debida al cambio de deformación de los dos muelles, es decir al desplazamiento de la bola respecto al centro del cilindro

kx Ma 2 $-$

(1) El signo menos indica que, de acuerdo con el enunciado, cuando la aceleración es en sentido positivo ( 0

a ) el desplazamiento es negativo ( 0 < x ) y viceversa. Despejando en (1), el desplazamiento en equilibrio de la bola es

k a M x 2 $-$

b) En una aceleración uniforme, partiendo del reposo, la velocidad final f v alcanzada en el instante ft es

f f t a v

Con los datos de este apartado, y teniendo en cuenta que 40 km/h = s m/3600 10 40 3 $\cdot$ = 11,11 m/s,

2 m/s 704 3,

= f f t v a

Despejando k de (1)

N/m 6173 0 2 ,

$-$

x Ma k

N/m 62 0,

k

c) En la gráfica de la figura 2 del enunciado se observan tres intervalos de tiempo en los que, salvo la breve oscilación amortiguada inicial, x es constante, es decir la aceleración a es constante:

s 4 0 < < t : cm 5 2 1 , $-$

x $\to$ 2 1 1 m/s 0864 3 2 , /

$-$

M kx a , 2 1 m/s 1 3,

a

s 16 s 4 < < t : 0 2 = x

$\to$ 0 2 = a

s 20 s 16 < < t : cm 0 1 3 ,

x

$\to$ 2 3 3 m/s 2346 1 2 , / $-$

$-$

M kx a , 2 3 m/s 2 1, $-$

a

En resumen, el coche se mueve con aceleración 1 a durante los cuatro primeros segundos. Entre t = 4 s y t = 16 s se mueve con aceleración nula, es decir con velocidad constante, y desde t = 16 s hasta t = 20 s con aceleración 3 a negativa, lo que indica que el coche frena. d) Como parte del reposo, la velocidad del coche aumenta linealmente con el tiempo durante el primer intervalo.

s t t t f i 4 0 1 1

< <

: t a v 1 1 = OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Durante el segundo intervalo la velocidad es constante, igual a la alcanzada al final del primer intervalo, es decir en s 4 1 = ft

s t t t f i 16 s 4 2 2

< <

: km/h 44,444 m/s 346 12 cte. 1 1 2

=

= , ft a v

En el tercer intervalo de tiempo el coche decelera uniformemente ( 0 3 < a ), con lo que su velocidad disminuye linealmente partiendo de la velocidad inicial anterior, 2 v , en la forma

s t t t f i 20 s 16 3 3

< <

: ( ) 3 3 2 3 it t a v v $-$ +

La velocidad final en s 20 3 = ft es

( ) km/h 26,667 m/s 4074 7 s 16 20 m/s 2346 1 m/s 346 12 2 3

= $-$ $\times$ $-$

, , , f v

En resumen, la representación gráfica de la velocidad en función del tiempo sería la siguiente

e) El espacio recorrido en cada uno de los tres intervalos de tiempo es

m 69 24 2 1 2 1 1 1 ,

= ft a s

( ) m 15 148 2 2 2 2 ,

$-$

i f t t v s

( ) ( ) m 51 39 2 1 2 3 3 3 3 3 2 3 ,

$-$ + $-$

i f i f t t a t t v s

Y el espacio total recorrido es

m 35 212 3 2 1 ,

= s s s s

m 10 1 2 2 $\cdot$ = , s

Nota sobre precisión de resultados: los datos numéricos de este problema están dados con dos cifras significativas, por lo que no tiene sentido dar los resultados con más de dos cifras. Sin embargo, para evitar arrastrar y amplificar errores de redondeo en las operaciones de los sucesivos apartados, se ha optado por trabajar con cuatro o cinco cifras y redondear únicamente al presentar los resultados que se piden en los diversos apartados del enunciado. 30 40 20 10 0 v (km/h) t (s) 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 20 50 OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

accelerometro con molla e biglia, schema

grafico posizione x vs tempo t

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Ball, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Accelerometro.

Un accelerometro è, come indica il suo nome, un dispositivo per misurare le accelerazioni. Un modello Il modello semplice consiste in un cilindro il cui asse corrisponde alla direzione dell’accelerazione da misurare. All’interno Il cilindro è costituito da una palla che è fissata alle estremità con due stelle uguali e da un liquido viscoso che

• il calciatore di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di velocità di In assenza di l’accelerazione, la palla è in equilibrio al centro del cilindro, come rappresentato nella figura 1a. Tuttavia, quando il dispositivo subisce un’accelerazione in direzione dell’asse OX indicato, la palla raggiunge un nuovo stato di equilibrio dinamico, spostata una distanza 0 < x , come indicato in figura 1b. Questa distanza non cambia finché l’accelerazione è costante. a) L’accelerometro è fissato orizzontalmente su un veicolo, in modo che l’asse del cilindro coincida con la direzione del movimento (asse OX). In queste condizioni, determina il spostamento in equilibrio della bola, x , in funzione dell’accelerazione del veicolo, a, la costante elastica di ogni molo, k, e la massa di La palla, M. b) Mentre il veicolo accelera uniformemente da 0 a 40 km/h in 3,0 s, il spostamento in equilibrio della la palla è cm 0 3, $-$ = x . Sapendo che la massa della palla è g 10 = M , calcola il valore della costante k di
• Ciascuno dei molo. c) Il grafico di figura 2 mostra un registro della posizione x della palla in funzione del tempo t mentre una macchina si muove, da t = 0 fino a t = 20 s. In questo grafico si vedono chiaramente tre intervalli di tempo con le diverse accelerazioni. Calcola l’accelerazione di un’auto in ogni di questi intervalli. d) Se l’auto di cui al paragrafo precedente è partita del riposo in 0 = t , rappresenta graficamente, di La velocità di un’operazione è a seconda del tempo tra t = 0 e t = 20 s. e) Calcola infine il totale dello spazio che ha Il percorso da t = 0 a t = 20 s.

0 1 -1 -2 -3 x (cm) t (s) Fig. 2 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 20 Fig. 1a Fig. 1b X O X O x 0 1 2 3 -1 -2 -3 2 x 0 1 2 3 -1 -2 -3 OAF 2011 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica Soluzione P1. Accelerometro.

a) Le due sorgenti sono uguali, cioè hanno la stessa costante elastica k e la stessa lunghezza naturale. Quando sono montate sull’accelerometro, unite alle estremità del cilindro e alla palla, in assenza di Accelerazione sono entrambi distorti (estensi o compressi) la stessa distanza 0 x , in modo che siano esercitando forze di modulo uguale 0 0 kx F = sulla palla, ma in senso opposto, e questa rimane in il centro del cilindro.

Quando il sistema si muove ad un’accelerazione uniforme a, dopo aver ammortizzato l’oscillazione della palla si raggiunge un nuovo stato di equilibrio dinamico in cui l’intero sistema, compreso il pallone, si muove con questa accelerazione. Quindi, sulla palla deve essere agendo una forza netta Ma nel senso della Accelerazione. L’impostazione di queste forze è ovviamente dovuta al cambiamento di deformazione dei due porti, cioè al spostamento della palla rispetto al centro del cilindro

kx Ma 2 $-$

(1) Il segno meno indica che, secondo la frase, quando l’accelerazione è in senso positivo ( 0

a ) il spostamento è negativo ( 0 < x ) e viceversa. La dislocazione in (1) equilibrio della palla è

k a M x 2 $-$

b) In un’accelerazione uniforme, partendo dal riposo, la velocità finale f V raggiunto istantaneamente ft es

f f t a v

Con i dati di questo paragrafo, e considerando che 40 km/h = s m/3600 10 40 3 $\cdot$ = 11,11 m/s,

2 m/s 704 3,

= f f t v a

Sbarazzando k di (1)

N/m 6173 0 2 ,

$-$

x Ma k

N/m 62 0,

k

c) Nella figura 2 della frase si osservano tre intervalli di tempo in cui, tranne la breve oscillazione oscillante iniziale amortizzata, x è costante, cioè l’accelerazione a è costante:

s 4 0 < < t : cm 5 2 1 , $-$

x $\to$ 2 1 1 m/s 0864 3 2 , /

$-$

M kx a , 2 1 m/s 1 3,

a

s 16 s 4 < < t : 0 2 = x

$\to$ 0 2 = a

s 20 s 16 < < t : cm 0 1 3 ,

x

$\to$ 2 3 3 m/s 2346 1 2 , / $-$

$-$

M kx a , 2 3 m/s 2 1, $-$

a

In breve, la macchina si muove con l’accelerazione 1 a per i primi quattro secondi. Tra t = 4 s e t = 16 s si muove a zero accelerazione, cioè a velocità costante, e da t = 16 s a t = 20 s con Accelerazione 3 Negativo, che indica che la macchina sta frenando. d) Come parte del riposo, la velocità della macchina aumenta linealmente nel tempo durante il primo

• Intervallo.

s t t t f i 4 0 1 1

< <

: t a v 1 1 = OAF 2011 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica

Durante il secondo intervallo la velocità è costante, pari a quella raggiunta alla fine del primo intervallo, è dire in s 4 1 = ft

s t t t f i 16 s 4 2 2

< <

: km/h 44,444 m/s 346 12 Ct. 1 1 2

=

= , ft a v

Nel terzo intervallo di tempo la macchina rallenta uniformemente ( 0 3 < a ), con cui la sua velocità diminuisce linealmente partendo dalla velocità iniziale precedente, 2 v , in forma

s t t t f i 20 s 16 3 3

< <

: ( ) 3 3 2 3 it t a v v $-$ +

La velocità finale in s 20 3 = ft es

( ) km/h 26,667 m/s 4074 7 s 16 20 m/s 2346 1 m/s 346 12 2 3

= $-$ $\times$ $-$

, , , f v

In breve, la rappresentazione grafica della velocità in funzione del tempo sarebbe la seguente:

e) Lo spazio percorso in ciascuno dei tre intervalli di tempo è

m 69 24 2 1 2 1 1 1 ,

= ft a s

( ) m 15 148 2 2 2 2 ,

$-$

i f t t v s

( ) ( ) m 51 39 2 1 2 3 3 3 3 3 2 3 ,

$-$ + $-$

i f i f t t a t t v s

E il percorso totale dello spazio è

m 35 212 3 2 1 ,

= s s s s

m 10 1 2 2 $\cdot$ = , s

Nota sulla precisione dei risultati: i dati numerici di questo problema sono dati con due cifre Le statistiche sono significative, quindi non ha senso dare risultati con più di due cifre. Tuttavia, per evitare La Commissione ha deciso di limitare e amplificare gli errori di redondanza nelle operazioni successive. La Commissione ha adottato una proposta di direttiva che prevede che le misure di cui all’articolo 6 del regolamento (CEE) n. paragrafi della frase. 30 40 20 10 0 v (km/h) t (s) 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 20 50 OAF 2011 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica

acceleratore a molla e a maglia, schema

grafico posizione x vs tempo t

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Ball, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. - What?

An accelerometer is, as its name suggests, a device for measuring accelerations. A model The simple is a cylinder whose axis matches the direction of the acceleration to be measured. In the house The cylinder has a ball held at the ends by two equal piles, and a viscous liquid that It cushions the ball’s oscillations when there is a change in acceleration. In the absence of acceleration, the ball is in equilibrium at the center of the cylinder, as shown in Figure 1a. However, When the device is accelerated in the direction of the OX axis indicated, the ball reaches a new state. of a dynamic equilibrium, displaced by a distance 0 < x , as shown in Figure 1b. This distance doesn’t change. As long as the acceleration is constant. a) The accelerometer is held horizontally on a vehicle so that the cylinder axis matches the direction of movement (OX axis). In these conditions, it determines the balanced displacement of the ball, x , depending on the acceleration of the vehicle, a, the elastic constant of each dock, k, and the mass of The ball, M. b) As the vehicle accelerates evenly from 0 to 40 km/h in 3.0 s, the balanced displacement of the vehicle is Ball is cm 0 3, $-$

x . Knowing that the mass of the ball is g 10

M , calculates the value of the constant k of every one of the docks. c) The graph in Figure 2 shows a record of the position x of the ball according to time t while a car is moving, from t = 0 up to t = 20 s. In this graph, you see clearly three time intervals with different accelerations. Calculate the acceleration of the car at each of these intervals. d) If the car referred to in the previous paragraph has broken of the rest in 0

t , representing graphically, of The average speed of the vehicle is approximately time between t = 0 and t = 20 s. e) Finally, calculate the total space that you have The time taken from t = 0 to t = 20 s.

0 1 -1 -2 -3 x (cm) t (s) Fig. 2 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 20 Fig. 1a Fig. 1b X O X O x 0 1 2 3 -1 -2 -3 2 x 0 1 2 3 -1 -2 -3 The results of the study are presented in the Official Journal of the European Union. The Spanish Royal Physical Society Solution P1. - What?

(a) The two springs are equal, i.e. they have the same elastic constant k and the same natural length. When mounted on the accelerometer, attached to the ends of the cylinder and the ball, in the absence of Acceleration both are distorted (stretched or compressed) the same distance 0 x , so they ‘re Exercising forces of the same module 0 0 kx F = on the ball, but in opposite directions, and this remains in the center of the cylinder.

When the system moves at uniform acceleration to, after cushioning, the oscillation of the ball is reaches a new state of dynamic equilibrium in which the whole system, including the ball, moves with This acceleration. Therefore, on the ball must be acting a net force Ma in the direction of the The acceleration. This force is obviously due to the change in deformation of the two docks, i.e. the the ball’s movement relative to the centre of the cylinder;

kx Ma 2 $-$

(1) The minus sign indicates that, according to the statement, when the acceleration is in a positive direction ( 0

a ) the displacement is negative ( 0 < x ) and vice versa. The displacement in (1) The balance of the ball is

k a M x 2 $-$

b) At a uniform acceleration, starting from the rest, the final speed f v reached instantaneously ft es

f f t a v

With the data in this section, and taking into account that 40 km/h = s m/3600 10 40 3 $\cdot$ = 11,11 m/s,

2 m/s 704 3,

= f f t v a

Clearing k from (1)

N/m 6173 0 2 ,

$-$

x Ma k

N/m 62 0,

k

c) The graph in Figure 2 of the statement shows three time intervals in which, except for the brief initial buffered oscillation, x is constant, i.e. acceleration a is constant:

s 4 0 < < t : cm 5 2 1 , $-$

x $\to$ 2 1 1 m/s 0864 3 2 , /

$-$

M kx a , 2 1 m/s 1 3,

a

s 16 s 4 < < t : 0 2 = x

$\to$ 0 2 = a

s 20 s 16 < < t : cm 0 1 3 ,

x

$\to$ 2 3 3 m/s 2346 1 2 , / $-$

$-$

M kx a , 2 3 m/s 2 1, $-$

a

In short, the car is moving at a fast pace. 1 a for the first four seconds. Between t = 4 s and t = 16 s moves at zero acceleration, i.e. at constant speed, and from t = 16 s to t = 20 s with Acceleration 3 negative, indicating that the car is braking. d) As part of the rest, the car’s speed increases linearly over time during the first the interval.

s t t t f i 4 0 1 1

< <

: t a v 1 1 = The results of the study are presented in the Official Journal of the European Union. The Spanish Royal Physical Society

During the second interval the velocity is constant, equal to the one reached at the end of the first interval, is say in s 4 1 = ft

s t t t f i 16 s 4 2 2

< <

: km/h 44,444 m/s 346 12 The Commission shall adopt implementing acts. 1 1 2

=

= , ft a v

In the third time interval the car slows down evenly ( 0 3 < a ), so its speed decreases linearly from the previous initial speed, 2 v , in the form

s t t t f i 20 s 16 3 3

< <

: ( ) 3 3 2 3 it t a v v $-$ +

The final speed in s 20 3 = ft es

( ) km/h 26,667 m/s 4074 7 s 16 20 m/s 2346 1 m/s 346 12 2 3

= $-$ $\times$ $-$

, , , f v

In short, the graph representation of the velocity with respect to time would be as follows:

(e) The space travelled in each of the three time intervals is

m 69 24 2 1 2 1 1 1 ,

= ft a s

( ) m 15 148 2 2 2 2 ,

$-$

i f t t v s

( ) ( ) m 51 39 2 1 2 3 3 3 3 3 2 3 ,

$-$ + $-$

i f i f t t a t t v s

And the total space traveled is

m 35 212 3 2 1 ,

= s s s s

m 10 1 2 2 $\cdot$ = , s

Note on results accuracy: the numerical data for this problem is given with two digits The results of the study are significant, so it makes no sense to give the results more than two figures. However, to avoid The Commission has decided to take the necessary steps to ensure that the Commission is able to take the necessary measures to ensure that the The results of the study are presented in four or five digits and rounded only by presenting the results requested in the various paragraphs of the sentence. 30 40 20 10 0 v (km/h) t (s) 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 20 50 The results of the study are presented in the Official Journal of the European Union. The Spanish Royal Physical Society

speedometer with spring and beam, schema

The following table shows the position of the engine:

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Ball, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.2

P2. Tiro con arco. Ante las “necesidades” de la caza y de la guerra, la humanidad ha desarrollado a lo largo de su historia el tiro con arco. En la actualidad, salvo algunos pueblos primitivos que siguen utilizándolo para cazar, solo se usa como una modalidad deportiva. Los constructores de arcos antiguos no necesitaron conocer las leyes de la física, pero hoy en día la tecnología basada en detallados estudios físicos permite mejorar sus prestaciones con diseños que en nada recuerdan a los antiguos arcos medievales. En este problema te proponemos que realices unos cálculos basados en dos modelos físicos de arco. En una primera aproximación, podemos considerar que un arco medieval tiene un comportamiento análogo a algo que encanta a los físicos: un muelle de constante K. Con este modelo lineal de arco (ley de Hooke) se supone que la fuerza F de tensado del arco es proporcional a la longitud x que se deforma (figura 1). a) Cuando el arquero ejerce una fuerza 1 F , la distancia de tensado es 1x . Determina, en función de 1 F y 1 x , el trabajo 1 W que ha realizado el arquero para tensar el arco. Calcula su valor para N 700 1 = F y m 58 0 1 ,

x . b) Cuando el arquero efectúa el disparo, la mayor parte de la energía potencial almacenada en el arco se transfiere a la flecha, y el resto se invierte en energía cinética de las partes móviles del propio arco. Si la masa de la flecha es kg 060 0 1 ,

m y admitimos que recibe el 80% de la energía almacenada en el arco, calcula la velocidad de la flecha cuando abandona el arco. Los modernos arcos compuestos, como el de la figura 2, están dotados de unas complicadas poleas excéntricas y no tienen un comportamiento lineal; el modelo del muelle no sirve para ellos. La fuerza F para tensarlo y el desplazamiento x siguen una relación no lineal, como la representada en la gráfica de la figura 3. La fuerza que hay que aplicar para mantenerlo tensado con su deformación máxima es mucho menor que con un arco tradicional, lo que evita temblores musculares del arquero y mejora notablemente la puntería. c) Admitiendo que en los arcos compuestos prácticamente toda la energía potencial almacenada se transmite a la flecha, haz una estimación razonada de la masa 2 m que debe tener la flecha para que cuando se tense el arco una distancia máxima m 50 0 2 ,

x , su velocidad de salida sea igual a la calculada en el apartado b) para el arco medieval. Ayuda: recuerda que, para una distancia máxima de tensado m x , el área comprendida entre la curva ( ) x F y el eje de abscisas hasta m x es proporcional al trabajo realizado por F hasta alcanzar esa deformación. 0 50 100 150 200 250 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 F (N) Fig. 3 x (m) Fig. 1 Fig. 2 F x OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Solución P2. Tiro con arco. c) Tal como se indica en el enunciado, el comportamiento del arco “medieval” es equivalente al de un muelle ideal de constante K, por lo que la fuerza F que ejerce el arquero es proporcional a la longitud que se deforma el muelle (el arco, en este caso). Por tanto, la representación gráfica de F en función de x es la que se muestra en la figura 4. El trabajo realizado por una fuerza en un desplazamiento puede calcularse como el área comprendida entre la curva ) (x F y el eje de abscisas, entre los valores inicial y final de x . En nuestro caso, es el área del triángulo sombreado en la figura 4

1 1 1 2 1 x F W =

$\Rightarrow$ J 203 1 = W

La pregunta de este apartado puede abordarse de otra forma, físicamente equivalente a la anterior: como suponemos que el arco responde a un modelo elástico, para cualquier deformación se cumple Kx F = . Además, como la fuerza elástica es conservativa, el trabajo realizado por el arquero es igual a la energía potencial 1 U almacenada por el arco 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 x F Kx U W

=

d) Cuando se dispara la flecha, el 80% de la energía potencial se transforma en energía cinética de la flecha. Si llamamos 8 0,

$\gamma$ a la eficiencia de esta transformación, es inmediato deducir la velocidad de la flecha

2 1 1 1 2 1 v m U = $\gamma$

$\Rightarrow$ m/s 6 73 2 1 1 1 ,

= m U v $\gamma$

e) La energía potencial almacenada por el arco compuesto de nuevo coincide con el trabajo realizado por el arquero al tensarlo, 2 2 U W = . Como no se conoce la expresión analítica de ) (x F , este trabajo sólo puede calcularse, de forma aproximada, a partir del área bajo la curva de la figura 5, entre el origen y la deformación máxima m 50 0 2 , x = . En concreto, la energía potencial del arco será igual al número de rectángulos bajo la curva, multiplicado por la energía que corresponde a uno de ellos. Cada rectángulo tiene como base m 05 0, y altura N 10 , por lo que su área representa un trabajo de J 50 0, . Contando cuadros enteros y compensando fracciones de cuadro en cada columna de la figura 5, se obtiene que el área bajo la curva es aproximadamente la de 153 rectángulos. Por tanto

J 5 76 J 50 0 153 2 , ,

$\times$ $\approx$ U

Como se admite que esta energía se transfiere íntegramente a la flecha, y además se quiere que su velocidad 2 v de salida sea la misma que la 1v del apartado b), podemos escribir

2 1 2 2 2 1 v m U

lo que permite calcular la masa 2 m de la flecha

g 28 2 2 1 2 2 $\approx$

v U m

F x F1 x1 W Fig. 4 F (N) Fig. 5 x (m) 100 150 200 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 50 0 OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

arco tradizionale con freccia e forza

arco composto moderno con carrucole

grafico F vs x arco composto

triangolo area lavoro arco medievale

grafico F vs x soluzione arco composto

Topic: Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Diagrammatic Reasoning Objects: Spring, Projectile, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2. Arco a fuoco. In vista dei “necessari” della caccia e della guerra, l’umanità ha sviluppato nel corso della sua storia il tiro con l’arco. Oggi, tranne che alcuni popoli primitivi che continuano a usarlo per caccia, viene utilizzato solo come una modalità sportiva. Gli antichi costruttori di archi non avevano bisogno di conoscere le leggi della fisica, ma oggi la la tecnologia basata su studi fisici dettagliati consente di migliorare le loro prestazioni con disegni che in nulla Ricordano gli antichi archi medievali. In questo problema ti proponiamo di fare calcoli basati su in due modelli fisici di arco. In un primo approccio, possiamo considerare che un arco medievale ha un comportamento analogo a quello che i fisici adorano: un molo di costante K. Con questo modello lineare di arco (legge di Hooke) si suppone che la La forza F di tensione dell’arco è proporzionale alla lunghezza x che si distorsi (Figura 1). a) Quando l’arciere esercita una forza 1 F , la distanza di tensione è 1x . Determina, in base al 1 F y 1 x , il lavoro 1 W che ha realizzato l’arcoere per stringere l’arco. Calcola il suo valore per N 700 1 = F y m 58 0 1 ,

x . b) Quando l’arcoio fa il fuoco, la maggior parte dell’energia potenziale il resto viene investito in energia cinetica delle parti mobili dell’arco stesso. Se la massa dell’arcia es kg 060 0 1 ,

m e si ammette che riceve l’80% dell’energia immagazzinata nell’arco, calcola la velocità della freccia quando lascia l’arco. I moderni archi composti, come quello di cui alla figura 2, sono dotati di Le pollice eccentriche sono complicate e non hanno un comportamento lineare; Il modello del molo non serve loro. La forza F per tensione e il La dislocazione x segue una relazione non lineare, come quella rappresentata nella grafico di figura 3. La forza che deve essere applicata per tenerlo tenso con La sua massima deformazione è molto inferiore a quella di un arco tradizionale, che evita tremore muscolare dell’arcoio e notevole miglioramento del puntamento. c) Addirittura, in archi composti, quasi tutta l’energia è Potenzialmente, il potenziale storato viene trasmesso all’arcia, fate una stima ragionevole di massa 2 M che deve avere la freccia così che quando si ha l’arco una Distanza massima m 50 0 2 ,

x , la sua velocità di uscita è pari alla il valore di riferimento di cui al punto (b) per l’arco medioevale. Aiuto: ricorda che, per una distanza massima di tensione m x , l’area compresa tra la curva ( ) x F y l’asse di abcissioni fino a m X è proporzionale al lavoro svolto da F fino a raggiungere tale deformazione. 0 50 100 150 200 250 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 F (N) Fig. 3 x (m) Fig. 1 Fig. 2 F x OAF 2011 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica Soluzione P2. Arco a fuoco. (c) Come indicato nella frase, il comportamento dell’arco medioeval è equivalente a quello di un molo ideale di costante K, per cui che la forza F esercitata dal tiratore d’arco è proporzionale alla lunghezza che il molo si distorsi (l’arco, in questo caso). La Commissione ha pertanto La rappresentazione grafica di F in funzione di x è quella che viene mostrata in figura 4. Il lavoro svolto da una forza in movimento può essere Calcolati come l’area compresa tra la curva ) (x F e l’asse di abcissi, tra i valori iniziali e finali di x. Nel nostro caso, è il area del triangolo oscurato in figura 4

1 1 1 2 1 x F W =

$\Rightarrow$ J 203 1 = W

La questione di questo paragrafo può essere affrontata in un altro modo, fisicamente equivalente a quello di cui sopra: Supponiamo che l’arco risponda a un modello elastico, per qualsiasi deformazione si soddisfa Kx F = . Inoltre, poiché la forza elastica è conservatrice, il lavoro svolto dall’arcoere è uguale all’energia Potenziale 1 U conservato dall’arco 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 x F Kx U W

=

d) Quando l’arcia viene sparata, l’80% dell’energia potenziale viene trasformata in energia cinetica dell’arcia. Si ci chiamiamo 8 0,

$\gamma$ La velocità della freccia è immediatamente dedotta.

2 1 1 1 2 1 v m U = $\gamma$

$\Rightarrow$ m/s 6 73 2 1 1 1 ,

= m U v $\gamma$

e) L’energia potenziale conservata dall’arco composto coincide di nuovo con il lavoro svolto dal Arcoio, quando lo si sforza, 2 2 U W = . Come non si conosce l’espressione analitica di ) (x F , questo lavoro può solo Calcolare, in modo approssimativo, dall’area sotto la curva di figura 5, tra l’origine e la diformazione massima m 50 0 2 , x = . In particolare, l’energia potenziale dell’arco sarà pari al numero di i rettangoli sotto la curva, moltiplicati per l’energia che corrisponde a uno di essi. Ogni rettangolo ha come base m 05 0, e altezza N 10 , quindi la sua area rappresenta un lavoro di J 50 0, . Contando quadri Infatti, se si tratta di un’area di cui all’articolo 5, paragrafo 1, del regolamento (UE) n. la curva è circa quella di 153 rettangoli. Quindi

J 5 76 J 50 0 153 2 , ,

$\times$ $\approx$ U

Come si ammette che questa energia è Trasferisce interamente l’arcia, y oltre se vuole che su velocità 2 v di uscita è la La stessa 1v del paragrafo (b), Possiamo scrivere

2 1 2 2 2 1 v m U

che permette di calcolare la massa 2 m della freccia

g 28 2 2 1 2 2 $\approx$

v U m

F x F1 x1 W Fig. 4 F (N) Fig. 5 x (m) 100 150 200 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 50 0 OAF 2011 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica

arco tradizionale con freccia e forza

arco composto moderno con carrucole

grafico F vs x arco composto

triangolo area lavoro arco medievale

grafico F vs x soluzione arco composto

Topic: Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Diagrammatic Reasoning Objects: Spring, Projectile, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2. I’m shooting with a bow. In the face of the “needs” of hunting and war, humanity has developed throughout its history the I’m shooting with a bow. Today, except for some primitive villages that still use it for hunting, it’s only used for hunting. as a sporting activity. The ancient builders of arcs did not need to know the laws of physics, but today the The technology based on detailed physical studies allows you to improve your performance with designs that in nothing They remind me of the ancient medieval arches. In this problem we suggest you do some calculations based on In two physical arc models. In a first approximation, we can consider that a medieval arc It has a behavior analogous to something physicists love: a dock of constant K. With this linear arc model (Hooke’s law) it is assumed that the The force F of arc tension is proportional to the length x that is deformed (Figure 1) a) When the archer exerts a force 1 F , the tensile distance is 1x . It determines, in accordance with 1 F y 1 x , the work 1 W that the archer has made to tighten the bow. Calculate its value for N 700 1 = F y m 58 0 1 ,

x . b) When the archer fires, most of the potential energy stored in the bow is transferred to the arrow, and the rest is invested in the kinetic energy of the moving parts of the arc itself. If the arrow mass es kg 060 0 1 ,

m And we admit that it gets 80% of the energy stored. In the bow, calculate the speed of the arrow when it leaves the bow. Modern composite arcs, such as that in Figure 2, are equipped with The following are the main features of the system: The dock model is not good for them. The force F to tighten it and the The following is a nonlinear relation, as shown in Figure 1. The graph in Figure 3 shows the following: The force to be applied to keep it tense with Its maximum deformation is much lower than with a traditional bow, which prevents The bowman’s muscular tremor and sharp improvement in aiming. c) Given that in compound arcs virtually all energy is The stored potential is transmitted to the arrow, make a reasonable estimate. of the mass 2 m you must have the arrow so that when you have the bow one Maximum distance m 50 0 2 ,

x , its output speed is equal to the calculated in point (b) for the medieval arc. Help: remember that for a maximum distance of tension m x , the area between the curve ( ) x F y the axis of abscises up to m x is proportional to the work done by F until that deformation is reached. 0 50 100 150 200 250 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 F (N) Fig. 3 x (m) Fig. 1 Fig. 2 F x The results of the study are presented in the Official Journal of the European Union. The Spanish Royal Physical Society Solution P2. I’m shooting with a bow. (c) As indicated in the statement, the behaviour of the arc medieval is equivalent to that of an ideal constant K dock, so that the force F exerted by the bowman is proportional to the length the deformation of the dock (the arch, in this case). The Commission therefore The graph representation of F as a function of x is the one shown in the figure 4. The work done by a force on a displacement may be calculated as the area between the curve ) (x F and the axis of Abscises, between the initial and final values of x. In our case, it is the area of the shaded triangle in Figure 4

1 1 1 2 1 x F W =

$\Rightarrow$ J 203 1 = W

The question in this section can be addressed in another way, physically equivalent to the previous one: We assume that the arc responds to an elastic pattern, for any deformation is met Kx F = . Furthermore, since the elastic force is conservative, the work done by the bowman is equal to the energy potential 1 U stored by the bow 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 x F Kx U W

=

(d) When the arrow is fired, 80% of the potential energy is converted into kinetic energy of the arrow. Si We call 8 0,

$\gamma$ To the efficiency of this transformation, it is immediately deducing the speed of the arrow

2 1 1 1 2 1 v m U = $\gamma$

$\Rightarrow$ m/s 6 73 2 1 1 1 ,

= m U v $\gamma$

(e) The potential energy stored by the composite arc again matches the work done by the the bowman when he presses it, 2 2 U W = . As the analytical expression of ) (x F This job can only The area under the curve in Figure 5 is calculated from the area between the source and the maximum deformation m 50 0 2 , x = . Specifically, the potential energy of the arc will be equal to the number of rectangles under the curve, multiplied by the energy corresponding to one of them. Every rectangle has as a basis m 05 0, and height N 10 , so its area represents a work of J 50 0, . Counting pictures The area under the table is given by the following table: curve is about the same as the 153 rectangle. So, what?

J 5 76 J 50 0 153 2 , ,

$\times$ $\approx$ U

How is this energy admittedly It transfers entirely to the arrow, y In addition se He wants to which su speed 2 v of output is the The same as the 1v of point (b), We can write

2 1 2 2 2 1 v m U

which allows the mass to be calculated 2 m of the arrow

g 28 2 2 1 2 2 $\approx$

v U m

F x F1 x1 W Fig. 4 F (N) Fig. 5 x (m) 100 150 200 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 50 0 The results of the study are presented in the Official Journal of the European Union. The Spanish Royal Physical Society

traditional bow with freccia and force

modern composite arc with cartridge

The following table shows the number of samples taken from the sample:

The following is a list of the main areas of the European Union:

The following table shows the results of the analysis of the data:

Topic: Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Diagrammatic Reasoning Objects: Spring, Projectile, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.5

P3. Espectrómetro de Bainbridge.

Para estudiar la estructura y la composición de la materia se utilizan técnicas experimentales conocidas como espectroscopía de masas, consistentes en medir la masa y la abundancia relativa de los iones de una muestra. En la figura 1 se muestra el esquema de un espectrómetro de Bainbridge utilizado para estudiar iones que tienen la misma velocidad. Los iones que provienen de una cámara de ionización, atraviesan las rendijas colimadoras S para delimitar su dirección de propagación. A partir de ahí penetran en una región del espacio (selector de velocidades) donde coexisten un campo electrostático uniforme 1 E , producido por dos placas planoparalelas sometidas a una diferencia de potencial V , y un campo magnetostático uniforme 1 B perpendicular al campo eléctrico. Los iones que atraviesan esta región sin desviarse penetran en otra región en la que existe un segundo campo magnético uniforme 2 B , paralelo a 1 B y, como consecuencia de ello, describen órbitas semicirculares e impactan sobre una placa fotográfica F. Considera un espectrómetro que opera con kV/m 15 1 = E , T 50 0 2 1 , B B

= . a) Sabiendo que la separación entre las placas es d = 4 mm, determina la diferencia de potencial V entre ellas. b) Determina la velocidad v de los iones que pueden penetrar en la segunda región del espectrómetro. c) Demuestra que la relación m / q (carga/masa) de los iones que impactan en la placa F viene dada por

2 1 1 B B R E m q =

donde R es el radio de la trayectoria circular seguida por el ión. d) Si la fuente iónica inyecta los tres isótopos del magnesio 24Mg+, 25Mg+ y 26Mg+, que tienen carga +e, calcula la separación entre las líneas que aparecen impresionadas en la placa F por el impacto de los tres tipos de iones. Considera que las masas atómicas de los isótopos son, en unidades de masa atómica, iguales a su número másico. Datos: unidad de masa atómica u = $1.66\cdot 10-27$ kg ; carga elemental e = $1,60\cdot 10-19$ C.

R v Placa F S Fig. 1 V B2 B1 OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Solución P3. Espectrómetro de Bainbridge.

a) Conocida la relación entre el campo y el potencial electrostático en la región comprendida entre las dos placas planoparalelas, podemos calcular la diferencia de potencial V (Nótese que el plano inferior está a potencial nulo).

d V E =

$\Rightarrow$ V 60

= d E V

b) En la región 1 del espectrómetro coexisten un campo electrostático uniforme 1 E , y un campo magnetostático uniforme 1 B , por tanto las cargas que la atraviesen estarán sometidas a la fuerza de Lorentz.

( ) B v E q F r r r r $\times$ +

Para penetrar en la región 2 deben atravesar la región 1 sin desviarse. Consecuentemente la fuerza debida al campo electrostático y la debida al campo magnetostático deben ser iguales y de sentido contrario para que la fuerza total sea nula. De la figura 1 observamos que 1 B v r r $\times$ está contenido en el plano del papel y va de abajo hacia arriba; por tanto, el campo 1 E r deberá ir de arriba hacia abajo y su módulo deberá coincidir con el producto 1 B v

1 1 B v E =

$\Rightarrow$ m/s 10 0 3 4 1 1 $\cdot$

= , B E v

c) En la región 2 los iones se mueven en el seno de un campo magnético 2 B , por tanto se ven sometidos a una fuerza perpendicular a la dirección del movimiento que les proporcionará una aceleración centrípeta y les provocará un movimiento circular de radio R.

( ) B v q F r r r $\times$

$\Rightarrow$ R v m B v q F 2 2 =

$\Rightarrow$ 2 B R v m q =

Como en esta región solo entran los iones con velocidad 1 1 B / E v = (apartado b), podemos concluir que

2 1 1 B B R E m q =

d) Despejando el radio R en la expresión anterior

2 1 1 B B q E m R =

que puede evaluarse para los tres isótopos del magnesio, 24Mg+, 25Mg+ y 26Mg+.

Dado que las trayectorias circulares no son concéntricas sino tangentes en la rendija de entrada en la región 2), la separación entre las líneas de dos isótopo es el doble de la diferencia de los radios de sus trayectorias. Además, como m(24Mg+) = 24 u; m(25Mg+) = 25 u y m(26Mg+) = 26 u, obtenemos que la separación $\Delta$ entre la línea del isótopo 24Mg+ y la del 25Mg+ es

mm 2 1 2 2 1 1 , B B q E u

= $\Delta$

La misma distancia $\Delta$ existe entre la línea 26Mg+ y la del 25Mg+. Consecuentemente la distancia $\Delta$ ‘ entre la línea 26Mg+ y la del 24Mg+ será

mm 4 2 2 , ’

= $\Delta$ $\Delta$

spettrometro Bainbridge con camere e B

Topic: Electrostatics, Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Slit Fonte: Testo (PDF) — p.7

P3. Spettometro di Bainbridge.

Per studiare la struttura e la composizione della la materia si utilizza tecniche sperimentali conosciute La misurazione di una massa di gas è un’operazione di misurazione di massa. massa e relativa abbondanza degli ioni di un campione. La figura 1 mostra lo schema di uno spettometro La ricerca di Bainbridge è stata utilizzata per studiare gli ioni che hanno la stessa velocità. Gli ioni provenienti da una camera di Ionizzazione, attraversando le slitte di collimatore S per limitare la sua direzione di diffusione. Da lì La scorta di un’area di spazio (selector di velocità) dove un campo elettrostatico coesiste Uniforme 1 E , prodotto da due placche pianoparale sottoposti a una differenza di potenziale V , e un campo Magnetostatico uniforme 1 B perpendicolare al campo elettrico. Gli ioni che attraversano questa regione senza deviare penetrano in un’altra regione in cui esiste un secondo campo Magnetico uniforme 2 B , parallelo a 1 B e, come di cui si tratta, descrivono le orbite semicircolari e colpiscono una targa fotografica F. Considera uno spettrometro che opera con kV/m 15 1 = E , T 50 0 2 1 , B B

= . a) Sapendo che la separazione tra le plache è d = 4 mm, determina la differenza di potenziale V tra loro. b) Determina la velocità v degli ioni che possono penetrare nella seconda regione dello spettometro. c) Il rapporto dimostra che m / q (carga/massa) degli ioni che colpiscono la placca F viene data da

2 1 1 B B R E m q =

dove R è il raggio di percorso circolare seguito dall’ion. d) Se la fonte ionica inietta i tre isotopi di magnesio 24Mg+, 25Mg+ e 26Mg+, che hanno carico +e, Calcola la separazione tra le linee che appaiono stampate sulla scheda F per l’impatto dei tre tipi di ioni. Considera che le masse atomiche degli isotopi sono uguali, in unità di massa atomica, al suo numero massiccio. Data: unità di massa atomica u = $1.66\cdot 10-27$ kg; carico elementare e = $1,60\cdot 10-19$ C.

R v Placca F S Fig. 1 V B2 B1 OAF 2011 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica Soluzione P3. Spettometro di Bainbridge.

a) Conosciuto il rapporto tra campo e potenziale elettrostatico nella regione compresa tra i due Le plache pianoparale, possiamo calcolare la differenza di potenziale V (nota che il piano inferiore è a potenziale nullo).

d V E =

$\Rightarrow$ V 60

= d E V

b) Nella regione 1 dello spettrometro coesistono un campo elettrostatico uniforme 1 E , e un campo Magnetostatico uniforme 1 B, quindi i carichi che attraversano il veicolo saranno soggetti alla forza di Lorentz.

( ) B v E q F r r r r $\times$ +

Per entrare nella regione 2 devono attraversare la regione 1 senza deviare. La forza dovuta alla Il campo elettrostatico e il campo magnetostatico dovuti devono essere uguali e di senso contrario per la forza totale è nulla. La figura 1 mostra che 1 B v r r $\times$ è contenuto sul piano del carta e va da Sotto verso l’alto; quindi il campo 1 E r deve andare da cima a fondo e il modulo deve coincidere con il prodotto 1 B v

1 1 B v E =

$\Rightarrow$ m/s 10 0 3 4 1 1 $\cdot$

= , B E v

c) Nella regione 2 gli ioni si muovono all’interno di un campo magnetico 2 B , quindi sono sottoposti a una forza perpendicolare alla direzione del movimento che fornirà loro un’accelerazione centripeta e li provocerà un movimento circolare di radio R.

( ) B v q F r r r $\times$

$\Rightarrow$ R v m B v q F 2 2 =

$\Rightarrow$ 2 B R v m q =

Come in questa regione solo gli ioni entrano con velocità 1 1 B / E v = (paragrafo b) possiamo concludere che

2 1 1 B B R E m q =

d) Sconfiggendo il raggio R nell’espressione precedente

2 1 1 B B q E m R =

che può essere valutato per i tre isotopi del magnesio, 24Mg+, 25Mg+ e 26Mg+.

Poiché le rotte circolari non sono concentriche ma tangenti nel buco di ingresso nella regione 2), la separazione tra le linee di due isotopi è doppia della differenza dei raggi dei loro percorsi. Inoltre, se m(24Mg+) = 24 u; m(25Mg+) = 25 u e m(26Mg+) = 26 u, si ottiene che la separazione $\Delta$ tra la linea dell’isotopo 24Mg+ e quella del 25Mg+ è

mm 2 1 2 2 1 1 , B B q E u

= $\Delta$

La stessa distanza $\Delta$ esiste tra la linea 26Mg+ e quella del 25Mg+. Di conseguenza la distanza $\Delta$ tra la La linea 26Mg+ e quella 24Mg+ saranno

mm 4 2 2 , ’

= $\Delta$ $\Delta$

Spettrometro Bainbridge con camera e B

Topic: Electrostatics, Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Slit Fonte: Testo (PDF) — p.7

P3. Bainbridge spectrometer.

The Commission has also proposed a number of measures to improve the quality of the The material is used in known experimental techniques. The main objective of the project is to develop a new approach to the mass and relative abundance of ions in a sample. Figure 1 shows the diagram of a spectrometer The study of the ionic compounds of Bainbridge used to study ions that have the Same speed. The ions coming from a chamber of The Ionization process is carried out by the S-collimator cleavage to Define its spread direction. From there The number of samples is the same as the number of samples taken from the sample. velocities) where an electrostatic field coexists Uniforms 1 E , produced by two planopharal plates subjected to a potential difference of V , and a field a uniform magnetostatic 1 B perpendicular to the field electrical. The ions that pass through this region without deviating They enter another region where there is a second field. Uniform magnetic 2 B , parallel to a 1 B and, as As a result, they describe semicircular orbits and They impact on a F-card. Consider a spectrometer that operates with kV/m 15 1 = E , T 50 0 2 1 , B B

= . a) Knowing that the separation between the plates is d = 4 mm, it determines the potential difference V between them. b) Determines the velocity v of the ions that can penetrate the second region of the spectrometer. c) It shows that the relationship m / q (charge/mass) of the ions that impact plate F is given by

2 1 1 B B R E m q =

where R is the radius of the circular path followed by the ion. d) If the ion source injects the three isotopes of magnesium 24Mg+, 25Mg+ and 26Mg+, which have a charge +e, calculates the separation between the lines that appear printed on plate F by the impact of the three Ionic types. It considers that the atomic masses of isotopes are equal in units of atomic mass. to his massive number. Data: atomic mass unit u = $1.66\cdot 10-27$ kg; elementary charge e = $1,60\cdot 10-19$ C.

R v F plate S Fig. 1 V B2 B1 The results of the 2011 OAF ZARAGOZA University District The Spanish Royal Physical Society Solution P3. Bainbridge spectrometer.

(a) The relationship between the field and the electrostatic potential in the region between the two is known. The plane plane parallel plates, we can calculate the potential difference V (Note that the bottom plane is at The following is the list of the following:

d V E =

$\Rightarrow$ V 60

= d E V

(b) In region 1 of the spectrometer, a uniform electrostatic field coexists 1 And , and a field a uniform magnetostatic 1 B. Therefore, the loads passing through it shall be subject to the force of Lorentz, what’s going on?

( ) B v E q F r r r r $\times$ +

To penetrate region 2, they must pass through region 1 without deviating. Consequently the force due to the The electrostatic field and the magnetostatic field due must be equal and opposite in order to the total force is zero. Figure 1 shows that 1 B v r r $\times$ It’s contained in the plane of the paper and goes from down to the top; therefore, the field 1 E r shall be top-down and its module shall match the the product 1 B v

1 1 B v E =

$\Rightarrow$ m/s 10 0 3 4 1 1 $\cdot$

= , B E v

(c) In region 2, ions move within a magnetic field 2 B , they are therefore subject to a The force perpendicular to the direction of motion will give them a centrifugal acceleration and they will be cause a circular motion of radius R.

( ) B v q F r r r $\times$

$\Rightarrow$ R v m B v q F 2 2 =

$\Rightarrow$ 2 B R v m q =

As in this region, only ions enter at speed. 1 1 B / E v = (paragraph (b)), we can conclude that

2 1 1 B B R E m q =

(d) Clearing the radius R in the above expression

2 1 1 B B q E m R =

which can be evaluated for the three isotopes of magnesium, 24Mg+, 25Mg+ and 26Mg+.

Since the circular paths are not concentric but tangent in the region’s entry gap 2), the separation between the lines of two isotopes is twice the difference in radii of their trajectories. In addition, as m(24Mg+) = 24u; m(25Mg+) = 25u and m(26Mg+) = 26u, we get that the $\Delta$ separation between The line of isotope 24Mg+ and 25Mg+ is

mm 2 1 2 2 1 1 , B B q E u

= $\Delta$

The same $\Delta$ distance exists between the 26Mg+ line and the 25Mg+ line. Consequently the $\Delta$ distance between the line 26Mg+ and line 24Mg+ shall be

mm 4 2 2 , ’

= $\Delta$ $\Delta$

Bainbridge spectrometer with camera and B

Topic: Electrostatics, Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Slit Fonte: Testo (PDF) — p.7