Spagna 2011

P1. Acelerómetro.

Un acelerómetro es, como su propio nombre indica, un dispositivo para medir aceleraciones. Un modelo sencillo consiste en un cilindro cuyo eje coincide con la dirección de la aceleración que se desea medir. Dentro del cilindro hay una bola sujeta a los extremos mediante dos muelles iguales, y un líquido viscoso que amortigua las oscilaciones de la bola cuando se produce un cambio en la aceleración. En ausencia de aceleración, la bola está en equilibrio en el centro del cilindro, como se representa en la figura 1a. Sin embargo, cuando el dispositivo sufre una aceleración en el sentido del eje OX indicado, la bola alcanza un nuevo estado de equilibrio dinámico, desplazada una distancia 0 < x , como se indica en la figura 1b. Esta distancia no cambia mientras la aceleración sea constante. a) El acelerómetro se sujeta horizontalmente en un vehículo, de forma que el eje del cilindro coincida con la dirección del movimiento (eje OX). En estas condiciones, determina el desplazamiento en equilibrio de la bola, x , en función de la aceleración del vehículo, a, la constante elástica de cada muelle, k, y la masa de la bola, M. b) Mientras el vehículo acelera uniformemente de 0 a 40 km/h en 3,0 s, el desplazamiento en equilibrio de la bola es cm 0 3, $-$

x . Sabiendo que la masa de la bola es g 10

M , calcula el valor de la constante k de cada uno de los muelles. c) La gráfica de la figura 2 muestra un registro de la posición x de la bola en función del tiempo t mientras un automóvil se mueve, desde t = 0 hasta t = 20 s. En esta gráfica se observan claramente tres intervalos de tiempo con aceleraciones diferentes. Calcula la aceleración del automóvil en cada uno de estos intervalos. d) Si el automóvil del apartado anterior ha partido del reposo en 0

t , representa gráficamente, de forma aproximada, su velocidad en función del tiempo entre t = 0 y t = 20 s. e) Calcula por último el espacio total que ha recorrido desde t = 0 hasta t = 20 s.

0 1 -1 -2 -3 x (cm) t (s) Fig. 2 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 20 Fig. 1a Fig. 1b X O X O x 0 1 2 3 -1 -2 -3 2 x 0 1 2 3 -1 -2 -3 OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Solución P1. Acelerómetro.

a) Los dos resortes son iguales, es decir tienen la misma constante elástica k y la misma longitud natural. Cuando están montados en el acelerómetro, unidos a los extremos del cilindro y a la bola, en ausencia de aceleración ambos están deformados (estirados o comprimidos) la misma distancia 0 x , de forma que están ejerciendo fuerzas de igual módulo 0 0 kx F = sobre la bola, pero en sentidos opuestos, y ésta permanece en el centro del cilindro.

Cuando el sistema se mueve con aceleración uniforma a, tras amortiguarse la oscilación de la bola se alcanza un nuevo estado de equilibrio dinámico en el que todo el sistema, incluida la bola, se mueve con esta aceleración. Por tanto, sobre la bola debe estar actuando una fuerza neta Ma en el sentido de la aceleración. Obviamente esta fuerza es la debida al cambio de deformación de los dos muelles, es decir al desplazamiento de la bola respecto al centro del cilindro

kx Ma 2 $-$

(1) El signo menos indica que, de acuerdo con el enunciado, cuando la aceleración es en sentido positivo ( 0

a ) el desplazamiento es negativo ( 0 < x ) y viceversa. Despejando en (1), el desplazamiento en equilibrio de la bola es

k a M x 2 $-$

b) En una aceleración uniforme, partiendo del reposo, la velocidad final f v alcanzada en el instante ft es

f f t a v

Con los datos de este apartado, y teniendo en cuenta que 40 km/h = s m/3600 10 40 3 $\cdot$ = 11,11 m/s,

2 m/s 704 3,

= f f t v a

Despejando k de (1)

N/m 6173 0 2 ,

$-$

x Ma k

N/m 62 0,

k

c) En la gráfica de la figura 2 del enunciado se observan tres intervalos de tiempo en los que, salvo la breve oscilación amortiguada inicial, x es constante, es decir la aceleración a es constante:

s 4 0 < < t : cm 5 2 1 , $-$

x $\to$ 2 1 1 m/s 0864 3 2 , /

$-$

M kx a , 2 1 m/s 1 3,

a

s 16 s 4 < < t : 0 2 = x

$\to$ 0 2 = a

s 20 s 16 < < t : cm 0 1 3 ,

x

$\to$ 2 3 3 m/s 2346 1 2 , / $-$

$-$

M kx a , 2 3 m/s 2 1, $-$

a

En resumen, el coche se mueve con aceleración 1 a durante los cuatro primeros segundos. Entre t = 4 s y t = 16 s se mueve con aceleración nula, es decir con velocidad constante, y desde t = 16 s hasta t = 20 s con aceleración 3 a negativa, lo que indica que el coche frena. d) Como parte del reposo, la velocidad del coche aumenta linealmente con el tiempo durante el primer intervalo.

s t t t f i 4 0 1 1

< <

: t a v 1 1 = OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Durante el segundo intervalo la velocidad es constante, igual a la alcanzada al final del primer intervalo, es decir en s 4 1 = ft

s t t t f i 16 s 4 2 2

< <

: km/h 44,444 m/s 346 12 cte. 1 1 2

=

= , ft a v

En el tercer intervalo de tiempo el coche decelera uniformemente ( 0 3 < a ), con lo que su velocidad disminuye linealmente partiendo de la velocidad inicial anterior, 2 v , en la forma

s t t t f i 20 s 16 3 3

< <

: ( ) 3 3 2 3 it t a v v $-$ +

La velocidad final en s 20 3 = ft es

( ) km/h 26,667 m/s 4074 7 s 16 20 m/s 2346 1 m/s 346 12 2 3

= $-$ $\times$ $-$

, , , f v

En resumen, la representación gráfica de la velocidad en función del tiempo sería la siguiente

e) El espacio recorrido en cada uno de los tres intervalos de tiempo es

m 69 24 2 1 2 1 1 1 ,

= ft a s

( ) m 15 148 2 2 2 2 ,

$-$

i f t t v s

( ) ( ) m 51 39 2 1 2 3 3 3 3 3 2 3 ,

$-$ + $-$

i f i f t t a t t v s

Y el espacio total recorrido es

m 35 212 3 2 1 ,

= s s s s

m 10 1 2 2 $\cdot$ = , s

Nota sobre precisión de resultados: los datos numéricos de este problema están dados con dos cifras significativas, por lo que no tiene sentido dar los resultados con más de dos cifras. Sin embargo, para evitar arrastrar y amplificar errores de redondeo en las operaciones de los sucesivos apartados, se ha optado por trabajar con cuatro o cinco cifras y redondear únicamente al presentar los resultados que se piden en los diversos apartados del enunciado. 30 40 20 10 0 v (km/h) t (s) 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 20 50 OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

accelerometro con molla e biglia, schema

grafico posizione x vs tempo t

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Ball, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Accelerometro.

Un accelerometro è, come suggerisce il nome stesso, un dispositivo per misurare le accelerazioni. Un modello semplice consiste in un cilindro il cui asse coincide con la direzione dell’accelerazione da misurare. All’interno del cilindro si trova una sfera collegata agli estremi da due molle uguali, e un liquido viscoso che smorza le oscillazioni della sfera quando si verifica una variazione dell’accelerazione. In assenza di accelerazione, la sfera si trova in equilibrio al centro del cilindro, come rappresentato nella figura 1a. Tuttavia, quando il dispositivo subisce un’accelerazione nel verso dell’asse OX indicato, la sfera raggiunge un nuovo stato di equilibrio dinamico, spostata di una distanza 0 < x, come indicato nella figura 1b. Questa distanza rimane costante finché l’accelerazione è costante.

a) L’accelerometro viene fissato orizzontalmente in un veicolo, in modo che l’asse del cilindro coincida con la direzione del moto (asse OX). In queste condizioni, determina lo spostamento in equilibrio della sfera, x, in funzione dell’accelerazione del veicolo, a, della costante elastica di ciascuna molla, k, e della massa della sfera, M.

b) Mentre il veicolo accelera uniformemente da 0 a 40 km/h in 3,0 s, lo spostamento in equilibrio della sfera è cm 3,0 = x $-$. Sapendo che la massa della sfera è g 10 = M, calcola il valore della costante k di ciascuna delle due molle.

c) La grafica della Figura 2 mostra un registro della posizione x della pallina in funzione del tempo t mentre un’automobile si muove, da t = 0 fino a t = 20 s. In questa grafica si osservano chiaramente tre intervalli temporali con accelerazioni diverse. Calcolare l’accelerazione dell’automobile in ciascuno di questi intervalli.

d) Se l’automobile del punto precedente è partita da fermo in t₀ = 0, rappresentare graficamente, in modo approssimato, la sua velocità in funzione del tempo tra t = 0 e t = 20 s.

e) Calcolare infine lo spazio totale percorso dall’automobile da t = 0 fino a t = 20 s.

0 1 -1 -2 -3 x (cm) t (s) Fig. 2 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 20 Fig. 1a Fig. 1b X O X O x 0 1 2 3 -1 -2 -3 2 x 0 1 2 3 -1 -2 -3 OAF 2011 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA SOCIETÀ REALE SPAGNOLA DI FISICA Soluzione P1. Accelerometro.

a) I due molle sono uguali, ovvero hanno la stessa costante elastica k e la stessa lunghezza naturale. Quando sono montati nell’accelerometro, collegati agli estremi del cilindro e alla sfera, in assenza di accelerazione entrambi sono deformati (allungati o compressi) della stessa distanza x₀, in modo che esercitino forze di modulo uguale F₀ = kx₀ sulla sfera, ma in versi opposti, e la sfera rimane al centro del cilindro.

Quando il sistema si muove con accelerazione uniforme a, dopo che l’oscillazione della sfera si è smorzata, si raggiunge un nuovo stato di equilibrio dinamico in cui tutto il sistema, compresa la sfera, si muove con questa accelerazione. Pertanto, sulla sfera deve agire una forza netta Ma nella direzione dell’accelerazione. Ovviamente tale forza è dovuta alla variazione della deformazione delle due molle, ossia allo spostamento della sfera rispetto al centro del cilindro

kx Ma 2 $-$

(1) Il segno meno indica che, secondo quanto indicato nel testo, quando l’accelerazione è positiva (a > 0) lo spostamento è negativo (x < 0) e viceversa. Risolvendo la (1), lo spostamento in equilibrio della sfera è

k a M x 2 $-$

b) In un’accelerazione uniforme, partendo da fermo, la velocità finale vf raggiunta nell’istante tf è

vf = a t f

Con i dati di questo punto, tenendo conto che 40 km/h = 11,11 m/s

s m/3600 10 40 3 $\cdot$ = 11,11 m/s

2 m/s 704 3,

= f f t v a

Risolvendo per k nella (1)

N/m 6173 0 2 ,

$-$ = x Ma k

N/m 62 0, = k

c) Nel grafico della figura 2 del testo si osservano tre intervalli temporali in cui, tranne per la breve oscillazione smorzata iniziale, x è costante, ossia l’accelerazione a è costante:

s 4 0 < < t : cm 5 2 1 , $-$ = x $\to$ 2 1 1 m/s 0864 3 2 , /

$-$

M kx a , 2 1 m/s 1 3, = a

s 16 s 4 < < t : 0 2 = x

$\to$ 0 2 = a

s 20 s 16 < < t : cm 0 1 3 , = x

$\to$ 2 3 3 m/s 2346 1 2 , / $-$

$-$

M kx a , 2 3 m/s 2 1, $-$ = a

In sintesi, l’auto si muove con accelerazione 1 a nei primi quattro secondi. Tra t = 4 s e t = 16 s si muove con accelerazione nulla, cioè con velocità costante, e da t = 16 s a t = 20 s con accelerazione 3 a negativa, il che indica che l’auto frena.

d) Poiché parte dal riposo, la velocità dell’auto aumenta linearmente con il tempo durante il primo intervallo.

s t t t f i 4 0 1 1

< <

: t a v 1 1 =

OAF 2011 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Durante il secondo intervallo la velocità è costante, uguale a quella raggiunta alla fine del primo intervallo, cioè in s 4 1 = ft

s t t t f i 16 s 4 2 2

< <

: km/h 44,444 m/s 346 12 cte. 1 1 2

=

= , ft a v

Nel terzo intervallo di tempo l’auto decelera uniformemente ( 0 3 < a ), con conseguente diminuzione lineare della velocità a partire dalla velocità iniziale precedente, 2 v , secondo la relazione

s t t t f i 20 s 16 3 3

< <

: ( ) 3 3 2 3 it t a v v $-$ +

La velocità finale in s 20 3 = ft è

( ) km/h 26,667 m/s 4074 7 s 16 20 m/s 2346 1 m/s 346 12 2 3

= $-$ $\times$ $-$

, , , f v

In sintesi, il grafico della velocità in funzione del tempo è il seguente

e) Lo spazio percorso durante ciascuno dei tre intervalli di tempo è

m 69 24 2 1 2 1 1 1 ,

= ft a s

( ) m 15 148 2 2 2 2 ,

$-$ = i f t t v s

( ) ( ) m 51 39 2 1 2 3 3 3 3 3 2 3 ,

$-$ + $-$ = i f i f t t a t t v s

E lo spazio totale percorso è

m 35 212 3 2 1 ,

= s s s s

m 10 1 2 2 $\cdot$ = , s

Nota sulla precisione dei risultati: i dati numerici di questo problema sono forniti con due cifre significative, pertanto non ha senso presentare i risultati con più di due cifre. Tuttavia, per evitare di trasportare e amplificare errori di arrotondamento nei calcoli successivi, si è scelto di lavorare con quattro o cinque cifre e arrotondare soltanto al momento di presentare i risultati richiesti nei vari punti dell’esercizio.

30 40 20 10 0 v (km/h) t (s) 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 20 50 OAF 2011 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA SOCIETÀ SPAGNOLA DI FISICA

accelerometro con molla e biglia, schema

grafico posizione x vs tempo t

P1. Accelerometer.

An accelerometer is, as its name suggests, a device for measuring accelerations. A simple model consists of a cylinder whose axis coincides with the direction of acceleration to be measured. Inside the cylinder, there is a ball attached at both ends by two identical springs and a viscous liquid that dampens oscillations of the ball when acceleration changes. In the absence of acceleration, the ball is in equilibrium at the center of the cylinder, as shown in Figure 1a. However, when the device undergoes acceleration along the OX direction indicated, the ball reaches a new dynamic equilibrium state displaced by a distance 0 < x, as indicated in Figure 1b. This displacement remains constant as long as the acceleration is constant.

a) The accelerometer is mounted horizontally in a vehicle such that the cylinder’s axis aligns with the direction of motion (OX axis). Under these conditions, determine the equilibrium displacement of the ball, x, as a function of the vehicle’s acceleration, a, the spring constant of each spring, k, and the ball’s mass, M.

b) While the vehicle uniformly accelerates from 0 to 40 km/h in 3.0 s, the equilibrium displacement of the ball is x₀ = 3.0 cm $-$. Given that the ball’s mass is M = 10 g, calculate the value of the spring constant k for each of the springs.

c) The graph in Figure 2 shows a record of the position x of the ball as a function of time t while a car moves, from t = 0 to t = 20 s. In this graph, three distinct time intervals with different accelerations are clearly visible. Calculate the car’s acceleration in each of these intervals.

d) If the car from the previous part started from rest at t₀ = 0, approximately sketch its velocity as a function of time between t = 0 and t = 20 s.

e) Finally, calculate the total distance traveled by the car from t = 0 to t = 20 s.

0 1 -1 -2 -3 x (cm) t (s) Fig. 2 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 20

Fig. 1a Fig. 1b X O X O x 0 1 2 3 -1 -2 -3 2 x 0 1 2 3 -1 -2 -3 OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Solution P1. Accelerometer.

a) The two springs are identical, meaning they have the same spring constant k and the same natural length. When assembled in the accelerometer, connected to both ends of the cylinder and to the ball, in the absence of acceleration, both springs are deformed (stretched or compressed) by the same distance x₀, so they exert forces of equal magnitude F₀ = kx₀ on the ball but in opposite directions, keeping it at the center of the cylinder.

When the system moves with uniform acceleration a, after the ball’s oscillation is damped, a new state of dynamic equilibrium is reached in which the entire system, including the ball, moves with this acceleration. Therefore, a net force Ma must be acting on the ball in the direction of the acceleration. Obviously this force is due to the change in deformation of the two springs, that is, to the displacement of the ball with respect to the center of the cylinder

kx Ma 2 $-$

(1) The minus sign indicates that, according to the statement, when the acceleration is in the positive direction ( 0

a ) the displacement is negative ( 0 < x ) and vice versa. Solving for in (1), the equilibrium displacement of the ball is

k a M x 2 $-$

b) Under uniform acceleration, starting from rest, the final velocity f v reached at the instant ft is

f f t a v

With the data of this section, and taking into account that 40 km/h = s m/3600 10 40 3 $\cdot$ = 11.11 m/s,

2 m/s 704 3,

= f f t v a

Solving for k from (1)

N/m 6173 0 2 ,

$-$ = x Ma k

N/m 62 0, = k

c) In the graph of figure 2 of the statement, three time intervals are observed in which, except for the brief initial damped oscillation, x is constant, that is, the acceleration a is constant:

s 4 0 < < t : cm 5 2 1 , $-$ = x $\to$ 2 1 1 m/s 0864 3 2 , /

$-$

M kx a , 2 1 m/s 1 3, = a

s 16 s 4 < < t : 0 2 = x

$\to$ 0 2 = a

s 20 s 16 < < t : cm 0 1 3 , = x

$\to$ 2 3 3 m/s 2346 1 2 , / $-$

$-$

M kx a , 2 3 m/s 2 1, $-$ = a

In summary, the car moves with acceleration 1 a during the first four seconds. Between t = 4 s and t = 16 s it moves with zero acceleration, i.e., constant velocity, and from t = 16 s to t = 20 s with negative acceleration 3 a, indicating that the car is braking.

d) Since starting from rest, the car’s velocity increases linearly with time during the first interval.

s t t t f i 4 0 1 1

< <

: t a v 1 1 =

OAF 2011 PROVING EXAMINATION OF THE UNIVERSITY DISTRICT OF ZARAGOZA SPANISH PHYSICAL SOCIETY

During the second interval, velocity remains constant and equal to that achieved at the end of the first interval, i.e., at s 4 1 = ft

s t t t f i 16 s 4 2 2

< <

: km/h 44,444 m/s 346 12 cte. 1 1 2

=

= , ft a v

In the third time interval, the car decelerates uniformly ( 0 3 < a ), so its velocity decreases linearly from the previous initial velocity, 2 v , according to

s t t t f i 20 s 16 3 3

< <

: ( ) 3 3 2 3 it t a v v $-$ +

The final velocity at s 20 3 = ft is

( ) km/h 26,667 m/s 4074 7 s 16 20 m/s 2346 1 m/s 346 12 2 3

= $-$ $\times$ $-$

, , , f v

In summary, the graphical representation of velocity as a function of time would be as follows:

e) The distance traveled during each of the three time intervals is

m 69 24 2 1 2 1 1 1 ,

= ft a s

( ) m 15 148 2 2 2 2 ,

$-$ = i f t t v s

( ) ( ) m 51 39 2 1 2 3 3 3 3 3 2 3 ,

$-$ + $-$ = i f i f t t a t t v s

And the total distance traveled is

m 35 212 3 2 1 ,

= s s s s

m 10 1 2 2 $\cdot$ = , s

Note on result precision: The numerical data in this problem are given with two significant figures, so it would be meaningless to provide results with more than two significant digits. However, in order to avoid carrying and amplifying rounding errors in successive calculations, four or five digits have been used during intermediate steps, with final results rounded only when presenting the answers required in each part of the problem statement.

30 40 20 10 0 v (km/h) t (s) 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 20 50 OAF 2011 DISTRICT UNIVERSITY TESTS ZARAGOZA SPANISH PHYSICAL SOCIETY

accelerometer with spring and ball, diagram

position x versus time t graph

P2. Tiro con arco. Ante las “necesidades” de la caza y de la guerra, la humanidad ha desarrollado a lo largo de su historia el tiro con arco. En la actualidad, salvo algunos pueblos primitivos que siguen utilizándolo para cazar, solo se usa como una modalidad deportiva. Los constructores de arcos antiguos no necesitaron conocer las leyes de la física, pero hoy en día la tecnología basada en detallados estudios físicos permite mejorar sus prestaciones con diseños que en nada recuerdan a los antiguos arcos medievales. En este problema te proponemos que realices unos cálculos basados en dos modelos físicos de arco. En una primera aproximación, podemos considerar que un arco medieval tiene un comportamiento análogo a algo que encanta a los físicos: un muelle de constante K. Con este modelo lineal de arco (ley de Hooke) se supone que la fuerza F de tensado del arco es proporcional a la longitud x que se deforma (figura 1). a) Cuando el arquero ejerce una fuerza 1 F , la distancia de tensado es 1x . Determina, en función de 1 F y 1 x , el trabajo 1 W que ha realizado el arquero para tensar el arco. Calcula su valor para N 700 1 = F y m 58 0 1 ,

x . b) Cuando el arquero efectúa el disparo, la mayor parte de la energía potencial almacenada en el arco se transfiere a la flecha, y el resto se invierte en energía cinética de las partes móviles del propio arco. Si la masa de la flecha es kg 060 0 1 ,

m y admitimos que recibe el 80% de la energía almacenada en el arco, calcula la velocidad de la flecha cuando abandona el arco. Los modernos arcos compuestos, como el de la figura 2, están dotados de unas complicadas poleas excéntricas y no tienen un comportamiento lineal; el modelo del muelle no sirve para ellos. La fuerza F para tensarlo y el desplazamiento x siguen una relación no lineal, como la representada en la gráfica de la figura 3. La fuerza que hay que aplicar para mantenerlo tensado con su deformación máxima es mucho menor que con un arco tradicional, lo que evita temblores musculares del arquero y mejora notablemente la puntería. c) Admitiendo que en los arcos compuestos prácticamente toda la energía potencial almacenada se transmite a la flecha, haz una estimación razonada de la masa 2 m que debe tener la flecha para que cuando se tense el arco una distancia máxima m 50 0 2 ,

x , su velocidad de salida sea igual a la calculada en el apartado b) para el arco medieval. Ayuda: recuerda que, para una distancia máxima de tensado m x , el área comprendida entre la curva ( ) x F y el eje de abscisas hasta m x es proporcional al trabajo realizado por F hasta alcanzar esa deformación. 0 50 100 150 200 250 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 F (N) Fig. 3 x (m) Fig. 1 Fig. 2 F x OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Solución P2. Tiro con arco. c) Tal como se indica en el enunciado, el comportamiento del arco “medieval” es equivalente al de un muelle ideal de constante K, por lo que la fuerza F que ejerce el arquero es proporcional a la longitud que se deforma el muelle (el arco, en este caso). Por tanto, la representación gráfica de F en función de x es la que se muestra en la figura 4. El trabajo realizado por una fuerza en un desplazamiento puede calcularse como el área comprendida entre la curva ) (x F y el eje de abscisas, entre los valores inicial y final de x . En nuestro caso, es el área del triángulo sombreado en la figura 4

1 1 1 2 1 x F W =

$\Rightarrow$ J 203 1 = W

La pregunta de este apartado puede abordarse de otra forma, físicamente equivalente a la anterior: como suponemos que el arco responde a un modelo elástico, para cualquier deformación se cumple Kx F = . Además, como la fuerza elástica es conservativa, el trabajo realizado por el arquero es igual a la energía potencial 1 U almacenada por el arco 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 x F Kx U W

=

d) Cuando se dispara la flecha, el 80% de la energía potencial se transforma en energía cinética de la flecha. Si llamamos 8 0,

$\gamma$ a la eficiencia de esta transformación, es inmediato deducir la velocidad de la flecha

2 1 1 1 2 1 v m U = $\gamma$

$\Rightarrow$ m/s 6 73 2 1 1 1 ,

= m U v $\gamma$

e) La energía potencial almacenada por el arco compuesto de nuevo coincide con el trabajo realizado por el arquero al tensarlo, 2 2 U W = . Como no se conoce la expresión analítica de ) (x F , este trabajo sólo puede calcularse, de forma aproximada, a partir del área bajo la curva de la figura 5, entre el origen y la deformación máxima m 50 0 2 , x = . En concreto, la energía potencial del arco será igual al número de rectángulos bajo la curva, multiplicado por la energía que corresponde a uno de ellos. Cada rectángulo tiene como base m 05 0, y altura N 10 , por lo que su área representa un trabajo de J 50 0, . Contando cuadros enteros y compensando fracciones de cuadro en cada columna de la figura 5, se obtiene que el área bajo la curva es aproximadamente la de 153 rectángulos. Por tanto

J 5 76 J 50 0 153 2 , ,

$\times$ $\approx$ U

Como se admite que esta energía se transfiere íntegramente a la flecha, y además se quiere que su velocidad 2 v de salida sea la misma que la 1v del apartado b), podemos escribir

2 1 2 2 2 1 v m U

lo que permite calcular la masa 2 m de la flecha

g 28 2 2 1 2 2 $\approx$

v U m

F x F1 x1 W Fig. 4 F (N) Fig. 5 x (m) 100 150 200 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 50 0 OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

arco tradizionale con freccia e forza

arco composto moderno con carrucole

grafico F vs x arco composto

triangolo area lavoro arco medievale

grafico F vs x soluzione arco composto

Topic: Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Diagrammatic Reasoning Objects: Spring, Projectile, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2. Tiro con arco.

Di fronte alle “esigenze” della caccia e della guerra, l’umanità nel corso della storia ha sviluppato il tiro con arco. Oggi, tranne alcuni popoli primitivi che lo utilizzano ancora per cacciare, viene praticato esclusivamente come disciplina sportiva.

I costruttori di archi antichi non avevano bisogno di conoscere le leggi della fisica, ma oggi la tecnologia basata su approfonditi studi fisici permette di migliorare le prestazioni degli archi con progettazioni che nulla hanno in comune con gli antichi archi medievali. In questo problema ti proponiamo di effettuare alcuni calcoli basati su due modelli fisici dell’arco.

In un primo approccio, possiamo considerare che un arco medievale abbia un comportamento analogo a qualcosa che appassiona i fisici: una molla di costante K. Con questo modello lineare dell’arco (legge di Hooke) si assume che la forza F di tensione dell’arco sia proporzionale all’allungamento x (figura 1).

a) Quando l’arciere applica una forza F₁, la distanza di tensione è x₁. Determina, in funzione di F₁ e x₁, il lavoro W₁ compiuto dall’arciere per tensionare l’arco. Calcola il suo valore numerico per F₁ = 700 N e x₁ = 0,58 m.

b) Quando l’arciere effettua lo sparo, la maggior parte dell’energia potenziale immagazzinata nell’arco viene trasferita alla freccia, mentre il resto viene investito in energia cinetica delle parti mobili stesse dell’arco. Se la massa della freccia è m₁ = 0,060 kg, = m y supponiamo che riceva l’80% dell’energia immagazzinata nell’arco, calcolare la velocità della freccia quando abbandona l’arco.

Gli archi composti moderni, come quello della figura 2, sono dotati di complesse carrucole eccentriche e non presentano un comportamento lineare; il modello della molla non è applicabile a essi. La forza F necessaria per tirare l’arco e lo spostamento x seguono una relazione non lineare, come quella rappresentata nel grafico della figura 3. La forza richiesta per mantenere l’arco teso con la massima deformazione è molto minore rispetto a un arco tradizionale, il che evita i tremori muscolari dell’arciere e migliora notevolmente la precisione.

c) Supponendo che negli archi composti praticamente tutta l’energia potenziale immagazzinata venga trasferita alla freccia, effettua una stima ragionevole della massa 2 m che deve avere la freccia affinché, quando l’arco viene teso fino alla massima distanza m 50 0 2, = x , la sua velocità di uscita sia uguale a quella calcolata al punto b) per l’arco medievale. Aiuto: ricorda che, per una massima distanza di tiro m x , l’area compresa tra la curva ( ) x F e l’asse delle ascisse fino a m x è proporzionale al lavoro compiuto da F per raggiungere quella deformazione. 0 50 100 150 200 250 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 F (N) Fig. 3 x (m) Fig. 1 Fig. 2 F x OAF 2011 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA SOCIETÀ REALE SPAGNOLA DI FISICA Soluzione P2. Tiro con arco. c) Come indicato nel testo, il comportamento dell’arco Il termine “medievale” è equivalente a quello di una molla ideale di costante K, per cui la forza F esercitata dall’arciere è proporzionale all’allungamento della molla (l’arco, nel caso in esame). Di conseguenza, il grafico di F in funzione di x è quello mostrato nella figura 4. Il lavoro compiuto da una forza durante uno spostamento può essere calcolato come l’area compresa tra la curva F(x) e l’asse delle ascisse, tra i valori iniziale e finale di x. Nel nostro caso, si tratta dell’area del triangolo ombreggiato nella figura 4:

1 1 1 2 1 x F W =

$\Rightarrow$ J 203 1 = W

La domanda di questo paragrafo può essere affrontata in un altro modo, fisicamente equivalente al precedente: poiché assumiamo che l’arco risponda a un modello elastico, per ogni deformazione vale la relazione Kx F = . Inoltre, poiché la forza elastica è conservativa, il lavoro compiuto dall’arciere è uguale all’energia potenziale 1 U immagazzinata dall’arco 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 x F Kx U W =

d) Quando la freccia viene scoccata, l’80% dell’energia potenziale si trasforma in energia cinetica della freccia. Se indichiamo con 8 0, = $\gamma$ l’efficienza di questa trasformazione, è immediato dedurre la velocità della freccia

2 1 1 1 2 1 v m U = $\gamma$

$\Rightarrow$ m/s 6 73 2 1 1 1 , = = m U v $\gamma$

e) L’energia potenziale immagazzinata dall’arco composto coincide nuovamente con il lavoro svolto dall’arciere durante la sua tensione, 2 2 U W = . Poiché non è nota l’espressione analitica di ) (x F , questo lavoro può essere calcolato soltanto in modo approssimato a partire dall’area sottostante la curva della figura 5, tra l’origine e la massima deformazione m 50 0 2 , x = . In particolare, l’energia potenziale dell’arco sarà uguale al numero di rettangoli sottostanti la curva, moltiplicato per l’energia corrispondente a uno di essi. Ogni rettangolo ha base m 05 0, e altezza N 10 , quindi la sua area rappresenta un lavoro di J 50 0, . Contando i quadrati interi e compensando le frazioni di quadrato in ciascuna colonna della figura 5, si ottiene che l’area sottostante la curva è approssimativamente equivalente a quella di 153 rettangoli. Pertanto

J 5 76 J 50 0 153 2 , , = $\times$ $\approx$ U

Poiché si ammette che questa energia venga trasferita interamente alla freccia, e dato inoltre che si desidera che la sua velocità di uscita 2 v sia uguale a quella 1v del punto b), possiamo scrivere

2 1 2 2 2 1 v m U =

il che consente di calcolare la massa 2 m della freccia

g 28 2 2 1 2 2 $\approx$ = v U m

F x F1 x1 W Fig. 4 F (N) Fig. 5 x (m) 100 150 200 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 50 0 OAF 2011 PROVE DEL DISTRETTO UNIVERSITARIO DI ZARAGOZA SOCIETÀ REALE SPAGNOLA DI FISICA

arco tradizionale con freccia e forza

arco composto moderno con carrucole

grafico F vs x arco composto

triangolo area lavoro arco medievale

grafico F vs x soluzione arco composto

P2. Archery.

Due to the “needs” of hunting and warfare, humanity throughout history has developed archery. Today, apart from some primitive peoples who still use it for hunting, archery is only practiced as a sport.

Ancient bow makers did not need to know the laws of physics, but nowadays technology based on detailed physical studies allows for performance improvements through designs that bear no resemblance to medieval bows. In this problem, we propose that you perform some calculations based on two physical models of a bow.

As a first approximation, we can consider that a medieval bow behaves similarly to something physicists love: a spring with constant K. With this linear bow model (Hooke’s law), it is assumed that the force F required to draw the bow is proportional to the deformation length x (Figure 1).

a) When the archer applies a force F₁, the draw distance is x₁. Determine, in terms of F₁ and x₁, the work W₁ done by the archer to draw the bow. Calculate its value for F₁ = 700 N and x₁ = 0.58 m.

b) When the archer releases the arrow, most of the potential energy stored in the bow is transferred to the arrow, while the remainder is invested in the kinetic energy of the moving parts of the bow itself. If the mass of the arrow is m₁ = 0.060 kg, = m and we assume it receives 80% of the energy stored in the bow, calculate the arrow’s speed when it leaves the bow. Modern compound bows, such as the one shown in Figure 2, are equipped with complex eccentric pulleys and do not behave linearly; the spring model does not apply to them. The force F required to draw the bow and the displacement x follow a nonlinear relationship, as illustrated in the graph of Figure 3. The force needed to hold it drawn at maximum deformation is much smaller than in traditional bows, which prevents muscular tremors in the archer and greatly improves accuracy.

c) Assuming that in compound bows practically all of the stored potential energy is transferred to the arrow, make a reasonable estimate of the mass 2 m that the arrow must have so that when the bow is drawn to a maximum distance m 50 0 2 , = x , its exit velocity equals the one calculated in part b) for the medieval bow. Hint: recall that, for a maximum draw distance m x , the area enclosed between the curve ( ) x F and the horizontal axis up to m x is proportional to the work done by F in reaching that deformation.

0 50 100 150 200 250 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 F (N) Figure 3 x (m) Figure 1 Figure 2 F x OAF 2011 DISTRICT UNIVERSITY EXAMINATION OF ZARAGOZA SPANISH PHYSICAL SOCIETY Solution P2. Bow shooting.

c) As indicated in the statement, the behavior of the bow “Medieval” is equivalent to that of an ideal spring with spring constant K, so the force F exerted by the archer is proportional to the deformation length of the spring (the bow, in this case). Therefore, the graphical representation of F as a function of x is that shown in Figure 4.

The work done by a force during a displacement can be calculated as the area bounded between the curve F(x) and the horizontal axis, between the initial and final values of x. In our case, it is the area of the shaded triangle in Figure 4:

1 W = — F₁ x₁ 2

$\Rightarrow$ J 203 W = 1

This sub-question may also be approached in another physically equivalent way: since we assume the bow behaves according to an elastic model, for any deformation it holds that F = Kx.

Moreover, since the elastic force is conservative, the work done by the archer equals the potential energy U₁ stored in the bow: U₁ = ½ Kx₁² = ½ F₁ x₁ = W

d) When the arrow is fired, 80% of the potential energy is transformed into kinetic energy of the arrow. If we denote by η = 0.8 $\gamma$ the efficiency of this transformation, it is immediate to deduce the arrow’s velocity:

½ m₁ v₁² = U₁

$\gamma$

$\Rightarrow$ m/s 6.73 v₁ = ———— = 6.73 m₁ U₁

$\gamma$

e) The potential energy stored in the compound bow again equals the work done by the archer when drawing it, 2 2 U W = . Since the analytical expression for ) (x F is not known, this work can only be approximately calculated from the area under the curve in Figure 5, between the origin and the maximum deformation m 50 0 2 , x = . Specifically, the potential energy of the bow equals the number of rectangles under the curve multiplied by the energy corresponding to one such rectangle. Each rectangle has a base of m 05 0, and a height of N 10 , so its area represents a work of J 50 0, . By counting full squares and compensating for fractional parts in each column of Figure 5, it is found that the area under the curve corresponds approximately to 153 rectangles. Therefore

J 5 76 J 50 0 153 2 , ,

$\times$ $\approx$ U

As it is assumed that this energy is entirely transferred to the arrow, and since we want its exit velocity 2 v to be equal to that in part b), 1v , we can write

2 1 2 2 2 1 v m U =

which allows us to calculate the arrow’s mass 2 m

g 28 2 2 1 2 2 $\approx$ = v U m

F x F1 x1 W Fig. 4 F (N) Fig. 5 x (m) 100 150 200 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 50 0 OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA

Traditional bow with arrow and force

Modern compound bow with pulleys

Graph F vs x for compound bow

Triangle area representing work done by medieval bow

Graph F vs x for solution of compound bow

P3. Espectrómetro de Bainbridge.

Para estudiar la estructura y la composición de la materia se utilizan técnicas experimentales conocidas como espectroscopía de masas, consistentes en medir la masa y la abundancia relativa de los iones de una muestra. En la figura 1 se muestra el esquema de un espectrómetro de Bainbridge utilizado para estudiar iones que tienen la misma velocidad. Los iones que provienen de una cámara de ionización, atraviesan las rendijas colimadoras S para delimitar su dirección de propagación. A partir de ahí penetran en una región del espacio (selector de velocidades) donde coexisten un campo electrostático uniforme 1 E , producido por dos placas planoparalelas sometidas a una diferencia de potencial V , y un campo magnetostático uniforme 1 B perpendicular al campo eléctrico. Los iones que atraviesan esta región sin desviarse penetran en otra región en la que existe un segundo campo magnético uniforme 2 B , paralelo a 1 B y, como consecuencia de ello, describen órbitas semicirculares e impactan sobre una placa fotográfica F. Considera un espectrómetro que opera con kV/m 15 1 = E , T 50 0 2 1 , B B

= . a) Sabiendo que la separación entre las placas es d = 4 mm, determina la diferencia de potencial V entre ellas. b) Determina la velocidad v de los iones que pueden penetrar en la segunda región del espectrómetro. c) Demuestra que la relación m / q (carga/masa) de los iones que impactan en la placa F viene dada por

2 1 1 B B R E m q =

donde R es el radio de la trayectoria circular seguida por el ión. d) Si la fuente iónica inyecta los tres isótopos del magnesio 24Mg+, 25Mg+ y 26Mg+, que tienen carga +e, calcula la separación entre las líneas que aparecen impresionadas en la placa F por el impacto de los tres tipos de iones. Considera que las masas atómicas de los isótopos son, en unidades de masa atómica, iguales a su número másico. Datos: unidad de masa atómica u = $1.66\cdot 10-27$ kg ; carga elemental e = $1,60\cdot 10-19$ C.

R v Placa F S Fig. 1 V B2 B1 OAF 2011 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA REAL SOCIEDAD ESPAÑOLA DE FÍSICA Solución P3. Espectrómetro de Bainbridge.

a) Conocida la relación entre el campo y el potencial electrostático en la región comprendida entre las dos placas planoparalelas, podemos calcular la diferencia de potencial V (Nótese que el plano inferior está a potencial nulo).

d V E =

$\Rightarrow$ V 60

= d E V

b) En la región 1 del espectrómetro coexisten un campo electrostático uniforme 1 E , y un campo magnetostático uniforme 1 B , por tanto las cargas que la atraviesen estarán sometidas a la fuerza de Lorentz.

( ) B v E q F r r r r $\times$ +

Para penetrar en la región 2 deben atravesar la región 1 sin desviarse. Consecuentemente la fuerza debida al campo electrostático y la debida al campo magnetostático deben ser iguales y de sentido contrario para que la fuerza total sea nula. De la figura 1 observamos que 1 B v r r $\times$ está contenido en el plano del papel y va de abajo hacia arriba; por tanto, el campo 1 E r deberá ir de arriba hacia abajo y su módulo deberá coincidir con el producto 1 B v

1 1 B v E =

$\Rightarrow$ m/s 10 0 3 4 1 1 $\cdot$

= , B E v

c) En la región 2 los iones se mueven en el seno de un campo magnético 2 B , por tanto se ven sometidos a una fuerza perpendicular a la dirección del movimiento que les proporcionará una aceleración centrípeta y les provocará un movimiento circular de radio R.

( ) B v q F r r r $\times$

$\Rightarrow$ R v m B v q F 2 2 =

$\Rightarrow$ 2 B R v m q =

Como en esta región solo entran los iones con velocidad 1 1 B / E v = (apartado b), podemos concluir que

2 1 1 B B R E m q =

d) Despejando el radio R en la expresión anterior

2 1 1 B B q E m R =

que puede evaluarse para los tres isótopos del magnesio, 24Mg+, 25Mg+ y 26Mg+.

Dado que las trayectorias circulares no son concéntricas sino tangentes en la rendija de entrada en la región 2), la separación entre las líneas de dos isótopo es el doble de la diferencia de los radios de sus trayectorias. Además, como m(24Mg+) = 24 u; m(25Mg+) = 25 u y m(26Mg+) = 26 u, obtenemos que la separación $\Delta$ entre la línea del isótopo 24Mg+ y la del 25Mg+ es

mm 2 1 2 2 1 1 , B B q E u

= $\Delta$

La misma distancia $\Delta$ existe entre la línea 26Mg+ y la del 25Mg+. Consecuentemente la distancia $\Delta$ ‘ entre la línea 26Mg+ y la del 24Mg+ será

mm 4 2 2 , ’

= $\Delta$ $\Delta$

spettrometro Bainbridge con camere e B

Topic: Electrostatics, Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Slit Fonte: Testo (PDF) — p.7

P3. Spettometro di Bainbridge.

Per studiare la struttura e la composizione della la materia si utilizza tecniche sperimentali conosciute La misurazione di una massa di gas è un’operazione di misurazione di massa. massa e relativa abbondanza degli ioni di un campione. La figura 1 mostra lo schema di uno spettometro La ricerca di Bainbridge è stata utilizzata per studiare gli ioni che hanno la stessa velocità. Gli ioni provenienti da una camera di Ionizzazione, attraversando le slitte di collimatore S per limitare la sua direzione di diffusione. Da lì La scorta di un’area di spazio (selector di velocità) dove un campo elettrostatico coesiste Uniforme 1 E , prodotto da due placche pianoparale sottoposti a una differenza di potenziale V , e un campo Magnetostatico uniforme 1 B perpendicolare al campo elettrico. Gli ioni che attraversano questa regione senza deviare penetrano in un’altra regione in cui esiste un secondo campo Magnetico uniforme 2 B , parallelo a 1 B e, come di cui si tratta, descrivono le orbite semicircolari e colpiscono una targa fotografica F. Considera uno spettrometro che opera con kV/m 15 1 = E , T 50 0 2 1 , B B

= . a) Sapendo che la separazione tra le plache è d = 4 mm, determina la differenza di potenziale V tra loro. b) Determina la velocità v degli ioni che possono penetrare nella seconda regione dello spettometro. c) Il rapporto dimostra che m / q (carga/massa) degli ioni che colpiscono la placca F viene data da

2 1 1 B B R E m q =

dove R è il raggio di percorso circolare seguito dall’ion. d) Se la fonte ionica inietta i tre isotopi di magnesio 24Mg+, 25Mg+ e 26Mg+, che hanno carico +e, Calcola la separazione tra le linee che appaiono stampate sulla scheda F per l’impatto dei tre tipi di ioni. Considera che le masse atomiche degli isotopi sono uguali, in unità di massa atomica, al suo numero massiccio. Data: unità di massa atomica u = $1.66\cdot 10-27$ kg; carico elementare e = $1,60\cdot 10-19$ C.

R v Placca F S Fig. 1 V B2 B1 OAF 2011 Provate del Distretto Universitario di Zaragoza REAL SOCIetà spagnola di fisica Soluzione P3. Spettometro di Bainbridge.

a) Conosciuto il rapporto tra campo e potenziale elettrostatico nella regione compresa tra i due Le plache pianoparale, possiamo calcolare la differenza di potenziale V (nota che il piano inferiore è a potenziale nullo).

d V E =

$\Rightarrow$ V 60

= d E V

b) Nella regione 1 dello spettrometro coesistono un campo elettrostatico uniforme 1 E , e un campo Magnetostatico uniforme 1 B, quindi i carichi che attraversano il veicolo saranno soggetti alla forza di Lorentz.

( ) B v E q F r r r r $\times$ +

Per entrare nella regione 2 devono attraversare la regione 1 senza deviare. La forza dovuta alla Il campo elettrostatico e il campo magnetostatico dovuti devono essere uguali e di senso contrario per la forza totale è nulla. La figura 1 mostra che 1 B v r r $\times$ è contenuto sul piano del carta e va da Sotto verso l’alto; quindi il campo 1 E r deve andare da cima a fondo e il modulo deve coincidere con il prodotto 1 B v

1 1 B v E =

$\Rightarrow$ m/s 10 0 3 4 1 1 $\cdot$

= , B E v

c) Nella regione 2 gli ioni si muovono all’interno di un campo magnetico 2 B , quindi sono sottoposti a una forza perpendicolare alla direzione del movimento che fornirà loro un’accelerazione centripeta e li provocerà un movimento circolare di radio R.

( ) B v q F r r r $\times$

$\Rightarrow$ R v m B v q F 2 2 =

$\Rightarrow$ 2 B R v m q =

Come in questa regione solo gli ioni entrano con velocità 1 1 B / E v = (paragrafo b) possiamo concludere che

2 1 1 B B R E m q =

d) Sconfiggendo il raggio R nell’espressione precedente

2 1 1 B B q E m R =

che può essere valutato per i tre isotopi del magnesio, 24Mg+, 25Mg+ e 26Mg+.

Poiché le rotte circolari non sono concentriche ma tangenti nel buco di ingresso nella regione 2), la separazione tra le linee di due isotopi è doppia della differenza dei raggi dei loro percorsi. Inoltre, se m(24Mg+) = 24 u; m(25Mg+) = 25 u e m(26Mg+) = 26 u, si ottiene che la separazione $\Delta$ tra la linea dell’isotopo 24Mg+ e quella del 25Mg+ è

mm 2 1 2 2 1 1 , B B q E u

= $\Delta$

La stessa distanza $\Delta$ esiste tra la linea 26Mg+ e quella del 25Mg+. Di conseguenza la distanza $\Delta$ tra la La linea 26Mg+ e quella 24Mg+ saranno

mm 4 2 2 , ’

= $\Delta$ $\Delta$

Spettrometro Bainbridge con camera e B

Topic: Electrostatics, Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Slit Fonte: Testo (PDF) — p.7

P3. Bainbridge Mass Spectrometer.

To study the structure and composition of matter, experimental techniques known as mass spectrometry are used, consisting in measuring the mass and relative abundance of ions from a sample. In Figure 1, the schematic of a Bainbridge mass spectrometer is shown, used to study ions that have the same velocity. Ions originating from an ionization chamber pass through collimating slits S to define their direction of propagation. From there, they enter a region of space (velocity selector) where a uniform electrostatic field 1 E , produced by two parallel plates subjected to a potential difference V, and a uniform magnetostatic field 1 B , perpendicular to the electric field, coexist. Ions that pass through this region without being deflected enter a second region in which there is a second uniform magnetic field 2 B , parallel to 1 B, and as a result describe semicircular orbits before impacting on a photographic plate F. Consider a spectrometer operating with kV/m 15 1 = E , T 50 0 2 1 , B B

= .

a) Knowing that the separation between the plates is d = 4 mm, determine the potential difference V between them.

b) Determine the velocity v of the ions that can penetrate into the second region of the spectrometer.

c) Show that the ratio m/q (charge-to-mass) of the ions impacting on plate F is given by

2 1 1 B B R E m q =

where R is the radius of the circular trajectory followed by the ion.

d) If the ionic source injects the three magnesium isotopes 24Mg⁺, 25Mg⁺, and 26Mg⁺, each with charge +e, calculate the separation between the lines appearing on plate F due to the impact of the three ion types. Assume that the atomic masses of the isotopes, in atomic mass units, are equal to their mass numbers.

Data: atomic mass unit u = $1.66\cdot 10-27$ kg; elementary charge e = $1,60\cdot 10-19$ C.

R v Photographic plate F S Fig. 1 V B2 B1 OAF 2011 DISTRICT UNIVERSITY EXAMINATION OF ZARAGOZA SPANISH PHYSICAL SOCIETY

Solution P3. Bainbridge spectrometer.

a) Given the relationship between the electric field and potential in the region between the two parallel plates, we can calculate the potential difference V (note that the lower plate is at zero potential).

d V E =

$\Rightarrow$ V 60

= d E V

b) In region 1 of the spectrometer, a uniform electrostatic field E₁ and a uniform magnetostatic field B₁ coexist; therefore, the charges passing through it will experience the Lorentz force.

( ) B v E q F r r r r $\times$ +

To penetrate region 2, ions must traverse region 1 without deflection. Therefore, the force due to the electrostatic field and that due to the magnetostatic field must be equal in magnitude and opposite in direction, so that the total force is zero. From Figure 1 we observe that 1 B v r r $\times$ lies in the plane of the paper and points from bottom to top; thus, the electric field 1 E r must point from top to bottom, and its magnitude must equal the product 1 B v

1 1 B v E =

$\Rightarrow$ m/s 10 0 3 4 1 1 $\cdot$

= , B E v

c) In region 2, ions move in a magnetic field 2 B , thus experiencing a force perpendicular to their direction of motion, which provides them with centripetal acceleration and causes them to undergo circular motion with radius R.

( ) B v q F r r r $\times$

$\Rightarrow$ R v m B v q F 2 2 =

$\Rightarrow$ 2 B R v m q =

Since in this region only ions with velocity 1 1 B / E v = (part b) enter, we can conclude that 2 1 1 B B R E m q =

d) Solving for the radius R in the previous expression 2 1 1 B B q E m R =

which can be evaluated for the three magnesium isotopes, 24Mg+, 25Mg+, and 26Mg+.

Since the circular trajectories are not concentric but tangent at the entrance slit in region 2), the separation between the lines of two isotopes is twice the difference in radii of their trajectories. Moreover, since m(24Mg+) = 24 u; m(25Mg+) = 25 u and m(26Mg+) = 26 u, we obtain that the separation $\Delta$ between the line of isotope 24Mg+ and that of 25Mg+ is

mm 2 1 2 2 1 1 , B B q E u

= $\Delta$

The same distance $\Delta$ exists between the line of 26Mg+ and that of 25Mg+. Consequently, the distance $\Delta$’ between the line of 26Mg+ and that of 24Mg+ will be

mm 4 2 2 , ’

= $\Delta$ $\Delta$

spettrometro Bainbridge con camere e B