Problema experimental. Emulando a Galileo
Galileo Galilei es universalmente considerado uno de los padres de la Ciencia moderna. De entre sus múltiples aportaciones en Astronomía, Matemáticas y Física, vamos a recordar aquí sus estudios experimentales sobre la trayectoria que describe un cuerpo en caída libre.
Por ejemplo, en un manuscrito de 1608 aparece la gráfica de la figura 1, en la que anotó los alcances horizontales de una bolita que caía libremente una cierta altura, para diversos valores de la velocidad inicial horizontal.
A partir de estudios experimentales de este tipo para varias alturas de caída, Galileo dedujo que, si la fricción con el aire es despreciable, la distancia recorrida en horizontal es proporcional al tiempo de vuelo, es decir que la componente horizontal de la velocidad es constante (equivalente a la Ley de Inercia). También comprobó que, para velocidad inicial horizontal, la distancia recorrida en vertical es proporcional al cuadrado del tiempo. Componiendo ambos movimientos, Galileo demostró que la trayectoria de la caída es parabólica.
Los métodos e instrumentos que empleó Galileo para medir distancias y tiempos fueron rudimentarios, aunque notablemente precisos. Con medios más modernos, podríamos emular a Galileo y estudiar experimentalmente una caída libre de la siguiente forma:
Lanzamos una bolita por una mesa horizontal y grabamos lateralmente con una cámara de video de “alta velocidad” su caída al suelo tras abandonar la mesa. Posteriormente extraemos imágenes grabadas a intervalos de tiempo regulares , partiendo del instante en que la bolita abandona la mesa y comienza su caída libre. En la figura 2 se presentan estas imágenes superpuestas. Se ha tomado origen de coordenadas, , en el centro de la bolita en su posición inicial de caída, justo cuando abandona la mesa, eje horizontal y paralelo a la velocidad inicial de movimiento, , y eje vertical.
(a) Midiendo con una regla sobre la figura 2 y teniendo en cuenta la escala indicada en ella, construye una tabla con los valores de , e en las sucesivas posiciones de la bolita. Añade en otra columna los valores de , que necesitarás más adelante.
(b) Determina, con la mayor precisión posible, el valor de .
(c) En una gráfica con en abscisas e en ordenadas, dibuja los puntos correspondientes y obtén la pendiente de la recta que, pasando por el origen, mejor se ajusta a dichos puntos.
(d) Deduce el valor de la aceleración de la gravedad, , y haz una estimación de su incertidumbre, .
(e) Si la altura de la mesa es , calcula el alcance del tiro parabólico, es decir la final en el instante del impacto de la bolita con el suelo (supuesta de radio despreciable). Calcula la incertidumbre del alcance debida a la incertidumbre obtenida en el apartado anterior.
(f) Hasta ahora hemos dado por supuesto que, durante la caída, es proporcional a . Pero Galileo no lo sabía a priori. Intentando de nuevo emular su trabajo, planteemos la hipótesis de que nuestros datos experimentales se ajustan a una dependencia de la forma donde tanto la constante como el exponente son desconocidos. ¿Cómo podría demostrarse que la hipótesis es correcta, y que el mejor ajuste corresponde a ? (Es suficiente con que expliques el método que propones; no es necesario que lo apliques a los datos)
Galileo 1608 manuscript horizontal ranges
Superimposed video frames of projectile motion
Topic: Newtonian Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Kinematic Equations, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Projectile, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.2
Il problema sperimentale. Emulando Galileo
Galileo Galilei è universalmente considerato uno dei padri della scienza moderna. Tra i suoi numerosi contributi in astronomia, matematica e fisica, ricordiamo qui i suoi studi sperimentali sul percorso che descrive un corpo in caduta libera.
Ad esempio, in un manoscritto del 1608 appare la grafica della figura 1, in cui annotò gli ambiti orizzontali di una pallina che cadeva liberamente una certa altezza, per vari valori della velocità iniziale orizzontale.
Da studi sperimentali di questo tipo per vari alti di caduta, Galileo ha dedotto che, se la frizione con l’aria è scarsa, la distanza percorsa in orizzontale è proporzionale al tempo di volo, cioè che la componente orizzontale della velocità è costante (equivalente alla legge di inerzia). Ha anche verificato che, per velocità iniziale orizzontale, la distanza percorsa in verticale è proporzionale al quadrato del tempo. Con i due movimenti, Galileo ha dimostrato che la traiettoria della caduta è parabolica.
I metodi e gli strumenti che Galileo impiegò per misurare distanze e tempi furono rudimentali, sebbene notevolmente precisi. Con mezzi più moderni, potremmo imitarlo e studiare sperimentalmente una caduta libera in questo modo:
Lanciamo una pallina su un tavolo orizzontale e la reggiamo lateralmente con una videocamera ad alta velocità, quando cade al pavimento dopo aver lasciato il tavolo. Successivamente, si estrae immagini registrate a intervalli di tempo regolari , partendo dall’istante in cui la pallina lascia il tavolo e inizia la sua caduta libera. La figura 2 presenta queste immagini sovrapposte. Le coordinate sono state prese al centro della pallina nella sua posizione iniziale di caduta, proprio quando lascia la tavola, l’asse orizzontale e parallela alla velocità iniziale di movimento, , e l’asse verticale.
(a) Misurando con una regola sulla figura 2 e tenendo conto della scala indicata in essa, costruisce una tabella con i valori di , e nelle successive posizioni della pallina. Aggiungi in un’altra colonna i valori che ti serviranno più avanti.
(b) Determina con la massima precisione possibile il valore di .
(c) In un grafico con in abscissi e in ordinati, disegni i punti corrispondenti e ottieni la pendice della retta che, passando per l’origine, si adatta meglio a tali punti.
(d) Detraggete il valore dell’accelerazione della gravità, , e fate un’estimazione della sua incertezza, .
Se la altezza del tavolo è , calcola la portata del tiro parabolico, cioè il finale all’istante dell’impatto della pallina sul suolo (supposizione di radio scadente). Calcola l’incertezza di portata dovuta all’incertezza ottenuta nel precedente paragrafo.
(f) Finora abbiamo ipotizzato che, durante il calo, è proporzionale a . Ma Galileo non lo sapeva a priori. Cercando di riimitarne il lavoro, supponiamo che i nostri dati sperimentali si adattino ad una dipendenza da dove sia la costante che l’esponente sono sconosciuti. Come si potrebbe dimostrare che l’ipotesi è corretta e che il miglior aggiustamento corrisponde a ? (Sifficiente che spieghi il metodo che proponi; non è necessario applicarlo ai dati)
Galileo 1608 manuscritto orizzontale ranges
Superimposed video frames of projectile motion
Topic: Newtonian Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Kinematic Equations, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Projectile, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.2
Experimental Problem. Emulating Galileo
Galileo Galilei is universally regarded as one of the fathers of modern science. Among his numerous contributions in Astronomy, Mathematics, and Physics, we recall here his experimental studies on the trajectory described by a body in free fall.
For example, in a 1608 manuscript appears the graph of Figure 1, where he recorded the horizontal ranges achieved by a small ball falling freely from a certain height, for various values of initial horizontal velocity.
Based on experimental studies of this type carried out at different fall heights, Galileo deduced that, if air friction is negligible, the horizontal distance traveled is proportional to the flight time—meaning that the horizontal component of velocity remains constant (equivalent to the Law of Inertia). He also verified that, for zero initial horizontal velocity, the vertical distance traveled is proportional to the square of time. By combining both motions, Galileo demonstrated that the trajectory of free fall is parabolic.
The methods and instruments employed by Galileo to measure distances and times were rudimentary, although remarkably precise. With more modern tools, we could emulate Galileo and experimentally study a free fall as follows:
We launch a small ball across a horizontal table and record its fall to the ground laterally using a high-speed video camera. Subsequently, we extract images captured at regular time intervals , starting from the instant when the ball leaves the table and begins free fall. Figure 2 shows these images superimposed. The origin of coordinates, , has been placed at the center of the ball in its initial falling position, exactly when it leaves the table; the axis is horizontal and parallel to the initial velocity, , and the axis is vertical.
(a) By measuring with a ruler on Figure 2 and considering the scale indicated in it, construct a table with values of , , and at successive positions of the ball. Add in another column the values of , which you will need later.
(b) Determine, with the highest possible precision, the value of .
(c) On a graph with on the abscissa and on the ordinate, plot the corresponding points and determine the slope of the straight line passing through the origin that best fits these points.
(d) Deduce the value of gravitational acceleration, , and estimate its uncertainty, .
(e) If the height of the table is , calculate the range of the projectile motion, that is, the final at the instant when the ball hits the ground (assumed to have negligible radius). Calculate the uncertainty in the range due to the uncertainty obtained in the previous subsection.
(f) So far we have assumed that, during the fall, is proportional to . But Galileo did not know this a priori. Attempting again to emulate his work, let us suppose that our experimental data fit a dependence of the form where both the constant and the exponent are unknown. How could one demonstrate that this hypothesis is correct, and that the best fit corresponds to ? (It is sufficient to explain the method you propose; it is not necessary to apply it to the data.)
Galileo 1608 manuscript horizontal ranges
Superimposed video frames of projectile motion