Spagna 2012

P1.- Cambio de órbita de un satélite artificial.

Un satélite artificial, de masa $M$ , describe una órbita circular a una altura $h$ sobre la superficie de la Tierra.

a) Deduce la expresión del módulo de la velocidad del satélite, $V_{1}$ , y calcula su valor, así como el de su periodo de revolución, $T$ .

Cuando el satélite se encuentra en la posición indicada en la figura 1.a, mediante un motor cohete que se acciona durante un breve intervalo de tiempo, se incrementa el módulo de su velocidad un $0, 250%$ , manteniendo su dirección y sentido, es decir $V_{2} = α V_{1}$ con $α = 1, 0025$ . Como consecuencia, el satélite cambia de la órbita circular inicial a la órbita elíptica de la figura 1.b, cuyo apogeo es el punto $A$ .

b) Deduce las expresiones del módulo de la velocidad, $V_{A}$ , y de su altura sobre la superficie de la Tierra, $h_{A}$ , en el apogeo $A$ , y calcula sus valores.

Tal como se ha dicho anteriormente, para pasar a la órbita elíptica se acciona el motor cohete que quema rápidamente una masa de combustible $Δ m = M /50$ . Los gases de la combustión se expulsan en dirección paralela a la velocidad del satélite y en sentido opuesto, con una velocidad de módulo $v_{J}$ , relativa al satélite en su órbita circular inicial. El proceso está representado en la figura 2.

c) Determina $v_{J}$ para que la velocidad del satélite en el inicio de la órbita elíptica sea la $V_{2}$ indicada, y calcula su valor.

Datos:

Radio de la Tierra: $R_{T} = 6, 37 \times 1 0^{6} m$
Aceleración de la gravedad: $g = 9, 81 m/s^{2}$
Masa del satélite con su combustible: $M = 1, 25 \times 1 0^{3} kg$
Altura del satélite en el inicio del cambio de órbita: $h = 2, 80 \times 1 0^{5} m$

Circular and elliptic satellite orbits Fig 1a 1b

Rocket firing impulse diagram Fig 2

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Conservation of Momentum Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1.- Cambiamento di orbita di un satellite artificiale.

Un satellite artificiale, di massa $M$ , descrive un’orbita circolare ad un’altezza $h$ sulla superficie terrestre.

**a) ** Deduce l’espressione del modulo di velocità del satellite, $V_{1}$ , e calcola il suo valore, nonché quello del suo periodo di rivoluzione, $T$ .

Quando il satellite è nella posizione indicata nella figura 1.a, mediante un motore di razzo che si attiva per un breve intervallo di tempo, il modulo di velocità è aumentato di un $0, 250%$ , mantenendo la sua direzione e senso, cioè $V_{2} = α V_{1}$ con $α = 1, 0025$ . Di conseguenza, il satellite passa dall’orbita circolare iniziale all’orbita elliptica della figura 1.b, il cui punto di culmine è $A$ .

**b) ** Deduce le espressioni del modulo di velocità, $V_{A}$ , e della sua altezza sulla superficie terrestre, $h_{A}$ , all’apoggio $A$ , e ne calcola i valori.

Come già detto, per passare in orbita elliptica si attiva il motore della razza che brucia rapidamente una massa di combustibile $Δ m = M /50$ . I gas di combustione sono espulsi in direzione parallela alla velocità del satellite e in direzione opposta, con una velocità modulare $v_{J}$ relativa al satellite nella sua orbita circolare iniziale. Il processo è rappresentato nella figura 2.

**c) ** Determina $v_{J}$ affinché la velocità del satellite all’inizio dell’orbita elliptica sia la $V_{2}$ indicata, e calcola il suo valore.

**Dati: **

Radio della Terra: $R_{T} = 6, 37 \times 1 0^{6} m$
Accelerazione gravitatoria: $g = 9, 81 m/s^{2}$
Massa del satellite con il suo combustibile: $M = 1, 25 \times 1 0^{3} kg$
Altitudine del satellite all’inizio del cambio di orbita: $h = 2, 80 \times 1 0^{5} m$

Orbit circolari ed ellittici satellitari Fig 1a 1b

Rocket firing impulse diagramma Fig 2

P1.- Cambio de órbita de un satélite artificial.

An artificial satellite, with a mass of $M$ , describes a circular orbit at a height $h$ above the Earth’s surface.

**a) ** Subtracts the expression of the satellite’s speed module, $V_{1}$ , and calculates its value, as well as its revolution period, $T$ .

Cuando el satélite se encuentra en la posición indicada en la figura 1.a, mediante un motor cohete que se acciona durante un breve intervalo de tiempo, se incrementa el módulo de su velocidad un $0, 250%$ , manteniendo su dirección y sentido, es decir $V_{2} = α V_{1}$ con $α = 1, 0025$ . As a consequence, the satellite changes from the initial circular orbit to the elliptical orbit in Figure 1.b, the apex of which is the point $A$ .

**b) ** Subtracts the expressions of the speed module, $V_{A}$ , and its height above the Earth’s surface, $h_{A}$ , at the apex $A$ , and calculates their values.

As mentioned above, to pass into elliptical orbit the rocket engine is activated which burns a fuel mass $Δ m = M /50$ rapidly. The combustion gases are ejected in a direction parallel to the satellite’s speed and in the opposite direction, at a module speed $v_{J}$ , relative to the satellite in its initial circular orbit. The process is shown in Figure 2.

**c) ** Determine $v_{J}$ so that the speed of the satellite at the start of the elliptical orbit is the $V_{2}$ indicated, and calculate its value.

Datos:

Radio of the Earth: $R_{T} = 6, 37 \times 1 0^{6} m$
Acceleration by gravity: $g = 9, 81 m/s^{2}$
Mass of the satellite with its fuel: $M = 1, 25 \times 1 0^{3} kg$
Satellite altitude at the start of the change of orbit: $h = 2, 80 \times 1 0^{5} m$

Circular and elliptic satellite orbits Fig 1a 1b

Rocket firing impulse diagram Fig 2

P2.- (I) La ósmosis y la presión osmótica.

El fenómeno físico de la ósmosis se explica fácilmente mediante un ejemplo. Consideremos dos recipientes abiertos a la atmósfera y conectados en su base a través de una membrana semipermeable (figuras 1.a, 1.b, 1.c). El recipiente 1 contiene una disolución de una sustancia $B$ (soluto) en un líquido $A$ (disolvente), con una concentración $C_{1}$ . El recipiente 2 contiene la misma disolución, pero con una concentración mayor: $C_{2} > C_{1}$ . Los poros de la membrana semipermeable tienen mayor tamaño que las moléculas del disolvente $A$ , pero menor que las del soluto $B$ , por lo que sólo el disolvente puede fluir en ambos sentidos a través de la membrana. El fenómeno de la ósmosis consiste en el paso de disolvente de la región de menor concentración a la de mayor, tendiendo a igualar las concentraciones. Como consecuencia, el nivel de la disolución en el compartimento 2 asciende paulatinamente hasta llegar a un estado de equilibrio en el que la diferencia de niveles entre ambos compartimentos alcanza una altura determinada, $h$ .

Dicha presión osmótica $Π$ puede definirse como la diferencia de presión hidrostática que debe haber entre los dos lados de una membrana semipermeable para detener el flujo de disolvente. La relación de Van’t Hoff para disoluciones diluidas es:

$Π = (C_{2} - C_{1}) R T$

donde $R = 8, 3145 J/(mol\cdotK)$ y $T$ es la temperatura absoluta.

Datos: La savia de un arce contiene el $1%$ en masa de sacarosa en agua; la masa molecular de la sacarosa es $342 g/mol$ ; la densidad de la disolución es $ρ = 1, 0 \times 1 0^{3} kg/m^{3}$ ; la temperatura es $T = 300 K$ . Calcula:

I.a) La concentración de la disolución de sacarosa en agua, expresada en $mol/m^{3}$ .

I.b) La presión osmótica.

I.c) La altura que puede alcanzar la savia en los arces.

(II) Ósmosis inversa.

Si en el recinto con mayor concentración de soluto se aumenta la presión por encima de la presión osmótica, el disolvente pasará a través de la membrana semipermeable hacia la región de concentración menor. Este fenómeno, conocido como ósmosis inversa, tiene aplicaciones en desalinización de agua marina.

Supongamos que a una temperatura de $300 K$ se desea desalinizar $1 m^{3}$ de agua de mar, con una concentración de $5, 8 g$ de sal (NaCl) por litro de agua. La masa molecular de la sal es $58 g/mol$ .

II.a) Admitiendo que la sal disuelta está completamente disociada en sus iones $Na^{+}$ y $Cl^{-}$ y que ni uno ni otro pueden atravesar la membrana, calcula la presión osmótica de la disolución. Ten en cuenta que la presión osmótica es una propiedad coligativa, es decir, es proporcional al número total de partículas disueltas.

II.b) Supongamos que la presión que se ejerce mediante el émbolo es prácticamente igual a la presión osmótica. Calcula el trabajo que hay que realizar para desalinizar $1 m^{3}$ de agua de mar.

II.c) El precio del $kW\cdoth$ eléctrico es de $0, 142 €$ . ¿Cuánto cuesta desalinizar $1 m^{3}$ de agua de mar?

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Container, Membrane Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2.- (I) La ósmosis y la presión osmótica.

Il fenomeno fisico dell’osmosi si spiega facilmente con un esempio. Considerate due recipienti aperti all’atmosfera e collegati alla base attraverso una membrana semipermeable (Figure 1.a, 1.b, 1.c). Il contenitore 1 contiene una soluzione di una sostanza $B$ (soluto) in un liquido $A$ (solvente), con una concentrazione $C_{1}$ . Il contenitore 2 contiene la stessa soluzione, ma con una concentrazione superiore: $C_{2} > C_{1}$ . I pori della membrana semipermeable sono più grandi delle molecole del solvente $A$ , ma più piccoli di quelli del solvente $B$ , quindi solo il solvente può fluire in entrambe le direzioni attraverso la membrana. Il fenomeno dell’osmosi consiste nel passaggio di solvente dalla regione di concentrazione inferiore a quella di concentrazione maggiore, tendendo ad eguagliare le concentrazioni. Di conseguenza, il livello di dissoluzione nel comparto 2 aumenta gradualmente fino a raggiungere uno stato di equilibrio in cui la differenza di livelli tra i due comparti raggiunge una determinata altezza, $h$ .

Tale pressione osmotica $Π$ può essere definita come la differenza di pressione idrostatica che deve esserci tra i due lati di una membrana semipermeable per fermare il flusso di solvente. Il rapporto di Van’t Hoff per le soluzioni diluite è:

$Π = (C_{2} - C_{1}) R T$

dove $R = 8, 3145 J/(mol\cdotK)$ e $T$ è la temperatura assoluta.

Dati: Il sapone di un arzio contiene $1%$ in massa di sacarosio in acqua; la massa molecolare del sacarosio è $342 g/mol$ ; la densità della soluzione è $ρ = 1, 0 \times 1 0^{3} kg/m^{3}$ ; la temperatura è $T = 300 K$ . Calcola:

**I.a) ** La concentrazione di succhuro soluto in acqua, espressa in $mol/m^{3}$ .

**I.b) ** La pressione osmotica.

**I.c) ** La altezza raggiunta dalla sapone negli arci.

(II) Osmosi inversa.

Se nell’ambiente con maggiore concentrazione di soluto si aumenta la pressione sopra la pressione osmotica, il solvente passerà attraverso la membrana semipermeable verso la regione di concentrazione inferiore. Questo fenomeno, noto come osmosi inversa, ha applicazioni nel disalinizzamento dell’acqua marina.

Supponiamo che a una temperatura di $300 K$ si desidera desalinizzare $1 m^{3}$ di acqua di mare, con una concentrazione di $5, 8 g$ di sale (NaCl) per litro d’acqua. La massa molecolare del sale è $58 g/mol$ .

**II.a) ** Per calcolare la pressione osmotica della dissoluzione, si deve considerare che il sale dissoluto sia completamente dissociato nei suoi ioni $Na^{+}$ e $Cl^{-}$ e che nessuno dei due sia in grado di attraversare la membrana. Si noti che la pressione osmotica è una proprietà coligativa, cioè proporzionale al numero totale di particelle dissolte.

**II.b) ** Supponiamo che la pressione esercitata attraverso l’imbolo sia praticamente uguale alla pressione osmotica. Calcola il lavoro da svolgere per disalinizzare $1 m^{3}$ acqua di mare.

**II.c) ** Il prezzo del $kW\cdoth$ elettrico è di $0, 142 €$ . ¿Cuánto cuesta desalinizar $1 m^{3}$ de agua de mar?

P2.- (I) La ósmosis y la presión osmótica.

The physical phenomenon of osmosis is easily explained by an example. Consider two containers open to the atmosphere and connected at their base via a semipermeable membrane (Figures 1.a, 1.b, 1.c). Container 1 contains a solution of a substance $B$ (soluble) in a liquid $A$ (soluble), with a concentration $C_{1}$ . Container 2 contains the same solution but with a higher concentration: $C_{2} > C_{1}$ . The pores of the semipermeable membrane are larger than the molecules of the solvent $A$ but smaller than those of the solvent $B$ , so only the solvent can flow in both directions through the membrane. The phenomenon of osmosis consists of the dissolving passage from the region of lower concentration to the region of higher concentration, tending to equalize concentrations. As a result, the level of dissolving in compartment 2 gradually rises to a state of equilibrium where the difference in levels between the two compartments reaches a certain height, $h$ .

Such osmotic pressure $Π$ can be defined as the difference in hydrostatic pressure between the two sides of a semipermeable membrane to stop the flow of solvent. The Van’t Hoff ratio for diluted solutions is:

$Π = (C_{2} - C_{1}) R T$

where $R = 8, 3145 J/(mol\cdotK)$ and $T$ is the absolute temperature.

Data: A maple syrup contains $1%$ in sucrose mass in water; the molecular mass of sucrose is $342 g/mol$ ; the density of the solution is $ρ = 1, 0 \times 1 0^{3} kg/m^{3}$ ; the temperature is $T = 300 K$ . Calculate:

**I.a) ** The concentration of sucrose dissolved in water, expressed in $mol/m^{3}$ .

I.b) La presión osmótica.

**I.c) ** The height at which the sap can reach in the maple.

(II) Ósmosis inversa.

If the pressure above the osmotic pressure is increased in the compound with the highest solute concentration, the solvent will pass through the semipermeable membrane to the lower concentration region. This phenomenon, known as reverse osmosis, has applications in seawater desalination.

Suppose at a temperature of $300 K$ $1 m^{3}$ of seawater is desalinated with a concentration of $5, 8 g$ of salt (NaCl) per litre of water. The molecular mass of the salt is $58 g/mol$ .

**II.a) ** Assuming that the dissolved salt is completely dissociated into its $Na^{+}$ and $Cl^{-}$ ions and that neither can pass through the membrane, the osmotic pressure of the solution is calculated. Note that osmotic pressure is a coligative property, i.e. it is proportional to the total number of dissolved particles.

**II.b) ** Suppose the pressure exerted by the embolism is practically equal to the osmotic pressure. Calculate the work to be done to desalinate $1 m^{3}$ seawater.

II.c) El precio del $kW\cdoth$ eléctrico es de $0, 142 €$ . ¿Cuánto cuesta desalinizar $1 m^{3}$ de agua de mar?

P3.- Refracción de olas.

Cuando las aguas en las que se propagan son poco profundas (profundidad mucho menor que la longitud de onda), la velocidad de propagación de las olas depende de la profundidad $h$ según la gráfica de la figura 1.

Supón que el fondo marino es irregular, como el representado en la figura 2, en el que hay tres regiones de profundidades $h_{1} = 2, 0 m$ , $h_{2} = 1, 0 m$ , y $h_{3} = 3, 0 m$ , con fronteras rectas y paralelas.

Considera que las olas son ondas planas y que su dirección de propagación (rayo) en la región 1 alcanza la región 2 con un ángulo de incidencia $θ_{1} = 25°$ . Véase la figura 3, que representa una vista aérea del mar.

a) Determina las direcciones de propagación de las olas en las regiones 2 y 3, es decir los ángulos respecto a la normal $θ_{2}$ y $θ_{3}$ .

b) ¿Cuál es el valor mínimo del ángulo de incidencia en la región 1, $θ_{L}$ , para el cual no existen olas en la región 3?

En los litorales en los que la profundidad del fondo marino disminuye progresivamente con una pendiente suave (como la playa de la figura 4), se observa que la dirección final de propagación de las olas es perpendicular a la línea de litoral.

c) Basándote en el resultado del apartado (a), haz un razonamiento para justificar que la dirección de propagación de las olas que llegan a la playa es perpendicular a la línea del litoral.

Seabed cross-section and aerial wave-ray diagram

Beach photograph waves perpendicular to shore

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics, Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Wave Equation, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.8

P3.- Rifrazione delle onde.

Quando le acque in cui si diffondono sono poco profonde (profondità molto inferiore alla lunghezza d’onda), la velocità di diffusione delle onde dipende dalla profondità $h$ secondo il grafico di Figura 1.

Supponiamo che il fondo marino sia irregolare, come quello rappresentato nella figura 2, in cui ci sono tre regioni di profondità $h_{1} = 2, 0 m$ , $h_{2} = 1, 0 m$ e $h_{3} = 3, 0 m$ , con confini retti e paralleli.

Considera che le onde siano onde piane e che la loro direzione di diffusione (l’orraggio) nella regione 1 raggiunga la regione 2 con un angolo di incidenza $θ_{1} = 25°$ . Si veda la figura 3, che rappresenta una vista aerea del mare.

**a) ** Determina le direzioni di diffusione delle onde nelle regioni 2 e 3, cioè gli angoli rispetto alla norma $θ_{2}$ e $θ_{3}$ .

**b) ** Qual è il valore minimo dell’angolo di incidenza nella regione 1, $θ_{L}$ , per il quale non esistono onde nella regione 3?

In quelle coste in cui la profondità del fondo marino diminuisce progressivamente con una pendice morbida (come la spiaggia di figura 4), si osserva che la direzione finale di diffusione delle onde è perpendicolare alla linea costiera.

**c) ** Sulla base del risultato di cui al paragrafo (a), ragionare per giustificare che la direzione di diffusione delle onde che arrivano sulla spiaggia sia perpendicolare alla linea di costa.

Seabed cross-section and aerial wave-ray diagram

Beach photograph waves perpendicular to shore

The following conditions shall apply:

When the waters in which they propagate are shallow (depth much shorter than wavelength), the speed of propagation of the waves depends on the depth $h$ as shown in Figure 1.

Assume that the seabed is irregular, as shown in Figure 2, in which there are three regions of depths $h_{1} = 2, 0 m$ , $h_{2} = 1, 0 m$ , and $h_{3} = 3, 0 m$ , with straight and parallel borders.

Consider that the waves are flat waves and that their direction of propagation (ray) in region 1 reaches region 2 with an angle of incidence $θ_{1} = 25°$ . See Figure 3, which shows aerial views of the sea.

**a) ** Determines the direction of propagation of waves in regions 2 and 3, i.e. the angles with respect to the normal $θ_{2}$ and $θ_{3}$ .

**b) ** What is the minimum angle of incidence in region 1, $θ_{L}$ for which no waves exist in region 3?

On shorelines where the depth of the seabed decreases gradually with a gentle slope (such as the beach in Figure 4), it is observed that the final direction of wave propagation is perpendicular to the shoreline.

**c) ** Based on the result of paragraph (a), make a reasoning to justify that the direction of propagation of the waves reaching the beach is perpendicular to the coastline.

The following information shall be provided:

Beach photograph waves perpendicular to shore

Raccolta Gare di Fisica

Esplora

Spagna 2012

Vista grafico