Spagna 2012 — 2012 soluciones_11_12.pdf

Fonte: gare di altri paesi/Spagna/Samanca-locali/2012 soluciones_11_12.pdf · Apri PDF · apri PDF p.1 Cluster: Meccanica

Problema 1

1. Sin campo eléctrico ($\vec{E}=0$): a. Ver esquema de la derecha. b. Unidad: $\text{Pa}\cdot \text{s}=\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-1}$ c. $F_v=F_g\Rightarrow 6\pi R\eta v_g=\frac{4}{3}\pi R^3\rho g$

   $\eta =\frac{2R^2\rho g}{9v_g}=17,4\mu \text{Pa}\cdot \text{s}$

2. Con campo eléctrico ($\vec{E}=-808\text{kV/m}\vec{ȷ}$): a. $q<0$. b. $F_g+F_v=F_e=qE$

   $F_g=\frac{4}{3}\pi R^3\rho g=3,02\times 10^{-13}\text{N}$

   $F_v=6\pi R\eta v_e=8,53\times 10^{-14}\text{N}$

   $q=\frac{F_g+F_v}{E}=4,79\times 10^{-19}\text{C}=3e$

3. Gota suspendida en el aire a. $F_g=F_e=qE\Rightarrow E=\frac{F_g}{q}=630\text{kV/m}$ b. $V=Ed=3,15\text{kV}$.

${\vec{F}}_v$

${\vec{F}}_g$

${\vec{F}}_e$

${\vec{F}}_g$

${\vec{F}}_v$

Topic: Electrostatics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Coulomb’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 2

a. Aplicamos conservación de la energía $E_i=E_f$:

$\text{Energıˊa:}{E}_i=E_f=mgh=1,48\times 10^{-7}\text{J}.$

$U_e=0,75E_i=1,11\times 10^{-7}\text{J}.$

b. Movimiento uniformemente acelerado en la dirección $y$:

$v_{fy}^2-v_{iy}^2=2gh\Rightarrow v_{iy}=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 0,07}=1,17\text{m/s}$

$v_i=\frac{v_{iy}}{\mathrm{sen}60^{\circ }}=1,35\text{m/s}$

c. $E_L=E_T\Rightarrow m{g}_T{h}_T=m{g}_L{h}_L\Rightarrow h_L=\frac{g_T}{g_L}{h}_T$

$g=\frac{GM}{R^2}\Rightarrow \frac{g_T}{g_L}=\frac{M_T}{M_L}{\left(\frac{R_L}{R_T}\right)}^2=81\cdot \frac{1}{4^2}=5,06$

$h_L=\frac{g_T}{g_L}{h}_T=5,06\cdot 70=354\text{mm}$

Topic: Conservation of Energy, Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Energy Conservation Method, Kinematic Equations, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 3

Llamemos a las dos posiciones (1) y (2):

Llamemos $g_1$ ($g_0$) al valor de la constante gravitatoria en la parte de arriba (abajo) de la cuerda.

En (1): $m_1{g}_0+M_1{g}_1=m_2{g}_1+M_2{g}_0$

En (2): $m_1{g}_1+M_1{g}_0=(M_2+\mu )g_1+m_2{g}_0$

Restando ambas ecuaciones se obtiene $(M_1-m_1)(g_1-g_0)=(M_2-m_2)(g_0-g_1)-\mu g_1$

Despejando:

$\frac{g_0-g_1}{g_1}=\frac{\mu }{M_1+M_2-m_1-m_2}\approx \frac{\mu }{M_1+M_2}=6,5\times 10^{-6}$

Aplicando la ley de gravitación universal de Newton:

$\frac{g_0-g_1}{g_1}=\frac{(R_T+h{)}^2}{R_T^2}-1={\left(1+\frac{h}{R_T}\right)}^2-1\approx \frac{2h}{R_T}=6,6\times 10^{-6}$

$\frac{\mu }{2M}=6,5\times 10^{-6}$

Conclusión: tuvo bastante éxito.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 4

El campo que crea cada carga será (dirigido a lo largo de la línea que une cada carga con el punto P):

$E_1=E_5=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2+4d^2}{E}_2=E_4=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{(-q)}{r^2+d^2}{E}_3=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}$

Si escribimos el campo en términos de componente horizontal y vertical, la carga 3 crea sólo un campo horizontal, mientras que por la simetría los campos verticales de las cargas 1 y 5 se anulan, y también los de las cargas 2 y 4; de modo que no hay componente vertical.

En cuanto a la componente horizontal, las cargas 1 y 5 crean la misma componente horizontal, de valor

$E_1\cos {\theta }_1=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2+4d^2}\frac{r}{\sqrt{r^2+4d^2}}$

Lo mismo ocurre con las cargas 2 y 4, cuya componente horizontal es

$E_2\cos {\theta }_2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{(-q)}{r^2+d^2}\frac{r}{\sqrt{r^2+d^2}}$

De modo que el campo total horizontal será

$E_h=E_3+2E_1\cos {\theta }_1+2E_2\cos {\theta }_2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}q\left[\frac{1}{r^2}-\frac{2r}{(r^2+d^2{)}^{\frac{3}{2}}}+\frac{2r}{(r^2+4d^2{)}^{\frac{3}{2}}}\right]$

Cuando $r$ es comparable con $d$ esta fórmula es la adecuada. Sin embargo, si $r$ es mucho mayor que $d$, los términos de $r$ predominan en los denominadores y entonces el campo será

$E_h=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}q\left[\frac{1}{r^2}-\frac{2}{r^2}+\frac{2}{r^2}\right]=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

Interpretación: a distancias largas el conjunto de cargas se comporta como una carga puntual de valor igual a la carga neta del conjunto $q$.

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Superposition Principle, Approximation & Series Expansion, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.4