UK 2012

Q2.

(a) The circuit in Figure 2.a consists of a DC voltage $E$, a 1.0 ohm load, a 12 V battery with a 0.40 ohm and a 0.20 ohm resistor.

(i) At what value of $E$ does the battery begin to charge?

(ii) What fraction of the power is delivered to the load by the voltage supply $E$ when the charging current is zero?

(iii) What is the current through the battery when $E=20$ V? [8]

(b) In the circuit in Figure 2.b, with the specified resistors and currents $i_1,\dots ,i_6$, and with a pd of $V$ across AB:

(i) Determine relations between the currents by reversing $V$ and using symmetry considerations, or otherwise.

(ii) Deduce the total resistance across AB.

(iii) Determine the magnitudes of the currents in terms of $V$. [12]

(iv) If the voltage is now applied across CD determine, by redrawing the circuit in a similar form to Figure 2.b, with CD as the base, the resistance across CD.

(v) Redraw the circuit with AC as the base. Explain why the resistance across AC cannot be calculated in terms of resistances in series and/or parallel.

Figure 2.a: battery circuit with load

Figure 2.b: resistor network with currents

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Battery, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.3

Q2.

**(a) ** Il circuito di cui alla figura 2.a è costituito da una tensione di corrente continua $E$, un carico di 1,0 ohm, una batteria da 12 V con una resistenza di 0,40 ohm e una resistenza di 0,20 ohm.

**(i) ** A quale valore di $E$ la batteria inizia a caricare?

**(ii) ** Quale frazione della potenza viene fornita al carico dalla fonte di tensione $E$ quando la corrente di carica è zero?

**(iii) ** Qual è la corrente attraverso la batteria quando $E=20$ V? [8]

**(b) ** Nel circuito di cui alla figura 2.b, con le resistenze e correnti specificate $i_1,\dots ,i_6$, e con un pd di $V$ su AB:

**(i) ** Determinare le relazioni tra le correnti invertendo $V$ e utilizzando considerazioni di simmetria, o altrimenti.

**(ii) ** Riduce la resistenza totale attraverso AB.

**(iii) ** Determinare le magnitudini delle correnti in termini di $V$. [12]

**(iv) ** Se la tensione viene ora applicata su CD, determinare, ridisegnando il circuito in una forma simile alla figura 2.b, con CD come base, la resistenza su CD.

**(v) ** Riduce il circuito con la CA come base. Spiegare perché la resistenza attraverso la CA non può essere calcolata in termini di resistenze in serie e/o parallele.

Figura 2.a: circuito della batteria con carico

Figura 2.b: rete di resistenza con correnti

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Battery, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.3

Q3.

(a) The Earth can be approximated by a perfect homogeneous stationary solid sphere, radius $R_E$. A straight smooth tunnel is drilled along a diameter. Show that a particle, mass $m$, released from the entrance, will perform simple harmonic motion. Determine its period, $T_1$, in terms of $R_E$ and $g$. Hence evaluate $T_1$.

$R_E=6.38\times 10^3$ km [8]

(b) A straight smooth tunnel is drilled through the Earth, in any direction, from any point on the Earth’s surface, not passing through the centre of the Earth. Determine the motion of a particle released from the entrance and obtain its period of oscillation, $T_2$. [5]

(c) Compare the period of a satellite orbit, $T_S$, in very close Earth orbit, with $T_2$. [5]

(d) If the particle is given an increased velocity, when in the middle of the tunnel, what can be deduced about its trajectory when it emerges from the tunnel into space? [2]

Topic: Oscillations & Waves, Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.4

Q3.

**(a) ** La Terra può essere avvicinata da una sfera solida perfetta, omogenea, fermata, di raggio $R_E$. Un tunnel liscio e retto è perforato lungo un diametro. Mostra che una particella, massa $m$, rilasciata dall’ingresso, svolgerà un semplice movimento armonico. Determinare il suo periodo, $T_1$, in termini di $R_E$ e $g$. Per questo, valutare $T_1$.

$R_E=6.38\times 10^3$ km [8]

**(b) ** Un tunnel liscio e retto è perforato attraverso la Terra, in qualsiasi direzione, da qualsiasi punto della superficie terrestre, senza passare attraverso il centro della Terra. Determinare il movimento di una particella rilasciata dall’entrata e ottenere il suo periodo di oscillazione, $T_2$. [5]

**(c) ** Confronta il periodo di un’orbita satellitare, $T_S$, in orbita molto vicina alla Terra, con $T_2$. [5]

Se la particella è data una velocità aumentata, quando è nel mezzo del tunnel, cosa si può dedurre sulla sua traiettoria quando esce dal tunnel nello spazio? [2]

Topic: Oscillations & Waves, Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.4

Q4.

(a) An oil drop of mass $3.3\times 10^{-15}$ kg falls vertically, with uniform velocity, through the air between two vertical parallel plates with zero potential difference that are 3.0 cm apart. Explain this motion. [2]

(b) When a potential difference of $2.0\times 10^3$ V is applied between the plates, the drop is observed to move with uniform velocity at an angle of $45^{\circ }$ to the vertical. Explain this result, with a diagram, indicating the forces acting on the drop, and calculate the charge on the drop. [5]

(c) The path of the drop suddenly changes, becoming inclined at $18.43^{\circ }$ to the vertical. Subsequently the path changes again and is inclined at $33.70^{\circ }$ to the vertical. Explain these results. Deduce from these observations the best estimate of the elementary unit of charge. [6]

(d) The plates are now arranged horizontally, 12 mm apart, with no potential difference. A drop of oil, mass $10^{-14}$ kg, is observed to fall vertically with constant velocity of $4.0\times 10^{-4}$ ms${}^{-1}$. When a pd of 1.5 kV is applied to the plates the drop rises vertically with a velocity of $8.0\times 10^{-5}$ ms${}^{-1}$. How many electrons are present in the drop? [7]

The drop experiences air resistance proportional to its velocity.

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Electric Potential Method, Coulomb’s Law Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Droplet, Capacitor, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.5

Q4.

**(a) ** Una goccia di olio di massa $3.3\times 10^{-15}$ kg cade verticalmente, con velocità uniforme, attraverso l’aria tra due piastre verticali parallele con differenza potenziale zero, distanti di 3,0 cm. Spiega questa mozione. [2]

Quando viene applicata una differenza di potenziale di $2.0\times 10^3$ V tra le piastre, si osserva che la caduta si muove con velocità uniforme in un angolo di $45^{\circ }$ verso la verticale. Spiega questo risultato, con un diagramma, che indica le forze che agiscono sulla caduta, e calcola la carica sulla caduta. [5]

**(c) ** Il percorso della caduta cambia improvvisamente, diventando inclinato a $18.43^{\circ }$ verso la verticale. Successivamente il percorso cambia di nuovo e si inclina a $33.70^{\circ }$ verso la verticale. Spiegate questi risultati. Dalle osservazioni si deduce la migliore stima dell’unità elementare di carica. [6]

Le piastre sono ora disposte orizzontalmente, a 12 mm di distanza, senza differenze potenziali. Si osserva che una goccia di olio di massa $10^{-14}$ kg cade in verticale con una velocità costante di $4.0\times 10^{-4}$ ms${}^{-1}$. Quando viene applicato un pd di 1,5 kV alle lastre, la goccia sale verticalmente con una velocità di $8.0\times 10^{-5}$ ms${}^{-1}$. Quanti elettroni sono presenti nella goccia? [7]

La caduta ha una resistenza all’aria proporzionale alla sua velocità.

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Electric Potential Method, Coulomb’s Law Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Droplet, Capacitor, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.5

Q5.

A soap film, with constant refractive index $\mu =1.45$, is contained within a vertical rectangular wire frame and has a wedge shaped profile, small wedge angle $\phi$, Figure 5.1. The film drains under gravity, being thicker at the bottom than at the top, where the thickness can be considered to be zero. The film is viewed, by reflection, with red and violet light at near normal incidence; the angle of incidence being exceedingly small. Interference results from light reflected from the outer surface and that emerging after reflection at the inner surface of the film. The optical path difference between the two rays can be determined, to a good approximation, by assuming the film is of constant thickness, $t$, in the region of these two reflections, Figure 5.2; $t$ will increase with position down the film. The first violet, wavelength 420 nm, constructive interference band is observed at a distance $x_V=3.0$ cm from the top edge of the film. The wavelength of the red light is 680 nm.

Determine:

(i) the thickness of the film at the lowest order constructive violet interference band, $t_V$. [4]

(ii) the film wedge angle $\phi$ in degrees. [3]

(iii) for the red light, the lowest order constructive interference film thickness, $t_R$, and distance, $x_R$ from the top of the film. [3]

(iv) The soap film drains so that the rate of change of decreases in angle by $8.3\times 10^{-5}$ degrees in one minute. Determine the initial speed, $(\Delta x_V/\Delta t)$, in cm per minute, of the observed violet interference fringe by considering a small time interval, $\Delta t$, in which $\phi$ changes by $\Delta \phi$ and $x_V$ changes by $\Delta x_V$, by first showing $x_V\Delta \phi +\phi \Delta x_V=0$, or otherwise. [10]

Figure 5.1: wedge-shaped soap film in frame

Figure 5.2: optical path difference geometry

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Membrane Fonte: Testo (PDF) — p.6

Q5.

Un film di sapone, con indice di rifrazione costante $\mu =1.45$, è contenuto in un telaio di filo rettangolare verticale e ha un profilo a forma di cucina, angolo di cucina piccolo $\phi$, figura 5.1. Il film si drena sotto la gravità, essendo più spessore in fondo che in cima, dove lo spessore può essere considerato zero. Il film viene visto, per riflessione, con luce rossa e viola ad incidenza quasi normale; l’angolo di incidenza è estremamente piccolo. L’interferenza è il risultato della luce riflessa dalla superficie esterna e che emerge dopo la riflessione sulla superficie interna del film. La differenza di percorso ottico tra i due raggi può essere determinata, con una buona approssimazione, supponendo che il film abbia uno spessore costante, $t$, nella regione di questi due riflessi, figura 5.2; $t$ aumenterà con la posizione lungo il film. La prima viola, lunghezza d’onda 420 nm, fascia di interferenza costruttiva è osservata a una distanza $x_V=3.0$ cm dal bordo superiore del film. La lunghezza d’onda della luce rossa è di 680 nm.

Determinazione:

**(i) ** spessore del film nella fascia di interferenza violetta costruttiva di ordine più basso, $t_V$. [4]

**(ii) ** l’angolo di cucina del film $\phi$ in gradi. [3]

**(iii) ** per la luce rossa, lo spessore del film di interferenza costruttiva di ordine più basso, $t_R$, e la distanza, $x_R$ dalla parte superiore del film. [3]

**(iv) ** Il film di sapone si drena in modo che il tasso di variazione dell’angolo diminuisca di $8.3\times 10^{-5}$ gradi in un minuto. Determinare la velocità iniziale, $(\Delta x_V/\Delta t)$, in cm/minuto, della margine di interferenza viola osservata considerando un piccolo intervallo di tempo, $\Delta t$, in cui $\phi$ cambia di $\Delta \phi$ e $x_V$ cambia di $\Delta x_V$, mostrando prima $x_V\Delta \phi +\phi \Delta x_V=0$, o in altro modo. [10]

Figura 5.1: pellicola di sapone a forma di cucina in telaio

Figura 5.2: geometria della differenza di percorso ottico

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Membrane Fonte: Testo (PDF) — p.6

Q6.

Three small identical steel balls A, B, and C are suspended by vertical threads of equal length from a horizontal support, with their centres in a horizontal line and separated by a small gap. A is raised by a height $h$, with the thread taut, and released. All subsequent collisions are elastic.

(i) When all the balls have mass $M$, determine the subsequent motion of the system and the height to which the centre of C is raised following its first collision. [8]

(ii) When A has mass $M$, B has mass $2M$ and C has mass $3M$, determine the height to which the centre of C is raised after its first collision. [12]

Figure 6.1: three suspended balls A, B, C

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.7

Q6.

Tre piccole sfere di acciaio identiche A, B e C sono sospese da un supporto orizzontale con fili verticali di uguale lunghezza, con i loro centri in linea orizzontale e separati da un piccolo spazio. A è sollevato ad un’altezza $h$, con il filo stretto, e rilasciato. Tutte le collisioni successive sono elastiche.

**(i) ** Quando tutte le palle hanno massa $M$, determinare il successivo movimento del sistema e l’altezza alla quale il centro di C è sollevato dopo la sua prima collisione. [8]

**(ii) ** Quando A ha massa $M$, B ha massa $2M$ e C ha massa $3M$, determinare l’altezza alla quale il centro di C è sollevato dopo la sua prima collisione. [12]

Figura 6.1: tre sfere sospese A, B, C

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.7

Q7.

(a) If the radius of the Earth $R_E=6.38\times 10^3$ km and $g=9.81$ ms${}^{-2}$ is the acceleration of free fall, obtain an expression for the minimum launch speed required to put a satellite into polar orbit, over the poles, and calculate its magnitude. [4]

(b) What is the ratio of the minimum launch speed required to put a satellite into polar orbit, over the poles, to the minimum launch speed for an equatorial orbit, around the equator, when they are in close Earth orbits? [4]

(c) What minimum initial speed must a space probe have if it is to leave the gravitational field of the Earth? [4]

(d) What minimum launch speed is required for a probe to hit the Sun? Neglect the Earth’s gravitational field. [4]

(e) Ignoring the Earth’s gravitational field, what minimum launch speed is required for a probe to leave the solar system? [4]

Distance of the Earth from the Sun, $R_{ES}=1.50\times 10^8$ km

Mass of the Sun, $M_S=1.99\times 10^{30}$ kg

Mass of the Earth, $M_E=5.98\times 10^{24}$ kg

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Kepler’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.8

Q7.

Se il raggio di radio della Terra $R_E=6.38\times 10^3$ km e $g=9.81$ ms${}^{-2}$ è l’accelerazione della caduta libera, si ottiene un’espressione per la velocità minima di lancio necessaria per mettere un satellite in orbita polare, sopra i poli, e calcolare la sua grandezza. [4]

**(b) ** Qual è il rapporto tra la velocità minima di lancio necessaria per mettere un satellite in orbita polare, sopra i poli, e la velocità minima di lancio per un’orbita equatoriale, intorno all’equatore, quando sono in orbite terrestri vicine? [4]

Qual è la velocità iniziale minima che una sonda spaziale deve avere per lasciare il campo gravitazionale della Terra? [4]

Qual è la velocità minima di lancio necessaria per un’onda per colpire il Sole? Lasciate perdere il campo gravitazionale terrestre. [4]

Ignorando il campo gravitazionale terrestre, quale velocità minima di lancio è richiesta per una sonda per lasciare il sistema solare? [4]

Distanza della Terra dal Sole, $R_{ES}=1.50\times 10^8$ km

Massa del Sole, $M_S=1.99\times 10^{30}$ kg

Massa terrestre, $M_E=5.98\times 10^{24}$ kg

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Kepler’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.8

Q8.

(a) A glass prism in the shape of a quarter-cylinder, Figure 8.a, radius $R=5.00$ cm and refractive index $\mu =1.50$, lies on a horizontal table. A uniform horizontal beam of light is incident, from the left, on its vertical plane face.

(i) Where, beyond the cylinder, will the table be illuminated?

(ii) If the horizontal beam is incident from the right, verify that for angles of incidence, on the circular surface, greater than $83.27^{\circ }$, no light will emerge directly from the vertical face of the prism. [10]

(b) Geophysical exploration is being carried out below a horizontal land area, Figure 8.b. The rock directly below ground has depth $h$ and sound travels through it with velocity $V_1$. Below this layer of rock is another layer of rock in which the velocity of sound is $V_2$, with $V_2$ being greater than $V_1$. Sound is reflected and refracted in a similar manner to light.

An explosion on the surface at E is detected by a microphone M on the surface, which is a distance $x$ from E. Sound waves from E can travel directly along the surface rock to M, and also down into the upper region of the lower rock layer as indicated in Figure 8.b, before final refraction and subsequent detection by M.

Determine $x$, in terms of $h$, $V_1$ and $V_2$, if these two waves are to arrive at M simultaneously. [10]

Figure 8.a: quarter-cylinder glass prism

Figure 8.b: seismic refraction geometry

Topic: Geometric Optics, Oscillations & Waves Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.9

Q8.

**(a) ** Un prisma di vetro a forma di quarto cilindro, figura 8.a, di raggio $R=5.00$ cm e di indice di rifrazione $\mu =1.50$, si trova su una tavola orizzontale. Un fascio di luce orizzontale uniforme incide, da sinistra, sulla sua faccia piana verticale.

**i) ** Dove, oltre al cilindro, sarà illuminato il tavolo?

**(ii) ** Se il fascio orizzontale incide da destra, verificare che per gli angoli di incidenza, sulla superficie circolare, superiori a $83.27^{\circ }$, non emerga alcuna luce direttamente dalla faccia verticale del prisma. [10]

**(b) ** L’esplorazione geofisica è effettuata al di sotto di un’area orizzontale, figura 8.b. La roccia direttamente sotto terra ha una profondità $h$ e il suono viaggia attraverso di essa con velocità $V_1$. Sotto questo strato di roccia c’è un altro strato di roccia in cui la velocità del suono è $V_2$, con $V_2$ superiore a $V_1$. Il suono si riflette e si refracta in modo simile alla luce.

Un’esplosione sulla superficie a E viene rilevata da un microfono M sulla superficie, che è una distanza $x$ da E. Le onde sonore provenienti da E possono viaggiare direttamente lungo la roccia superficiale fino a M, e anche verso il basso nella regione superiore dello strato roccioso inferiore come indicato nella figura 8.b, prima della rifrazione finale e della successiva rilevazione da parte di M.

Determinare $x$, in termini di $h$, $V_1$ e $V_2$, se queste due onde devono arrivare contemporaneamente a M. [10]

Figura 8.a: prisma di vetro a quarto cilindro

Figura 8.b: geometria della rifrazione sismica

Topic: Geometric Optics, Oscillations & Waves Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.9