Problema 1 (3 puntos) Una esfera conductora de masa cargada con parte del reposo y es sometida a la acción de un campo eléctrico en la dirección durante un tramo de longitud (zona sombreada de la figura). Bajo la acción del campo la esfera se desplaza sin rozamiento por una superficie horizontal, y a continuación, tras cesar la acción del campo, se encuentra con un plano inclinado como el mostrado en la figura, por el que se desplaza igualmente sin rozamiento. El plano inclinado forma un ángulo con la horizontal. Suponiendo que la esfera se comporta como una partícula puntual, contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el campo eléctrico mínimo que ha de actuar sobre la esfera para que alcance la parte superior del plano inclinado? b) Cuando la esfera es sometida al campo calculado en el apartado anterior, tarda en recorrer el plano inclinado. ¿Cuánto vale el ángulo ? c) ¿A qué distancia del borde vertical del plano inclinado caerá la esfera sobre la superficie horizontal si el campo eléctrico que actúa sobre ella es de ?
24,5 cm 10,0 cm
sfera carica su piano inclinato con campo E
Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Kinematic Equations, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Conducting Sphere, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.1
Problema 1 (3 punti) Una sfera conduttrice di massa caricata con parte del riposo e sottoposta alla azione di un campo elettrico nella direzione per un tratto di lunghezza (zona (Stocco della figura). Sotto l’azione del campo la sfera si sposta senza rottura da una La superficie orizzontale, e poi, dopo aver cessato l’azione del campo, si trova con un piatto inclinato come mostrato nella figura, per il quale si sposta in modo simile senza
- Raggiudicazione. Il piano inclinato forma un angolo con l’orizzontale. Supponiamo che la sfera si comporta come una particella puntuale, risponde alle seguenti domande: (a) Qual è il minimo campo elettrico che deve agire sulla sfera per raggiungere la la parte superiore del piano inclinato? b) Quando la sfera è sottoposta al campo calcolato nel paragrafo precedente, tarda in percorrere il piano inclinato. Quanto vale l’angolo ? c) A che distanza dal bordo verticale del piano inclinato la sfera si precipiterà sulla superficie orizzontale se il campo elettrico che agisce su di essa è ?
24,5 cm 10,0 cm
sfera carica il pianoforte inclinato con campo E
Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Kinematic Equations, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Conducting Sphere, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.1
Problem 1 (3 points) A conductive sphere of mass loaded with resting part and subjected to the The electric field action in the direction over a length of (zone) The figure is shaded. Under the action of the field the sphere moves without a scratch by a The horizontal surface, and then, after the action of the field ceases, it finds a slope plane as shown in Figure, through which it moves equally without The roasting. The slanted plane forms an angle with the horizontal. Assuming the sphere behaves like a point particle, answers the following questions: (a) What is the minimum electric field to be applied to the sphere to reach the the upper part of the slope plane? (b) When the sphere is subjected to the field calculated in the previous paragraph, it takes to traveling the inclined plane. What is the value of the angle ? (c) How far from the vertical edge of the inclined plane will the sphere fall over the surface horizontal if the electric field acting on it is ?
24,5 cm 10,0 cm
sphere loads your piano inclined with field E
Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Kinematic Equations, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Conducting Sphere, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.1
Problema 2 (3 puntos) El Premio Nobel de Física de 1993 fue otorgado a los radioastrónomos R. A. Hulse y J. H. Taylor por el descubrimiento del púlsar denominado PSRB1913 +16. Un púlsar se puede asimilar a un faro giratorio (similar a la luz de una ambulancia) que emite una señal electromagnética con un periodo aproximado de . En la figura 1 se representa la intensidad luminosa recibida del pulsar en función del tiempo (los destellos). Un modelo muy simplificado de PSRB1913 +16 consiste en una estrella de neutrones de 1,4 veces la masa del Sol que gira en torno a un eje propio con un periodo de milisegundos y describe, además, una órbita circular alrededor de otra estrella. El radio de la órbita es aproximadamente s. l. (segundos‐luz) y el periodo orbital horas. De acuerdo con las mediciones de Hulse y Taylor, el radio de su órbita disminuye con el paso del tiempo y, como consecuencia, también lo hace su periodo orbital (ver figura 3) La explicación de este fenómeno es que PSRB1913 +16 emite energía en forma de ondas gravitatorias, unas ondas que predice la teoría de la Relatividad de Einstein y que todavía no han sido detectadas con detectores específicos.
- A. Determina la masa de la estrella central.
- B. Escribe la energía total de la estrella en función del radio y obtén por derivación una fórmula que relacione la pérdida de energía por unidad de tiempo con la disminución del periodo orbital por unidad de tiempo. c) Utilizando la expresión del apartado anterior haz una estimación de la energía emitida por PSRB1913 +16 al cabo de 20 años suponiendo que el periodo orbital ha disminuido en 14 segundos en ese intervalo de tiempo y considerando que el radio ha permanecido constante. d) Suponiendo que nuestra línea de visión del púlsar está contenida en el plano de la órbita, da una explicación de la figura 2, la cual representa la variación del periodo observado del púlsar (intervalo entre dos destellos) con el tiempo. ¿Por qué varía dicho periodo? ¿A qué corresponde el periodo ? Datos: Constante de gravitación:
Masa del Sol: Velocidad de la luz:
Figura 1: intensità impulsi vs tempo (ms)
Figura 2: periodo Tp oscillante vs tempo (ore)
Figura 3: periodo orbitale Torb vs tempo (anni)
Topic: Astrophysics, Gravitation, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3
Problema 2 (3 punti) Il Premio Nobel di Fisica del 1993 è stato assegnato agli astronomi radio R. A. Hulse e J. H. Taylor per la scoperta del pulsare denominato PSRB1913 +16. Un pulsare può essere assimilato a un faro giratorio (simile alla luce di un’ambulanza) che emette un segnale elettromagnetico con un periodo approssimativo di . La figura 1 rappresenta l’intensità luminosa ricevuta di pulsare in funzione del tempo (gli scintillamenti). Un modello molto semplificato di PSRB1913 +16 consiste in una stella di neutroni di 1,4 volte la massa del Sole che ruota attorno ad un suo asse con un periodo di millisecondi e descrive, inoltre, un’orbita circolare attorno ad un’altra stella. Il raggio di orbita è circa s. l. (secondi-luce) e il periodo orbitale ore. Secondo le misurazioni di Hulse e Taylor, il suo raggio di orbita diminuisce con il passaggio Il tempo e, di conseguenza, il suo periodo orbitale (vedi figura 3) L’esposizione di questo fenomeno è che PSRB1913 +16 emette energia sotto forma di onde gravità, onde che predicono la teoria della relatività di Einstein e che non ancora sono stati rilevati con specifici sensori.
- A. Determina la massa della stella centrale.
- B. Scrivi l’energia totale della stella in funzione del raggio e derivi per derivazione una formula che correla la perdita di energia per unità di tempo con la diminuzione del periodo Orbita per unità di tempo. c) Sfruttando l’espressione del paragrafo precedente, si fa una stima dell’energia emessa da PSRB1913 +16 dopo 20 anni, supponendo che il periodo orbitale sia diminuito di 14 Se il tempo di radio è stato costante, d) Supponendo che la nostra linea di visione del pulsare sia contenuta nel piano dell’orbita, si dà una spiegazione della figura 2, che rappresenta la variazione del periodo osservato del pulsare (intervallo tra due lampeggi) nel tempo. Perché questo periodo varia? A cosa? corrisponde al periodo ? Dati: Costante di gravità:
Massa del Sole: Velocità della luce:
*Figura 1: intensità impulsi vs tempo (ms) *
*Figura 2: periodo Tp oscillante vs tempo (ore) *
*Figura 3: periodo orbitale Torb vs tempo (anni) *
Topic: Astrophysics, Gravitation, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3
Problem 2 (3 points) The 1993 Nobel Prize in Physics was awarded to radio astronomer R. A. Hulse and J. H. Taylor for the discovery of the pulsar called PSRB1913 +16. A pulsar can be assimilated to a a rotating headlamp (similar to an ambulance light) emitting an electromagnetic signal with a period of approximately . Figure 1 shows the received light intensity The pulsar is based on time (flashes). A very simplified model of PSRB1913 +16 consists of a 1,4 neutron star times the mass of the Sun that rotates around its own axis with a period of milliseconds and It also describes a circular orbit around another star. The radius of the orbit is aproximadamente s. l. (light seconds) and the orbital period hours. According to Hulse and Taylor’s measurements, the radius of its orbit decreases with the passage of time. The time period of the Earth’s orbit is also the time period of the Earth’s orbit (see Figure 3). The explanation for this phenomenon is that PSRB1913 +16 emits energy in the form of waves. gravitational waves, which predicts Einstein’s theory of relativity and which still do not have been detected with specific detectors.
- A. Determines the mass of the central star.
- B. Write the total energy of the star in terms of radius and derive by derivation a formula which relates the loss of energy per unit of time to the decrease in the period orbital unit of time. (c) Using the expression in the previous paragraph, make an estimate of the energy emitted by the PSRB1913 +16 after 20 years assuming the orbital period has decreased by 14 seconds in that time interval and considering that the radio has remained constant. (d) Assuming that our line of sight of the pulsar is contained in the plane of the orbit, we give the an explanation of Figure 2, which represents the variation in the observed period of the pulsar (interval between two flashes) over time. Why does that period vary? What’s the point? is the period ? The data: Constante de gravitación:
Mass of the Sun: The speed of light shall be:
Figura 1: intensità impulsi vs tempo (ms)
Figura 2: periodo Tp oscillante vs tempo (ore)
Figura 3: periodo orbitale Torb vs tempo (anni)
Topic: Astrophysics, Gravitation, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3
Problema 3 (4 puntos) En octubre de 2012 el austriaco Félix Baumgartner batió el record de caída libre tras saltar desde un globo a sobre el nivel del mar. En total, la caída duró 9 minutos, de los cuales 4 min y 20 s fueron sin ayuda de paracaídas. En ese tiempo llegó hasta una altura de respecto del suelo. Félix iba provisto de un equipo especial, con elementos de protección y de medida, de manera que su masa conjunta era de . Para los cálculos que se proponen a continuación supondremos que el salto se produjo con velocidad inicial nula. a) Suponiendo que la caída libre (sin paracaídas) se diera con aceleración constante ¿cuál fue esa aceleración? Compárala con la aceleración de la gravedad a de altura sobre el nivel del mar. Dato: (radio de la Tierra) La pequeña aceleración promedio se debe a que, a partir de , el efecto de la fuerza de rozamiento con el aire empieza a ser considerable. Esta fuerza de fricción depende de la velocidad del cuerpo que cae según la expresión
donde es la constante de arrastre, que depende sólo de la forma del cuerpo que cae, es la densidad del aire, es la sección transversal (proyección del área del cuerpo en un plano perpendicular a la dirección del movimiento), es la velocidad de caída. La fuerza de fricción, por tanto, aumenta con la velocidad y, al cabo de un tiempo corto, se establece una situación de equilibrio dinámico y el cuerpo cae con una velocidad constante llamada velocidad límite. En los cálculos que se proponen a partir de ahora considera que la aceleración de la gravedad es independiente de la altura () y utiliza los valores y . b) Supongamos que la que la densidad de la atmósfera fuera cero por encima de y uniforme (independiente de la altura) de valor desde dicha altura hasta la superficie de la Tierra. Calcula la velocidad límite que alcanzaría Felix en su salto. ¿Cuál sería en este caso la presión atmosférica en la superficie de la Tierra al nivel del mar? Sin embargo, la densidad de la atmósfera no es uniforme. En la gráfica 1 podemos ver la gráfica real de la velocidad de Felix en función del tiempo durante la caída libre. Como puede verse, hay un tramo inicial de aceleración prácticamente constante hasta que la velocidad alcanza un máximo en torno a . A partir de entonces, tenemos un segundo tramo en el que la velocidad disminuye de forma continua debido a la variación de la densidad de la atmósfera a medida que Felix cae. En este tramo descendente podemos considerar que la velocidad de Felix en cada instante de tiempo es la velocidad límite a la altura en la que se encuentra. c) Teniendo en cuenta esto último, estima la densidad del aire a la altura a la que se encuentra Felix en los instantes y . Haz una gráfica aproximada de cómo varía la densidad del aire en función de la altura a partir de los cálculos anteriores. Para estimar la altura a la que se encuentra Felix en cada instante de tiempo puedes relacionar los datos de la velocidad del sonido que aparecen en la gráfica 1 con los de la gráfica 2, en los que se representa la velocidad del sonido en función de la altura.
d) Estima entre qué alturas la velocidad de Félix fue superior a la del sonido. e) Con su hazaña, Félix Baumgartner batió varios récords: mayor velocidad alcanzada en caída libre (373 m/s), salto en paracaídas desde mayor altura (39000 m) y mayor distancia en caída libre (36500 m). Uno de los récords que no pudo batir fue el de mayor duración de un salto en caída libre. Éste lo estableció el coronel Kittinger en 1960 con un salto que duró 16 segundos más que el de Félix (4 min y 36 s). Félix podría haber estado más tiempo en el aire incrementando su sección transversal . ¿en qué porcentaje debería haber aumentado para conseguir igualar el récord de Kittinger?
c) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
h (km) ()
Figura 1: velocità Felix e suono vs tempo
Figura 2: velocità vs altitudine (km)
Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5
Problema 3 (4 punti) Nell’ottobre 2012 l’austriaco Félix Baumgartner ha battuto il record di caduta libera dopo aver saltato da un globo a sul livello del mare. In totale, il calo durò 9 minuti, che sono stati 4 minuti e 20 secondi senza paracadute. In quel tempo è arrivato ad un’altezza di rispetto al suolo. Félix era dotato di un’equipaggiamento speciale, con elementi di La misurazione e la protezione, in modo che la loro massa congiunta fosse . Per i calcoli che Proponiamo quindi che il salto si sia verificato a velocità iniziale zero. a) Supponendo che il caduto libero (senza paracadute) si sia verificato con un’accelerazione costante, qual è stata quella Accelerazione? Compara con l’accelerazione della gravità a di altezza sul livello dal mare. Data: (radio terrestre) La piccola accelerazione media è dovuta al fatto che, a partire da , l’effetto della forza di il riscontro con l’aria inizia ad essere considerevole. Questa forza di attrito dipende dalla velocità del corpo che cade secondo l’espressione
dove è la costante di trascinamento, che dipende solo dalla forma del corpo che cade, è la densità dell’aria, è la sezione trasversale (proiezione dell’area del corpo in un piano perpendicolare a la direzione del movimento), è la velocità di caduta. La forza di attrito, quindi, aumenta con la velocità e, dopo un breve tempo, si Sta stabilendo una situazione di equilibrio dinamico e il corpo cade a velocità costante chiamata velocità limite. In calcoli proposti da ora in poi considera che l’accelerazione della gravità è indipendente dall’altezza () e utilizza i valori e . b) Supponiamo che la densità dell’atmosfera sia di zero sopra e Uniforme (independentemente dall’altezza) di valore da tale altezza fino alla la superficie terrestre. Calcola la velocità limite che Felix raggiungerebbe nel suo salto. Che cosa sarebbe in In questo caso la pressione atmosferica sulla superficie della Terra al livello del mare? Tuttavia, la densità dell’atmosfera non è uniforme. Nella grafica 1 possiamo vedere la Grafica reale della velocità di Felix in funzione del tempo durante il caduta libera. Come può visto, c’è un primo tratto di accelerazione praticamente costante fino a quando la velocità raggiunge un massimo di circa . A partire da allora, abbiamo un secondo tratto nel La velocità diminuisce continuamente a causa della variazione della densità della atmosfera mentre Felix cade. In questo tratto discendente possiamo considerare che la velocità di Felix in ogni istante di tempo è la velocità limite all’altezza in cui si
- Trova. c) Considerando l’ultimo, si stima la densità dell’aria all’altezza a cui si trova Felix in istanti e . Fai un grafico approssimativo di come varia la densità dell’aria in funzione dell’altezza a partire dai calcoli precedenti. Per valutare la L’altezza di cui Felix si trova in ogni istante del tempo si possono collegare i dati della velocità del suono che appare in grafico 1 con quelli di grafico 2, in cui si rappresenta la velocità del suono a seconda dell’altezza.
d) Calcola i tempi in cui la velocità di Felix è stata superiore a quella del suono. e) Con la sua azione, Félix Baumgartner ha battuto diversi record: più velocità raggiunta in caduta libero (373 m/s), salto in paracadute da più altezza (39000 m) e più distanza in caduta
- il livello di superficie del mare Uno dei record che non ha battuto è stato quello di più lunga durata di un salto in caduta libera. Questo lo stabilì il colonnello Kittinger nel 1960 con un salto di 16 secondi. più di quello di Felix (4 min 36 s). Felix avrebbe potuto stare più aereo. aumentando la sua sezione trasversale . che percentuale di aumento dovrebbe essere stato per riuscire a eguagliare il record di Kittinger?
c) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
h (km) ()
Figura 1: velocità Felix e suono vs tempo
*Figura 2: velocità vs altitudine (km) *
Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5
Problem 3 (4 points) In October 2012 Austrian Félix Baumgartner broke the free-fall record after jumping from a balloon to above sea level. In total, the fall lasted 9 minutes, of which Which was 4 minutes and 20 seconds without parachute assistance. At that time it reached a height of with respect to the soil. The Commission has already adopted a proposal for a directive on the The maximum mass of the product is . For the calculations that We will then assume that the jump occurred at zero initial speed. (a) Assuming that the free fall (without parachutes) was at constant acceleration, what was that What’s the acceleration? Compare it to gravity acceleration at above the level from the sea. Date: (earth radius) The small average acceleration is due to the fact that, from , the force effect of the The air friction is starting to be considerable. This friction force depends on the The velocity of the body falling according to the expression
where is the drag constant, which depends only on the shape of the body falling, is the density of air, is the cross section (projection of the body area in a plane perpendicular to the direction of movement), is the drop velocity. The force of friction therefore increases with speed and after a short time, it is It sets a dynamic equilibrium situation and the body falls at a constant speed. It’s called the speed limit. In the calculations that are proposed from now on it considers that the acceleration of gravity is height independent () and uses the values and . (b) Suppose that the atmospheric density is zero above and uniform (height independent) value from that height to the surface of the Earth. Calculate the speed limit Felix would reach in his jump. What would be in In this case, the atmospheric pressure on the Earth’s surface at sea level? However, the density of the atmosphere is not uniform. In graph 1 we can see the Real graph of Felix’s speed based on time during free fall. How can you You see, there’s an initial stretch of acceleration that’s practically constant until the speed The maximum is around . From then on, we have a second stretch in the The speed decreases continuously due to the variation in the density of the atmosphere as Felix falls. In this downward trend we can consider that the Felix’s speed at each instant of time is the speed limit at the height at which it is Find it. (c) In view of the latter, estimate the density of air at the height at which it is located. Felix en los instantes y . Make a rough graph of how the variance varies air density based on altitude from previous calculations. To estimate the The height at which Felix is at any given moment in time can be linked to the data of the The speed of sound shown in graph 1 with those in graph 2, in which It represents the speed of sound based on the height.
d) Estimate at what times Felix’s speed was higher than that of sound. e) With his feat, Félix Baumgartner broke several records: free (373 m/s), parachute jump from higher altitude (39000 m) and higher falling distance The following is the list of the regions in which the aid is granted: One of the records he failed to break was the longest jump in free fall. This was established by Colonel Kittinger in 1960 with a jump that lasted 16 seconds. More than Felix’s (4 min and 36 s). Felix could have been in the air longer. The cross section shall be increased. What percentage should have increased for I can match Kittinger’s record?
c) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
h (km) ()
Figure 1: velocity Felix and sound vs tempo
Figura 2: velocità vs altitudine (km)
Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5