Spagna 2013

PROBLEMA EXPERIMENTAL. Estudio de la vibración transversal de una regla metálica.

Fundamento teórico.

En este experimento se van a estudiar las oscilaciones transversales de una regla metálica en función de su longitud libre, $L$. En particular se estudiará el modo fundamental de vibración, con un nodo en el extremo fijo y un único antinodo (vientre) en el extremo libre, como se esquematiza en la figura adjunta.

Se espera que la frecuencia de vibración de la regla, $f$, dependa de su longitud en la forma

$f=K{L}^n,(1)$

donde $n$ es un número entero y $K$ es una constante que depende del material y de las dimensiones transversales de la regla.

El objetivo de esta prueba es determinar los valores de $n$ y $K$, midiendo $f$ en función de $L$.

Procedimiento experimental

Una pieza metálica permite sujetar la regla con una longitud libre ajustable, $L$. El conjunto se sujeta a la mesa con un “sargento”. La oscilación de la regla es demasiado rápida para poder cronometrar manualmente su periodo. Para medir la frecuencia de oscilación se recurre a un sistema de iluminación estroboscópica: una fuente de luz emite pulsos luminosos periódicos muy breves, con una frecuencia, $F$, que se puede modificar. Cuando la frecuencia del estroboscopio coincida con la frecuencia de oscilación de la regla, es decir $F=f$, los sucesivos pulsos iluminarán la regla pasando por la misma posición, de forma que la regla se verá aparentemente en reposo.

Para una serie de longitudes $L$ de la regla, se ajusta la frecuencia $F$ del estroboscopio hasta conseguir que la regla vibrante se vea aparentemente quieta, y esta frecuencia de iluminación se mide con un frecuencímetro. En la siguiente tabla se presentan los resultados obtenidos, suponiendo $f=F$:

$L$ (m)	0,100	0,110	0,120	0,130	0,140	0,150	0,160	0,170	0,180	0,190	0,200	0,210	0,220
$f$ (Hz)	41,03	35,31	29,48	24,27	21,32	9,51	16,05	14,72	12,94	11,85	10,43	9,31	8,60

Cuestiones.

a) El valor de $f$ presentado en la tabla para $L=0,150$ m es claramente erróneo, pues se aleja de la tónica que siguen las demás medidas. Piensa y explica cuál puede ser la causa del error, y corrige adecuadamente ese valor de $f$. Si no encuentras una solución lógica al problema, desecha la medida y sigue adelante.

b) A partir de las medidas indicadas en la tabla, con la gráfica y el ajuste que consideres oportunos, deduce el valor del exponente $n$ en la ecuación (1). Recuerda que $n$ debe ser un número entero.

Ayuda: tomando logaritmos en (1) obtendrás una relación lineal entre los logaritmos de $f$ y de $L$.

c) Determina el valor de la constante $K$ de la regla.

d) Haz una estimación de la incertidumbre (margen de error) de esta constante, $\Delta K$.

Metal rule clamped at one end, stroboscope setup

Photo of experimental setup with clamp

Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Objects: Rod, Beam Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il problema è quello di sperimentare. Studi di vibrazione trasversale di una regola metallica.

Fondo teorico.

In questo esperimento si studiano le oscillazioni trasversali di una regola metallica in base alla sua lunghezza libera, $L$. In particolare, si studierà il modo fondamentale di vibrazione, con un nodo all’estremità fissa e un singolo antinodo (ventri) all’estremità libera, come illustrato nella figura allegata.

La frequenza di vibrazione della regola, $f$, è prevista a seconda della sua lunghezza nella forma

$f=K{L}^n,(1)$

dove $n$ è un numero intero e $K$ è una costante che dipende dal materiale e dalle dimensioni trasversali della regola.

L’obiettivo di questa prova è determinare i valori di $n$ e $K$, misurando $f$ in funzione di $L$.

Processo sperimentale

Un pezzo metallico consente di fissare la regola con una lunghezza libera regolabile, $L$. Il set si attacca al tavolo con un “sergente”. L’oscillazione della regola è troppo veloce per poter cronometrare manualmente il suo periodo. Per misurare la frequenza di oscillazione si ricorre a un sistema di illuminazione strofoscopica: una fonte di luce emette pulsi luminosi periodici molto brevi, con una frequenza, $F$, che può essere modificata. Quando la frequenza dello strofoscopio coincide con la frequenza di oscillazione della regola, cioè $F=f$, i successivi impulsi illumineranno la regola passando attraverso la stessa posizione, in modo che la regola apparentemente si vedrà a riposo.

Per una serie di lunghezze $L$ della regola, si regola la frequenza $F$ dello stroboscopio fino a far apparire la regola vibrante apparentemente ferma, e questa frequenza di illuminazione viene misurata con un frequentometro. La tabella seguente presenta i risultati ottenuti, supponendo $f=F$:

$L$ (m)	0,100	0,110	0,120	0,130	0,140	0,150	0,160	0,170	0,180	0,190	0,200	0,210	0,220
$f$ (Hz)	41,03	35,31	29,48	24,27	21,32	9,51	16,05	14,72	12,94	11,85	10,43	9,31	8,60

Questioni.

a) Il valore di $f$ riportato nella tabella per $L=0,150$ m è chiaramente errato, in quanto si allontana dalla tonalità seguita dalle altre misure. Pensate e spiegate quale possa essere la causa dell’errore, e correggiate correttamente quel valore di $f$. Se non trovi una soluzione logica al problema, scarica la misura e continua.

b) Sulla base delle misure indicate nella tabella, con il grafico e l’aggiustamento che ritieni opportuno, deduci il valore dell’esponente $n$ nell’equazione (1). Ricorda che $n$ deve essere un numero intero.

Aiuto: prendendo logaritmi in (1) otterrete un rapporto lineare tra i logaritmi di $f$ e di $L$.

c) Determina il valore della costante $K$ della regola.

d) Estimare l’incertezza (margine di errore) di questa costante, $\Delta K$.

Metal rule clamped at one end, stroboscope setup

Foto di setup sperimentale con clamp

Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Objects: Rod, Beam Fonte: Testo (PDF) — p.2

EXPERIMENTAL PROBLEM. Study of the transverse vibration of a metal ruler.

Theoretical background.

In this experiment, we will study the transverse oscillations of a metal ruler as a function of its free length, $L$. In particular, we will examine the fundamental mode of vibration, with a node at the fixed end and a single antinode (loop) at the free end, as schematically shown in the accompanying figure.

It is expected that the vibration frequency of the ruler, $f$, depends on its length according to

$f=K{L}^n,(1)$

where $n$ is an integer and $K$ is a constant depending on the material and transverse dimensions of the ruler.

The objective of this experiment is to determine the values of $n$ and $K$, by measuring $f$ as a function of $L$.

Experimental procedure

A metallic component allows securing the ruler with an adjustable free length, $L$. The assembly is fixed to the table using a “clamp”. The ruler’s oscillation is too rapid to manually time its period. To measure the oscillation frequency, a stroboscopic lighting system is employed: a light source emits very brief, periodic luminous pulses at a frequency, $F$, which can be adjusted. When the stroboscope’s frequency matches that of the ruler’s oscillation, i.e., $F=f$, successive pulses illuminate the ruler while it passes through the same position, making the ruler appear seemingly at rest.

For a series of lengths $L$ of the ruler, the frequency $F$ of the stroboscope is adjusted until the vibrating ruler appears seemingly stationary, and this illumination frequency is measured with a frequency meter. The following table shows the obtained results, assuming $f=F$:

$L$ (m)	0,100	0,110	0,120	0,130	0,140	0,150	0,160	0,170	0,180	0,190	0,200	0,210	0,220
$f$ (Hz)	41,03	35,31	29,48	24,27	21,32	9,51	16,05	14,72	12,94	11,85	10,43	9,31	8,60

Questions.

a) The value of $f$ presented in the table for $L=0,150$ m is clearly erroneous, as it deviates from the trend followed by the other measurements. Think and explain what might be the cause of this error, and properly correct that value of $f$. If you cannot find a logical solution to the problem, discard the measurement and proceed.

b) Based on the data listed in the table, using the appropriate graph and fitting method, deduce the value of the exponent $n$ in equation (1). Remember that $n$ must be an integer.

Hint: by taking logarithms in (1), you will obtain a linear relationship between the logarithms of $f$ and those of $L$.

c) Determine the value of the ruler’s constant $K$.

d) Make an estimate of the uncertainty (error margin) of this constant, $\Delta K$.

Metal rule clamped at one end, stroboscope setup

Photo of experimental setup with clamp