OEF 2013 Locale Teorica — 2013 soluciones_12_13.pdf

Fonte: gare di altri paesi/Spagna/Samanca-locali/2013 soluciones_12_13.pdf · Apri PDF · apri PDF p.1 Cluster: Meccanica

Problema 1

Una sfera conduttrice di massa $5,0\text{g}$ carica con $+10\mu \text{C}$ parte dal riposo ed è sottoposta all’azione di un campo elettrico uniforme orizzontale $\vec{E}$, mentre si trova su un piano inclinato di $24,5\text{cm}$ (zona inclinata) e si lascia scivolare sopra una polea ideale, ambedue di massa trascurabile (geometria della figura). Il piano inclinato forma un angolo $\alpha$ con l’orizzontale; la base orizzontale è $24,5\text{cm}$ e l’altezza $10,0\text{cm}$.

• a) Sapendo che la sfera scende con accelerazione di $6{\text{m/s}}^2$, calcolare il valore del campo elettrico $E$.
• b) Calcolare l’angolo $\alpha$ di inclinazione, tarato in modo che la velocità della sfera nel punto inferiore del piano inclinato sia tale che lasci il piano con angolo $0,5\alpha$ rispetto all’orizzontale.
• c) A che distanza dal bordo verticale del piano inclinato (a distanza orizzontale e verticale specificata, $E=4,61\cdot 10^4\text{V/m}$) la sfera urta la superficie orizzontale?

[Figura: piano inclinato con base orizzontale $24,5\text{cm}$, altezza $10,0\text{cm}$, campo $\vec{E}$ orizzontale]

Piano inclinato con sfera e campo E

Traiettoria parabolica della sfera

Topic: Newtonian Mechanics, Electrostatics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Energy Conservation Method, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 2

Il Premio Nobel per la Fisica 1993 fu assegnato ai radioastronomi R. A. Hulse e J. H. Taylor per la scoperta della pulsar denominata PSR B1913+16. Una pulsar si può assimilare a un faro rotante che emette un segnale elettromagnetico con periodo di circa $60\text{ms}$ (i lampi). Un modello molto semplificato di PSR B1913+16 consiste in una stella di neutroni di $1,4$ volte la massa del Sole che ruota su sé stessa con periodo di millisecondi e descrive, inoltre, un’orbita circolare attorno a un’altra stella. Il raggio dell’orbita è approssimativamente $2,3$ s.l. (secondi-luce) e il periodo orbitale $7,8$ ore.

Secondo le misure di Hulse e Taylor, il raggio dell’orbita diminuisce nel tempo e, di conseguenza, anche il periodo orbitale (figura 3). La spiegazione è che PSR B1913+16 emette energia sotto forma di onde gravitazionali, previste dalla Relatività di Einstein.

• a) Determinare la massa della stella centrale.
• b) Scrivere l’energia totale della stella in funzione del raggio e ottenere per derivazione una formula che relazioni la perdita di energia per unità di tempo con la diminuzione del periodo orbitale per unità di tempo.
• c) Utilizzando l’espressione del punto precedente, stimare l’energia emessa da PSR B1913+16 in $20$ anni, supponendo che il periodo orbitale sia diminuito di $14$ secondi in tale intervallo e che il raggio sia rimasto costante.
• d) Supponendo che la nostra linea di vista della pulsar sia contenuta nel piano dell’orbita, spiegare la figura 2, che rappresenta la variazione del periodo osservato della pulsar (intervallo tra due lampi) con il tempo. Perché varia tale periodo? A cosa corrisponde il periodo $T$?

Dati: $G=6,67\cdot 10^{-11}{\text{N⋅m}}^2/{\text{kg}}^2$, $M_S=2\cdot 10^{30}\text{kg}$, $c=3\cdot 10^8\text{m/s}$. [Figura 1: intensità con periodo $T_p$ dei lampi; Figura 2: $T_p$ in funzione del tempo, variazione sinusoidale; Figura 3: $T_{orb}$ decrescente nel tempo]

Intensità impulsi pulsar vs tempo

Periodo Tp oscillante vs tempo (ore)

Periodo orbitale Torb decrescente vs anni

Topic: Gravitation, Astrophysics, Conservation of Energy Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Calculus-Integration, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 3

In ottobre 2012 l’austriaco Félix Baumgartner battè il record di caduta libera saltando da un pallone a $39000\text{m}$ sul livello del mare. In totale la caduta durò $9$ minuti, di cui $4\text{min}$ e $20\text{s}$ furono senza paracadute. In quel tempo arrivò fino a un’altezza di $2500\text{m}$ rispetto al suolo. Félix era equipaggiato in modo tale che la sua massa complessiva era $105\text{kg}$. Per i calcoli si suppone che il salto si sia prodotto con velocità iniziale nulla.

• a) Supponendo che la caduta libera (senza paracadute) avvenisse con accelerazione costante, quanto vale tale accelerazione? Confrontarla con l’accelerazione di gravità a $30000\text{m}$ sul livello del mare. Dato: $R_T=6370\text{km}$. La piccola accelerazione media è dovuta al fatto che, a partire da $27000\text{m}$, l’effetto della forza di attrito con l’aria comincia a essere considerevole. Tale forza di attrito dipende dalla velocità secondo $F_r=\frac{1}{2}C\rho A{v}^2$, dove $C$ è la costante di trascinamento, $\rho$ la densità dell’aria, $A$ la sezione trasversale, $v$ la velocità. La forza di attrito aumenta con la velocità e, dopo un tempo breve, si stabilisce un equilibrio dinamico in cui il corpo cade a velocità costante (velocità limite). Nei calcoli successivi assumere $g=9,8{\text{m/s}}^2$ indipendente dall’altezza, $C=1,3$, $A=0,4{\text{m}}^2$.
• b) Supponendo che la densità dell’atmosfera sia zero sopra $27000\text{m}$ e uniforme di valore $\rho =0,35{\text{kg/m}}^3$ da tale altezza fino alla superficie, calcolare la velocità limite raggiunta. Quale sarebbe in questo caso la pressione atmosferica al livello del mare? (La densità reale non è uniforme: nella grafica 1 si vede la velocità reale in funzione del tempo. C’è un primo tratto di accelerazione quasi costante fino a un massimo attorno a $t=50\text{s}$; poi un tratto in cui la velocità diminuisce per la variazione di densità — in questo tratto si può considerare che la velocità di Félix sia in ogni istante la velocità limite all’altezza in cui si trova.)
• c) Stimare la densità dell’aria all’altezza in cui si trova Félix agli istanti $t=75\text{s}$ e $t=200\text{s}$. Fare una grafica approssimata di come varia la densità con l’altezza.
• d) Stimare a quali altezze la velocità di Félix è superiore a quella del suono.
• e) Félix battè due record: maggiore velocità raggiunta in caduta libera ($1373\text{m/s}$, salto con paracadute aperto sopra ($39000\text{m}$)) e maggiore distanza in caduta libera ($36402\text{m}$). Se si stabilisce il record di Kittinger in $1960$ con un salto da $19500\text{m}$ in $13$ secondi, di quale percentuale doveva essere incrementata la sezione trasversale $A$ per uguagliare il record di Kittinger?

[Figura 1: $v$ in funzione di $t$, con curva «velocidad del sonido» e «velocidad de Félix»; Figura 2: $v$ in funzione dell’altezza $h$]

Velocità di Félix e del suono vs tempo

Velocità del suono vs quota h

Densità aria ρ vs quota h

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Order-of-Magnitude Estimation, Physical Modeling Competenze: Estimation & Approximation, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Fonte: Testo (PDF) — p.7