Spagna 2014

PROBLEMA EXPERIMENTAL. Caída de una bolita en un fluido

En la figura se muestra una fotografía, con exposiciones múltiples, de la caída de una pequeña esfera en el seno de un líquido viscoso. La esfera, de radio $R=1,00$ mm, ha sido abandonada sin velocidad inicial en $t=0$ (instante de la primera foto), y las sucesivas exposiciones han sido tomadas a intervalos regulares y exactos de $0,02$ s. Las posiciones en cada instante pueden determinarse mediante la escala que también se muestra en la figura.

a) Mide en la escala la posición $z$ del centro de la bolita en el instante $t$ de cada exposición. Presenta los datos en una tabla. Sugerencia: teniendo en cuenta el tamaño de la esfera, interpola visualmente en la escala para apreciar décimas de milímetro.

b) Calcula la velocidad media de la bolita entre cada dos exposiciones consecutivas. Tabula los resultados, asignando la velocidad calculada al tiempo medio entre las dos exposiciones. Habrás obtenido que la velocidad es prácticamente constante en la zona final del recorrido. ¿Cuál es esta velocidad límite, $v_L$?

Este comportamiento experimental es congruente con un modelo de fuerza constante hacia abajo (peso de la bolita menos empuje de Arquímedes) y fuerza de fricción proporcional a la velocidad de la esfera en el seno del líquido, en sentido opuesto. Puede demostrarse que, con este modelo, la velocidad de la esfera tiende exponencialmente a $v_L$, es decir

$v=v_L\left(1-e^{-\gamma t}\right)(1)$

donde $\gamma$ es una constante que depende de la masa de la esfera, $m$, de su radio, $R$, y del llamado coeficiente de viscosidad del fluido, $\eta$, en la forma

$\gamma =\frac{6\pi R\eta }{m}(2)$

Reordenando la ecuación (1) y tomando logaritmos se obtiene

$\ln \left(1-\frac{v}{v_L}\right)=-\gamma t(3)$

Es decir, se espera una dependencia lineal entre la variable $y=\ln \left(1-v/v_L\right)$ y el tiempo $t$.

c) Representa gráficamente en el papel milimetrado los seis primeros puntos $y(t)$. Ajusta una línea recta a estos puntos y deduce el valor de $\gamma$ en nuestro experimento.

d) Sabiendo que se ha empleado una esfera con $m=48$ mg, obtén la viscosidad del líquido, $\eta$, en unidades del SI.

e) Supón que la principal fuente de error en este último resultado es el valor de la masa de la esfera, que se ha medido con una balanza digital que aprecia milésimas de gramo. Calcula la incertidumbre de $\eta$.

Multiple-exposure photo of sphere falling in viscous fluid

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation, Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1

Il problema è quello di sperimentare. Casione di calcolo di un’acqua

La figura mostra una fotografia, con molteplici esposizioni, della caduta di una piccola sfera nel seno di un liquido viscoso. La sfera, a radio $R=1,00$ mm, è stata abbandonata senza velocità iniziale a $t=0$ (istante della prima foto), e le successive esposizioni sono state prese a intervalli regolari ed accurati di $0,02$ s. Le posizioni in ogni istante possono essere determinate dalla scala che è anche mostrata nella figura.

a) Misura sulla scala la posizione $z$ del centro della pallina nell’istante $t$ di ogni esposizione. Presenta i dati in una tabella. Suggerimento: Considerando la dimensione della sfera, interpola visivamente sulla scala per apprezzare decimi di millimetro.

b) Calcola la velocità media della pallina tra ogni due esposizioni consecutive. Tavola i risultati, assegnando la velocità calcolata al tempo medio tra le due esposizioni. Si scoprirà che la velocità è praticamente costante nella zona finale del percorso. Qual è la velocità limite, $v_L$?

Questo comportamento sperimentale è congruente con un modello di forza costante verso il basso (peso della pallina meno spinta di Archimede) e forza di attrito proporzionale alla velocità della sfera nel seno del liquido, nel senso opposto. Si può dimostrare che, con questo modello, la velocità della sfera tende esponenzialmente a $v_L$, cioè

$v=v_L\left(1-e^{-\gamma t}\right)(1)$

dove $\gamma$ è una costante che dipende dalla massa della sfera, $m$, dal suo raggio, $R$, e dal cosiddetto coefficiente di viscosità del fluido, $\eta$, in forma

$\gamma =\frac{6\pi R\eta }{m}(2)$

Riordinando l’equazione (1) e prendendo logaritmi si ottiene

$\ln \left(1-\frac{v}{v_L}\right)=-\gamma t(3)$

In altre parole, si prevede una dipendenza lineare tra la variabile $y=\ln \left(1-v/v_L\right)$ e il tempo $t$.

c) Rappresenta graficamente sui fogli di carta millimetrica i primi sei punti $y(t)$. Adatta una linea retta a questi punti e deduce il valore di $\gamma$ nel nostro esperimento.

d) Sapendo che è stata utilizzata una sfera con $m=48$ mg, si ottiene la viscosità del liquido, $\eta$, in unità SI.

e) Suppone che la principale fonte di errore in questo ultimo risultato sia il valore della massa della sfera, misurato con una bilancia digitale che valuta migliaia di grammi. Calcola l’incertezza di $\eta$.

Multiple-exposure photo of sphere falling in viscous fluid

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation, Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1

PROBLEMA EXPERIMENTAL. Fall of a ball in a fluid

The figure shows a photograph, with multiple exposures, of a small sphere falling into the breast of a viscous liquid. The radius of the sphere $R=1,00$ mm has been left without initial velocity at $t=0$ (instant of the first photo), and subsequent exposures have been taken at regular and accurate intervals of $0,02$ s. The positions at each instant can be determined by the scale also shown in the figure.

(a) Measures on the scale the position $z$ of the centre of the ball at the instant $t$ of each exposure. Present the data in a table. Suggest: Considering the size of the sphere, visually interpolate on the scale to appreciate tenths of a millimeter.

(b) Calculate the average velocity of the ball between each two consecutive exposures. Table out the results by assigning the calculated speed to the mean time between the two exposures. You’ll have gotten that the speed is practically constant in the end zone of the tour. ¿Cuál es esta velocidad límite, $v_L$?

This experimental behavior is congruent with a model of constant downward force (Archymedes’s ball weight minus push) and friction force proportional to the speed of the sphere in the center of the liquid, in the opposite direction. It can be shown that, with this model, the speed of the sphere tends exponentially to $v_L$, i.e.

$v=v_L\left(1-e^{-\gamma t}\right)(1)$

where $\gamma$ is a constant that depends on the mass of the sphere, $m$, its radius, $R$, and the so-called viscosity coefficient of the fluid, $\eta$, in the form

$\gamma =\frac{6\pi R\eta }{m}(2)$

By rearranging the equation (1) and taking logarithms, we get

$\ln \left(1-\frac{v}{v_L}\right)=-\gamma t(3)$

That is, a linear dependence is expected between the $y=\ln \left(1-v/v_L\right)$ variable and the $t$ time.

(c) Graphically depicts the first six points $y(t)$ on the millimeter paper. Adjust a straight line to these points and deduce the value of $\gamma$ in our experiment.

(d) Knowing that a sphere with $m=48$ mg has been used, obtain the viscosity of the liquid, $\eta$, in SI units.

(e) Suppose that the main source of error in this latter result is the value of the mass of the sphere, which has been measured with a digital scale that is thousands of grams. Calculate the uncertainty of $\eta$.

Multiple-exposure photo of sphere falling in viscous fluid

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation, Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1