Spagna 2014 — 2014 soluciones_13_14.pdf

Fonte: gare di altri paesi/Spagna/Samanca-locali/2014 soluciones_13_14.pdf · Apri PDF · apri PDF p.1 Cluster: Gravitazione e Astrofisica

Problema 1

Problema 1 – El vuelo del Apolo XI

a) Si el satélite describe una órbita circular, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta que origina dicho movimiento

Fuerza gravitatoria: $F_g=G\frac{M\cdot m}{r^2}$

Fuerza centrípeta: $F_c=m\frac{v^2}{r}$

$G\frac{M\cdot m}{r^2}=m\frac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{G\frac{M}{r}}$

$G=6,67\cdot 10^{-11}\frac{{\text{N m}}^2}{{\text{kg}}^2}$

$M_T=5,98\cdot 10^{-24}\text{kg}$

$r=R_T+h=6,38\cdot 10^6\text{m}+1,85\cdot 10^5\text{m}=6,57\cdot 10^6\text{m}$

$v=\sqrt{6,67\cdot 10^{-11}\frac{{\text{N m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \frac{5,98\cdot 10^{-24}\text{kg}}{6,57\cdot 10^6\text{m}}}=7,79\cdot 10^3\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$\boxed{v=7,79\cdot 10^3\frac{\text{m}}{\text{s}}}$

b)

La suma de los campos en el punto P es cero:

$g_T+g_L=0\Rightarrow g_T\vec{ı}-g_L\vec{ı}=0\Rightarrow g_T=g_L$

Los módulos de los campos son iguales:

$g_T=G\frac{M_T}{d_T^2}$ ; $g_L=G\frac{M_L}{d_L^2}$ ; $d_T=r_L-d_L$ ; $M_L=\frac{M_T}{81}$

$G\frac{M_T}{d_T^2}=G\frac{M_L}{d_L^2}\Rightarrow G\frac{M_T}{d_T^2}=G\frac{M_T}{81\cdot d_L^2}$

$\frac{1}{d_T^2}=\frac{1}{81\cdot d_L^2}\Rightarrow d_T^2=81\cdot d_L^2$

$d_T=9\cdot d_L\Rightarrow d_T=9(r_L-d_T)\Rightarrow d_T=\frac{9\cdot r_L}{10}$

$r_L=3,80\cdot 10^8\text{m}\Rightarrow d_T=3,42\cdot 10^8\text{m}$

$h=d_T-R_{T}h=3,42\cdot 10^8\text{m}-6,38\cdot 10^6\text{m}=3,36\cdot 10^8\text{m}$

$\boxed{h=3,36\cdot 10^8\text{m}}$

El potencial es la suma de los potenciales del campo de la Tierra y del campo de la Luna.

El potencial gravitatorio es siempre negativo y su valor es: $V=-G\frac{M}{r}$

Potencial del campo terrestre: $V_T=-G\frac{M_T}{d_T}$

Potencial del campo lunar: $V_L=-G\frac{M_L}{d_L}$

$V=-G\frac{M_T}{d_T}-G\frac{M_L}{d_L}$

$M_L=\frac{M_T}{81}$ ; $d_T=3,42\cdot 10^8\text{m}$ ; $d_L=r_L-d_T=3,80\cdot 10^8\text{m}-3,42\cdot 10^8\text{m}=3,80\cdot 10^7\text{m}$

$V=-G\cdot M_T\left(\frac{1}{d_T}+\frac{1}{81\cdot d_L}\right)$

$V=-6,67\cdot 10^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 5,98\cdot 10^{24}\text{kg}\left(\frac{1}{3,42\cdot 10^8\text{m}}+\frac{1}{81\cdot 3,80\cdot 10^7\text{m}}\right)$

$\boxed{V=-1,30\cdot 10^6\frac{\text{J}}{\text{kg}}}$

c)

El movimiento entre P1 y P2 no es uniformemente acelerado puesto que g no es constante. Como solamente actúan fuerzas gravitatorias la energía mecánica se conserva:

$E_{c1}+U_1=E_{c2}+U_2$

PUNTO P1.- Actúan el campo gravitatorio terrestre y el campo gravitatorio lunar y el cohete tiene una velocidad $v_1=122\frac{\text{m}}{\text{s}}$

El potencial de un punto es la energía potencial de la unidad de masa en ese punto:

Energía potencial: $V_1=\frac{U_1}{m}\Rightarrow U_1=V_1\cdot m$, $V_1=-1,30\cdot 10^6\frac{\text{J}}{\text{kg}}$ (calculado en el apartado anterior)

Energía cinética: $E_{c1}=\frac{1}{2}m\cdot v_1^2\Rightarrow v_1=122\frac{\text{m}}{\text{s}}$

PUNTO P2.- El campo gravitatorio terrestre es despreciable

Energía potencial: $U_2=-G\frac{M_L\cdot m}{r_2}\Rightarrow r_2=R_L+h=1,74\cdot 10^6\text{m}+8,00\cdot 10^4\text{m}$

Energía cinética: $E_{c2}=\frac{1}{2}m\cdot v_2^2\Rightarrow v_2=?$ (es lo que pide el problema)

$V_1\cdot m+\frac{1}{2}m\cdot v_1^2=-G\frac{M_L\cdot m}{r_2}+\frac{1}{2}m\cdot v_2^2$

$-1,30\cdot 10^6\frac{\text{J}}{\text{kg}}+\frac{1}{2}{\left(122\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2=-6,67\cdot 10^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \frac{5,98\cdot 10^{24}\text{kg}}{81\cdot 1,82\cdot 10^6\text{m}}+\frac{1}{2}{v}_2^2$

$\boxed{v_2=1,68\cdot 10^3\frac{\text{m}}{\text{s}}}$

Topic: Gravitation, Conservation of Energy, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 2

Problema 2

a) $v_{x0}=\sqrt{\frac{2eV}{m}}=2.3\times 10^7\text{m/s}$

b) $t_1=\frac{l_1}{v_{x0}}=2.17\times 10^{-9}\text{s}$

c) $t_2=\frac{l_2}{v_{x0}}=4.35\times 10^{-9}\text{s}$

d) $\Delta y_p=\frac{1}{2}a{t}_1^2$ ; $a=\frac{eE}{m}=\frac{e{V}_p}{md}$

$\Delta y_f=\Delta y-\Delta y_p=v_{yf}{t}_2$ ; $v_{yf}=a{t}_1=\frac{e{V}_p}{md}{t}_1$

$\Delta y=\Delta y_p+\Delta y_f=\frac{1}{2}\frac{e{V}_p}{md}{t}_1^2+\frac{e{V}_p}{md}{t}_1{t}_2$

$V_p=\frac{\Delta y}{\frac{e{t}_1}{md}\left(\frac{1}{2}{t}_1+t_2\right)}=724\text{V}$

e) $E=\frac{V_p}{d}=24.13\text{kV/m}=24.13\text{kN/C}$

f) $\Delta y_p=\frac{1}{2}\frac{e{V}_p}{md}{t}_1^2=10^{-2}\text{m}=1\text{cm}$

g) $\alpha =\arctan \frac{v_{yf}}{v_{x0}}=\arctan 0.4=0.38\text{rad}=21.8^{\circ }$

$v_{yf}=\frac{e{V}_p}{md}{t}_1=9.2\times 10^6\text{m/s}$

Topic: Gravitation Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 3

Problema 3

a) Conservación de la energía para el sistema muelle-flecha:

$\frac{1}{2}K{x}^2=\frac{1}{2}m{v}_0^2\Rightarrow v_0=\sqrt{\frac{500}{0,05}}\cdot 0,1=10\text{m/s}$

Movimiento de la flecha hasta la manzana:

• eje x : movimiento uniforme con velocidad $v_{0x}$
• eje y : movimiento uniformemente acelerado con velocidad inicial $v_{0y}$ y aceleración la gravedad $a_y=-9,8{\text{m/s}}^2$

$v_{fy}=v_{0y}+a_{y}t\Rightarrow 0=v_{0y}-9,8t\Rightarrow t=\frac{v_{0y}}{9,8}$

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2}{a}_y{t}^2\Rightarrow 2=v_{0y}\frac{v_{0y}}{9,8}-\frac{1}{2}9,8{\left(\frac{v_{0y}}{9,8}\right)}^2$

Luego $v_{0y}=6,26\text{m/s}$

$v_{0y}=v_0\text{sen}\theta \Rightarrow \text{sen}\theta =\frac{6,26}{10}\Rightarrow \theta =38,8^{\circ }$

$d_x=v_{0x}\cdot t=v_{0x}\cdot \frac{v_{0y}}{9,8}=4,98\text{m}$

b) El movimiento del conjunto flecha+manzana acaba en la posición $(x_f^{\prime },0)$ después de un tiempo $t^{\prime }$. Vuelve a ser uniformemente acelerado en la dirección y con $y_0=2$ m, $v_{0y}^{\prime }=0$, $a_y=-9,8$ m/s${}^2$ ; en la dirección x se trata de un movimiento uniforme con velocidad $v_x^{\prime }$.

$y^{\prime }=y_0^{\prime }+v_{0y}^{\prime }t+\frac{1}{2}{a}_y{t}^{\prime 2}\Rightarrow 0=2-\frac{1}{2}9,8t^{\prime 2}\Rightarrow t^{\prime }=0,64\text{s}$

$x_f^{\prime }=x_i^{\prime }+v_x^{\prime }{t}^{\prime }\Rightarrow 6,25=4,98+v_x^{\prime }{t}^{\prime }\Rightarrow v_x^{\prime }=\frac{1,27}{0,64}=1,98\text{m/s}$

Conservación del momento lineal en la dirección x:

$m\cdot v_{0x}=(m+M)\cdot v_x^{\prime }$

Donde m es la masa de la flecha y M la de la manzana.

$0,05\cdot 10\cos (38,8)=(0,05+M)\cdot 1,98\Rightarrow M=0,15\text{kg}$

Topic: Conservation of Energy, Conservation of Momentum, Newtonian Mechanics Metodi: Energy Conservation Method, Kinematic Equations, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.5