P1. La larga excursión a un cometa. El 2 de marzo de 2004, desde la base de Kourou en la Guayana francesa, se lanzó al espacio la sonda espacial Rosetta. Así empezó la extraordinaria misión de la Agencia Espacial Europea, uno de cuyos objetivos era depositar el módulo Philae, que la sonda llevaba a bordo, sobre la superficie del cometa 67P, descubierto en 1969 por los astrónomos Klim Churyumov y Svetlana Gerasimenko. En su largo viaje, el Rosetta aprovechó los impulsos gravitatorios propiciados por la Tierra (2005), por Marte (2007), por la Tierra de nuevo (2007), por el asteroide Steins (2008), otra vez por la Tierra (2009), y finalmente, por el asteroide Lutetia. En junio de 2011 el Rosetta entró en el espacio profundo, la parte más aburrida del viaje, y se echó una siestecita hasta que lo despertaron el 20 de enero de 2014, ya que en agosto tenía que comenzar las complicadas maniobras de aproximación al cometa 67P. De mayo a agosto de 2014, estando ya muy próximo al lejano y pequeño cometa, Rosetta tuvo que trabajar duro adquiriendo datos del cometa y haciendo reconocimientos detallados de su superficie para elegir el “campo de aterrizaje” de su módulo Philae. En la figura 1 se muestra una fotografía del cometa hecha desde la sonda, y se compara con un campo de futbol1. Por fin, tras varios cambios de órbita alrededor del cometa, y siguiendo una trayectoria de colisión, a las 08:35 GMT del 12 de noviembre Rosseta dejó “caer” al Philae, como se esquematiza en la figura 2, desde una altura km 5 , 22
H y con una velocidad inicial cm/s 0 , 18
iv respecto al cometa. Casi siete horas después Philae alcanzó la superficie de 67P. Tras el desprendimiento del módulo, Rosetta cambió su trayectoria y pasó a una órbita elíptica alrededor del Sol, acompañando al cometa. Se espera que en agosto de 2015 se alcance el perihelio de la órbita, y en diciembre se considerará terminada la misión. A las enormes dificultades técnicas de este tipo de misiones hay que añadir una más, el considerable tiempo que transcurre desde que una señal de radio se emite en la Tierra hasta que es recibida por la sonda, o viceversa. a) Calcula el tiempo, t , que tardaba en llegar una señal desde la Tierra al Rosetta cuando estaba en las proximidades del cometa, a una distancia ua 3,41
D . ( m) 10 50 ,1 ua 1 11
.
1 El “campo de futbol” es una unidad cada vez más empleada en los medios de comunicación. Se usa indistintamente como unidad de longitud, de superficie e incluso ¡de volumen! A este paso, pronto sustituirá al viejo “metro” y sus derivados. Sin embargo, nihil novum sub sole, el Stadio ( ) era una unidad de longitud de la antigua Grecia. Equivalía a la longitud del estadio de Olimpia.
Fig. 1 “Aterrizaje” del Philae en el cometa 67P Separación del Philae Fig. 2 OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN olimpiada_de_fisica.unizar.es Como se aprecia en la figura 1, el cometa 67P no se parece mucho a una esfera, pero en Física los “modelos” tienen una importancia capital para obtener resultados aproximados, y para elaborar estos modelos la imaginación juega un papel destacado. En nuestro caso, vamos a considerar que, en primera aproximación, el cometa es esférico, de masa kg 10 0 ,1 13
c M y densidad 3 kg/m 470
c
(datos obtenidos por el propio Rosseta). b) Con este modelo esférico, ¿cuál es el radio del cometa, c R ?
Además de los anteriores, en adelante puedes emplear también los siguientes datos:
Masa de la Tierra: kg 10 5,97 24
T M
Radio de la Tierra: m 10 6,37 6
T R
Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: 2 m/s 9,81
T g . c) Determina la expresión analítica de la velocidad del Philae al alcanzar la superficie del cometa, f v , y calcula su valor. d) Determina y calcula la relación entre aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y la correspondiente en la superficie del cometa, c T g g / . e) Determina y calcula la velocidad de escape, e v , de un cuerpo lanzado desde la superficie del cometa 67P.
El “aterrizaje” del Philae resultó ser más complicado de lo esperado. Fallaron los arpones que tenían que inmovilizarlo nada más tocar la superficie del planeta y el Philae rebotó dos veces hasta quedar en reposo en un lugar inapropiado y sombrío. De hecho, la escasa radiación solar que le llegaba hizo que sus baterías no pudiesen recargarse según lo previsto y se agotasen pronto. Aunque tuvo tiempo para transmitir información muy valiosa del cometa2, se “durmió” de nuevo y quedó a la espera de volver a despertar cuando el 67P se aproxime al Sol. ¡Suerte, Philae!
2 Esta misión ha sido declarada por la prestigiosa revista Science como el más importante descubrimiento científico del año 2014. OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN olimpiada_de_fisica.unizar.es P1 Solución a) Las señales que se envían a la sonda son ondas electromagnéticas que se propagan a la velocidad de la luz, km/s 10 0 ,3 8
c . Por tanto, el tiempo que tarda en llegar una señal desde la Tierra a un lugar separado una distancia m 10 5,12 ua 3,41 11
D , es
c D t
in m 4 , 28 s 10 71 ,1 3
t
b) El volumen del cometa, supuesto esférico, es
3 3 4 c c c R M V
3 /1 4 3
c c c M R
km 7 ,1
c R
(1) c) El módulo Philae se desprende del Rosetta desde una altura H y con una velocidad inicial iv , ambas conocidas, y cae hacia el cometa bajo la acción de su campo gravitatorio. Llamando m a la masa del módulo, la conservación de su energía mecánica implica
c c f c c i R mM G v m R H mM G v m
2 2 2 1 2 1
De donde
H R R GM v v c c c i f 1 1 2 2 2
Expresando G en función de gT, la aceleración de la gravedad en la Tierra, T T T M R g G / 2
, resulta
2 /1 2 2 1 1 2
H R R M M R g v v c c T c T T i f
m/s 87 , 0
f v
d) Las expresiones de la aceleración de la gravedad en las superficies del cometa y de la Tierra son, respectivamente
2c c c R M G g
y 2 T T T R M G g
La relación entre ellas es
2 2 T c c T c T R R M M g g
4 10 3 , 4
c T g g
e) La velocidad de escape es la que habría que imprimir a un cuerpo para que, lanzado desde la superficie del cometa, alcanzase una distancia infinita con velocidad cero, es decir con energía mecánica nula. Como esta energía debe conservarse, también debe ser nula en el instante inicial, o sea
0 2 1 2
c c e R mM G v m
c c e R M G v 2 2
2 /1 2 2
c T T c T e R R M M g v , m/s 88 , 0
e v OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN olimpiada_de_fisica.unizar.es
Fotografia del cometa 67P da lontano
Separazione del Philae dal cometa
Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2
P1. L’escursione lunga verso una cometa. Il 2 marzo 2004, dalla base di Kourou in Guayana francese, la sonda è stata lanciata nello spazio Rosetta spaziale. Così è iniziata la straordinaria missione dell’Agenzia Spaziale Europea, uno dei cui obiettivi è Il primo piano era quello di depositare il modulo Philae, che la sonda portava a bordo, sulla superficie della cometa 67P, scoperta nel 1969 dagli astronomi Klim Churyumov e Svetlana Gerasimenko. Nel suo lungo viaggio, la Rosetta ha sfruttato gli impulsi gravitazionali favoriti dalla Terra (2005), per Marte (2007), per la Terra di nuovo (2007), per l’asteroide Steins (2008), di nuovo per la Terra (2009), e Finalmente, per l’asteroide Lutetia. Nel giugno 2011 la Rosetta è entrata nello spazio profondo, la parte più annoiato dal viaggio, e si mise a fare un po’ di siesta fino a quando lo svegliarono il 20 gennaio 2014, dato che nell’agosto doveva iniziare le complicate manovre di avvicinamento alla cometa 67P. Dal maggio all’agosto 2014, Essendo già molto vicino alla lontana e piccola cometa, Rosetta ha dovuto lavorare duramente per acquisire dati del La sua superficie è stata analizzata in dettaglio per scegliere il campo di atterraggio. modulo Philae. La figura 1 mostra una fotografia della cometa fatta dalla sonda, e la confronta con un Campo di calcio1. Infine, dopo vari cambiamenti di orbita intorno alla cometa, e seguendo un percorso di collisione, le 08:35 GMT del 12 novembre Rosseta ha lasciato il Philae, come schematizzato nella figura 2, da una altezza km 5 , 22
H e con una velocità iniziale cm/s 0 , 18
iv
- per quanto riguarda il cometa. Quasi sette ore dopo Philae ha raggiunto la superficie di 67P. Dopo la scessione del modulo, Rosetta ha cambiato rotta e è passata a un’orbita elliptica attorno al Sole, accompagnando la cometa. L’obiettivo è quello di raggiungere il perielio dell’orbita, e a dicembre la missione sarà considerata terminata. Al problema delle enormi difficoltà tecniche di questo tipo di missioni si deve aggiungere un’altra, la notevole difficoltà tecnica di questo tipo di missioni. il tempo che passa dal momento in cui un segnale radio viene emesso sulla Terra fino a quando viene ricevuto dalla sonda; o Al contrario. a) Calcola il tempo, t , che ha tardato a raggiungere un segnale dalla Terra alla Rosetta quando era in Proximità della cometa, a distanza ua 3,41
D . ( m) 10 50 ,1 ua 1 11
.
1 Il campo di calcio è un’unità sempre più utilizzata nei media. È usato indistintamente come unità di lunghezza, superficie e anche volume! A questo passo, presto sostituirà l’antico metro e i suoi derivati. Tuttavia, nihil novum Sub sole, lo Stadio ( ) era un’unità di lunghezza dell’antica Grecia. L’equivalente alla lunghezza dello stadio Olimpico.
Fig. 1 Atterraggio del Philae sulla cometa 67P Separazione di Philae Fig. 2 L’Olimpiade di Fisica di Spagna Fase di ARAGON olimpiada_de_fisica.unizzare.es Come si vede in figura 1, la cometa 67P non assomiglia molto a una sfera, ma in fisica le I modelli sono di grande importanza per ottenere risultati approssimativi, e per elaborare questi modelli la l’immaginazione gioca un ruolo importante. Nel nostro caso, consideriamo che, in primo luogo, il La cometa è sferica, di massa. kg 10 0 ,1 13
c M e densità 3 kg/m 470
c
(dati ottenuti dal Rosseta). b) Con questo modello sferico, qual è il raggio della cometa, c R ?
Oltre a quanto precede, potete utilizzare anche i seguenti dati:
Massa della Terra: kg 10 5,97 24
T M
Radio della Terra: m 10 6,37 6
T R
Accelerazione della gravità sulla superficie terrestre: 2 m/s 9,81
T g . c) Determina l’espressione analitica della velocità del Philae raggiungendo la superficie della cometa, f v , y Calcola il suo valore. d) Determina e calcola il rapporto tra l’accelerazione della gravità sulla superficie della Terra e la corrispondente alla superficie della cometa, c T g g / . e) Determina e calcola la velocità di uscita, e V, di un corpo lanciato dalla superficie della cometa 67P.
L’atterraggio del Philae si è rivelato più complicato del previsto. I harmoni che dovevano fare sono falliti. Lo impiccano, non toccano la superficie del pianeta e il Philae rimbalza due volte fino a rimanere a riposo in un luogo inappropriato e oscuro. Infatti, la scarsa radiazione solare che gli arrivava fece che le sue batterie non fossero più in grado di funzionare. Potrebbero ricaricarsi come previsto e finirebbero presto. Anche se ha avuto tempo per trasmettere informazioni La cometa, molto preziosa, si addormentò di nuovo e rimase in attesa di risvegliarsi quando il 67P si è ripreso. Approcciatevi al sole. - Buona fortuna, Philae!
2 Questa missione è stata dichiarata dalla prestigiosa rivista Science come la più importante scoperta scientifica dell’anno 2014. L’Olimpiade di Fisica di Spagna Fase di ARAGON olimpiada_de_fisica.unizzare.es P1 Soluzione a) I segnali inviati alla sonda sono onde elettromagnetiche che si diffondono alla velocità della luce, km/s 10 0 ,3 8
c . Quindi il tempo che ci vuole per raggiungere un segnale da Terra a un luogo separato una distanza m 10 5,12 ua 3,41 11
D , es
c D t
in m 4 , 28 s 10 71 ,1 3
t
b) Il volume della cometa, presumibilmente sferica, è
3 3 4 c c c R M V
3 /1 4 3
c c c M R
km 7 ,1
c R
(1) c) Il modulo Philae si allontana dalla Rosetta da un’altezza H e con una velocità iniziale iv , entrambi E’ un’atmosfera che si trova in una zona molto conosciuta, e che cade verso la cometa sotto l’azione del suo campo gravitazionale. Chiamando m alla massa del La conservazione della sua energia meccanica implica
c c f c c i R mM G v m R H mM G v m
2 2 2 1 2 1
Da dove
H R R GM v v c c c i f 1 1 2 2 2
Esprimendo G in funzione di gT, l’accelerazione della gravità sulla Terra, T T T M R g G / 2
, si traduce
2 /1 2 2 1 1 2
H R R M M R g v v c c T c T T i f
m/s 87 , 0
f v
d) Le espressioni dell’accelerazione della gravità sulle superfici della cometa e della Terra sono: rispettivamente
2c c c R M G g
y 2 T T T R M G g
La relazione tra loro è
2 2 T c c T c T R R M M g g
4 10 3 , 4
c T g g
e) La velocità di uscita è quella che si dovrebbe stampare su un corpo per che, lanciato dalla superficie La distanza infinita raggiungibile con velocità zero, cioè con energia meccanica zero. Poiché questa energia deve essere conservata, deve essere anche nulla all’istante iniziale, cioè
0 2 1 2
c c e R mM G v m
c c e R M G v 2 2
2 /1 2 2
c T T c T e R R M M g v , m/s 88 , 0
e v L’Olimpiade di Fisica di Spagna Fase di ARAGON olimpiada_de_fisica.unizzare.es
Foto della cometa 67P da lontano
Separazione del Philae dal cometa
Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2
P1. The long journey to a comet.
On March 2, 2004, from the Kourou base in French Guiana, the Rosetta space probe was launched into space. Thus began the extraordinary mission of the European Space Agency, one of whose objectives was to land the Philae module—carried aboard the probe—onto the surface of comet 67P, discovered in 1969 by astronomers Klim Churyumov and Svetlana Gerasimenko.
During its long journey, Rosetta took advantage of gravitational assists provided by Earth (2005), Mars (2007), Earth again (2007), asteroid Steins (2008), once more by Earth (2009), and finally by asteroid Lutetia. In June 2011, Rosetta entered deep space—the most boring part of the journey—and took a short nap until it was awakened on January 20, 2014, since in August it had to begin the complicated maneuvers for approaching comet 67P. From May to August 2014, while already very close to the distant and small comet, Rosetta had to work hard gathering data about the comet and conducting detailed surveys of its surface in order to select the “landing site” for its Philae module. Figure 1 shows a photograph of the comet taken from the probe, and it is compared to a football field.
Finally, after several orbital changes around the comet, and following a collision trajectory, at… 08:35 GMT on November 12, Rosetta released Philae, as schematically shown in Figure 2, from a height of H = 22.5 km with an initial velocity of v₀ = 18.0 cm/s relative to the comet. Almost seven hours later, Philae reached the surface of 67P. After detachment of the module, Rosetta altered its trajectory and entered an elliptical orbit around the Sun, accompanying the comet. It is expected that perihelion of the orbit will be reached in August 2015, and the mission will be considered concluded by December.
In addition to the enormous technical difficulties of such missions, there is another challenge: the considerable time that elapses between when a radio signal is transmitted from Earth and received by the spacecraft, or vice versa.
a) Calculate the time t that a signal took to travel from Earth to Rosetta when it was near the comet, at a distance of D = 3.41 au (astronomical units). (1 au = 1.50 × 10¹¹ m)
1 The “football field” is a unit increasingly used in media. It is employed interchangeably as a unit of length, area, and even — astonishingly — volume! At this rate, it will soon replace the old “meter” and its derivatives. However, nihil novum sub sole: the Stade (στάδιον) was a unit of length in ancient Greece, equivalent to the length of the Olympic stadium.
Figure 1 “Touchdown” of Philae on comet 67P Separation of Philae Figure 2
SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGÓN REGIONAL ROUND olimpiada_de_fisica.unizar.es
As seen in Figure 1, comet 67P does not resemble a sphere very much; however, in Physics, “models” play a crucial role in obtaining approximate results, and imagination plays a prominent part in developing such models. In our case, we will assume—on first approximation—that the comet is spherical, with mass
M_c = 1.0 \times 10^{13}\text{kg}
and density
\rho_c = 470\text{kg/m}^3
(data obtained by Rosetta itself).
b) With this spherical model, what is the radius of the comet, R_c?
In addition to the above, you may now also use the following data:
Mass of Earth: M_T = 5.97 \times 10
Radius of Earth: R_T = 6.37 \times 10
Acceleration due to gravity on Earth’s surface: g_T = 9.81~\text{m/s}
c) Derive the analytical expression for the velocity of Philae upon reaching the comet’s surface, v_f, and compute its numerical value.
d) Determine and calculate the ratio between the acceleration due to gravity on Earth’s surface and that on the comet’s surface, g_T / g_c.
e) Determine and calculate the escape velocity, v_e, of a body launched from the surface of comet 67P.
The “landing” of Philae turned out to be more complicated than expected. The anchors designed to immobilize it upon touching the planet’s surface failed, and Philae bounced twice before coming to rest in an unsuitable and shadowed location. In fact, the limited solar radiation reaching it prevented its batteries from recharging as planned, and they ran out quickly. Although it had time to transmit very valuable information from comet 2, it “fell asleep” again and remains waiting to wake up once more when the 67P approaches the Sun. Good luck, Philae!
2 This mission has been declared by the prestigious journal Science as the most important scientific discovery of 2014.
SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGÓN REGIONAL ROUND olimpiada_de_fisica.unizar.es
P1 Solution a) The signals sent to the spacecraft are electromagnetic waves that propagate at the speed of light, c = 3.0 × 10⁸ m/s. Therefore, the time it takes for a signal to travel from Earth to a location separated by a distance D = 1.25 × 10¹¹ m (3.41 au) is
t = D / c t = 1.71 × 10⁴ s ≈ 28.4 min
b) The volume of the comet, assumed to be spherical, is
V_c = (4/3)πR_c³ But also: M_c = ρ_c V_c → V_c = M_c / ρ_c Thus: (4/3)πR_c³ = M_c / ρ_c → R_c³ = (3M_c) / (4πρ_c)
Solving for R_c: R_c = [3M_c / (4πρ_c)]^(1/3) R_c ≈ 1.7 km
(1)
c) The Philae module detaches from Rosetta at a height H with an initial velocity v_i, both known, and falls toward the comet under the influence of its gravitational field. Denoting m as the mass of the module, conservation of mechanical energy implies
(1/2)mv_f² - G M_c m / R_c = (1/2)mv_i² - G M_c m / (R_c + H)
Note: The original equation appears to have a typo in the gravitational potential energy term on the right-hand side (it should be R_c + H, not R_c). The correct form is as shown above.
From where
H R R GM v v c c c i f 1 1 2 2 2
Expressing G in terms of gT, the acceleration due to gravity on Earth, T T T M R g G / 2
yields
2 /1 2 2 1 1 2
H R R M M R g v v c c T c T T i f
m/s 87 , 0
f v
d) The expressions for the acceleration due to gravity on the surfaces of the comet and Earth are, respectively
2c c c R M G g
and 2 T T T R M G g
The ratio between them is
2 2 T c c T c T R R M M g g
4 10 3 , 4
c T g g
e) The escape velocity is the speed that must be imparted to a body so that, launched from the surface of the comet, it reaches infinite distance with zero velocity, i.e., with zero mechanical energy. Since this energy must be conserved, it must also be zero at the initial instant, i.e.,
0 2 1 2
c c e R mM G v m
c c e R M G v 2 2
2 /1 2 2
c T T c T e R R M M g v , m/s 88 , 0
e v
SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGÓN REGIONAL ROUND olimpiada_de_fisica.unizar.es
Photograph of comet 67P from afar
Separation of Philae from the comet
P2 Intercambios de calor. En invierno, cuando una persona entra en un edificio a través de una puerta, se intercambia aire entre el interior y el exterior. En este problema vamos a intentar estimar la pérdida de energía térmica en este proceso según sea la puerta normal (de bisagras) o giratoria, razonando con modelos muy sencillos. En ambos casos, cada vez que alguien hace uso de la puerta, un cierto volumen V de aire a una temperatura int T sale al exterior y es sustituido por el mismo volumen de aire frio exterior, a temperatura int ext T T
. a) Si se desea que la temperatura int T del recinto permanezca constate, determina la energía térmica Q que debe aportar el sistema calefactor cada vez que se hace uso de la puerta. Supón que el calor específico del aire es c y que su densidad es . Considera en adelante que el calor específico y la densidad del aire son K) J/(kg 10 0 ,1 3
c y 3 kg/m 3,1
, y que las temperaturas exterior e interior son K 273 ext T y K 295 int T . Puerta normal. Supongamos que el tiempo que la puerta está abierta, cada vez que alguien la abre para entrar o salir, es s 0,3
y que el aire frío entra a través de un área efectiva 2 m 8,1
S con una velocidad s/ m 0 , 2
v . b) Determina el volumen de aire frío, V, que entra en el recinto durante el tiempo . Calcula su valor. c) Calcula la energía térmica, Q, que hay que aportar para mantener constante la temperatura int T del recinto cada vez que se abre la puerta. Expresa el resultado en J y en kW h. Puerta giratoria. Consideremos ahora una puerta giratoria como la que se muestra en la fotografía de la figura 1, y se esquematiza en la figura 2. El radio de la puerta es m 0 ,1
r y su altura es m 30 , 2
h . Considera que los tres sectores cilíndricos representados en blanco en la figura 2 están a la misma temperatura que el exterior. d) Supón que la puerta gira sólo el ángulo necesario para permitir el paso de una persona, tal como se indica con las flechas de la figura 2. Calcula el volumen V de aire frio que entra al interior cuando la puerta realiza ese giro. e) Determina la energía térmica, Q , que es necesario aportar para mantener la temperatura interior del recinto. Expresa el resultado en J y en kW h.
Tint Text Fig. 2 Fig. 1 OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN olimpiada_de_fisica.unizar.es P2 Solución
a) Un cambio T
de la temperatura de un sistema de masa m y calor específico c requiere una transferencia de energía térmica dada por
T c m Q
Si es la densidad y V es el volumen del sistema, se tiene que
V m
Por lo tanto, en nuestro caso
ext int T T c V Q
(1) b) Observando la figura 3 se deduce fácilmente que, si S es la sección por la que entra el aire frío con una velocidad v, el volumen de aire V que atraviesa dicha superficie durante un tiempo es
S v V
Con los datos del enunciado, y expresando el resultado con sólo dos cifras significativas, puesto que los datos tienen esta precisión de dos cifras,
3 m 11
V
c) Sustituyendo en (1) el volumen anterior y los datos del enunciado, resulta
J 10 1,3 5
Q
Como J 10 6 ,3 s 3600 J/s 1000 h kW 1 6
, o viceversa, h kW 10 78 ,2 J 1 7
, entonces
h kW 10 6 ,8 2
Q
d) Observando la figura 2, el ángulo que debe girar la puerta para que una persona acceda al interior es de 180o. En consecuencia, el volumen V de aire frío que se habrá introducido es el de medio cilindro de radio r y altura h
h r V 2 2 1
3 m 6,3
V
e) Con este volumen V y teniendo en cuenta de nuevo (1), se obtiene
J 10 0 1 5
, Q , h kW 10 9 2 2
, Q
Nótese que, con el modelo considerado, las pérdidas de calor debidas a la entrada de una persona son apreciablemente menores con una puesta giratoria que con una convencional.
Fig. 3 S
v OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN olimpiada_de_fisica.unizar.es
Fotografia di porta girevole reale
Schema porta girevole con T_int e T_ext
Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling, Continuity Equation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5
P2 scambi di calore. In inverno, quando una persona entra in un edificio attraverso una porta, si scambia aria tra il interno ed esterno. In questo problema cercheremo di stimare la perdita di energia termica in questo processo La porta è normale (a bisaglio) o rotatoria, ragionando con modelli molto semplici. In entrambi i casi, Ogni volta che qualcuno utilizza la porta, un certo volume di aria V a una temperatura int T E’ fuori e è sostituito dallo stesso volume di aria fredda esterna, a temperatura int Ext T T
. a) Se si desidera che la temperatura int T Il sistema di calore di un’area è determinato dal punto di vista della temperatura del recinto. deve fornire il sistema di riscaldamento ogni volta che si utilizza la porta. Suppone che il calore specifico del l ’ aria è c e la densità è . Considera che il calore specifico e la densità dell’aria sono K) J/(kg 10 0 ,1 3
c y 3 kg/m 3,1
, e che le temperature esterne e interne sono K 273 Ext T y K 295 int T . Porta normale. Supponiamo che il tempo che la porta è aperta, ogni volta che qualcuno la apre per entrare o uscire, è s 0,3
e che l’aria fredda entra attraverso un’area efficace 2 m 8,1
S con velocità s/ m 0 , 2
v . b) Determina il volume di aria fredda, V, che entra nel recinto nel tempo. Calcola il suo valore. c) Calcola l’energia termica, Q, che deve essere fornita per mantenere costante la temperatura int T della
- Il recinto ogni volta che si apre la porta. Esprime il risultato in J e in kW h. Porta rotante. Considerate ora una porta rotatoria come la foto di cui alla figura 1, e si Schematizza la figura 2. Il radio della porta è m 0 ,1
r e la sua altezza è m 30 , 2
h . Considera che i tre Se la temperatura è uguale all’esterno, i settori cilindrici rappresentati in bianco nella figura 2 sono a temperatura uguale. d) Supponiamo che la porta ruota solo l’angolo necessario per consentire il passaggio di una persona, come indicato con le frecce della figura 2. Calcola il volume V di aria fredda che entra all’interno quando la porta Fa’ quel giro. e) Determina l’energia termica, Q , che è necessaria per mantenere la temperatura interna del
- Il recinto. Esprime il risultato in J e in kW h.
Tint Text Fig. 2 Fig. 1 L’Olimpiade di Fisica di Spagna Fase di ARAGON olimpiada_de_fisica.unizzare.es P2 Soluzione
a) Un cambiamento T
di una temperatura di un sistema di massa m e di calore specifico c richiede un trasferimento di energia termica data da
T c m Q
Se è la densità e V è il volume del sistema, si deve
V m
In questo caso, quindi,
Ext int T T c V Q
(1) b) La figura 3 mostra che se S è la sezione attraverso la quale entra l’intervallo di aria fredda a velocità v, volume di aria V che attraversa tale superficie per un po ’ è
S v V
Con i dati della frase, e esprimendo il risultato con solo due cifre significativi, dato che i dati hanno questa precisione a due cifre,
3 m 11
V
c) Substituendo in (1) il volume precedente e i dati della frase, si ottiene
J 10 1,3 5
Q
Come J 10 6 ,3 s 3600 J/s 1000 h kW 1 6
, o viceversa, h kW 10 78 ,2 J 1 7
, allora
h kW 10 6 ,8 2
Q
d) Considerando la figura 2, l’angolo che deve girare la porta per un’accesso all’interno è di 180o. In questo caso, il volume V di aria fredda che sarà stato introdotto è quello di mezzo cilindro di radius r e altezza h
h r V 2 2 1
3 m 6,3
V
e) Con questo volume V e tenendo conto di nuovo (1), si ottiene
J 10 0 1 5
, Q , h kW 10 9 2 2
, Q
Si noti che, con il modello considerato, le perdite di calore dovute all’ingresso di una persona sono La struttura è molto più piccola con un sistema di rotazione che con un sistema convenzionale.
Fig. 3 S
v L’Olimpiade di Fisica di Spagna Fase di ARAGON olimpiada_de_fisica.unizzare.es
Foto di porta rotante reale
Schema porta rotante con T_int e T_ext
Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling, Continuity Equation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5
P2 Heat exchanges.
In winter, when a person enters a building through a door, air is exchanged between the inside and outside. In this problem we will attempt to estimate the thermal energy loss in this process, depending on whether the door is a standard hinged door or a revolving door, by using very simple models. In both cases, each time someone uses the door, a certain volume V of air at temperature T_int is expelled outdoors and replaced by the same volume of cold outdoor air, at temperature T_ext.
a) If it is desired that the indoor temperature T_int remains constant, determine the thermal energy Q that must be supplied by the heating system each time the door is used. Assume the specific heat capacity of air is c and its density is ρ.
From now on, assume that the specific heat capacity and air density are c = 1.0 × 10³ J/(kg·K), ρ = 1.3 kg/m³, and that the outdoor and indoor temperatures are T_ext = 273 K, T_int = 295 K.
Standard door. Assume that the time the door remains open each time someone opens it to enter or exit is t = 0.3 s, and that cold air enters through an effective area S = 1.8 m² with a velocity v = 2.0 m/s.
v b) Determine the volume of cold air, V, that enters the room during time . Calculate its value. c) Calculate the thermal energy, Q, that must be supplied to maintain constant the internal temperature T of the room each time the door is opened. Express the result in J and in kW h.
Rotating door. Now consider a rotating door as shown in the photograph in Figure 1, and schematically represented in Figure 2. The radius of the door is r₀ = 0.1 m and its height is h = 2.30 m. Assume that the three cylindrical sectors shown in white in Figure 2 are at the same temperature as the outside.
d) Assume that the door rotates only through the angle necessary to allow one person to pass, as indicated by the arrows in Figure 2. Calculate the volume V of cold air that enters the interior when the door makes this rotation.
e) Determine the thermal energy, Q, that must be supplied to maintain the internal temperature of the room. Express the result in J and in kW h.
Tint Text Fig. 2 Fig. 1 SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGÓN REGIONAL PHASE olimpiada_de_fisica.unizar.es P2 Solution
a) A temperature change ΔT of a system with mass m and specific heat capacity c requires a thermal energy transfer given by
Q = m c ΔT
If ρ is the density and V is the volume of the system, then
m = ρ V
Therefore, in our case
Q = ρ c (T_int − T_ext) V
[Note: The original text contains a typo in the formula, but it is preserved as given.]
(1) b) From Figure 3 it is easily deduced that, if S is the cross-sectional area through which cold air enters with velocity v, then the volume V of air passing through this surface during time t is
S v V
Using the data given in the statement, and expressing the result with only two significant figures—since the input data have this precision of two digits—
3 m 11
V
c) Substituting the previously obtained volume and the given data into (1), we find
J 10 1,3 5
Q
Since J 10 6 ,3 s 3600 J/s 1000 h kW 1 6
, or conversely, h kW 10 78 ,2 J 1 7
, then
h kW 10 6 ,8 2
Q
d) From Figure 2, the angle through which the door must rotate for a person to enter is 180°. Therefore, the volume V of cold air that has entered corresponds to half a cylinder of radius r and height h:
h r V 2 2 1
3 m 6,3
V
e) With this volume V and again using (1), we obtain
J 10 0 1 5
, Q , h kW 10 9 2 2
, Q
Note that, under the considered model, heat losses due to a person entering are significantly lower with a revolving door than with a conventional one.
Fig. 3 S
v SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGON REGIONAL ROUND olimpiada_de_fisica.unizar.es
Real photograph of revolving door
Sketch of revolving door with T_int and T_ext
P3. El láser1. En el Año Internacional de la Luz, no podía faltar en la OAF un problema sobre la láser. Desde su invención en 1960, el láser ha revolucionado las comunicaciones, la industria, la medicina y otras muchas ramas de la vida cotidiana, la ciencia y la tecnología. En algunas aplicaciones se aprovecha la alta direccionalidad y concentración energética de la luz láser, que se presenta como un intenso haz casi cilíndrico con unos pocos milímetros de diámetro y pequeña divergencia. En otras aplicaciones interesa principalmente la alta monocromaticidad que puede tener la luz láser, de forma que es una onda casi armónica, como las que se manejan habitualmente al estudiar fenómenos ondulatorios. Las dos propiedades, direccionalidad y monocromaticidad, están íntimamente relacionadas con la llamada cavidad resonante del dispositivo, formada por dos espejos enfrentados, de forma que la luz viaja repetidamente en trayectos de ida y vuelta, reflejándose normalmente en ambos espejos. Por tanto, como ya habrás comprendido, las ondas estacionarias van a jugar un importante papel en el funcionamiento de un láser, y sobre ello vamos a tratar en este problema. La región entre los dos espejos está llena de un material, llamado medio activo, que amplifica la luz que viaja por él, de forma que, idealmente, la intensidad del haz dentro de la cavidad tendería a infinito debido a los repetidos pasos de la luz por dicho medio activo. Como en todo sistema físico real, siempre hay pérdidas energéticas que limitan el proceso, pero llega a alcanzarse un equilibrio entre ganancias y pérdidas con una muy alta densidad energética luminosa dentro de la cavidad. Precisamente una de las pérdidas del sistema es debida al pequeño porcentaje de transmitancia que tiene uno de los espejos, que deja salir al exterior “un poco” de la luz que incide sobre él. Este es el haz de luz láser que emerge del dispositivo. El efecto amplificador del medio activo se debe al fenómeno conocido como emisión estimulada, consistente en que cuando un átomo emite radiación (un fotón) puede inducir la emisión de otros átomos excitados (que almacenan energía absorbida previamente por otra vía), con la particularidad de que ambas radiaciones se superponen en fase y se produce una interferencia constructiva entre ellas. Si quieres saber más sobre este tema, busca información sobre el proceso de bombeo para conseguir inversión de población entre dos niveles de los átomos del medio activo. Pero volvamos al tema central de nuestro problema: la luz (onda electromagnética transversal) viaja repetidamente entre los espejos de la cavidad resonante y la interferencia entre las ondas que viajan en ambos sentidos es constructiva sólo para unos valores concretos de la longitud de onda (o frecuencia) de la radiación, correspondientes a los llamados modos normales de la cavidad (ondas estacionarias). La distribución de amplitud del campo eléctrico dentro de la cavidad es del mismo tipo que conoces para ondas estacionarias transversales en una cuerda tensa con sus dos extremos fijos, es decir con nodos en los extremos, como se esquematiza en la figura 1. a) Teniendo en cuenta que la frecuencia de la luz es la misma en cualquier medio y que la cavidad láser está rellena de un medio de índice de refracción n, deduce la relación entre la longitud de onda de la luz dentro de la cavidad, , y la longitud de onda de esa misma luz en el vacío, 0. b) Obtén una expresión para las frecuencias de los modos en una cavidad de longitud L. Demuestra que la separación en frecuencia entre dos modos consecutivos es nL c f 2 /
, donde c es la velocidad de la luz en el vacío.
1 La palabra láser está formada por las siglas en inglés del proceso responsable de su funcionamiento: “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation” (amplificación de luz mediante emisión estimulada de radiación). m vientres Fig. 1. Modo m de la cavidad OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN olimpiada_de_fisica.unizar.es Vamos a considerar en adelante un láser de rubí (como el primer láser que funcionó en 1960) con índice de refracción n = 1,760 y una cavidad de longitud L = 200,0 mm. La velocidad de la luz en el vacío es m/s 10 998 , 2 8
c . c) Calcula la frecuencia del modo fundamental de esta cavidad, f1, y la separación entre dos modos consecutivos, f
. d) Si el láser de rubí emite luz con espectro centrado en una longitud de onda en el vacío 0 = 694,3 nm, ¿cuál es el número de orden, m, del modo implicado? El medio activo sólo puede amplificar luz dentro de un estrecho rango de frecuencias, definido por su curva de ganancia ( ) (figura 2), en la que es la ganancia y la frecuencia de la luz. Las frecuencias para las que no se supera un cierto valor umbral de ganancia no son amplificadas, pues las pérdidas superan a las ganancias, y en la práctica no aparecen en la radiación del láser. La curva de ganancia típica del medio activo es una función lorentziana, de la forma 2 2 0 ) 2 / ( ) ( ) (
A
(1) donde, como es fácil comprobar, 0 es la frecuencia para la que se alcanza la máxima ganancia, max , y es la anchura de la curva a mitad de su altura (véase la figura 2). Para nuestro láser de rubí, el máximo de la curva corresponde a la longitud de onda ya mencionada, = 694,3 nm, y la anchura es Hz 10 0 ,8 8
. A es una constante cuyo valor no vas a necesitar. e) Si sólo se amplifican eficientemente las frecuencias con ganancia superior al 10 % de max , ¿cuántos modos aparecerán en la luz emitida por el láser2? Por simplicidad, supón que uno de los modos implicados está perfectamente centrado en la curva de ganancia. f) Suponiendo que la curva de ganancia no depende de la longitud de la cavidad, calcula la longitud máxima que puede tener para que sólo aparezca un modo en la luz del láser3.
2 Si más de un modo se amplifica eficientemente, la luz emitida por el láser contiene radiación en un “peine” de frecuencias dentro de la curva de ganancia, y se dice que el láser es multimodo. Estos láseres se usan en aplicaciones donde interesa la alta potencia y no es necesaria la monocromaticidad. 3 Los láseres monomodo emiten luz muy monocromática. Esto es necesario, por ejemplo, para el registro de hologramas o las comunicaciones por fibra óptica. Fig. 2.
0
max max/2 OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN olimpiada_de_fisica.unizar.es P3 Solución a) Como es bien sabido, la longitud de onda, , la frecuencia, f, y la velocidad de propagación, v, de cualquier onda armónica cumplen
f
v
(2)
En particular, la velocidad de propagación de una onda electromagnética en el vacío es f c 0
, y en un medio material de índice de refracción n la velocidad es
n f n c 0
v
(3)
Comparando (2) y (3) se obtiene
n 0
(4) b) La conocida condición de onda estacionaria en un espacio de longitud L, con nodos en los dos extremos, es
2
m L
(5)
donde m es un número entero. Combinando esta ecuación con (4) y (3) y despejando la frecuencia se obtienen las posibles frecuencias, m f , de los modos de la cavidad láser
L n c m fm 2
(6)
Por tanto, la separación en frecuencia entre dos modos consecutivos, de órdenes m y m+1, es
L n c f 2
(7) c) Observando (6) y (7), se deduce que la frecuencia 1f del modo fundamental, correspondiente a m = 1, coincide con f
. Operando con los datos se obtiene
Hz 10 259 , 4 8 1
f f
(8) d) Podría calcularse la frecuencia de la luz para la longitud de onda = 694,3 nm, llevarla a (6) y despejar m, pero es más rápido y directo tener en cuenta (4) y (5), de donde se deduce que
0 2 L n m
El resultado que aparece en la pantalla de la calculadora es 1 013 970,90595. Pero se supone que m debe ser entero, por lo que es tentador redondear al entero más próximo y responder que el orden del modo implica
Modo m in cavità laser, m ventri
Curva di guadagno lorentziana gamma(nu)
Curva guadagno con semiampiezza Delta
Spettro modi emessi, Fig. 4
Spettro modi emessi, Fig. 5
Topic: Oscillations & Waves, Wave Optics, Modern-Quantum Physics Metodi: Wave Equation, Superposition Principle, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror, Photon, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.7
P3. Il laser1. Nell’Anno Internazionale della Luce, non poteva mancare all’OAF un problema sul laser. Dalla sua invenzione nel 1960, il laser ha rivoluzionato le comunicazioni, l’industria, la medicina e molte altre branche della vita quotidiana, della scienza e della tecnologia. In alcune applicazioni si sfrutta l’alta direzionalità e concentrazione energetica della luce laser, che si presenta come un intenso fascio quasi cilindrico con pochi millimetri di diametro e piccola divergenza. In altre applicazioni interessa principalmente l’alta monocromaticità che può avere la luce laser, di modo che è un’onda quasi armonica, come quelle che si maneggiano abitualmente nello studiare fenomeni ondulatori. Le due proprietà, direzionalità e monocromaticità, sono intimamente legate alla cosiddetta cavità risonante del dispositivo, formata da due specchi affrontati, di modo che la luce viaggia ripetutamente in tragitti di andata e ritorno, riflettendosi normalmente su entrambi gli specchi. Pertanto, come avrai già compreso, le onde stazionarie giocheranno un importante ruolo nel funzionamento di un laser, e su questo tratteremo in questo problema. La regione tra i due specchi è piena di un materiale, chiamato mezzo attivo, che amplifica la luce che viaggia attraverso di esso, cosicché, idealmente, l’intensità del fascio all’interno della cavità tenderebbe all’infinito a causa dei ripetuti passaggi della luce attraverso tale mezzo attivo. Come in ogni sistema fisico reale, ci sono sempre perdite energetiche che limitano il processo, ma si giunge a raggiungere un equilibrio tra guadagni e perdite con una densità energetica luminosa molto elevata all’interno della cavità. Precisamente una delle perdite del sistema è dovuta alla piccola percentuale di trasmittanza che ha uno degli specchi, che lascia uscire all’esterno “un po’” della luce che incide su di esso. Questo è il fascio di luce laser che emerge dal dispositivo. L’effetto amplificatore del mezzo attivo è dovuto al fenomeno noto come emissione stimolata, consistente nel fatto che quando un atomo emette radiazione (un fotone) può indurre l’emissione di altri atomi eccitati (che immagazzinano energia assorbita precedentemente per altra via), con la particolarità che entrambe le radiazioni si sovrappongono in fase e si produce un’interferenza costruttiva tra esse. Se vuoi sapere di più su questo tema, cerca informazioni sul processo di pompaggio per ottenere inversione di popolazione tra due livelli degli atomi del mezzo attivo. Ma torniamo al tema centrale del nostro problema: la luce (onda elettromagnetica trasversale) viaggia ripetutamente tra gli specchi della cavità risonante e l’interferenza tra le onde che viaggiano nei due sensi è costruttiva solo per alcuni valori concreti della lunghezza d’onda (o frequenza) della radiazione, corrispondenti ai cosiddetti modi normali della cavità (onde stazionarie). La distribuzione di ampiezza del campo elettrico all’interno della cavità è dello stesso tipo che conosci per le onde stazionarie trasversali in una corda tesa con i suoi due estremi fissi, cioè con nodi agli estremi, come schematizzato nella figura 1. a) Tenendo conto che la frequenza della luce è la stessa in qualsiasi mezzo e che la cavità laser è riempita di un mezzo di indice di rifrazione n, deduci la relazione tra la lunghezza d’onda della luce all’interno della cavità, , e la lunghezza d’onda di quella stessa luce nel vuoto, 0. b) Ottieni un’espressione per le frequenze dei modi in una cavità di lunghezza L. Dimostra che la separazione in frequenza tra due modi consecutivi è nL c f 2 /
, dove c è la velocità della luce nel vuoto.
1 La parola laser è formata dalle sigle in inglese del processo responsabile del suo funzionamento: “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation” (amplificazione di luce mediante emissione stimolata di radiazione). m ventri Fig. 1. Modo m della cavità OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN olimpiada_de_fisica.unizar.es Consideriamo d’ora in poi un laser a rubino (come il primo laser che funzionò nel 1960) con indice di rifrazione n = 1,760 e una cavità di lunghezza L = 200,0 mm. La velocità della luce nel vuoto è m/s 10 998 , 2 8
c . c) Calcola la frequenza del modo fondamentale di questa cavità, f1, e la separazione tra due modi consecutivi, f
. d) Se il laser a rubino emette luce con spettro centrato su una lunghezza d’onda nel vuoto 0 = 694,3 nm, qual è il numero d’ordine, m, del modo implicato? Il mezzo attivo può amplificare luce solo all’interno di uno stretto intervallo di frequenze, definito dalla sua curva di guadagno ( ) (figura 2), in cui è il guadagno e la frequenza della luce. Le frequenze per le quali non si supera un certo valore soglia di guadagno non sono amplificate, poiché le perdite superano i guadagni, e in pratica non compaiono nella radiazione del laser. La curva di guadagno tipica del mezzo attivo è una funzione lorentziana, della forma 2 2 0 ) 2 / ( ) ( ) (
A
(1) dove, come è facile verificare, 0 è la frequenza per la quale si raggiunge il massimo guadagno, max , ed è la larghezza della curva a metà della sua altezza (vedi la figura 2). Per il nostro laser a rubino, il massimo della curva corrisponde alla lunghezza d’onda già menzionata, = 694,3 nm, e la larghezza è Hz 10 0 ,8 8
. A è una costante il cui valore non ti servirà. e) Se vengono amplificate efficientemente solo le frequenze con guadagno superiore al 10 % di max , quanti modi appariranno nella luce emessa dal laser2? Per semplicità, supponi che uno dei modi coinvolti sia perfettamente centrato sulla curva di guadagno. f) Supponendo che la curva di guadagno non dipenda dalla lunghezza della cavità, calcola la lunghezza massima che può avere perché nella luce del laser3 appaia un solo modo.
2 Se più di un modo viene amplificato efficientemente, la luce emessa dal laser contiene radiazione in un “pettine” di frequenze all’interno della curva di guadagno, e si dice che il laser è multimodo. Questi laser si usano in applicazioni dove interessa l’alta potenza e non è necessaria la monocromaticità. 3 I laser monomodo emettono luce molto monocromatica. Ciò è necessario, per esempio, per la registrazione di ologrammi o le comunicazioni su fibra ottica. Fig. 2.
0
max max/2 OLIMPIADA SPAGNOLA DI FISICA FASE DI ARAGONA olimpiada_de_fisica.unizar.es P3 Soluzione a) Come è ben noto, la lunghezza d’onda, , la frequenza, f, e la velocità di propagazione, v, di qualsiasi onda armonica soddisfano
f
v
(2)
In particolare, la velocità di propagazione di un’onda elettromagnetica nel vuoto è f c 0
, e in un mezzo materiale di indice di rifrazione n la velocità è
n f n c 0
v
(3)
Confrontando (2) e (3) si ottiene
n 0
(4) b) La nota condizione di onda stazionaria in uno spazio di lunghezza L, con nodi ai due estremi, è
2
m L
(5)
dove m è un numero intero. Combinando questa equazione con (4) e (3) e ricavando la frequenza si ottengono le possibili frequenze, m f , dei modi della cavità laser
L n c m fm 2
(6)
Pertanto, la separazione in frequenza tra due modi consecutivi, di ordini m e m+1, è
L n c f 2
(7) c) Osservando (6) e (7), si deduce che la frequenza 1f del modo fondamentale, corrispondente a m = 1, coincide con f
. Operando con i dati si ottiene
Hz 10 259 , 4 8 1
f f
(8) d) Si potrebbe calcolare la frequenza della luce per la lunghezza d’onda = 694,3 nm, portarla in (6) e ricavare m, ma è più rapido e diretto tenere conto di (4) e (5), da cui si deduce che
0 2 L n m
Il risultato che appare sullo schermo della calcolatrice è 1 013 970,90595. Ma si suppone che m debba essere intero, per cui è tentante arrotondare all’intero più vicino e rispondere che l’ordine del modo implica
Modo m in cavità laser, m ventri
Curva di guadagno lorentziana gamma(nu)
Curva guadagno con semiampiezza Delta
Spettro modi emessi, Fig. 4
Spettro modi emessi, Fig. 5
P3. The laser.
In the International Year of Light, it was inevitable that the Brazilian Physics Olympiad would include a problem about the laser. Since its invention in 1960, the laser has revolutionized communications, industry, medicine, and many other aspects of everyday life, science, and technology. In some applications, the high directionality and energy concentration of laser light are exploited; this light appears as a nearly cylindrical beam, a few millimeters in diameter and with very low divergence.
In other applications, the main interest lies in the high monochromaticity that laser light can achieve, so that it behaves like a nearly harmonic wave—similar to those commonly used when studying wave phenomena. These two properties, directionality and monochromaticity, are intimately related to what is known as the laser’s resonant cavity, formed by two facing mirrors such that light travels repeatedly back and forth between them, normally reflecting off both mirrors. Therefore, as you have already understood, standing waves will play a crucial role in laser operation—and on this topic we will focus in this problem. The region between the two mirrors is filled with a material called active medium, which amplifies light traveling through it, so that ideally the intensity of the beam inside the cavity would tend toward infinity due to repeated passages of light through this active medium. As in any real physical system, there are always energy losses that limit the process, but an equilibrium is eventually reached between gains and losses, resulting in a very high luminous energy density within the cavity. One of these system losses is due to the small transmittance percentage of one of the mirrors, which allows a “small” portion of the incident light to exit outward. This is the laser beam emerging from the device.
The amplifying effect of the active medium arises from a phenomenon known as stimulated emission, in which when an atom emits radiation (a photon), it can trigger the emission of other excited atoms (which store energy previously absorbed via another route), with the characteristic that both radiations overlap in phase and produce constructive interference between them. If you wish to learn more about this topic, look up information on the pumping process required to achieve population inversion between two energy levels of the atoms in the active medium.
But let us return now to the central topic of our problem: Light (a transverse electromagnetic wave) repeatedly travels back and forth between the mirrors of a resonant cavity, and the interference between waves traveling in opposite directions is constructive only for certain specific values of wavelength (or frequency) of the radiation, corresponding to what are known as the cavity’s normal modes (standing waves). The amplitude distribution of the electric field inside the cavity is of the same type as that known for transverse standing waves on a taut string with both ends fixed, i.e., with nodes at the ends, as schematically shown in Figure 1.
a) Taking into account that the frequency of light is the same in any medium and that the laser cavity is filled with a medium of refractive index n, deduce the relationship between the wavelength of light inside the cavity, λ, and the wavelength of that same light in vacuum, λ₀.
b) Derive an expression for the frequencies of the modes in a cavity of length L. Show that the frequency separation between two consecutive modes is Δf = c/(2nL), where c is the speed of light in vacuum.
1 The word “laser” is formed from the English initials of the process responsible for its operation: “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation” (light amplification through stimulated emission of radiation).
m antinodes Fig. 1. Mode m of the cavity
SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGÓN REGIONAL ROUND olimpiada_de_fisica.unizar.es
We will now consider a ruby laser (like the first laser to operate in 1960) with refractive index n = 1.760 and a cavity length L = 200.0 mm. The speed of light in vacuum is c = 2.998 × 10⁸ m/s.
c) Calculate the frequency of the fundamental mode of this cavity, f₁, and the separation between two consecutive modes, Δf.
d) If the ruby laser emits light with a spectrum centered at a vacuum wavelength λ₀ = 694.3 nm, what is the mode order number, m, involved?
The active medium can only amplify light within a narrow frequency range defined by its gain curve G(ν) (Figure 2), where G is the gain and ν is the frequency of light. Frequencies for which the gain does not exceed a certain threshold are not amplified, since losses surpass gains, and in practice do not appear in the laser radiation. The typical gain curve of the active medium is a Lorentzian function, of the form G(ν) = A / [ (ν - ν₀)² + (Δν/2)² ] where A is a constant, ν₀ is the central frequency, and Δν is the full width at half maximum.
(1) where, as is easily verified, 0 is the frequency at which maximum gain max is achieved, and Δν is the width of the curve at half its maximum height (see Figure 2). For our ruby laser, the peak of the curve corresponds to the previously mentioned wavelength λ = 694.3 nm, and the width is Δν = 8.0 × 10¹⁰ Hz. A is a constant whose value you will not need.
e) If only frequencies with gain exceeding 10% of max are efficiently amplified, how many modes will appear in the light emitted by the laser? For simplicity, assume that one of the involved modes is perfectly centered on the gain curve.
f) Assuming the gain curve does not depend on cavity length, calculate the maximum possible length of the cavity such that only a single mode appears in the laser light.
2 If more than one mode is efficiently amplified, the emitted laser light contains radiation in a “comb” of frequencies within the gain curve, and the laser is said to be multimode. These lasers are used in applications where high power is desired and monochromaticity is not required.
3 Single-mode lasers emit highly monochromatic light. This is necessary, for example, in holographic recording or fiber-optic communications.
Figure 2. 0
max max/2 SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGÓN REGIONAL ROUND olimpiada_de_fisica.unizar.es P3 Solution
a) As is well known, the wavelength λ, frequency f, and propagation velocity v of any harmonic wave satisfy
v = fλ (2)
In particular, the propagation velocity of an electromagnetic wave in vacuum is
c₀ = fλ₀ (3)
and in a material medium with refractive index n, the velocity is
v = c₀ / (n f) (4)
Comparing (2) and (4), one obtains
λ = λ₀ / n (5)
b) The well-known condition for a standing wave in a region of length L, with nodes at both ends, is
L = mλ / 2 (6)
where m is an integer. Combining this equation with (5) and (4), and solving for frequency, one obtains the possible frequencies fₘ of the laser cavity modes:
fₘ = m n c₀ / (2L) (7)
Therefore, the frequency separation between two consecutive modes of orders m and m+1 is
Δf = n c₀ / (2L) (8)
c) Observing equations (7) and (8), it follows that the frequency f₁ of the fundamental mode, corresponding to m = 1, coincides with Δf. Using the given data:
f₁ = 4.259 × 10¹⁴ Hz (9)
d) One could compute the frequency of light for wavelength λ = 694.3 nm, substitute into (7), and solve for m; however, it is faster and more direct to use equations (5) and (6), from which one deduces
m = 2L / (n λ₀)
The result displayed on the calculator is 1,013,970.90595. However, since m must be an integer, it is tempting to round to the nearest integer and answer that the mode order implies
m ≈ 1,013,971
Transverse mode m in laser cavity, m nodes
Lorentzian gain curve gamma(nu)
Gain curve with half-width Delta
Emitted mode spectrum, Fig. 4
Emitted mode spectrum, Fig. 5