UK 2015

Electrons are accelerated through a potential $V_{0}$ , producing a horizontal beam along the $x$ -axis. The beam enters a perfectly uniform electric field parallel to the $y$ -axis, produced by a parallel plate capacitor with potential difference $V_{P}$ between the plates, which have separation $d$ and are of length $L$ , as shown in Figure 2.1.

(a) Determine an expression for:

(i) the initial velocity $v_{0}$ of the electrons entering the electric field.

(ii) the deflection angle $α$ of the beam emerging from the electric field in terms of $V_{0}$ and $V_{P}$ .

(iii) the displacement at P, $y$ , of the emerging beam from the $x$ -axis in terms of $V_{P}$ .

[8]

(b) Calculate the transition time $t$ of an electron through the electric field, given that $V_{0} = 2, 000$ V, $V_{P} = 50.0$ V, $L = 4.00$ cm and $d = 1.50$ cm.

[2]

(c) On emerging from the parallel plates, the beam enters an identical electrostatic field that is at right angles to the initial field, perpendicular to the $x$ -axis and the $y$ -axis, along the $z$ -axis. Determine an algebraic expression for the final speed of an electron exiting the second field and the angles it makes with the Cartesian coordinate axes.

[10]

Electron beam entering parallel plate capacitor

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Electric Potential Method, Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron, Capacitor, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.3

Gli elettroni vengono accelerati attraverso un potenziale $V_{0}$ , producendo un fascio orizzontale lungo l’asse $x$ . Il fascio entra in un campo elettrico perfettamente uniforme parallelo all’asse $y$ , prodotto da un condensatore di piastra parallela con una differenza potenziale $V_{P}$ tra le piastre, che hanno separazione $d$ e sono di lunghezza $L$ , come mostrato alla figura 2.1.

a) Determinare un’espressione per:

(i) la velocità iniziale $v_{0}$ degli elettroni che entrano nel campo elettrico.

l’angolo di deviazione $α$ del fascio che emerge dal campo elettrico in termini di $V_{0}$ e $V_{P}$ .
il spostamento al P, $y$ , del fascio emergente dall’asse $x$ in termini di $V_{P}$ .

[8]

b) Calcolare il tempo di transizione $t$ di un elettrone attraverso il campo elettrico, dato che $V_{0} = 2, 000$ V, $V_{P} = 50.0$ V, $L = 4.00$ cm e $d = 1.50$ cm.

[2]

c) Sorgendo dalle piastre parallele, il fascio entra in un campo elettrostatico identico che si trova ad angoli rettangolari del campo iniziale, perpendicolare all’asse $x$ e all’asse $y$ , lungo l’asse $z$ . Determinare un’espressione algebrica per la velocità finale di un elettrone che esce dal secondo campo e gli angoli che esso fa con gli assi di coordinate cartesiane.

[10]

Fonte di elettroni che entrano nel condensatore di piastre parallele

A force $F$ resisting the motion of a cyclist travelling along a straight level road at speed $v$ , in the absence of a wind, is given by

$F = b v^{2} + c$

where $b$ and $c$ are constants.

Table 3 lists data on the power $P$ developed by the cyclist as a function of $v$ .

$v$ / m s $^{- 1}$	1.40	3.20	4.70	6.50	8.50	9.80	11.2	12.1
$P$ / W	6.00	19.0	37.0	82.0	149	224	298	373

Table 3

(a) Draw a graph of $P / v$ against $v^{2}$ . Determine the constants $b$ and $c$ with an estimate of their accuracy.

[8]

(b) Suggest the physical significance of the terms $b v^{2}$ and $c$ .

[2]

(c) The cyclist can sustain a power of 60 W over long periods. Deduce the equation for the maximum speed $v_{m}$ he can maintain for long periods on a level road.

[5]

D. By superimposing a graph on the sheet used in
A. determine $v_{m}$ .

[5]

Table of power vs speed data

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Graph Linearization, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

Una forza $F$ che resiste al movimento di un ciclista che si muove lungo una strada retta a velocità $v$ , in assenza di vento, è data da:

$F = b v^{2} + c$

dove $b$ e $c$ sono costanti.

La tabella 3 elenca i dati sulla potenza $P$ sviluppati dal ciclista come funzione di $v$ .

$v$ / m s $^{- 1}$	1.40	3.20	4.70	6.50	8.50	9.80	11.2	12.1
$P$ / W	6.00	19.0	37.0	82.0	149	224	298	373

Tabella 3

a) Disegnare un grafico di $P / v$ contro $v^{2}$ . Determinare le costanti $b$ e $c$ con una stima della loro accuratezza.

[8]

b) Suggerire il significato fisico dei termini $b v^{2}$ e $c$ .

[2]

c) Il ciclista può mantenere una potenza di 60 W per lunghi periodi. Riduzione dell’equazione per la velocità massima $v_{m}$ che può mantenere per lunghi periodi su una strada a piattaforma.

[5]

D. Superponiendo un grafico sulla scheda utilizzata in
A. determina $v_{m}$ .

[5]

Tabella di potenza vs dati di velocità

(a) A square wave, positive voltage pulse with peak value 5.0 V and duration 0.020 s is applied across a series combination of a 2.0 k $Ω$ resistor and a 5.0 $μ$ F capacitor. Sketch, on the same graph, the voltages across the resistor $V_{R}$ , using a full curve, and across the capacitor $V_{C}$ , using a dashed curve. Add the two voltages using a dotted curve. No numerical calculation is required.

[6]

(b) The current $I$ through a rod is related to the voltage $V$ across it by

$I = 0.20 V^{3/2}$

The rod is connected in series with a resistor, resistance $R$ , and a 6.0 V battery. What is the value of $R$ if:

(i) the current in the circuit is 0.40 A?

(ii) the power dissipated in the rod is twice that dissipated in the resistor?

[7]

(c) In the circuit in Figure 4.c(i), show that the circuit can be reduced to that in Figure 4.c(ii). Determine the values of $R_{1}$ , $R_{2}$ , $E_{1}$ and $E_{2}$ . Each time a simplification is made to the circuit elements, draw the modified circuit.

[7]

Two equivalent circuit diagrams Figure 4.c(i) and 4.c(ii)

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor, Capacitor, Rod, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.5

a) Si applica un’onda quadrata, impulso di tensione positiva con valore massimo di 5,0 V e durata di 0,020 s su una combinazione di serie di resistore di 2,0 k $Ω$ e condensatore di 5,0 $μ$ F. Sketta, sullo stesso grafico, le tensioni attraverso la resistenza $V_{R}$ , utilizzando una curva completa, e attraverso il condensatore $V_{C}$ , utilizzando una curva a punti. Aggiungi le due tensioni usando una curva puntata. Non è necessario calcolare numericamente.

[6]

b) La corrente $I$ attraverso una canna è correlata alla tensione $V$ che la attraversa

$I = 0.20 V^{3/2}$

La canna è collegata in serie con una resistenza, resistenza $R$ e una batteria da 6,0 V. Qual è il valore di $R$ se:

(i) la corrente nel circuito è di 0,40 A?

(ii) la potenza dissipata nella canna è doppia rispetto alla potenza dissipata nella resistenza?

[7]

(c) Nel circuito della figura 4.c (i), dimostrare che il circuito può essere ridotto a quello della figura 4.c (ii). Determinare i valori di $R_{1}$ , $R_{2}$ , $E_{1}$ e $E_{2}$ . Ogni volta che si semplifica l’elemento del circuito, disegna il circuito modificato.

[7]

*Due diagrammi di circuiti equivalenti Figura 4.c(i) e 4.c(ii) *

A vertical glass tube, of height $2 L$ , is sealed at its lower end and open at the top end to the atmosphere. It contains $n$ moles of air in the lower half (i.e. length $L$ ) of volume $V_{0}$ , and mercury of density $ρ$ in the top half. As the air expands the mercury is expelled. Atmospheric pressure $P_{0}$ corresponds to length $L$ of mercury in a barometer.

(a) Air expands, occupying an additional length $l$ of the tube, but with total volume $V$ and pressure $P$ . Using the reduced volume $\tilde{V} = V / V_{0}$ and the reduced pressure $\tilde{P} = P / P_{0}$ of the air, express these quantities in terms of the reduced value of $l$ , $\tilde{l} = l / L$ . Deduce:

(i) the relation between $\tilde{P}$ and $\tilde{V}$ that is independent of temperature.

(ii) the general ideal gas law, for the air in the tube at temperature $T$ , in terms of the reduced variables $\tilde{P}$ , $\tilde{V}$ and $\tilde{T}$ only, where $\tilde{T} = T / T_{0}$ and $T_{0} = P_{0} V_{0} / (n R)$ .

[4]

(b) Sketch on a $\tilde{P} - \tilde{V}$ graph for the system:

(i) the behaviour of the air in the physically admissible region.

(ii) the isotherms for the air, indicating which are at the higher temperatures by labelling using $\tilde{T}_{1} > \tilde{T}_{2} > \tilde{T}_{3} >$ etc.

Comment on the symmetry of the curves in (i) and (ii). Deduce the highest temperature reached by the air in the tube.

[8]

$\frac{5Δ T ~}{2} = \tilde{C} Δ \tilde{T} - \tilde{P} Δ \tilde{V}$

where $\tilde{C}$ is the specific heat per mole of the air in the tube. Deduce that

$\tilde{C} = \frac{21 - 12 V ~}{6 - 4 V ~}$

[4]

(d) Sketch a graph of $\tilde{C}$ against $\tilde{V}$ in the physically admissible region.

[4]

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6

Un tubo di vetro verticale, di altezza $2 L$ , è sigillato alla sua estremità inferiore e aperto alla sua estremità superiore all’atmosfera. Contiene $n$ molli di aria nella metà inferiore (cioè lunghezza $L$ ) di volume $V_{0}$ e densità $ρ$ di mercurio nella metà superiore. Mentre l’aria si espandono il mercurio viene espulso. La pressione atmosferica $P_{0}$ corrisponde alla lunghezza $L$ del mercurio in un barometro.

a) L’aria si espandono, occupando una lunghezza aggiuntiva $l$ del tubo, ma con volume totale $V$ e pressione $P$ . Usando il volume ridotto $\tilde{V} = V / V_{0}$ e la pressione ridotta $\tilde{P} = P / P_{0}$ dell’aria, esprimere queste quantità in termini di valore ridotto di $l$ , $\tilde{l} = l / L$ . Riduzione:

la relazione tra $\tilde{P}$ e $\tilde{V}$ indipendente dalla temperatura.
la legge generale del gas ideale, per l’aria nel tubo a temperatura $T$ , in termini di variabili ridotte $\tilde{P}$ , $\tilde{V}$ e $\tilde{T}$ soltanto, dove $\tilde{T} = T / T_{0}$ e $T_{0} = P_{0} V_{0} / (n R)$ .

[4]

b) Sketch su un grafico $\tilde{P} - \tilde{V}$ per il sistema:

il comportamento dell’aria nella regione fisicamente ammissibile.
l’isoterma dell’aria, indicando quali sono le temperature più elevate mediante l’etichettatura con $\tilde{T}_{1} > \tilde{T}_{2} > \tilde{T}_{3} >$ ecc.

Commento sulla simmetria delle curve di cui alle lettere i) e ii). Riduci la temperatura più alta raggiunta dall’aria nel tubo.

[8]

c) Quando si verifica un piccolo cambiamento della temperatura $Δ \tilde{T}$ e del volume $Δ \tilde{V}$ ridotti

$\frac{5Δ T ~}{2} = \tilde{C} Δ \tilde{T} - \tilde{P} Δ \tilde{V}$

dove $\tilde{C}$ è il calore specifico per mol dell’aria nel tubo. - Deduci questo.

$\tilde{C} = \frac{21 - 12 V ~}{6 - 4 V ~}$

[4]

d) Segnare un grafico di $\tilde{C}$ rispetto a $\tilde{V}$ nella regione fisicamente ammissibile.

[4]

Two identical spherical homogeneous stars A and B, each of mass $M$ and radius $r$ , have their centres $6 r$ apart. The motion of the stars is to be ignored.

(a) Explain:

(i) Why the surface of B is, or is not, a gravitational equipotential surface.

(ii) With the aid of a diagram where, external to the surface of the stars, the gravitational potential is smallest and largest.

(iii) Where on the surface of the stars is the potential a maximum?

(iv) What is the potential mid-way between the stars?

[9]

(b) Sketch, on the same diagram, the equipotentials that have the values:

(i) $V_{1} = - \frac{10 GM}{3 r}$

(ii) $V_{2} = - \frac{2 GM}{3 r}$

(iii) $V_{3} = - \frac{GM}{3 r}$

[4]

(c) If a body of mass $m$ is ejected from B, determine, with appropriate explanation, the minimum velocity $v_{min}$ of launch required to enable it to reach A.

[7]

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.7

Due stelle omogenee a sfera identiche A e B, ognuna di massa $M$ e raggio $r$ , hanno i loro centri $6 r$ separati. Il movimento delle stelle deve essere ignorato.

(a) Spiega:

(i) Perché la superficie di B è o non è una superficie equipotenziale gravitazionale.

con l’aiuto di un diagramma in cui, all’esterno della superficie delle stelle, il potenziale gravitazionale è più piccolo e più grande.

(iii) In quale parte della superficie delle stelle è il potenziale massimo?

(iv) Qual è la potenziale distanza tra le stelle?

[9]

b) Sketch, sullo stesso diagramma, gli equipotenziali che hanno i valori:

(i) $V_{1} = - \frac{10 GM}{3 r}$

(ii) $V_{2} = - \frac{2 GM}{3 r}$

(iii) $V_{3} = - \frac{GM}{3 r}$

[4]

c) Se un corpo di massa $m$ viene espulso da B, determinare, con una spiegazione appropriata, la velocità minima $v_{min}$ di lancio necessaria per consentirgli di raggiungere A.

[7]

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