Spagna 2016

P1 Solución a1) Si se desprecian la fricción con el alambre y la resistencia del aire, tanto 0 v como A v pueden obtenerse directamente a partir de la conservación de la energía mecánica

gh v 2 0

h g vA

4 3h h

2 3gh vA

a2) Tal y como se indica en el enunciado, el coeficiente de restitución es 0 / v v e A

. Por tanto

h h e

87 ,0 2 3

(1) b1) La bola B, igual que la A, ha descendido una altura h en caída libre, luego su velocidad es

gh v vB 2 0

(2) b2) En la figura 3a se indica que, justo antes del choque entre las bolas, A se mueve hacia arriba y B hacia abajo, de forma que el módulo de la velocidad relativa entre las bolas es A B i r v v v

, . Después del choque (figura 3b), las dos bolas se mueven hacia arriba con A B v v

, luego el módulo de la velocidad relativa es A B f r v v v

, . En total A B A B v v v v e

(3) b3) Tomando sentido positivo hacia arriba, la conservación del momento lineal se escribe B B A A B B A A v m v m v m v m

(4) Teniendo en cuenta que 0 v vB y que 0 ev vA , las ecuaciones (3) y (4) forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, A B v v

y . Resolviendo el sistema se obtiene

0 2 v m m m m e e v B A B A B

Para B A m m 10

, y teniendo en cuenta el valor de e dado en (1), se obtiene

0 17 ,2 v vB

(5) b4) Aplicando de nuevo la conservación de la energía mecánica, y teniendo en cuenta (5) gH vB 2

gh v vB 2 17 ,2 17 ,2 0

Operando, se obtiene por fin h H 7 , 4

Nota: La altura H calculada no es hasta el suelo, como por error se indica en la figura 2b, sino hasta el vértice superior de la bola A en el instante del choque (figura b 2 ). La altura hasta el suelo sería H más el diámetro (desconocido) de la bola A. b 2 Fig.

H A B XXXVII OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN P2.- Oscilaciones de una esfera cargada. Dos pequeñas esferas están sujetas en los extremos de una varilla fija no conductora de longitud 2d. Una tercera esfera, de masa m, está ensartada en la varilla y puede deslizar sin rozamiento por ella. Las tres esferas son no conductoras y cada una tiene una carga eléctrica q uniformemente distribuida sobre su superficie. a) Determina la expresión de la fuerza electrostática, ) (x F , que actúa sobre la esfera central cuando está a una distancia x del centro de la varilla, O, como se indica en la figura 1. b) Obtén una expresión aproximada de F(x) para x << d. c) La esfera se libera con velocidad inicial nula desde un punto A, situado a una distancia 20 / d xA a la derecha de O. ¿Cuál será su velocidad, 0 v , cuando pase por O? d) La esfera seguirá moviéndose hacia la izquierda, después de pasar por O. ¿Cuál es la coordenada, B x , del punto B más alejado de O hasta el que llegará? e) Teniendo en cuenta la expresión aproximada de F(x) que has obtenido en el apartado b), calcula el tiempo que tardará la esfera en realizar el trayecto AB.

d d x q q m q, O Fig. 1 A XXXVII OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN

Balle su filo: Fig.1a e Fig.1b

Balle su filo: Fig.2a e Fig.2b

Fig.3a: balle prima dell urto

Fig.3b: balle dopo l urto

Fig.2b: altezza palla su filo

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Conservation of Energy, Conservation of Momentum, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Ball, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.4

P1 Soluzione a1) Se si disprezza la friczione con il filo e la resistenza dell’aria, v come A v possono essere ottenute direttamente a partire dalla conservazione dell’energia meccanica

gh v 2 0

h g vA

4 3h h

2 3gh vA

a2) Come indicato nella sentenza, il coefficiente di restituzione è 0 / v v e A

. Quindi

h h e

87 ,0 2 3

(1) b1) La palla B, come la A, è scesa a una quota h in caduta libera, quindi la sua velocità è

gh v vB 2 0

(2) b2) La figura 3a indica che, appena prima dell’impatto tra le palle, A si muove verso l’alto e B verso il Sotto, in modo che il modulo di velocità relativa tra le palle è A B i r v v v

, . Dopo il colpo (Figura 3b), le due palle si muovono verso l’alto con A B v v

, poi il modulo di velocità relativa è A B f r v v v

, . Complessivamente A B A B v v v v e

(3) b3) Prendendo un senso positivo verso l’alto, la conservazione del momento lineare viene scritta B B A A B B A A v m v m v m v m

(4) Considerando che 0 v vB e che 0 ev vA , le equazioni (3) e (4) formano un sistema di due equazioni con due incognite, A B v v

y . Risolvendo il sistema si ottiene

0 2 v m m m m e e v B A B A B

Per B A m m 10

, e considerando il valore di e dato in (1), si ottiene

0 17 ,2 v vB

(5) b4) Riprese in atto la conservazione dell’energia meccanica, tenendo conto (5) gH vB 2

gh v vB 2 17 ,2 17 ,2 0

Operando, si ottiene finalmente h H 7 , 4

Nota: l’altezza H calcolata non è fino al suolo, come indicato erroneamente nella figura 2b, ma fino alla vertica superiore della palla A all’istante dello scatto (figura b) 2 ). Altezza fino al suolo sarebbe H più il diametro (non noto) della palla A. b 2 Fig.

H A B XXXVII Olimpiadi di fisica spagnola Fase di ARAGON P2.- Oscillazioni di una sfera carica. Due piccole sfere sono attaccate alle estremità di un’asta fissa non conduttrice di lunghezza 2d. Una la terza sfera, di massa m, è fissata sul bastone e può scivolare senza rottura. Le tre sfere Le parti di questo sistema sono non conduttrici e ognuna ha un carico elettrico uniformemente distribuito sulla sua superficie. a) Determina l’espressione della forza elettrostatica, ) (x F , che agisce sulla sfera centrale quando è a una distanza x dal centro della canna, O, come indicato nella figura 1. b) Ottieni un’espressione approssimativa di F(x) per x << d. c) La sfera si libera a velocità iniziale zero da un punto A, situato a una distanza 20 / d xA a la a destra di O. Qual è la velocità, 0? V, quando passa per O? d) La sfera continuerà a muoversi a sinistra dopo aver attraversato O. Qual è la coordinata, B di x , del punto B più lontano da O fino a che punto arriverà? e) Considerando l’espressione approssimativa di F(x) che hai ottenuto al punto (b), calcola il tempo che la sfera ci vorrà tempo per effettuare il percorso AB.

d d x q q m q, O Fig. 1 A XXXVII Olimpiadi di fisica spagnola Fase di ARAGON

Balle il suo filo: Fig.1a e Fig.1b

Balle il suo filo: Fig.2a e Fig.2b

Fig.3a: balle prima dell’urto

Fig.3b: balle dopo l’urto

Fig.2b: altezza palla il filo

P1 Solution a1) If the friction with the wire and the air resistance are neglected, both 0 v as A v can be obtained directly from the conservation of mechanical energy

gh v 2 0

h g vA

4 3h h

2 3gh vA

a2) As stated in the statement, the rate of refund is 0 / v v e A

. So, what?

h h e

87 ,0 2 3

(1) b1) Ball B, like ball A, has descended a height h in free fall, then its speed is

gh v vB 2 0

(2) b2) Figure 3a shows that just before the balls hit, A moves up and B moves up. Below, so that the modulo of the relative velocity between the balls is A B i r v v v

, . After the impact (Figure 3b), the two balls move upwards with A B v v

, then the speed module relative is A B f r v v v

, . Total of the A B A B v v v v e

(3) b3) Taking positive upward direction, the conservation of linear momentum is written B B A A B B A A v m v m v m v m

(4) Given that 0 v vB and that 0 ev vA , the equations (3) and (4) form a system of two Equations with two unknowns, A B v v

y . Solving the system gets

0 2 v m m m m e e v B A B A B

Stop B A m m 10

, and taking into account the value of e given in (1), it is obtained

0 17 ,2 v vB

(5) b4) Re-applying the conservation of mechanical energy, and taking into account (5) gH vB 2

gh v vB 2 17 ,2 17 ,2 0

Operating, you finally get h H 7 , 4

Note: The calculated height H is not up to the ground as shown in the figure by mistake 2b, but up to the top of the ball A at the instant of impact (Figure b) 2 ). Height down to the ground would be H plus the diameter (unknown) of the ball A. b 2 Fig.

H A B XXXVII Spanish Olympics in Physics The following is the list of the categories of products: P2.- Oscillations of a charged sphere. Two small spheres are attached at the ends of a fixed non-conductive rod of 2d length. One of them. The third sphere, m-mass, is fixed to the rod and can slide through it without any bruising. The three spheres They are non-conductive and each has an electrical charge which is evenly distributed over its surface. a) Determines the expression of electrostatic force, ) (x F , which acts on the central sphere when it is at a distance x from the centre of the rod, O, as shown in Figure 1. b) Get an approximate expression of F(x) for x << d. c) The sphere is released at zero initial velocity from a point A, located at a distance 20 / d xA a la Right of O. What is your speed, 0? v, when you pass O? d) The sphere will continue to move to the left after passing through O. What’s the coordinate, B x , of Point B further from O to which point will it reach? e) Taking into account the approximate expression of F(x) you have obtained in paragraph (b), calculate the time It will take the sphere to make the AB path.

d d x q q m q, O Fig. 1 A XXXVII Spanish Olympics in Physics The following is the list of the categories of products:

The following table shows the results of the tests:

The following table shows the results of the calculations:

The following table shows the results of the evaluation:

Fig.2b: Altitude of the ball at the edge

P2 Solución a) La fuerza neta es la suma (vectorial) de las repulsiones electrostáticas de las dos cargas situadas en los extremos de la varilla. Tomando sentido positivo hacia la derecha 2 2 2 2 ) ( ) ( x d q k x d q k F

2 2 2 ) ( ) ( $\cdot$ 4 x d x d x d kq F

b) Si x << d, despreciando x frente a d en el denominador de la expresión anterior, la fuerza se reduce a 3 2 4 d x kq F

Se obtiene una fuerza que, aproximadamente, es directamente proporcional al desplazamiento x y en sentido opuesto (fuerza tipo “muelle”), por lo que si la carga se aparta ligeramente de O y se libera realizará oscilaciones aproximadamente armónicas, con frecuencia angular 3 3 2 2 4 md k q md kq

(1) c) La fuerza eléctrica que actúa sobre la carga q es conservativa. Planteando la conservación de la energía mecánica entre A y O se tiene 2 0 2 2 2 2 1 2 20 / 19 20 / 21 mv d q k d q k d q k

Operando se obtiene

md k q md q k v 10 399 4 2 0

A este último resultado aproximado también puede llegarse teniendo en cuenta las conclusiones del apartado b). En una oscilación armónica, la velocidad al pasar por O (velocidad máxima) es A , donde A es la amplitud de la oscilación, es decir

md k q md k q d d v 10 2 20 20 3

d) Evidentemente, la carga se moverá hasta la posición simétrica de la inicial, donde la energía cinética es nula y la potencial coincide con la inicial, es decir 20 d x x A B

e) Como ya se ha comentado, si x << d la ecuación de movimiento es la correspondiente a un oscilador armónico ma d x kq F

3 2 4 $\to$ x x md kq a 2 3 2 4

La frecuencia angular de oscilación será la dada en (1), y el tiempo que tardará la partícula en ir de A hasta B será medio periodo

2 , T t B A $\to$ k md q t B A 3 , 2 XXXVII OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN P3.- El efecto invernadero. Algunos gases presentes en la atmósfera como el vapor de agua, CO2, CH4 y NOx se denominan “gases de efecto invernadero”. Estos gases absorben y reemiten hacia la corteza terrestre gran parte de la radiación infrarroja emitida por la Tierra, logrando un equilibrio que hace posible que la superficie de este planeta se mantenga a una temperatura media compatible con la vida. Pero un aumento antropogénico de la concentración de dichos gases puede producir un aumento en la temperatura de la Tierra de funestas consecuencias. El objetivo de una serie de reuniones internacionales sobre cambio climático la última en París a finales de 2015 es precisamente reducir la emisión de gases de efecto invernadero. En este ejercicio se plantean algunos aspectos relacionados con la radiación solar, y en el último apartado se presenta un tratamiento básico del efecto invernadero. La capa alta de la atmósfera terrestre recibe una radiación solar cuya intensidad (potencia por unidad de superficie) es 2 3 m W/ 10 37 ,1

T S . La distancia entre el Sol y la Tierra es m 10 5,1 11

ST R

Determina y calcula la potencia total con que emite el Sol, S W . La velocidad de la luz en el vacío es s/ m 10 0 ,3 8

c . 2) Calcula la masa que pierde el Sol por unidad de tiempo, t m

/ , para generar tal cantidad de energía. El radio del Sol es m 10 0 , 7 8

S R . 3) Determina y calcula la potencia por unidad de superficie, S S , que emite el Sol en su superficie. La ley de Stefan-Boltzmann relaciona la potencia por unidad de superficie emitida por un cuerpo negro con su temperatura absoluta, T. Su expresión es: 4 T S

, en la que 4 2 8 K m W 10 7 ,5

(Constante de Stefan-Boltzmann). Considera que la radiación solar cumple esta ley, es decir que el Sol se comporta como un cuerpo negro. 4) ¿Cuál es la temperatura en la superficie del Sol, S T ? Desde el Sol, la Tierra se ve como un disco de área 2 T R A

, donde m 10 37 , 6 6

T R es el radio de la Tierra. Esta área es la sección eficaz de la Tierra para la radiación solar. 5) Determina y calcula la potencia solar que recibe la Tierra, T W . Como se esquematiza en la figura 1, un 33% de la energía solar que llega a la Tierra se refleja, un 22% se absorbe en la atmósfera y el 45% restante se absorbe en la corteza terrestre. Vamos a considerar en principio que, una vez alcanzado un estado estacionario en el que se equilibran ganancias y pérdidas energéticas, la corteza terrestre y la atmósfera están a la misma temperatura media (promedio entre día y noche), T T . Admite en adelante que el espesor de la atmósfera es despreciable frente al radio de la Tierra. Atmósfera a temperatura T T Fig. 1 Corteza terrestre a temperatura T T 33% 22% 45% 4 T T XXXVII OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN 6) Determina y calcula la temperatura de equilibrio del sistema corteza-atmósfera, T T , considerando al conjunto como un único cuerpo negro. En el planteamiento del apartado anterior no se ha tenido en cuenta el efecto invernadero, y por eso la temperatura T T que se obtiene es apreciablemente inferior a la temperatura media real de la Tierra, T T . La radiación que emite la Tierra está en el rango del infrarrojo, y precisamente la atmósfera absorbe esta radiación con gran eficacia debido a los gases de efecto invernadero que contiene (CO2, NOx, etc.). Como modelo más elaborado, consideremos ahora una situación de equilibrio en la que toda la radiación infrarroja que emite la corteza terrestre, a una temperatura T T , es completamente absorbida por la atmósfera, a una temperatura A T . Por otra parte, la atmósfera emite por igual en todas las direcciones, de manera que emite la misma radiación hacia el espacio exterior que hacia la corteza, como se esquematiza en la figura 2. 7) Determina y calcula la temperatura de equilibrio en la corteza terrestre, T T , suponiendo que tanto la corteza como la atmósfera se comportan como cuerpos negros.

Fig. 2 Atmósfera, con gases de efecto invernadero, a temperatura T A T T

4 T T

4 A T

Corteza terrestre, a temperatura 45% 22% T T 33% XXXVII OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN

Varilla con sfere cariche agli estremi

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves Metodi: Coulomb’s Law, Approximation & Series Expansion, Energy Conservation Method, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Sphere, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.6

P2 Soluzione a) La forza netta è la somma (vettoriale) delle repulsioni elettrostatiche esercitate dalle due cariche poste agli estremi della sbarra. Prendendo come verso positivo quello verso destra 2 2 2 2 ) ( ) ( x d q k x d q k F

2 2 2 ) ( ) ( $\cdot$ 4 x d x d x d kq F

b) Se x << d, trascurando x rispetto a d nel denominatore dell’espressione precedente, la forza si riduce a 3 2 4 d x kq F

Si ottiene una forza che, approssimativamente, è direttamente proporzionale allo spostamento x e ha verso opposto (forza del tipo “molla”), quindi se la carica viene spostata leggermente da O e poi rilasciata compierà delle oscillazioni approssimativamente armoniche, con pulsazione angolare 3 3 2 2 4 md k q md kq

(1)

c) La forza elettrica che agisce sulla carica q è conservativa. Applicando la conservazione dell’energia meccanica tra A e O si ha 2 0 2 2 2 2 1 2 20 / 19 20 / 21 mv d q k d q k d q k

Svolgendo i calcoli si ottiene md k q md q k v 10 399 4 2 0

A questo risultato approssimato si può arrivare anche tenendo conto delle conclusioni del punto b). In un moto armonico, la velocità nel passaggio per O (velocità massima) è A , dove A è l’ampiezza dell’oscillazione, cioè md k q md k q d d v 10 2 20 20 3

d) Evidentemente, la carica si muoverà fino alla posizione simmetrica rispetto a quella iniziale, dove l’energia cinetica è nulla e l’energia potenziale coincide con quella iniziale, cioè 20 d x x A B

e) Come già osservato, se x << d l’equazione del moto è quella di un oscillatore armonico

ma d x kq F

3 2 4 $\to$ x x md kq a 2 3 2 4

La pulsazione angolare delle oscillazioni sarà quella data in (1), e il tempo impiegato dalla particella per andare da A a B sarà la metà del periodo

2 , T t B A $\to$ k md q t B A 3 , 2 XXXVII OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN P3.- L’effetto serra. Alcuni gas presenti nell’atmosfera, come vapore acqueo, CO₂, CH₄ e NOₓ, sono denominati “gas serra”. Questi gas assorbono e riemettono verso la crosta terrestre gran parte della radiazione infrarossa emessa dalla Terra, raggiungendo un equilibrio che rende possibile il mantenimento della superficie di questo pianeta a una temperatura media compatibile con la vita. Tuttavia, un aumento antropogenico della concentrazione di tali gas può provocare un innalzamento della temperatura terrestre con conseguenze funeste. L’obiettivo di una serie di riunioni internazionali sul cambiamento climatico, l’ultima a Parigi alla fine del 2015, è proprio quello di ridurre le emissioni dei gas serra. In questo esercizio vengono affrontati alcuni aspetti relativi alla radiazione solare, e nell’ultimo paragrafo viene presentato un trattamento elementare dell’effetto serra. La parte alta dell’atmosfera terrestre riceve una radiazione solare la cui intensità (potenza per unità di superficie) è 2 3 m W/ 10 37 ,1

T S . La distanza tra il Sole e la Terra è m 10 5,1 11

ST R

Determina e calcola la potenza totale con cui il Sole emette energia, S W . La velocità della luce nel vuoto è s/ m 10 0 ,3 8

c .

Calcola la massa persa dal Sole nell’unità di tempo, t m

/ , per generare tale quantità di energia. Il raggio del Sole è m 10 0 , 7 8

S R .

Determina e calcola la potenza per unità di superficie, S S , emessa dal Sole sulla sua superficie. La legge di Stefan-Boltzmann collega la potenza per unità di superficie emessa da un corpo nero con la sua temperatura assoluta, T. La sua espressione è: 4 T S

, dove 4 2 8 K m W 10 7 ,5

(costante di Stefan-Boltzmann). Considera che la radiazione solare rispetti tale legge, ossia che il Sole si comporti come un corpo nero.

Qual è la temperatura sulla superficie del Sole, S T ?

Dal Sole, la Terra appare come un disco di area 2 T R A

, dove m 10 37 , 6 6

T R è il raggio della Terra. Questa area rappresenta la sezione efficace della Terra per la radiazione solare.

Determina e calcola la potenza solare ricevuta dalla Terra, T W . Come mostrato in figura 1, il 33% dell’energia solare che raggiunge la Terra viene riflesso, il 22% viene assorbito nell’atmosfera e il 45% rimanente viene assorbito nella crosta terrestre. Consideriamo inizialmente che, una volta raggiunto uno stato stazionario in cui si bilanciano guadagno e perdita di energia, la crosta terrestre e l’atmosfera si trovino alla stessa temperatura media (media tra giorno e notte), T T . Si si supone inoltre che lo spessore dell’atmosfera sia trascurabile rispetto al raggio della Terra.

Atmosfera alla temperatura T T Fig. 1

Corteccia terrestre alla temperatura T T 33% 22% 45% 4 T T

XXXVII OLIMPIADA SPAGNOLA DI FISICA FASE DI ARAGONA

Determina e calcola la temperatura di equilibrio del sistema corteccia-atmosfera, T T , considerando l’insieme come un unico corpo nero.

Nel trattamento del punto precedente non è stato considerato l’effetto serra, e per questo la temperatura T T così ottenuta è significativamente inferiore alla temperatura media reale della Terra, T T .

La radiazione emessa dalla Terra si trova nel campo dell’infrarosso, e proprio l’atmosfera assorbe con grande efficienza questa radiazione a causa dei gas serra che contiene (CO₂, NOₓ, ecc.).

Come modello più elaborato, consideriamo ora una situazione di equilibrio in cui tutta la radiazione infrarossa emessa dalla corteccia terrestre, alla temperatura T T , viene completamente assorbita dall’atmosfera, alla temperatura A T . Inoltre, l’atmosfera irradia in modo isotropo, per cui emette la stessa quantità di radiazione verso lo spazio esterno e verso la corteccia, come schematizzato in figura 2.

Determina e calcola la temperatura di equilibrio sulla corteccia terrestre, T T , supponendo che sia la corteccia che l’atmosfera si comportino come corpi neri.

Fig. 2 Atmosfera, con gas serra, alla temperatura T A T T

4 T T

4 A T

Corteza terrestre, a temperatura 45% 22% T T 33% XXXVII OLIMPIADA SPAGNOLA DI FISICA Fase di Aragona

Varilla con sfere cariche agli estremi

P2 Solution a) The net force is the vector sum of the electrostatic repulsions from the two charges located at the ends of the rod. Taking positive direction to the right 2 2 2 2 ) ( ) ( x d q k x d q k F

2 2 2 ) ( ) ( $\cdot$ 4 x d x d x d kq F

b) If x << d, neglecting x compared to d in the denominator of the previous expression, the force reduces to 3 2 4 d x kq F

This yields a force approximately proportional to the displacement x and directed oppositely (spring-like force), so if the charge is slightly displaced from O and released, it will undergo approximately harmonic oscillations with angular frequency 3 3 2 2 4 md k q md kq

(1)

c) The electric force acting on charge q is conservative. Applying conservation of mechanical energy between points A and O gives 2 0 2 2 2 2 1 2 20 / 19 20 / 21 mv d q k d q k d q k

Simplifying yields md k q md q k v 10 399 4 2 0

This same approximate result may also be obtained by using the conclusions from part (b). In a harmonic oscillation, the velocity at point O (maximum velocity) is Aω, where A is the amplitude of oscillation. Thus md k q md k q d d v 10 2 20 20 3

d) Evidently, the charge will move until it reaches the symmetric position with respect to its initial location, where kinetic energy is zero and potential energy equals the initial value, that is 20 d x x A B

e) As already mentioned, if x << d, the equation of motion corresponds to a harmonic oscillator: ma d x kq F

3 2 4 $\to$ x x md kq a 2 3 2 4

The angular frequency of oscillation will be given by (1), and the time taken by the particle to move from A to B will be half a period:

2 , T t B A $\to$ k md q t B A 3 , 2

XXXVII SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGON REGIONAL ROUND P3. The greenhouse effect.

Some gases present in the atmosphere—such as water vapor, CO₂, CH₄, and NOₓ—are known as “greenhouse gases.” These gases absorb and re-emit a large portion of the infrared radiation emitted by Earth toward its surface, establishing an equilibrium that allows the planet’s surface to remain at a mean temperature compatible with life. However, a human-induced increase in the concentration of these gases may lead to an undesirable rise in Earth’s temperature. The goal of a series of international meetings on climate change—most recently held in Paris at the end of 2015—is precisely to reduce emissions of greenhouse gases.

In this problem, several aspects related to solar radiation are considered. In the final section, a basic treatment of the greenhouse effect is presented.

The upper layer of Earth’s atmosphere receives solar radiation with an intensity (power per unit area) of 2 3 m W/ 10 37 ,1

T S . The distance between the Sun and Earth is m 10 5,1 11

ST R

Determine and calculate the total power emitted by the Sun, S W . The speed of light in vacuum is s/m 10 3.0 8 c .

Calculate the mass lost by the Sun per unit time, t m / , to generate such amount of energy. The radius of the Sun is m 10 7.0 8 S R .

Determine and calculate the power per unit surface area, S S , emitted by the Sun at its surface. The Stefan-Boltzmann law relates the power per unit surface area emitted by a black body to its absolute temperature, T. Its expression is: 4 T S , where K m W 10 7.5 2 8 4 (Stefan-Boltzmann constant). Assume that solar radiation obeys this law, i.e., the Sun behaves as a black body.

What is the temperature at the surface of the Sun, S T ?

From the Sun, Earth appears as a disk of area 2 T R A , where m 10 3.76 6 T R is the radius of Earth. This area is the effective cross-sectional area of Earth for solar radiation.

Determine and calculate the solar power received by Earth, T W . As schematically shown in Figure 1, 33% of the solar energy reaching Earth is reflected, 22% is absorbed in the atmosphere, and the remaining 45% is absorbed by Earth’s crust. We will initially assume that, once a stationary state is reached in which energy gains and losses are balanced, Earth’s crust and atmosphere are at the same average temperature (mean between day and night), T T . From now on, assume that the thickness of the atmosphere is negligible compared to Earth’s radius.

Atmosphere at temperature T T Figure 1

Earth’s crust at temperature T T 33% 22% 45% 4 T T XXXVII SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGÓN REGIONAL ROUND

Determine and calculate the equilibrium temperature of the Earth’s crust–atmosphere system, T T , considering the entire system as a single black body.

In the previous part’s formulation, the greenhouse effect was not taken into account; therefore, the temperature T T obtained is significantly lower than Earth’s actual average temperature, T T .

Earth’s emitted radiation lies in the infrared range, and precisely this radiation is strongly absorbed by the atmosphere due to greenhouse gases it contains (CO₂, NOₓ, etc.).

As a more refined model, consider now an equilibrium situation in which all infrared radiation emitted by the Earth’s crust at temperature T T is completely absorbed by the atmosphere, which is at temperature A T . Furthermore, the atmosphere emits radiation equally in all directions, so it emits the same amount of radiation toward outer space as toward the crust, as schematically shown in Figure 2.

Determine and calculate the equilibrium temperature of Earth’s crust, T T , assuming both the crust and atmosphere behave as black bodies.

Figure 2 Atmosphere, containing greenhouse gases, at temperature T A T T

4 T T

4 A T

Earth’s crust, at temperature 45% 22% T T 33% XXXVII SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGON REGIONAL ROUND

Rod with charged spheres at the ends

P3 Solución 1) Si la distancia entre el Sol y la Tierra es ST R y la potencia que recibe la Tierra por unidad de superficie es T S , la energía total que emite el Sol es

W 10 9 ,3 4 26 2

T ST S S R W

De acuerdo con la muy conocida expresión de Einstein, una masa m

de Sol equivale a una energía E

dada por

2 c m E

Por tanto, la energía por unidad de tiempo (potencia) que genera el Sol, t E WS

/ , supone una pérdida de masa por unidad de tiempo

t E c t m

2 1

s/ kg 10 3 , 4 9 2

c W t m S

Si S R es el radio del Sol, la potencia por unidad de superficie que emite en su superficie es

2 7 2 m / W 10 3 , 6 4

S S S R W S

Si el Sol se considera como un cuerpo negro a temperatura S T , en virtud de la ley de Stefan-Boltzmann, se tiene

K 10 8,5 3 4 /1

S S S T

La energía que transporta la radiación solar incide en la Tierra a través de su sección eficaz, 2 T R A

, por lo que la potencia que llega a la tierra es

T T T S R W 2

(1)

W 10 7 ,1 17

T W

De la energía solar que llega a la Tierra, el 33% se refleja. El 67% restante se absorbe en la atmósfera o en la corteza terrestre. Si ambas, Tierra y atmosfera, están en equilibrio térmico a una temperatura T T , y suponiendo que el conjunto se comporta como un único cuerpo negro, la energía que emite por unidad de tiempo tiene que ser igual a la que recibe, T W 67 ,0 . Es decir,

T T T T S R T R 2 4 2 67 ,0 4

De donde

4 / 1 4 67 , 0

T T S T

(2)

K 252

T T XXXVII OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN 7) La temperatura obtenida en el apartado anterior ( 21 oC) es, sin duda, demasiado fresquita. Para obtener un resultado más realista es preciso mejorar el modelo, teniendo en cuenta los gases de efecto invernadero contenidos en la atmósfera, que supondremos a una temperatura A T . La atmósfera, considerada como un cuerpo negro, emite la energía que recibe del Sol y de la corteza de forma isótropa, y por tanto una parte se escapará al espacio y otra igual irá a parar a la corteza terrestre. Suponiendo también que la corteza es un cuerpo negro a temperatura T T , se pueden hacer los siguientes balances:

La corteza terrestre:

4 2 4 2 4 : Emite 4 45 , 0 Recibe T T A T T T R T R W

En estado de equilibrio

4 2 4 2 4 4 45 , 0 T T A T T T R T R W

Teniendo en cuenta (1) y simplificando

4 4 4 4 45 , 0 T A T T T S

(3)

En cuanto a la atmósfera, el balance energético es

La atmosfera:

4 2 4 2 4 2 : Emite 4 22 , 0 Recibe A T T T T T R T R W

Por lo que

4 2 4 2 2 4 2 4 22 , 0 A T T T T T T R T R S R

2 8 22 , 0 4 4 T T A T S T

(4)

Sustituyendo (4) en (3) y simplificando se obtiene

T T S T 28 , 0 4

Teniendo en cuenta (2), queda finalmente

4 4 67 ,1 T T T T

K 286 14 ,1

T T T T

Esta nueva temperatura es más $co n f or t ab l e \dots$ y acorde con la realidad.

Schema effetto serra atmosferico

Schema temperatura cortezza-atmosfera

Topic: Thermodynamics, Astrophysics, Modern-Quantum Physics Metodi: Physical Modeling, Mass-Energy Equivalence, Dimensional Analysis, Conservation Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.9

P3 Soluzione 1) Se la distanza tra il Sole e la Terra è ST R e la potenza che la Terra riceve per unità di superficie è T S , l’ energia totale emessa dal Sole è

W 10 9 ,3 4 26 2

T ST S S R W

Secondo la famosa espressione di Einstein, una massa m

di Sole equivale a un’energia E

data da

2 c m E

Quindi, l’energia per unità di tempo che il Sole genera, t E WS

/ , suppone una perdita di massa per unità di tempo

t E c t m

2 1

s/ kg 10 3 , 4 9 2

c W t m S

Si S R è il raggio del Sole, la potenza per unità di superficie che emette sulla sua superficie è

2 7 2 m / W 10 3 , 6 4

S S S R W S

Se il Sole è considerato un corpo nero a temperatura S T, in virtù della legge di Stefan-Boltzmann,

Si ’ , si ’

K 10 8,5 3 4 /1

S S S T

L’energia che trasporta il raggi solare incide sulla Terra attraverso la sua sezione efficace, 2 T R A

, Quindi la potenza che arriva sulla terra è

T T T S R W 2

(1)

W 10 7 ,1 17

T W

Il 33% dell’energia solare che arriva sulla Terra si riflette. Il restante 67% viene assorbito nell’atmosfera o nella corteccia terrestre. Se entrambi, la Terra e l’atmosfera, sono in equilibrio termico a una temperatura T T , y Supponendo che l’insieme si comporti come un unico corpo nero, l’energia emessa per unità di Il tempo deve essere uguale a quello che riceve, T W 67 ,0 . Cioè,

T T T T S R T R 2 4 2 67 ,0 4

Da dove

4 / 1 4 67 , 0

T T S T

(2)

K 252

T T XXXVII Olimpiadi di fisica spagnola Fase di ARAGON 7) La temperatura ottenuta nel precedente punto (21 oC) è certamente troppo fresca. Per ottenere Un risultato più realistico è che il modello deve essere migliorato, tenendo conto dei gas a effetto serra. contenuti nell’atmosfera, che supponiamo sia a una temperatura A T . L’atmosfera, considerata come un Il corpo nero emette l’energia che riceve dal Sole e dalla corteccia in forma isotropico, e quindi una parte E’ un’altra specie che si sposta nello spazio e che si sposta nella corteccia terrestre. Supponiamo anche che la corteccia sia un corpo nero a temperatura T T , si possono fare i seguenti bilanci:

La corteccia terrestre:

4 2 4 2 4 : Emettete 4 45 , 0 Ricevi T T A T T T R T R W

In stato di equilibrio

4 2 4 2 4 4 45 , 0 T T A T T T R T R W

Considerando (1) e semplificando

4 4 4 4 45 , 0 T A T T T S

(3)

Per quanto riguarda l’atmosfera, il bilanciamento energetico è

L’atmosfera:

4 2 4 2 4 2 : Emettete 4 22 , 0 Ricevi A T T T T T R T R W

Per cui

4 2 4 2 2 4 2 4 22 , 0 A T T T T T T R T R S R

2 8 22 , 0 4 4 T T A T S T

(4)

Substituendo (4) per (3) e semplificando si ottiene

T T S T 28 , 0 4

Considerando che (2), è

4 4 67 ,1 T T T T

K 286 14 ,1

T T T T

Questa nuova temperatura è più $co n f or t ab l e \dots$ e si adatta alla realtà.

Schema serra atmosferica

Schema temperatura cortezza-atmosfera

P3 Solution 1) If the distance between the Sun and Earth is ST R and the power received by Earth per unit surface area is T S , then the total energy emitted by the Sun is

W 10 9 ,3 4 26 2

T ST S S R W

According to the well-known Einstein expression, a mass m of Sun corresponds to an energy E given by

2 c m E

Therefore, the power (energy per unit time) generated by the Sun, t E c t m 2 1 / , implies a mass loss per unit time

t E c t m 2 1

s/ kg 10 3 ,4 9 2

c W t m S

If S R is the radius of the Sun, then the power per unit surface area emitted at its surface is

2 7 2 m / W 10 3 ,6 4

S S S R W S

If the Sun is considered as a black body at temperature S T , then according to the Stefan-Boltzmann law,

K 10 8,5 3 4 /1

S S S T

The energy carried by solar radiation reaches Earth through its effective cross-sectional area, 2 T R A , so the power arriving at Earth is

T T T S R W 2

(1)

W 10 7 ,1 17

T W

Of the solar energy reaching Earth, 33% is reflected. The remaining 67% is absorbed by the atmosphere or Earth’s crust. If both Earth and atmosphere are in thermal equilibrium at temperature T T , and assuming the combined system behaves as a single black body, then the energy emitted per unit time must equal that received: T W 67 ,0 . That is,

T T T T S R T R 2 4 2 67 ,0 4

From this follows

4 / 1 4 67 ,0

T T S T

(2)

K 252

T T XXXVII SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGON REGIONAL PHASE 7) The temperature obtained in the previous section (21 °C) is undoubtedly too cool. To achieve a more realistic result, it is necessary to improve the model by taking into account greenhouse gases in the atmosphere, which we assume are at temperature A T . The atmosphere, considered as a black body, emits energy received from the Sun and from the Earth’s crust in an isotropic manner; thus, half of it escapes into space and the other half returns to the Earth’s crust. Assuming also that the crust is a black body at temperature T T , the following energy balances can be established:

Earth’s crust:

4 2 4 2 4 : Emits 4 45,0 Absorbs T T A T T T R T R W

In equilibrium:

4 2 4 2 4 4 45,0 T T A T T T R T R W

Taking into account (1) and simplifying:

4 4 4 4 45,0 T A T T T S

(3)

As for the atmosphere, the energy balance is:

Atmosphere:

4 2 4 2 4 2 : Emits 4 22,0 Absorbs A T T T T T R T R W

Therefore:

4 2 4 2 2 4 2 4 22,0 A T T T T T T R T R S R

2 8 22,0 4 4 T T A T S T

(4)

Substituting (4) into (3) and simplifying yields:

T T S T 28,0 4

Taking into account (2), the final result is:

4 4 67,1 T T T T

K 286 14,1

T T T T

This new temperature is more $co n f or t ab l e \dots$ and consistent with reality.

Atmospheric greenhouse effect diagram

Earth’s crust–atmosphere temperature diagram

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