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XXVIII Olimpiada Española de Física — Fase de Aragón
Prueba experimental. Medida de la relación carga/masa del electrón

En 1897, J. J. Thomson utilizó un dispositivo experimental parecido al de la figura 1 para determinar por primera vez la relación entre la carga absoluta y la masa del electrón, $e/m$.

Los electrones emitidos por un filamento incandescente son acelerados hasta una cierta velocidad $v$ mediante un cañón de electrones, formado por dos electrodos, entre los que se establece una diferencia de potencial $V$.

Suponiendo que la velocidad inicial de los electrones es prácticamente nula, su velocidad final puede obtenerse planteando la conservación de la energía mecánica:

$eV=\frac{1}{2}m{v}^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2eV}{m}}(1)$

Estos electrones se mueven en presencia de un campo magnético $\vec{B}$ uniforme y perpendicular a $\vec{v}$, de forma que la fuerza de Lorentz ($\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$) que actúa sobre ellos es puramente centrípeta y los electrones describen una trayectoria circular de radio $R$:

$F=evB=\frac{m{v}^2}{R}\Rightarrow R=\frac{mv}{eB}(2)$

En el montaje de la figura 1, el campo magnético es producido por dos bobinas circulares, situadas en planos paralelos separados una distancia igual a su radio, por las que circula una corriente eléctrica de intensidad $I$. Con esta geometría (bobinas de Helmholtz), se consigue un campo magnético aproximadamente uniforme en un amplio volumen en torno al centro del sistema. La intensidad de este campo viene dada por:

$B=kI,\text{con}k=\frac{8{\mu }_{0}N}{5\sqrt{5}r}(3)$

donde ${\mu }_0$ es la permeabilidad del vacío, $N$ el número de espiras de cada bobina, $r$ el radio de las espiras e $I$ la corriente que circula por ellas.

Combinando las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene:

$V=\frac{e}{m}{k}^2{R}^2{I}^2(4)$

El cañón de electrones se sitúa en el interior de un bulbo esférico que contiene Helio a baja presión, para no perturbar apreciablemente la trayectoria de los electrones. Cuando un electrón colisiona con un átomo de Helio, éste se excita a un nivel de energía superior al fundamental. Posteriormente, este átomo se desexcita emitiendo un fotón de luz visible, de forma que, desde el exterior, se observa luminosa la trayectoria circular de los electrones, y puede medirse el radio con una simple regla.

Los valores de la tensión aceleradora $V$ y de la corriente que circula por las bobinas $I$ pueden controlarse y medirse externamente. En el experimento que vamos a considerar, el valor de $V$ se modifica a intervalos regulares y el valor de $I$ se reajusta en cada caso hasta conseguir una trayectoria de radio fijo $R=5,0\text{cm}$.

En la siguiente tabla se recoge una serie de valores de $V$ e $I$ con los que se consigue esta trayectoria:

$V(\text{V})$	125	150	175	200	225	250	275	300
$I(\text{A})$	0,94	1,00	1,10	1,21	1,29	1,33	1,39	1,49

Otros datos:

• Permeabilidad del vacío: ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}{\text{N/A}}^2$
• Número de espiras de las bobinas: $N=130$
• Radio de las espiras: $r=15,0\text{cm}$

Preguntas:

a) Representa gráficamente en papel milimetrado los puntos experimentales $(x,y)=(I^2,V)$.

b) Ajusta una línea recta a los puntos de la gráfica anterior.

c) A partir de este ajuste, determina el valor de la relación carga/masa del electrón, $e/m$.

d) Haz una estimación de la incertidumbre del valor obtenido para $e/m$.

Topic: Magnetism, Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Energy Conservation Method, Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Electron, Coil, Atom, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.2

XXVIII Olimpiada spagnola di fisica Fase di Aragon La prova sperimentale. Misura del rapporto carico/massa dell’elettrone**

En 1897, J. J. Thomson utilizzò un dispositivo sperimentale simile a quello di figura 1 per determinare per la prima volta il rapporto tra la carica assoluta e la massa dell’elettrone, $e/m$.

Gli elettroni emessi da un filamento incandescente sono accelerati fino a una certa velocità $v$ mediante un cannone di elettroni, formato da due elettrodi, tra i quali si stabilisce una differenza di potenziale $V$.

Supponendo che la velocità iniziale degli elettroni sia praticamente nulla, la loro velocità finale può essere ottenuta considerando la conservazione dell’energia meccanica:

$eV=\frac{1}{2}m{v}^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2eV}{m}}(1)$

Questi elettroni si muovono in presenza di un campo magnetico $\vec{B}$ uniforme e perpendicolare a $\vec{v}$, in modo che la forza di Lorentz ($\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$) che agisce su di loro sia puramente centripetata e gli elettroni descrivono una traiettoria circolare di radio $R$:

$F=evB=\frac{m{v}^2}{R}\Rightarrow R=\frac{mv}{eB}(2)$

Nel montaggio di figura 1, il campo magnetico è prodotto da due bobine circolari, situate in piani paralleli separati a distanza pari al loro raggio, attraverso le quali circola un corrente elettrica di intensità $I$. Con questa geometria (bobine di Helmholtz), si ottiene un campo magnetico approssimativamente uniforme in un ampio volume intorno al centro del sistema. L’intensità di questo campo è data da:

$B=kI,\text{con}k=\frac{8{\mu }_{0}N}{5\sqrt{5}r}(3)$

in cui ${\mu }_0$ è la permeabilità del vuoto, $N$ il numero di spirale di ciascuna bobina, $r$ il raggio delle spirale e $I$ il corrente che circola attraverso le spirale.

Combinando le equazioni (1), (2) e (3) si ottiene:

$V=\frac{e}{m}{k}^2{R}^2{I}^2(4)$

Il cannone di elettroni si trova all’interno di un bulbo sferico contenente elio a bassa pressione, per non disturbare notevolmente la traiettoria degli elettroni. Quando un elettrone colpisce un atomo di elio, esso si eccita a un livello di energia superiore al fondamentale. Successivamente, questo atomo si descifra emettendo un fotone di luce visibile, in modo che, dall’esterno, si osserva luminosa la traiettoria circolare degli elettroni, e il raggio può essere misurato con una semplice regola.

I valori della tensione $V$ e del corrente che circola attraverso le bobine $I$ possono essere controllati e misurati esternamente. Nell’esperimento che vedremo, il valore di $V$ viene modificato a intervalli regolari e il valore di $I$ viene riadeguato in ogni caso fino a ottenere un percorso radio fisso $R=5,0\text{cm}$.

La tabella seguente rileva una serie di valori $V$ e $I$ con cui si ottiene questa traccia:

$V(\text{V})$	125	150	175	200	225	250	275	300
$I(\text{A})$	0,94	1,00	1,10	1,21	1,29	1,33	1,39	1,49

**Altri dati: **

• Permeabilità del vuoto: ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}{\text{N/A}}^2$
• Numero di spirale delle bobine: $N=130$
• Radiospirazione: $r=15,0\text{cm}$

Il programma di ricerca è stato sviluppato in modo da migliorare la qualità delle risorse proprie.

a) Rappresenta graficamente i punti sperimentali $(x,y)=(I^2,V)$ su carta millimetrica.

b) Aggiusta una linea retta ai punti del grafico precedente.

c) A partire da questo regolazione, determina il valore del rapporto carico/massa dell’elettrone, $e/m$.

d) Estimare l’incertezza del valore ottenuto per $e/m$.

Topic: Magnetism, Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Energy Conservation Method, Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Electron, Coil, Atom, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.2

XXVIII Spanish Olympics in Physics Aragon Phase The test is carried out in a laboratory. Measurement of the electron load/mass ratio**

En 1897, J. J. Thomson used an experimental device similar to that in Figure 1 to determine for the first time the ratio of absolute charge to electron mass, $e/m$.

The electrons emitted by an incandescent filament are accelerated to a certain speed $v$ by an electron cannon, formed by two electrodes, between which a potential difference $V$ is established.

Assuming that the initial velocity of the electrons is virtually zero, their final velocity can be obtained by considering the conservation of mechanical energy:

$eV=\frac{1}{2}m{v}^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2eV}{m}}(1)$

These electrons move in the presence of a uniform magnetic field $\vec{B}$ perpendicular to $\vec{v}$, so that the Lorentz force ($\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$) acting on them is purely centrifugal and the electrons describe a circular path of radius $R$:

$F=evB=\frac{m{v}^2}{R}\Rightarrow R=\frac{mv}{eB}(2)$

In the assembly in Figure 1, the magnetic field is produced by two circular coils, located in parallel planes separated by a distance equal to their radius, through which an electric current of $I$ intensity circulates. With this geometry (Helmholtz coils), a magnetic field is obtained approximately uniformly in a large volume around the center of the system. The intensity of this field is given by:

$B=kI,\text{con}k=\frac{8{\mu }_{0}N}{5\sqrt{5}r}(3)$

where ${\mu }_0$ is the vacuum permeability, $N$ the number of spires per coil, $r$ the radius of the spires and $I$ the current circulating through them.

Combining the equations (1), (2) and (3) gives:

$V=\frac{e}{m}{k}^2{R}^2{I}^2(4)$

The electron cannon is placed inside a spherical bulb containing Helium at low pressure, so as not to appreciably disturb the path of the electrons. When an electron collides with a helium atom, it excites at a higher energy level than the fundamental. This atom is then deoxygenated by emitting a photon of visible light, so that from the outside, the circular path of the electrons is observed brightly, and the radius can be measured with a simple rule.

The values of the accelerating voltage $V$ and the current circulating through the coils $I$ can be controlled and measured externally. In the experiment we’re going to consider, the value of $V$ is changed at regular intervals and the value of $I$ is readjusted in each case until a fixed radio path $R=5,0\text{cm}$ is obtained.

The following table lists a set of values of $V$ and $I$ for this path:

$V(\text{V})$	125	150	175	200	225	250	275	300
$I(\text{A})$	0,94	1,00	1,10	1,21	1,29	1,33	1,39	1,49

The following data are available:

• Permeability of the vacuum: ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}{\text{N/A}}^2$
• Number of coil springs: $N=130$
• Radius of the spiracles: $r=15,0\text{cm}$

Question No: What is the purpose of this report?

(a) Graphically depicts the experimental points $(x,y)=(I^2,V)$ on millimeter paper.

(b) Adjust a straight line to the points in the above graph.

(c) From this adjustment, determine the value of the electron charge/mass ratio, $e/m$.

(d) Estimate the uncertainty of the value obtained for $e/m$.

Topic: Magnetism, Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Energy Conservation Method, Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Electron, Coil, Atom, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.2