P1. Plutón, el planeta enano.

Plutón fue descubierto en 1930, y su nombre alude al dios romano del inframundo. Hasta 2006, fue considerado el planeta más pequeño y lejano de nuestro sistema solar.

En agosto de 2006 la Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional (UAI) acordó rebajar la categoría de Plutón, de planeta a planeta enano. Desde entonces forma parte de los cuerpos celestes en órbita alrededor del Sol a una distancia mayor que la de Neptuno, con masa suficiente para que su propia gravedad le confiera una forma casi esférica, pero insuficiente para vaciar su órbita de cuerpos vecinos. La UAI denominó Plutoides a estos astros.

Sin embargo, el interés científico de Plutón ha sido creciente, hasta el punto de que en enero de 2006, antes de la Asamblea de la UAI, la NASA lanzó desde Cabo Cañaveral un cohete Atlas V llevando a bordo la sonda espacial New Horizons, con objeto de acercarse a Plutón para fotografiarlo e investigarlo. En marzo de 2015 comenzaron las observaciones y el 14 de julio de 2015 la New Horizons alcanzó su máxima aproximación a Plutón: $12700 km$ . La sonda no llegó a orbitar en torno a Plutón, por no disponer de suficiente combustible para frenar su marcha. Se limitó a pasar cerca y continuará investigando sus satélites y el cinturón de Kuiper, que rebasará previsiblemente en 2018.

La órbita de la Tierra en torno al Sol es casi circular, pero la de Plutón es elíptica con gran excentricidad. Por esta razón, en su perihelio, la distancia de Plutón al Sol es incluso algo menor que la de Neptuno.

En la Tabla I se encuentran datos suficientes para resolver las cuestiones que se plantean en este ejercicio.

a) Teniendo en cuenta la tercera ley de Kepler, calcula el periodo de la órbita de Plutón en torno al Sol.

El pequeño Plutón tiene nada menos que cinco satélites: Caronte, Nix, Hidra, Cerbero y Estigia. El primero de ellos es el más próximo a Plutón, y también el de mayor tamaño. Tanto es así que puede considerarse que el sistema Plutón-Caronte constituye un “planeta doble”. Ambos cuerpos orbitan en torno al centro de masas (CM) del sistema con velocidad angular $ω$ , sometidos a la interacción gravitatoria mutua (véase figura 3, con distancias $r_{P}$ y $r_{C}$ al CM y separación total $D$ entre centros).

b) Suponiendo que las órbitas de Plutón y de Caronte en torno al CM son circulares, determina analíticamente y calcula los radios de estas órbitas, $r_{P}$ y $r_{C}$ .

Ayuda: Para resolver la pregunta anterior, es suficiente saber que se cumple $M_{P} r_{P} = M_{C} r_{C} (1)$

c) Determina y calcula el periodo de rotación de Plutón y Caronte en torno a su CM, $T_{P - C}$ . Expresa tu resultado en días terrestres.

Cuando la New Horizons estaba en las proximidades de Plutón, las señales de radio que enviaba tardaban unas cuatro horas y media en llegar a la Tierra.

d) Haz una estimación de la distancia a la Tierra, en unidades astronómicas, a la que se encontraba la sonda.

Para terminar, añadamos un poco de fantasía e imaginación. Un jugador de la NBA es capaz de saltar en vertical hasta una altura de $1, 2 m$ .

e) ¿Hasta qué altura saltaría en la superficie de Plutón?

Tabla I

Magnitud	Valor
Máxima aproximación de Plutón al Sol (afelio)	$r_{m a x} = 49, 30 ua$
Mínima aproximación de Plutón al Sol (perihelio)	$r_{m i n} = 29, 66 ua$
Unidad astronómica (distancia media Tierra–Sol)	$1 ua = 1, 49 \times 1 0^{11} m$
Masa de Plutón	$M_{P} = 1, 31 \times 1 0^{22} kg$
Masa de Caronte	$M_{C} = 1, 52 \times 1 0^{21} kg$
Distancia entre los centros de Plutón y Caronte	$D = 1, 96 \times 1 0^{7} m$
Radio de Plutón	$R_{P} = 1, 19 \times 1 0^{6} m$
Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra	$g_{T} = 9, 81 m/s^{2}$
Constante de Gravitación Universal	$G = 6, 674 \times 1 0^{- 11} N m^{2} kg^{- 2}$

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Free-Body Diagram, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Planet, Star, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Plutón, el planeta enano.

Plutone fu scoperto nel 1930, e il suo nome allude al dio romano dell’inferno. Fino al 2006, era considerato il pianeta più piccolo e lontano del nostro sistema solare.

Nell’agosto 2006 l’Assemblea Generale dell’Unione Astronomica Internazionale (UAI) ha deciso di abbassare la categoria di Plutone, da pianeta a pianeta nano. Da allora fa parte dei corpi celesti in orbita attorno al Sole a una distanza maggiore di quella di Nettuno, con massa sufficiente a far sì che la sua stessa gravità gli confida una forma quasi sferica, ma insufficiente per svuotare la sua orbita di corpi vicini. L’AI ha denominato Plutoidi queste stelle.

Tuttavia, l’interesse scientifico di Plutone è cresciuto, al punto che nel gennaio 2006, prima dell’Assemblea dell’UAI, la NASA ha lanciato da Cabo Cañaveral un razzo Atlas V con a bordo la sonda spaziale New Horizons, al fine di avvicinarsi a Plutone per fotografarlo e studiarlo. Nel marzo 2015 sono iniziate le osservazioni e il 14 luglio 2015 la New Horizons ha raggiunto il suo massimo avvicinamento a Plutone: $12700 km$ . La sonda non è riuscita a orbitare intorno a Plutone, perché non disponeva di abbastanza combustibile per frenare la sua marcia. Si limitò a passare vicino e continuerà a studiare i suoi satelliti e la cintura di Kuiper, che supererà prevedibilmente nel 2018.

L’orbita della Terra attorno al Sole è quasi circolare, ma quella di Plutone è elliptica con grande eccentricità. Per questo motivo, nel suo perihelio, la distanza da Plutone al Sole è anche leggermente inferiore a quella di Nettuno.

En la Tabla I se encuentran datos suficientes para resolver las cuestiones que se plantean en este ejercicio.

**a) ** Tenendo conto della terza legge di Kepler, si calcola il periodo di orbita di Plutone attorno al Sole.

Il piccolo Plutone ha non meno di cinque satelliti: Charonte, Nix, Hidra, Cerbero e Stigia. Il primo di questi è il più vicino a Plutone, e anche il più grande. Tanto è vero che si può considerare che il sistema Plutone-Caronte costituisca un “planeta doppio”. Entrambi i corpi orbitano intorno al centro di massa (CM) del sistema a velocità angolare $ω$ , sottoposti all’interazione gravitazionale reciproca (vedi figura 3, con distanze $r_{P}$ e $r_{C}$ al CM e separazione totale $D$ tra i centri).

**b) ** Supponendo che le orbite di Plutone e di Caronte intorno al CM siano circolari, determina analisi e calcola i raggi di queste orbite, $r_{P}$ e $r_{C}$ .

Aiuto: Per risolvere la domanda precedente, basta sapere che è soddisfatta $M_{P} r_{P} = M_{C} r_{C} (1)$

**c) ** Determina e calcola il periodo di rotazione di Plutone e Caronte attorno al suo CM, $T_{P - C}$ . Esprimi il tuo risultato in giorni terrestri.

Cuando la New Horizons estaba en las proximidades de Plutón, las señales de radio que enviaba tardaban unas cuatro horas y media en llegar a la Tierra.

**d) ** Fa’ una stima della distanza dalla Terra, in unità astronomiche, a cui si trovava la sonda.

Per concludere, aggiungiamo un po’ di fantasia e immaginazione. Un giocatore NBA è in grado di saltare verticalmente fino a una altezza di $1, 2 m$ .

e) ¿Hasta qué altura saltaría en la superficie de Plutón?

Table I

Magnitude # Valore

|---|---| | Máxima aproximación de Plutón al Sol (afelio) | $r_{m a x} = 49, 30 ua$ | | Mínima aproximación de Plutón al Sol (perihelio) | $r_{m i n} = 29, 66 ua$ | | Unidad astronómica (distancia media Tierra–Sol) | $1 ua = 1, 49 \times 1 0^{11} m$ | | Masa de Plutón | $M_{P} = 1, 31 \times 1 0^{22} kg$ | | Masa de Caronte | $M_{C} = 1, 52 \times 1 0^{21} kg$ | | Distancia entre los centros de Plutón y Caronte | $D = 1, 96 \times 1 0^{7} m$ | | Radio de Plutón | $R_{P} = 1, 19 \times 1 0^{6} m$ | | Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra | $g_{T} = 9, 81 m/s^{2}$ | | Constante de Gravitación Universal | $G = 6, 674 \times 1 0^{- 11} N m^{2} kg^{- 2}$ |

P1. Plutón, el planeta enano.

Pluto was discovered in 1930, and its name alludes to the Roman god of the underworld. Until 2006, it was considered the smallest and farthest planet from our solar system.

In August 2006, the General Assembly of the International Astronomical Union (IAU) agreed to lower the category of Pluto, from planet to dwarf planet. Since then it has been part of celestial bodies orbiting the Sun at a greater distance than Neptune, with enough mass for its own gravity to confer it an almost spherical shape, but insufficient to empty its orbit of neighboring bodies. The IAU named these stars Plutoids.

However, the scientific interest in Pluto has been increasing, to the point that in January 2006, before the UAI Assembly, NASA launched from Cape Canaveral an Atlas V rocket carrying on board the space probe New Horizons, in order to approach Pluto to photograph and investigate it. In March 2015, observations began and on July 14, 2015, the New Horizons reached its maximum approach to Pluto: $12700 km$ . The probe failed to orbit Pluto, because it did not have enough fuel to slow its motion. He merely passed nearby and will continue to investigate his satellites and the Kuiper belt, which will be surpassed in 2018 predictably.

The Earth’s orbit around the Sun is almost circular, but Pluto’s is elliptical with great eccentricity. For this reason, in its perihelion, the distance from Pluto to the Sun is even slightly smaller than that of Neptune.

En la Tabla I se encuentran datos suficientes para resolver las cuestiones que se plantean en este ejercicio.

**a) ** Taking into account Kepler’s third law, calculate the period of Pluto’s orbit around the Sun.

The small Pluto has no less than five satellites: Charon, Nix, Hydra, Cerberus, and Stigia. The first of these is the closest to Pluto, and also the largest. So much so that the Pluto-Caronte system can be considered a “double planet”. Both bodies orbit around the centre of mass (CM) of the system at angular velocity $ω$ , subject to mutual gravitational interaction (see figure 3, with distances $r_{P}$ and $r_{C}$ to the CM and total separation $D$ between centres).

**b) ** Assuming that the orbits of Pluto and Charon around the CM are circular, analytically determines and calculates the radii of these orbits, $r_{P}$ and $r_{C}$ .

Help: To solve the above question, it is enough to know that it is fulfilled $M_{P} r_{P} = M_{C} r_{C} (1)$

**c) ** Determines and calculates the period of rotation of Pluto and Charon around their CM, $T_{P - C}$ . Express your result in earthly days.

Cuando la New Horizons estaba en las proximidades de Plutón, las señales de radio que enviaba tardaban unas cuatro horas y media en llegar a la Tierra.

d) Haz una estimación de la distancia a la Tierra, en unidades astronómicas, a la que se encontraba la sonda.

And to finish, we’ll add a little bit of fantasy and imagination. An NBA player is capable of jumping vertically to a height of $1, 2 m$ .

e) ¿Hasta qué altura saltaría en la superficie de Plutón?

Tabla I

♪ Magnitude ♪ Value ♪ |---|---| | Máxima aproximación de Plutón al Sol (afelio) | $r_{m a x} = 49, 30 ua$ | | Mínima aproximación de Plutón al Sol (perihelio) | $r_{m i n} = 29, 66 ua$ | | Unidad astronómica (distancia media Tierra–Sol) | $1 ua = 1, 49 \times 1 0^{11} m$ | | Masa de Plutón | $M_{P} = 1, 31 \times 1 0^{22} kg$ | | Masa de Caronte | $M_{C} = 1, 52 \times 1 0^{21} kg$ | | Distancia entre los centros de Plutón y Caronte | $D = 1, 96 \times 1 0^{7} m$ | | Radio de Plutón | $R_{P} = 1, 19 \times 1 0^{6} m$ | | Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra | $g_{T} = 9, 81 m/s^{2}$ | | Constante de Gravitación Universal | $G = 6, 674 \times 1 0^{- 11} N m^{2} kg^{- 2}$ |

P2. Ascensor gravitatorio a las antípodas.

Los dirigentes de un lejano planeta están estudiando la posibilidad de construir un nuevo medio de transporte que conecte en línea recta dos puntos de la superficie diametralmente opuestos: un punto $A$ con su antípoda $B$ .

Para ello será necesario perforar un túnel que atraviese diametralmente el planeta. La gran ventaja de este medio de transporte es que, en ausencia de fricción, no va a consumir ningún tipo de energía: cualquier cuerpo abandonado en $A$ , con velocidad inicial nula, será acelerado por la atracción gravitatoria del planeta hacia su centro durante la primera mitad del recorrido, y durante la segunda mitad la fuerza gravitatoria irá frenando el movimiento hasta que el cuerpo llegue a $B$ con velocidad nula.

Determina:

a) El campo gravitatorio que actúa sobre el objeto cuando pasa por un punto de coordenada $x$ respecto al centro $O$ del planeta.

b) La velocidad con que pasa el objeto por el centro del planeta.

c) El tiempo de viaje desde $A$ hasta $B$ .

Datos:

Constante de gravitación universal: $G$
Radio del planeta: $R$
Masa del planeta: $M$

Simplificaciones y aproximaciones:

El planeta es perfectamente esférico y de densidad uniforme.
La masa retirada al perforar el túnel es despreciable frente a $M$ .
No existe fricción en el movimiento dentro del túnel.

Ayuda: Puede demostrarse que el campo gravitatorio creado por una cáscara delgada esférica (esfera hueca) de masa $m_{c}$ y radio $r_{c}$ en un punto $P$ situado a distancia $r$ de su centro $O$ es:

$g (r) = ⎩ ⎨ ⎧ - G \frac{m _{c}}{r ^{2}} \overset{r}{^} 0 si r > r_{c} si r < r_{c}$

Topic: Gravitation, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.6

P2. Ascensione gravitazionale alle antipode.

I dirigenti di un pianeta lontano stanno studiando la possibilità di costruire un nuovo mezzo di trasporto che connette in linea retta due punti di superficie diametralmente opposti: un punto $A$ con il suo antipodo $B$ .

Per farlo, sarà necessario perforare un tunnel che attraversasse diametralmente il pianeta. Il grande vantaggio di questo mezzo di trasporto è che, in assenza di attrito, non consumerà alcun tipo di energia: qualsiasi corpo abbandonato a $A$ , con velocità iniziale zero, sarà accelerato dall’attrazione gravitazionale del pianeta verso il suo centro durante la prima metà del percorso, e durante la seconda metà la forza gravitazionale frenerà il movimento fino a quando il corpo raggiungerà $B$ a velocità zero.

Determina:

**a) ** Il campo gravitazionale che agisce sull’oggetto quando passa da un punto di coordinata $x$ rispetto al centro $O$ del pianeta.

**b) ** La velocità con cui l’oggetto passa attraverso il centro del pianeta.

**c) ** Il tempo di viaggio da $A$ a $B$ .

**Dati: **

Costante di gravità universale: $G$
Radio del pianeta: $R$
Massa del pianeta: $M$

Semplificazioni e approcci:

Il pianeta è perfettamente sferico e di densità uniforme.
La massa ritirata per la perforazione del tunnel è scadente rispetto a $M$ .
Non c’è friczione nel movimento all’interno del tunnel.

Aiuto: Si può dimostrare che il campo gravitazionale creato da una sottile pelle sferica (sfera vuota) di massa $m_{c}$ e da un raggio $r_{c}$ in un punto $P$ situato a distanza $r$ dal suo centro $O$ è:

$g (r) = ⎩ ⎨ ⎧ - G \frac{m _{c}}{r ^{2}} \overset{r}{^} 0 si r > r_{c} si r < r_{c}$

P2. Gravity lift to the antipodes.

Leaders from a distant planet are exploring the possibility of building a new means of transport that connects two points of the surface diametrically opposite in a straight line: a point $A$ with its antipod $B$ .

To do this, it will be necessary to drill a tunnel that would cross the planet diametrically. The great advantage of this means of transport is that, in the absence of friction, it will not consume any energy: any body abandoned at $A$ , with zero initial velocity, will be accelerated by the planet’s gravitational pull towards its center during the first half of the journey, and during the second half the gravitational force will slow the movement until the body reaches $B$ at zero velocity.

Determine:

**a) ** The gravitational field acting on the object when it passes through a coordinate point $x$ with respect to the centre $O$ of the planet.

**b) ** The speed at which the object passes through the centre of the planet.

**c) ** Travel time from $A$ to $B$ .

The data set shall be reported in the following table:

Universal gravity constant: $G$
Radio of the planet: $R$
Mass of the planet: $M$

The following table shows the results of the evaluation:

The planet is perfectly spherical and uniformly densely populated.
The mass removed from the tunnel drilling is negligible compared to $M$ .
There’s no friction in the movement inside the tunnel.

Help: It can be shown that the gravitational field created by a thin spherical shell (hollow sphere) of mass $m_{c}$ and radius $r_{c}$ at a point $P$ located at a distance $r$ from its centre $O$ is:

$g (r) = ⎩ ⎨ ⎧ - G \frac{m _{c}}{r ^{2}} \overset{r}{^} 0 si r > r_{c} si r < r_{c}$

P3. Electrómetro absoluto de Kelvin.

Los avances científicos y tecnológicos del siglo XIX exigieron la definición de patrones para las magnitudes eléctricas, basados en las unidades de longitud, masa y tiempo establecidas después de la Revolución Francesa. Entre 1861 y 1912 se desarrollaron numerosos trabajos experimentales con este objetivo. Uno de ellos es el que, de una forma muy simplificada, se presenta en este problema.

Se esquematiza un electrómetro de Kelvin, utilizado para la medida absoluta de diferencias de potencial eléctrico. Consiste básicamente en una balanza de brazos iguales, de cuyo brazo izquierdo cuelga, mediante un hilo conductor, una placa conductora horizontal de área $A$ . La balanza se equilibra con la tara adecuada colocada en el platillo del brazo derecho.

Debajo de la placa anterior se encuentra otra placa idéntica, fija y paralela, a una corta distancia $d$ . Este sistema de dos placas conductoras constituye un condensador de láminas planoparalelas. Las placas pueden conectarse mediante un interruptor $S$ a unos bornes entre los que existe la diferencia de potencial $Δ V$ que se quiere determinar.

Cuando se cierra el interruptor $S$ , el condensador se carga: las dos placas adquieren cargas $+ Q$ y $- Q$ , y la diferencia de potencial entre ellas es $Δ V$ . Como consecuencia, las dos placas se atraen y, para mantener la balanza en equilibrio con la misma distancia $d$ entre las placas, hay que añadir una cierta masa $m$ en el platillo de la derecha.

Suponiendo que la permitividad del aire es prácticamente igual a la del vacío, $ε_{0}$ , que la carga se distribuye uniformemente en las placas y que el campo eléctrico entre ellas es aproximadamente uniforme, determina:

a) La carga eléctrica absoluta en cada una de las placas, $Q$ , en función de $ε_{0}$ , $A$ , $d$ y $Δ V$ .

b) La fuerza de atracción entre las placas, en función de $ε_{0}$ , $A$ , $d$ y $Δ V$ .

c) La expresión que permite determinar $Δ V$ en función de $ε_{0}$ , $A$ , $d$ , $m$ y $g$ .

Ayuda: En las proximidades de una distribución de carga plana y uniforme, con carga por unidad de superficie $σ$ , el campo eléctrico es perpendicular a dicha distribución y de módulo

$E = \frac{σ}{2 ε _{0}}$

Topic: Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Electric Potential Method, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Lever, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.8

P3. L’elettrometro assoluto di Kelvin.

Gli sviluppi scientifici e tecnologici del XIX secolo richiesero la definizione di modelli per le magnitudini elettriche, basati sulle unità di lunghezza, massa e tempo stabilite dopo la Rivoluzione francese. Tra il 1861 e il 1912 si svilupparono numerosi lavori sperimentali con questo obiettivo. Uno di questi è quello che, in modo molto semplice, si presenta in questo problema.

Si schematizza un elettrometro di Kelvin, utilizzato per la misura assoluta di differenze di potenziale elettrico. Consiste essenzialmente in una bilancia di braccia uguale, dal cui braccio sinistro, mediante un filo conduttore, si appende una targa conduttrice orizzontale di area $A$ . La bilancia è bilanciata con la tarata adeguata posta sul piatto del braccio destro.

Sotto la scheda precedente si trova un’altra scheda identica, fissa e parallela, a breve distanza $d$ . Questo sistema di due placche conduttrici costituisce un condensatore di foglie piano-parallele. Le schede possono essere collegate mediante un interruttore $S$ a un gruppo di terminazioni tra cui esiste la differenza di potenziale $Δ V$ da determinare.

Quando si chiude il interruttore $S$ , il condensatore si carica: le due schede assumono cariche $+ Q$ e $- Q$ , e la differenza di potenziale tra di esse è $Δ V$ . Di conseguenza, le due assi si attraggono e, per mantenere la bilancia in equilibrio con la stessa distanza $d$ tra le assi, è necessario aggiungere una certa massa $m$ nel piatto destro.

Supponendo che la capacità di aria sia praticamente uguale a quella di vuoto, $ε_{0}$ , che la carica sia distribuita uniformemente sulle targhe e che il campo elettrico tra le targhe sia approssimativamente uniforme, determina:

**a) ** Il carico elettrico assoluto su ciascuna delle schede, $Q$ , in funzione di $ε_{0}$ , $A$ , $d$ e $Δ V$ .

**b) ** La forza di attrazione tra le lastre, a seconda di $ε_{0}$ , $A$ , $d$ e $Δ V$ .

**c) ** L’espressione che permette di determinare $Δ V$ in funzione di $ε_{0}$ , $A$ , $d$ , $m$ e $g$ .

**Aiuto:**Viacenti una distribuzione di carica uniforme e piana, con carica per unità di superficie $σ$ , il campo elettrico è perpendicolare a tale distribuzione e modulo

$E = \frac{σ}{2 ε _{0}}$

**P3. The absolute electrometer of Kelvin is the electrometer of the absolute electrometer of Kelvin.

The scientific and technological advances of the 19th century required the definition of patterns for electrical magnitudes, based on units of length, mass and time established after the French Revolution. Between 1861 and 1912 numerous experimental works were carried out with this aim in mind. One of them is the one that, in a very simplified way, is presented in this problem.

A Kelvin electrometer is outlined, used for absolute measurement of electrical potential differences. It consists essentially of an equal-arm scale, with the left arm suspended, by means of a conductive wire, from a horizontal conductive plate of $A$ area. The balance is balanced with the appropriate tar placed on the right-arm plate.

Below the upper plate is another identical plate, fixed and parallel, a short distance $d$ . This two-plate conductor system constitutes a flat-parallel sheet capacitor. The plates can be connected by a $S$ switch to a number of terminals between which the potential difference $Δ V$ to be determined exists.

When the $S$ switch is closed, the capacitor is charged: the two plates acquire $+ Q$ and $- Q$ charges, and the potential difference between them is $Δ V$ . As a result, the two plates are attracted and, to keep the balance in balance with the same $d$ distance between the plates, a certain mass $m$ must be added to the right plate.

Assuming that the air permittivity is practically equal to that of the vacuum, $ε_{0}$ , that the charge is evenly distributed over the plates and that the electric field between them is approximately uniform, determines:

The absolute electrical charge on each plate, $Q$ , according to $ε_{0}$ , $A$ , $d$ and $Δ V$ .

**b) ** The force of attraction between plates, according to $ε_{0}$ , $A$ , $d$ and $Δ V$ .

**c) ** The expression that allows the determination of $Δ V$ in relation to $ε_{0}$ , $A$ , $d$ , $m$ and $g$ .

Help: In the vicinity of a flat and uniform load distribution, with load per unit area $σ$ , the electric field is perpendicular to that distribution and module

$E = \frac{σ}{2 ε _{0}}$

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