Spagna 2017 — 2017 soluciones_2017.pdf

Fonte: gare di altri paesi/Spagna/Samanca-locali/2017 soluciones_2017.pdf · Apri PDF · apri PDF p.1 Cluster: Meccanica

Problema 1

Problema 1 La distancia horizontal total es la suma de las distancias que recorre antes (dd1) y después (dd2) de soltar la liana. La primera de ellas se calcula fácilmente: dd1 = LLsen θθ= 2,01 m Para obtener dd2 planteamos las ecuaciones del movimiento parabólico situando el origen de coordenadas en el punto donde Tarzán suelta la liana: xx= vv0 cosθθtt yy= vv0 $sen\theta \theta tt-g$ 2 ൗtt2 donde la velocidad inicial vv0 puede calcularse aplicando el principio de conservación de la energía mecánica: 1 2 mmvv2 = 1 2 mmvv0 2 + mmgyy0 siendo yy0 es la altura alcanzada en el momento de soltar la liana: yy0 = LL (1 $-cos\theta \theta$ ) = 0,63 m Por tanto, vv0 viene dada por vv0 = ඥvv2 $-2gyy0$ = 9,36 m s ⁄ Despejando t en la primera ecuación del movimiento parabólico y sustituyendo en la segunda obtenemos yy= xxtan $\theta \theta -g$ 2 ൬ xx vv0 cos θθ൰ 2

que nos da la ecuación de la parábola que describe la posición de Tarzán una vez que suelta la liana. La distancia dd2 corresponde al valor de xx cuando yy= $-yy0$ = 0,63 m: $-yy0$ = dd2 tan $\theta \theta -g$ 2 ൬ dd2 vv0 cos θθ൰ 2

Despejando dd2 obtenemos una ecuación de 2o grado en la que únicamente la raíz positiva tiene sentido físico. Por lo tanto, dd2 = vv0 cos θθ g ቆvv0 senθθ+ ටvv0 2sen2θθ+ 2gyy0ቇ= 9,21 m Por tanto, la distancia horizontal total recorrida por Tarzán desde la orilla izquierda del río es DD= dd1 + dd2 = 11,22 m Por tanto, consigue con su salto alcanzar la orilla derecha del río.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Energy, Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 2

Problema 2 (a) En el primer caso basta hacer que la velocidad resultante, con respecto a las orillas del río, sea perpendicular al mismo. Por tanto, la respuesta es que ha de remar apuntando en una dirección $\alpha$ respecto a la perpendicular al río dada por $sin(\alpha )=1/2$, es decir $30^{\circ }$, resultando su velocidad respecto a tierra de vv= $\sqrt{}3$ = 1.73 m/s

(b) El segundo caso es más complicado, pues la velocidad del agua es mayor que la de la barca, y eso hace que nunca pueda alcanzar el punto de la otra orilla situado justamente enfrente. Podemos resolver este apartado, al menos, de dos formas distintas: Opción 1:

Si llamamos h a la anchura del río, la distancia recorrida por la barca es dd= hcosαα ⁄ . Para que esta distancia sea mínima el ángulo αα debe ser mínimo. A partir de la figura podemos deducir que tan αα= 4 $-2$ senββ 2 cos ββ = 2 $-sen\beta \beta$ cos ββ

El valor de ββ que hace que αα mínimo también hará tan αα mínimo. Por tanto, podemos obtener dicho valor resolviendo la ecuación ddtan αα dddd = 0 Así pues 0 = $ta{n}^{\prime }$ αα= $-cos2$ ββ+ senββ(2 $-sen\beta \beta$) cos2 ββ = $-1$ + 2 senββ cos2 ββ $\text{Rightarrowsen}\beta \beta =$ 1 2 Por tanto, ββ= arctan 1 2 = $30^{\circ }$ Nótese que hemos obtenido el mismo ángulo que en el apartado (a). Sustituyendo este valor en la ecuación para tan αα obtenemos que αα= $60^{\circ }$, con lo que la velocidad a la que se mueve la barca es vv= ඥ42 $-22$ = $2\sqrt{}3$ = 3,46 m s ⁄ 1 m/s $\alpha$ 2 m/s 4 m/s 2 m/s $\beta$ αα Opción 2: El tiempo necesario para cruzar el río es tt= h 2 cos $\beta$ y la distancia d recorrida será: dd= ඨh2 + ൤(4 $-2$ sen $\beta$) h 2 cos $\beta \mathrm{൨}$ 2

dd2 h2 = 1 + ൬4 $-2sen\beta$ 2 cos $\beta$ ൰ 2

Derivando esta cantidad con respecto al ángulo $\beta$ e igualando a cero encontramos la condición que debe cumplir $\beta$ para recorrer la mínima distancia: $(sen\beta -2)(2$ sen $\beta -1$) (cos $\beta )3$ = 0 Por tanto, $sen\beta$ = 1 2 pues la otra solución de la ecuación anterior es absurda.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Vector Decomposition, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 3

Problema 3 (a) El peso viene dado por PP= ρρ VV g = ρρ 4 3 ππRR3g = 13,1 N (b) Para que la fuerza debida al campo eléctrico esté dirigida hacia arriba la carga debe ser negativa. Su módulo se obtiene a partir de la ecuación PP= FFee= qqEETT Por tanto, qq= PPEETT ൗ = 131 mC (c) La carga máxima es aquella para la cual el campo en la superficie del conductor es el de ruptura: EErr= 4ππππππ= 4ππππqqmmmmmm 4ππRR2 = kkqqmmmmmm RR2 Por tanto, qqmmmmmm= EErrRR2 kk = 1,33 $\times 10-5C$ (d) Con esta carga la fuerza debida al campo eléctrico es mucho menor que el peso: FFee PP= qqmmmmmmEETT PP = 1,01 $\times 10-4$ (e) La razón es proporcional a $RR-1$ porque el peso crece con RR3 (proporcional al volumen) y la fuerza eléctrica con RR3 (carga total proporcional a la superficie).

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Gauss’s Law, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.3