Spagna 2018 ''

P1. Fluidos por un tubo.

Para medir la densidad de un líquido no miscible con otro de densidad conocida, por ejemplo agua, puede emplearse un tubo en forma de U en el que se vierten agua y el fluido cuya densidad se quiere determinar. Midiendo las alturas de las superficies libres de los fluidos en los dos brazos puede obtenerse fácilmente la densidad buscada.

Supongamos que introducimos en el tubo mercurio y agua, de forma que, una vez alcanzado el equilibrio, la altura de la columna de agua es $h_{\text{ag}}$ y la diferencia de los niveles de mercurio en los dos brazos es $h$ (figura 1).

Datos:

• Densidad del agua: ${\rho }_{\text{ag}}=1,00\times 10^3{\text{kg/m}}^3$
• Altura de la columna de agua: $h_{\text{ag}}=13,9\text{cm}$
• Diferencia de nivel del mercurio: $h=1,02\text{cm}$
• Área de la sección del tubo (constante): $A=7,85\times 10^{-5}{\text{m}}^2$
• Aceleración de la gravedad: $g=9,81{\text{m/s}}^2$

a) Obtén una expresión analítica de la densidad del mercurio, ${\rho }_{\text{Hg}}$, en función de magnitudes conocidas. Calcula numéricamente esta densidad.

Por la rama izquierda vertemos aceite sobre el mercurio hasta que el nivel de mercurio en los dos brazos queda a la misma altura (figura 2). El volumen de aceite añadido hasta conseguirlo es $V_{\text{ac}}=13,3{\text{cm}}^3$.

b) Determina analíticamente y calcula la densidad del aceite, ${\rho }_{\text{ac}}$.

Supón ahora que sólo hay mercurio dentro del tubo. Soplando por uno de sus extremos, producimos una ligera sobrepresión en uno de los brazos, de forma que el nivel de mercurio en ese brazo queda una altura $x$ por debajo de la de equilibrio, y en el otro brazo a una altura $x$ por encima (figura 3). A continuación liberamos el sistema, con los dos brazos abiertos a la atmósfera.

c) Determina analíticamente, en función de $x$, la fuerza neta que tiende a retornar al mercurio a su posición de equilibrio.

Tras liberar el sistema, el mercurio oscila dentro del tubo, subiendo y bajando alternativamente por los dos brazos. Se observa que se produce una oscilación completa en $T=1,02\text{s}$.

d) Determina analíticamente y calcula el volumen de mercurio, $V_{\text{Hg}}$, en el interior del tubo.

Topic: Fluid Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Fluidi da tubo.

Per misurare la densità di un liquido non miscibile con un altro di conosciuta densità, ad esempio acqua, può essere utilizzato un tubo a forma di U in cui viene versata acqua e il fluido la cui densità si vuole determinare. Misurando le altezze delle superfici libere dei fluidi in entrambi gli bracci si può facilmente ottenere la densità ricercata.

Supponiamo di introdurre nel tubo mercurio e acqua, così che, una volta raggiunto l’equilibrio, l’altezza della colonna d’acqua è $h_{\text{ag}}$ e la differenza dei livelli di mercurio nei due braccia è $h$ (figura 1).

**Dati: **

• Densità dell’acqua: ${\rho }_{\text{ag}}=1,00\times 10^3{\text{kg/m}}^3$
• Altezza della colonna d’acqua: $h_{\text{ag}}=13,9\text{cm}$
• Differenza di livello di mercurio: $h=1,02\text{cm}$
• Area della sezione del tubo (constante): $A=7,85\times 10^{-5}{\text{m}}^2$
• Accelerazione gravitatoria: $g=9,81{\text{m/s}}^2$

**a) ** Ottieni un’espressione analitica della densità del mercurio, ${\rho }_{\text{Hg}}$, in base alle magnitudini conosciute. Calcola numericamente questa densità.

Per il ramo sinistro versare olio sul mercurio fino a quando il livello di mercurio nei due braccia rimane alla stessa altezza (Figura 2). Il volume di olio aggiunto fino a ottenerlo è $V_{\text{ac}}=13,3{\text{cm}}^3$.

**b) ** Determina analiticamente e calcola la densità dell’olio, ${\rho }_{\text{ac}}$.

Supponiamo che ci sia solo mercurio dentro il tubo. Soffrendo da una delle estremità, si produce una leggera sovrapposizione in un braccio, in modo che il livello di mercurio in quel braccio rimane un’altezza $x$ sotto quella di equilibrio, e nell’altro braccio ad un’altezza $x$ sopra (Figura 3). Quindi rilasciamo il sistema, con le due braccia aperte all’atmosfera.

**c) ** Determina analiticamente, in base a $x$, la forza netta che tende a riportare il mercurio alla sua posizione di equilibrio.

Dopo aver rilasciato il sistema, il mercurio oscilla all’interno del tubo, saliendo e scendendo alternativamente per i due braccia. Si osserva un’oscillazione completa a $T=1,02\text{s}$.

**d) ** Determina analisi e calcola il volume di mercurio, $V_{\text{Hg}}$, all’interno del tubo.

Topic: Fluid Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Fluids through a tube.

To measure the density of a non-miscible liquid with another liquid of known density, e.g. water, a U-shaped tube may be used in which water and the fluid whose density is to be determined are poured. By measuring the heights of the free surfaces of the fluids in the two arms the desired density can easily be obtained.

Suppose we insert mercury and water into the tube, so that once the equilibrium is reached, the height of the water column is $h_{\text{ag}}$ and the difference in the mercury levels in the two arms is $h$ (Figure 1).

The data set shall be reported in the following table:

• Density of water: ${\rho }_{\text{ag}}=1,00\times 10^3{\text{kg/m}}^3$
• Height of the water column: $h_{\text{ag}}=13,9\text{cm}$
• Mercury level difference: $h=1,02\text{cm}$
• Area of the tube section (constant): $A=7,85\times 10^{-5}{\text{m}}^2$
• Acceleration by gravity: $g=9,81{\text{m/s}}^2$

**a) ** Get an analytical expression of mercury density, ${\rho }_{\text{Hg}}$, based on known magnitudes. Calculate this density numerically.

For the left branch, we pour oil over the mercury until the mercury level in the two arms is at the same height (Figure 2). The volume of oil added until it is obtained is $V_{\text{ac}}=13,3{\text{cm}}^3$.

**b) ** Determine analytically and calculate the oil density, ${\rho }_{\text{ac}}$.

Now suppose there’s only mercury in the tube. If we blow through one of its ends, we produce a slight overpressure in one arm, so that the mercury level in that arm is $x$ below the equilibrium level, and in the other arm at a height $x$ above (Figure 3). Then we release the system, with both arms open to the atmosphere.

**c) ** Determines analytically, based on $x$, the net force that tends to return mercury to its equilibrium position.

After releasing the system, the mercury oscillates inside the tube, alternately rising and falling through both arms. A complete oscillation is observed at $T=1,02\text{s}$.

**d) ** Determine analytically and calculate the volume of mercury, $V_{\text{Hg}}$, inside the tube.

Topic: Fluid Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.2

P2. Un invariante adiabático.

Los invariantes adiabáticos son magnitudes que permanecen prácticamente constantes cuando algún parámetro de un sistema se hace variar muy lentamente. Lord Rayleigh (Premio Nobel de Física en 1904) estudió las oscilaciones de un péndulo cuando la longitud del hilo de suspensión se acortaba muy lentamente. Demostró que el cociente entre la energía de las oscilaciones y la frecuencia era esencialmente constante.

El concepto de la invarianza adiabática jugó un importante papel en la “vieja” teoría cuántica. Paul Ehrenfest (Viena 1880–Ámsterdam 1933) estableció que las magnitudes adiabáticamente invariantes se pueden cuantizar: sus valores posibles se restringen a un conjunto discreto.

En este problema encontraremos un invariante adiabático análogo al del péndulo mencionado, pero con un planteamiento más simple.

Una bolita de masa $m$ está sujeta al extremo de un hilo que pasa por un orificio $O$ de una mesa horizontal. Del otro extremo del hilo pende otra masa $M$ (figura 1). La masa suspendida $M$ puede permanecer en reposo si la bolita describe una trayectoria circular de radio $r_0$ y se mueve con velocidad angular ${\omega }_0$. Se considera que no existen rozamientos apreciables y que el hilo es inextensible y de masa despreciable.

a) ¿Cuál debe ser el valor de la masa $M$?

b) Determina el módulo del momento angular del sistema respecto al punto $O$, $L_O$.

c) Determina la energía mecánica de la bola, $E_0$, en función de $L_O$. (Toma como referencia de energía potencial la superficie de la mesa.)

d) Escribe el cociente $E_0/f_0$, donde $f_0$ es la frecuencia de rotación de la bola $m$ en torno a $O$.

En las condiciones descritas, sujetamos el hilo vertical con la mano, retiramos la masa $M$ y a continuación estiramos del hilo hacia abajo. Evidentemente, la distancia de la bola al orificio va a disminuir. La órbita de la bola pasará a ser una espiral. La velocidad de la bola dejará de ser perpendicular a la distancia $r$ al punto $O$: tendrá dos componentes ortogonales entre sí, $v_r$ y $v_t$. La componente radial $v_r=dr/dt$ describe la velocidad con que varía la distancia $r$; la componente transversal $v_t=r\omega$ es la que tendría la bola si en cada instante describiese una circunferencia de radio $r$ con velocidad angular $\omega$. En resumen:

$v^2=v_r^2+v_t^2,v_r=\frac{dr}{dt},v_t=r\omega$

e) ¿Se conservará el momento angular del sistema? Es decir, ¿se mantendrá igual a $L_O$ del apartado b)? Justifica tu respuesta.

Suponiendo que la bola se encuentra en un cierto instante en el punto $P$ de la trayectoria espiral:

f) Determina la energía mecánica $E$ de la bola en un instante cualquiera en función de $L_O$.

g) Escribe el cociente $E/f$, donde $f$ es la frecuencia de revolución de la bola $m$.

h) ¿Cómo debería realizarse el proceso para que, en todo momento, $E/f$ se mantuviese aproximadamente igual a $E_0/f_0$ y, por tanto, pudiera decirse que dicho cociente es un invariante adiabático?

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Ball, String Fonte: Testo (PDF) — p.5

**P2. Un invariante adiavatico.

Gli invarianti adiabatici sono magnitudini che rimangono praticamente costanti quando un parametro di un sistema viene modificato molto lentamente. Lord Rayleigh (Premio Nobel di Fisica 1904) studiò le oscillazioni di un pendolo quando la lunghezza del filo di sospensione si accorciava molto lentamente. Ha dimostrato che il coefficiente tra energia delle oscillazioni e frequenza era essenzialmente costante.

Il concetto di invarianza adiabatica ha giocato un ruolo importante nella vecchia teoria quantistica. Paul Ehrenfest (Viena 1880 Amsterdam 1933) ha stabilito che le magnitudini adiabatticamente invarianti possono essere quantificate: i loro valori possibili sono limitati a un insieme discreto.

In questo problema troveremo un invariante adiavatico analogo al pendolo menzionato, ma con un approccio più semplice.

Un’onda di massa $m$ è attaccata all’estremità di un filo che passa attraverso un foro $O$ di una tavola orizzontale. Dall’altra estremità del filo è appeso un altro massa $M$ (figura 1). La massa sospesa $M$ può rimanere a riposo se la palla descrive un percorso radiante circolare $r_0$ e si muove a velocità angolare ${\omega }_0$. Si ritiene che non vi siano rotture apprezzabili e che il filo sia estensibile e di massa scarsa.

**a) ** Qual è il valore della massa $M$?

**b) ** Determina il modulo del momento angolare del sistema rispetto al punto $O$, $L_O$.

**c) ** Determina l’energia meccanica della palla, $E_0$, in funzione di $L_O$. (Prende come riferimento di energia potenziale la superficie del tavolo.)

**d) ** Scrivi il coefficiente $E_0/f_0$, dove $f_0$ è la frequenza di rotazione della palla $m$ attorno a $O$.

In condizioni descritte, tenete il filo verticale con la mano, ritirate la massa $M$ e poi allungate dal filo verso il basso. Ovviamente la distanza dalla palla al foro diminuirà. L’orbita della palla diventerà una spirale. La velocità della palla non sarà più perpendicolare alla distanza $r$ dal punto $O$: avrà due componenti ortogonali tra loro, $v_r$ e $v_t$. La componente radial $v_r=dr/dt$ descrive la velocità con cui varia la distanza $r$; la componente trasversale $v_t=r\omega$ è quella che la palla avrebbe se in ogni istante descrivesse una circonferenza di radio $r$ con velocità angolare $\omega$. In sintesi:

$v^2=v_r^2+v_t^2,v_r=\frac{dr}{dt},v_t=r\omega$

**e) ** Il momento angolare del sistema sarà conservato? In altre parole, sarà mantenuto lo stesso $L_O$ di cui al paragrafo b)? giustifica la tua risposta.

Supponendo che la palla si trovi in un certo istante al punto $P$ della traccia spirale:

**f) ** Determina l’energia meccanica $E$ della palla in qualsiasi istante in funzione di $L_O$.

**g) ** Scrivi il coefficiente $E/f$, dove $f$ è la frequenza di rotazione della palla $m$.

**h) ** Come si dovrebbe procedere affinché, in ogni momento, $E/f$ sia mantenuto approssimativamente uguale a $E_0/f_0$ e quindi si possa dire che tale coefficiente è un invariante adiabatico?

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Ball, String Fonte: Testo (PDF) — p.5

**P2. A secondary adiabatic invariant.

Adiabatic invariants are magnitudes that remain virtually constant when some parameter of a system is changed very slowly. Lord Rayleigh (Nobel Prize in Physics in 1904) studied the oscillations of a pendulum when the length of the suspension thread was shortened very slowly. He showed that the ratio of the energy of the oscillations to the frequency was essentially constant.

The concept of adiabatic invariance played an important role in the old quantum theory. Paul Ehrenfest (Vienna 1880 Amsterdam 1933) established that adiabatically invariant magnitudes can be quantified: their possible values are restricted to a discrete set.

In this problem we will find an adiabatic invariant analogous to the pendulum mentioned above, but with a simpler approach.

A mass ball $m$ is attached to the end of a thread passing through a hole $O$ of a horizontal table. At the other end of the thread, another $M$ mass hangs (Figure 1). The suspended mass $M$ may remain at rest if the ball describes a circular radial path $r_0$ and moves at angular speed ${\omega }_0$. It is considered that no appreciable roughing is present and that the yarn is unextractable and of a despicable mass.

**a) ** What is the value of the mass $M$?

**b) ** Determines the angular momentum module of the system with respect to the $O$ point, $L_O$.

**c) ** Determines the mechanical energy of the ball, $E_0$, according to $L_O$. (Take the table surface as a potential energy reference.)

**d) ** Write the coefficient $E_0/f_0$, where $f_0$ is the spin frequency of the ball $m$ around $O$.

Under the conditions described, we hold the vertical thread with our hand, remove the mass $M$ and then stretch the thread downwards. Obviously, the distance from the ball to the hole is going to decrease. The orbital of the ball will become a spiral. The speed of the ball will cease to be perpendicular to the distance $r$ to the point $O$: it will have two orthogonal components, $v_r$ and $v_t$. The radial component $v_r=dr/dt$ describes the speed at which the distance $r$ varies; the transverse component $v_t=r\omega$ is what the ball would have if at each instant a radial circumference $r$ with angular speed $\omega$ were described. In short:

$v^2=v_r^2+v_t^2,v_r=\frac{dr}{dt},v_t=r\omega$

**e) ** Will the angular momentum of the system be preserved? That is to say, will it remain the same as $L_O$ in paragraph (b)? Justify your answer.

Assuming that the ball is at a certain instant at the point $P$ of the spiral path:

**f) ** Determines the mechanical energy $E$ of the ball at any instant on the basis of $L_O$.

**g) ** Write the coefficient $E/f$, where $f$ is the ball’s spin frequency $m$.

**h) ** How should the process be carried out so that at all times $E/f$ is approximately equal to $E_0/f_0$ and therefore it could be said that this coefficient is an adiabatic invariant?

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Ball, String Fonte: Testo (PDF) — p.5

P3. El experimento de la gota de aceite de Millikan.

Hace poco más de quince años se realizó una encuesta entre científicos para determinar los diez experimentos más bonitos de la historia. El tercer clasificado fue el experimento de la gota de aceite de Millikan.

Este experimento, realizado en varias versiones entre 1909 y 1913, permitió demostrar que la carga eléctrica está cuantizada: debe ser siempre un múltiplo entero de la carga elemental $e$, que se corresponde con la carga de un electrón en valor absoluto. El valor actualmente aceptado es $e=1,602\times 10^{-19}\text{C}$. Robert A. Millikan recibió el Premio Nobel de Física por este y otros trabajos en 1923.

En este experimento se emplean gotitas microscópicas de aceite de densidad conocida $\rho$, algunas de las cuales se electrizan por fricción con una carga normalmente negativa $Q=-ne$, donde $n$ es un número entero pequeño. Por simplicidad, llamaremos $q=|Q|$ a la carga de la gota en valor absoluto.

En presencia del campo gravitatorio terrestre las gotitas caen con aceleración $g$, pero la fricción con el aire frena el movimiento. Se comprueba experimentalmente que la fuerza de resistencia $F_r$ que actúa sobre una pequeña esfera que se mueve con velocidad $v$ suficientemente baja en el seno de un fluido es proporcional a dicha velocidad, y se cumple la Ley de Stokes:

$F_r=6\pi \eta Rv$

donde $\eta$ es la viscosidad del fluido (aire en nuestro caso) y $R$ es el radio de la esfera. La velocidad de caída tiende asintóticamente a un valor constante (velocidad límite) cuando el peso de la gota y la fuerza de resistencia se igualan. El valor de esta velocidad límite, $v_0$, puede medirse experimentalmente observando a través de un microscopio con retículo graduado y cronometrando el tiempo que tarda la gota en recorrer una distancia conocida.

a) Obtén una expresión analítica del radio de la gota, $R$, en función de su velocidad límite de caída $v_0$ y las constantes $\eta$, $\rho$ y $g$.

Para determinar la carga de la gota, se la deja caer entre dos placas conductoras horizontales separadas una distancia $d$, conectadas a una diferencia de potencial $V$ ajustable (véase la figura). En una de las variantes del experimento, se mide primero $v_0$ en ausencia de campo eléctrico; a continuación se conecta el campo y se ajusta $V$ hasta conseguir que la gota permanezca en equilibrio. Se llama $V_0$ al valor de la diferencia de potencial que consigue este equilibrio.

b) Deduce una expresión analítica de la carga de la gota, $q$, en función de $v_0$, $R$, $V_0$ y las constantes $d$ y $\eta$.

Datos:

• $g=9,81{\text{m/s}}^2$
• $\eta =1,80\times 10^{-5}\text{Pa}\cdot \text{s}$
• $\rho =8,99\times 10^2{\text{kg/m}}^3$
• $v_0=1,20\times 10^{-4}\text{m/s}$
• $V_0=447\text{V}$
• $d=5,00\text{mm}$

c) Calcula los valores de $R$ y $q$ para esta gota.

Supón que, siguiendo el mismo procedimiento, se ha determinado la carga de otras tres gotas, obteniendo:

$q_1=6,352\times 10^{-19}\text{C},q_2=4,779\times 10^{-19}\text{C},q_3=3,184\times 10^{-19}\text{C}$

Ponte en el papel de Millikan: se supone que $q$, $q_1$, $q_2$ y $q_3$ son aproximadamente múltiplos enteros bajos (inferiores a 5) de la carga elemental $e$, que se desconoce a priori.

d) A partir de estas medidas, deduce el valor de $e$.

Topic: Electrostatics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Estimation & Approximation Objects: Droplet, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.9

P3. L’esperimento della goccia di olio di Millikan.

Poco più di quindici anni fa, si è condotto un sondaggio tra scienziati per determinare i dieci esperimenti più belli della storia. Il terzo classificato è stato l’esperimento della goccia di olio di Millikan.

Questo esperimento, realizzato in varie versioni tra il 1909 e il 1913, ha permesso di dimostrare che la carica elettrica è quantizzata: deve essere sempre un intero multiple della carica elementare $e$, che corrisponde alla carica di un elettrone in valore assoluto. Il valore attualmente accettato è $e=1,602\times 10^{-19}\text{C}$. Robert A. Millikan ricevette il Premio Nobel per la fisica per questo e altri lavori nel 1923.

In questo esperimento vengono utilizzate gocce di olio microscopiche di densità nota $\rho$, alcune delle quali sono elettricate da attrito con una carica normalmente negativa $Q=-ne$, dove $n$ è un piccolo intero. Per semplicità, chiameremo $q=|Q|$ il carico della goccia al valore assoluto.

In presenza del campo gravitazionale terrestre le gocce cadono con $g$, ma la friczione con l’aria frenano il movimento. Si verifica sperimentalmente che la forza di resistenza $F_r$ che agisce su una piccola sfera che si muove a velocità $v$ sufficientemente bassa nel seno di un fluido è proporzionale a tale velocità, e si adempie alla legge di Stokes **:

$F_r=6\pi \eta Rv$

dove $\eta$ è la viscosità del fluido (aria nel nostro caso) e $R$ è il raggio della sfera. La velocità di caduta tende assintoticamente a un valore costante (velocità limite) quando il peso della goccia e la forza di resistenza si eguagliano. Il valore di questa velocità limite, $v_0$, può essere misurato sperimentalmente osservando attraverso un microscopio con reticolo graduato e cronometrando il tempo che la goccia impiega per percorrere una distanza nota.

**a) ** Ottieni un’espressione analitica del raggio della goccia, $R$, in base alla sua velocità di caduta limite $v_0$ e alle costanti $\eta$, $\rho$ e $g$.

Per determinare il carico della goccia, si lascia cadere tra due placche di conduttore orizzontali separate a una distanza $d$, collegate ad una differenza di potenziale $V$ regolabile (vedi figura). In una delle varianti dell’esperimento, si misura prima $v_0$ in assenza di campo elettrico; quindi si collega il campo e si regola $V$ fino a che la goccia rimane in equilibrio. Il valore del differenziale di potenziale che ottiene questo equilibrio è chiamato $V_0$.

**b) ** Deduce un’espressione analitica del carico della goccia, $q$, in funzione di $v_0$, $R$, $V_0$ e delle costanti $d$ e $\eta$.

**Dati: **

• $g=9,81{\text{m/s}}^2$
• $\eta =1,80\times 10^{-5}\text{Pa}\cdot \text{s}$
• $\rho =8,99\times 10^2{\text{kg/m}}^3$
• $v_0=1,20\times 10^{-4}\text{m/s}$
• $V_0=447\text{V}$
• $d=5,00\text{mm}$

**c) ** Calcola i valori di $R$ e $q$ per questa goccia.

Supponi che, seguendo la stessa procedura, sia stata determinata la carica di altre tre gocce, ottenendo:

$q_1=6,352\times 10^{-19}\text{C},q_2=4,779\times 10^{-19}\text{C},q_3=3,184\times 10^{-19}\text{C}$

Punte sulla carta di Millikan: $q$, $q_1$, $q_2$ e $q_3$ sono presunti come circa multipli interi bassi (inferiori a 5) del carico elementare $e$, che non è noto a priori.

**d) ** Da queste misure si deduce il valore di $e$.

Topic: Electrostatics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Estimation & Approximation Objects: Droplet, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.9

**P3. The Millikan oil drop experiment.

A little over 15 years ago, a survey was conducted among scientists to determine the ten most beautiful experiments in history. The third ranked was the Millikan oil drop experiment.

This experiment, carried out in several versions between 1909 and 1913, allowed to demonstrate that the electric charge is quantized: it must always be an integer multiple of the elementary charge $e$, which corresponds to the charge of an electron in absolute value. The currently accepted value is $e=1,602\times 10^{-19}\text{C}$. Robert A. Millikan received the Nobel Prize in Physics for this and other work in 1923.

In this experiment, microscopic droplets of oil of known density $\rho$ are used, some of which are electrically driven by friction with a normally negative charge $Q=-ne$, where $n$ is a small integer. For simplicity, we call the drop load at absolute value $q=|Q|$.

In the presence of the earth’s gravitational field, droplets drop with $g$ acceleration, but friction with air slows down the movement. The resistance force $F_r$ acting on a small sphere moving at a sufficiently low speed $v$ within a fluid is tested experimentally to be proportional to that speed, and the Stokes Law is observed:

$F_r=6\pi \eta Rv$

where $\eta$ is the viscosity of the fluid (air in our case) and $R$ is the radius of the sphere. The velocity of fall tends asymptotically to a constant value (boundary velocity) when the drop weight and resistance force are equal. The value of this limit velocity, $v_0$, can be measured experimentally by observing through a microscope with a graduated reticle and by timing the time it takes the drop to travel a known distance.

**a) ** Get an analytical expression of the droplet radius, $R$, based on its droplet limit velocity $v_0$ and the constants $\eta$, $\rho$ and $g$.

To determine the drop load, it is dropped between two horizontal conductive plates separated by a distance $d$, connected to an adjustable potential difference $V$ (see figure). In one of the experimental variants, the $v_0$ is first measured in the absence of an electric field; the field is then connected and adjusted $V$ until the drop remains in balance. The value of the potential difference that this balance achieves is called $V_0$.

**b) ** Subtracts an analytical expression of the drop load, $q$, based on $v_0$, $R$, $V_0$ and the constants $d$ and $\eta$.

The data set shall be reported in the following table:

• $g=9,81{\text{m/s}}^2$
• $\eta =1,80\times 10^{-5}\text{Pa}\cdot \text{s}$
• $\rho =8,99\times 10^2{\text{kg/m}}^3$
• $v_0=1,20\times 10^{-4}\text{m/s}$
• $V_0=447\text{V}$
• $d=5,00\text{mm}$

**c) ** Calculate the values of $R$ and $q$ for this drop.

Suppose that, following the same procedure, the load of three other drops has been determined, obtaining:

$q_1=6,352\times 10^{-19}\text{C},q_2=4,779\times 10^{-19}\text{C},q_3=3,184\times 10^{-19}\text{C}$

Millikan paper point: $q$, $q_1$, $q_2$ and $q_3$ are assumed to be approximately low integers (less than 5) of the elementary charge $e$, which is unknown a priori.

**d) ** From these measurements, deduct the value of $e$.

Topic: Electrostatics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Estimation & Approximation Objects: Droplet, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.9