Spagna 2019

P1. XXX OAF… y seguimos en órbita

Una cápsula espacial describe una órbita circular en torno a la Tierra, en su plano ecuatorial, con una velocidad angular $ω_{T}$ , igual a la de rotación de la Tierra (órbita geoestacionaria).

a) ¿Cuál es el valor de $ω_{T}$ ?

b) Determina analíticamente y calcula el radio, $R$ , de la órbita geoestacionaria.

c) Determina y calcula la energía mecánica de la cápsula, $E$ , suponiendo que su masa es $M = 2000 kg$ .

d) Un astronauta que viaja en la cápsula desea lanzar un objeto de masa $m ≪ M$ , de forma que se mueva radialmente hacia la Tierra, como se muestra en la figura 1. ¿Cuál es la velocidad mínima, $v_{m i n}$ , con la que debe ser lanzada $m$ respecto a la cápsula? ¿En qué dirección? (Supóngase que, por ser $m ≪ M$ , no se altera apreciablemente la órbita de la cápsula espacial).

e) Un péndulo oscila con un periodo $T = 2 s$ en la superficie de la Tierra. ¿Cuál sería su periodo de oscilación a bordo de la cápsula espacial?

Datos: Radio de la Tierra, $R_{T} = 6, 37 \times 1 0^{6} m$ . Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, $g = 9, 8 m/s^{2}$ .

Geostationary orbit with radial trajectory

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Satellite, Planet, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. XXX OAF… e continuiamo in orbita

Una capsula spaziale descrive un’orbita circolare intorno alla Terra, nel suo piano equatoriale, con una velocità angolare $ω_{T}$ , pari a quella di rotazione della Terra (orbita geoestazionaria).

a) Qual è il valore di $ω_{T}$ ?

b) Determina analisi e calcola il raggio, $R$ , dell’orbita geoestazionaria.

c) Determina e calcola l’energia meccanica della capsula, $E$ , supponendo che la sua massa sia $M = 2000 kg$ .

d) Un astronauta che viaggia in capsula desidera lanciare un oggetto di massa $m ≪ M$ , in modo che si muova radialmente verso la Terra, come mostrato nella figura 1. Qual è la velocità minima, $v_{m i n}$ , con cui è da lanciare $m$ rispetto alla capsula? - In che direzione? (Supponiamo che, essendo $m ≪ M$ , l’orbita della capsula spaziale non sia alterata in modo apprezzabile).

e) Un pendolo oscilla con un periodo $T = 2 s$ sulla superficie della Terra. Qual è il suo periodo di oscillazione a bordo della capsula spaziale?

**Dati: ** Radio della Terra, $R_{T} = 6, 37 \times 1 0^{6} m$ . Accelerazione della gravità sulla superficie terrestre, $g = 9, 8 m/s^{2}$ .

Orbita geostationaria con trajectoria radiale

P1. XXX OAF… and we’re still in orbit

A space capsule describes a circular orbit around the Earth, in its equatorial plane, with an angular velocity $ω_{T}$ , equal to that of Earth’s rotation (geostationary orbit).

(a) What is the value of $ω_{T}$ ?

(b) Determines analytically and calculates the radius, $R$ , of the geostationary orbit.

d) An astronaut travelling in the capsule wishes to launch an object of mass $m ≪ M$ , so that it moves radially towards the Earth, as shown in Figure 1. What is the minimum speed, $v_{m i n}$ , at which $m$ should be launched with respect to the capsule? - Which way? (Suppose the orbit of the space capsule is not significantly altered by being $m ≪ M$ ).

(e) A pendulum oscillates with a period $T = 2 s$ on the Earth’s surface. What would be your period of oscillation aboard the space capsule?

Datos: Radio de la Tierra, $R_{T} = 6, 37 \times 1 0^{6} m$ . The acceleration of gravity on the Earth’s surface, $g = 9, 8 m/s^{2}$ .

Geostationary orbit with radial trajectory

P2. … y Arquímedes dijo ¡eureka!

El principio de Arquímedes: «Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo experimenta un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen que desaloja».

Para determinar la densidad de un sólido, se prepara en el laboratorio un vaso lleno de agua que se pone encima de una balanza de precisión. La balanza se tara y a continuación se introduce en el agua un cuerpo de masa $m$ conocida, que se mantiene suspendido de un fino hilo, de forma que quede totalmente sumergido pero sin apoyar en el fondo del recipiente. En estas circunstancias, la lectura de la balanza es $M$ .

a) Determina $M$ en función del empuje hidrostático $E$ sobre el cuerpo sumergido.

b) Determina la densidad del cuerpo, $ρ$ , en función de $m$ , $M$ y la densidad del agua, $ρ_{0}$ .

c) Para $ρ_{0} = 1, 00 g/cm^{3}$ , $m = 100, 00 g$ y $M = 37, 04 g$ , calcula el valor de la densidad del cuerpo, $ρ$ .

Para medir la densidad de un líquido se utiliza un «buzo» calibrado, que consiste en un cilindro de vidrio de volumen conocido $V_{0}$ . Se pone en la balanza un vaso lleno del fluido cuya densidad $ρ_{F}$ se quiere determinar, se tara la balanza, se sumerge el buzo y se toma la lectura $M^{'}$ .

d) Determina la expresión de $ρ_{F}$ en función de $V_{0}$ y $M^{'}$ .

e) Si el líquido es glicerina y se sumerge un buzo de $V_{0} = 10, 0 cm^{3}$ , la lectura de la balanza es $M^{'} = 12, 60 g$ . Calcula la densidad de la glicerina.

Para medir la densidad de materiales granulados, como la arena, se usa un picnómetro. Se llena de agua un picnómetro hasta una determinada marca, se pone en la balanza y se anota la lectura $m_{p}$ . Se introduce una masa conocida de arena $m_{a}$ en el picnómetro, se retira el exceso de agua hasta la marca, se pone el picnómetro en la balanza y se anota la nueva lectura $m_{p}^{'}$ .

f) Deduce la expresión de la densidad de la arena, $ρ_{a}$ , en función de la densidad del agua $ρ_{0}$ , y de $m_{p}$ , $m_{a}$ y $m_{p}^{'}$ .

g) Se dispone de un picnómetro lleno de agua que «pesa» $250, 00 g$ y se realiza el procedimiento con $50, 00 g$ de arena, obteniendo una pesada final $m_{p}^{'} = 267, 74 g$ . Calcula la densidad de la muestra de arena, $ρ_{a}$ .

Beaker on precision balance with submerged solid

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String, Cylinder, Container Fonte: Testo (PDF) — p.5

**P2. E Archimede disse eureka!

Principio di Archimede: Un corpo completamente o parzialmente immerso in un fluido in riposo prova una spinta da sotto verso l’alto uguale al peso del volume che lo allontana.

Per determinare la densità di un solido, un bicchiere pieno di acqua viene preparato in laboratorio e messo sopra una bilancia di precisione. La bilancia viene tirata e poi inserita in acqua un corpo di massa $m$ noto, che viene mantenuto sospeso da un filo sottile, in modo da rimanere completamente immerso ma senza appoggiare sul fondo del recipiente. In tali circostanze, la lettura del bilanciatore è $M$ .

a) Determina $M$ in base alla spinta idrostatica $E$ sul corpo immerso.

b) Determina la densità del corpo, $ρ$ , in funzione di $m$ , $M$ e la densità dell’acqua, $ρ_{0}$ .

c) Per $ρ_{0} = 1, 00 g/cm^{3}$ , $m = 100, 00 g$ e $M = 37, 04 g$ , calcola il valore di densità del corpo, $ρ$ .

Per misurare la densità di un liquido si usa un buzo calibrato, costituito da un cilindro di vetro di volume noto $V_{0}$ . Si mette sul bilanciato un vaso pieno del fluido la cui densità $ρ_{F}$ si vuole determinare, si tira la bilancia, si immerge il subacqueo e si prende la lettura $M^{'}$ .

d) Determina l’espressione di $ρ_{F}$ in funzione di $V_{0}$ e $M^{'}$ .

e) Se il liquido è glicerino e si immerge un buio di $V_{0} = 10, 0 cm^{3}$ , la lettura della bilancia è $M^{'} = 12, 60 g$ . Calcola la densità di glicerina.

Per misurare la densità di materiali granulati, come la sabbia, si usa un picnometro. Si riempie di acqua un picnometro fino a un determinato punto, si mette sulla bilancia e si annota la lettura $m_{p}$ . Se si inserisce una massa nota di sabbia $m_{a}$ nel picnometro, si rimuove l’eccesso di acqua fino al marchio, si pone il picnometro sulla bilancia e si annota la nuova lettura $m_{p}^{'}$ .

f) Deduce l’espressione della densità della sabbia, $ρ_{a}$ , in funzione della densità dell’acqua $ρ_{0}$ , e di $m_{p}$ , $m_{a}$ e $m_{p}^{'}$ .

g) Si dispone di un picnometro pieno di acqua che pesa $250, 00 g$ e si effettua la procedura con $50, 00 g$ di sabbia, ottenendo un pesante finale $m_{p}^{'} = 267, 74 g$ . Calcola la densità del campione di sabbia, $ρ_{a}$ .

Beaker on precision balance with submerged solid

**P2. And Archimedes said eureka!

Archimedes’ principle: A body totally or partially submerged in a resting fluid experiences a downward upward thrust equal to the weight of the volume it displaces.

To determine the density of a solid, a glass filled with water is prepared in the laboratory and placed on top of a precision scale. The scale is drawn and then a known mass body $m$ is inserted into the water, which is held suspended from a thin thread, so that it remains fully submerged but without supporting the bottom of the container. In these circumstances, the reading of the balance sheet is $M$ .

(a) Determine $M$ based on the hydrostatic thrust $E$ on the submerged body.

(b) Determine the body density, $ρ$ , based on $m$ , $M$ and the water density, $ρ_{0}$ .

For measuring the density of a liquid, a calibrated buzo is used, consisting of a glass cylinder of known volume $V_{0}$ . A glass full of fluid whose density $ρ_{F}$ is to be determined is placed on the scale, the scale is drawn, the diver is immersed and the reading $M^{'}$ is taken.

(d) Determines the expression of $ρ_{F}$ in terms of $V_{0}$ and $M^{'}$ .

(e) If the liquid is glycerin and a $V_{0} = 10, 0 cm^{3}$ diver is immersed, the reading of the scale is $M^{'} = 12, 60 g$ . Calculate the density of the glycerin.

To measure the density of granular materials, such as sand, a picometer is used. A picnometer is filled with water up to a certain mark, placed on the scale and marked $m_{p}$ . A known mass of sand $m_{a}$ is inserted into the picnometer, excess water is removed to the mark, the picnometer is placed on the scale and the new reading $m_{p}^{'}$ is noted.

(f) Subtract the expression of sand density, $ρ_{a}$ , by the water density $ρ_{0}$ , and of $m_{p}$ , $m_{a}$ and $m_{p}^{'}$ .

g) A water-filled picnometer is available which weighs $250, 00 g$ and the procedure is performed with $50, 00 g$ sand, resulting in a final heavy $m_{p}^{'} = 267, 74 g$ . Calculate the sand sample density, $ρ_{a}$ .

Beaker on precision balance with submerged solid

P3. Movimiento de iones entre dos cilindros coaxiales cargados

Dos electrodos cilíndricos coaxiales de gran longitud $L$ tienen radios $a$ y $b$ y cargas eléctricas $- Q$ y $+ Q$ , respectivamente. En la figura 1 se representa una sección perpendicular al eje de los cilindros. Se ha simbolizado con un «cañón» un dispositivo interior, generador y acelerador de iones positivos. Los iones son disparados a una distancia $r_{0}$ del eje y en dirección tangencial. Un esquema más realista del «cañón» se muestra en la figura 2.

Puede demostrarse que, si $L ≫ a, b$ , el potencial eléctrico en un punto $P$ entre los electrodos cilíndricos, a una distancia $r$ del eje, es:

$V = \frac{1}{2 π ε _{0}} \frac{Q}{L} ln (\frac{r}{a})$

a) Si la diferencia de potencial entre los electrodos es $V_{B A}$ , determina el potencial eléctrico en $P$ , $V (r)$ , en función de $V_{B A}$ y de $r$ .

Como los cilindros coaxiales cargados tienen simetría cilíndrica, las líneas de fuerza del campo eléctrico son radiales. Si $d r$ es un elemento infinitesimal de longitud a lo largo de una línea de fuerza, la variación elemental correspondiente del potencial eléctrico viene dada por:

$d V = - E d r$

b) Determina el campo eléctrico, $E$ , a una distancia $r$ del eje, y la fuerza $F$ a la que está sometido un ion de carga $q$ que pasa por ese punto.

En la figura 2 se representa el «cañón», que consta de una fuente de iones de carga positiva $q$ y masa $m$ , y dos placas metálicas paralelas $M_{1}$ y $M_{2}$ entre las que son acelerados los iones. La diferencia de potencial eléctrico entre las placas es $V_{0}$ . Puede despreciarse la velocidad inicial de los iones cuando pasan por el orificio de la placa $M_{1}$ .

c) Determina la velocidad de los iones, $v$ , cuando salen disparados del cañón.

d) Determina la diferencia de potencial que debe existir entre los cilindros concéntricos, $V_{B A}$ , para que la trayectoria de los iones disparados sea circular de radio $r_{0}$ .

e) ¿Qué diferencia de potencial $V_{B A}^{'}$ habría que aplicar para que iones de la misma carga $q$ y masa diferente $m^{'} \neq = m$ siguieran la misma trayectoria circular de radio $r_{0}$ ?

Cross-section of coaxial cylinders with ion gun

Ion gun schematic with accelerating plates

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Electric Potential Method, Gauss’s Law, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder, Capacitor, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.7

P3. Movimento di ioni tra due cilindri coassiali carichi

Due elettrodi cilindrici coassiali di grande lunghezza $L$ hanno i raggi $a$ e $b$ e le cariche elettriche $- Q$ e $+ Q$ , rispettivamente. La figura 1 mostra una sezione perpendicolare all’asse dei cilindri. È stato simboleggiato con un cana un dispositivo interno, generatore e acceleratore di ioni positivi. Gli ioni vengono sparati a una distanza $r_{0}$ dall’asse e in direzione tangenziale. Un schema più realistico del canone è mostrato nella figura 2.

Se $L ≫ a, b$ , si può dimostrare che il potenziale elettrico a un punto $P$ tra gli elettrodi cilindrici, a una distanza $r$ dall’asse, è:

$V = \frac{1}{2 π ε _{0}} \frac{Q}{L} ln (\frac{r}{a})$

a) Se la differenza di potenziale tra gli elettrodi è $V_{B A}$ , determina il potenziale elettrico in $P$ , $V (r)$ , in funzione di $V_{B A}$ e di $r$ .

Poiché i cilindri coassiali carichi hanno simmetria cilindrica, le linee di forza del campo elettrico sono radiali. Se $d r$ è un elemento infinitesimale di lunghezza lungo una linea di forza, la variazione elementare corrispondente del potenziale elettrico è data da:

$d V = - E d r$

b) Determina il campo elettrico, $E$ , a una distanza $r$ dall’asse, e la forza $F$ a cui è sottoposto un ione di carica $q$ che passa da quel punto.

La figura 2 rappresenta il canone, costituito da una fonte di ioni a carico positivo $q$ e massa $m$ , e due assi metallici paralleli $M_{1}$ e $M_{2}$ tra cui gli ioni sono accelerati. La differenza di potenziale elettrico tra le plache è $V_{0}$ . La velocità iniziale degli ioni può essere trascurata quando passano attraverso il foro della scheda $M_{1}$ .

c) Determina la velocità degli ioni, $v$ , quando usciranno sparati dal cannone.

d) Determina la differenza di potenziale che deve esistere tra i cilindri concentrici, $V_{B A}$ , per rendere il percorso degli ioni sparati circolare di radio $r_{0}$ .

e) Quale differenza di potenziale $V_{B A}^{'}$ dovrebbe essere applicata per far sì che gli ioni dello stesso carico $q$ e di massa diversa $m^{'} \neq = m$ seguano la stessa traiettoria radial circolare $r_{0}$ ?

Cross-section of coaxial cylinders with ion gun

Ion gun schematic with accelerating plates

P3. Ion movement between two loaded coaxial cylinders

Two coaxing cylindrical electrodes of large length $L$ have radii $a$ and $b$ and electric charges $- Q$ and $+ Q$ respectively. Figure 1 shows a section perpendicular to the cylinder axis. It has been symbolized with a canyon, an internal device, generator and positive ion accelerator. The ions are fired at a distance $r_{0}$ from the axis and in a tangential direction. A more realistic scheme of the canon is shown in Figure 2.

It can be shown that if $L ≫ a, b$ , the electric potential at a point $P$ between the cylindrical electrodes, at a distance $r$ from the axis, is:

$V = \frac{1}{2 π ε _{0}} \frac{Q}{L} ln (\frac{r}{a})$

(a) If the potential difference between the electrodes is $V_{B A}$ , determine the electric potential at $P$ , $V (r)$ , based on $V_{B A}$ and $r$ .

Because the charged coaxial cylinders have cylindrical symmetry, the lines of force of the electric field are radial. If $d r$ is an infinitesimal element of length along a force line, the corresponding elemental variation of electric potential is given by:

$d V = - E d r$

(b) Determine the electric field, $E$ , at a distance $r$ from the axis, and the force $F$ to which a charge ion $q$ passes through that point is subjected.

Figure 2 shows the canon, consisting of a positive charge ion source $q$ and mass $m$ , and two parallel metal plates $M_{1}$ and $M_{2}$ between which the ions are accelerated. The difference in electrical potential between the plates is $V_{0}$ . The initial velocity of the ions may be neglected when they pass through the $M_{1}$ plate hole.

(d) Determine the potential difference between concentric cylinders, $V_{B A}$ , for the ion trajectory to be circular in radius $r_{0}$ .

(e) What potential difference $V_{B A}^{'}$ would apply for ions of the same charge $q$ and different mass $m^{'} \neq = m$ to follow the same radial circular path $r_{0}$ ?

Cross-section of coaxial cylinders with ion gun

The following table shows the methodology used for the calculation of the total value of the goods:

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