USAPhO 2019 Nazionale Teorica

Due blocchi $A$ e $B$ della stessa massa sono su un piano inclinato fisso che forma un angolo di $3 0^{\circ}$ con l’orizzontale. Al tempo $t = 0$ , $A$ si trova a distanza $ℓ = 5 cm$ lungo il piano sopra $B$ , ed entrambi i blocchi sono in quiete. I coefficienti di attrito statico e dinamico tra i blocchi e il piano sono $μ_{A} = \frac{3}{6}, μ_{B} = \frac{3}{3},$ e i blocchi collidono in modo perfettamente elastico. Siano $v_{A} (t)$ e $v_{B} (t)$ le velocità dei blocchi lungo il piano. Usare $g = 10 m/s^{2}$ , assumere che entrambi i blocchi restino sul piano per tutto il tempo e trascurare le dimensioni dei blocchi.

a. Graficare le funzioni $v_{A} (t)$ e $v_{B} (t)$ per $t$ da $0$ a $1$ secondo (linea continua e tratteggiata rispettivamente), indicando gli istanti in cui avvengono le collisioni.
b. Ricavare un’espressione per la distanza totale percorsa dal blocco $A$ dalla sua posizione iniziale subito dopo la sua $n$ -esima collisione, in funzione di $ℓ$ e $n$ .

Si supponga ora che il coefficiente del blocco $B$ sia invece $μ_{B} = 3 /2$ , mentre $μ_{A} = 3 /6$ resta invariato.

c. Graficare di nuovo $v_{A} (t)$ e $v_{B} (t)$ per $t$ da $0$ a $1$ secondo (linea continua e tratteggiata), indicando gli istanti delle collisioni.
d. Al tempo $t = 1 s$ , di quanto si è spostato il blocco $A$ dalla sua posizione iniziale?

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Conservation of Momentum Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Conservation Laws Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.4

Due blocchi $A$ e $B$ della stessa massa sono su un piano inclinato fisso che forma un angolo di $3 0^{\circ}$ con l’orizzontale. Al tempo $t = 0$ , $A$ si trova a distanza $ℓ = 5 cm$ lungo il piano sopra $B$ , ed entrambi blocchi sono in silenzio. I coefficienti di attrito statico e dinamico tra i blocchi e il piano sono $μ_{A} = \frac{3}{6}, μ_{B} = \frac{3}{3},$ e blocchi collidono in modo perfettamente elastico. Siano $v_{A} (t)$ e $v_{B} (t)$ le velocità dei blocchi lungo il pianoforte. Utilizzare $g = 10 m/s^{2}$ , se si suppone che entrambi i blocchi restino sul pianoforte per tutto il tempo e trascurano le dimensioni dei blocchi.

a. Graficare la funzione $v_{A} (t)$ e $v_{B} (t)$ per $t$ da $0$ a $1$ secondo (linea continua e trattteggiata rispettivamente), indicando gli istanti in cui si verificano le collisioni.
b. Ricerca di un’espressione per la distanza totale percorsa dal blocco $A$ dalla sua posizione iniziale subito dopo la sua $n$ -esima collisione, in funzione di $ℓ$ e $n$ .

Si suppone che il coefficiente del blocco $B$ sia invece $μ_{B} = 3 /2$ , mentre $μ_{A} = 3 /6$ resta invariato.

c. Graficare di nuovo $v_{A} (t)$ e $v_{B} (t)$ per $t$ da $0$ a $1$ secondo (linea continua e tratteggiata), indicando gli istanti delle collisioni.
d. Al tempo $t = 1 s$ , di quanto si è spostato il blocco $A$ dalla sua posizione iniziale?

In questo problema si studia un semplice modello termodinamico per la conversione dell’energia solare in vento. Si consideri un pianeta di raggio $R$ che si suppone ruoti in modo che il lato sempre rivolto al Sole abbia temperatura uniforme costante $T_{1}$ , mentre il lato in ombra abbia temperatura uniforme costante $T_{2}$ . Il raggio orbitale del pianeta è $R_{0}$ , il Sole ha temperatura $T_{s}$ e raggio $R_{s}$ . Si assuma che lo spazio esterno abbia temperatura nulla e si trattino tutti gli oggetti come corpi neri ideali.

a. Trovare la potenza solare $P$ ricevuta dal lato illuminato del pianeta. (Suggerimento: la legge di Stefan-Boltzmann afferma che la potenza emessa da un corpo nero di area $A$ è $σ A T^{4}$ .)

Per mantenere $T_{1}$ e $T_{2}$ costanti, il calore deve essere continuamente trasferito dal lato illuminato a quello in ombra. Immaginando i due emisferi come i due serbatoi di una macchina termica reversibile, il lavoro estratto da questa differenza di temperatura, che compare sotto forma di potenza eolica, si suppone interamente catturato e immagazzinato da turbine eoliche.

b. La temperatura di equilibrio $T_{2} / T_{1}$ dipende dal tasso di trasferimento di calore tra gli emisferi. Trovare i valori minimo e massimo di $T_{2} / T_{1}$ . In tal caso, qual è la potenza eolica prodotta $P_{w}$ ?
c. Trovare la potenza eolica $P_{w}$ in funzione di $P$ e della temperatura $T_{2} / T_{1}$ .
d. Stimare il valore massimo possibile di $P_{w}$ come frazione di $P$ , a una cifra significativa. Spiegare brevemente come si è ottenuta la stima.

Topic: Thermodynamics, Astrophysics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, Energy Conservation Method, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Planet, Star, Heat Engine Fonte: Testo (PDF) — p.5

In questo problema si studia un modello termodinamico semplice per la conversione dell’energia solare in vento. Se si considera un piano di raggio $R$ si suppone che il lato sia sempre rivolto al Sole e abbia una temperatura uniforme costante $T_{1}$ , mentre il lato in ombra ha una temperatura uniforme $T_{2}$ . Il raggio orbitale del pianeta è $R_{0}$ , il Sole ha temperatura $T_{s}$ e raggio $R_{s}$ . Se si presume che lo spazio esterno abbia una temperatura nulla e se trattino tutti gli oggetti come corpi neri ideali.

a. Trovare la potenza solare $P$ ricevuta dal lato illuminato del pianeta. (Suggerimento: la legge di Stefan-Boltzmann afferma che la potenza emessa da un corpo nero di area $A$ è $σ A T^{4}$ .)

Per mantenere $T_{1}$ e $T_{2}$ costanti, il calore deve essere continuamente trasferito dal lato illuminato a quello in ombra. Immaginando che due emissioni come due serbatoi di una macchina termica reversibile, il lavoro estratto di questa differenza di temperatura, che si confronta sotto forma di potenza eolica, si suppone interamente catturato e immagazzinato della turbina eolica.

b. La temperatura di equilibrio $T_{2} / T_{1}$ dipende dal tasso di trasferimento di calore tra le emissioni. Trovare i valori minimi e massimi di $T_{2} / T_{1}$ . In tal caso, quale è la potenza eolica prodotta $P_{w}$ ?
c. Trovare la potenza eolica $P_{w}$ in funzione di $P$ e della temperatura $T_{2} / T_{1}$ .
d. Il valore massimo possibile di $P_{w}$ è espresso in frazione di $P$ , una cifra significativa. Spiegare brevemente come si è ottenuta la stima.

Due grandi armature parallele di area $A$ sono poste a $x = 0$ e $x = d ≪ A$ in un mezzo semiconduttore. L’armatura a $x = 0$ è collegata a terra e quella a $x = d$ è a potenziale fisso $- V_{0}$ , con $V_{0} > 0$ . Particelle di carica positiva $q$ fluiscono tra queste armature. Si trascurino effetti dielettrici del mezzo.

a. Per $V_{0}$ grandi, la velocità delle cariche positive è determinata da una forte forza di trascinamento (drag), così che $v = μ E$ , dove $E$ è il campo elettrico locale e $μ$ la mobilità delle cariche.
- i. Allo stato stazionario c’è una densità di carica $ρ (x)$ non nulla ma indipendente dal tempo tra le armature. Sia la densità di carica in una posizione $x$ pari a $ρ (x)$ . Usando la conservazione della carica, ricavare una relazione tra $ρ (x)$ , $v (x)$ e la corrente $I$ .
- ii. Sia $V (x)$ il potenziale elettrico a $x$ . Ricavare un’espressione che collega $ρ (x)$ , $V (x)$ e le sue derivate. (Suggerimento: usare la legge di Gauss per trovare la densità di carica $ρ (x)$ in funzione del campo $E (x)$ .)
- iii. Supporre che allo stato stazionario le condizioni siano tali che $V (x)$ sia proporzionale a $x^{b}$ ; trovare $b$ ed esprimere la corrente in funzione di $V_{0}$ e degli altri parametri dati.
b. Per $V_{0}$ piccoli, le cariche positive si muovono per diffusione. La corrente per diffusione è data dalla legge di Fick, $I = - A D \frac{d ρ}{d x}$ , dove $D$ è il coefficiente di diffusione, che si può scrivere tramite la relazione di Einstein $D = \frac{μ k _{B} T}{q}$ ( $T$ è la temperatura del sistema).
- i. Assumere che allo stato stazionario le condizioni siano tali che $V (x)$ soddisfi $V (x) \propto x^{b}$ , con $b$ valore diverso dal punto precedente. Trovare $b$ ed esprimere la corrente in funzione di $V_{0}$ e degli altri parametri.
- ii. A quale tensione $V_{0}$ il sistema passa da questo regime al regime di alta tensione del punto precedente?

Topic: Electrostatics, Circuits Metodi: Differential Equations, Gauss’s Law, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.6

a. Per $V_{0}$ grandi, la velocità delle cariche positive è determinata da una forte forza di trascinamento (tratto), così come $v = μ E$ , dove $E$ è il campo elettrico locale e $μ$ la mobilità delle cariche.
- i. Allo stato stazionario c’è una densità di carica $ρ (x)$ non nulla ma indipendente dal tempo tra le armature. Se la densità di carica in una posizione $x$ pari a $ρ (x)$ . Usando la conservazione della carica, ricavare una relazione tra $ρ (x)$ , $v (x)$ e la corrente $I$ .
- ii. Sia $V (x)$ il potenziale elettrico a $x$ . Ricarica un’espressione che collega $ρ (x)$ , $V (x)$ e il derivato. *(Suggerimento: usare la legge di Gauss per trovare la densità di carica $ρ (x)$ in funzione del campo $E (x)$ .) *
III. Supporta che l’allo stato stazionario delle condizioni siano tali che $V (x)$ sia proporzionale a $x^{b}$ ; trovare $b$ ed esprimere la corrente in funzione di $V_{0}$ e degli altri parametri dati.
b. Per $V_{0}$ piccoli, la cariche è positiva se muovono per diffusione. La corrente per diffusione è data dalla legge di Fick, $I = - A D \frac{d ρ}{d x}$ , dove $D$ è il coefficiente di diffusione, che se può scrivere tramite la relazione di Einstein $D = \frac{μ k _{B} T}{q}$ ( $T$ è la temperatura del sistema).
- i. Supponiamo che le condizioni dello stato stazionario siano tali che $V (x)$ soddisfi $V (x) \propto x^{b}$ , con $b$ un valore diverso dal punto precedente. Trovare $b$ ed esprimere la corrente in funzione di $V_{0}$ e degli altri parametri.
- ii. A quale tensione $V_{0}$ il sistema passa da questo regime al regime di alta tensione del punto precedente?

La parete di un neurone è fatta di una membrana elastica che resiste alla compressione come una molla. Ha una costante elastica effettiva $k$ e uno spessore di equilibrio $d_{0}$ . Si assuma che la membrana abbia area molto grande $A$ e curvatura trascurabile. Il neurone ha pompe ioniche che possono spostare ioni attraverso la membrana. La carica risultante, in stato stazionario, fa sì che cariche ioniche positive e negative siano disposte uniformemente lungo le superfici esterna e interna della membrana, rispettivamente. La permittività della membrana è $ϵ$ .

a. Supponendo che, dopo che le pompe ioniche hanno compiuto del lavoro, le cariche sulle superfici esterna e interna siano $Q$ e $- Q$ rispettivamente, qual è lo spessore $d$ della membrana?
b. Ricavare un’espressione per la differenza di potenziale $V$ tra le superfici esterna e interna della membrana in funzione dei parametri dati.
c. Supporre che gli ioni siano dapprima attivati sulla membrana scarica e che la membrana sia caricata molto lentamente (quasi-staticamente). Le pompe accenderanno solo quando la differenza di potenziale tra le membrane diventi maggiore di un valore $V_{t h}$ . Quanto deve essere grande $k$ affinché la costante elastica $k$ sia tale che la membrana non collassi?
d. Quanto lavoro compiono le pompe ioniche in ciascuna delle seguenti situazioni? Esprimere le risposte in funzione di $k$ e $d_{0}$ .
- i. $k$ è infinitesimamente più grande del valore ricavato al punto (c).
- ii. $k$ è infinitesimamente più piccolo del valore ricavato al punto (c).

Si assuma in ogni caso che lo spessore della membrana $d$ non possa diventare negativo.

Membrana neuronale bilayer con cariche

Topic: Electrostatics, Elasticity & Materials Metodi: Energy Conservation Method, Gauss’s Law, Hooke’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Membrane, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.8

La parete di un neurone è fatta di una membrana elastica che resiste alla compressione come una molla. Ha una costante elastica effettiva $k$ e uno spessore di equilibrio $d_{0}$ . Si presume che la membrana abbia una superficie molto grande $A$ e la curvatura trascurabile. Il neurone ha una pompa di ioni che possono spostare gli ioni attraverso la membrana. La carica risultante, in stato stazionario, è la carica dei ioni positivi e negativi che si dispongono uniformemente lungo la superficie esterna e interna della membrana, rispettivamente. La permistività della membrana è $ϵ$ .

a. Supponendo che, dopo che le pompe ioniche hanno compiuto il lavoro, la carica sulle superfici esterne e interne siano $Q$ e $- Q$ rispettivamente, quale è lo spessore $d$ della membrana?
b. Ricerca di una espressione per la differenza di potenziale $V$ tra la superficie esterna e interna della membrana in funzione dei parametri dati.
c. Supporta che gli ioni siano stati prima attivi sulla membrana scarica e che la membrana sia caricata molto lentamente (quasi-staticamente). La pompa accende solo quando la differenza di potenziale tra la membrana diventa maggiore di un valore $V_{t h}$ . Quanto deve essere grande $k$ affinché la costante elastica $k$ sia tale che la membrana non collassi?
d. Quanto lavoro compie la pompe ioniche in ciascuna delle seguenti situazioni? Esprimere la risposta in funzione di $k$ e $d_{0}$ .
- i. $k$ è infinitesimamente più grande del valore ricavato al punto (c).
- ii. $k$ è infinitesimamente più piccolo del valore ricavato al punto (c).

Si presume in ogni caso che la spessore della membrana $d$ non possa diventare negativa.

Membrana neuronale biuschietta con cariche

Gli scienziati hanno recentemente rilevato una nuova stella, MAR-Kappa. La stella è quasi un corpo nero perfetto e il suo spettro misurato di intensità è mostrato in figura. L’intensità luminosa totale misurata da MAR-Kappa è $I = 1, 12 \times 1 0^{- 8} W/m^{2}$ . La massa di MAR-Kappa è stimata in $3, 5 \times 1 0^{30} kg$ . Si può usare la legge di Stefan-Boltzmann, che lega l’area $A$ alla potenza emessa da un corpo nero con $σ A T^{4}$ .

Spettro intensità vs lunghezza d’onda MAR-Kappa

a. Lo spettro di lunghezze d’onda $λ$ emesso da un corpo nero dipende solo da $h$ , $c$ , $k_{B}$ , $λ$ e $T$ . Dato che il Sole ha temperatura di superficie $5778 K$ e picco di emissione a $500 nm$ , qual è la temperatura di superficie approssimata di MAR-Kappa?
b. Le “righe” nello spettro provengono da atomi nella stella che assorbono lunghezze d’onda specifiche della luce emessa. Un contributo all’ampiezza delle righe assorbite è l’allargamento Doppler associato al moto degli atomi nella stella. L’ampiezza spettrale a $λ = 389 nm$ è $Δ λ$ di questa riga. Quanta massa di elio è in moto in orbita circolare con raggio $1, 5 \times 1 0^{10} m$ ? La massa di un atomo di elio è $6, 65 \times 1 0^{- 27} kg$ .
c. Nel corso di un anno, MAR-Kappa appare oscillare tra due posizioni nel cielo, separate da una separazione angolare di $1, 6 \times 1 0^{- 9} rad$ a parte. Quanto dista MAR-Kappa, se si trova nello stesso piano dell’orbita terrestre, di raggio $1, 5 \times 1 0^{11} m$ ?
d. Cos’è il raggio di MAR-Kappa?
e. Nel corso di un anno si osserva che l’intensità $I$ diminuisce di $(1 - 1 0^{- 5}) I$ e poi risale a $I$ in un tempo $t$ . Una possibile spiegazione di tale osservazione è che un esopianeta orbiti la stella bloccando per un certo tempo la luce delle stelle.
- e. Stimare il raggio dell’esopianeta, dato che è molto più piccolo della stella.
- f. Assumendo che un corpo nero in moto con temperatura uniforme in orbita circolare attorno alla stella e che il pianeta abbia temperatura tra $0 K$ e una temperatura massima di $250 K$ (se ci fosse tempo, e il pianeta avesse un’atmosfera adeguata, la temperatura potrebbe restare abbastanza bassa da sostenere la vita).

Topic: Astrophysics, Thermodynamics, Modern-Quantum Physics Metodi: Order-of-Magnitude Estimation, Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star, Atom, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.9

Gli scienziati hanno recentemente rilevato una nuova stella, MAR-Kappa. La stella è quasi un corpo nero perfetto e il suo spettro misurato di intensità è mostrato in figura. L’intensità luminosa totale misurata da MAR-Kappa è $I = 1, 12 \times 1 0^{- 8} W/m^{2}$ . La massa di MAR-Kappa è stimata in $3, 5 \times 1 0^{30} kg$ . Se si può usare la legge di Stefan-Boltzmann, che lega l’area $A$ alla potenza emessa da un corpo nero con $σ A T^{4}$ .

Spettro intensità vs lunghezza d’onda MAR-Kappa

a. Lo spettro di lunghezza di onda $λ$ emesso da un corpo nero dipende solo da $h$ , $c$ , $k_{B}$ , $λ$ e $T$ . Dato che il Sole ha una temperatura di superficie $5778 K$ e un picco di emissioni $500 nm$ , qual è la temperatura di superficie approssimativa di MAR-Kappa?
b. Il “righe” nello spettro provengono da un atomo nella stella che assorbe la lunghezza delle onde specifiche della luce emessa. Un contributo a tutta l’ampiezza delle righe assorbitrici e all’allargamento doppler associato al moto degli atomi nella stella. L’ampiezza spettrale è $λ = 389 nm$ è $Δ λ$ di questa riga. Quanta massa di eleo è in moto in orbita circolare con raggio $1, 5 \times 1 0^{10} m$ ? La massa di un atomo di elio è $6, 65 \times 1 0^{- 27} kg$ .
c. Nel corso di un anno, il MAR-Kappa appare oscillato tra due posizioni nel cielo, separato da una separazione angolare di $1, 6 \times 1 0^{- 9} rad$ una parte. Quanto a questa distanza MAR-Kappa, se si trova nello stesso pianoforte dell’orbita terrestre, di raggio $1, 5 \times 1 0^{11} m$ ?
d. Cos’è il raggio di MAR-Kappa?
e. Nel corso di un anno si osserva che l’intensità $I$ diminuisce di $(1 - 1 0^{- 5}) I$ e poi risale a $I$ in un tempo $t$ . Una possibile spiegazione di tale osservazione è che un esopianeta in orbita della stella blocca per un certo tempo la luce delle stelle.
- e. Stimare il raggio dell’esopianeta, dato che è molto più piccolo della stella.
- f. Assumendo che un corpo nero in moto con temperatura uniforme in orbita circolare attorno alla stella e che il pianeta abbia temperatura tra $0 K$ e una temperatura massima di $250 K$ (se ci fosse tempo, e il pianeta avesse un’atmosfera adeguata, la temperatura potrebbe restare abbastanza bassa da sostenere la vita).

Una pallina di massa $m$ è posta su una guida orizzontale, lungo la quale può scivolare senza attrito. È attaccata all’estremità di un’asta rigida priva di massa di lunghezza $R$ . All’altro capo dell’asta è attaccata una pallina di massa $M$ . La pallina di massa $M$ è inizialmente in quiete, con l’asta direttamente sopra la pallina di massa $m$ . Al sistema viene dato un impulso infinitesimo parallelo alla guida.

Perla su guida con asta e palla (stato iniziale)

Due stati successivi theta=pi/2 e theta=pi

Si assuma che l’asta e la pallina siano progettate in modo che possano attraversare la guida senza urtarla. In altre parole, la guida vincola solo il moto della pallina $m$ (di massa minore). Due stati successivi del sistema sono mostrati: $θ = \frac{π}{2}$ (asta orizzontale, a sinistra) e $θ = π$ (asta verticale con la pallina direttamente sotto, a destra).

a. Ricavare un’espressione per la forza nell’asta quando essa è orizzontale (caso a sinistra), indicando se è di trazione o compressione.
b. Ricavare un’espressione per la forza nell’asta quando la pallina è direttamente sotto (caso a destra), indicando se è di trazione o compressione.
c. Sia $θ$ l’angolo che l’asta forma con la verticale, con l’asta che comincia a $θ = 0$ . Trovare la velocità angolare $ω = d θ / d t$ in funzione di $θ$ .

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Rod, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.10

Una pallina di massa $m$ è posta su una guida orizzontale, lungo la quale può scivolare senza attrito. È attaccata tutte le estremità di un’osta rigida privata di massa di lunghezza $R$ . All’altro capo dell’asta è attaccata una pallina di massa $M$ . La pallina di massa $M$ è inizialmente in quiete, con l’asta direttamente sopra la pallina di massa $m$ . Il sistema viene dato un impulso infinitesimo * parallelo * alla guida.

Perla su guida con asta e palla (stato iniziale)

Due stati successivi theta=pi/2 e theta=pi

Si presume che l’asta e la pallina siano progettate in modo che possano attraversare la guida senza ulteriore. In altre parole, la guida vincola solo il moto della pallina $m$ (di massa minore). Due stati successivi del sistema sono mostrati: $θ = \frac{π}{2}$ (asta orizzontale, a sinistra) e $θ = π$ (asta verticale con la pallina direttamente sotto, a destra).

a. Ricare una espressione per la forza nell’asta quando è orizzontale (in caso di sinistra), indicando se è di trazione o compressione.
b. Ricare un’espressione per la forza nell’asta quando la pallina è direttamente sotto (caso a destra), indicando se è di trazione o compressione.
c. Sia $θ$ l’angolo che l’asta forma con la verticale, con l’asta che comincia a $θ = 0$ . Trovare la velocità angolare $ω = d θ / d t$ in funzione di $θ$ .

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