Question 2

This is about forces on dam walls and detecting cracks in them through wave reflection.

a) The dam shown in Fig. 1 is used to generate hydroelectric power. The difference in height between the water levels of the dam is 61 m, and the peak flow rate of the water through the dam is 3380 m³ s⁻¹. Estimate the maximum power output of the hydroelectric facility.

(3)

b) In practice not all of the gravitational potential energy of the water behind the dam is transferred by the generators, and the water emerges from the dam with a velocity of 8.0 m s⁻¹. Calculate the efficiency of the energy transfer process from the water.

(3)

c) The dam can be considered to be a concrete prism of triangular cross-section, with height $h = 60$ m, a base of thickness $t = 60$ m, and a width of $w = 2700$ m. The cross-section of the dam is illustrated in Figure 2. Points F and C are at the bottom of the dam. The water level is at the top of the dam wall.

(i) Calculate the resultant force on the face of the dam due to water pressure in terms of $h$ , $w$ , $ρ$ and $g$ , where $ρ$ is the density of water.

(ii) Calculate the resultant moment (torque) about F due to this force, and calculate the effective height at which the resultant force acts to produce this moment.

The centre of mass of a uniform triangle is at the point of intersection of its medians (the lines joining its vertices to the midpoints of the opposite sides). Thus the centre of mass lies two-thirds of the way along each median.

(iii) For the dam, state the position of the centre of mass of the dam relative to F.

(iv) Calculate the two turning moments acting on the dam about C, due to the water pressure and the weight of the dam.

(v) The frictional force of the dam on the ground beneath is given by $f = μ N$ where $N$ is the normal reaction force of the ground, and $μ = 0.75$ . Calculate the minimum density of concrete that could be used so that the dam will not slide over the ground.

(vi) Calculate the minimum density of concrete used to construct the dam so that it will not tip up about point C.

Density of water is $ρ_{w} = 1000$ kg m⁻³

(10)

d) There is a significant danger of cracks forming in dams, leading to catastrophic failure with little or no warning. One form of non-destructive testing uses ultrasonic waves to investigate the interior of the concrete.

When a wave strikes a boundary (interface) between two different media it has to obey two constraints:

the displacement of the material by the wave must be the same either side of the boundary.
the energy transferred into the boundary must be the same as the total energy reflected and transmitted.

If an incident wave has an amplitude $A_{i}$ , the reflected wave amplitude $A_{r}$ and the transmitted wave amplitude $A_{t}$ , then we can write:

$A_{i} + A_{r} = A_{t} (1)$

The energy of a wave is proportional to the square of the amplitude, $A^{2}$ , and the rate of energy flow in a medium is given by $\frac{Δ E}{Δ t} = ω^{2} Z A^{2}$ , where $Z$ stands for the acoustic impedance and is a parameter of the medium, and $ω$ is a constant (it cancels in all our equations and can be ignored).

(i) From the energy flow through a boundary from medium 1 to medium 2, show that $Z_{1} A_{i}^{2} - Z_{1} A_{r}^{2} = Z_{2} A_{t}^{2} (2)$ where $Z_{1}$ and $Z_{2}$ are the impedances of the media either side of the boundary, as illustrated in Figure 3.

Using these two requirements (eq. (1) and (2)) for a wave crossing an interface between two media at normal incidence:

(ii) show that $\frac{A _{r}}{A _{i}} = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ , and

(iii) derive an expression for $\frac{A _{t}}{A _{i}}$ in terms of $Z_{1}$ and $Z_{2}$ .

(iv) If $Z_{1} = Z_{2}$ , what can be said about the transmitted and reflected waves and the values of $\frac{A _{r}}{A _{i}}$ and $\frac{A _{t}}{A _{i}}$ ?

(v) When $Z_{2} > Z_{1}$ , what effect does this produce?

The energy reflected back can be used to characterise cracks in the concrete. The coefficient of reflection, $R$ , is the ratio of the reflected to the incident energy flow, such that $R = \frac{A _{r}^{2}}{A _{i}^{2}}$ . The coefficient of transmission, $T$ , is the ratio of the transmitted energy flow in medium 2 to the incident energy flow in medium 1.

(v) Obtain expressions for $R$ and $T$ in terms of $Z_{1}$ and $Z_{2}$ .

(vi) Calculate a value for $R + T$ .

For a medium, $Z = ρ v_{sound}$ , where $ρ$ is the density of the medium, and $v_{sound}$ is the speed of sound in the medium. Values for the densities and sound speeds in air, concrete and water are given in Table 1.

medium	density (kg m⁻³)	sound speed (m s⁻¹)
air	1.2	330
concrete	2400	3700
water	1000	1480

Table 1

(vii) Calculate the percentage of ultrasound energy reflected from a crack in the concrete when

i. the crack is filled with air,

ii. the crack is filled with water.

(9)

[25 marks]

Figure 1: HEP dam photograph

Figure 2: triangular dam cross-section F and C

Figure 3: wave boundary medium 1 and 2

Topic: Fluid Mechanics, Rigid Body Statics, Oscillations & Waves Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Torque & Angular Momentum Analysis, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

La domanda 2

Si tratta di forze sulle pareti della diga e di rilevare le crepe attraverso il riflesso delle onde.

a) La diga mostrata alla figura. 1 è utilizzato per generare energia idroelettrica. La differenza di altezza tra i livelli d’acqua della diga è di 61 m, e la velocità di flusso massima dell’acqua attraverso la diga è di 3380 m3 s−1. Calcolare la potenza massima di produzione dell’impianto idroelettrico.

(3)

b) In pratica non tutta l’energia potenziale gravitazionale dell’acqua dietro la diga viene trasferita dai generatori, e l’acqua emerge dalla diga con una velocità di 8,0 m s−1. Calcolare l’efficienza del processo di trasferimento di energia dall’acqua.

(3)

c) La diga può essere considerata un prisma di cemento di sezione trasversale triangolare, con altezza $h = 60$ m, base di spessore $t = 60$ m e larghezza $w = 2700$ m. La sezione trasversale della diga è illustrata nella figura 2. I punti F e C sono al fondo della diga. Il livello dell’acqua è in cima al muro della diga.

(i) Calcolare la forza risultante sulla superficie della diga a causa della pressione dell’acqua in termini di $h$ , $w$ , $ρ$ e $g$ , dove $ρ$ è la densità dell’acqua.

(ii) Calcolare il momento risultante (torque) circa F dovuto a questa forza e calcolare l’altezza effettiva a cui la forza risultante agisce per produrre questo momento.

Il centro di massa di un triangolo uniforme si trova al punto di intersezione dei suoi mediani (le linee che uniscono le sue vertici ai punti di mezzo dei lati opposti). Così il centro di massa si trova due terzi della strada lungo ogni media.

(iii) Per la diga, indicare la posizione del centro di massa della diga rispetto a F.

(iv) Calcolare i due momenti di rotazione che agiscono sulla diga intorno a C, a causa della pressione dell’acqua e del peso della diga.

(v) La forza di attrito della diga sul terreno sottostante è data da $f = μ N$ dove $N$ è la forza di reazione normale del terreno e $μ = 0.75$ . Calcolare la densità minima di cemento che potrebbe essere utilizzata in modo che la diga non scivoli sul terreno.

(vi) Calcolare la densità minima di cemento utilizzata per la costruzione della diga in modo che non si inclinerà verso il punto C.

Densità dell’acqua è $ρ_{w} = 1000$ kg m−3

(10)

d) C’è un rischio significativo di crepe che si formino nelle dighe, portando a un guasto catastrofico senza preavviso o senza preavviso. Una forma di prova non distruttiva utilizza onde ultrasoniche per indagare l’interno del cemento.

Quando un’onda colpisce un confine (interfaccia) tra due media diversi deve obbedire a due vincoli:

il spostamento del materiale da onde deve essere lo stesso su entrambi i lati del confine.
l’energia trasferita al limite deve essere uguale all’energia totale riflessa e trasmessa.

Se un’onda incidente ha un’ampiezza $A_{i}$ , l’ampiezza d’onda riflessa $A_{r}$ e l’ampiezza d’onda trasmessa $A_{t}$ , allora possiamo scrivere:

$A_{i} + A_{r} = A_{t} (1)$

L’energia di un’onda è proporzionale al quadrato dell’amplitudine, $A^{2}$ , e la velocità di flusso di energia in un mezzo è data da $\frac{Δ E}{Δ t} = ω^{2} Z A^{2}$ , dove $Z$ rappresenta l’impedenza acustica ed è un parametro del mezzo, e $ω$ è una costante (si annulla in tutte le nostre equazioni e può essere ignorata).

dal flusso di energia attraverso un limite da mezzo 1 a mezzo 2, dimostrare che $Z_{1} A_{i}^{2} - Z_{1} A_{r}^{2} = Z_{2} A_{t}^{2} (2)$ dove $Z_{1}$ e $Z_{2}$ sono le impedanze dei media su entrambi i lati del confine, come illustrato alla figura 3.

L’uso di questi due requisiti (equazione 1) e 2) per un’onda che attraversa un’interfaccia tra due supporti a frequenza normale:

dimostrare che $\frac{A _{r}}{A _{i}} = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ , e
derivare un’espressione per $\frac{A _{t}}{A _{i}}$ in termini di $Z_{1}$ e $Z_{2}$ .

(iv) Se $Z_{1} = Z_{2}$ , cosa si può dire delle onde trasmesse e riflesse e dei valori di $\frac{A _{r}}{A _{i}}$ e $\frac{A _{t}}{A _{i}}$ ?

(v) Quando $Z_{2} > Z_{1}$ , quale effetto produce?

L’energia riflessa al ritorno può essere utilizzata per caratterizzare le crepe nel cemento. Il coefficiente di riflessione, $R$ , è il rapporto tra la corrente di energia riflessa e l’incidente, in modo tale che $R = \frac{A _{r}^{2}}{A _{i}^{2}}$ . Il coefficiente di trasmissione, $T$ , è il rapporto tra il flusso di energia trasmesso nel mezzo 2 e il flusso di energia incidente nel mezzo 1.

(v) Ottenere espressioni per $R$ e $T$ in termini di $Z_{1}$ e $Z_{2}$ .

(vi) Calcolare un valore per $R + T$ .

Per un mezzo $Z = ρ v_{sound}$ , dove $ρ$ è la densità del mezzo e $v_{sound}$ è la velocità del suono nel mezzo. I valori delle densità e delle velocità del suono nell’aria, nel cemento e nell’acqua sono riportati nella tabella 1.

♬ densità media (kg m−3) ♬ velocità del suono (m s−1) ♬ |---------|-----------------|--------------------|

L’aria # 1,2 # 330

♬ Concreto 2400 ♬ 3700 ♬ ♬ Acqua ♬ 1000 ♬ 1480 ♬

Tabella 1

(vii) Calcolare la percentuale di energia ad ultrasuoni riflessa da una crepa nel cemento quando

i. la crepa è piena di aria,

ii. la crepa è piena di acqua.

(9)

[25 punti]

Figura 1: fotografia della diga HEP

*Figura 2: sezione trasversale della diga triangolare F e C *

Figura 3: mezzo di confine delle onde 1 e 2

Question 3

Several mechanical fairground rides are analysed in this question.

a) A particle of mass $m$ moves at a constant rate in a horizontal circular path of radius $r$ . State why there must be a resultant force acting on the particle; indicate its direction on a diagram, and state its magnitude both in terms of its speed $v$ and its angular speed $ω$ .

(2)

b) A fairground ride consists of a set of chairs hanging from cables of length $ℓ = 4.0$ m, which are attached to a circular support of radius $a = 6.0$ m, as shown in Figure 4 below. Each passenger sits in a light chair, with combined mass $m$ , which can be treated as a point mass.

(i) Draw a free body diagram of the forces acting on the chair.

(ii) Find the angle $θ$ the cable makes with the vertical when the ride rotates at $n$ revolutions per minute.

(iii) Calculate the angle of the cable and the tension in it when $n = 10$ rpm.

(iv) Calculate the period of rotation at which the cables are at $45°$ to the vertical.

(2)

c) The ‘wall of death’ ride consists of a $d = 10$ m diameter drum which rotates at an angular speed $ω$ , and passengers are pinned to the wall by friction. A passenger stands on the floor of the drum while it is stationary, and then it begins to rotate. At a certain angular speed, the floor drops away and the passenger is held against the wall due to friction with the wall.

(i) Sketch a diagram of the three forces acting on a passenger who is held against the wall.

(ii) If the frictional force is given by $f = μ N$ where $N$ is the normal reaction force of the wall, and $μ = 0.4$ , find the minimum angular speed $ω_{m i n}$ needed for passengers to be held against the wall.

(iii) In a more elaborate version of the ride, the drum is tilted so that its axis of rotation is above the horizontal (Figure 5b). Sketch a diagram of the three forces acting on a passenger when they are at the highest point of the circular path.

(iv) The frictional force $f$ remains as $μ N$ with $μ = 0.4$ although the value of $f$ will be different as the wall is no longer vertical. Given this condition on $f$ , calculate the minimum angular speed $ω_{t}$ needed for passengers to be held against the wall at the highest point.

(6)

d) Rollercoasters operate using gravity and are not powered. A rollercoaster similar to that illustrated in Fig. 6 can be modelled as a circular loop of radius of 20 m connected to a straight sloping track, shown in Figure 7.

(i) Now use the simplified model of Figure 7. Estimate the minimum height $h$ of the top of the slope from which a car must start in order to remain in contact with the track at all times when the car travels around the loop of radius $r = 20$ m without falling. Friction can be neglected.

Hint: consider the forces acting on the car at the top of the loop, and the minimum speed needed to remain in contact.

(ii) In this simplified model of the loop ride, the straight track joins on to the circular track at the bottom of the slope. Friction now acts on the carriage such that the frictional force is $f = μ N$ , where $N$ is the normal contact force of the track on the carriage and $μ = 0.05$ .

i. Draw a force diagram for the resultant force acting on the carriage as it accelerates down the straight track.

ii. If the slope makes an angle of $30°$ to the horizontal, and the slope is $h / sin 30°$ long, by what percentage does friction reduce the speed of the carriage at the bottom of the sloped track?

(iii) We again neglect friction. The straight track now joins a curved track with a radius of curvature of $ℓ /2$ . What would be the change in the normal contact force acting on a 60 kg passenger from his seat at the moment the carriage enters the curve?

(8)

e) A student has an even more unusual idea for a fun-fair ride. This can be modelled as two bars (A and B) each of mass $M$ separated by two springs of negligible mass, each of spring constant $k$ and unstretched length $ℓ$ . The springs are lightly damped to stop vibrations. The lower bar A is initially at a height of $h$ above the ground. The ride is then released from rest and falls freely under gravity.

(i) Find an expression for the speed of the bars immediately before they hit the ground.

(ii) Bar A strikes the ground and is brought to rest almost instantaneously, its kinetic energy all being transferred to heat and sound. Determine the total energy of the system, $E$ , in terms of the subsequent maximum compression of the springs $x_{m}$ , and gravitational potential energy.

After this, the springs extend again, and then at some moment bar A lifts off the ground.

(iii) By considering the forces acting on A determine the extension $x_{e}$ of the springs at the instant A leaves the ground.

(iv) Hence, using energy considerations, deduce an expression for the condition the initial height $h$ must satisfy in order for A to leave the ground.

(7)

[25 marks]

Figure 4: chairs fairground ride rotating

Figure 5: wall of death ride vertical and tilted

Figure 6: rollercoaster photograph

Figure 7: loop-slope simplified model

Figure 8: carnival drop ride photograph

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Pendulum, Spring, String Fonte: Testo (PDF) — p.6

La domanda 3

In questa domanda sono analizzate diverse rotte meccaniche di fiera.

a) Una particella di massa $m$ si muove a velocità costante in un percorso circolare orizzontale di raggio $r$ . Indicare perché deve esistere una forza risultante che agisce sulla particella; indicare la sua direzione su un diagramma e indicare la sua magnitudine sia in termini di velocità $v$ che di velocità angolare $ω$ .

(2)

b) Un giro per le fiere consiste in un insieme di sedie appese a cavi di lunghezza $ℓ = 4.0$ m, che sono attaccati ad un supporto circolare di raggio $a = 6.0$ m, come mostrato nella figura 4 di seguito. Ogni passeggero siede in una sedia leggera, con massa combinata $m$ , che può essere trattata come massa puntaria.

(i) Disegnare un diagramma del corpo libero delle forze che agiscono sulla sedia.

ii) Trova l’angolo $θ$ che il cavo fa con la verticale quando il giro si svolge a $n$ rotazioni al minuto.

(iii) Calcolare l’angolo del cavo e la tensione nel suo interno quando $n = 10$ rpm.

(iv) Calcolare il periodo di rotazione in cui i cavi sono $45°$ verso la verticale.

(2)

c) Il “muro della morte” consiste in un tamburo di diametro $d = 10$ m che ruota a velocità angolare $ω$ e i passeggeri sono fissati al muro da attrito. Un passeggero si trova sul pavimento del tamburo mentre è fermo e poi inizia a girare. A una certa velocità angolare, il pavimento cade e il passeggero viene trattenuto contro il muro a causa dell’attrito con il muro.

(i) Segnare un diagramma delle tre forze che agiscono su un passeggero che è tenuto contro il muro.

(ii) Se la forza di attrito è data da $f = μ N$ dove $N$ è la forza di reazione normale del muro, e $μ = 0.4$ , si trova la velocità angolare minima $ω_{m i n}$ necessaria per tenere i passeggeri contro il muro.

In una versione più elaborata del giro, il tamburo è inclinato in modo che il suo asse di rotazione sia sopra l’orizzontale (Figura 5b). Segna un diagramma delle tre forze che agiscono su un passeggero quando si trovano al punto più alto del percorso circolare.

(iv) La forza di attrito $f$ rimane $μ N$ con $μ = 0.4$ , anche se il valore di $f$ sarà diverso in quanto la parete non è più verticale. Data la condizione di $f$ , calcolare la velocità angolare minima $ω_{t}$ necessaria per tenere i passeggeri contro il muro al punto più alto.

(6)

d) Le monovoltaiche operano con la gravità e non sono alimentate. Una montagna russa simile a quella illustrata in Figura. 6 può essere modellato come un ciclo circolare di raggio di 20 m collegato a una pista a pensione retta, come mostrato alla figura 7.

(i) Ora utilizzare il modello semplificato della figura 7. Calcolare l’altezza minima $h$ della parte superiore della pendenza da cui deve partire un’auto per rimanere in contatto con la pista in ogni momento in cui la vettura percorre il circuito di raggio $r = 20$ m senza cadere. La frizione può essere trascurata.

Suggerimento: considera le forze che agiscono sulla macchina in cima al circuito e la velocità minima necessaria per rimanere in contatto.

in questo modello semplificato di circuito, la pista retta si unisce alla pista circolare in fondo alla pendicia. La frizione agisce ora sul carro in modo tale che la forza di frizione sia $f = μ N$ , dove $N$ è la forza di contatto normale della pista sul carro e $μ = 0.05$ .

i. Disegnare un diagramma della forza che agisce sul carro mentre si accelera lungo la pista retta.

ii. Se la pendenza fa un angolo di $30°$ verso l’orizzontale e la pendenza è lunga $h / sin 30°$ , in quale percentuale l’attrito riduce la velocità del carrello in fondo alla pista inclinata?

(iii) Noi trascuramo ancora una volta la friczione. La pista retta si unisce ora a una pista curva con un raggio di curvatura di $ℓ /2$ . Qual è la variazione della forza di contatto normale che agisce su un passeggero di 60 kg dal suo sedile nel momento in cui il carro entra nella curva?

(8)

e) Uno studente ha un’idea ancora più insolita di un giro divertente. Questo può essere modellato come due barre (A e B) di massa $M$ separate da due sorgenti di massa trascurabile, ciascuna di costante sorgente $k$ e lunghezza non estesa $ℓ$ . Le sorgenti sono leggermente umede per fermare le vibrazioni. La barra inferiore A è inizialmente a un’altezza di $h$ sopra il suolo. Il giro viene quindi rilasciato dal riposo e cade liberamente sotto la gravità.

(i) Trovare un’espressione della velocità delle barre subito prima che colpiscano il terreno.

(ii) La barra A colpisce il terreno e viene messa a riposo quasi istantaneamente, la sua energia cinetica tutta trasferita al calore e al suono. Determinare l’energia totale del sistema, $E$ , in termini di compressione massima successiva delle sorgenti $x_{m}$ , e l’energia potenziale gravitazionale.

Dopo di che, le sorgenti si estendono di nuovo, e poi in un certo momento la barra A si solleva dal terreno.

(iii) Considerando le forze che agiscono su A, si determina l’estensione $x_{e}$ delle sorgenti nel momento in cui A lascia il terreno.

(iv) Quindi, utilizzando le considerazioni energetiche, dedurre un’espressione per la condizione che l’altezza iniziale $h$ deve soddisfare per far uscire A dal terreno.

(7)

[25 punti]

Figura 4: rotante di sedie per il percorso di fiera

Figura 5: la parete della morte si sposta verticale e inclinata

Figura 6: fotografia di montagna russa

Figura 7: modello semplificato a pendenza di ciclo

Figura 8: fotografia di corsa a cavallo di carnevale

Question 4

This question is about electric fields and their application.

a) A thin, isolated, conducting, square metal sheet of area $A$ is given a charge $+ Q$ .

(i) State where the charge on the sheet is to be found.

(ii) Sketch a set of electric field lines (with arrows) emerging from the sheet in the region near the surface and centre of the sheet (i.e. neglect edge effects).

(iii) How are the field lines qualitatively related to the magnitude of the electric field in a given region?

(iv) If the field strength near the sheet is $E_{s}$ , write down the force on a charge $+ q$ at a distance $d$ from the sheet, where $d ≪ A$ , in terms of $E_{s}$ and $q$ .

(4)

b) Consider a conducting spherical shell of radius $r$ given a charge $+ Q$ .

i. Use Gauss’s law to derive the electric field strength $E$ at the surface of the sphere.

ii. Hence show that the field strength at the surface of the sphere can be written as $E_{sphere} = \frac{σ}{ε _{0}}$ , where $σ$ is the surface charge density.

iii. Hence, for an isolated, thin, plane, conducting surface carrying charge density $σ$ , obtain the field strength $E_{s}$ outside the conductor.

(ii) A conducting, charged sphere has no field inside the surface for a charge $Q$ on the surface, but a field $E_{sphere}$ on the outside surface. The repulsion of the surface charges will cause an outward force on the surface, which can be expressed as a pressure $P$ .

Imagine removing a small patch of the sphere of area $δ A$ , as shown in Figure 9. The field lines remain distributed as before since we are not in practice removing the small area.

i. What is the field strength at the position of the patch due to the rest of the sphere in the absence of the patch, in terms of $E_{sphere}$ ?

ii. Hence write down the field strength in the hole at the spherical surface, just inside and just outside, in terms of $E_{sphere}$ .

iii. Hence write down the charge on the patch and the force on it in terms of $σ$ , $δ A$ and $ε_{0}$ .

iv. Now derive an expression for the surface pressure on the sphere due to the charge in terms of $E_{sphere}$ and $ε_{0}$ .

(7)

c) Water has a dielectric breakdown field of $E_{bd} = 65$ MV m⁻¹ (above which it cannot conduct). Determine

(i) the radius of the smallest water drop (treated as a conducting spherical shell so that any excess charge resides on the surface) that can be charged to an electric potential of 7000 V,

(ii) the charge, and the surface charge density of the drop.

Charged drops of water are produced in a manner similar to that illustrated in Figure 10 below. A charged drop falls from a tube towards an earthed metal plate 10 cm below the tube where it was formed. Calculate

(iii) the speed of the drop when it reaches the earthed metal plate below,

(iv) the average current given a flow rate through the tube of 64 cm³ per hour.

(7)

d) The intention is to study the motion of the falling drops by means of high speed photography, and one means of doing this is to use a rotating prism camera shutter. Figure 11 shows the general arrangement for the film passing through the camera at high speed. The continually moving film would blur the image, so a rotating cube of glass is used to move the image for a short time along the film at the same speed as the film travels through the camera.

Figure 12 shows a ray of light entering the rotating cube of glass of side $x$ , with a refractive index $n$ .

(i) Determine an expression for the lateral displacement $d$ , in terms of $x$ , $n$ , and the angle of incidence $i$ , which should be assumed to be small.

(ii) The prism rotates about an axis perpendicular to the plane of the diagram, such that the image is stationary relative to the moving film. How fast should the film move if $x = 5.0$ cm, $n = 1.5$ and the cube rotates at 200 Hz?

(7)

[25 marks]

Figure 9: charged sphere with small patch removed

Figure 10: charged water drop falling setup

Figure 11 and 12: rotating glass cube camera shutter

Topic: Electrostatics, Geometric Optics, Electromagnetism Metodi: Gauss’s Law, Electric Potential Method, Snell’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Conducting Sphere, Droplet, Prism Fonte: Testo (PDF) — p.9

La domanda 4

La questione riguarda i campi elettrici e la loro applicazione.

a) Un sottile, isolato, conduttore, quadrato di metallo di superficie $A$ è caricato $+ Q$ .

Indicare il luogo in cui si trova l’importo della tassa.
disegnare un insieme di linee di campo elettrico (con frecce) che emergono dal foglio nella regione vicino alla superficie e al centro del foglio (cioè - non si possono verificare effetti di taglio).

(iii) In che modo le linee di campo sono qualitativamente correlate alla grandezza del campo elettrico in una determinata regione?

(iv) Se la forza di campo vicino al foglio è $E_{s}$ , annotare la forza su una carica $+ q$ a distanza $d$ dal foglio, dove $d ≪ A$ , in termini di $E_{s}$ e $q$ .

(4)

b) Considerare una conchiglia sferica conduttrice di raggio $r$ data una carica $+ Q$ .

i. Utilizzare la legge di Gauss per derivare la forza del campo elettrico $E$ sulla superficie della sfera.

ii. In questo modo si può indicare che la resistenza del campo alla superficie della sfera può essere scritta come $E_{sphere} = \frac{σ}{ε _{0}}$ , dove $σ$ è la densità di carica superficiale.

iii. Per un piano di conduttore isolato e sottile, con densità di carica $σ$ , si ottiene quindi la resistenza del campo $E_{s}$ al di fuori del conduttore.

(ii) Una sfera conduttrice e carica non ha un campo all’interno della superficie per una carica $Q$ sulla superficie, ma un campo $E_{sphere}$ sulla superficie esterna. La repulsione delle cariche superficiali causerà una forza esterna sulla superficie, che può essere espressa come pressione $P$ .

Immaginate di rimuovere una piccola macchia della sfera di superficie $δ A$ , come mostrato alla figura 9. Le linee di campo restano distribuite come prima, poiché non stiamo in pratica rimuovendo la piccola area.

i. Qual è la forza del campo in posizione della lamina a causa del resto della sfera in assenza della lamina, in termini di $E_{sphere}$ ?

ii. Quindi, annotare la forza del campo nel buco alla superficie sferica, proprio all’interno e proprio all’esterno, in termini di $E_{sphere}$ .

iii. In questo caso, annotare la carica sul patch e la forza sul patch in termini di $σ$ , $δ A$ e $ε_{0}$ .

iv. Ora derivi un’espressione per la pressione superficiale sulla sfera dovuta alla carica in termini di $E_{sphere}$ e $ε_{0}$ .

(7)

c) L’acqua ha un campo di rottura dielettrico di $E_{bd} = 65$ MV m−1 (sopra il quale non può condurre). Determinazione

il raggio della goccia d’acqua più piccola (trattata come una conchiglia sferica conduttrice in modo che la carica in eccesso risieda sulla superficie) che può essere caricata ad un potenziale elettrico di 7000 V,
la carica e la densità di carica superficiale della goccia.

Le gocce di acqua cariche sono prodotte in modo simile a quello illustrato nella figura 10 di seguito. Una goccia carica cade da un tubo verso una piastra metallica arrotondata 10 cm sotto il tubo in cui è stata formata. Calcolo

la velocità di caduta quando raggiunge la piastra metallica tersa inferiore,
la corrente media data a un flusso di 64 cm3 all’ora attraverso il tubo.

(7)

d) L’intenzione è di studiare il movimento delle gocce cadenti mediante la fotografia ad alta velocità, e uno dei mezzi per farlo è l’utilizzo di un obturatore rotativo della fotocamera prisma. La figura 11 mostra l’organizzazione generale del film che passa attraverso la fotocamera ad alta velocità. Il film in continuo movimento sfoccherebbe l’immagine, quindi un cubo di vetro rotante viene utilizzato per spostare l’immagine per un breve periodo lungo il film alla stessa velocità con cui il film viaggia attraverso la fotocamera.

La figura 12 mostra un raggio di luce che entra nel cubo rotante di vetro laterale $x$ , con un indice di rifrazione $n$ .

(i) Determinare un’espressione per il spostamento laterale $d$ , in termini di $x$ , $n$ e l’angolo di incidenza $i$ , che deve essere presunto piccolo.

(ii) Il prisma ruota intorno ad un asse perpendicolare al piano del diagramma, in modo tale che l’immagine sia stazionaria rispetto al film in movimento. Quanto veloce dovrebbe essere il movimento del film se $x = 5.0$ cm, $n = 1.5$ e il cubo ruota a 200 Hz?

(7)

[25 punti]

Figura 9: sfera carica con piccola patch rimossa

Figura 10: sistema di caduta di gocce di acqua cariche

Figura 11 e 12: chiusura della fotocamera a cubo di vetro in rotazione

Question 5

This question is on gravity and forces.

a) In 2017 an object that became known as Oumuamua was observed in the Solar System. Figure 13 shows an artist’s impression.

Oumuamua was observed at a speed of 38.1 × 10⁶ km from the Sun with a speed of 38.1 × 10⁶ km and astronomers deduced that Oumuamua did not belong to the Solar System. Make a suitable calculation to confirm this deduction.

(4)

b) In January 2019 the New Horizons spacecraft made a fly by of a distant object in the Solar System called Ultima Thule, shown in Figure 14 below. The planetoid consists of two lobes of diameters $2 r_{1} = 19.5$ km and $2 r_{2} = 14.2$ km. The period of rotation about its short axis is $T = 15$ hours. (The long axis is a line passing through the centres of the two lobes, and a short axis is perpendicular to the long axis.)

If we assume that the two lobes are held together by a weak gravitational attraction, we can model the object as two spheres of the same density just touching.

(i) Find the centre of mass of Ultima Thule, as measured from the centre of the largest sphere.

(ii) By considering the resultant force acting on one sphere, estimate the density of Ultima Thule.

(iii) Using the fact that the density can be taken to be similar for the two lobes, sketch a graph of the gravitational field strength along the long axis.

Note: the field strength varies linearly with radius inside a spherical body of uniform density.

You may find it helpful to sketch the potential along the long axis.

(8)

In fact, the two lobes are not bound by gravity, so the density and the masses of the lobes are not known. From the appearance of the two lobes, it looks as though they were moving at a low relative speed when they collided.

As an example, consider two spherical iron masses with the same radii as the lobes of Ultima Thule. The masses are $m_{1} = 3.06 \times 1 0^{16}$ kg and $m_{2} = 1.18 \times 1 0^{16}$ kg for the larger and smaller lobes respectively. We can assume that they approached from a great distance apart along a line through their centres, with a negligible initial relative velocity.

(iv) Calculate the amount of energy liberated when these two iron spheres collided.

(v) Calculate the relative speed of approach.

(7)

This energy of collision may have initially led to an increase in temperature of the two spheres (you may neglect any energy of rotation), which we could calculate from knowing the specific heat capacity of iron. However, at the very low temperatures of the outer Solar System the molar heat capacity of a material is not constant. For example, at low temperatures the molar heat capacity of iron, $c$ , varies as

$c = \frac{12 π ^{4} R}{5} (\frac{T}{Θ _{D}})^{3}$

where:

$R$ is the molar gas constant
$Θ_{D}$ is the Debye temperature ( $Θ_{D} = 467$ K for iron)
$T$ is the temperature in kelvin

(vi) Calculate the number of moles of iron involved in the collision.

(vii) Using your value of the energy liberated on collision, calculate the maximum temperature reached by the iron spheres, assuming the initial temperature was 4 K and radiative losses are in the first instance negligible.

(6)

[25 marks]

Figure 13: artist impression of Oumuamua

Figure 14: Ultima Thule two-lobe planetoid

Topic: Gravitation, Astrophysics, Thermodynamics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Kinetic Theory of Gases Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Star, Satellite, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.12

La domanda 5

Questa domanda riguarda la gravità e le forze.

a) Nel 2017 è stato osservato un oggetto che è diventato noto come Oumuamua nel Sistema Solare. La figura 13 mostra l’impressione di un artista.

Oumuamua è stato osservato a una velocità di 38.1 × 106 km dal Sole con una velocità di 38.1 × 106 km e gli astronomi hanno dedotto che Oumuamua non apparteneva al Sistema Solare. Fare un calcolo appropriato per confermare questa deduzione.

(4)

b) Nel gennaio 2019 la sonda New Horizons ha fatto un volo da un oggetto lontano nel Sistema Solare chiamato Ultima Thule, mostrato nella Figura 14 di seguito. Il pianetoide è costituito da due lobi di diametro $2 r_{1} = 19.5$ km e $2 r_{2} = 14.2$ km. Il periodo di rotazione intorno al suo asse corto è $T = 15$ ore. (L’asse lungo è una linea che attraversa i centri dei due lobi, e un asse corto è perpendicolare all’asse lungo.)

Se supponiamo che i due lobi siano tenuti insieme da una debole attrazione gravitazionale, possiamo modellare l’oggetto come due sfere della stessa densità che si toccano.

Trovare il centro di massa di Ultima Thule, misurato dal centro della sfera più grande.

(ii) Considerando la forza risultante che agisce su una sfera, stimare la densità di Ultima Thule.

(iii) Sfruttando il fatto che la densità può essere considerata simile per i due lobi, disegna un grafico della forza del campo gravitazionale lungo l’asse lungo.

Nota: la forza del campo varia linearmente con il raggio all’interno di un corpo sferico di densità uniforme.

Potrebbe essere utile disegnare il potenziale lungo l’asse lungo.

(8)

Infatti, i due lobi non sono legati dalla gravità, quindi la densità e le masse dei lobi non sono conosciuti. Dall’aspetto dei due lobi, sembra che si muovessero a bassa velocità relativa quando si sono scontrati.

Ad esempio, consideriamo due masse di ferro sferiche con gli stessi raggi dei lobi di Ultima Thule. Le masse sono $m_{1} = 3.06 \times 1 0^{16}$ kg e $m_{2} = 1.18 \times 1 0^{16}$ kg rispettivamente per i lobi più grandi e più piccoli. Possiamo supporre che si siano avvicinati da una grande distanza a distanza lungo una linea attraverso i loro centri, con una velocità relativa iniziale trascurabile.

(iv) Calcolare la quantità di energia liberata quando queste due sfere di ferro si sono collotte.

V) Calcolare la velocità relativa di avvicinamento.

(7)

Questa energia di collisione potrebbe inizialmente aver portato ad un aumento della temperatura delle due sfere (si può trascurare qualsiasi energia di rotazione), che potremmo calcolare conoscendo la capacità termica specifica del ferro. Tuttavia, alle temperature molto basse del Sistema Solare esterno, la capacità termico molare di un materiale non è costante. Ad esempio, a basse temperature la capacità termico molare del ferro, $c$ , varia in funzione del

$c = \frac{12 π ^{4} R}{5} (\frac{T}{Θ _{D}})^{3}$

dove:

$R$ è la costante di gas molare
$Θ_{D}$ è la temperatura di Debye ( $Θ_{D} = 467$ K per il ferro)
$T$ è la temperatura in kelvin
Calcolare il numero di mole di ferro coinvolti nella collisione.

(vii) Sfruttando il valore dell’energia liberata in collisione, calcolare la temperatura massima raggiunta dalle sfere di ferro, supponendo che la temperatura iniziale fosse di 4 K e che le perdite radiative siano in primo luogo trascurabili.

(6)

[25 punti]

Figura 13: Impressione artistica di Oumuamua

Figura 14: Planetoide a due lobi Ultima Thule

Question 6

This question explores different applications of wave interference.

a) State the necessary conditions to be able to observe stable wave interference patterns.

(2)

b) (i) Consider a ship that carries a radio receiver a height $h$ above the sea, which is anchored (stationary) a large distance $D$ away from the bottom of a cliff. Suppose on top of the cliff there is a radio transmitter at a height of $H$ above the sea and transmitting waves of wavelength $λ$ . The receiver receives two signals: the direct signal and one reflected from the sea below. Assuming that waves undergo a phase change of $π$ when they reflect at an interface going from a less dense to a denser medium, show that the signal strength received by the ship is a maximum when

$h = \frac{( 2 n - 1 ) λ D}{4 H}$

where $n$ is an integer.

(4)

(ii) At high tide, the ship is 1.5 km away from the cliff and its receiver is at 20 m above the sea with the height of the transmitter above the sea at 80 m. The frequency of the radio waves is 70 MHz.

i. By how much would the tide need to fall for the signal received by the ship to become a minimum?

ii. The normal maximum tidal range (twice the amplitude) is 5 m. Would the signal strength change appreciably between low and high tides, and why?

iii. What if the receiver height was just above sea level at 0.5 m?

(4)

c) A simplified model of sodium chloride (salt) consists of a cubic arrangement of alternating sodium and chloride ions separated by distance $d$ . When a plane wave of X-rays is incident on the ions, each ion can be considered as a new source of spherically scattered new waves.

For the X-rays scattered from the crystal to reinforce constructively they must satisfy

$2 d sin θ = nλ$

This is called the Bragg condition.

(i) Determine a value of $d$ for salt. (Density of salt = 2160 kg m⁻³, molar mass of salt = 58.5 g mol⁻¹.)

(3)

(ii) Sketch a diagram showing the crystal structure indicating the atomic layers, and show how the Bragg condition arises from the geometry. The dots denote the atomic layers.

(iii) In an X-ray diffraction experiment, waves that are incident at a minimum angle of $5.9°$ satisfy the Bragg condition for $n = 1$ . Calculate the wavelength of the X-rays.

(2)

d) An oil film on water produces colourful interference effects, as shown in Figure 16.

(i) Sketch a diagram showing the path of a ray of light entering and leaving the oil film. Mark on two paths that are going to account for the interference effect observed.

(ii) Calculate the minimum thickness of film needed to observe a strong reflection of green light of wavelength 550 nm. The refractive index of oil is 1.5, and that of water is 1.33.

[7]

[25 marks]

Figure 15: Bragg diffraction crystal layer diagram

Figure 16: oil film on water photograph

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves, Geometric Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Snell’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Atom Fonte: Testo (PDF) — p.14

La domanda 6

Questa domanda esplora le diverse applicazioni dell’interferenza delle onde.

a) Indicare le condizioni necessarie per poter osservare modelli di interferenza delle onde stabili.

(2)

b) (i) Considerare una nave che trasporta un ricevitore radio ad un’altezza $h$ sopra il mare, che è ancorato (stazionario) a una grande distanza $D$ dal fondo di una scogliera. Supponiamo che sulla cima della scogliera ci sia un trasmettitore radio ad un’altezza di $H$ sopra il mare e che trasmetta onde di lunghezza d’onda $λ$ . Il ricevitore riceve due segnali: il segnale diretto e uno riflesso dal mare sotto. Supponendo che le onde subiscano un cambiamento di fase di $π$ quando si riflettono in un’interfaccia che va da un mezzo meno denso a un mezzo più denso, dimostrare che la forza del segnale ricevuta dalla nave è massima quando

$h = \frac{( 2 n - 1 ) λ D}{4 H}$

in cui $n$ è un numero intero.

(4)

ii) A marea alta, la nave è a 1,5 km dalla scogliera e il suo ricevitore si trova a 20 m sopra il mare e l’altezza del trasmettitore a 80 m sopra il mare. La frequenza delle onde radio è di 70 MHz.

i. Quanto dovrebbe scendere la marea per ridurre il segnale ricevuto dalla nave?

ii. L’intervallo massimo di marea normale (duplicato dell’ampiezza) è di 5 m. La forza del segnale cambierebbe sensibilmente tra le maree basse e le maree alte, e perché?

iii. E se l’altezza del ricevitore fosse appena al di sopra del livello del mare a 0,5 m?

(4)

c) Un modello semplificato di cloruro di sodio (sale) consiste in un’arrangamento cubo di ioni di sodio e di cloruro alternati separati da una distanza $d$ . Quando un’onda piana di raggi X incide sugli ioni, ogni ione può essere considerato come una nuova fonte di nuove onde sparse sfericamente.

Per che i raggi X sparsi dal cristallo si rafforzino in modo costruttivo devono soddisfare

$2 d sin θ = nλ$

Questa è la condizione di Bragg.

Determinare un valore di $d$ per il sale. (Densità di sale = 2160 kg m−3, massa molare di sale = 58,5 g mol−1.)

(3)

(ii) Segnare un diagramma che mostri la struttura cristallina che indica gli strati atomici e mostrare come la condizione di Bragg nasca dalla geometria. I punti indicano gli strati atomici.

(iii) In un esperimento di diffrazione a raggi X, le onde che si verificano ad un angolo minimo di $5.9°$ soddisfano la condizione di Bragg per $n = 1$ . Calcola la lunghezza d’onda dei raggi X.

(2)

d) Un filmato a olio sull’acqua produce effetti di interferenza colorati, come mostrato alla figura 16.

(i) Segnare un diagramma che indichi il percorso di un raggio di luce che entra e lascia il film di olio. Segna su due percorsi che rendono conto dell’effetto di interferenza osservato.

Calcolare lo spessore minimo di pellicola necessario per osservare un forte riflesso di luce verde di lunghezza d’onda 550 nm. L’indice di rifrazione dell’olio è di 1,5 e di acqua di 1,33.

[7]

[25 punti]

Figura 15: diagramma di strato di cristallo di diffrazione Bragg

Figura 16: film olio su fotografia acquatica

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