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Planeta superenano (5 puntos)

Un astronauta observa desde su nave espacial un pequeño planeta esférico. Después de aterrizar sobre él, desembarca, baja de su vehículo de exploración y empieza a caminar siempre hacia delante. Después de completar una vuelta de $250 km$ , se encuentra de nuevo con su nave. Además, se da cuenta de que el lugar donde se encuentra está justo sobre el eje de giro del planeta.

a) Ahora sostiene un martillo y una pluma de halcón a una altura de $1, 40 m$ , los suelta y observa que caen juntos a la superficie al cabo de $5, 29 s$ . Determina la masa del planeta.

Para comprobar sus cálculos mira en sus tablas y descubre que el planeta gira en torno a su eje con un periodo de rotación de $10 horas$ .

b) Si hubiera estado en el plano ecuatorial (perpendicular al eje de giro), el tiempo de caída del martillo y la pluma, ¿seguiría siendo el mismo? Si no es así, ¿en cuánto cambiaría?

Seguidamente, deja caer verticalmente una pelota desde $1, 40 m$ y observa que, después de rebotar en el suelo, alcanza una altura de $1, 12 m$ . Suponiendo que en cada rebote la energía se reduce en un factor constante (es decir, la energía después del rebote $n$ , $E_{n}$ , está relacionada con la que tenía antes del rebote $E_{n - 1}$ según $E_{n} = k E_{n - 1}$ , donde $k$ es una constante):

c) ¿Qué altura máxima alcanzará después del segundo rebote?

d) Si hubiera lanzado una pelota desde la misma altura, pero ahora formando un ángulo de $45°$ con la horizontal y con una velocidad inicial de $1, 20 m s^{- 1}$ , ¿a qué distancia del punto donde rebota por primera vez se producirá el segundo rebote?¹

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kinematic Equations, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.1

Planeta superrena (5 punti)

Un astronauta osserva da una sua nave spaziale un piccolo pianeta sferico. Dopo aver atterrato su di lui, sbarca, scende dal veicolo di esplorazione e inizia a camminare sempre avanti. Dopo aver completato un giro di $250 km$ , si ritrova con la sua nave. Inoltre, si rende conto che il suo luogo di appartenenza è proprio sull’asse di rotazione del pianeta.

a) Ora sostiene un martello e una penna di falco ad un’altezza di $1, 40 m$ , li libera e osserva che cadono insieme sulla superficie dopo $5, 29 s$ . Determina la massa del pianeta.

Per verificare i suoi calcoli guarda nelle sue tabelle e scopre che il pianeta ruota attorno al suo asse con un periodo di rotazione di $10 horas$ .

b) Se fosse stato sul piano equatoriale (perpendicolare all’asse di rotazione), il tempo di caduta del martello e della penna sarebbe rimasto lo stesso? Se non è così, quanto cambierebbe?

Poi, lascia cadere verticalmente una palla da $1, 40 m$ e osserva che, dopo essere rimbalzata sul suolo, raggiunge una altezza di $1, 12 m$ . Supponendo che in ogni rimbalzo l’energia si riduca di un fattore costante (cioè, l’energia dopo il rimbalzo $n$ , $E_{n}$ , è correlata a quella prima del rimbalzo $E_{n - 1}$ secondo $E_{n} = k E_{n - 1}$ , dove $k$ è una costante):

c) Qual è la massima altezza raggiunta dopo il secondo rimbalzo?

d) Se avesse lanciato una palla dalla stessa altezza, ma ora formando un angolo di $45°$ con la orizzontale e con una velocità iniziale di $1, 20 m s^{- 1}$ , a che distanza dal punto in cui si rimbalza per la prima volta si produrrà il secondo rimbalzo?

The following is the list of the super-enano planets:

An astronaut watches from his spaceship a small spherical planet. After landing on it, he disembarkates, disembarkates from his scouting vehicle and begins to walk always forward. After completing a spin of $250 km$ , he is back with his ship. Furthermore, he realizes that the place where he is is right on the planet’s axis of rotation.

(a) Now hold a hammer and a hawk’s pen at a height of $1, 40 m$ , release them and observe them fall together to the surface after $5, 29 s$ . It determines the mass of the planet.

To check his calculations, he looks at his tables and discovers that the planet rotates around its axis with a rotation period of $10 horas$ .

(b) If it had been on the equatorial plane (perpendicular to the axis of rotation), would the time of fall of the hammer and the pen remain the same? If not, how much would it change?

Next, drop a ball vertically from $1, 40 m$ and note that after bouncing on the ground it reaches a height of $1, 12 m$ . Assuming that at each bounce the energy is reduced by a constant factor (i.e. the energy after the bounce $n$ , $E_{n}$ , is related to that it had before the bounce $E_{n - 1}$ according to $E_{n} = k E_{n - 1}$ , where $k$ is a constant):

(d) If you had thrown a ball from the same height, but now forming an angle of $45°$ with the horizontal and with an initial speed of $1, 20 m s^{- 1}$ , at what distance from the point where it bounces for the first time will the second bounce occur?

Acuático Salamanca: ¿mitad distancia o mitad tiempo? (3 puntos)

Dos nadadoras del “Club Acuático de Salamanca”, Alba y Blanca, participan en una prueba en la que se conmemora el vigésimo aniversario del Club. Se trata de nadar cierta longitud $L$ en un lago haciendo una parte del recorrido nadando a crawl (estilo libre) y la otra parte nadando a braza. Alba y Blanca nadan de forma idéntica: a crawl con velocidad $V_{1}$ y a braza con velocidad $V_{2}$ .

Alba decide nadar la primera mitad del recorrido ( $L /2$ ) a crawl y la segunda mitad a braza.
Blanca elige nadar la primera mitad del tiempo a crawl y la segunda mitad del tiempo a braza.

a) ¿Cuál es la relación entre los tiempos de las dos nadadoras?

b) ¿Quién de las dos ganará la prueba?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Aqua Salamanca: mezzo distante o mezzo tempo? (3 punti)

Due nuotatrici del “Club Aquatico di Salamanca”, Alba e Blanca, partecipano a un test in cui si commemora il ventesimo anniversario del Club. Si tratta di nuotare una certa lunghezza $L$ in un lago facendo una parte del percorso nuotando a crawl (stile libero) e l’altra parte nuotando a braccio. Alba e Bianca nuotano identicamente: a crawl a velocità $V_{1}$ e a braccio a velocità $V_{2}$ .

Alba decide nadar la primera mitad del recorrido ( $L /2$ ) a crawl y la segunda mitad a braza.
Blanca sceglie di nuotare la prima metà del tempo a crawl e la seconda metà del tempo a braccio.

a) Qual è il rapporto tra i tempi delle due nuotatrici?

b) Chi di loro vincerà la prova?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

The Commission shall adopt delegated acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1290/2001.

Two swimmers from the “Acua Club de Salamanca”, Alba and Blanca, participate in a test commemorating the Club’s twentieth anniversary. It is about swimming a certain length $L$ in a lake doing one part of the route swimming to crawl (free style) and the other part swimming to arm. Alba and Blanca swim identically: at $V_{1}$ and at $V_{2}$ .

Alba decides to swim the first half of the course ( $L /2$ ) by crawl and the second half by arm.
White chooses to swim the first half of the time with a crawler and the second half with a crawler.

(a) What is the relationship between the times of the two swimmers?

(b) Which of the two will win the test?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Determinación del índice de refracción de un medio transparente (2 puntos)

Si un rayo de luz que se propaga a través de un medio 1 incide, formando un ángulo $i$ (ángulo de incidencia) con la normal $N$ , sobre otro medio 2 en el que se propaga con diferente velocidad, la dirección de propagación cambia y forma con esa normal un ángulo $r$ (ángulo de refracción). El fenómeno, denominado refracción, cumple la ley de Snell:

$n_{1} sin i = n_{2} sin r (1)$

donde $n_{1}$ y $n_{2}$ son, respectivamente, los índices de refracción del primero y segundo medio.²

En un experimento se toma una lente semicilíndrica a la que llega desde el aire un rayo de luz amarilla. El rayo incide en el punto $A$ de la cara plana de la lente formando un ángulo de incidencia $i$ . En el interior de la lente el rayo refractado se propaga con un ángulo de refracción $r$ . En el punto $B$ el rayo llega a la superficie de separación con el aire, de modo que su trayectoria coincide con la dirección radial en ese punto; en consecuencia, el rayo pasa al aire conservando la trayectoria que llevaba en la lente.

La expresión (1) puede escribirse en la forma:

$sin i = \frac{n _{2}}{n _{1}} sin r (2)$

de modo que, si se representan gráficamente los senos de los ángulos de incidencia frente a los de refracción para distintos valores obtenidos experimentalmente, deberá obtenerse una línea recta cuya pendiente es $n_{2} / n_{1}$ . Si el primer medio es aire, con $n_{1} = 1, 00$ , a partir de la pendiente de la gráfica puede determinarse el valor del índice de refracción del material de la lente.

A partir del comportamiento de los rayos incidente y refractado que se muestran en las fotografías, resolver las siguientes cuestiones:

a) Completar la siguiente tabla midiendo los ángulos $i$ y $r$ en cada fotografía y calculando $sin i$ y $sin r$ :

#	$i (°)$	$r (°)$	$sin i$	$sin r$
1
2
3
4
5
6
7

b) Representar gráficamente los valores de $sin i$ (ordenadas) frente a los de $sin r$ (abscisas).

c) Trazar la línea recta que mejor se ajuste a los puntos experimentales.

d) Determinar la pendiente de la recta trazada y, haciendo uso de la expresión (2), obtener el valor del índice de refracción del material de la lente.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Diagrammatic Reasoning Objects: Lens Fonte: Testo (PDF) — p.3

Determinare l’indice di refraczione di un mezzo trasparente (2 punti)

Se un raggio di luce che si diffonde attraverso un mezzo 1 incide, formando un angolo $i$ (angolo di incidenza) con il normale $N$ , su un altro mezzo 2 in cui si diffonde a velocità diversa, la direzione di diffusione cambia e forma con quel normale un angolo $r$ (angolo di refraczione). Il fenomeno, denominato rifrazione, è conforme alla legge di Snell:

$n_{1} sin i = n_{2} sin r (1)$

dove $n_{1}$ e $n_{2}$ sono rispettivamente gli indici di rifrazione del primo e del secondo mezzo.²

In un esperimento si prende una lente semicilindrica a cui arriva da aria un raggio di luce gialla. Il raggio incide sul punto $A$ della faccia piana del lente formando un angolo di incidenza $i$ . All’interno della lente il raggio refrattato si diffonde con un angolo di refraczione $r$ . Al punto $B$ il raggio raggiunge la superficie di separazione con l’aria, in modo che il suo percorso coincida con la direzione radial a quel punto; di conseguenza il raggio passa nell’aria conservando il percorso che aveva nella lente.

L’espressione (1) può essere scritta come:

$sin i = \frac{n _{2}}{n _{1}} sin r (2)$

per i valori ottenuti sperimentalmente, se i seni degli angoli di incidenza rispetto a quelli di rifrazione sono rappresentati in grafica, si deve ottenere una linea retta la cui pendenza è $n_{2} / n_{1}$ . Se il primo mezzo è aria, con $n_{1} = 1, 00$ , dal pendente del grafico può essere determinato il valore dell’indice di refraczione del materiale della lente.

Sulla base del comportamento dei raggi incidenti e refratti mostrati nelle fotografie, risolvere le seguenti domande:

a) Completare la tabella seguente misurando gli angoli $i$ e $r$ in ogni fotografia e calcolando $sin i$ e $sin r$ :

#	$i (°)$	$r (°)$	$sin i$	$sin r$
1
2
3
4
5
6
7

b) Rappresentare graficamente i valori di $sin i$ (ordinati) rispetto a quelli di $sin r$ (abcissi).

c) Tracciare la linea retta che meglio si adatti ai punti sperimentali.

d) Determinare l’inclinazione della linea tracciata e, utilizzando l’espressione (2), ottenere il valore dell’indice di refraczione del materiale della lente.

** Determination of the refractive index of a transparent medium** (2 points)

If a beam of light propagating through a medium 1 hits, forming an angle $i$ (angle of incidence) with the normal $N$ , on another medium 2 in which it propagates at different speeds, the direction of propagation changes and forms with that normal an angle $r$ (angle of refraction). The phenomenon, called refraction, complies with Snell’s law:

$n_{1} sin i = n_{2} sin r (1)$

where $n_{1}$ and $n_{2}$ are respectively the refractive indices of the first and second mediums.²

In one experiment, a semicylindrical lens is taken to which a yellow light ray from the air reaches. The beam hits the point $A$ of the flat face of the lens forming an angle of incidence $i$ . Inside the lens the refracted beam is propagated at a refractive angle $r$ . At the point $B$ the beam reaches the air-separation surface, so that its path coincides with the radial direction at that point; consequently, the beam passes into the air while retaining the path it took in the lens.

The expression (1) may be written as follows:

$sin i = \frac{n _{2}}{n _{1}} sin r (2)$

so that, if the breasts of the angles of incidence versus the angles of refraction are represented graphically for different values obtained experimentally, a straight line whose slope is $n_{2} / n_{1}$ shall be obtained. If the first medium is air, with $n_{1} = 1, 00$ , the value of the lens material refractive index can be determined from the slope of the graph.

From the behavior of the incident and refracted rays shown in the photographs, solve the following questions:

(a) Complete the following table by measuring the angles $i$ and $r$ in each photograph and calculating $sin i$ and $sin r$ :

#	$i (°)$	$r (°)$	$sin i$	$sin r$
1
2
3
4
5
6
7

(b) Graphically represent the values of $sin i$ (ordered) versus those of $sin r$ (abscises).

(d) Determine the slope of the traced straight line and, using the expression (2), obtain the value of the lens material’s refractive index.

Ten en cuenta que la pérdida de energía por rozamiento en el choque con el suelo afecta únicamente a la componente vertical de la velocidad. ↩
El índice de refracción de un medio $n$ es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío $c$ y en ese medio $v$ : $n = c / v$ . ↩ ↩² ↩³

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