Spagna 2020

P1.- Diversión en el gravitrón

El “gravitrón” (figura 1) es una atracción de feria muy popular en parques de atracciones de Australia y Estados Unidos.

El modelo Carnival (cuyo esquema se muestra en la figura 2) consiste en un gran cilindro vertical de radio $R = 3 m$ que gira con velocidad angular constante $ω$ alrededor de su eje vertical. Mientras gira, los pasajeros se mantienen con la espalda apoyada en su pared interior, de modo que la fricción entre su espalda y la pared les mantiene suspendidos. Si la velocidad angular es suficientemente alta, el suelo se puede quitar sin que el pasajero caiga.

a) Representa en un esquema las fuerzas que actúan sobre una persona en el gravitrón Carnival.

Se coloca en el gravitrón un individuo de masa $M = 90 kg$ . El coeficiente de rozamiento estático entre su espalda y la pared es $μ_{e} = 0, 3$ .

b) Calcula la velocidad angular mínima $ω_{0}$ necesaria para que el individuo no deslice hacia abajo.

c) Se aplica al gravitrón Carnival una velocidad angular $2 ω_{0}$ . Describe el movimiento del individuo y calcula la fuerza de rozamiento que actúa sobre él.

En el modelo Starship 3000 (cuyo esquema se muestra en la figura 3) se emplea en lugar de un cilindro un tronco de cono invertido, de modo que las personas se apoyan sobre la pared inclinada. Cuando la atracción está parada, el usuario se apoya con los pies en el suelo, pero cuando gira con velocidad angular $ω$ , se eleva y queda flotando.

En un test de ajuste de la atracción, cuando ésta gira con una velocidad angular $ω = 3 rad/s$ , se observa que al colocar una masa de prueba $m = 5 kg$ , como se muestra en la figura 4, dicha masa se mantiene estable en una trayectoria circular horizontal a una distancia $L = 1, 5 m$ del suelo medida sobre la pared. El radio del suelo es $R = 3 m$ y la pared forma un ángulo $θ = 20°$ con la vertical. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la pared es $μ_{e} = 0, 3$ .

d) Determina, en función de $ω$ , $L$ , $R$ y $θ$ , la aceleración centrípeta de la masa de prueba cuando se mueve en la trayectoria horizontal. Calcula su valor numérico.

Vamos disminuyendo lentamente la velocidad angular y observamos que la masa de prueba se mantiene en la misma trayectoria hasta una velocidad angular $ω_{m i n}$ a partir de la cual comienza a descender por la pared.

e) Representa en un esquema las fuerzas que actúan sobre la masa de prueba en el Starship 3000 cuando gira con la velocidad angular $ω_{m i n}$ .

f) Determina y calcula el valor de $ω_{m i n}$ .

Supón que, cuando la masa de prueba está girando a la distancia $L$ del suelo, en vez de disminuir la velocidad angular, se aumenta.

g) ¿Cuál es la máxima velocidad angular $ω_{m a x}$ para la que la masa de prueba permanece en equilibrio vertical sin ascender?

Fig. 1 — gravitrón fairground ride photo

Fig. 2 — Carnival cylindrical drum schema

Fig. 3 — Starship 3000 inverted cone schema

Fig. 4 — test mass on inclined cone wall

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Newton’s Law of Gravitation, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Block Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1.- Diversione sul gravitrone

Il “gravitrone” (figura 1) è un’attrazione di fiera molto popolare nei parchi di attrazione dell’Australia e degli Stati Uniti.

Il modello Carnival (il cui schema è mostrato nella figura 2) consiste in un grande cilindro verticale di radio $R = 3 m$ che ruota a velocità angolare costante $ω$ attorno al suo asse verticale. Mentre gira, i passeggeri si tengono con la schiena appoggiata al muro interno, in modo che la friczione tra la schiena e il muro li tenga sospesi. Se la velocità angolare è sufficientemente alta, il pavimento può essere rimosso senza che il passeggero cadi.

**a) ** Rappresenta in uno schema le forze che agiscono su una persona nel gravitrone Carnival.

Un individuo di massa $M = 90 kg$ viene inserito nel gravitrone. Il coefficiente di rottura statica tra la schiena e il muro è $μ_{e} = 0, 3$ .

**b) ** Calcola la velocità angolare minima $ω_{0}$ necessaria per evitare che l’individuo scivoli verso il basso.

**c) ** Applica al gravitrone Carnival una velocità angolare $2 ω_{0}$ . Descrive il movimento dell’individuo e calcola la forza di ruggine che agisce su di lui.

Nel modello Starship 3000 (il cui schema è mostrato nella figura 3) viene utilizzato invece di un cilindro un tronco di cono invertito, in modo che le persone si appoggiino sul muro inclinato. Quando l’attrazione è fermata, l’utente si appoggia con i piedi sul suolo, ma quando si gira a velocità angolare $ω$ , si alza e resta galleggiante.

In un test di regolazione dell’attrazione, quando si gira a velocità angolare $ω = 3 rad/s$ , si osserva che quando si colloca una massa di prova $m = 5 kg$ , come mostrato nella figura 4, tale massa si mantiene stabile in un percorso circolare orizzontale a una distanza $L = 1, 5 m$ dal suolo misurata sul muro. Il raggio di terra è $R = 3 m$ e la parete forma un angolo $θ = 20°$ con la verticale. Il coefficiente di rottura statica tra il blocco e il muro è $μ_{e} = 0, 3$ .

**d) ** Determina, in base a $ω$ , $L$ , $R$ e $θ$ , l’accelerazione centripeta della massa di prova quando si muove in tragitto orizzontale. Calcola il suo valore numerico.

Riduciamo lentamente la velocità angolare e osserviamo che la massa di prova rimane nella stessa traiettoria fino a una velocità angolare $ω_{m i n}$ da cui inizia a scendere attraverso il muro.

**e) ** Rappresenta in uno schema le forze che agiscono sulla massa di prova in Starship 3000 quando ruota a velocità angolare $ω_{m i n}$ .

**f) ** Determina e calcola il valore di $ω_{m i n}$ .

Supponiamo che, quando la massa di prova è in rotazione alla distanza $L$ dal suolo, invece di diminuire la velocità angolare, si incrementi.

**g) ** Qual è la velocità angolare massima $ω_{m a x}$ per la quale la massa di prova rimane in equilibrio verticale senza salire?

Fig. 1 gravitrone fairground ride photo

Fig. 2 Carnival cylindrical drum schema

Fig. 3 Starship 3000 conione invertito schema

Fig. 4 test mass on inclined cone wall

The following is the list of the main types of energy sources used in the production of energy:

The “gravitrone” (Figure 1) is a very popular fair attraction in amusement parks in Australia and the United States.

The Carnival model (the scheme of which is shown in Figure 2) consists of a large vertical $R = 3 m$ radius cylinder which rotates at constant angular speed $ω$ around its vertical axis. As it turns, passengers hold their back against the inner wall, so friction between their back and the wall keeps them suspended. If the angular velocity is high enough, the floor can be removed without the passenger falling.

**a) ** It represents in a scheme the forces acting on a person in the Carnival gravitone.

A mass individual $M = 90 kg$ is placed on the gravitron. The static friction coefficient between its back and wall is $μ_{e} = 0, 3$ .

**b) ** Calculate the minimum angular velocity $ω_{0}$ required for the individual not to slide down.

**c) ** An angular velocity $2 ω_{0}$ is applied to the Carnival gravitone. It describes the movement of the individual and calculates the force of friction acting on him.

In the Starship 3000 model (the scheme of which is shown in Figure 3) an inverted cone trunk is used instead of a cylinder, so that people lean on the sloping wall. When the pull is stopped, the user rests with his feet on the ground, but when it rotates at angular speed $ω$ , it rises and floats.

In a traction adjustment test, when the traction rotates at an angular speed $ω = 3 rad/s$ , it is observed that when a test mass $m = 5 kg$ is placed, as shown in Figure 4, that mass is kept stable in a horizontal circular path at a distance $L = 1, 5 m$ from the measured floor over the wall. The floor radius is $R = 3 m$ and the wall forms an angle $θ = 20°$ with the vertical. The static friction coefficient between the block and the wall is $μ_{e} = 0, 3$ .

**d) ** Determines, based on $ω$ , $L$ , $R$ and $θ$ , the centrifugal acceleration of the test mass when moving in the horizontal path. Calculate its numerical value.

We’re slowly decreasing the angular velocity and we’re observing that the test mass stays on the same path until an angular velocity $ω_{m i n}$ from which it starts descending down the wall.

**e) ** Represents in a scheme the forces acting on the test mass on the Starship 3000 when rotating at the angular speed $ω_{m i n}$ .

**f) ** Determines and calculates the value of $ω_{m i n}$ .

Assume that when the test mass is rotating at $L$ from the ground, instead of decreasing angular velocity, it increases.

**g) ** What is the maximum angular velocity $ω_{m a x}$ for which the test mass remains in vertical equilibrium without rising?

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 1 gravitrone fairground ride photo*

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 2 Carnival cylindrical drum schema*

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 3 Starship 3000 inverted cone schema*

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 4 test mass on inclined cone wall*

P2.- La sopa de mi abuela

Una de las cosas que más me gustan es la sopa de cocido que prepara mi abuela. Utiliza una mezcla de carne, verduras y especias que mantiene en secreto y que me temo que se llevará a la tumba. Y le sale un caldo para chuparse los dedos. Tanto me gusta que cada vez que voy a verla tiene preparados varios recipientes llenos de sopa, perfectamente congelados para que se conserven.

Mi abuela no pudo estudiar, pero sabe más física que yo, la debe aprender en videos que ve por internet. Y si en algo se maneja mejor que en hacer cocido es en la precisión. Todos y cada uno de los recipientes contienen exactamente $500 ml$ de sopa. Y una asombrosa propiedad de su sopa es que congela exactamente a $0 ° C$ ; hasta en eso es precisa mi abuela. No creáis que me los da gratis, siempre me plantea alguna pregunta que debo responder si me los quiero llevar. Y a veces son bastante difíciles.

Un día va y me suelta: La sopa congelada que contiene cada recipiente pesa $480 g$ . Si ponemos el bloque de sopa en una olla con agua,

a) ¿qué volumen del bloque de sopa congelada quedará por encima de la superficie del agua?

Ese día me fui sin sopa, porque no le supe contestar, pero al día siguiente me había preparado. Mi abuela, que se iba creciendo, me dijo: para que se funda completamente el contenido de uno de los recipientes de sopa congelada a $0 ° C$ sin calentarlo, tengo que mezclarlo al menos con $1 litro$ de agua a $35 ° C$ .

b) ¿Cuál es el calor latente de fusión de la sopa?

Aquel día supe la respuesta. Mi abuela, muy contenta, además de darme la sopa me contó el secreto de su elaboración: preparaba el caldo con biochorizo y morcilla gravitacional. ¡Ya decía yo que estaba tan buena!

Otro día me sorprendió con la siguiente cuestión: Mi cocina tiene una potencia de $1, 5 kW$ . Caliento con ella un bloque de sopa congelada a $0 ° C$ , de forma que absorbe el $75%$ de la energía producida.

c) ¿Cuánto tiempo tardará en fundirse completamente el bloque de sopa?

Como nuevamente acerté, me dio mi ración semanal de sopa y me contó que tenía problemas para enhebrar la aguja debido a las fluctuaciones cuánticas. Ahí ya no supe qué responderle…

Como tengo adicción a la sopa de la abuela, la siguiente vez que fui a verla me hizo la siguiente pregunta: Con mi cocina calentamos un bloque de sopa congelada a $0 ° C$ durante $4 minutos$ de forma que alcanza una temperatura de $70 ° C$ (recuerda que absorbe el $75%$ de la energía suministrada por la cocina).

d) ¿Cuál es el calor específico de la sopa?

La semana pasada me prometió una docena de sus famosas nanocroquetas de cocido (lo de nano debe ser ironía, porque cada una pesa más de $100 g$ ) si contestaba a una nueva pregunta: Llenamos un tazón de $150 g$ que está a $20 ° C$ con $250 ml$ de sopa a $70 ° C$ . La temperatura final del tazón con la sopa es de $60 ° C$ . Supón que no se pierde calor al entorno.

e) ¿Cuál es el calor específico del material del que está hecho el tazón?

Datos: El calor latente de fusión $L_{f}$ es el calor necesario para fundir $1 kg$ de sustancia. El calor específico $c$ de una sustancia es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de $1 kg$ de la sustancia en $1 ° C$ . El calor específico del agua es $c_{a} = 4, 18 \times 1 0^{3} J \cdot kg^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .

Illustrative photo of grandmother cooking

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Hydrostatic Equilibrium, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.6

P2.- La sopa de mi abuela

Una delle cose che mi piace di più è la zuppa di cucina che prepara mia nonna. Utilizza un mix di carne, verdure e spezie che mantiene segreto e che temo che verrà portato in tomba. E poi le viene fuori un caldo per succhiarsi le dita. Mi piace tanto che ogni volta che vado a vederla ha preparati diversi recipienti pieni di zuppa, perfettamente congelati per essere conservati.

Mia nonna non ha potuto studiare, ma sa più fisica di me, deve impararla dai video che guarda su Internet. E se in qualcosa si fa meglio di cucinare, è nella precisione. Tutti e ciascuno dei contenitori contiene esattamente $500 ml$ di zuppa. Y una asombrosa propiedad de su sopa es que congela exactamente a $0 ° C$ ; hasta en eso es precisa mi abuela. Non pensate che mi dia gratis, mi pone sempre qualche domanda che devo rispondere se voglio portarle. E a volte sono piuttosto difficili.

Un giorno mi viene fuori: la zuppa congelata contenuta in ogni contenitore pesa $480 g$ . Se mettiamo il blocco di sopa in un vaso di acqua,

**a) ** che volume di blocco di sopa congelata rimarrà sopra la superficie dell’acqua?

Quel giorno sono andata senza la zuppa, perché non sapevo come rispondere, ma il giorno dopo ero pronta. Mia nonna, che stava crescendo, mi ha detto: per fondere completamente il contenuto di uno dei contenitori di una zuppa congelata a $0 ° C$ senza riscaldarlo, devo mescolare almeno a $1 litro$ di acqua a $35 ° C$ .

**b) ** Qual è il calore latente di fusione della zuppa?

Quel giorno ho saputo la risposta. Mia nonna, molto contenta, oltre a darmi la zuppa mi ha raccontato il segreto della sua preparazione: preparava il caldo con biochorizo e morcilla gravitazionale. Ho detto che era così bella!

Un altro giorno mi ha sorpreso con la seguente domanda: La mia cucina ha una potenza di $1, 5 kW$ . Calda con esso un blocco di sopa congelata a $0 ° C$ , in modo che assorba il $75%$ dell’energia prodotta.

**c) ** Quanto tempo ci vorrà per far fondere completamente il blocco di sopa?

Come ho ancora fatto, mi ha dato la mia porzione settimanale di zuppa e mi ha detto che aveva problemi a farle crescere a causa delle fluttuazioni quantistiche. Ahí ya no supe qué responderle…

Poiché sono dipendente dalla zuppa di mia nonna, la prossima volta che sono andata a trovarla mi ha chiesto: con la mia cucina riscaldamo un blocco di zuppa congelata a $0 ° C$ per $4 minutos$ in modo che raggiunga una temperatura di $70 ° C$ (Ricorda che assorbe il $75%$ dell’energia fornita dalla cucina).

**d) ** Qual è la calore specifica della zuppa?

La scorsa settimana mi prometteva una dozzina dei suoi famosi nanokrocchetti cucinati (il fatto di nano deve essere ironico, perché ognuno pesa più di $100 g$ ) se rispondeva a una nuova domanda: riempiamo un ciotola di $150 g$ che è $20 ° C$ con $250 ml$ di sopa a $70 ° C$ . La temperatura finale del piatto con la zuppa è $60 ° C$ . Supponiamo che l’ambiente non perda calore.

**e) ** Qual è la temperatura specifica del materiale di cui è fatta la tazza?

Dati: Il calore latente di fusione $L_{f}$ è il calore necessario per fondere $1 kg$ di sostanza. Il calore specifico $c$ di una sostanza è la quantità di calore necessaria per elevare la temperatura di $1 kg$ della sostanza a $1 ° C$ . Il calore specifico dell’acqua è $c_{a} = 4, 18 \times 1 0^{3} J \cdot kg^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .

Illustrative photo of grandmother cooking

P2.- La sopa de mi abuela

One of the things I like the most is the cooked soup my grandmother makes. He uses a mixture of meat, vegetables and spices that he keeps secret and I’m afraid he’ll be taken to the grave. And a broth comes out to suck his fingers. I like it so much that every time I go to see her she has several containers full of soup, perfectly frozen for preservation.

My grandmother couldn’t study, but she knows more physics than I do, she must learn it from videos she sees on the Internet. And if you’re better at something than cooking, it’s in precision. Each container contains exactly $500 ml$ of soup. Y una asombrosa propiedad de su sopa es que congela exactamente a $0 ° C$ ; hasta en eso es precisa mi abuela. Don’t think he gives them to me for free, he always asks me some questions I have to answer if I want to take them. And sometimes they’re pretty difficult.

One day I go and I’m released: The frozen soup that each container contains weighs $480 g$ . If we put the soup block in a pot of water,

**a) ** what volume of frozen soup block will remain above the water surface?

I left without soup that day, because I couldn’t answer him, but the next day I had prepared. My grandmother, who was growing up, told me: in order for the contents of one of the frozen soup containers to completely melt to $0 ° C$ without heating it, I have to mix it with at least $1 litro$ of water to $35 ° C$ .

b) ¿Cuál es el calor latente de fusión de la sopa?

That day I knew the answer. My grandmother, very happy, besides giving me the soup, told me the secret of its preparation: she made the broth with biochorizo and gravitational nutmeg. I told you she was so good!

Another day, I was surprised by the question: My kitchen has a power of $1, 5 kW$ . Heat a block of frozen soup to $0 ° C$ so that it absorbs the $75%$ of the energy produced.

**c) ** How long will it take for the soup block to fully melt?

As I again did, he gave me my weekly ration of soup and told me that he had trouble making the needle because of quantum fluctuations. Ahí ya no supe qué responderle…

As I’m addicted to my grandmother’s soup, the next time I went to see her, she asked me the following question: With my kitchen we heat a block of frozen soup to $0 ° C$ during $4 minutos$ so that it reaches a temperature of $70 ° C$ (remember it absorbs the $75%$ of the energy supplied by the kitchen).

**d) ** What is the specific heat of the soup?

Last week he promised me a dozen of his famous cooked nanocroquettes (the nanocrocets must be ironic, because each weighs more than $100 g$ ) if he answered a new question: We fill a bowl of $150 g$ that is $20 ° C$ with $250 ml$ of $70 ° C$ soup. The final temperature of the bowl with the soup is $60 ° C$ . Suppose the heat is not lost in the environment.

**e) ** What is the specific heat of the material from which the bowl is made?

Data: The latent heat of melting $L_{f}$ is the heat required to melt $1 kg$ of substance. The specific heat $c$ of a substance is the amount of heat required to raise the temperature of the substance from $1 kg$ to $1 ° C$ . The specific heat of the water is $c_{a} = 4, 18 \times 1 0^{3} J \cdot kg^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .

Illustrative photo of grandmother cooking

P3.- Un péndulo eléctrico

Consideremos dos placas metálicas paralelas verticales que no se pueden mover (figura 1). Las placas están separadas por una distancia $d$ , tienen una altura $h$ y una superficie $A ≫ d^{2}$ . El rozamiento del aire puede ser despreciado.

Una bola metálica de masa $m$ y carga $q$ está suspendida de un hilo unido a un soporte fijo. Cuando entre las placas no hay diferencia de potencial, la bola se encuentra en el centro de las placas, a una distancia $d /2$ de cada placa y a una altura $h /2$ por encima del fondo de las placas. La gravedad es $g$ .

Se aplica una diferencia de potencial $V_{0}$ entre las placas, de forma que el hilo, cuando la bola alcance el equilibrio, formará un ángulo $θ_{0}$ con la vertical.

a) Determina el ángulo $θ_{0}$ en función de $V_{0}$ , $g$ , $m$ , $q$ y $d$ .

Si $V_{0} = 100 V$ ; $g = 9, 8 m/s^{2}$ ; $M = 1, 4 \times 1 0^{- 6} kg$ ; $q = 1, 2 \times 1 0^{- 9} C$ ; $d = 0, 050 m$ ; $L = 0, 040 m$ ;

b) calcula el valor numérico de $θ_{0}$ .

Se puede considerar que la fuerza neta que ejercen el campo eléctrico y el gravitatorio sobre la bola actúa como un peso aparente que se expresa como el producto de la masa de la bola por un vector $g_{a p}$ , al que denominaremos gravedad aparente.

c) Determina analíticamente $g_{a p}$ en función de $V_{0}$ , $g$ , $m$ , $q$ y $d$ . Calcula su valor numérico.

Se desplaza ligeramente la bola metálica, de manera que el hilo forma un ángulo $θ$ con la vertical un poco mayor que $θ_{0}$ . Se libera la bola partiendo del reposo de modo que oscila alrededor de la posición de equilibrio con un periodo $T^{'}$ .

d) Determina y calcula la relación $T^{'} / T$ , donde $T$ es el periodo que tendría el péndulo si no hubiese diferencia de potencial entre las placas.

Estando la diferencia de potencial $V_{0}$ entre las placas conectada y la bola en su posición de equilibrio, se corta el hilo.

e) Determina y calcula la aceleración de la bola hasta que alcance el nivel inferior de las placas.

La altura de las placas es $h = 20 cm$ .

f) Determina y calcula el valor máximo de la diferencia de potencial, $V_{m a x}$ , que se podría aplicar entre las placas antes de que se corte el hilo para que, una vez cortado, la bola salga por la parte inferior de las mismas sin llegar a tocar ninguna de ellas.

Fig. 1 — charged ball between parallel plates

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves Metodi: Electric Potential Method, Free-Body Diagram, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Pendulum, Capacitor, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.9

P3.- Un pendolo elettrico

Considerate due piastre metalliche verticali parallele che non possono essere muovebili (Figura 1). Le lastre sono separate da una distanza $d$ , hanno una altezza $h$ e una superficie $A ≫ d^{2}$ . Il ruggine dell’aria può essere disprezzato.

Una palla metallica di massa $m$ e carico $q$ è sospesa da un filo attaccato a un supporto fisso. Quando non vi è differenza di potenziale tra le plache, la palla si trova al centro delle plache, a una distanza $d /2$ da ciascuna placca e a una altezza $h /2$ sopra il fondo delle plache. La gravità è $g$ .

Applica una differenza di potenziale $V_{0}$ tra le plache, in modo che il filo, quando la palla raggiunge l’equilibrio, formerà un angolo $θ_{0}$ con la verticale.

**a) ** Determina l’angolo $θ_{0}$ in funzione di $V_{0}$ , $g$ , $m$ , $q$ e $d$ .

Si $V_{0} = 100 V$ ; $g = 9, 8 m/s^{2}$ ; $M = 1, 4 \times 1 0^{- 6} kg$ ; $q = 1, 2 \times 1 0^{- 9} C$ ; $d = 0, 050 m$ ; $L = 0, 040 m$ ;

**b) ** calcola il valore numerico di $θ_{0}$ .

Si può considerare che la forza netta esercitata dal campo elettrico e dalla gravità sulla palla agisca come un peso apparente espresso come il prodotto della massa della palla da un vettore $g_{a p}$ , che chiameremo gravità apparente.

**c) ** Determina analiticamente $g_{a p}$ in funzione di $V_{0}$ , $g$ , $m$ , $q$ e $d$ . Calcola il suo valore numerico.

La sfera metallica si sposta leggermente, così che il filo forma un angolo $θ$ con la verticale un po’ maggiore di $θ_{0}$ . La palla viene rilasciata a partire dal riposo in modo che oscilla attorno alla posizione di equilibrio con un periodo $T^{'}$ .

**d) ** Determina e calcola il rapporto $T^{'} / T$ , dove $T$ è il periodo che il pendolo avrebbe se non ci fosse differenza di potenziale tra le tavole.

Se la differenza di potenziale $V_{0}$ tra le schede collegate e la palla è nella posizione di equilibrio, il filo viene tagliato.

**e) ** Determina e calcola l’accelerazione della palla fino al livello inferiore delle targhe.

L’altezza delle lastre è $h = 20 cm$ .

**f) ** Determina e calcola il valore massimo della differenza di potenziale, $V_{m a x}$ , che potrebbe essere applicato tra le lastre prima che il filo sia tagliato in modo che, una volta tagliato, la palla si esca attraverso la parte inferiore delle lastre senza toccare nessuna di esse.

Fig. 1 charged ball between parallel plates

P3.- Un péndulo eléctrico

Consider two parallel vertical metal plates that cannot be moved (Figure 1). The plates are separated by a distance $d$ , have a height $h$ and a surface $A ≫ d^{2}$ . The air gnawing can be despised.

A metal ball of $m$ mass and $q$ load is suspended from a thread attached to a fixed support. When there is no difference in potential between the plates, the ball is located in the centre of the plates, at a distance $d /2$ from each plate and at a height $h /2$ above the bottom of the plates. Gravity is $g$ .

A potential difference $V_{0}$ is applied between the plates, so that the thread, when the ball reaches equilibrium, will form an angle $θ_{0}$ with the vertical.

a) Determina el ángulo $θ_{0}$ en función de $V_{0}$ , $g$ , $m$ , $q$ y $d$ .

Si $V_{0} = 100 V$ ; $g = 9, 8 m/s^{2}$ ; $M = 1, 4 \times 1 0^{- 6} kg$ ; $q = 1, 2 \times 1 0^{- 9} C$ ; $d = 0, 050 m$ ; $L = 0, 040 m$ ;

**b) ** calculates the numerical value of $θ_{0}$ .

The net force exerted by the electric field and gravity on the ball can be considered to act as an apparent weight expressed as the product of the ball’s mass by a vector $g_{a p}$ , which we will call apparent gravity.

c) Determina analíticamente $g_{a p}$ en función de $V_{0}$ , $g$ , $m$ , $q$ y $d$ . Calculate its numerical value.

The metal ball is slightly moved, so that the thread forms an angle $θ$ with the vertical slightly larger than $θ_{0}$ . The ball is released from rest so that it oscillates around the equilibrium position with a period $T^{'}$ .

**d) ** Determine and calculate the ratio $T^{'} / T$ , where $T$ is the period the pendulum would have had if there were no potential difference between the plates.

The difference in potential $V_{0}$ between the connected plates and the ball in its equilibrium position, the thread is cut.

**e) ** Determine and calculate the acceleration of the ball until it reaches the bottom of the plates.

The height of the plates is $h = 20 cm$ .

**f) ** Determine and calculate the maximum value of the potential difference, $V_{m a x}$ , which could be applied between the plates before the yarn is cut so that, once cut, the ball passes through the bottom of the plates without touching any of them.

Fig. 1 charged ball between parallel plates

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