Spagna 2020 — 2020 soluciones_2020_0.pdf

Fonte: gare di altri paesi/Spagna/Samanca-locali/2020 soluciones_2020_0.pdf · Apri PDF · apri PDF p.1 Cluster: Meccanica

Problema 1

Problema 1: Planeta superenano (a) Como la pluma y el martillo caen a la vez, el astronauta deduce que el planeta no tiene atmósfera y, por tanto, el movimiento de caída es uniformemente acelerado con la aceleración de la gravedad g. Esta aceleración la puede calcular a partir del tiempo de caída: h= 1 2gt2 $\text{Rightarrowg}=$ 2h t2= $2\cdot 1$, 40 5, 292= 0, 100 ms2 ⁄

El radio del planeta es R= 2502π ⁄ = 39, 8 km. La masa del planeta puede obtenerse teniendo en cuenta que g= GM R2 $\text{RightarrowM}=$ gR2 G = 0, $10\cdot (39$, $8\times$ 103)2 6, $67\times$ 10ି11 = 2, $37\times$ 1018 kg (b) En el ecuador, además de la aceleración de la gravedad g debemos tener en cuenta la aceleración debida al movimiento de rotación grot= v2 R La velocidad de giro en el ecuador es v= ωR, donde la velocidad angular ω viene dada por ω= 2π T= 2π $10\cdot 60\cdot 60=$ 1, $74\times$ 10ି4rads ⁄ Por tanto, grot= v2 R= 1, $20\times$ 10ି3ms2 ⁄

Como ambas aceleraciones tienen la misma dirección y sentidos opuestos en el ecuador, el tiempo de caída sería: tᇱ= ඨ 2h $g-grot$ = ඨ $2\cdot 1$, 40 0, $1-1$, $20\times$ 10ି3= 5, 32 s (c) Como la única pérdida de energía se produce durante el choque tenemos que E1 E0 = mgh1 mgh0 = 0, 8 Por tanto, h2 h1 = 0, 8 ⟶ h2= 0, 8 h1= 0, 896 m (d) Una vez lanzada la pelota, esta sigue un movimiento parabólico en el que la velocidad horizontal permanece constante vx= $v0sin45^{\circ }$ = 0, 85 ms ⁄ . En cuanto a la componente vertical velocidad, su valor en el momento del choque puede calcularse a partir de $vy2-voy$ 2= 2gh ⟶ vy= ට2gh+ v0y 2= 1, 00 ms ⁄ Después del primer bote esta componente de la velocidad se reducirá debido a la pérdida de energía 1 2m vyᇱ2= 0, 8 1 2m vy2 ⟶ vyᇱ= ඥ0, 8 vy= 0, 89 ms ⁄ Después del primer bote la pelota seguirá una trayectoria de tiro parabólico. El alcance del mismo puede calcularse a partir de las componentes de la velocidad inicial: d= 2vxvyᇱ g = 15, 17 m

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 2

Problema 2: Acuático Salamanca: ¿mitad distancia o mitad tiempo? (a) Denotamos con tA el tiempo de Alba y tB el de Blanca. Sea x la distancia a recorrer. Para Alba, que recorre x/2 a V1 y x/2 a V2 podemos escribir que: x 2 = $Vଵ\text{cdott}ଵ=Vଶ\text{cdott}ଶ=$ x 2 Entonces tardará un tiempo: t஺= tଵ+ tଶ= x 2 $\cdot \mathrm{൬}1$ Vଵ

• 1 Vଶ ൰ En el caso de Blanca, llamamos tB al tiempo que necesita para completar la competición. Como ella ha elegido usar la estrategia de la mitad de tiempo a crawl (V1) y la otra mitad a braza (V2) tenemos que: x= xଵ+ xଶ= t஻ 2 $\text{cdotV}ଵ+$ t஻ 2 $\text{cdotV}ଶ$ De donde podemos despejar el tiempo de Blanca como:1 t஻= $2x\cdot \mathrm{൬}$ 1 Vଵ+ Vଶ ൰ Combinando ambas ecuaciones de los tiempos podemos obtener su relación: t஺ t஻ = 1 4 $\cdot (Vଵ+$ Vଶ)ଶ $Vଵ\text{cdotV}ଶ$

En dónde si escribimos que Vଵ= $\alpha \text{cdotV}ଶ$ tendremos una expresión final:2 tA tB = 1 $4\cdot (1+$ α)2 α

(b) El ejercicio se reduce por lo tanto a estudiar esta función. Si hacemos su derivada respecto de $\alpha$ para encontrar el mínimo, éste aparece para $\alpha$ = $\pm 1$ donde obviamente solo tiene sentido $\alpha$ = 1 en cuyo caso Vଵ= Vଶ y t஺= t஻. Para el resto de valores, 0 < $\alpha$ < $\infty$, la función tA / tB es siempre > 1. Por lo tanto, concluimos que la ganadora es Blanca.

1 Nótese que se trata del concepto de velocidad media. 2 Evidentemente para el caso $\alpha$ =1 (ambas velocidades iguales) las dos nadadoras llegan al mismo tiempo.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 3

Problema 3: Determinación del índice de refracción de un medio transparente (a) Se completa la tabla:

i (o) r (o) sen i sen r 1 22,0 14,0 0,375 0,242 2 33,0 20,5 0,545 0,350 3 44,5 27,5 0,701 0,462 4 53,5 32,0 0,804 0,530 5 61,0 35,0 0,875 0,574 6 66,5 37,0 0,917 0,602 7 72,5 39,0 0,954 0,629

(b) y (c) En la siguiente gráfica se ha realizado el correspondiente análisis, donde los puntos rojos corresponden a la tabla anterior y la estrella azul corresponde al punto medio con coordenadas (0,48-0,75).

Índice de refracción sen r 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 sen i 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y= 1.54 x y= 1.613 x y= 1.52 x (d) Dado que la recta buscada ha de pasar por el punto (0,0) tenemos que dibujar, línea roja, la recta que pasa por el origen y el punto medio. sen i=1,52 sen r Al comparar la recta de regresión con la ecuación (2) se observa que: n2 n1 =1,52 Con lo que el índice de refracción es: n2=1,52 Para determinar la incertidumbre se usan las rectas (a trazos negros en la gráfica) que pasan por el origen (0,0) y ajustan la distribución por arriba o por abajo. pendiente máxima y = 1,613 x pendiente mínima y = 1,54 x La incertidumbre en la pendiente: $\Delta (pendiente$) = (1,613-1,54)/2 = 0,036 Así tenemos que: n2=1,52 $\pm$ 0,04

grafico sin i vs sin r regressione lineare

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Fonte: Testo (PDF) — p.4