Argentina 2020

Problema 1 Se dispara un proyectil con un cañón hacia la muralla de una ciudad que está ubicada a 5 km de donde está emplazado el cañón. Los proyectiles salen de la boca del cañón con una velocidad de 200 m/s y formando un ángulo de $3 0^{\circ}$ con la horizontal. Suponiendo que el módulo de la aceleración de la gravedad es igual a $10 m/s^{2}$ y despreciando la altura de la boca del cañón: a) Determine las componentes verticales y horizontales de la aceleración, velocidad y posición del proyectil desde que es disparado hasta que impacte. b) Realice todos los cálculos necesarios para demostrar que los proyectiles no llegan a impactar en la muralla.

Para lograr el objetivo de derribar la muralla se coloca al cañón sobre un vehículo que se desplaza en la dirección horizontal con una velocidad $v_{x}$ . Se dispara el cañón exactamente cuando su separación de la muralla es de 5 km. c) Determine ahora cuáles son las componentes verticales y horizontales de la aceleración, velocidad y posición para el proyectil. d) Calcule cuál debe ser la velocidad $v_{x}$ del vehículo para que los proyectiles impacten en la muralla.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il problema 1 Si spara un proiettile con un cannone verso il muro di una città che è situata a 5 A chilometri da dove si trova il cannone. I proiettili usciranno dalla bocca del cannone con una velocità di 200 m/s e formando un angolo di $3 0^{\circ}$ con la linea orizzontale. Supponendo che il modulo di accelerazione della gravità è uguale a $10 m/s^{2}$ e disprezzando l’altezza di la bocca del cannone: a) Determina i componenti verticali e orizzontali dell’accelerazione, della velocità e la posizione del proiettile dal momento in cui viene sparato fino all’impatto. b) Facciamo tutti i calcoli necessari per dimostrare che i proiettili non sono arrivano a colpire il muro.

Per raggiungere l’obiettivo di abbattere il muro si colloca il cannone su un veicolo che si si muove in direzione orizzontale a velocità $v_{x}$ . Il cannone viene sparato Esattamente quando la loro separazione dal muro è di 5 km. c) Determina ora quali sono i componenti verticali e orizzontali della Accelerazione, velocità e posizione del proiettile. d) Calcolare la velocità $v_{x}$ del veicolo per permettere ai proiettili di Colpisci il muro.

The problem is 1 A projectile is fired from a cannon into the wall of a city that is located 5 Miles from where the cannon is located. The projectiles come out of the cannon’s mouth with a speed of 200 m/s and forming an angle of $3 0^{\circ}$ with the horizontal. Assuming that The acceleration module of gravity is $10 m/s^{2}$ and the height of the the mouth of the canyon: (a) Determine the vertical and horizontal components of acceleration, speed and the position of the projectile from the time it is fired until it hits. (b) Make all the necessary calculations to demonstrate that the projectiles are not They hit the wall.

To achieve the goal of knocking down the wall the cannon is placed on a vehicle that is It moves in the horizontal direction at a speed $v_{x}$ . The cannon is fired. Exactly when their separation from the wall is 5 km. (c) Determine now which are the vertical and horizontal components of the Acceleration, speed and position for the projectile. (d) Calculate the vehicle speed $v_{x}$ to allow projectiles to be fired at the ground. Hit the wall.

Problema 2 Una persona, de 1,80 m de altura y 100 kg de masa, se deja caer al cauce de un río desde una plataforma ubicada a 50 m de altura. Sus pies están unidos al extremo de un resorte de 35 m de longitud natural y constante elástica $k = 500$ N/m. El otro extremo del resorte está firmemente atado a la plataforma. Despreciando el rozamiento con el aire y suponiendo $g = 10 m/s^{2}$ . a) Calcule a qué distancia de plataforma está la posición de equilibrio estático del hombre. b) Determine la máxima velocidad que alcanza el hombre en la caída. c) Calcule el máximo estiramiento del resorte. d) Determine si el hombre se moja haciendo todos los cálculos que sean necesarios.

persona che salta in un fiume

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Energy Conservation Method, Hooke’s Law, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 2 Una persona, alta 1,80 m e di massa di 100 kg, si lascia cadere nel canale di un fiume da una piattaforma a 50 metri di altezza. I suoi piedi sono legati all’estremità di un una resorte di 35 m di lunghezza naturale e costante elastica $k = 500$ N/m. L’altra estremità del la primavera è saldamente legata alla piattaforma. Sprezzando il ruggine con l’aria e supponendo $g = 10 m/s^{2}$ . a) Calcolare la distanza da piattaforma è la posizione di equilibrio statico del

Non è vero. b) Determina la velocità massima che colpisce l’uomo nel cadere. c) Calcolare la massima estensione del Primavera. d) Determina se l’uomo si bagna facendo tutti i calcoli che sono necessaria.

persona che salta in fiume

Problem 2 A person, 1.80 m tall and 100 kg in mass, lets himself fall into a riverbed from a platform located 50 m high. His feet are attached to the end of a spring with a natural length of 35 m and spring constant $k = 500$ N/m. The other end of the spring is firmly tied to the platform. Neglecting air friction and assuming $g = 10 m/s^{2}$ . a) Calculate at what distance from the platform the man’s static equilibrium position is. b) Determine the maximum speed the man reaches during the fall. c) Calculate the maximum stretch of the spring. d) Determine whether the man gets wet by making all necessary calculations.

persona che salta in un fiume

Problema 3 Una niña arma el dispositivo que se muestra en la figura. Este está compuesto por un péndulo formado por una masa puntual $m_{1}$ la cual está suspendida de un hilo de masa despreciable y longitud $l_{0}$ . El péndulo se libera con el hilo en posición horizontal y cuando la masa llega a la parte inferior de su trayectoria choca elásticamente con otro cuerpo $m_{2}$ . El cuerpo $m_{2}$ desliza una distancia $d$ sobre la superficie horizontal sin rozamiento hasta impactar con un resorte de constante elástica $k$ al cual comprime hasta detenerse. Luego el resorte se expande haciendo que el cuerpo regrese hacia donde está el péndulo. a) Describa cualitativamente cuál será el movimiento de los cuerpos que componen el sistema.

B. Determine la velocidad de los cuerpos luego del choque.
C. Calcule cuál será la máxima compresión del resorte cuando $m_{2}$ choque con él.
D. Determine el tiempo que demorará $m_{2}$ volver nuevamente a la posición inicial.
E. Diga si el movimiento de este sistema será periódico y en caso afirmativo analice si se puede determinar el periodo de este movimiento y cuál sería su valor.

Datos: $m_{1} = m_{2} = 5$ kg; $l_{0} = 5$ m; $d = 50$ m; $k = 125$ N/m y $g = 10 m/s^{2}$ .

Caída libre y rebotes

Primera Parte Introducción Cuando una pelota rebota sobre una superficie rígida, la componente de la velocidad perpendicular a la superficie invierte su sentido y disminuye su valor, mientras que la componente paralela se mantiene constante. Es decir, si la velocidad de la pelota antes del choque es $v$ y luego del choque es $u$ ,

$u_{x} = v_{x} (1)$

$u_{y} = - e v_{y} (2)$

Donde $e$ es el coeficiente de restitución con $0 < e < 1$ .

Si una pelota se deja caer desde una altura $h_{0}$ , en los sucesivos rebotes pierde energía y alcanza alturas cada vez menores hasta que eventualmente se detiene como se observa en la figura 1.

Figura 1: Rebotes sucesivos de una pelota que cae desde una altura $h_{0}$ .

Escribiendo la ecuación de movimiento para la pelota se puede encontrar que

$t_{0} = \frac{2 h _{0}}{g} (3)$

$t_{1} = (1 + 2 e) \frac{2 h _{0}}{g} (4)$

Donde $g$ es la aceleración de la gravedad. Objetivo

Determinar el coeficiente de restitución de una pelota.

Materiales

Pelota
Cronómetro
Cinta métrica

Procedimiento a) Mida el tiempo $t_{0}$ y $t_{1}$ cuando la pelota se deja caer desde una altura $h_{0}$ . Repita las mediciones 10 veces para 5 alturas $h_{0}$ distintas. Determine el valor de $h_{0}$ utilizados en las mediciones. b) Grafique $t_{0}^{2}$ en función de $h_{0}$ y realice un ajuste lineal de los puntos. c) Grafique $t_{1}^{2}$ en función de $h_{0}$ y realice un ajuste lineal de los puntos. d) A partir de la ecuación (3) y (4) y de los ajustes realizados, determine el valor de $e$ .

Segunda Parte: Uso de un cronómetro acústico (Aplicación gratuita phyphox para teléfonos celulares).

Introducción Se puede demostrar que el tiempo $Δ t_{n} = t_{n} - t_{n - 1}$ que la pelota pasa en el aire entre dos rebotes sucesivos es

$Δ t_{n} = 2 t_{0} e^{n} (5)$

Donde $t_{0}$ está dado por la ecuación (3) y $n$ es el número de rebotes.

Tomando logaritmo natural en ambos miembros de la ecuación (5) se obtiene que

$ln (Δ t_{n}) = n ln (e) + ln (2 t_{0}) (6)$

Entonces eligiendo como variables a $y = ln (Δ t_{n})$ y a $x = n$ se obtiene una relación lineal entre estas variables.

Objetivo

Determinar el coeficiente de restitución de una pelota y la aceleración de la gravedad

Materiales

Pelota
Cronómetro acústico (Aplicación phyphox)
Cinta métrica

Procedimiento e) Deje caer una pelota desde una altura $h_{0}$ y mida el tiempo entre rebotes sucesivos. Para ello utilice la opción Temporizadores > Cronómetro acústico > Secuencia de la aplicación phyphox. f) Determine la altura $h_{0}$ utilizada en la medición. g) Realice un gráfico de la variable $y$ en función de la variable $x$ propuesta. Realice un ajuste lineal. h) A partir de la pendiente y de la ordenada al origen obtenidas del ajuste, determine el valor de $g$ y de $e$ .

Nota El error de $y = ln (Δ t_{n})$ puede determinarse como $σ_{y} = \frac{σ _{Δ t_{n}}}{Δ t _{n}}$ donde $σ_{Δ t_{n}}$ es el error de $Δ t_{n}$ .

Problema Teórico 1 Hoja de Respuesta Inciso

Puntaje a) $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α)$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = v_{0} cos (α) t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$ Donde $g = 10 m/s^{2}$ , $v_{0} = 200$ m/s y $α = 3 0^{\circ}$ 2 b) $d = x (t_{f}) = v_{0} cos (α) t_{f} = 3464, 1 m < 5000 m$ De esta manera se verifica que los proyectiles no llegan hasta la muralla. 2 c) $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α) + v_{x}$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = [v_{0} cos (α) + v_{x}] t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$ Donde los valores de las constantes son las mismas que las especificadas en el ítem a). 3 d) $v_{x} = \frac{5000 m}{t _{f 2}} - v_{0} cos (α) = 76, 795 m/s$ 3

pendolo e massa su molla orizzontale

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Pendulum, Spring, Block, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 3 Una bambina arma il dispositivo che viene mostrato nella figura. Questo è composto da un pendolo formato da una massa puntante $m_{1}$ che è sospesa da un filo di massa scarsa e lunga $l_{0}$ . Il pendolo si libera con il filo in posizione orizzontale e quando la massa raggiunge la parte inferiore del suo percorso colpisce elasticamente con un altro corpo $m_{2}$ . Il corpo $m_{2}$ scivola una distanza $d$ sulla superficie orizzontale senza rottura fino a colpisce con una sorgente di costante elastica $k$ che si comprime fino a che si ferma. Poi la primavera si espandono facendo tornare il corpo verso il pendolo. a) Descriva qualitativamente il movimento dei corpi che li compongono il sistema.

B. Determina la velocità dei corpi dopo l’impatto.
C. Calcola la massima compressione della sorgente quando $m_{2}$ colpisce.
D. Determina quanto tempo ci vorrà per $m_{2}$ tornare alla posizione iniziale.
E. Indicare se il movimento di questo sistema sarà periodico e, se è così, analizzare se si può determinare il periodo di tale movimento e quale sarebbe il suo valore.

Data: $m_{1} = m_{2} = 5$ kg; $l_{0} = 5$ m; $d = 50$ m; $k = 125$ N/m e $g = 10 m/s^{2}$ .

Caduta libera e rimbalzi

Parte I Introduzione Quando una palla rimbalza su una superficie rigida, la componente di velocità Perpendicolare alla superficie inverte il senso e diminuisce il valore, mentre la superficie la componente parallela è costante. Cioè, se la velocità del pallone prima di colpo è $v$ e dopo il colpo è $u$ ,

$u_{x} = v_{x} (1)$

$u_{y} = - e v_{y} (2)$

Donde $e$ es el coeficiente de restitución con $0 < e < 1$ .

Se un pallone cade da un’altezza $h_{0}$ , nei successivi rimbalzi perde energia e raggiunge altezze sempre più piccole fino a quando si ferma come si osserva in figura 1.

Figura 1: Sostenute rinfrescazioni di una palla che cade da un’altezza $h_{0}$ .

Scrivendo l’equazione di movimento per la palla si può trovare che

$t_{0} = \frac{2 h _{0}}{g} (3)$

$t_{1} = (1 + 2 e) \frac{2 h _{0}}{g} (4)$

Dove $g$ è l’accelerazione della gravità. Obiettivo

Determinare il coefficiente di restituzione di una palla.

Materiali

Palla
Cronometro
Cintura metrica

Procedura a) Misurare il tempo $t_{0}$ y $t_{1}$ quando la palla viene lasciata cadere da un’altezza $h_{0}$ . Ripeta le misure 10 volte per 5 altezze $h_{0}$ diversi. Determina il valore di $h_{0}$ utilizzati nelle misurazioni. b) Grafico $t_{0}^{2}$ in funzione del $h_{0}$ e eseguire un regolazione lineare dei punti. c) Grafico $t_{1}^{2}$ in funzione del $h_{0}$ e eseguire un regolazione lineare dei punti. d) Sulla base delle equazioni (3) e (4) e degli aggiustamenti effettuati, determinare il valore de $e$ .

Parte II: Uso di un cronometro acustico (Applicazione gratuita di phyphox per Telefoni cellulari).

Introduzione Si può dimostrare che il tempo $Δ t_{n} = t_{n} - t_{n - 1}$ che la palla passa in aria tra due rebot successivi è

$Δ t_{n} = 2 t_{0} e^{n} (5)$

Dove $t_{0}$ è dato dall’equazione (3) e $n$ è il numero di rimbalzi.

Prendendo logaritmo naturale su entrambi i membri dell’equazione (5) si ottiene che

$ln (Δ t_{n}) = n ln (e) + ln (2 t_{0}) (6)$

Quindi scegliendo come variabili $y = ln (Δ t_{n})$ e $x = n$ si ottiene un rapporto lineare tra queste variabili.

Obiettivo

Determinare il coefficiente di restituzione di una palla e l’accelerazione della palla gravità

Materiali

Palla
Cronometro acustico (applicazione phyphox)
Cintura metrica

Procedura e) Lasciare cadere una palla da un’altezza $h_{0}$ e misurare il tempo tra i successivi rimbalzi. Per questo, utilizzare Temporatori > Cronometro acustico > Sequenza della Applicazione di phyphox. f) Determina l’altezza $h_{0}$ utilizzato nella misurazione. g) Rendi un grafico della variabile $y$ in base alla variabile $x$ proposta. Fate una regolazione lineare. h) A partire dalla pendenza e dall’ordinazione all’origine ottenuta dall’adeguamento, Valore di $g$ e di $e$ .

Nota L’errore di $y = ln (Δ t_{n})$ può essere determinato come $σ_{y} = \frac{σ _{Δ t_{n}}}{Δ t _{n}}$ dove $σ_{Δ t_{n}}$ è l’errore di $Δ t_{n}$ .

Problema teorico 1 Pagina di risposta Inciso

Punteggio a) $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α)$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = v_{0} cos (α) t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$ In cui $g = 10 m/s^{2}$ , $v_{0} = 200$ m/s e $α = 3 0^{\circ}$ 2 b) $d = x (t_{f}) = v_{0} cos (α) t_{f} = 3464, 1 m < 5000 m$ In questo modo si verifica che i proiettili non raggiungano la

Il muro. 2 c) $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α) + v_{x}$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = [v_{0} cos (α) + v_{x}] t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$ Dove i valori delle costanti sono gli stessi dei specificate all’articolo a). 3 d) $v_{x} = \frac{5000 m}{t _{f 2}} - v_{0} cos (α) = 76, 795 m/s$ 3

pendolo e massa sua molla orizzontale

Problem 3 A girl sets up the device shown in the figure. It consists of a pendulum made of a point mass $m_{1}$ suspended from a thread of negligible mass and length $l_{0}$ . The pendulum is released with the thread in a horizontal position, and when the mass reaches the lowest point of its trajectory it collides elastically with another body $m_{2}$ . The body $m_{2}$ slides a distance $d$ on the horizontal frictionless surface until it hits a spring of spring constant $k$ , which it compresses until it stops. Then the spring expands, making the body return to where the pendulum is. a) Describe qualitatively what the motion of the bodies that make up the system will be.

B. Determine the velocity of the bodies after the collision.
C. Calculate what the maximum compression of the spring will be when $m_{2}$ collides with it.
D. Determine the time it will take $m_{2}$ to return again to the initial position.
E. State whether the motion of this system will be periodic and, if so, analyze whether the period of this motion can be determined and what its value would be.

Data: $m_{1} = m_{2} = 5$ kg; $l_{0} = 5$ m; $d = 50$ m; $k = 125$ N/m and $g = 10 m/s^{2}$ .

Free fall and rebounds

First Part Introduction When a ball bounces on a rigid surface, the component of the velocity perpendicular to the surface reverses its direction and decreases its magnitude, while the parallel component remains constant. That is, if the velocity of the ball before the collision is $v$ and after the collision is $u$ ,

$u_{x} = v_{x} (1)$

$u_{y} = - e v_{y} (2)$

Where $e$ is the coefficient of restitution with $0 < e < 1$ .

If a ball is dropped from a height $h_{0}$ , in the successive bounces it loses energy and reaches increasingly smaller heights until it eventually stops as observed in figure 1.

Figure 1: Successive bounces of a ball falling from a height $h_{0}$ .

Writing the equation of motion for the ball, one can find that

$t_{0} = \frac{2 h _{0}}{g} (3)$

$t_{1} = (1 + 2 e) \frac{2 h _{0}}{g} (4)$

Where $g$ is the acceleration of gravity. Objective

Determine the coefficient of restitution of a ball.

Materials

Ball
Stopwatch
Measuring tape

Procedure a) Measure the time $t_{0}$ and $t_{1}$ when the ball is dropped from a height $h_{0}$ . Repeat the measurements 10 times for 5 different heights $h_{0}$ . Determine the value of $h_{0}$ used in the measurements. b) Plot $t_{0}^{2}$ as a function of $h_{0}$ and perform a linear fit of the points. c) Plot $t_{1}^{2}$ as a function of $h_{0}$ and perform a linear fit of the points. d) From equation (3) and (4) and from the fits performed, determine the value of $e$ .

Second Part: Use of an acoustic stopwatch (free phyphox app for cell phones).

Introduction It can be shown that the time $Δ t_{n} = t_{n} - t_{n - 1}$ that the ball spends in the air between two successive bounces is

$Δ t_{n} = 2 t_{0} e^{n} (5)$

Where $t_{0}$ is given by equation (3) and $n$ is the number of bounces.

Taking the natural logarithm on both sides of equation (5), one obtains that

$ln (Δ t_{n}) = n ln (e) + ln (2 t_{0}) (6)$

Then, choosing $y = ln (Δ t_{n})$ and $x = n$ as variables, a linear relationship between these variables is obtained.

Objective

Determine the coefficient of restitution of a ball and the acceleration due to gravity

Materials

Ball
Acoustic stopwatch (phyphox app)
Measuring tape

Procedure e) Drop a ball from a height $h_{0}$ and measure the time between successive bounces. To do this, use the option Timers > Acoustic stopwatch > Sequence in the phyphox app. f) Determine the height $h_{0}$ used in the measurement. g) Make a graph of the variable $y$ as a function of the proposed variable $x$ . Perform a linear fit. h) From the slope and the y-intercept obtained from the fit, determine the value of $g$ and of $e$ .

Note The error of $y = ln (Δ t_{n})$ can be determined as $σ_{y} = \frac{σ _{Δ t_{n}}}{Δ t _{n}}$ where $σ_{Δ t_{n}}$ is the error of $Δ t_{n}$ .

Theoretical Problem 1 Answer Sheet Item

Score a) $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α)$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = v_{0} cos (α) t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$ Where $g = 10 m/s^{2}$ , $v_{0} = 200$ m/s and $α = 3 0^{\circ}$ 2 b) $d = x (t_{f}) = v_{0} cos (α) t_{f} = 3464, 1 m < 5000 m$ In this way it is verified that the projectiles do not reach the wall. 2 c) $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α) + v_{x}$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = [v_{0} cos (α) + v_{x}] t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$ Where the values of the constants are the same as those specified in item a). 3 d) $v_{x} = \frac{5000 m}{t _{f 2}} - v_{0} cos (α) = 76, 795 m/s$ 3

pendulum and mass on horizontal spring

Problema 1: Se dispara un proyectil con un cañón hacia la muralla de una ciudad que está ubicada a 5 km de donde está emplazado el cañón. Los proyectiles salen de la boca del cañón con una velocidad de 200 m/s y formando un ángulo de $3 0^{\circ}$ con la horizontal. Suponiendo que el módulo de la aceleración de la gravedad es igual a $10 m/s^{2}$ y despreciando la altura de la boca del cañón:

a) Determine las componentes verticales y horizontales de la aceleración, velocidad y posición del proyectil desde que es disparado hasta que impacte. (2 puntos)

Teniendo en cuenta el sistema de coordenadas elegido las componentes de los vectores son:

$a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α)$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = v_{0} cos (α) t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$

Donde $g = 10 m/s^{2}$ , $v_{0} = 200$ m/s y $α = 3 0^{\circ}$

b) Realice todos los cálculos necesarios para demostrar que los proyectiles no llegan a impactar en la muralla. (2 puntos)

Para verificar esto calcularemos el alcance del proyectil. Primero determinaremos el tiempo de vuelo ( $t_{f}$ ) y luego la distancia a la que cae ( $d = x (t_{f})$ )

$y (t_{f}) = - \frac{g}{2} t_{f}^{2} + v_{0} sin (α) t_{f} = 0 m$

Las soluciones de esta ecuación son $t_{1} = 0$ s y $t_{2} = 20$ s, por lo tanto $t_{f} = 20$ s

entonces

$d = x (t_{f}) = v_{0} cos (α) t_{f} = 3464, 1 m < 5000 m$

De esta manera se verifica que los proyectiles no llegan hasta la muralla.

c) Determine ahora cuáles son las componentes verticales y horizontales de la aceleración, velocidad y posición para el proyectil. (3 puntos)

Las componentes son las mismas que antes salvo que a la componente x de la velocidad inicial se le adiciona la velocidad $v_{x}$ del vehículo, por lo tanto $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α) + v_{x}$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = [v_{0} cos (α) + v_{x}] t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$

Donde los valores de las constantes son las mismas que las especificadas en el ítem a).

d) Calcule cuál debe ser la velocidad $v_{x}$ del vehículo para que los proyectiles impacten en la muralla. (3 puntos)

Para esto pediremos que el alcance de los proyectiles sea 5000 m, es decir que se debe cumplir que para el tiempo final, que denominaremos $t_{f 2}$ , $x (t_{f 2}) = 5000$ m y que $y (t_{f 2}) = 0$ m. La segunda ecuación es idéntica a la que resolvimos en el ítem b), por lo tanto el tiempo de vuelo será $t_{f 2} = 20$ s. Despejando de la primera ecuación $v_{x}$ obtenemos:

$v_{x} = \frac{5000 m}{t _{f 2}} - v_{0} cos (α) = 76, 795 m/s$

Problema Teórico 2 Hoja de Respuesta Inciso

Puntaje a) $x_{e} = \frac{m g}{k} + l_{0} = 37$ m

3 b) $v_{m} = 26, 833$ m/s 3 c) El máximo estiramiento del resorte es 49 m. 2 d) Sí se moja

sistema di riferimento e muraglia città

Problema 1: un proiettile viene lanciato con un cannone verso il muro di una città che è situata a 5 A chilometri da dove si trova il cannone. I proiettili usciranno dalla bocca del cannone con una velocità di 200 m/s e formando un angolo di $3 0^{\circ}$ con la linea orizzontale. Supponendo che il modulo di accelerazione La gravità è uguale a $10 m/s^{2}$ e disprezzando l’altezza della bocca del cannone:

a) Determina le componenti verticali e orizzontali dell’accelerazione, della velocità e della posizione del veicolo proiettile dal momento in cui viene sparato fino all’impatto. (2 punti)

Tenendo conto del sistema di coordinate scelto, i componenti dei vettori sono:

$a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α)$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = v_{0} cos (α) t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$

In cui $g = 10 m/s^{2}$ , $v_{0} = 200$ m/s e $α = 3 0^{\circ}$

b) Facciamo tutti i calcoli necessari per dimostrare che i proiettili non hanno un impatto sulla

Il muro. (2 punti)

Per verificare questo, calcoliamo la portata del proiettile. Prima di tutto, determineremo il tempo di volo ( $t_{f}$ ) e poi la distanza alla quale cade ( $d = x (t_{f})$ )

$y (t_{f}) = - \frac{g}{2} t_{f}^{2} + v_{0} sin (α) t_{f} = 0 m$

Le soluzioni di questa equazione sono $t_{1} = 0$ s e $t_{2} = 20$ s, quindi $t_{f} = 20$ s

Allora

$d = x (t_{f}) = v_{0} cos (α) t_{f} = 3464, 1 m < 5000 m$

In questo modo si verifica che i proiettili non raggiungano il muro.

Per raggiungere l’obiettivo di abbattere il muro si colloca il cannone su un veicolo che si muove in la direzione orizzontale con velocità $v_{x}$ . Il cannone viene sparato esattamente quando la sua separazione da Il muro è di 5 km.

c) Determina ora quali sono i componenti verticali e orizzontali dell’accelerazione, della velocità e della velocità posizione per il proiettile. (3 punti)

I componenti sono gli stessi che prima, tranne che il componente x della velocità iniziale è stato aggiunge la velocità $v_{x}$ del veicolo, quindi $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α) + v_{x}$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = [v_{0} cos (α) + v_{x}] t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$

I valori delle costanti sono gli stessi di quelli specificati nell’articolo a).

d) Calcolare la velocità $v_{x}$ del veicolo per far impattare le proiettili sul muro. (3 punti)

Per questo, chiediamo che il raggio di lancio dei proiettili sia di 5000 m, cioè che si debba rispettare che per il tempo finale, che si denominerà $t_{f 2}$ , $x (t_{f 2}) = 5000$ m e che $y (t_{f 2}) = 0$ m. La seconda equazione è identica a quella risolta nell’articolo b), quindi il tempo di volo sarà $t_{f 2} = 20$ s. Sbarazzando la prima equazione $v_{x}$ ci dà:

$v_{x} = \frac{5000 m}{t _{f 2}} - v_{0} cos (α) = 76, 795 m/s$

Problema teorico 2 Pagina di risposta Inciso

Punteggio a) $x_{e} = \frac{m g}{k} + l_{0} = 37$ m

3 b) $v_{m} = 26, 833$ m/s 3 c) La massima estensione della primavera è di 49 m. 2 d) Si bagna

sistema di riferimento e muraglia città

Problem 1: A projectile is fired from a cannon toward the wall of a city located 5 km from where the cannon is emplaced. The projectiles leave the muzzle of the cannon with a speed of 200 m/s and forming an angle of $3 0^{\circ}$ with the horizontal. Assuming that the magnitude of the acceleration due to gravity is equal to $10 m/s^{2}$ and neglecting the height of the cannon muzzle:

a) Determine the vertical and horizontal components of the acceleration, velocity and position of the projectile from the moment it is fired until it impacts. (2 points)

Taking into account the chosen coordinate system, the components of the vectors are:

$a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α)$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = v_{0} cos (α) t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$

Where $g = 10 m/s^{2}$ , $v_{0} = 200$ m/s and $α = 3 0^{\circ}$

b) Perform all the necessary calculations to demonstrate that the projectiles do not reach the wall. (2 points)

To verify this we will calculate the range of the projectile. First we will determine the flight time ( $t_{f}$ ) and then the distance at which it falls ( $d = x (t_{f})$ )

$y (t_{f}) = - \frac{g}{2} t_{f}^{2} + v_{0} sin (α) t_{f} = 0 m$

The solutions of this equation are $t_{1} = 0$ s and $t_{2} = 20$ s, therefore $t_{f} = 20$ s

then

$d = x (t_{f}) = v_{0} cos (α) t_{f} = 3464, 1 m < 5000 m$

In this way it is verified that the projectiles do not reach the wall.

To achieve the objective of bringing down the wall, the cannon is placed on a vehicle that moves in the horizontal direction with a speed $v_{x}$ . The cannon is fired exactly when its separation from the wall is 5 km.

c) Now determine the vertical and horizontal components of the acceleration, velocity, and position for the projectile. (3 points)

The components are the same as before except that the x-component of the initial velocity has the velocity $v_{x}$ of the vehicle added to it; therefore $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α) + v_{x}$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = [v_{0} cos (α) + v_{x}] t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$

Where the values of the constants are the same as those specified in item a).

d) Calculate what the velocity $v_{x}$ of the vehicle must be for the projectiles to impact the wall. (3 points)

For this we will require that the range of the projectiles be 5000 m, that is, it must hold that at the final time, which we will call $t_{f 2}$ , $x (t_{f 2}) = 5000$ m and that $y (t_{f 2}) = 0$ m. The second equation is identical to the one we solved in item b); therefore the flight time will be $t_{f 2} = 20$ s. Solving for $v_{x}$ from the first equation, we obtain:

$v_{x} = \frac{5000 m}{t _{f 2}} - v_{0} cos (α) = 76, 795 m/s$

Theoretical Problem 2 Answer Sheet Item

Score a) $x_{e} = \frac{m g}{k} + l_{0} = 37$ m

3 b) $v_{m} = 26, 833$ m/s 3 c) The maximum stretch of the spring is 49 m. 2 d) Yes, it gets wet

reference system and city wall

Problema 2: Una persona, de 1,80 m de altura y 100 kg de masa, se deja caer al cauce de un río desde una plataforma ubicada a 50 m de altura. Sus pies están unidos al extremo de un resorte de 35 m de longitud natural y constante elástica $k = 500$ N/m. El otro extremo del resorte está firmemente atado a la plataforma. Despreciando el rozamiento con el aire y suponiendo $g = 10 m/s^{2}$

a) Calcule a qué distancia de plataforma está la posición de equilibrio estático del hombre. (3 puntos)

Las fuerzas que actúan sobre la persona son el peso $P = m g$ , y la fuerza del resorte estirado $F_{r} = - k (x - l_{0})$ . En la posición de equilibrio $P + F_{r} = 0$

$m g - k (x_{e} - l_{0}) = 0$

con $m = 100$ kg, $k = 500$ N/m, $l_{0} = 35$ m y $g = 10 m/s^{2}$ . Resolviendo esta ecuación resulta

$x_{e} = \frac{m g}{k} + l_{0} = 37 m$

b) Determine la máxima velocidad que alcanza el hombre en la caída. (3 puntos)

La máxima velocidad la alcanza cuando pasa por la posición de equilibrio. Como las fuerzas que actúan son conservativas por lo tanto se conserva la energía mecánica del sistema. En la posición inicial, con el hombre en la plataforma, la energía cinética inicial es 0 J, la energía potencial del resorte es 0 J, pues el resorte no está estirado, y la energía potencial gravitatoria es 0 J, por el sistema de coordenadas elegido. Entonces la energía mecánica del sistema es $E = 0$ J. En la posición de equilibrio la energía del sistema es:

$E = \frac{1}{2} m v_{m}^{2} + \frac{1}{2} k (x_{e} - l_{0})^{2} - m g x_{e} = 0 J$

Despejando obtenemos $v_{m} = 26, 833$ m/s

c) Calcule el máximo estiramiento del resorte. (3 puntos)

El máximo estiramiento del resorte ocurre cuando la velocidad de la persona es 0 m/s. En esa posición la expresión de la energía mecánica es

$E = \frac{1}{2} k (x_{m} - l_{0})^{2} - m g x_{m} = 0 J$

Las soluciones a la ecuación son $x_{m 1} = 25$ m y $x_{m 2} = 49$ m. Como a los 25 m el resorte (o cuerda elástica) aún no había llegado a su longitud natural no es una solución válida para nosotros. Por lo tanto, el máximo estiramiento del resorte es 49 m.

d) Determine si el hombre se moja haciendo todos los cálculos que sean necesarios. (1 puntos)

Como la altura de la persona es de 1,80 m, el resorte atado a sus pies tiene un estiramiento final de 49 m y la distancia desde la plataforma de lanzamiento al rio es de 50 m el individuo se mojará pues se sumergirá aproximadamente 80 cm.

Problema Teórico 3 Hoja de Respuesta Inciso

Puntaje a) Explicación del movimiento periódico y los procesos que ocurren

1 b) $v_{1}^{'} = 0$ m/s y $v_{2}^{'} = 10$ m/s 3 c) $Δ x = 2$ m. 2 d) $t = 10, 628$ s 2 e) No se puede calcular 2

Il problema 2: una persona di 1,80 m di altezza e 100 kg di massa si lascia cadere nel canale di un fiume da una piattaforma a 50 metri di altezza. I suoi piedi sono legati all’estremità di una sorgente di 35 m di lunghezza naturale e costante elastico $k = 500$ N/m. L’altra estremità della primavera è saldamente legata alla piattaforma. Scommettere che il riscaldo con l’aria e supponendo $g = 10 m/s^{2}$

a) Calcolare a che distanza di piattaforma si trova la posizione di equilibrio statico dell’uomo. (3 punti)

Le forze che agiscono sulla persona sono il peso $P = m g$ e la forza della molla estesa $F_{r} = - k (x - l_{0})$ . In posizione di equilibrio $P + F_{r} = 0$

$m g - k (x_{e} - l_{0}) = 0$

con $m = 100$ kg, $k = 500$ N/m, $l_{0} = 35$ m e $g = 10 m/s^{2}$ . Risolvendo questa equazione si ottiene

$x_{e} = \frac{m g}{k} + l_{0} = 37 m$

b) Determina la velocità massima raggiunta dal uomo in caduta. (3 punti)

La velocità massima raggiunge quando passa attraverso la posizione di equilibrio. Come le forze che agiscono Le energie meccaniche del sistema sono conservate. In posizione iniziale, con L’uomo sulla piattaforma, l’energia cinetica iniziale è 0 J, l’energia potenziale della primavera è 0 J, perché La sorgente non è estesa, e l’energia potenziale gravitazionale è 0 J, per il sistema di coordinate.

E’ stato scelto. Quindi l’energia meccanica del sistema è $E = 0$ J. Nella posizione di equilibrio l’energia del sistema è:

$E = \frac{1}{2} m v_{m}^{2} + \frac{1}{2} k (x_{e} - l_{0})^{2} - m g x_{e} = 0 J$

Sgomberando otteniamo $v_{m} = 26, 833$ m/s

c) Calcolare il massimo allungamento della molla. (3 punti)

Il massimo stretto della primavera si verifica quando la velocità della persona è di 0 m/s. In quella posizione l’espressione dell’energia meccanica è

$E = \frac{1}{2} k (x_{m} - l_{0})^{2} - m g x_{m} = 0 J$

Le soluzioni all’equazione sono $x_{m 1} = 25$ m e $x_{m 2} = 49$ m. Come a 25 m la primavera (o corda elastica) non era ancora arrivata alla sua lunghezza naturale non è una soluzione valida per noi. Il il massimo estensione della primavera è di 49 m.

d) Determina se l’uomo si bagna facendo tutti i calcoli necessari. (1 punti)

Poiché la persona è alta 1,80 m, la primavera legata ai piedi ha un’estensione finale di 49 Il lancio è di 50 m. L’individuo si bagnerà perché si si immergerà circa 80 cm.

Problema teorico 3 Pagina di risposta Inciso

Punteggio a) Spiegazione del movimento periodico e dei processi che si verificano

1 b) $v_{1}^{'} = 0$ m/s y $v_{2}^{'} = 10$ m/s 3 c) $Δ x = 2$ m. 2 d) $t = 10, 628$ s 2 e) Non si può calcolare 2

Problem 2: A person, 1.80 m tall and with a mass of 100 kg, is dropped into a riverbed from a platform located 50 m high. Their feet are attached to the end of a spring with a natural length of 35 m and spring constant $k = 500$ N/m. The other end of the spring is firmly tied to the platform. Neglecting air friction and assuming $g = 10 m/s^{2}$

a) Calculate at what distance from the platform the man’s static equilibrium position is. (3 points)

The forces acting on the person are weight $P = m g$ , and the force of the stretched spring $F_{r} = - k (x - l_{0})$ . In the equilibrium position $P + F_{r} = 0$

$m g - k (x_{e} - l_{0}) = 0$

with $m = 100$ kg, $k = 500$ N/m, $l_{0} = 35$ m and $g = 10 m/s^{2}$ . Solving this equation gives

$x_{e} = \frac{m g}{k} + l_{0} = 37 m$

b) Determine the maximum speed the man reaches during the fall. (3 points)

He reaches maximum speed when he passes through the equilibrium position. Since the forces acting are conservative, therefore the mechanical energy of the system is conserved. In the initial position, with the man on the platform, the initial kinetic energy is 0 J, the potential energy of the spring is 0 J, since the spring is not stretched, and the gravitational potential energy is 0 J, due to the chosen coordinate system. Then the mechanical energy of the system is $E = 0$ J. In the equilibrium position the energy of the system is:

$E = \frac{1}{2} m v_{m}^{2} + \frac{1}{2} k (x_{e} - l_{0})^{2} - m g x_{e} = 0 J$

Solving gives $v_{m} = 26, 833$ m/s

c) Calculate the maximum stretch of the spring. (3 points)

The maximum stretch of the spring occurs when the person’s velocity is 0 m/s. At that position the expression for the mechanical energy is

$E = \frac{1}{2} k (x_{m} - l_{0})^{2} - m g x_{m} = 0 J$

The solutions to the equation are $x_{m 1} = 25$ m and $x_{m 2} = 49$ m. Since at 25 m the spring (or elastic cord) had not yet reached its natural length, it is not a valid solution for us. Therefore, the maximum stretch of the spring is 49 m.

d) Determine whether the man gets wet by making all necessary calculations. (1 point)

Since the person’s height is 1.80 m, the spring tied to his feet has a final stretch of 49 m, and the distance from the launch platform to the river is 50 m, the individual will get wet because he will be submerged approximately 80 cm.

Theoretical Problem 3 Answer Sheet Part

Score a) Explanation of the periodic motion and the processes that occur

1 b) $v_{1}^{'} = 0$ m/s and $v_{2}^{'} = 10$ m/s 3 c) $Δ x = 2$ m. 2 d) $t = 10, 628$ s 2 e) It cannot be calculated 2

Problema 3: Una niña arma el dispositivo que se muestra en la figura. Este está compuesto por un péndulo formado por una masa puntual $m_{1}$ la cual está suspendida de un hilo de masa despreciable y longitud $l_{0}$ . El péndulo se libera con el hilo en posición horizontal y cuando la masa llega a la parte inferior de su trayectoria choca elásticamente con otro cuerpo $m_{2}$ . El cuerpo $m_{2}$ desliza una distancia $d$ sobre la superficie horizontal sin rozamiento hasta impactar con un resorte de constante elástica $k$ al cual comprime hasta detenerse. Luego el resorte se expande haciendo que el cuerpo regrese hacia donde está el péndulo. Datos: $m_{1} = m_{2} = 5$ kg; $l_{0} = 5$ m; $d = 50$ m; $k = 125$ N/m y $g = 10 m/s^{2}$ .

a) Describa cualitativamente cuál será el movimiento de los cuerpos que componen el sistema. (1 puntos)

El péndulo con la masa $m_{1}$ desciende realizando un movimiento circular. Cuando llega a su punto más bajo choca con la masa $m_{2}$ que está en reposo. Como el choque es elástico, y ambas masas son iguales, ellas intercambiarán sus velocidades y por lo tanto la masa $m_{1}$ quedará en reposo y la masa $m_{2}$ comenzará a moverse con la velocidad que tenía la masa $m_{1}$ en el punto más bajo de su movimiento. Debido a que no hay rozamiento la masa $m_{2}$ tendrá un movimiento rectilíneo uniforme hasta entrar en contacto con el resorte. La masa $m_{2}$ comprimirá el resorte hasta detenerse y luego, por efecto de la fuerza que le ejerce el resorte, comenzará a moverse en sentido opuesto al que traía. Como se conserva la energía se despegará del resorte con una velocidad de igual módulo, pero con sentido contrario que tenía inicialmente. Nuevamente recorrerá la distancia $d$ con MRU hasta colisionar nuevamente con la masa $m_{1}$ intercambiando nuevamente las velocidades. La masa $m_{2}$ permanecerá en reposo y la masa $m_{1}$ , como se conserva la energía volverá a su posición inicial y todo nuevamente se volverá a repetir. Por supuesto que todo esto es válido si despreciamos el rozamiento de la masa $m_{1}$ con el aire y de la masa $m_{2}$ con el piso.

b) Determine la velocidad de los cuerpos luego del choque. (3 puntos)

Primero determinaremos la velocidad con que la masa $m_{1}$ llega a la parte más baja de la trayectoria. Como la única fuerza que hace trabajo sobre esta masa es el peso se conservará la energía mecánica del sistema. Por lo tanto

$E = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g l_{0}$

Despejando obtenemos $v_{1} = 10$ m/s.

Ahora analizamos el proceso del choque. En el choque se conserva la cantidad de movimiento y al ser elástico también se conserva la energía; esto se puede resumir en las siguientes ecuaciones:

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$

Esta ecuación plantea la conservación del momento lineal del sistema en el choque donde $v_{1} = 10$ m/s, $v_{2} = 0$ m/s (velocidades antes del choque) y $v_{1}^{'}$ y $v_{2}^{'}$ serán las velocidades de las masas 1 y 2 después del choque respectivamente.

$v_{1} - v_{2} = - (v_{1}^{'} - v_{2}^{'})$

Esta ecuación se deduce de plantear la conservación de la energía del sistema y se resume diciendo que en el choque elástico la velocidad relativa de los cuerpos cambia de signo.

Resolviendo este sistema de ecuaciones da como resultado $v_{1}^{'} = 0$ m/s y $v_{2}^{'} = 10$ m/s. Como vemos han intercambiado sus velocidades.

c) Calcule cuál será la máxima compresión del resorte cuando $m_{2}$ choque con él. (2 puntos)

Como no existe rozamiento se conserva la energía del sistema y por lo tanto la energía cinética de la masa $m_{2}$ será igual a la energía elástica del resorte en su máxima compresión

$E = \frac{1}{2} m v_{2}^{'2} = \frac{1}{2} K Δ x^{2}$

Despejando obtenemos $Δ x = 2$ m.

d) Determine el tiempo que demorará $m_{2}$ volver nuevamente a la posición inicial.

El tiempo que demorará $m_{2}$ en volver a la posición inicial será el tiempo $t_{1}$ que demore en recorrer de ida y vuelta la distancia $d$ más el tiempo $t_{2}$ que está en contacto con el resorte. Como la distancia $d$ la recorre de ida y vuelta con el mismo módulo de velocidad demorará lo mismo en ir que en regresar.

$t_{1} = \frac{2 d}{v _{2}^{'}} = 10 s$

La masa $m_{2}$ estuvo en contacto con el resorte desde que este estaba con su longitud natural hasta que llegó a su máxima compresión más lo que demora luego en regresar hasta su longitud natural; y esto corresponde a la mitad del periodo del resorte. Entonces

$t_{2} = \frac{1}{2} 2 π \frac{m}{k} = 0, 628 s$

Entonces el tiempo total que demora la masa $m_{2}$ en volver a su posición inicial es $t = t_{1} + t_{2} = 10, 628$ s.

e) Diga si el movimiento de este sistema será periódico y en caso afirmativo analice si se puede determinar el periodo de este movimiento y cuál sería su valor. (2 puntos) El movimiento del sistema será periódico y su periodo será el tiempo que demora la masa $m_{2}$ en volver a su posición de inicial más el tiempo que demora la masa $m_{1}$ en volver a su posición inicial. Si bien podemos calcular el tiempo que demora la masa $m_{2}$ en volver a su posición inicial no podemos hacer lo mismo con la masa $m_{1}$ pues la expresión que conocemos para el periodo del péndulo es válida para pequeñas amplitudes y este no es el caso que se nos ha planteado. Por lo tanto, con los conocimientos que tienen los estudiantes no es posible calcular el periodo del sistema.

Sabemos que la ecuación de movimiento de un péndulo matemático, armado con una cuerda de longitud $l$ (de masa despreciable) del cual está suspendido un cuerpo puntual de masa $m$ es:

$m l \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - m g sin (θ) ⟹ \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l} sin (θ)$

Esta ecuación diferencial no tiene solución analítica, pero si aproximamos para pequeñas oscilaciones

$θ ≪ 1 ⟹ sin (θ) \approx θ$

Entonces la ecuación queda:

$\frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l} θ$

que es la de un oscilador armónico cuyo periodo es

$T_{0} = 2 π \frac{l}{g}$

Se puede aproximar una solución para amplitudes mayores de $θ$ y para este caso general el valor del periodo $T$ es

$T = T_{0} \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{( 2 n )!}{2 ^{2 n} ( n ! ) ^{2}})^{2} sin^{2 n} (\frac{θ}{2})$

Si utilizamos esta expresión para nuestro problema ( $θ = π /2$ ) y tomando los 85 primeros términos de la sumatoria, por razones de limitaciones de cálculo, el periodo resulta

$T = T_{0} 1, 18034 = 1, 48326 s$

Por lo tanto, el periodo de nuestro sistema sería aproximadamente $t = t_{1} + T /2 = 10, 74163$ s.

Problema Experimental Hoja de respuestas. Primera Parte

Inciso

Puntaje a) Ver Tabla 1.I 10 ptos b) Ver Tabla 1.II y Figura 1.1 2 ptos c) Ver Tabla 1.II y Figura 1.2 2 ptos d) $e = (0, 54 \pm 0, 05)$ 1 pto

Segunda Parte Inciso

Puntaje e) Ver Tabla 2.I 1,5 ptos f) $h_{0} = (2, 20 \pm 0, 03)$ m 0,5 ptos g) Ver Figura 2.1 1,5 ptos h) $e = (0, 603 \pm 0, 003)$

$g = (9, 9 \pm 0, 6) m s^{- 2}$ 1,5 ptos Primera Parte.

Tabla 1.I: Mediciones de los tiempos $t_{0}$ y $t_{1}$ para distintas alturas $h_{0}$ . $h_{0}$ [cm] $\pm 3$ cm 220 188 179 148 118

$t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s 1 0,70 1,59 0,61 1,45 0,51 1,43 0,50 1,30 0,50 1,18 2 0,67 1,61 0,63 1,56 0,64 1,49 0,59 1,32 0,52 1,28 3 0,67 1,60 0,59 1,47 0,55 1,51 0,57 1,42 0,54 1,21 4 0,61 1,66 0,63 1,55 0,63 1,55 0,59 1,38 0,42 1,21 5 0,68 1,43 0,63 1,45 0,63 1,42 0,58 1,32 0,50 1,25 6 0,71 1,44 0,57 1,51 0,64 1,39 0,53 1,30 0,50 1,23 7 0,61 1,70 0,59 1,50 0,60 1,50 0,55 1,33 0,41 1,22 8 0,65 1,48 0,67 1,46 0,62 1,44 0,48 1,38 0,43 1,25 9 0,61 1,51 0,63 1,41 0,55 1,47 0,56 1,36 0,42 1,19 10 0,65 1,52 0,65 1,53 0,57 1,44 0,56 1,33 0,43 1,24 $\overset{ˉ}{t}$ [s] 0,66 1,55 0,62 1,49 0,59 1,46 0,55 1,34 0,47 1,23 $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] 0,05 0,09 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05

La incertidumbre de $h_{0}$ se tomó como el radio de la pelota utilizada en las mediciones. $\overset{ˉ}{t}$ [s] y $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] son el tiempo medio y su incertidumbre, respectivamente, de los tiempos $t_{0}$ y $t_{1}$ . La incertidumbre $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] se tomó como la incertidumbre de las mediciones dado que la desviación estándar del promedio es menor que dicha incertidumbre, salvo para las mediciones de $t_{1}$ correspondiente a una altura de 220 cm.

pendolo e massa su molla orizzontale

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Simple Harmonic Motion Analysis, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Pendulum, Spring, Block, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.20

Figure

p.9 — altezza vs tempo rimbalzi successivi

p.25 — grafico $t_{0}^{- 2}$ in funzione di $h_{0}$

p.26 — grafico $t_{1}^{- 2}$ in funzione di $h_{0}$

p.27 — grafico $ln (Δ t_{n})$ in funzione di $n$

Problema 3: Una bambina prepara il dispositivo mostrato in figura. Questo è composto da un pendolo formato da una massa puntuale $m_{1}$ che è sospesa a un filo di massa trascurabile e lunghezza $l_{0}$ . Il pendolo viene rilasciato con il filo in posizione orizzontale e quando la massa raggiunge la parte inferiore della sua traiettoria urta elasticamente con un altro corpo $m_{2}$ . Il corpo $m_{2}$ scivola per una distanza $d$ sulla superficie orizzontale priva di attrito fino a urtare una molla di costante elastica $k$ che comprime fino a fermarsi. Poi la molla si espande facendo tornare il corpo verso dove si trova il pendolo. Dati: $m_{1} = m_{2} = 5$ kg; $l_{0} = 5$ m; $d = 50$ m; $k = 125$ N/m e $g = 10 m/s^{2}$ .

a) Descrivi qualitativamente quale sarà il moto dei corpi che compongono il sistema. (1 punti)

Il pendolo con la massa $m_{1}$ scende compiendo un moto circolare. Quando giunge al suo punto più basso urta la massa $m_{2}$ che è in quiete. Poiché l’urto è elastico, e le due masse sono uguali, esse si scambieranno le velocità e pertanto la massa $m_{1}$ resterà in quiete e la massa $m_{2}$ comincerà a muoversi con la velocità che aveva la massa $m_{1}$ nel punto più basso del suo moto. Poiché non c’è attrito la massa $m_{2}$ avrà un moto rettilineo uniforme fino a entrare in contatto con la molla. La massa $m_{2}$ comprimerà la molla fino a fermarsi e poi, per effetto della forza che la molla le esercita, comincerà a muoversi in senso opposto a quello con cui era arrivata. Poiché l’energia si conserva si staccherà dalla molla con una velocità di ugual modulo, ma con verso contrario a quello che aveva inizialmente. Percorrerà nuovamente la distanza $d$ con MRU fino a urtare nuovamente la massa $m_{1}$ scambiando nuovamente le velocità. La massa $m_{2}$ resterà in quiete e la massa $m_{1}$ , poiché l’energia si conserva, tornerà alla sua posizione iniziale e tutto si ripeterà nuovamente. Naturalmente tutto questo è valido se trascuriamo l’attrito della massa $m_{1}$ con l’aria e della massa $m_{2}$ con il pavimento.

b) Determinate la velocità dei corpi dopo l’urto. (3 punti)

Per prima cosa determineremo la velocità con cui la massa $m_{1}$ arriva alla parte più bassa della traiettoria. Poiché l’unica forza che compie lavoro su questa massa è il peso, l’energia meccanica del sistema si conserverà. Pertanto

$E = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g l_{0}$

Risolvendo rispetto all’incognita otteniamo $v_{1} = 10$ m/s.

Ora analizziamo il processo dell’urto. Nell’urto si conserva la quantità di moto e, essendo elastico, si conserva anche l’energia; ciò può essere riassunto nelle seguenti equazioni:

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$

Questa equazione esprime la conservazione della quantità di moto del sistema nell’urto, dove $v_{1} = 10$ m/s, $v_{2} = 0$ m/s (velocità prima dell’urto) e $v_{1}^{'}$ e $v_{2}^{'}$ saranno le velocità delle masse 1 e 2 dopo l’urto rispettivamente.

$v_{1} - v_{2} = - (v_{1}^{'} - v_{2}^{'})$

Questa equazione si deduce dall’impostare la conservazione dell’energia del sistema e si riassume dicendo che nell’urto elastico la velocità relativa dei corpi cambia segno.

Risolvendo questo sistema di equazioni si ottiene come risultato $v_{1}^{'} = 0$ m/s e $v_{2}^{'} = 10$ m/s. Come vediamo hanno scambiato le loro velocità.

c) Calcolare quale sarà la massima compressione della molla quando $m_{2}$ urta contro di essa. (2 punti)

Poiché non esiste attrito, l’energia del sistema si conserva e pertanto l’energia cinetica della massa $m_{2}$ sarà uguale all’energia elastica della molla nella sua massima compressione

$E = \frac{1}{2} m v_{2}^{'2} = \frac{1}{2} K Δ x^{2}$

Risolvendo rispetto all’incognita otteniamo $Δ x = 2$ m.

d) Determinare il tempo che impiegherà $m_{2}$ a tornare nuovamente nella posizione iniziale.

Il tempo che $m_{2}$ impiegherà a tornare alla posizione iniziale sarà il tempo $t_{1}$ che impiega a percorrere andata e ritorno la distanza $d$ più il tempo $t_{2}$ in cui è a contatto con la molla. Poiché percorre la distanza $d$ di andata e ritorno con lo stesso modulo della velocità, impiegherà lo stesso tempo ad andare e a tornare.

$t_{1} = \frac{2 d}{v _{2}^{'}} = 10 s$

La massa $m_{2}$ è stata a contatto con la molla da quando questa aveva la sua lunghezza naturale fino a quando ha raggiunto la sua massima compressione, più il tempo che impiega poi a tornare alla sua lunghezza naturale; e questo corrisponde alla metà del periodo della molla. Allora

$t_{2} = \frac{1}{2} 2 π \frac{m}{k} = 0, 628 s$

Allora il tempo totale che la massa $m_{2}$ impiega a tornare alla sua posizione iniziale è $t = t_{1} + t_{2} = 10, 628$ s.

e) Dica se il moto di questo sistema sarà periodico e, in caso affermativo, analizzi se si può determinare il periodo di questo moto e quale sarebbe il suo valore. (2 punti) Il moto del sistema sarà periodico e il suo periodo sarà il tempo che la massa $m_{2}$ impiega a tornare alla sua posizione iniziale più il tempo che la massa $m_{1}$ impiega a tornare alla sua posizione iniziale. Sebbene possiamo calcolare il tempo che la massa $m_{2}$ impiega a tornare alla sua posizione iniziale, non possiamo fare lo stesso con la massa $m_{1}$ poiché l’espressione che conosciamo per il periodo del pendolo è valida per piccole ampiezze e questo non è il caso che ci è stato posto. Pertanto, con le conoscenze che hanno gli studenti non è possibile calcolare il periodo del sistema.

Sappiamo che l’equazione del moto di un pendolo matematico, costituito da una corda di lunghezza $l$ (di massa trascurabile) alla quale è sospeso un punto materiale di massa $m$ è:

$m l \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - m g sin (θ) ⟹ \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l} sin (θ)$

Questa equazione differenziale non ha soluzione analitica, ma se approssimiamo per piccole oscillazioni

$θ ≪ 1 ⟹ sin (θ) \approx θ$

Allora l’equazione diventa:

$\frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l} θ$

che è quella di un oscillatore armonico il cui periodo è

$T_{0} = 2 π \frac{l}{g}$

Si può approssimare una soluzione per ampiezze maggiori di $θ$ e per questo caso generale il valore del periodo $T$ è

$T = T_{0} \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{( 2 n )!}{2 ^{2 n} ( n ! ) ^{2}})^{2} sin^{2 n} (\frac{θ}{2})$

Se utilizziamo questa espressione per il nostro problema ( $θ = π /2$ ) e prendiamo i primi 85 termini della sommatoria, per ragioni di limitazioni di calcolo, il periodo risulta

$T = T_{0} 1, 18034 = 1, 48326 s$

Pertanto, il periodo del nostro sistema sarebbe approssimativamente $t = t_{1} + T /2 = 10, 74163$ s.

Problema Sperimentale Foglio delle risposte. Prima Parte

Quesito

Punteggio a) Vedi Tabella 1.I 10 punti b) Vedi Tabella 1.II e Figura 1.1 2 punti c) Vedi Tabella 1.II e Figura 1.2 2 punti d) $e = (0, 54 \pm 0, 05)$ 1 punto

Seconda Parte Quesito

Punteggio e) Vedi Tabella 2.I 1,5 punti f) $h_{0} = (2, 20 \pm 0, 03)$ m 0,5 punti g) Vedi Figura 2.1 1,5 punti h) $e = (0, 603 \pm 0, 003)$

$g = (9, 9 \pm 0, 6) m s^{- 2}$ 1,5 punti Prima Parte.

Tabella 1.I: Misurazioni dei tempi $t_{0}$ e $t_{1}$ per diverse altezze $h_{0}$ . $h_{0}$ [cm] $\pm 3$ cm 220 188 179 148 118

L’incertezza di $h_{0}$ è stata presa come il raggio della pallina utilizzata nelle misurazioni. $\overset{ˉ}{t}$ [s] e $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] sono il tempo medio e la sua incertezza, rispettivamente, dei tempi $t_{0}$ e $t_{1}$ . L’incertezza $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] è stata presa come l’incertezza delle misurazioni dato che la deviazione standard della media è minore di tale incertezza, salvo per le misurazioni di $t_{1}$ corrispondenti a un’altezza di 220 cm.

pendolo e massa su molla orizzontale

Figure

p.9 — altezza vs tempo rimbalzi successivi

p.25 — grafico $t_{0}^{- 2}$ in funzione di $h_{0}$

p.26 — grafico $t_{1}^{- 2}$ in funzione di $h_{0}$

p.27 — grafico $ln (Δ t_{n})$ in funzione di $n$

Problem 3: A girl sets up the device shown in the figure. It consists of a pendulum made of a point mass $m_{1}$ suspended from a thread of negligible mass and length $l_{0}$ . The pendulum is released with the thread in a horizontal position, and when the mass reaches the bottom of its trajectory it collides elastically with another body $m_{2}$ . The body $m_{2}$ slides a distance $d$ on the horizontal frictionless surface until it hits a spring with spring constant $k$ , which it compresses until it stops. Then the spring expands, causing the body to return to where the pendulum is. Data: $m_{1} = m_{2} = 5$ kg; $l_{0} = 5$ m; $d = 50$ m; $k = 125$ N/m and $g = 10 m/s^{2}$ .

a) Describe qualitatively what the motion of the bodies that make up the system will be. (1 points)

The pendulum with mass $m_{1}$ descends performing circular motion. When it reaches its lowest point it collides with mass $m_{2}$ which is at rest. Since the collision is elastic, and both masses are equal, they will exchange their velocities and therefore mass $m_{1}$ will remain at rest and mass $m_{2}$ will begin to move with the velocity that mass $m_{1}$ had at the lowest point of its motion. Since there is no friction, mass $m_{2}$ will have uniform rectilinear motion until it comes into contact with the spring. Mass $m_{2}$ will compress the spring until it stops and then, due to the force exerted on it by the spring, it will begin to move in the opposite direction to the one it had. Since energy is conserved, it will detach from the spring with a velocity of equal magnitude, but in the opposite direction to the one it initially had. Once again it will travel the distance $d$ with uniform rectilinear motion until it collides again with mass $m_{1}$ , once again exchanging velocities. Mass $m_{2}$ will remain at rest and mass $m_{1}$ , since energy is conserved, will return to its initial position and everything will repeat again. Of course, all of this is valid if we neglect the friction of mass $m_{1}$ with the air and of mass $m_{2}$ with the floor.

b) Determine the velocity of the bodies after the collision. (3 points)

First we will determine the speed with which the mass $m_{1}$ reaches the lowest part of the trajectory. Since the only force that does work on this mass is weight, the mechanical energy of the system will be conserved. Therefore

$E = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g l_{0}$

Solving for it, we obtain $v_{1} = 10$ m/s.

Now we analyze the collision process. In the collision, momentum is conserved, and since it is elastic, energy is also conserved; this can be summarized in the following equations:

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$

This equation states the conservation of linear momentum of the system in the collision, where $v_{1} = 10$ m/s, $v_{2} = 0$ m/s (speeds before the collision) and $v_{1}^{'}$ and $v_{2}^{'}$ will be the speeds of masses 1 and 2 after the collision, respectively.

$v_{1} - v_{2} = - (v_{1}^{'} - v_{2}^{'})$

This equation is obtained from stating the conservation of energy of the system and is summarized by saying that in an elastic collision the relative speed of the bodies changes sign.

Solving this system of equations gives as a result $v_{1}^{'} = 0$ m/s and $v_{2}^{'} = 10$ m/s. As we can see, they have exchanged their speeds.

c) Calculate what the maximum compression of the spring will be when $m_{2}$ collides with it. (2 points)

Since there is no friction, the energy of the system is conserved, and therefore the kinetic energy of the mass $m_{2}$ will be equal to the elastic energy of the spring at its maximum compression

$E = \frac{1}{2} m v_{2}^{'2} = \frac{1}{2} K Δ x^{2}$

Solving for it, we obtain $Δ x = 2$ m.

d) Determine the time it will take $m_{2}$ to return again to the initial position.

The time it will take $m_{2}$ to return to the initial position will be the time $t_{1}$ it takes to travel the distance $d$ round trip plus the time $t_{2}$ it is in contact with the spring. Since it travels the distance $d$ round trip with the same speed magnitude, it will take the same time to go as to return.

$t_{1} = \frac{2 d}{v _{2}^{'}} = 10 s$

The mass $m_{2}$ was in contact with the spring from when it was at its natural length until it reached its maximum compression plus the time it then takes to return to its natural length; and this corresponds to half the period of the spring. Then

$t_{2} = \frac{1}{2} 2 π \frac{m}{k} = 0, 628 s$

Then the total time it takes for mass $m_{2}$ to return to its initial position is $t = t_{1} + t_{2} = 10, 628$ s.

e) State whether the motion of this system will be periodic and, if so, analyze whether the period of this motion can be determined and what its value would be. (2 points) The motion of the system will be periodic and its period will be the time it takes for mass $m_{2}$ to return to its initial position plus the time it takes for mass $m_{1}$ to return to its initial position. Although we can calculate the time it takes for mass $m_{2}$ to return to its initial position, we cannot do the same for mass $m_{1}$ because the expression we know for the period of the pendulum is valid for small amplitudes and this is not the case presented to us. Therefore, with the knowledge the students have, it is not possible to calculate the period of the system.

We know that the equation of motion of a mathematical pendulum, assembled with a string of length $l$ (of negligible mass) from which a point mass of mass $m$ is suspended is:

$m l \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - m g sin (θ) ⟹ \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l} sin (θ)$

This differential equation has no analytical solution, but if we approximate for small oscillations

$θ ≪ 1 ⟹ sin (θ) \approx θ$

Then the equation becomes:

$\frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l} θ$

which is that of a harmonic oscillator whose period is

$T_{0} = 2 π \frac{l}{g}$

A solution can be approximated for amplitudes greater than $θ$ and for this general case the value of the period $T$ is

$T = T_{0} \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{( 2 n )!}{2 ^{2 n} ( n ! ) ^{2}})^{2} sin^{2 n} (\frac{θ}{2})$

If we use this expression for our problem ( $θ = π /2$ ) and take the first 85 terms of the summation, for computational limitations, the period is

$T = T_{0} 1, 18034 = 1, 48326 s$

Therefore, the period of our system would be approximately $t = t_{1} + T /2 = 10, 74163$ s.

Experimental Problem Answer sheet. First Part

Item

Score a) See Table 1.I 10 pts b) See Table 1.II and Figure 1.1 2 pts c) See Table 1.II and Figure 1.2 2 pts d) $e = (0, 54 \pm 0, 05)$ 1 pt

Second Part Item

Score e) See Table 2.I 1.5 pts f) $h_{0} = (2, 20 \pm 0, 03)$ m 0.5 pts g) See Figure 2.1 1.5 pts h) $e = (0, 603 \pm 0, 003)$

$g = (9, 9 \pm 0, 6) m s^{- 2}$ 1.5 pts First Part.

Table 1.I: Measurements of times $t_{0}$ and $t_{1}$ for different heights $h_{0}$ . $h_{0}$ [cm] $\pm 3$ cm 220 188 179 148 118

$t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s 1 0.70 1.59 0.61 1.45 0.51 1.43 0.50 1.30 0.50 1.18 2 0.67 1.61 0.63 1.56 0.64 1.49 0.59 1.32 0.52 1.28 3 0.67 1.60 0.59 1.47 0.55 1.51 0.57 1.42 0.54 1.21 4 0.61 1.66 0.63 1.55 0.63 1.55 0.59 1.38 0.42 1.21 5 0.68 1.43 0.63 1.45 0.63 1.42 0.58 1.32 0.50 1.25 6 0.71 1.44 0.57 1.51 0.64 1.39 0.53 1.30 0.50 1.23 7 0.61 1.70 0.59 1.50 0.60 1.50 0.55 1.33 0.41 1.22 8 0.65 1.48 0.67 1.46 0.62 1.44 0.48 1.38 0.43 1.25 9 0.61 1.51 0.63 1.41 0.55 1.47 0.56 1.36 0.42 1.19 10 0.65 1.52 0.65 1.53 0.57 1.44 0.56 1.33 0.43 1.24 $\overset{ˉ}{t}$ [s] 0.66 1.55 0.62 1.49 0.59 1.46 0.55 1.34 0.47 1.23 $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] 0.05 0.09 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05

The uncertainty of $h_{0}$ was taken as the radius of the ball used in the measurements. $\overset{ˉ}{t}$ [s] and $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] are the mean time and its uncertainty, respectively, of the times $t_{0}$ and $t_{1}$ . The uncertainty $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] was taken as the uncertainty of the measurements since the standard deviation of the mean is smaller than said uncertainty, except for the measurements of $t_{1}$ corresponding to a height of 220 cm.

pendulum and mass on a horizontal spring

Figure

p.9 — height vs time successive bounces

p.25 — graph of $t_{0}^{- 2}$ as a function of $h_{0}$

p.26 — graph of $t_{1}^{- 2}$ as a function of $h_{0}$

p.27 — graph of $ln (Δ t_{n})$ as a function of $n$

Raccolta Gare di Fisica

Esplora

Argentina 2020

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Vista grafico

Indice