Argent 2020

Problema 1 Se dispara un proyectil con un cañón hacia la muralla de una ciudad que está ubicada a 5 km de donde está emplazado el cañón. Los proyectiles salen de la boca del cañón con una velocidad de 200 m/s y formando un ángulo de $3 0^{\circ}$ con la horizontal. Suponiendo que el módulo de la aceleración de la gravedad es igual a $10 m/s^{2}$ y despreciando la altura de la boca del cañón: a) Determine las componentes verticales y horizontales de la aceleración, velocidad y posición del proyectil desde que es disparado hasta que impacte. b) Realice todos los cálculos necesarios para demostrar que los proyectiles no llegan a impactar en la muralla.

Para lograr el objetivo de derribar la muralla se coloca al cañón sobre un vehículo que se desplaza en la dirección horizontal con una velocidad $v_{x}$ . Se dispara el cañón exactamente cuando su separación de la muralla es de 5 km. c) Determine ahora cuáles son las componentes verticales y horizontales de la aceleración, velocidad y posición para el proyectil. d) Calcule cuál debe ser la velocidad $v_{x}$ del vehículo para que los proyectiles impacten en la muralla.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il problema 1 Si spara un proiettile con un cannone verso il muro di una città che è situata a 5 A chilometri da dove si trova il cannone. I proiettili usciranno dalla bocca del cannone con una velocità di 200 m/s e formando un angolo di $3 0^{\circ}$ con la linea orizzontale. Supponendo che il modulo di accelerazione della gravità è uguale a $10 m/s^{2}$ e disprezzando l’altezza di la bocca del cannone: a) Determina i componenti verticali e orizzontali dell’accelerazione, della velocità e la posizione del proiettile dal momento in cui viene sparato fino all’impatto. b) Facciamo tutti i calcoli necessari per dimostrare che i proiettili non sono arrivano a colpire il muro.

Per raggiungere l’obiettivo di abbattere il muro si colloca il cannone su un veicolo che si si muove in direzione orizzontale a velocità $v_{x}$ . Il cannone viene sparato Esattamente quando la loro separazione dal muro è di 5 km. c) Determina ora quali sono i componenti verticali e orizzontali della Accelerazione, velocità e posizione del proiettile. d) Calcolare la velocità $v_{x}$ del veicolo per permettere ai proiettili di Colpisci il muro.

The problem is 1 A projectile is fired from a cannon into the wall of a city that is located 5 Miles from where the cannon is located. The projectiles come out of the cannon’s mouth with a speed of 200 m/s and forming an angle of $3 0^{\circ}$ with the horizontal. Assuming that The acceleration module of gravity is $10 m/s^{2}$ and the height of the the mouth of the canyon: (a) Determine the vertical and horizontal components of acceleration, speed and the position of the projectile from the time it is fired until it hits. (b) Make all the necessary calculations to demonstrate that the projectiles are not They hit the wall.

To achieve the goal of knocking down the wall the cannon is placed on a vehicle that is It moves in the horizontal direction at a speed $v_{x}$ . The cannon is fired. Exactly when their separation from the wall is 5 km. (c) Determine now which are the vertical and horizontal components of the Acceleration, speed and position for the projectile. (d) Calculate the vehicle speed $v_{x}$ to allow projectiles to be fired at the ground. Hit the wall.

Problema 2 Una persona, de 1,80 m de altura y 100 kg de masa, se deja caer al cauce de un río desde una plataforma ubicada a 50 m de altura. Sus pies están unidos al extremo de un resorte de 35 m de longitud natural y constante elástica $k = 500$ N/m. El otro extremo del resorte está firmemente atado a la plataforma. Despreciando el rozamiento con el aire y suponiendo $g = 10 m/s^{2}$ . a) Calcule a qué distancia de plataforma está la posición de equilibrio estático del hombre. b) Determine la máxima velocidad que alcanza el hombre en la caída. c) Calcule el máximo estiramiento del resorte. d) Determine si el hombre se moja haciendo todos los cálculos que sean necesarios.

persona che salta in un fiume

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Energy Conservation Method, Hooke’s Law, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 2 Una persona, alta 1,80 m e di massa di 100 kg, si lascia cadere nel canale di un fiume da una piattaforma a 50 metri di altezza. I suoi piedi sono legati all’estremità di un una resorte di 35 m di lunghezza naturale e costante elastica $k = 500$ N/m. L’altra estremità del la primavera è saldamente legata alla piattaforma. Sprezzando il ruggine con l’aria e supponendo $g = 10 m/s^{2}$ . a) Calcolare la distanza da piattaforma è la posizione di equilibrio statico del

Non è vero. b) Determina la velocità massima che colpisce l’uomo nel cadere. c) Calcolare la massima estensione del Primavera. d) Determina se l’uomo si bagna facendo tutti i calcoli che sono necessaria.

persona che salta in fiume

Problem 2 A person, 6 feet tall and weighing 100 pounds, falls into a riverbed from a platform located at 50 m. His feet are tied to the end of a a spring of 35 m natural length and constant elasticity $k = 500$ N/m. The other end of the spring is tightly tied to the platform. By despising the air-crushing and assuming $g = 10 m/s^{2}$ . (a) Calculate platform distance is the static equilibrium position of the

What? (b) Determine the maximum speed that It hits the man in the fall. (c) Calculate the maximum stretch of the spring. (d) Determine whether the man is wet I’m doing all the calculations that are The Commission’s proposal for a directive on the protection of workers’ rights

person who jumps in a river

Problema 3 Una niña arma el dispositivo que se muestra en la figura. Este está compuesto por un péndulo formado por una masa puntual $m_{1}$ la cual está suspendida de un hilo de masa despreciable y longitud $l_{0}$ . El péndulo se libera con el hilo en posición horizontal y cuando la masa llega a la parte inferior de su trayectoria choca elásticamente con otro cuerpo $m_{2}$ . El cuerpo $m_{2}$ desliza una distancia $d$ sobre la superficie horizontal sin rozamiento hasta impactar con un resorte de constante elástica $k$ al cual comprime hasta detenerse. Luego el resorte se expande haciendo que el cuerpo regrese hacia donde está el péndulo. a) Describa cualitativamente cuál será el movimiento de los cuerpos que componen el sistema.

B. Determine la velocidad de los cuerpos luego del choque.
C. Calcule cuál será la máxima compresión del resorte cuando $m_{2}$ choque con él.
D. Determine el tiempo que demorará $m_{2}$ volver nuevamente a la posición inicial.
E. Diga si el movimiento de este sistema será periódico y en caso afirmativo analice si se puede determinar el periodo de este movimiento y cuál sería su valor.

Datos: $m_{1} = m_{2} = 5$ kg; $l_{0} = 5$ m; $d = 50$ m; $k = 125$ N/m y $g = 10 m/s^{2}$ .

Caída libre y rebotes

Primera Parte Introducción Cuando una pelota rebota sobre una superficie rígida, la componente de la velocidad perpendicular a la superficie invierte su sentido y disminuye su valor, mientras que la componente paralela se mantiene constante. Es decir, si la velocidad de la pelota antes del choque es $v$ y luego del choque es $u$ ,

$u_{x} = v_{x} (1)$

$u_{y} = - e v_{y} (2)$

Donde $e$ es el coeficiente de restitución con $0 < e < 1$ .

Si una pelota se deja caer desde una altura $h_{0}$ , en los sucesivos rebotes pierde energía y alcanza alturas cada vez menores hasta que eventualmente se detiene como se observa en la figura 1.

Figura 1: Rebotes sucesivos de una pelota que cae desde una altura $h_{0}$ .

Escribiendo la ecuación de movimiento para la pelota se puede encontrar que

$t_{0} = \frac{2 h _{0}}{g} (3)$

$t_{1} = (1 + 2 e) \frac{2 h _{0}}{g} (4)$

Donde $g$ es la aceleración de la gravedad. Objetivo

Determinar el coeficiente de restitución de una pelota.

Materiales

Pelota
Cronómetro
Cinta métrica

Procedimiento a) Mida el tiempo $t_{0}$ y $t_{1}$ cuando la pelota se deja caer desde una altura $h_{0}$ . Repita las mediciones 10 veces para 5 alturas $h_{0}$ distintas. Determine el valor de $h_{0}$ utilizados en las mediciones. b) Grafique $t_{0}^{2}$ en función de $h_{0}$ y realice un ajuste lineal de los puntos. c) Grafique $t_{1}^{2}$ en función de $h_{0}$ y realice un ajuste lineal de los puntos. d) A partir de la ecuación (3) y (4) y de los ajustes realizados, determine el valor de $e$ .

Segunda Parte: Uso de un cronómetro acústico (Aplicación gratuita phyphox para teléfonos celulares).

Introducción Se puede demostrar que el tiempo $Δ t_{n} = t_{n} - t_{n - 1}$ que la pelota pasa en el aire entre dos rebotes sucesivos es

$Δ t_{n} = 2 t_{0} e^{n} (5)$

Donde $t_{0}$ está dado por la ecuación (3) y $n$ es el número de rebotes.

Tomando logaritmo natural en ambos miembros de la ecuación (5) se obtiene que

$ln (Δ t_{n}) = n ln (e) + ln (2 t_{0}) (6)$

Entonces eligiendo como variables a $y = ln (Δ t_{n})$ y a $x = n$ se obtiene una relación lineal entre estas variables.

Objetivo

Determinar el coeficiente de restitución de una pelota y la aceleración de la gravedad

Materiales

Pelota
Cronómetro acústico (Aplicación phyphox)
Cinta métrica

Procedimiento e) Deje caer una pelota desde una altura $h_{0}$ y mida el tiempo entre rebotes sucesivos. Para ello utilice la opción Temporizadores > Cronómetro acústico > Secuencia de la aplicación phyphox. f) Determine la altura $h_{0}$ utilizada en la medición. g) Realice un gráfico de la variable $y$ en función de la variable $x$ propuesta. Realice un ajuste lineal. h) A partir de la pendiente y de la ordenada al origen obtenidas del ajuste, determine el valor de $g$ y de $e$ .

Nota El error de $y = ln (Δ t_{n})$ puede determinarse como $σ_{y} = \frac{σ _{Δ t_{n}}}{Δ t _{n}}$ donde $σ_{Δ t_{n}}$ es el error de $Δ t_{n}$ .

Problema Teórico 1 Hoja de Respuesta Inciso

Puntaje a) $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α)$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = v_{0} cos (α) t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$ Donde $g = 10 m/s^{2}$ , $v_{0} = 200$ m/s y $α = 3 0^{\circ}$ 2 b) $d = x (t_{f}) = v_{0} cos (α) t_{f} = 3464, 1 m < 5000 m$ De esta manera se verifica que los proyectiles no llegan hasta la muralla. 2 c) $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α) + v_{x}$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = [v_{0} cos (α) + v_{x}] t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$ Donde los valores de las constantes son las mismas que las especificadas en el ítem a). 3 d) $v_{x} = \frac{5000 m}{t _{f 2}} - v_{0} cos (α) = 76, 795 m/s$ 3

pendolo e massa su molla orizzontale

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Pendulum, Spring, Block, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 3 Una bambina arma il dispositivo che viene mostrato nella figura. Questo è composto da un pendolo formato da una massa puntante $m_{1}$ che è sospesa da un filo di massa scarsa e lunga $l_{0}$ . Il pendolo si libera con il filo in posizione orizzontale e quando la massa raggiunge la parte inferiore del suo percorso colpisce elasticamente con un altro corpo $m_{2}$ . Il corpo $m_{2}$ scivola una distanza $d$ sulla superficie orizzontale senza rottura fino a colpisce con una sorgente di costante elastica $k$ che si comprime fino a che si ferma. Poi la primavera si espandono facendo tornare il corpo verso il pendolo. a) Descriva qualitativamente il movimento dei corpi che li compongono il sistema.

B. Determina la velocità dei corpi dopo l’impatto.
C. Calcola la massima compressione della sorgente quando $m_{2}$ colpisce.
D. Determina quanto tempo ci vorrà per $m_{2}$ tornare alla posizione iniziale.
E. Indicare se il movimento di questo sistema sarà periodico e, se è così, analizzare se si può determinare il periodo di tale movimento e quale sarebbe il suo valore.

Data: $m_{1} = m_{2} = 5$ kg; $l_{0} = 5$ m; $d = 50$ m; $k = 125$ N/m e $g = 10 m/s^{2}$ .

Caduta libera e rimbalzi

Parte I Introduzione Quando una palla rimbalza su una superficie rigida, la componente di velocità Perpendicolare alla superficie inverte il senso e diminuisce il valore, mentre la superficie la componente parallela è costante. Cioè, se la velocità del pallone prima di colpo è $v$ e dopo il colpo è $u$ ,

$u_{x} = v_{x} (1)$

$u_{y} = - e v_{y} (2)$

Donde $e$ es el coeficiente de restitución con $0 < e < 1$ .

Se un pallone cade da un’altezza $h_{0}$ , nei successivi rimbalzi perde energia e raggiunge altezze sempre più piccole fino a quando si ferma come si osserva in figura 1.

Figura 1: Sostenute rinfrescazioni di una palla che cade da un’altezza $h_{0}$ .

Scrivendo l’equazione di movimento per la palla si può trovare che

$t_{0} = \frac{2 h _{0}}{g} (3)$

$t_{1} = (1 + 2 e) \frac{2 h _{0}}{g} (4)$

Dove $g$ è l’accelerazione della gravità. Obiettivo

Determinare il coefficiente di restituzione di una palla.

Materiali

Palla
Cronometro
Cintura metrica

Procedura a) Misurare il tempo $t_{0}$ y $t_{1}$ quando la palla viene lasciata cadere da un’altezza $h_{0}$ . Ripeta le misure 10 volte per 5 altezze $h_{0}$ diversi. Determina il valore di $h_{0}$ utilizzati nelle misurazioni. b) Grafico $t_{0}^{2}$ in funzione del $h_{0}$ e eseguire un regolazione lineare dei punti. c) Grafico $t_{1}^{2}$ in funzione del $h_{0}$ e eseguire un regolazione lineare dei punti. d) Sulla base delle equazioni (3) e (4) e degli aggiustamenti effettuati, determinare il valore de $e$ .

Parte II: Uso di un cronometro acustico (Applicazione gratuita di phyphox per Telefoni cellulari).

Introduzione Si può dimostrare che il tempo $Δ t_{n} = t_{n} - t_{n - 1}$ che la palla passa in aria tra due rebot successivi è

$Δ t_{n} = 2 t_{0} e^{n} (5)$

Dove $t_{0}$ è dato dall’equazione (3) e $n$ è il numero di rimbalzi.

Prendendo logaritmo naturale su entrambi i membri dell’equazione (5) si ottiene che

$ln (Δ t_{n}) = n ln (e) + ln (2 t_{0}) (6)$

Quindi scegliendo come variabili $y = ln (Δ t_{n})$ e $x = n$ si ottiene un rapporto lineare tra queste variabili.

Obiettivo

Determinare il coefficiente di restituzione di una palla e l’accelerazione della palla gravità

Materiali

Palla
Cronometro acustico (applicazione phyphox)
Cintura metrica

Procedura e) Lasciare cadere una palla da un’altezza $h_{0}$ e misurare il tempo tra i successivi rimbalzi. Per questo, utilizzare Temporatori > Cronometro acustico > Sequenza della Applicazione di phyphox. f) Determina l’altezza $h_{0}$ utilizzato nella misurazione. g) Rendi un grafico della variabile $y$ in base alla variabile $x$ proposta. Fate una regolazione lineare. h) A partire dalla pendenza e dall’ordinazione all’origine ottenuta dall’adeguamento, Valore di $g$ e di $e$ .

Nota L’errore di $y = ln (Δ t_{n})$ può essere determinato come $σ_{y} = \frac{σ _{Δ t_{n}}}{Δ t _{n}}$ dove $σ_{Δ t_{n}}$ è l’errore di $Δ t_{n}$ .

Problema teorico 1 Pagina di risposta Inciso

Punteggio a) $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α)$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = v_{0} cos (α) t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$ In cui $g = 10 m/s^{2}$ , $v_{0} = 200$ m/s e $α = 3 0^{\circ}$ 2 b) $d = x (t_{f}) = v_{0} cos (α) t_{f} = 3464, 1 m < 5000 m$ In questo modo si verifica che i proiettili non raggiungano la

Il muro. 2 c) $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α) + v_{x}$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = [v_{0} cos (α) + v_{x}] t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$ Dove i valori delle costanti sono gli stessi dei specificate all’articolo a). 3 d) $v_{x} = \frac{5000 m}{t _{f 2}} - v_{0} cos (α) = 76, 795 m/s$ 3

pendolo e massa sua molla orizzontale

The problem is 3 A girl arms the device shown in the figure. This one is made up of a a pendulum consisting of a point mass $m_{1}$ which is suspended from a mass thread despreciable y longitud $l_{0}$ . The pendulum is released with the thread in a horizontal position and when The mass reaches the bottom of its path and collides elastically with another body $m_{2}$ . The body $m_{2}$ slides a distance $d$ over the horizontal surface without rubbing until impact with a constant elastic spring $k$ which compresses to a stop. Then The spring expands, causing the body to return to where the pendulum is. (a) Qualitatively describe the movement of the bodies that make up the the system.

B. Determine la velocidad de los cuerpos luego del choque.
C. Calculate the maximum spring compression when $m_{2}$ collides with it.
D. Determine el tiempo que demorará $m_{2}$ volver nuevamente a la posición inicial.
E. Tell if the movement of this system will be periodic and if so, analyze whether the period of this movement can be determined and its value.

The data set is the following: $m_{1} = m_{2} = 5$ kg; $l_{0} = 5$ m; $d = 50$ m; $k = 125$ N/m and $g = 10 m/s^{2}$ .

Free fall and bounce

Part one The following is the list of the countries of the European Union: When a ball bounces over a rigid surface, the speed component Perpendicular to the surface reverses its meaning and decreases its value, while the The parallel component is kept constant. That is, if the speed of the ball before the impact is $v$ and after the impact is $u$ ,

$u_{x} = v_{x} (1)$

$u_{y} = - e v_{y} (2)$

Where $e$ is the restitution coefficient with $0 < e < 1$ .

If a ball is dropped from a height $h_{0}$ , in successive bouts loses energy and It reaches ever-shorter heights until it eventually stops as seen. in Figure 1.

Figure 1: Successive bouncing of a ball falling from a height $h_{0}$ .

By writing the motion equation for the ball you can find that

$t_{0} = \frac{2 h _{0}}{g} (3)$

$t_{1} = (1 + 2 e) \frac{2 h _{0}}{g} (4)$

Where $g$ is the acceleration of gravity. Objective

Determine the return coefficient of a ball.

Other materials

Ball .
The time-meter
The tape measure

The procedure (a) Measure the time $t_{0}$ y $t_{1}$ when the ball is dropped from a height $h_{0}$ . Repeat that The measurements are 10 times for 5 heights $h_{0}$ distintas. Determine the value of $h_{0}$ used in measurements. (b) Graphic $t_{0}^{2}$ depending on the $h_{0}$ and make a linear adjustment of the points. (c) Graphic $t_{1}^{2}$ depending on the $h_{0}$ and make a linear adjustment of the points. (d) From equation (3) and (4) and adjustments made, determine the value de $e$ .

Part Two: Use of an acoustic chronometer (Free phyphox app for cell phones).

The following is the list of the countries of the European Union: It can be shown that time $Δ t_{n} = t_{n} - t_{n - 1}$ that the ball passes through the air between two successive bounces is

$Δ t_{n} = 2 t_{0} e^{n} (5)$

Where $t_{0}$ is given by equation (3) and $n$ is the number of bounces.

Taking natural logarithms on both sides of the equation (5) we get that

$ln (Δ t_{n}) = n ln (e) + ln (2 t_{0}) (6)$

Then by choosing as variables $y = ln (Δ t_{n})$ and $x = n$ you get a linear relationship between these variables.

Objective

Determine the return coefficient of a ball and the acceleration of the ball gravity

Other materials

Ball .
Acoustic chronometer (phyphox application)
The tape measure

The procedure (e) Drop a ball from a height $h_{0}$ and measure the time between successive bounces. For this, use the option Timers > Acoustic Chronometer > Sequence of the The application is phyphox. (f) Determine the height $h_{0}$ used in the measurement. (g) Draw a graph of the $y$ variable based on the proposed $x$ variable. Make one linear adjustment. (h) From the slope and the ordering to the origin obtained from the adjustment, determine the The value of $g$ and $e$ .

Note to the press The $y = ln (Δ t_{n})$ error can be determined as $σ_{y} = \frac{σ _{Δ t_{n}}}{Δ t _{n}}$ where $σ_{Δ t_{n}}$ is the error of $Δ t_{n}$ .

Theoretical problem 1 Answering sheet Incise

Score a) $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α)$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = v_{0} cos (α) t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$ Where $g = 10 m/s^{2}$ , $v_{0} = 200$ m/s and $α = 3 0^{\circ}$ 2 b) $d = x (t_{f}) = v_{0} cos (α) t_{f} = 3464, 1 m < 5000 m$ This ensures that the projectiles do not reach the wall. 2 c) $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α) + v_{x}$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = [v_{0} cos (α) + v_{x}] t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$ Where the values of the constants are the same as the values of the specified in item (a). 3 d) $v_{x} = \frac{5000 m}{t _{f 2}} - v_{0} cos (α) = 76, 795 m/s$ 3

pendol and mass its horizontal spring

Problema 1: Se dispara un proyectil con un cañón hacia la muralla de una ciudad que está ubicada a 5 km de donde está emplazado el cañón. Los proyectiles salen de la boca del cañón con una velocidad de 200 m/s y formando un ángulo de $3 0^{\circ}$ con la horizontal. Suponiendo que el módulo de la aceleración de la gravedad es igual a $10 m/s^{2}$ y despreciando la altura de la boca del cañón:

a) Determine las componentes verticales y horizontales de la aceleración, velocidad y posición del proyectil desde que es disparado hasta que impacte. (2 puntos)

Teniendo en cuenta el sistema de coordenadas elegido las componentes de los vectores son:

$a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α)$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = v_{0} cos (α) t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$

Donde $g = 10 m/s^{2}$ , $v_{0} = 200$ m/s y $α = 3 0^{\circ}$

b) Realice todos los cálculos necesarios para demostrar que los proyectiles no llegan a impactar en la muralla. (2 puntos)

Para verificar esto calcularemos el alcance del proyectil. Primero determinaremos el tiempo de vuelo ( $t_{f}$ ) y luego la distancia a la que cae ( $d = x (t_{f})$ )

$y (t_{f}) = - \frac{g}{2} t_{f}^{2} + v_{0} sin (α) t_{f} = 0 m$

Las soluciones de esta ecuación son $t_{1} = 0$ s y $t_{2} = 20$ s, por lo tanto $t_{f} = 20$ s

entonces

$d = x (t_{f}) = v_{0} cos (α) t_{f} = 3464, 1 m < 5000 m$

De esta manera se verifica que los proyectiles no llegan hasta la muralla.

c) Determine ahora cuáles son las componentes verticales y horizontales de la aceleración, velocidad y posición para el proyectil. (3 puntos)

Las componentes son las mismas que antes salvo que a la componente x de la velocidad inicial se le adiciona la velocidad $v_{x}$ del vehículo, por lo tanto $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α) + v_{x}$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = [v_{0} cos (α) + v_{x}] t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$

Donde los valores de las constantes son las mismas que las especificadas en el ítem a).

d) Calcule cuál debe ser la velocidad $v_{x}$ del vehículo para que los proyectiles impacten en la muralla. (3 puntos)

Para esto pediremos que el alcance de los proyectiles sea 5000 m, es decir que se debe cumplir que para el tiempo final, que denominaremos $t_{f 2}$ , $x (t_{f 2}) = 5000$ m y que $y (t_{f 2}) = 0$ m. La segunda ecuación es idéntica a la que resolvimos en el ítem b), por lo tanto el tiempo de vuelo será $t_{f 2} = 20$ s. Despejando de la primera ecuación $v_{x}$ obtenemos:

$v_{x} = \frac{5000 m}{t _{f 2}} - v_{0} cos (α) = 76, 795 m/s$

Problema Teórico 2 Hoja de Respuesta Inciso

Puntaje a) $x_{e} = \frac{m g}{k} + l_{0} = 37$ m

3 b) $v_{m} = 26, 833$ m/s 3 c) El máximo estiramiento del resorte es 49 m. 2 d) Sí se moja

sistema di riferimento e muraglia città

Problema 1: un proiettile viene lanciato con un cannone verso il muro di una città che è situata a 5 A chilometri da dove si trova il cannone. I proiettili usciranno dalla bocca del cannone con una velocità di 200 m/s e formando un angolo di $3 0^{\circ}$ con la linea orizzontale. Supponendo che il modulo di accelerazione La gravità è uguale a $10 m/s^{2}$ e disprezzando l’altezza della bocca del cannone:

a) Determina le componenti verticali e orizzontali dell’accelerazione, della velocità e della posizione del veicolo proiettile dal momento in cui viene sparato fino all’impatto. (2 punti)

Tenendo conto del sistema di coordinate scelto, i componenti dei vettori sono:

$a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α)$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = v_{0} cos (α) t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$

In cui $g = 10 m/s^{2}$ , $v_{0} = 200$ m/s e $α = 3 0^{\circ}$

b) Facciamo tutti i calcoli necessari per dimostrare che i proiettili non hanno un impatto sulla

Il muro. (2 punti)

Per verificare questo, calcoliamo la portata del proiettile. Prima di tutto, determineremo il tempo di volo ( $t_{f}$ ) e poi la distanza alla quale cade ( $d = x (t_{f})$ )

$y (t_{f}) = - \frac{g}{2} t_{f}^{2} + v_{0} sin (α) t_{f} = 0 m$

Le soluzioni di questa equazione sono $t_{1} = 0$ s e $t_{2} = 20$ s, quindi $t_{f} = 20$ s

Allora

$d = x (t_{f}) = v_{0} cos (α) t_{f} = 3464, 1 m < 5000 m$

In questo modo si verifica che i proiettili non raggiungano il muro.

Per raggiungere l’obiettivo di abbattere il muro si colloca il cannone su un veicolo che si muove in la direzione orizzontale con velocità $v_{x}$ . Il cannone viene sparato esattamente quando la sua separazione da Il muro è di 5 km.

c) Determina ora quali sono i componenti verticali e orizzontali dell’accelerazione, della velocità e della velocità posizione per il proiettile. (3 punti)

I componenti sono gli stessi che prima, tranne che il componente x della velocità iniziale è stato aggiunge la velocità $v_{x}$ del veicolo, quindi $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α) + v_{x}$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = [v_{0} cos (α) + v_{x}] t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$

I valori delle costanti sono gli stessi di quelli specificati nell’articolo a).

d) Calcolare la velocità $v_{x}$ del veicolo per far impattare le proiettili sul muro. (3 punti)

Per questo, chiediamo che il raggio di lancio dei proiettili sia di 5000 m, cioè che si debba rispettare che per il tempo finale, che si denominerà $t_{f 2}$ , $x (t_{f 2}) = 5000$ m e che $y (t_{f 2}) = 0$ m. La seconda equazione è identica a quella risolta nell’articolo b), quindi il tempo di volo sarà $t_{f 2} = 20$ s. Sbarazzando la prima equazione $v_{x}$ ci dà:

$v_{x} = \frac{5000 m}{t _{f 2}} - v_{0} cos (α) = 76, 795 m/s$

Problema teorico 2 Pagina di risposta Inciso

Punteggio a) $x_{e} = \frac{m g}{k} + l_{0} = 37$ m

3 b) $v_{m} = 26, 833$ m/s 3 c) La massima estensione della primavera è di 49 m. 2 d) Si bagna

sistema di riferimento e muraglia città

Problem 1: A projectile is fired from a cannon into the wall of a city that is located 5 Miles from where the cannon is located. The projectiles are coming out of the cannon’s mouth at a fast rate. of 200 m/s and forming an angle of $3 0^{\circ}$ with the horizontal. Assuming that the acceleration module The gravity is $10 m/s^{2}$ and the height of the canyon mouth is negligible:

(a) Determine the vertical and horizontal components of the acceleration, speed and position of the vehicle projectile from the moment it’s fired until it hits. (two points)

Taking into account the chosen coordinate system, the components of the vectors are:

$a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α)$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = v_{0} cos (α) t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$

Where $g = 10 m/s^{2}$ , $v_{0} = 200$ m/s and $α = 3 0^{\circ}$

(b) Make all the necessary calculations to demonstrate that the projectiles do not impact the wall. (two points)

To verify this, we’ll calculate the range of the projectile. First we will determine the flight time ( $t_{f}$ ) and then the distance to which it falls ( $d = x (t_{f})$ )

$y (t_{f}) = - \frac{g}{2} t_{f}^{2} + v_{0} sin (α) t_{f} = 0 m$

The solutions to this equation are $t_{1} = 0$ s and $t_{2} = 20$ s, hence $t_{f} = 20$ s

Then

$d = x (t_{f}) = v_{0} cos (α) t_{f} = 3464, 1 m < 5000 m$

This way it’s verified that the projectiles don’t reach the wall.

To achieve the goal of breaking down the wall the cannon is placed on a vehicle moving in a the horizontal direction at a speed $v_{x}$ . The cannon is fired exactly when its separation from the The wall is five kilometers.

(c) Determine now what are the vertical and horizontal components of acceleration, speed and position for the projectile. (three points)

The components are the same as before except that the x component of the initial velocity is given by the Add the vehicle speed $v_{x}$ , therefore $a_{x} (t) = 0 m/s^{2}$ , $a_{y} (t) = - g$ $v_{x} (t) = v_{0} cos (α) + v_{x}$ , $v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$ $x (t) = [v_{0} cos (α) + v_{x}] t$ , $y (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} sin (α) t$

Where the values of the constants are the same as those specified in item a).

(d) Calculate the vehicle speed $v_{x}$ for the projectiles to impact the wall. (3 points)

We will ask that the range of the missiles be 5000 m, which means that it must be complied with that for the end time, which we shall call $t_{f 2}$ , $x (t_{f 2}) = 5000$ m and which $y (t_{f 2}) = 0$ m. The second equation is identical to that we resolved in item b), therefore the flight time will be $t_{f 2} = 20$ s. Clearing of The first equation $v_{x}$ gives us:

$v_{x} = \frac{5000 m}{t _{f 2}} - v_{0} cos (α) = 76, 795 m/s$

Theoretical problem 2 Answering sheet Incise

Score a) $x_{e} = \frac{m g}{k} + l_{0} = 37$ m

3 b) $v_{m} = 26, 833$ m/s 3 c) The maximum stretch of the spring is 49 m. 2 d) It gets wet.

The Commission has decided to extend the scope of the programme to the following areas:

Problema 2: Una persona, de 1,80 m de altura y 100 kg de masa, se deja caer al cauce de un río desde una plataforma ubicada a 50 m de altura. Sus pies están unidos al extremo de un resorte de 35 m de longitud natural y constante elástica $k = 500$ N/m. El otro extremo del resorte está firmemente atado a la plataforma. Despreciando el rozamiento con el aire y suponiendo $g = 10 m/s^{2}$

a) Calcule a qué distancia de plataforma está la posición de equilibrio estático del hombre. (3 puntos)

Las fuerzas que actúan sobre la persona son el peso $P = m g$ , y la fuerza del resorte estirado $F_{r} = - k (x - l_{0})$ . En la posición de equilibrio $P + F_{r} = 0$

$m g - k (x_{e} - l_{0}) = 0$

con $m = 100$ kg, $k = 500$ N/m, $l_{0} = 35$ m y $g = 10 m/s^{2}$ . Resolviendo esta ecuación resulta

$x_{e} = \frac{m g}{k} + l_{0} = 37 m$

b) Determine la máxima velocidad que alcanza el hombre en la caída. (3 puntos)

La máxima velocidad la alcanza cuando pasa por la posición de equilibrio. Como las fuerzas que actúan son conservativas por lo tanto se conserva la energía mecánica del sistema. En la posición inicial, con el hombre en la plataforma, la energía cinética inicial es 0 J, la energía potencial del resorte es 0 J, pues el resorte no está estirado, y la energía potencial gravitatoria es 0 J, por el sistema de coordenadas elegido. Entonces la energía mecánica del sistema es $E = 0$ J. En la posición de equilibrio la energía del sistema es:

$E = \frac{1}{2} m v_{m}^{2} + \frac{1}{2} k (x_{e} - l_{0})^{2} - m g x_{e} = 0 J$

Despejando obtenemos $v_{m} = 26, 833$ m/s

c) Calcule el máximo estiramiento del resorte. (3 puntos)

El máximo estiramiento del resorte ocurre cuando la velocidad de la persona es 0 m/s. En esa posición la expresión de la energía mecánica es

$E = \frac{1}{2} k (x_{m} - l_{0})^{2} - m g x_{m} = 0 J$

Las soluciones a la ecuación son $x_{m 1} = 25$ m y $x_{m 2} = 49$ m. Como a los 25 m el resorte (o cuerda elástica) aún no había llegado a su longitud natural no es una solución válida para nosotros. Por lo tanto, el máximo estiramiento del resorte es 49 m.

d) Determine si el hombre se moja haciendo todos los cálculos que sean necesarios. (1 puntos)

Como la altura de la persona es de 1,80 m, el resorte atado a sus pies tiene un estiramiento final de 49 m y la distancia desde la plataforma de lanzamiento al rio es de 50 m el individuo se mojará pues se sumergirá aproximadamente 80 cm.

Problema Teórico 3 Hoja de Respuesta Inciso

Puntaje a) Explicación del movimiento periódico y los procesos que ocurren

1 b) $v_{1}^{'} = 0$ m/s y $v_{2}^{'} = 10$ m/s 3 c) $Δ x = 2$ m. 2 d) $t = 10, 628$ s 2 e) No se puede calcular 2

Il problema 2: una persona di 1,80 m di altezza e 100 kg di massa si lascia cadere nel canale di un fiume da una piattaforma a 50 metri di altezza. I suoi piedi sono legati all’estremità di una sorgente di 35 m di lunghezza naturale e costante elastico $k = 500$ N/m. L’altra estremità della primavera è saldamente legata alla piattaforma. Scommettere che il riscaldo con l’aria e supponendo $g = 10 m/s^{2}$

a) Calcolare a che distanza di piattaforma si trova la posizione di equilibrio statico dell’uomo. (3 punti)

Le forze che agiscono sulla persona sono il peso $P = m g$ e la forza della molla estesa $F_{r} = - k (x - l_{0})$ . In posizione di equilibrio $P + F_{r} = 0$

$m g - k (x_{e} - l_{0}) = 0$

con $m = 100$ kg, $k = 500$ N/m, $l_{0} = 35$ m e $g = 10 m/s^{2}$ . Risolvendo questa equazione si ottiene

$x_{e} = \frac{m g}{k} + l_{0} = 37 m$

b) Determina la velocità massima raggiunta dal uomo in caduta. (3 punti)

La velocità massima raggiunge quando passa attraverso la posizione di equilibrio. Come le forze che agiscono Le energie meccaniche del sistema sono conservate. In posizione iniziale, con L’uomo sulla piattaforma, l’energia cinetica iniziale è 0 J, l’energia potenziale della primavera è 0 J, perché La sorgente non è estesa, e l’energia potenziale gravitazionale è 0 J, per il sistema di coordinate.

E’ stato scelto. Quindi l’energia meccanica del sistema è $E = 0$ J. Nella posizione di equilibrio l’energia del sistema è:

$E = \frac{1}{2} m v_{m}^{2} + \frac{1}{2} k (x_{e} - l_{0})^{2} - m g x_{e} = 0 J$

Sgomberando otteniamo $v_{m} = 26, 833$ m/s

c) Calcolare il massimo allungamento della molla. (3 punti)

Il massimo stretto della primavera si verifica quando la velocità della persona è di 0 m/s. In quella posizione l’espressione dell’energia meccanica è

$E = \frac{1}{2} k (x_{m} - l_{0})^{2} - m g x_{m} = 0 J$

Le soluzioni all’equazione sono $x_{m 1} = 25$ m e $x_{m 2} = 49$ m. Come a 25 m la primavera (o corda elastica) non era ancora arrivata alla sua lunghezza naturale non è una soluzione valida per noi. Il il massimo estensione della primavera è di 49 m.

d) Determina se l’uomo si bagna facendo tutti i calcoli necessari. (1 punti)

Poiché la persona è alta 1,80 m, la primavera legata ai piedi ha un’estensione finale di 49 Il lancio è di 50 m. L’individuo si bagnerà perché si si immergerà circa 80 cm.

Problema teorico 3 Pagina di risposta Inciso

Punteggio a) Spiegazione del movimento periodico e dei processi che si verificano

1 b) $v_{1}^{'} = 0$ m/s y $v_{2}^{'} = 10$ m/s 3 c) $Δ x = 2$ m. 2 d) $t = 10, 628$ s 2 e) Non si può calcolare 2

Problem 2: A person, 6 feet tall and weighing 100 kg, is dropped into a riverbed from a a platform located at 50 m. Its feet are attached to the end of a 35 m spring of Natural length and elastic constant $k = 500$ N/m. The other end of the spring is firmly attached to the The platform. Disregarding air friction and assuming $g = 10 m/s^{2}$

(a) Calculate the distance from the platform to which the man’s static equilibrium position is located. (three points)

The forces acting on the person are the weight $P = m g$ , and the force of the stretched spring $F_{r} = - k (x - l_{0})$ . In the equilibrium position $P + F_{r} = 0$

$m g - k (x_{e} - l_{0}) = 0$

with $m = 100$ kg, $k = 500$ N/m, $l_{0} = 35$ m and $g = 10 m/s^{2}$ . Solving this equation results in

$x_{e} = \frac{m g}{k} + l_{0} = 37 m$

(b) Determine the maximum speed at which the man can fall. (three points)

The maximum speed reaches it when it passes through the equilibrium position. Like the forces acting The system is conservative and therefore the mechanical energy of the system is conserved. In the initial position, with The man on the platform, the initial kinetic energy is 0 J, the potential energy of the spring is 0 J, because The spring is not stretched, and the gravitational potential energy is 0 J, by the coordinate system. The chosen one. So the mechanical energy of the system is $E = 0$ J. In the equilibrium position the energy of the system is:

$E = \frac{1}{2} m v_{m}^{2} + \frac{1}{2} k (x_{e} - l_{0})^{2} - m g x_{e} = 0 J$

Clearing we get $v_{m} = 26, 833$ m/s

The maximum spring stretch occurs when the person’s speed is 0 m/s. In that position The expression of mechanical energy is

$E = \frac{1}{2} k (x_{m} - l_{0})^{2} - m g x_{m} = 0 J$

The solutions to the equation are $x_{m 1} = 25$ m and $x_{m 2} = 49$ m. As at 25 m the spring (or elastic rope) It’s not a valid solution for us. The Commission therefore The maximum stretch of the spring is 49 m.

(d) Determine whether the man is wet by doing all the necessary calculations. (one point)

Since the person’s height is 1.80 m, the spring tied to his feet has a final stretch of 49 The distance from the launch platform to the river is 50 m. The individual will get wet because they are It will sink about 80 cm.

Theoretical problem 3 Answering sheet Incise

Score a) Explanation of periodic movement and processes occurring

1 b) $v_{1}^{'} = 0$ m/s y $v_{2}^{'} = 10$ m/s 3 c) $Δ x = 2$ m. 2 d) $t = 10, 628$ s 2 e) It can’t be calculated. 2

Problema 3: Una niña arma el dispositivo que se muestra en la figura. Este está compuesto por un péndulo formado por una masa puntual $m_{1}$ la cual está suspendida de un hilo de masa despreciable y longitud $l_{0}$ . El péndulo se libera con el hilo en posición horizontal y cuando la masa llega a la parte inferior de su trayectoria choca elásticamente con otro cuerpo $m_{2}$ . El cuerpo $m_{2}$ desliza una distancia $d$ sobre la superficie horizontal sin rozamiento hasta impactar con un resorte de constante elástica $k$ al cual comprime hasta detenerse. Luego el resorte se expande haciendo que el cuerpo regrese hacia donde está el péndulo. Datos: $m_{1} = m_{2} = 5$ kg; $l_{0} = 5$ m; $d = 50$ m; $k = 125$ N/m y $g = 10 m/s^{2}$ .

a) Describa cualitativamente cuál será el movimiento de los cuerpos que componen el sistema. (1 puntos)

El péndulo con la masa $m_{1}$ desciende realizando un movimiento circular. Cuando llega a su punto más bajo choca con la masa $m_{2}$ que está en reposo. Como el choque es elástico, y ambas masas son iguales, ellas intercambiarán sus velocidades y por lo tanto la masa $m_{1}$ quedará en reposo y la masa $m_{2}$ comenzará a moverse con la velocidad que tenía la masa $m_{1}$ en el punto más bajo de su movimiento. Debido a que no hay rozamiento la masa $m_{2}$ tendrá un movimiento rectilíneo uniforme hasta entrar en contacto con el resorte. La masa $m_{2}$ comprimirá el resorte hasta detenerse y luego, por efecto de la fuerza que le ejerce el resorte, comenzará a moverse en sentido opuesto al que traía. Como se conserva la energía se despegará del resorte con una velocidad de igual módulo, pero con sentido contrario que tenía inicialmente. Nuevamente recorrerá la distancia $d$ con MRU hasta colisionar nuevamente con la masa $m_{1}$ intercambiando nuevamente las velocidades. La masa $m_{2}$ permanecerá en reposo y la masa $m_{1}$ , como se conserva la energía volverá a su posición inicial y todo nuevamente se volverá a repetir. Por supuesto que todo esto es válido si despreciamos el rozamiento de la masa $m_{1}$ con el aire y de la masa $m_{2}$ con el piso.

b) Determine la velocidad de los cuerpos luego del choque. (3 puntos)

Primero determinaremos la velocidad con que la masa $m_{1}$ llega a la parte más baja de la trayectoria. Como la única fuerza que hace trabajo sobre esta masa es el peso se conservará la energía mecánica del sistema. Por lo tanto

$E = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g l_{0}$

Despejando obtenemos $v_{1} = 10$ m/s.

Ahora analizamos el proceso del choque. En el choque se conserva la cantidad de movimiento y al ser elástico también se conserva la energía; esto se puede resumir en las siguientes ecuaciones:

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$

Esta ecuación plantea la conservación del momento lineal del sistema en el choque donde $v_{1} = 10$ m/s, $v_{2} = 0$ m/s (velocidades antes del choque) y $v_{1}^{'}$ y $v_{2}^{'}$ serán las velocidades de las masas 1 y 2 después del choque respectivamente.

$v_{1} - v_{2} = - (v_{1}^{'} - v_{2}^{'})$

Esta ecuación se deduce de plantear la conservación de la energía del sistema y se resume diciendo que en el choque elástico la velocidad relativa de los cuerpos cambia de signo.

Resolviendo este sistema de ecuaciones da como resultado $v_{1}^{'} = 0$ m/s y $v_{2}^{'} = 10$ m/s. Como vemos han intercambiado sus velocidades.

c) Calcule cuál será la máxima compresión del resorte cuando $m_{2}$ choque con él. (2 puntos)

Como no existe rozamiento se conserva la energía del sistema y por lo tanto la energía cinética de la masa $m_{2}$ será igual a la energía elástica del resorte en su máxima compresión

$E = \frac{1}{2} m v_{2}^{'2} = \frac{1}{2} K Δ x^{2}$

Despejando obtenemos $Δ x = 2$ m.

d) Determine el tiempo que demorará $m_{2}$ volver nuevamente a la posición inicial.

El tiempo que demorará $m_{2}$ en volver a la posición inicial será el tiempo $t_{1}$ que demore en recorrer de ida y vuelta la distancia $d$ más el tiempo $t_{2}$ que está en contacto con el resorte. Como la distancia $d$ la recorre de ida y vuelta con el mismo módulo de velocidad demorará lo mismo en ir que en regresar.

$t_{1} = \frac{2 d}{v _{2}^{'}} = 10 s$

La masa $m_{2}$ estuvo en contacto con el resorte desde que este estaba con su longitud natural hasta que llegó a su máxima compresión más lo que demora luego en regresar hasta su longitud natural; y esto corresponde a la mitad del periodo del resorte. Entonces

$t_{2} = \frac{1}{2} 2 π \frac{m}{k} = 0, 628 s$

Entonces el tiempo total que demora la masa $m_{2}$ en volver a su posición inicial es $t = t_{1} + t_{2} = 10, 628$ s.

e) Diga si el movimiento de este sistema será periódico y en caso afirmativo analice si se puede determinar el periodo de este movimiento y cuál sería su valor. (2 puntos) El movimiento del sistema será periódico y su periodo será el tiempo que demora la masa $m_{2}$ en volver a su posición de inicial más el tiempo que demora la masa $m_{1}$ en volver a su posición inicial. Si bien podemos calcular el tiempo que demora la masa $m_{2}$ en volver a su posición inicial no podemos hacer lo mismo con la masa $m_{1}$ pues la expresión que conocemos para el periodo del péndulo es válida para pequeñas amplitudes y este no es el caso que se nos ha planteado. Por lo tanto, con los conocimientos que tienen los estudiantes no es posible calcular el periodo del sistema.

Sabemos que la ecuación de movimiento de un péndulo matemático, armado con una cuerda de longitud $l$ (de masa despreciable) del cual está suspendido un cuerpo puntual de masa $m$ es:

$m l \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - m g sin (θ) ⟹ \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l} sin (θ)$

Esta ecuación diferencial no tiene solución analítica, pero si aproximamos para pequeñas oscilaciones

$θ ≪ 1 ⟹ sin (θ) \approx θ$

Entonces la ecuación queda:

$\frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l} θ$

que es la de un oscilador armónico cuyo periodo es

$T_{0} = 2 π \frac{l}{g}$

Se puede aproximar una solución para amplitudes mayores de $θ$ y para este caso general el valor del periodo $T$ es

$T = T_{0} \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{( 2 n )!}{2 ^{2 n} ( n ! ) ^{2}})^{2} sin^{2 n} (\frac{θ}{2})$

Si utilizamos esta expresión para nuestro problema ( $θ = π /2$ ) y tomando los 85 primeros términos de la sumatoria, por razones de limitaciones de cálculo, el periodo resulta

$T = T_{0} 1, 18034 = 1, 48326 s$

Por lo tanto, el periodo de nuestro sistema sería aproximadamente $t = t_{1} + T /2 = 10, 74163$ s.

Problema Experimental Hoja de respuestas. Primera Parte

Inciso

Puntaje a) Ver Tabla 1.I 10 ptos b) Ver Tabla 1.II y Figura 1.1 2 ptos c) Ver Tabla 1.II y Figura 1.2 2 ptos d) $e = (0, 54 \pm 0, 05)$ 1 pto

Segunda Parte Inciso

Puntaje e) Ver Tabla 2.I 1,5 ptos f) $h_{0} = (2, 20 \pm 0, 03)$ m 0,5 ptos g) Ver Figura 2.1 1,5 ptos h) $e = (0, 603 \pm 0, 003)$

$g = (9, 9 \pm 0, 6) m s^{- 2}$ 1,5 ptos Primera Parte.

Tabla 1.I: Mediciones de los tiempos $t_{0}$ y $t_{1}$ para distintas alturas $h_{0}$ . $h_{0}$ [cm] $\pm 3$ cm 220 188 179 148 118

$t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{0}$ [s] $\pm 0, 05$ s $t_{1}$ [s] $\pm 0, 05$ s 1 0,70 1,59 0,61 1,45 0,51 1,43 0,50 1,30 0,50 1,18 2 0,67 1,61 0,63 1,56 0,64 1,49 0,59 1,32 0,52 1,28 3 0,67 1,60 0,59 1,47 0,55 1,51 0,57 1,42 0,54 1,21 4 0,61 1,66 0,63 1,55 0,63 1,55 0,59 1,38 0,42 1,21 5 0,68 1,43 0,63 1,45 0,63 1,42 0,58 1,32 0,50 1,25 6 0,71 1,44 0,57 1,51 0,64 1,39 0,53 1,30 0,50 1,23 7 0,61 1,70 0,59 1,50 0,60 1,50 0,55 1,33 0,41 1,22 8 0,65 1,48 0,67 1,46 0,62 1,44 0,48 1,38 0,43 1,25 9 0,61 1,51 0,63 1,41 0,55 1,47 0,56 1,36 0,42 1,19 10 0,65 1,52 0,65 1,53 0,57 1,44 0,56 1,33 0,43 1,24 $\overset{ˉ}{t}$ [s] 0,66 1,55 0,62 1,49 0,59 1,46 0,55 1,34 0,47 1,23 $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] 0,05 0,09 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05

La incertidumbre de $h_{0}$ se tomó como el radio de la pelota utilizada en las mediciones. $\overset{ˉ}{t}$ [s] y $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] son el tiempo medio y su incertidumbre, respectivamente, de los tiempos $t_{0}$ y $t_{1}$ . La incertidumbre $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] se tomó como la incertidumbre de las mediciones dado que la desviación estándar del promedio es menor que dicha incertidumbre, salvo para las mediciones de $t_{1}$ correspondiente a una altura de 220 cm.

pendolo e massa su molla orizzontale

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Simple Harmonic Motion Analysis, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Pendulum, Spring, Block, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.20

Figure

p.9 — altezza vs tempo rimbalzi successivi

p.25 — grafico $t_{0}^{- 2}$ in funzione di $h_{0}$

p.26 — grafico $t_{1}^{- 2}$ in funzione di $h_{0}$

p.27 — grafico $ln (Δ t_{n})$ in funzione di $n$

Problema 3: Una bambina arma il dispositivo che viene mostrato nella figura. Questo è composto da un un pendolo formato da una massa puntante $m_{1}$ che è sospesa da un filo di massa scadente e lunghezza $l_{0}$ . Il pendolo si libera con il filo in posizione orizzontale e quando la massa arriva al basso di percorso colpisce elasticamente un altro corpo $m_{2}$ . Il corpo $m_{2}$ scivola una distanza $d$ sulla superficie orizzontale senza rottura fino all’impatto con una sorgente di costante elastica $k$ alla quale

Si comprime fino a fermarsi. Poi la primavera si espandono facendo tornare il corpo dove era c’è il pendolo. Dati: $m_{1} = m_{2} = 5$ kg; $l_{0} = 5$ m; $d = 50$ m; $k = 125$ N/m e $g = 10 m/s^{2}$ .

a) Descrivere qualitativamente il movimento dei corpi che compongono il sistema. (1 punti)

Il pendolo con massa $m_{1}$ scende facendo un movimento circolare. Quando arriva al suo punto più alto sotto impatto con la massa $m_{2}$ che sta a riposo. Poiché l’impatto è elastico, e le due masse sono uguali, le loro velocità si scambieranno e quindi la massa $m_{1}$ rimarrà a riposo e la massa $m_{2}$ inizierà a muoversi alla velocità della massa $m_{1}$ al punto più basso del suo movimento. Poiché non si tratta di un’acciaio, la massa $m_{2}$ avrà un movimento rettilineo uniforme fino a quando non entra in contatto con la primavera. La massa $m_{2}$ comprima la risorsa fino a che si ferma e poi, per effetto della La forza che la primavera esercita su di lei, inizierà a muoversi in senso opposto a quello che portava. Come si conserva L’energia decolla dal molla con una velocità uguale a quella del modulo, ma con un senso contrario che Inizialmente l’ho fatto. Ritorna la distanza $d$ con MRU fino a che non colpisce di nuovo la massa $m_{1}$ scambiando nuovamente le velocità. La massa $m_{2}$ rimarrà a riposo e la massa $m_{1}$ , mentre l’energia viene conservata, tornerà alla sua posizione iniziale e tutto ripeterà di nuovo. Por supuesto que todo esto es válido si despreciamos el rozamiento de la masa $m_{1}$ con el aire y de la massa $m_{2}$ con il pavimento.

b) Determina la velocità dei corpi dopo l’impatto. (3 punti)

In primo luogo, determineremo la velocità con cui la massa $m_{1}$ raggiunge la parte più bassa del percorso. Poiché l’unica forza che lavora su questa massa è il peso, si conserverà l’energia meccanica. del sistema. Quindi

$E = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g l_{0}$

Sgomberando otteniamo $v_{1} = 10$ m/s.

Ora analizziamo il processo di colpo. In questo caso, la velocità di movimento è mantenuta e la velocità di movimento è mantenuta. L’energia è conservata anche nell’elastica; questo può essere riassunto nelle seguenti equazioni:

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$

Questa equazione pone la conservazione del momento lineare del sistema in collisione dove $v_{1} = 10$ m/s, $v_{2} = 0$ m/s (velocità prima di colpire) e $v_{1}^{'}$ e $v_{2}^{'}$ saranno le velocità delle masse 1 e 2 dopo di colpo rispettivamente.

$v_{1} - v_{2} = - (v_{1}^{'} - v_{2}^{'})$

Questa equazione si deduce dal fatto che la conservazione dell’energia del sistema è stata sollevata e si riassume dicendo che nel colpo elastico la velocità relativa dei corpi cambia di segno.

Risolvendo questo sistema di equazioni si ottiene $v_{1}^{'} = 0$ m/s e $v_{2}^{'} = 10$ m/s. Come si vede han scambiando le velocità.

c) Calcolare la compressione massima della scorsa quando $m_{2}$ colpisce la scorsa. (2 punti)

Poiché non esiste rottura, l’energia del sistema è conservata e quindi l’energia cinetica della massa $m_{2}$ sarà uguale all’energia elastica della scorsa alla massima compressione

$E = \frac{1}{2} m v_{2}^{'2} = \frac{1}{2} K Δ x^{2}$

Sgomberando otteniamo $Δ x = 2$ m.

d) Determine el tiempo que demorará $m_{2}$ volver nuevamente a la posición inicial.

El tiempo que demorará $m_{2}$ en volver a la posición inicial será el tiempo $t_{1}$ que demore en recorrer de ida e giri la distanza $d$ più il tempo $t_{2}$ che è in contatto con la sorgente. Come la distanza $d$ percorre di ritorno e di andata con lo stesso modulo di velocità, ci vorrà lo stesso tempo per andare e tornare.

$t_{1} = \frac{2 d}{v _{2}^{'}} = 10 s$

La massa $m_{2}$ è stata in contatto con la resorsa finché essa era di sua lunghezza naturale fino a quando ha raggiunto la massima compressione più che ci vuole poi per tornare alla sua lunghezza naturale; e questo corrisponde alla metà del periodo di primavera. Allora…

$t_{2} = \frac{1}{2} 2 π \frac{m}{k} = 0, 628 s$

Quindi il tempo totale che il massa $m_{2}$ richiede per tornare alla sua posizione iniziale è $t = t_{1} + t_{2} = 10, 628$ s.

e) Indicare se il movimento di questo sistema sarà periodico e, se sì, analizzare se si può determinare il periodo di tale movimento e il suo valore. (2 punti) Il movimento del sistema sarà periodico e il suo periodo sarà il tempo che il massa $m_{2}$ richiede per tornare indietro. alla sua posizione iniziale più il tempo necessario per il ritorno della massa $m_{1}$ alla sua posizione iniziale. - Sì, certo. podemos calcular el tiempo que demora la masa $m_{2}$ en volver a su posición inicial no podemos hacer lo La massa $m_{1}$ è la stessa, poiché l’espressione che conosciamo per il periodo del pendolo è valida per La Commissione ha adottato una decisione che non è stata adottata. Con le conoscenze che gli studenti hanno non è possibile calcolare il periodo del sistema.

Sappiamo che l’equazione di movimento di un pendolo matematico, armato con una corda di lunghezza $l$ (di massa scarsa) di cui è sospeso un corpo punteggiato di massa $m$ è:

$m l \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - m g sin (θ) ⟹ \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l} sin (θ)$

Questa equazione differenziale non ha soluzione analitica, ma se si avvicina per piccole oscillazioni

$θ ≪ 1 ⟹ sin (θ) \approx θ$

Quindi l’equazione è:

$\frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l} θ$

che è quella di un oscillatore armonico il cui periodo è

$T_{0} = 2 π \frac{l}{g}$

Una soluzione può essere avvicinata per amplitudini superiori a $θ$ e in questo caso generale il valore di periodo $T$ è

$T = T_{0} \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{( 2 n )!}{2 ^{2 n} ( n ! ) ^{2}})^{2} sin^{2 n} (\frac{θ}{2})$

Se usiamo questa espressione per il nostro problema ( $θ = π /2$ ) e prendiamo i primi 85 termini della Infatti, per ragioni di limitazioni di calcolo, il periodo è

$T = T_{0} 1, 18034 = 1, 48326 s$

Quindi il periodo del nostro sistema sarebbe circa $t = t_{1} + T /2 = 10, 74163$ s.

Problema sperimentale Pagina di risposte. Parte I

Inciso

Punteggio a) V. Tabella 1.I 10 punti b) Vede tabella 1.II e figura 1.1 2 punti c) Vede tabella 1.II e figura 1.2 2 punti d) $e = (0, 54 \pm 0, 05)$ 1 pto

Parte II Inciso

Punteggio e) V. tabella 2.I 1,5 ptos f) $h_{0} = (2, 20 \pm 0, 03)$ m 0,5% g) Vede Figura 2.1 1,5 ptos h) $e = (0, 603 \pm 0, 003)$

$g = (9, 9 \pm 0, 6) m s^{- 2}$ 1,5 ptos Parte I.

Tabella 1.I: Misure dei tempi $t_{0}$ e $t_{1}$ per diverse altezze $h_{0}$ . $h_{0}$ [cm] $\pm 3$ cm 220 188 179 148 118

L’incertezza di $h_{0}$ è stata presa come il raggio della palla utilizzata nelle misurazioni. $\overset{ˉ}{t}$ [s] e $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] sono il tempo medio e la sua incertezza, rispettivamente, dei tempi $t_{0}$ e $t_{1}$ . La L’incertitudine $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] è stata presa come l’incertezza delle misurazioni dato che la deviazione è stata La norma della media è inferiore a tale incertezza, eccetto per le misurazioni di $t_{1}$ di una altezza di 220 cm.

pendolo e massa sua molla orizzontale

Figurare

**p.9 ** altezza vs tempo rimbalzi successivi

p.25 grafico $t_{0}^{- 2}$ in funzione di $h_{0}$

p.26 grafico $t_{1}^{- 2}$ in funzione di $h_{0}$

p.27 grafico $ln (Δ t_{n})$ in funzione di $n$

Problem 3: A girl arms the device shown in the figure. This one is made up of a a pendulum consisting of a point mass $m_{1}$ which is suspended from a scorned mass thread and longitud $l_{0}$ . The pendulum is released with the thread in a horizontal position and when the mass reaches the bottom de su trayectoria choca elásticamente con otro cuerpo $m_{2}$ . The body $m_{2}$ slides a distance $d$ over the horizontal surface without friction until impact with a spring of constant elasticity $k$ to which It’s compressed until it stops. Then the spring expands, causing the body to return to where it was. There’s the pendulum. The data set is the following: $m_{1} = m_{2} = 5$ kg; $l_{0} = 5$ m; $d = 50$ m; $k = 125$ N/m and $g = 10 m/s^{2}$ .

(a) Qualitatively describe the movement of the bodies that make up the system. (1 points)

The pendulum with mass $m_{1}$ descends by making a circular motion. When it reaches its peak under impact with the resting mass $m_{2}$ . Since the impact is elastic, and both masses are equal, They will exchange their speeds and therefore the mass $m_{1}$ will rest and the mass $m_{2}$ It will start moving at the speed that the mass $m_{1}$ had at the lowest point of its motion. Since there is no friction the mass $m_{2}$ will have a uniform straight line movement until it enters the contact with the spring. The mass $m_{2}$ will compress the spring until it stops and then, by effect of the The force of spring will begin to move in the opposite direction to the one it brought. How it is preserved The energy will take off from the spring at a speed of the same module, but in the opposite direction from the I had it initially. Once again it will travel the $d$ distance with MRU until it collides again with the mass $m_{1}$ by re-exchanging the speeds. The mass $m_{2}$ shall remain at rest and the mass $m_{1}$ , como se conserva la energía volverá a su posición inicial y todo nuevamente se volverá a repetir. Por supuesto que todo esto es válido si despreciamos el rozamiento de la masa $m_{1}$ con el aire y de la mass $m_{2}$ with the floor.

(b) Determine the speed of the bodies after impact. (three points)

First we’ll determine how fast the mass $m_{1}$ gets to the lowest part of the trajectory. As the only force that works on this mass is the weight, mechanical energy will be conserved. The system. Therefore

$E = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g l_{0}$

Clearing it we get $v_{1} = 10$ m/s.

Now we’re looking at the process of the shock. In the shock the amount of movement and being is preserved. The energy is also conserved in the elastic; this can be summarized in the following equations:

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$

This equation presents the conservation of linear momentum of the system in the shock where $v_{1} = 10$ m/s, $v_{2} = 0$ m/s (speeds before impact) and $v_{1}^{'}$ and $v_{2}^{'}$ shall be the speeds of masses 1 and 2 after of the impact, respectively.

$v_{1} - v_{2} = - (v_{1}^{'} - v_{2}^{'})$

This equation is deduced from the system energy conservation and summarized as In the case of an elastic shock, the relative velocity of the bodies changes in sign.

Solving this system of equations results in $v_{1}^{'} = 0$ m/s and $v_{2}^{'} = 10$ m/s. As we can see, I’ve exchanged their speeds.

Since there is no friction, the system energy is conserved and thus the kinetic energy of the mass $m_{2}$ shall be equal to the elastic energy of the spring at its maximum compression

$E = \frac{1}{2} m v_{2}^{'2} = \frac{1}{2} K Δ x^{2}$

Clearing it we get $Δ x = 2$ m.

(d) Determine how long it will take $m_{2}$ to return to the starting position.

The time taken to return to the starting position $m_{2}$ shall be the time taken to return to the starting position $t_{1}$ and turn the distance $d$ plus the time $t_{2}$ that is in contact with the spring. As the distance $d$ travels through it back and forth with the same speed module will take the same time to go as to return.

$t_{1} = \frac{2 d}{v _{2}^{'}} = 10 s$

The mass $m_{2}$ was in contact with the spring from its natural length until the spring was reached its maximum compression plus what it takes then to return to its natural length; and this corresponds to half of the spring period. Then

$t_{2} = \frac{1}{2} 2 π \frac{m}{k} = 0, 628 s$

So the total time it takes the mass $m_{2}$ to get back to its initial position is $t = t_{1} + t_{2} = 10, 628$ s.

(e) Tell whether the movement of this system will be periodic and, if so, analyse whether it can be determine the period of this movement and its value. (two points) The movement of the system will be periodic and its period will be the time it takes the mass $m_{2}$ to return to its initial position plus the time it takes the mass $m_{1}$ to return to its initial position. I mean, podemos calcular el tiempo que demora la masa $m_{2}$ en volver a su posición inicial no podemos hacer lo The same with the mass $m_{1}$ because the expression we know for the period of the pendulum is valid for The Commission has already taken a number of measures to ensure that the Community’s financial resources are not used to finance the implementation of the programme. Therefore, with the knowledge The students have no way of calculating the period of the system.

We know that the equation of motion of a mathematical pendulum, armed with a length string $l$ (de masa despreciable) del cual está suspendido un cuerpo puntual de masa $m$ es:

$m l \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - m g sin (θ) ⟹ \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l} sin (θ)$

This differential equation has no analytical solution, but if we approximate for small oscillations

$θ ≪ 1 ⟹ sin (θ) \approx θ$

So the equation is:

$\frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - \frac{g}{l} θ$

which is that of a harmonic oscillator whose period is

$T_{0} = 2 π \frac{l}{g}$

A solution for amplitudes greater than $θ$ can be approximated and for this general case the value of the The period $T$ is

$T = T_{0} \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{( 2 n )!}{2 ^{2 n} ( n ! ) ^{2}})^{2} sin^{2 n} (\frac{θ}{2})$

If we use this expression for our problem ( $θ = π /2$ ) and take the first 85 terms of the The sum of the amounts of the period is calculated as follows:

$T = T_{0} 1, 18034 = 1, 48326 s$

So the period of our system would be approximately $t = t_{1} + T /2 = 10, 74163$ s.

The experimental problem Answer sheet. Part one

Incise

Score a) The following table shows the results of the study: 10 points b) See Table 1.II and Figure 1.1 2 points c) See Table 1.II and Figure 1.2 2 points d) $e = (0, 54 \pm 0, 05)$ 1 pto

Part Two Incise

Score e) The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 1.5 pts f) $h_{0} = (2, 20 \pm 0, 03)$ m 0,5% g) See Figure 2.1 1.5 pts h) $e = (0, 603 \pm 0, 003)$

$g = (9, 9 \pm 0, 6) m s^{- 2}$ 1.5 pts Part one.

Table 1.I: Measurements of the $t_{0}$ and $t_{1}$ times for different heights $h_{0}$ . $h_{0}$ [cm] $\pm 3$ cm 220 188 179 148 118

The uncertainty of $h_{0}$ was taken as the radius of the ball used in the measurements. $\overset{ˉ}{t}$ [s] and $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] are the mean time and its uncertainty, respectively, of the $t_{0}$ and $t_{1}$ times. La Uncertainty $σ_{\overset{ˉ}{t}}$ [s] was taken as measurement uncertainty given that the deviation the standard mean is less than this uncertainty, except for measurements of $t_{1}$ a height of 220 cm.

pendol and mass its horizontal spring

Figure

p.9 — altezza vs tempo rimbalzi successivi

p.25 — grafico $t_{0}^{- 2}$ in funzione di $h_{0}$

p.26 — grafico $t_{1}^{- 2}$ in funzione di $h_{0}$

p.27 — grafico $ln (Δ t_{n})$ in funzione di $n$

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Vista grafico

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