UK 2020

Monday 27th January 2020

British Physics Olympiad 2019-20 Round 2 Competition Paper Monday 27th January 2020 Instructions Time: 3 hours (approximately 30 minutes for Q1 and 50 mins each for Qs 2, 3, 4). Questions: All four questions should be attempted. Marks: Questions 2, 3, 4 carry similar marks. Solutions: Answers and calculations are to be written on loose paper. Graph paper should be made available. Students should ensure that their name and their school/college are clearly written on each and every answer sheet. Number each question clearly and number the pages. EACH QUESTION ANSWERED must be started on a new page. Clarity: Solutions must be written legibly, in black pen (the papers are photocopied), and working down the page. Working, calculations, explanations and diagrams, properly laid out, must be shown for full credit. Scribble will not be marked and overall clarity is an important aspect of this exam paper. Formula sheet: You are allowed any standard exam board data/formula sheet. Calculators: Any standard calculator may be used, but calculators cannot be programmable and must not have symbolic algebra capability. Confidentiality: Do not discuss any aspect of the paper on the internet until 8 am Saturday 1st February. THIS QUESTION PAPER MUST NOT BE PHOTOGRAPHED OR TAKEN OUT OF THE EXAM ROOM. ————– ——————— ——————— ——————— ——————— Training Dates and the IPhO (Vilnius, Lithuania, 17th to 26th July) Following this round, fourteen students eligible to represent the UK at the International Physics Olympiad (IPhO) will be invited to attend the Training Camp to be held in the Physics Department at the University of Oxford, (Friday 27th to Tuesday 31st March 2020). Five students will be selected for further training. From May there will be mentoring by email to cover some topics and problems. There will be a weekend Experimental Training Camp in Oxford 15th – 17th May (Friday evening to Sunday afternoon), followed by a Training Camp (in Cambridge), Thursday 25thJune – Wed 1st July, with a second Experimental Training Camp (in Cambridge) Sunday 12th – Thurs 16th July.

Important Constants

Constant	Symbol	Value
Speed of light in free space	$c$	$3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$
Elementary charge	$e$	$1.60\times 10^{-19}\text{C}$
Acceleration of free fall at Earth’s surface	$g$	$9.81{\text{m s}}^{-2}$
Permittivity of free space	${ϵ}_0$	$8.85\times 10^{-12}{\text{F m}}^{-1}$
Mass of an electron	$m_e$	$9.11\times 10^{-31}\text{kg}$
Mass of a neutron	$m_n$	$1.67\times 10^{-27}\text{kg}$
Mass of a proton	$m_p$	$1.67\times 10^{-27}\text{kg}$
atomic mass unit	$u$	$1.661\times 10^{-27}\text{kg}$
(1u is equivalent to 931.5 MeV)
Radius of a nucleon	$r_0$	$1.2\times 10^{-15}\text{m}$
Planck’s constant	$h$	$6.63\times 10^{-34}\text{J s}$
Gravitational constant	$G$	$6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$
Boltzmann constant	$k_B$	$1.38\times 10^{-23}{\text{J K}}^{-1}$
Molar gas constant	$R$	$8.31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
Specific heat capacity of water	$c_w$	$4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
Mass of the Sun	$M_S$	$1.99\times 10^{30}\text{kg}$
Mass of the Earth	$M_E$	$5.97\times 10^{24}\text{kg}$
Radius of the Earth	$R_E$	$6.38\times 10^6\text{m}$

$T(\text{K})=T{(}^{\circ }\text{C})+273$

Volume of a sphere $=\frac{4}{3}\pi r^3$

$e^x\approx 1+x+\dots$    $x\ll 1$

$(1+x{)}^n\approx 1+nx$    $x\ll 1$

$\frac{1}{(1+x{)}^n}\approx 1-nx$    $x\ll 1$

$\sin \theta \approx \theta$    for $\theta \ll 1$

$\tan \theta \approx \theta$    for $\theta \ll 1$

$\cos \theta \approx 1-{\theta }^2/2$    for $\theta \ll 1$

BLANK PAGE

Qu 1. General Questions Write you answer starting on a new page for this question. (a) For a modest temperature range, a sample of a metal in the form of a cube of side $l_0$ and volume $V_0$ at room temperature is heated by $\Delta T$. For small temperature changes, its volume expands by a temperature dependent factor such that $V=V_0(1+\gamma \Delta T)$, whilst its length expands linearly by a factor given by $l=l_0(1+\alpha \Delta T)$. If the expansion factors are both small, $\gamma =k\alpha$, where $k$ is a numerical factor. Derive a value for $k$. (b) Two cells have e.m.f.s ${ϵ}_1$ and ${ϵ}_2$ and internal resistances $r_1$ and $r_2$. (i) What are the effective e.m.f.s and internal resistances when these cells are arranged: i. in series? ii. in parallel? (assume that the e.m.f.s and internal resistances are now the same) (ii) A cell has an e.m.f. of 1.0 V and an internal resistance of 50 $\Omega$. How many of these cells, and in what arrangement, would be needed to power a 5.0 W, 6.0 V filament lamp? (c) Shown in Figure 1 below is an image of an electrified fence with ice crystals on it. Give a physics explanation of this effect that you can see. Figure 1: credit: AAPT 2013 High School Photo Contest

(d) An electric car carries an accelerometer which also records the distance travelled. A graph of the recording when the car starts from rest is shown in Figure 2. Estimate the velocity of the car after five seconds, and the power per unit mass which is used to accelerate the car at that moment. Figure 2

Qu 2. The Atmosphere & a Molecule Write you answer starting on a new page for this question. I The atmosphere The atmosphere is composed of 78% nitrogen, 21% oxygen, 0.9% argon and about 0.1% trace gases. Water vapour varies between about 0%-4% depending on location and time of day. (a) Consider a fluid at rest in a gravitational field $g$. Show that, if frictional forces within the fluid can be neglected, the pressure variation across a sufficiently small cube of incompressible fluid varies linearly with the height of the cube. This is referred to as hydrostatic pressure. (b) In a simple model, the atmosphere is treated as an ideal gas. (i) Show that the variation in pressure with height is exponential. You may assume that the pressure variation across a very thin layer is hydrostatic, and that temperature is constant. (ii) Why is it safe to assume that $g$ is constant too? (iii) What do you think is the biggest issue with the formula found in (i)? (c) In another model, the gas (still ideal) is assumed to expand adiabatically as it rises. An adiabatic change is one for which the pressure, $P$, of the gas and its volume, $V$, are related by $P{V}^{\gamma }$ = constant, where $\gamma =\frac{C_P}{C_V}$ with $C_P$ and $C_V$ the heat capacities of the gas per mole at constant pressure and volume respectively. (i) Find the rate of change of temperature with height, $\frac{dT}{dh}$ – known as the temperature lapse rate – under these circumstances. You may assume without proof that $C_P=C_V+R$ with $R$ the molar gas constant. (ii) Hence or otherwise find a more realistic formula for the pressure variation with height in the atmosphere. II Spectra of molecules A diatomic molecule can store energy in the form of vibration and rotation of the molecule. The energies can be shown to be quantised i.e. there are discrete energy levels similar to the energy levels encountered in the visible spectrum of an atom. (d) An HCl molecule can be modelled as two masses, $m_1$ and $m_2$ with mean separation $l$ at the ends of a stiff spring, with spring constant $k$, representing the bond. The frequency of vibration can be expressed in terms of $k$ and $\mu$, where $\mu (m_1,m_2)$ is function of $m_1$ and $m_2$. $\mu$ has dimensions of mass and is known as the reduced mass. By considering the centre of mass of the system or otherwise, derive an expression for the frequency of vibration $f$ of the masses on the spring in terms of $m_1$ and $m_2$ and $k$. Hence write down the expression for $\mu$. The IR spectrum of HCl is shown in Fig. 3. The wavenumber on the horizontal axis is $1/\lambda$ measured in ${\text{cm}}^{-1}$. A low pressure gas of HCl is illuminated with IR radiation and the absorption measured over a range of frequencies. The HCl molecule will rotate corresponding to a number of close, discrete energy levels designated by the letter J = 0, 1, 2, 3 … shown in Fig. 4. The two vibrational energy levels labelled with n = 0 and n = 1 correspond to a very much larger energy level difference.

Figure 3: IR spectrum of HCl. The inset shows the effect of the Cl-35 and Cl-37 isotopic mass difference. Credit Azo Materials https://www.azom.com/article.aspx?ArticleID=15226 Figure 4: Energy level diagram for HCl. Two vibrational energy levels are shown (n = 0 and n = 1). The rotational energy levels are designated by the J values, with the J = 0 and J = 1 levels very close together and shown as a thick line. Only transitions corresponding to $\Delta J=\pm 1$ are allowed. Credit https://www.colby.edu/chemistry/PChem/lab/VibRotHClDCl.pdf; Vibration- Rotation Spectroscopy of HCl and DCl

Topic: Thermodynamics, Circuits, Modern-Quantum Physics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, Approximation & Series Expansion, Kirchhoff’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Graph Linearization Objects: Gas, Battery, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1

Lunedì 27 gennaio 2020

British Physics Olympiad 2019-20 Prova del Concorso del Round 2 Lunedì 27 gennaio 2020 Istruzioni Tempo: 3 ore (circa 30 minuti per il Q1 e 50 minuti ciascuno per i Qs 2, 3, 4). Quesiti: Si deve tentare di risolvere tutti e quattro i quesiti. Punteggi: I quesiti 2, 3, 4 hanno punteggi simili. Soluzioni: Le risposte e i calcoli devono essere scritti su fogli sciolti. Si deve rendere disponibile carta millimetrata. Gli studenti devono assicurarsi che il proprio nome e la propria scuola/college siano chiaramente scritti su ogni singolo foglio di risposta. Numerare chiaramente ogni quesito e numerare le pagine. OGNI QUESITO A CUI SI RISPONDE deve essere iniziato su una nuova pagina. Chiarezza: Le soluzioni devono essere scritte in modo leggibile, con penna nera (i fogli vengono fotocopiati), e procedendo dall’alto verso il basso della pagina. Svolgimento, calcoli, spiegazioni e diagrammi, disposti in modo appropriato, devono essere mostrati per ottenere il punteggio pieno. Gli scarabocchi non saranno valutati e la chiarezza complessiva è un aspetto importante di questa prova d’esame. Foglio di formule: È consentito qualsiasi foglio dati/formule standard di un ente esaminatore. Calcolatrici: Si può usare qualsiasi calcolatrice standard, ma le calcolatrici non possono essere programmabili e non devono avere capacità di algebra simbolica. Riservatezza: Non discutere alcun aspetto della prova su internet fino alle 8 di sabato 1 febbraio. QUESTA PROVA D’ESAME NON DEVE ESSERE FOTOGRAFATA O PORTATA FUORI DALL’AULA D’ESAME. ————– ——————— ——————— ——————— ——————— Date di allenamento e l’IPhO (Vilnius, Lituania, dal 17 al 26 luglio) In seguito a questo turno, quattordici studenti idonei a rappresentare il Regno Unito all’Olimpiade Internazionale di Fisica (IPhO) saranno invitati a partecipare al Training Camp che si terrà presso il Dipartimento di Fisica dell’Università di Oxford (da venerdì 27 a martedì 31 marzo 2020). Cinque studenti saranno selezionati per un ulteriore addestramento. Da maggio ci sarà un tutoraggio via e-mail per coprire alcuni argomenti e problemi. Ci sarà un Training Camp sperimentale nel fine settimana a Oxford dal 15 al 17 maggio (dal venerdì sera alla domenica pomeriggio), seguito da un Training Camp (a Cambridge), da giovedì 25 giugno a mercoledì 1 luglio, con un secondo Training Camp sperimentale (a Cambridge) da domenica 12 a giovedì 16 luglio.

Costanti importanti

Costante	Simbolo	Valore
Velocità della luce nel vuoto	$c$	$3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$
Carica elementare	$e$	$1.60\times 10^{-19}\text{C}$
Accelerazione di caduta libera sulla superficie terrestre	$g$	$9.81{\text{m s}}^{-2}$
Permittività del vuoto	${ϵ}_0$	$8.85\times 10^{-12}{\text{F m}}^{-1}$
Massa di un elettrone	$m_e$	$9.11\times 10^{-31}\text{kg}$
Massa di un neutrone	$m_n$	$1.67\times 10^{-27}\text{kg}$
Massa di un protone	$m_p$	$1.67\times 10^{-27}\text{kg}$
unità di massa atomica	$u$	$1.661\times 10^{-27}\text{kg}$
(1u equivale a 931,5 MeV)
Raggio di un nucleone	$r_0$	$1.2\times 10^{-15}\text{m}$
Costante di Planck	$h$	$6.63\times 10^{-34}\text{J s}$
Costante gravitazionale	$G$	$6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$
Costante di Boltzmann	$k_B$	$1.38\times 10^{-23}{\text{J K}}^{-1}$
Costante molare dei gas	$R$	$8.31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
Capacità termica specifica dell’acqua	$c_w$	$4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
Massa del Sole	$M_S$	$1.99\times 10^{30}\text{kg}$
Massa della Terra	$M_E$	$5.97\times 10^{24}\text{kg}$
Raggio della Terra	$R_E$	$6.38\times 10^6\text{m}$

$T(\text{K})=T{(}^{\circ }\text{C})+273$

Volume di una sfera $=\frac{4}{3}\pi r^3$

$e^x\approx 1+x+\dots$    $x\ll 1$

$(1+x{)}^n\approx 1+nx$    $x\ll 1$

$\frac{1}{(1+x{)}^n}\approx 1-nx$    $x\ll 1$

$\sin \theta \approx \theta$    per $\theta \ll 1$

$\tan \theta \approx \theta$    per $\theta \ll 1$

$\cos \theta \approx 1-{\theta }^2/2$    per $\theta \ll 1$

PAGINA BIANCA

Quesito 1. Domande generali Inizia la tua risposta su una nuova pagina per questo quesito. (a) Per un modesto intervallo di temperatura, un campione di un metallo a forma di cubo di lato $l_0$ e volume $V_0$ a temperatura ambiente viene riscaldato di $\Delta T$. Per piccole variazioni di temperatura, il suo volume si espande di un fattore dipendente dalla temperatura tale che $V=V_0(1+\gamma \Delta T)$, mentre la sua lunghezza si espande linearmente di un fattore dato da $l=l_0(1+\alpha \Delta T)$. Se entrambi i fattori di espansione sono piccoli, $\gamma =k\alpha$, dove $k$ è un fattore numerico. Ricava un valore per $k$. (b) Due celle hanno f.e.m. ${ϵ}_1$ e ${ϵ}_2$ e resistenze interne $r_1$ e $r_2$. (i) Quali sono le f.e.m. efficaci e le resistenze interne quando queste celle sono disposte: i. in serie? ii. in parallelo? (supponi che le f.e.m. e le resistenze interne siano ora le stesse) (ii) Una cella ha una f.e.m. di 1,0 V e una resistenza interna di 50 $\Omega$. Quante di queste celle, e in quale disposizione, sarebbero necessarie per alimentare una lampada a filamento da 5,0 W, 6,0 V? (c) Nella Figura 1 qui sotto è mostrata un’immagine di una recinzione elettrificata con cristalli di ghiaccio su di essa. Fornisci una spiegazione fisica di questo effetto che puoi vedere. Figura 1: crediti: AAPT 2013 High School Photo Contest

(d) Un’auto elettrica porta un accelerometro che registra anche la distanza percorsa. In Figura 2 è mostrato un grafico della registrazione quando l’auto parte da ferma. Stimare la velocità dell’auto dopo cinque secondi, e la potenza per unità di massa utilizzata per accelerare l’auto in quel momento. Figura 2

Quesito 2. L’Atmosfera & una Molecola Scrivi la tua risposta iniziando su una nuova pagina per questo quesito. I L’atmosfera L’atmosfera è composta dal 78% di azoto, 21% di ossigeno, 0,9% di argon e circa 0,1% di gas in tracce. Il vapore acqueo varia tra circa 0%-4% a seconda della posizione e dell’ora del giorno. (a) Considera un fluido in quiete in un campo gravitazionale $g$. Mostra che, se le forze di attrito all’interno del fluido possono essere trascurate, la variazione di pressione attraverso un cubo sufficientemente piccolo di fluido incomprimibile varia linearmente con l’altezza del cubo. Questa è detta pressione idrostatica. (b) In un modello semplice, l’atmosfera è trattata come un gas ideale. (i) Mostra che la variazione di pressione con l’altezza è esponenziale. Puoi assumere che la variazione di pressione attraverso uno strato molto sottile sia idrostatica, e che la temperatura sia costante. (ii) Perché è sicuro assumere che anche $g$ sia costante? (iii) Quale pensi sia il problema più grande con la formula trovata in (i)? (c) In un altro modello, si assume che il gas (ancora ideale) si espanda adiabaticamente mentre sale. Una trasformazione adiabatica è una trasformazione per la quale la pressione, $P$, del gas e il suo volume, $V$, sono legati da $P{V}^{\gamma }$ = costante, dove $\gamma =\frac{C_P}{C_V}$ con $C_P$ e $C_V$ le capacità termiche del gas per mole rispettivamente a pressione e volume costanti. (i) Trova la velocità di variazione della temperatura con la quota, $\frac{dT}{dh}$ – nota come gradiente termico verticale – in queste circostanze. Puoi assumere senza dimostrazione che $C_P=C_V+R$ con $R$ la costante universale dei gas. (ii) Quindi, o in altro modo, trova una formula più realistica per la variazione della pressione con la quota nell’atmosfera. II Spettri delle molecole Una molecola biatomica può immagazzinare energia sotto forma di vibrazione e rotazione della molecola. Si può dimostrare che le energie sono quantizzate, cioè esistono livelli energetici discreti simili ai livelli energetici che si incontrano nello spettro visibile di un atomo. (d) Una molecola di HCl può essere modellata come due masse, $m_1$ e $m_2$ con separazione media $l$ agli estremi di una molla rigida, con costante elastica $k$, che rappresenta il legame. La frequenza di vibrazione può essere espressa in termini di $k$ e $\mu$, dove $\mu (m_1,m_2)$ è funzione di $m_1$ e $m_2$. $\mu$ ha dimensioni di massa ed è nota come massa ridotta. Considerando il centro di massa del sistema o altro, ricava un’espressione per la frequenza di vibrazione $f$ delle masse sulla molla in termini di $m_1$ e $m_2$ e $k$. Scrivi quindi l’espressione per $\mu$. Lo spettro IR di HCl è mostrato in Fig. 3. Il numero d’onda sull’asse orizzontale è $1/\lambda$ misurato in ${\text{cm}}^{-1}$. Un gas di HCl a bassa pressione è illuminato con radiazione IR e l’assorbimento è misurato su un intervallo di frequenze. La molecola di HCl ruoterà corrispondendo a un numero di livelli energetici discreti vicini, designati dalla lettera J = 0, 1, 2, 3 … mostrati in Fig. 4. I due livelli energetici vibrazionali etichettati con n = 0 e n = 1 corrispondono a una differenza di livello energetico molto più grande.

Figura 3: Spettro IR di HCl. L’inserto mostra l’effetto della differenza di massa isotopica tra Cl-35 e Cl-37. Credito Azo Materials https://www.azom.com/article.aspx?ArticleID=15226 Figura 4: Diagramma dei livelli energetici per HCl. Sono mostrati due livelli vibrazionali (n = 0 e n = 1). I livelli energetici rotazionali sono indicati dai valori di J, con i livelli J = 0 e J = 1 molto vicini tra loro e mostrati come una linea spessa. Sono permesse solo le transizioni corrispondenti a $\Delta J=\pm 1$. Credito https://www.colby.edu/chemistry/PChem/lab/VibRotHClDCl.pdf; Spettroscopia Vibrazionale-Rotazionale di HCl e DCl