UK 2020

Monday 27th January 2020

British Physics Olympiad 2019-20 Round 2 Competition Paper Monday 27th January 2020 Instructions Time: 3 hours (approximately 30 minutes for Q1 and 50 mins each for Qs 2, 3, 4). Questions: All four questions should be attempted. Marks: Questions 2, 3, 4 carry similar marks. Solutions: Answers and calculations are to be written on loose paper. Graph paper should be made available. Students should ensure that their name and their school/college are clearly written on each and every answer sheet. Number each question clearly and number the pages. EACH QUESTION ANSWERED must be started on a new page. Clarity: Solutions must be written legibly, in black pen (the papers are photocopied), and working down the page. Working, calculations, explanations and diagrams, properly laid out, must be shown for full credit. Scribble will not be marked and overall clarity is an important aspect of this exam paper. Formula sheet: You are allowed any standard exam board data/formula sheet. Calculators: Any standard calculator may be used, but calculators cannot be programmable and must not have symbolic algebra capability. Confidentiality: Do not discuss any aspect of the paper on the internet until 8 am Saturday 1st February. THIS QUESTION PAPER MUST NOT BE PHOTOGRAPHED OR TAKEN OUT OF THE EXAM ROOM. ————– ——————— ——————— ——————— ——————— Training Dates and the IPhO (Vilnius, Lithuania, 17th to 26th July) Following this round, fourteen students eligible to represent the UK at the International Physics Olympiad (IPhO) will be invited to attend the Training Camp to be held in the Physics Department at the University of Oxford, (Friday 27th to Tuesday 31st March 2020). Five students will be selected for further training. From May there will be mentoring by email to cover some topics and problems. There will be a weekend Experimental Training Camp in Oxford 15th – 17th May (Friday evening to Sunday afternoon), followed by a Training Camp (in Cambridge), Thursday 25thJune – Wed 1st July, with a second Experimental Training Camp (in Cambridge) Sunday 12th – Thurs 16th July.

Important Constants

Constant	Symbol	Value
Speed of light in free space	$c$	$3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$
Elementary charge	$e$	$1.60\times 10^{-19}\text{C}$
Acceleration of free fall at Earth’s surface	$g$	$9.81{\text{m s}}^{-2}$
Permittivity of free space	${ϵ}_0$	$8.85\times 10^{-12}{\text{F m}}^{-1}$
Mass of an electron	$m_e$	$9.11\times 10^{-31}\text{kg}$
Mass of a neutron	$m_n$	$1.67\times 10^{-27}\text{kg}$
Mass of a proton	$m_p$	$1.67\times 10^{-27}\text{kg}$
atomic mass unit	$u$	$1.661\times 10^{-27}\text{kg}$
(1u is equivalent to 931.5 MeV)
Radius of a nucleon	$r_0$	$1.2\times 10^{-15}\text{m}$
Planck’s constant	$h$	$6.63\times 10^{-34}\text{J s}$
Gravitational constant	$G$	$6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$
Boltzmann constant	$k_B$	$1.38\times 10^{-23}{\text{J K}}^{-1}$
Molar gas constant	$R$	$8.31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
Specific heat capacity of water	$c_w$	$4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
Mass of the Sun	$M_S$	$1.99\times 10^{30}\text{kg}$
Mass of the Earth	$M_E$	$5.97\times 10^{24}\text{kg}$
Radius of the Earth	$R_E$	$6.38\times 10^6\text{m}$

$T(\text{K})=T{(}^{\circ }\text{C})+273$

Volume of a sphere $=\frac{4}{3}\pi r^3$

$e^x\approx 1+x+\dots$    $x\ll 1$

$(1+x{)}^n\approx 1+nx$    $x\ll 1$

$\frac{1}{(1+x{)}^n}\approx 1-nx$    $x\ll 1$

$\sin \theta \approx \theta$    for $\theta \ll 1$

$\tan \theta \approx \theta$    for $\theta \ll 1$

$\cos \theta \approx 1-{\theta }^2/2$    for $\theta \ll 1$

BLANK PAGE

Qu 1. General Questions Write you answer starting on a new page for this question. (a) For a modest temperature range, a sample of a metal in the form of a cube of side $l_0$ and volume $V_0$ at room temperature is heated by $\Delta T$. For small temperature changes, its volume expands by a temperature dependent factor such that $V=V_0(1+\gamma \Delta T)$, whilst its length expands linearly by a factor given by $l=l_0(1+\alpha \Delta T)$. If the expansion factors are both small, $\gamma =k\alpha$, where $k$ is a numerical factor. Derive a value for $k$. (b) Two cells have e.m.f.s ${ϵ}_1$ and ${ϵ}_2$ and internal resistances $r_1$ and $r_2$. (i) What are the effective e.m.f.s and internal resistances when these cells are arranged: i. in series? ii. in parallel? (assume that the e.m.f.s and internal resistances are now the same) (ii) A cell has an e.m.f. of 1.0 V and an internal resistance of 50 $\Omega$. How many of these cells, and in what arrangement, would be needed to power a 5.0 W, 6.0 V filament lamp? (c) Shown in Figure 1 below is an image of an electrified fence with ice crystals on it. Give a physics explanation of this effect that you can see. Figure 1: credit: AAPT 2013 High School Photo Contest

(d) An electric car carries an accelerometer which also records the distance travelled. A graph of the recording when the car starts from rest is shown in Figure 2. Estimate the velocity of the car after five seconds, and the power per unit mass which is used to accelerate the car at that moment. Figure 2

Qu 2. The Atmosphere & a Molecule Write you answer starting on a new page for this question. I The atmosphere The atmosphere is composed of 78% nitrogen, 21% oxygen, 0.9% argon and about 0.1% trace gases. Water vapour varies between about 0%-4% depending on location and time of day. (a) Consider a fluid at rest in a gravitational field $g$. Show that, if frictional forces within the fluid can be neglected, the pressure variation across a sufficiently small cube of incompressible fluid varies linearly with the height of the cube. This is referred to as hydrostatic pressure. (b) In a simple model, the atmosphere is treated as an ideal gas. (i) Show that the variation in pressure with height is exponential. You may assume that the pressure variation across a very thin layer is hydrostatic, and that temperature is constant. (ii) Why is it safe to assume that $g$ is constant too? (iii) What do you think is the biggest issue with the formula found in (i)? (c) In another model, the gas (still ideal) is assumed to expand adiabatically as it rises. An adiabatic change is one for which the pressure, $P$, of the gas and its volume, $V$, are related by $P{V}^{\gamma }$ = constant, where $\gamma =\frac{C_P}{C_V}$ with $C_P$ and $C_V$ the heat capacities of the gas per mole at constant pressure and volume respectively. (i) Find the rate of change of temperature with height, $\frac{dT}{dh}$ – known as the temperature lapse rate – under these circumstances. You may assume without proof that $C_P=C_V+R$ with $R$ the molar gas constant. (ii) Hence or otherwise find a more realistic formula for the pressure variation with height in the atmosphere. II Spectra of molecules A diatomic molecule can store energy in the form of vibration and rotation of the molecule. The energies can be shown to be quantised i.e. there are discrete energy levels similar to the energy levels encountered in the visible spectrum of an atom. (d) An HCl molecule can be modelled as two masses, $m_1$ and $m_2$ with mean separation $l$ at the ends of a stiff spring, with spring constant $k$, representing the bond. The frequency of vibration can be expressed in terms of $k$ and $\mu$, where $\mu (m_1,m_2)$ is function of $m_1$ and $m_2$. $\mu$ has dimensions of mass and is known as the reduced mass. By considering the centre of mass of the system or otherwise, derive an expression for the frequency of vibration $f$ of the masses on the spring in terms of $m_1$ and $m_2$ and $k$. Hence write down the expression for $\mu$. The IR spectrum of HCl is shown in Fig. 3. The wavenumber on the horizontal axis is $1/\lambda$ measured in ${\text{cm}}^{-1}$. A low pressure gas of HCl is illuminated with IR radiation and the absorption measured over a range of frequencies. The HCl molecule will rotate corresponding to a number of close, discrete energy levels designated by the letter J = 0, 1, 2, 3 … shown in Fig. 4. The two vibrational energy levels labelled with n = 0 and n = 1 correspond to a very much larger energy level difference.

Figure 3: IR spectrum of HCl. The inset shows the effect of the Cl-35 and Cl-37 isotopic mass difference. Credit Azo Materials https://www.azom.com/article.aspx?ArticleID=15226 Figure 4: Energy level diagram for HCl. Two vibrational energy levels are shown (n = 0 and n = 1). The rotational energy levels are designated by the J values, with the J = 0 and J = 1 levels very close together and shown as a thick line. Only transitions corresponding to $\Delta J=\pm 1$ are allowed. Credit https://www.colby.edu/chemistry/PChem/lab/VibRotHClDCl.pdf; Vibration- Rotation Spectroscopy of HCl and DCl

Topic: Thermodynamics, Circuits, Modern-Quantum Physics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, Approximation & Series Expansion, Kirchhoff’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Graph Linearization Objects: Gas, Battery, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1

Lunedì 27 gennaio 2020

Olimpiada britannica di fisica 2019-20 Documento di gara del secondo turno Lunedì 27 gennaio 2020 Instruzioni Tempo: 3 ore (circa 30 minuti per il primo trimestre e 50 minuti ciascuno per il secondo trimestre, il terzo trimestre, il quarto trimestre). Domande: Dovreste provare tutte e quattro le domande. Marchi: le domande 2, 3, 4 hanno marchi simili. Risoluzioni: Risposte e calcoli devono essere scritti su carta libera. La carta grafica dovrebbe essere

• di cui all’articolo 2, paragrafo 1, del regolamento (CE) n. Gli studenti devono assicurarsi che il loro nome e la loro scuola/università siano chiaramente scritta su ogni foglio di risposta. Numerifica chiaramente ogni domanda e numerifica le pagine. Ogni domanda deve essere risolta in una nuova pagina. Chiarezza: le soluzioni devono essere scritte in modo leggibile, con penna nera (le carte sono fotocopiate), e
• Sta lavorando sulla pagina. Lavoro, calcoli, spiegazioni e diagrammi, adeguatamente disegnati, deve essere dimostrato per il pieno credito. La scrittura non sarà contrassegnata e la chiarezza generale è un’importante aspetto di questo documento di esame. Formula: è consentito qualsiasi documento standard del consiglio di esame. Calcolatori: possono essere utilizzati qualsiasi calcolatore standard, ma non possono essere programmabili e non deve avere capacità di algebra simbolica. Confidenzialità: non discutere di nessun aspetto del documento su internet fino alle 8 del sabato mattina Il 1° febbraio. QUESTIONE NON DEVE essere fotografato o tolto fuori La sala degli esami. ————– ——————— ——————— ——————— ——————— Data di formazione e IPhO (Vilnius, Lituania, dal 17 al 26 luglio) A seguito di questo round, quattordici studenti sono ammissibili a rappresentare il Regno Unito al L’Olimpiade di Fisica (IPhO) sarà invitata a partecipare al Campeggio di Formazione che si terrà a Dipartimento di fisica presso l’Università di Oxford, (vendì 27 a martedì 31 marzo 2020). Cinque studenti saranno selezionati per la formazione. A partire da maggio ci sarà un programma di mentoring per e-mail Il Consiglio ha adottato una decisione che prevede la modifica del regolamento (CE) n. Ci sarà un campo di addestramento sperimentale per il fine settimana . a Oxford il 15° 17 maggio (vendetta sera al domenica pomeriggio), seguito da una formazione Camp (a Cambridge), giovedì 25 giugno mercoledì 1 luglio, con un secondo esperimento Campo di addestramento (a Cambridge) Domenica 12th Thurs 16th luglio.

Costanti importanti

Costante simbolo Valore | --- | --- | --- | | Speed of light in free space | $c$ | $3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$ | | Elementary charge | $e$ | $1.60\times 10^{-19}\text{C}$ | | Acceleration of free fall at Earth’s surface | $g$ | $9.81{\text{m s}}^{-2}$ | | Permittivity of free space | ${ϵ}_0$ | $8.85\times 10^{-12}{\text{F m}}^{-1}$ | | Mass of an electron | $m_e$ | $9.11\times 10^{-31}\text{kg}$ | | Mass of a neutron | $m_n$ | $1.67\times 10^{-27}\text{kg}$ | | Mass of a proton | $m_p$ | $1.67\times 10^{-27}\text{kg}$ | | atomic mass unit | $u$ | $1.661\times 10^{-27}\text{kg}$ | ∙ 1u equivale a 931.5 MeV ∙ ∙ ∙ ∙ | Radius of a nucleon | $r_0$ | $1.2\times 10^{-15}\text{m}$ | | Planck’s constant | $h$ | $6.63\times 10^{-34}\text{J s}$ | | Gravitational constant | $G$ | $6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$ | | Boltzmann constant | $k_B$ | $1.38\times 10^{-23}{\text{J K}}^{-1}$ | | Molar gas constant | $R$ | $8.31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ | | Specific heat capacity of water | $c_w$ | $4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ | | Mass of the Sun | $M_S$ | $1.99\times 10^{30}\text{kg}$ | | Mass of the Earth | $M_E$ | $5.97\times 10^{24}\text{kg}$ | | Radius of the Earth | $R_E$ | $6.38\times 10^6\text{m}$ |

$T(\text{K})=T{(}^{\circ }\text{C})+273$

Volume di una sfera $=\frac{4}{3}\pi r^3$

$e^x\approx 1+x+\dots$    $x\ll 1$

$(1+x{)}^n\approx 1+nx$    $x\ll 1$

$\frac{1}{(1+x{)}^n}\approx 1-nx$    $x\ll 1$

$\sin \theta \approx \theta$ per $\theta \ll 1$

$\tan \theta \approx \theta$ per $\theta \ll 1$

$\cos \theta \approx 1-{\theta }^2/2$ per $\theta \ll 1$

PAGINA BLANCA

Qu 1. Domande generali Scrivi la tua risposta a partire da una nuova pagina per questa domanda. a) Per un intervallo di temperatura modesto, un campione di metallo sotto forma di cubo laterale $l_0$ e il volume $V_0$ a temperatura ambiente è riscaldato da $\Delta T$. Per piccole variazioni di temperatura, il il volume si espandono di un fattore dipendente dalla temperatura tale che $V=V_0(1+\gamma \Delta T)$, mentre la sua lunghezza si espandono linearmente per un fattore dato da $l=l_0(1+\alpha \Delta T)$. Se i fattori di espansione sono entrambi piccoli, $\gamma =k\alpha$, dove $k$ è un fattore numerico. Derivare un valore per $k$. b) Due celle hanno le e.m.f.s ${ϵ}_1$ e ${ϵ}_2$ e le resistenze interne $r_1$ e $r_2$. (i) Quali sono gli effettivi e.m.f.s e le resistenze interne quando queste celle sono disposte: i. in serie? ii. - in parallelo? (supponendo che le e.m.f. e le resistenze interne siano ora le stesse) (ii) Una cellula ha un e.m.f. di 1,0 V e una resistenza interna di 50 $\Omega$. Quanti di questi le celle e in che disposizione sarebbe necessario alimentare un filamento di 5,0 W, 6,0 V

• La lampada? c) Nella figura 1 qui sotto è mostrata un’immagine di una recinzione elettrificata con cristalli di ghiaccio. - Dare una spiegazione fisica di questo effetto che puoi vedere. Figura 1: credito: Concorso fotografico AAPT 2013

d) Un veicolo elettrico ha un accelerometro che registra anche la distanza percorsa. A grafico della registrazione quando l’auto parte dal riposo è mostrato alla figura 2. Estimato la velocità dell’auto dopo cinque secondi e la potenza per unità di massa utilizzata per Accelera l’auto in quel momento. Figura 2

Qu 2. L’atmosfera e una molecola Scrivi la tua risposta a partire da una nuova pagina per questa domanda. L’atmosfera L’atmosfera è composta dal 78% di azoto, dal 21% di ossigeno, dallo 0,9% di argone e da circa lo 0,1% di tracce.

• gas. Il vapore d’acqua varia tra circa il 0% e il 4% a seconda della posizione e dell’ora del giorno. (a) Considerare un fluido in riposo in un campo gravitazionale $g$. Mostrare che, se le forze di attrito all’interno del Il fluido può essere trascurato, la variazione di pressione su un cubo sufficientemente piccolo di il liquido incompressibile varia linearmente con l’altezza del cubo. Questo è indicato come pressione idrostatica. b) In un modello semplice, l’atmosfera è trattata come un gas ideale. (i) Mostra che la variazione della pressione con l’altezza è esponenziale. Potreste presumere che La variazione di pressione su uno strato molto sottile è idrostatica, e la temperatura è costante. (ii) Perché è sicuro presumere che anche il $g$ sia costante? (iii) Qual è, secondo lei, il problema più importante della formula di cui al punto (i)? In un altro modello, si presume che il gas (anche ideale) si espandrà adiabaticamente man mano che sale. An variazione adiabatica è quella per la quale la pressione $P$ del gas e il suo volume, $V$, sono Relati con $P{V}^{\gamma }$ = costante, dove $\gamma =\frac{C_P}{C_V}$ con $C_P$ e $C_V$ le capacità termiche della gas per mol a pressione costante e volume rispettivamente. (i) Trovare il tasso di variazione della temperatura con l’altezza, $\frac{dT}{dh}$ noto come temperatura tasso di scadenza in tali circostanze. Puoi supporre senza prove che $C_P=C_V+R$ with $R$ la costante di gas molare.
• In tal modo o in altro modo trovare una formula più realistica per la variazione di pressione con l’altezza nell’atmosfera. II Spettro delle molecole Una molecola diatomica può immagazzinare energia sotto forma di vibrazione e rotazione della molecola. Le energie possono essere dimostrate quantificate, cioè ci sono livelli di energia discreti simili a livelli di energia incontrati nello spettro visibile di un atomo. d) Una molecola di HCl può essere modellata come due masse, $m_1$ e $m_2$, con separazione media $l$ a le estremità di una molla rigida, con costante molla $k$, che rappresentano il legame. La frequenza di vibrazione può essere espressa in termini di $k$ e $\mu$, dove $\mu (m_1,m_2)$ è funzione di $m_1$ e $m_2$. $\mu$ ha dimensioni di massa e è conosciuta come massa ridotta. Considerando il centro di massa del sistema o altrimenti, derivare un’espressione per la frequenza di vibrazione $f$ delle masse sulla molla in termini di $m_1$ e $m_2$ e $k$. Quindi scrivete l’espressione per $\mu$. Lo spettro IR dell’HCl è mostrato nella figura. 3. Il numero d’onda sull’asse orizzontale è $1/\lambda$ misurata in ${\text{cm}}^{-1}$. Un gas a bassa pressione di HCl è illuminato con radiazioni IR e il assorbimento misurato su un intervallo di frequenze. La molecola HCl ruoterà corrispondente a un numero di livelli di energia vicini e discreti indicati con la lettera J = 0, 1, 2, 3 … in cui Fig. - Cosa? 4. I due livelli di energia vibrazionale etichettati con n = 0 e n = 1 corrispondono a un la differenza di livello di energia molto maggiore.

Figura 3: Spettro IR di HCl. L’insetto mostra l’effetto della massa isotopica Cl-35 e Cl-37

• La differenza. Credito Azo Materiali https://www.azom.com/article.aspx?ArticleID=15226 Figura 4: Diagramma del livello di energia per HCl. Sono mostrati due livelli di energia vibrazionale (n = 0 e n = 1). I livelli di energia di rotazione sono indicati dai valori J, con i livelli J = 0 e J = 1 molto vicini uniti e mostrati come una linea spessa. Sono ammesse solo le transizioni corrispondenti a $\Delta J=\pm 1$. Credito: https://www.colby.edu/chemistry/PChem/lab/VibRotHClDCl.pdf; Vibrazione-spettroscopia di rotazione di HCl e DCl

Topic: Thermodynamics, Circuits, Modern-Quantum Physics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, Approximation & Series Expansion, Kirchhoff’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Graph Linearization Objects: Gas, Battery, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1