UK 2020

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.9

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.9

P2 Z2 Z1 V A L w w Figure 7 (ii) If a thin lens has a diameter of 5.0 cm, and $n=1.5$, what is the value of the apex angle $A$ for the lens with a focal length of 40 cm? (The focal length is the distance from the lens where a set of parallel rays entering the lens would cross the axis.) (3) u v

Figure 8 d) A 60 m tank of water has a stroboscope at one end producing white light in equal time on/off flashes at a frequency $f_0$. The refractive index of water for red light is 1.33 and for blue light it is 1.35. Estimate the maximum flash frequency at which light pulses can enter the tank and emerge from the far end as separate flashes. (3) e) From the Earth’s surface, a star can be observed through a telescope. However, the angle of the star measured from the vertical is shifted due to refraction by the Earth’s atmosphere, as indicated in the model in Figure 9. The true position of the star is at angle $\alpha$ to the vertical, and the observed angle is at ${\alpha }_0$ to the vertical, with the small difference in angle being given by $r$, such that $\alpha ={\alpha }_0+r$. It should be assumed that $r$ is a small angle. (i) Obtain an expression relating $\alpha$ and ${\alpha }_0$ for the refracted light. (ii) Hence find an expression for $r$ in terms of $\tan {\alpha }_0$ and $n_0$, the refractive index of the atmosphere at the Earth’s surface. apparent position true position $n_0$ $n_1$ $n_2$ $n_3$ $n_4$ ${\alpha }_0$

Figure 9: The atmosphere is treated as distinct horizontal layers of refractive index from $n_0,n_1,\dots$ to $n_n$ at the top. (6) [25 marks]

Question 5 This question is about circular motion and gravity. a) A hump-back bridge has a circular cross section. It crosses a river of width 18 m and the height of the centre of the bridge above the surrounding ground is 4.0 m. What is the maximum speed at which a car can drive over the bridge whilst still remaining in contact with it? Hint: if two chords of a circle, AB and CD meet at a point S then $AS\cdot SB=CS\cdot SD$ (3) b) The Sun orbits the centre of the Milky Way galaxy at a radius of 30 000 light years, and a period of orbit about the galaxy of 200 million years. Assuming that the mass distribution of matter in the galaxy is concentrated mainly in a central uniform sphere and the Earth lies in one of the arms, as illustrated schematically in Figure 10, (i) obtain an expression for the period of orbit $T$ of the Sun in terms of its radius of orbit, $r$, $G$ and $M_g$, the mass of the galaxy. (ii) Determine a value of the mass of the galaxy. (iii) If the Sun represents the mass of an average star, estimate the number of stars in the Milky Way. (3) Figure 10: Schematic of the Milky Way galaxy, viewed in the plane, with the Sun along one ’arm’, marked by the arrow. c) A satellite orbits the spherical Earth of radius $R_E$ in a circular orbit of radius $r$. (i) Write down an expression for the speed $v$ of the satellite in terms of $r$, $G$ and $M_E$, the mass of the Earth, explaining the physics needed to obtain your expression. (ii) Evaluate the speed of a satellite in a low orbit, if it was just grazing the Earth. (iii) Calculate the period of the satellite orbit. (iv) The satellite instead orbits at a height $h\ll R_E$ above the surface of the Earth. Obtain an expression for the fractional change $\frac{\Delta T}{T}$ of the orbital period $T$ in terms of $h$ and $R_E$. Hence what is the period of orbit of the satellite orbiting at a height of 200 km? (v) Sketch a graph of the period of orbit $T$ against $h$ for $h\ll R_E$. (vi) Show that when a large mass $m_1$ moving at speed $u$ collides elastically with a stationary small mass $m_2$, the kinetic energy lost by $m_1$ is $\approx 2m_2{u}^2$ (vii) When a small satellite of mass $m$ and cross-sectional area $A$ passes through a gas of density $\rho$ it will make numerous elastic collisions with molecules of the gas. Obtain an expression for the rate of loss of energy of the satellite in terms of $\rho$, $A$ and $v$. (viii) An Earth satellite of mass 20 kg is in a circular orbit at a height small compared to the radius of the Earth. If air resistance causes its total energy to decrease by 10 kJ per revolution, what is the fractional change in its speed per revolution? (ix) By considering an expression for total energy of a satellite in orbit, show whether the speed increases or decreases. (x) By simply using values for the period and speed of an Earth orbiting satellite in a grazing orbit, if the cross-sectional area of the satellite is $2.4{\text{m}}^2$, estimate the density of the atmosphere for this rate of energy loss. (14) d) In the previous parts of this question, we assumed that the mass of the Earth was very much larger than the satellite. In the remainder of this question, we relax this approximation. Many stars are found as part of binary systems, consisting of two stars of unequal mass in circular orbits about one another. (i) Draw a diagram of the orbits of such a binary system labelling the positions of the two stars at two successive times in their orbits. (ii) Suppose the stars have mass $m$ and $km$ with $k>1$, what are their relative orbital radii? (iii) One day the more massive star explodes in a supernova. After the explosion, the masses of the stars are now equal, and the exploding material has moved to a great distance away. Describe using diagrams the motion of the star system if the binary system were to remain bound. Assume the supernova causes the larger star to lose mass in a spherical symmetrical manner. (iv) Find the critical value of the initial mass ratio $k$, above which the binary system becomes unbound after the explosion described in (iii). (5) [25 marks]

Question 6 This question is about atomic structure and electric fields. The sodium chloride crystal has a face centred cubic structure and we shall consider a unit cell (smallest repeating unit) which is in the octahedron shown shaded in Figure 11. For the purposes of this question we will consider the upper left octahedron, with the (blue/grey) circles at the corners to be the chlorine ions, and the (black) central ions to be sodium. The ions in the crystal lattice are held in place by electrostatic forces, and the ions are considered to be point charges. The charge on a sodium ion is $+1e$; the charge on a chlorine ion, $-1e$. The distance $a$, between any two adjacent chlorine ions is 0.564 nm. Figure 11: credit: Figure attributed to S K Lower, https://doclecture.net/1-49591.html a) What is the separation between nearest sodium and chlorine ions? (1) b) Calculate the electric potential energy of the unit cell, considering it to be the building block for the solid, so that you can take its overall charge to be zero and assign an appropriate charge to each chlorine ion. If, in our very simple model, we ignore the interaction between chlorine ions, estimate the energy released when 1 mole of NaCl is formed. (3) c) Now consider the octahedron shown in isolation. One sodium ion surrounded by six chlorine ions, the latter which we shall consider to be in fixed positions. If the sodium ion is displaced by a small distance $x$ towards one of the chlorine ions, it will experience a resultant force towards its equilibrium position. Using suitable approximations when $x\ll a$, determine: (i) An expression, in terms of the electronic charge $e$, the unit cell dimension $a$, the small displacement $x$, and the constants $\pi$ and ${\epsilon }_0$, for the resultant force acting on the sodium ion. (ii) Estimate the frequency of oscillation, assuming it approximates to simple harmonic motion, and the mass of the ion to be 23 u. (6) One surface of the sodium chloride crystal looks like Figure 12, and this surface can be investigated using electron diffraction. d) A beam of electrons accelerated through a potential of 100 V is directed normally on to the surface. The electrons scatter back elastically from the surface layer of ions. By considering the electrons to behave as waves diffracted by the surface, determine Figure 12: credit: http://physicsforeach.blogspot.com/2012/09/oth (i) an expression for the angle of interference maxima (relative to the normal) along the principle directions shown by the box edges in the

Topic: Geometric Optics, Gravitation, Electrostatics Metodi: Snell’s Law, Thin Lens & Mirror Equation, Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Coulomb’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Conservation of Energy, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Lens, Container, Star, Satellite, Planet, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.9

P2 Z2 Z1 V A L w w Figura 7 (ii) Se una lente sottile ha un diametro di 5,0 cm e $n=1.5$, quale è il valore dell’apice angolo $A$ per l’obiettivo con una lunghezza focale di 40 cm? (La distanza focale è la distanza dalla lente in cui un insieme di raggi paralleli che entrano l’obiettivo attraverserebbe l’asse.) (3) u v

Figura 8 d) Un serbatoio d’acqua di 60 m ha uno stroboscopio ad una estremità che produce luce bianca in tempo pari lampioni di accensione/speglio a frequenza $f_0$. L’indice di rifrazione dell’acqua per la luce rossa è di 1,33 e per Luce blu, è 1,35. Calcolare la frequenza massima di lampeggiamento con cui gli impulsi di luce possono entrare nel serbatoio e emergere dall’estremità distante come lampi separati. (3) e) Dalla superficie terrestre, una stella può essere osservata attraverso un telescopio. Tuttavia, il L’angolo della stella misurato dalla verticale è spostato a causa della rifrazione da parte delle Terres atmosfera, come indicato nel modello della figura 9. La vera posizione della stella è a L’angolo $\alpha$ verso la verticale, e l’angolo osservato è ${\alpha }_0$ verso la verticale, con la piccola differenze di angolo da $r$, in modo tale che $\alpha ={\alpha }_0+r$. Si presume che $r$ è un angolo piccolo. (i) Ottenere un’espressione relativa a $\alpha$ e ${\alpha }_0$ per la luce refratta.

• trovare quindi un’espressione per $r$ in termini di $\tan {\alpha }_0$ e $n_0$, l’indice di rifrazione del l’atmosfera sulla superficie terrestre. apparente posizione vero posizione $n_0$ $n_1$ $n_2$ $n_3$ $n_4$ ${\alpha }_0$

Figura 9: L’atmosfera è trattata come strati orizzontali distinti di indice di rifrazione da $n_0,n_1,\dots$ a $n_n$ in alto. (6) [25 punti]

Domanda 5 Questa domanda riguarda il movimento circolare e la gravità. a) Un ponte a schiena a gomma ha una sezione incrociata circolare. Il suo lato è un fiume di 18 m di larghezza e il suo lato è l’altezza del centro del ponte sopra il terreno circostante è di 4,0 m. Che cos’è velocità massima con cui un’auto può superare il ponte rimanendo in contatto

• Con questo? Suggerimento: se due accordi di un cerchio, AB e CD si incontrano in un punto S, allora $AS\cdot SB=CS\cdot SD$ (3) b) Il Sole orbita intorno al centro della Via Lattea a un raggio di 30 000 anni luce e a Periodo di orbita intorno alla galassia di 200 milioni di anni. Supponendo che la distribuzione di massa della materia nella galassia è concentrata principalmente in una sfera centrale uniforme e la Terra si trova in uno dei bracci, come illustrato schematicamente alla figura 10,
• ottenere un’espressione per il periodo di orbita $T$ del Sole in termini di raggio di Orbita, $r$, $G$ e $M_g$, massa della galassia. (ii) Determinare un valore della massa della galassia. (iii) Se il Sole rappresenta la massa media di una stella, stima il numero di stelle nella La Via Lattea. (3) Figura 10: Schema della Via Lattea, vista in piano, con il Sole lungo un braccio segnato dalla freccia. c) Un satellite orbita intorno alla Terra sferica di raggio $R_E$ in un’orbita circolare di raggio $r$. (i) Scrivere un’espressione per la velocità $v$ del satellite in termini di $r$, $G$ e $M_E$, la massa della Terra, spiegando la fisica necessaria per ottenere la vostra espressione. (ii) Valutare la velocità di un satellite in bassa orbita, se si trattava solo di pascolare la Terra.
• Calcolare il periodo di orbita del satellite. (iv) Il satellite invece orbita ad un’altezza $h\ll R_E$ sopra la superficie terrestre. Ottenere un’espressione per la variazione frazionaria $\frac{\Delta T}{T}$ del periodo orbitale $T$ in termini di $h$ e $R_E$. Quindi, qual è il periodo di orbita del satellite che orbita ad un’altezza di 200 km? (v) Segnare un grafico del periodo di orbita $T$ contro $h$ per $h\ll R_E$. (vi) Indicare che quando una grande massa $m_1$ in movimento a velocità $u$ colpisce elasticamente con un massa stazionaria di piccole dimensioni $m_2$, l’energia cinetica persa da $m_1$ è $\approx 2m_2{u}^2$ (vii) Quando un piccolo satellite di massa $m$ e area trasversale $A$ passa attraverso un gas di La densità $\rho$ causerà numerose collisioni elastiche con le molecole del gas. Ottenere un’espressione per il tasso di perdita di energia del satellite in termini di $\rho$, $A$ e $v$. (viii) Un satellite terrestre di massa di 20 kg si trova in orbita circolare ad un’altezza inferiore a quella di il raggio della Terra. Se la resistenza all’aria fa diminuire la sua energia totale di 10 kJ per rivoluzione, qual è la variazione frazionaria della sua velocità per rivoluzione? (ix) Considerando un’espressione per l’energia totale di un satellite in orbita, mostrare se la velocità aumenta o diminuisce. (x) Semplicemente utilizzando i valori per il periodo e la velocità di un satellite in orbita terrestre in un’orbita di pascolo, se la superficie trasversale del satellite è $2.4{\text{m}}^2$, stima la densità dell’atmosfera per questo tasso di perdita di energia. (14) D) Nelle parti precedenti di questa domanda, abbiamo supposto che la massa della Terra fosse molto elevata. Molto più grande del satellite. Nel resto di questa domanda, rilassamo questo approssimazione. Molte stelle sono presenti come parte di sistemi binari, composti da due stelle di massa diseguale in orbita circolare. (i) Disegnare un diagramma delle orbite di tale sistema binario che etichettino le posizioni delle due stelle in due volte successive nelle loro orbite. (ii) Supponiamo che le stelle abbiano massa $m$ e $km$ con $k>1$, qual è la loro orbita relativa
• I radii? (iii) Un giorno la stella più massiccia esplode in una supernova. Dopo l’esplosione, il le masse delle stelle sono ora uguali, e il materiale esplosivo si è spostato a un grande Distanza. Descrivere con diagrammi il movimento del sistema stellare se il binario Il sistema deve rimanere legato. Supponiamo che la supernova faccia perdere la stella più grande massa in maniera sferica simmetrica. (iv) Trova il valore critico del rapporto di massa iniziale $k$, sopra il quale il sistema binario non si riattacca dopo l’esplosione descritta alla lettera iii). (5) [25 punti]

Domanda 6 Questa domanda riguarda la struttura atomica e i campi elettrici. Il cristallo di cloruro di sodio ha una struttura cubica centrata sulla faccia e consideriamo una cellula unità (unità più piccola di ripetizione) che si trova nell’ottaedro mostrato all’ombra nella figura 11. Per il Per le finalità di questa domanda consideriamo l’ottaedro superiore sinistro, con il (blu/grigio) circoli nelle angolazioni per essere gli ioni di cloro, e gli ioni centrali (neri) per essere il sodio. Gli ioni nella reticola cristallina sono tenuti in posizione dalle forze elettrostatiche, e gli ioni sono considerati carichi di punti. La carica su un ione di sodio è $+1e$; la carica su un cloro ioni, $-1e$. La distanza $a$ tra due ioni di cloro adiacenti è di 0,564 nm. Figura 11: Credito: Figura attribuita a S K Lower, https://doclecture.net/1-49591.html a) Qual è la separazione tra gli ioni di sodio e di cloro più vicini? (1) b) Calcolare l’energia elettrica potenziale della cella unità, considerando che esso è l’edificio blocco per il solido, in modo da poter prendere la sua carica complessiva a zero e assegnare un carica adeguata a ciascun ione di cloro. Se, nel nostro modello molto semplice, ignoriamo il interazione tra ioni di cloro, stimare l’energia rilasciata quando 1 mole di NaCl è

• si sono formati. (3) c) Ora consideriamo l’ottaedro mostrato isolato. Un ione di sodio circondato da sei Infine, il Consiglio ha adottato una proposta di risoluzione che prevede che la Commissione possa adottare una decisione che stabilisca la situazione in cui si trovano gli ioni di cloro. Se il sodio se l’ion è spostato da una piccola distanza $x$ verso uno degli ioni di cloro, esso subirà una forza risultante verso la sua posizione di equilibrio. Utilizzando approssimazioni adeguate quando $x\ll a$, determinare:
• un’espressione, in termini di carica elettronica $e$, della dimensione di cellula unitaria $a$, small displacement $x$, and the constants $\pi$ and ${\epsilon }_0$, for the resultant force acting on l’ion sodio.
• Estimare la frequenza di oscillazione, supponendo che si approssimino a una semplice armonica Il movimento, e la massa dell’ioone a 23 u. (6) Una superficie del cristallo di cloruro di sodio sembra la figura 12, e questa superficie può essere studiati con diffrazione elettronica. d) Un fascio di elettroni accelerato con un potenziale di 100 V è normalmente diretto verso
• A terra. Gli elettroni si disperdono elasticamente dal livello superficiale degli ioni. By considerando che gli elettroni si comportino come onde diffratte dalla superficie, determinare Figura 12: Credito: http://physicsforeach.blogspot.com/2012/09/oth
• un’espressione per l’angolo di interferenza massima (relativamente alla normale) lungo il le indicazioni principali indicate dai bordi della casella

Topic: Geometric Optics, Gravitation, Electrostatics Metodi: Snell’s Law, Thin Lens & Mirror Equation, Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Coulomb’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Conservation of Energy, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Lens, Container, Star, Satellite, Planet, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.9