UK 2020

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.9

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.9

P2 Z2 Z1 V A L w w Figure 7 (ii) If a thin lens has a diameter of 5.0 cm, and $n=1.5$, what is the value of the apex angle $A$ for the lens with a focal length of 40 cm? (The focal length is the distance from the lens where a set of parallel rays entering the lens would cross the axis.) (3) u v

Figure 8 d) A 60 m tank of water has a stroboscope at one end producing white light in equal time on/off flashes at a frequency $f_0$. The refractive index of water for red light is 1.33 and for blue light it is 1.35. Estimate the maximum flash frequency at which light pulses can enter the tank and emerge from the far end as separate flashes. (3) e) From the Earth’s surface, a star can be observed through a telescope. However, the angle of the star measured from the vertical is shifted due to refraction by the Earth’s atmosphere, as indicated in the model in Figure 9. The true position of the star is at angle $\alpha$ to the vertical, and the observed angle is at ${\alpha }_0$ to the vertical, with the small difference in angle being given by $r$, such that $\alpha ={\alpha }_0+r$. It should be assumed that $r$ is a small angle. (i) Obtain an expression relating $\alpha$ and ${\alpha }_0$ for the refracted light. (ii) Hence find an expression for $r$ in terms of $\tan {\alpha }_0$ and $n_0$, the refractive index of the atmosphere at the Earth’s surface. apparent position true position $n_0$ $n_1$ $n_2$ $n_3$ $n_4$ ${\alpha }_0$

Figure 9: The atmosphere is treated as distinct horizontal layers of refractive index from $n_0,n_1,\dots$ to $n_n$ at the top. (6) [25 marks]

Question 5 This question is about circular motion and gravity. a) A hump-back bridge has a circular cross section. It crosses a river of width 18 m and the height of the centre of the bridge above the surrounding ground is 4.0 m. What is the maximum speed at which a car can drive over the bridge whilst still remaining in contact with it? Hint: if two chords of a circle, AB and CD meet at a point S then $AS\cdot SB=CS\cdot SD$ (3) b) The Sun orbits the centre of the Milky Way galaxy at a radius of 30 000 light years, and a period of orbit about the galaxy of 200 million years. Assuming that the mass distribution of matter in the galaxy is concentrated mainly in a central uniform sphere and the Earth lies in one of the arms, as illustrated schematically in Figure 10, (i) obtain an expression for the period of orbit $T$ of the Sun in terms of its radius of orbit, $r$, $G$ and $M_g$, the mass of the galaxy. (ii) Determine a value of the mass of the galaxy. (iii) If the Sun represents the mass of an average star, estimate the number of stars in the Milky Way. (3) Figure 10: Schematic of the Milky Way galaxy, viewed in the plane, with the Sun along one ’arm’, marked by the arrow. c) A satellite orbits the spherical Earth of radius $R_E$ in a circular orbit of radius $r$. (i) Write down an expression for the speed $v$ of the satellite in terms of $r$, $G$ and $M_E$, the mass of the Earth, explaining the physics needed to obtain your expression. (ii) Evaluate the speed of a satellite in a low orbit, if it was just grazing the Earth. (iii) Calculate the period of the satellite orbit. (iv) The satellite instead orbits at a height $h\ll R_E$ above the surface of the Earth. Obtain an expression for the fractional change $\frac{\Delta T}{T}$ of the orbital period $T$ in terms of $h$ and $R_E$. Hence what is the period of orbit of the satellite orbiting at a height of 200 km? (v) Sketch a graph of the period of orbit $T$ against $h$ for $h\ll R_E$. (vi) Show that when a large mass $m_1$ moving at speed $u$ collides elastically with a stationary small mass $m_2$, the kinetic energy lost by $m_1$ is $\approx 2m_2{u}^2$ (vii) When a small satellite of mass $m$ and cross-sectional area $A$ passes through a gas of density $\rho$ it will make numerous elastic collisions with molecules of the gas. Obtain an expression for the rate of loss of energy of the satellite in terms of $\rho$, $A$ and $v$. (viii) An Earth satellite of mass 20 kg is in a circular orbit at a height small compared to the radius of the Earth. If air resistance causes its total energy to decrease by 10 kJ per revolution, what is the fractional change in its speed per revolution? (ix) By considering an expression for total energy of a satellite in orbit, show whether the speed increases or decreases. (x) By simply using values for the period and speed of an Earth orbiting satellite in a grazing orbit, if the cross-sectional area of the satellite is $2.4{\text{m}}^2$, estimate the density of the atmosphere for this rate of energy loss. (14) d) In the previous parts of this question, we assumed that the mass of the Earth was very much larger than the satellite. In the remainder of this question, we relax this approximation. Many stars are found as part of binary systems, consisting of two stars of unequal mass in circular orbits about one another. (i) Draw a diagram of the orbits of such a binary system labelling the positions of the two stars at two successive times in their orbits. (ii) Suppose the stars have mass $m$ and $km$ with $k>1$, what are their relative orbital radii? (iii) One day the more massive star explodes in a supernova. After the explosion, the masses of the stars are now equal, and the exploding material has moved to a great distance away. Describe using diagrams the motion of the star system if the binary system were to remain bound. Assume the supernova causes the larger star to lose mass in a spherical symmetrical manner. (iv) Find the critical value of the initial mass ratio $k$, above which the binary system becomes unbound after the explosion described in (iii). (5) [25 marks]

Question 6 This question is about atomic structure and electric fields. The sodium chloride crystal has a face centred cubic structure and we shall consider a unit cell (smallest repeating unit) which is in the octahedron shown shaded in Figure 11. For the purposes of this question we will consider the upper left octahedron, with the (blue/grey) circles at the corners to be the chlorine ions, and the (black) central ions to be sodium. The ions in the crystal lattice are held in place by electrostatic forces, and the ions are considered to be point charges. The charge on a sodium ion is $+1e$; the charge on a chlorine ion, $-1e$. The distance $a$, between any two adjacent chlorine ions is 0.564 nm. Figure 11: credit: Figure attributed to S K Lower, https://doclecture.net/1-49591.html a) What is the separation between nearest sodium and chlorine ions? (1) b) Calculate the electric potential energy of the unit cell, considering it to be the building block for the solid, so that you can take its overall charge to be zero and assign an appropriate charge to each chlorine ion. If, in our very simple model, we ignore the interaction between chlorine ions, estimate the energy released when 1 mole of NaCl is formed. (3) c) Now consider the octahedron shown in isolation. One sodium ion surrounded by six chlorine ions, the latter which we shall consider to be in fixed positions. If the sodium ion is displaced by a small distance $x$ towards one of the chlorine ions, it will experience a resultant force towards its equilibrium position. Using suitable approximations when $x\ll a$, determine: (i) An expression, in terms of the electronic charge $e$, the unit cell dimension $a$, the small displacement $x$, and the constants $\pi$ and ${\epsilon }_0$, for the resultant force acting on the sodium ion. (ii) Estimate the frequency of oscillation, assuming it approximates to simple harmonic motion, and the mass of the ion to be 23 u. (6) One surface of the sodium chloride crystal looks like Figure 12, and this surface can be investigated using electron diffraction. d) A beam of electrons accelerated through a potential of 100 V is directed normally on to the surface. The electrons scatter back elastically from the surface layer of ions. By considering the electrons to behave as waves diffracted by the surface, determine Figure 12: credit: http://physicsforeach.blogspot.com/2012/09/oth (i) an expression for the angle of interference maxima (relative to the normal) along the principle directions shown by the box edges in the

Topic: Geometric Optics, Gravitation, Electrostatics Metodi: Snell’s Law, Thin Lens & Mirror Equation, Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Coulomb’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Conservation of Energy, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Lens, Container, Star, Satellite, Planet, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.9

P2 Z2 Z1 V A L w w Figura 7 (ii) Se una lente sottile ha un diametro di 5,0 cm e $n=1.5$, qual è il valore dell’angolo apicale $A$ per una lente con lunghezza focale di 40 cm? (La lunghezza focale è la distanza dalla lente in cui un fascio di raggi paralleli che entrano nella lente si intersecano con l’asse.) (3) u v

Figura 8 d) Un serbatoio di acqua lungo 60 m ha uno stroboscopio all’estremità che produce lampi di luce bianca alternati con uguale intervallo tra accensione e spegnimento, alla frequenza $f_0$. L’indice di rifrazione dell’acqua per la luce rossa è 1,33 e per la luce blu è 1,35. Stimare la massima frequenza di lampo alla quale gli impulsi luminosi possono entrare nel serbatoio e uscire dall’estremità opposta come lampi separati. (3) e) Dalla superficie terrestre, una stella può essere osservata tramite un telescopio. Tuttavia, l’angolo della stella misurato rispetto alla verticale è spostato a causa della rifrazione nell’atmosfera terrestre, come indicato nel modello nella Figura 9. La posizione reale della stella è all’angolo $\alpha$ rispetto alla verticale, e l’angolo osservato è all’angolo ${\alpha }_0$ rispetto alla verticale, con la piccola differenza angolare data da $r$, tale che $\alpha ={\alpha }_0+r$. Si deve assumere che $r$ sia un piccolo angolo. (i) Ricavare un’espressione che collega $\alpha$ e ${\alpha }_0$ per la luce rifratta. (ii) Di conseguenza, trovare un’espressione per $r$ in termini di $\tan {\alpha }_0$ e $n_0$, l’indice di rifrazione dell’atmosfera alla superficie terrestre. posizione apparente posizione reale $n_0$ $n_1$ $n_2$ $n_3$ $n_4$ ${\alpha }_0$

Figura 9: L’atmosfera viene trattata come strati orizzontali distinti con indice di rifrazione da $n_0,n_1,\dots$ a $n_n$ nella parte superiore. (6) [25 punti]

Quesito 5 Questo quesito riguarda il moto circolare e la gravità.

a) Un ponte a dosso ha sezione trasversale circolare. Esso attraversa un fiume largo 18 m e l’altezza del centro del ponte rispetto al terreno circostante è di 4,0 m. Qual è la massima velocità con cui una macchina può superare il ponte rimanendo ancora in contatto con esso? Suggerimento: se due corde di un cerchio, AB e CD, si incontrano in un punto S allora $AS\cdot SB=CS\cdot SD$ (3)

b) Il Sole orbita intorno al centro della galassia Via Lattea a una distanza di 30.000 anni luce, con un periodo orbitale intorno alla galassia di 200 milioni di anni. Supponendo che la distribuzione della massa nella galassia sia concentrata principalmente in una sfera uniforme al centro e che la Terra si trovi in uno dei bracci, come illustrato schematicamente nella Figura 10: (i) ricava un’espressione per il periodo orbitale $T$ del Sole in funzione del suo raggio di orbita, $r$, $G$ e $M_g$, con la massa della galassia. (ii) determina un valore per la massa della galassia. (iii) Se il Sole rappresenta la massa di una stella media, stimare il numero di stelle nella Via Lattea. (3) Figura 10: Rappresentazione schematica della Via Lattea, vista nel piano, con il Sole lungo uno dei “bracci”, indicato dalla freccia.

c) Un satellite orbita intorno alla Terra sferica di raggio $R_E$ in un’orbita circolare di raggio $r$. (i) Scrivere un’espressione per la velocità $v$ del satellite in termini di $r$, $G$ e $M_E$, la massa della Terra, spiegando la fisica necessaria per ottenere l’espressione.

(ii) Valutare la velocità di un satellite in un’orbita bassa, nel caso in cui esso sfiori appena la superficie della Terra.

(iii) Calcolare il periodo dell’orbita del satellite.

(iv) Il satellite orbita invece a un’altezza $h\ll R_E$ sopra la superficie della Terra. Ottenere un’espressione per il cambiamento frazionario $\frac{\Delta T}{T}$ del periodo orbitale $T$ in termini di $h$ e $R_E$. Di conseguenza, qual è il periodo dell’orbita del satellite che orbita a un’altezza di 200 km?

(v) Rappresentare graficamente il periodo dell’orbita $T$ in funzione di $h$ per $h\ll R_E$.

(vi) Dimostrare che quando una massa grande $m_1$ in moto con velocità $u$ collide elasticamente con una piccola massa ferma $m_2$, l’energia cinetica persa da $m_1$ è $\approx 2m_2{u}^2$.

(vii) Quando un piccolo satellite di massa $m$ e area proiettata $A$ passa attraverso un gas di densità $\rho$, esso subisce numerose collisioni elastiche con le molecole del gas. Ottenere un’espressione per il tasso di perdita di energia del satellite in termini di $\rho$, $A$ e $v$.

(viii) Un satellite terrestre di massa 20 kg si trova in un’orbita circolare a un’altezza molto piccola rispetto al raggio della Terra. Se la resistenza dell’aria causa una diminuzione di 10 kJ per rivoluzione dell’energia totale, qual è il cambiamento frazionario della sua velocità per rivoluzione?

(ix) Considerando un’espressione per l’energia totale di un satellite in orbita, dimostrare se la velocità aumenti o diminuisca. (x) Utilizzando semplicemente i valori del periodo e della velocità di un satellite terrestre in orbita rasante, e dato che l’area della sezione trasversale del satellite è $2.4{\text{m}}^2$, stimare la densità dell’atmosfera corrispondente a questo tasso di perdita di energia.

(14)

d) Nelle parti precedenti di questo quesito si è assunto che la massa della Terra fosse molto maggiore del satellite.

Nella parte rimanente di questo quesito si allenta tale approssimazione.

Molte stelle si trovano in sistemi binari, formati da due stelle di massa diversa che orbitano circolarmente l’una intorno all’altra.

(i) Disegnare un diagramma delle orbite di tale sistema binario, indicando le posizioni delle due stelle in due istanti successivi del loro moto orbitale.

(ii) Supponendo che le stelle abbiano massa $m$ e $km$ con $k>1$, determinare i loro raggi orbitali relativi.

(iii) Un giorno la stella più massiccia esplode in una supernova. Dopo l’esplosione, le masse delle stelle diventano uguali e il materiale esploso si è spostato a grande distanza. Descrivere, utilizzando diagrammi, il moto del sistema stellare nel caso in cui il sistema binario rimanga legato. Si assuma che la supernova faccia perdere massa alla stella più massiccia in modo sfericamente simmetrico.

(iv) Determinare il valore critico del rapporto di massa iniziale $k$, al di sopra del quale il sistema binario diventa non legato dopo l’esplosione descritta al punto (iii).

(5)

[25 punti]

Problema 6 Questo quesito riguarda la struttura atomica e i campi elettrici. Il cristallo di cloruro di sodio ha una struttura cubica a facce centrate e considereremo una cella unitaria (unità ripetibile più piccola) che è l’ottaedro mostrato in grigio nella Figura 11. Per i fini di questo quesito, considereremo l’ottaedro in alto a sinistra, con i cerchi (blu/grigi) ai vertici come ioni cloro e gli ioni centrali (neri) come ioni sodio.

Gli ioni nella struttura reticolare sono trattenuti al loro posto da forze elettrostatiche, e gli ioni vengono considerati cariche puntiformi. La carica di unione sodio è $+1e$; la carica di unione cloro è $-1e$. La distanza $a$ tra due ioni cloro adiacenti è di 0,564 nm.

Figura 11: credito: Figura attribuita a S K Lower, https://doclecture.net/1-49591.html

a) Qual è la distanza tra gli ioni sodio e cloro più vicini? (1)

b) Calcolare l’energia potenziale elettrostatica della cella unitaria, considerandola come elemento fondamentale del solido, in modo che si possa assumere la carica complessiva nulla e assegnare una carica appropriata a ciascun ione cloro. Se nel nostro modello molto semplificato si trascura l’interazione tra gli ioni cloro, stimare l’energia rilasciata quando si forma 1 mole di NaCl. (3)

c) Ora consideriamo l’ottaedro mostrato in isolamento. Un ione sodio circondato da sei ioni cloro, questi ultimi che considereremo fissi nelle posizioni. Se l’ione sodio viene spostato di una piccola distanza $x$ verso uno degli ioni cloro, esso subirà una forza risultante diretta verso la sua posizione di equilibrio. Utilizzando opportune approssimazioni quando $x\ll a$, determinare: (i) un’espressione, in termini della carica elettronica $e$, del parametro di cella unitaria $a$, dello spostamento piccolo $x$ e delle costanti $\pi$ e ${\epsilon }_0$, per la forza risultante agente sullo ione di sodio. (ii) stimare la frequenza delle oscillazioni, supponendo che si approssimi al moto armonico semplice e che la massa dell’ione sia di 23 u. (6) Una superficie del cristallo di cloruro di sodio ha l’aspetto mostrato in Figura 12, e tale superficie può essere studiata mediante diffrazione elettronica. d) Un fascio di elettroni accelerati attraverso una differenza di potenziale di 100 V viene diretto normalmente sulla superficie. Gli elettroni si diffondono elasticamente dallo strato superficiale degli ioni. Considerando gli elettroni come onde diffratte dalla superficie, determinare Figura 12: credito: http://physicsforeach.blogspot.com/2012/09/oth (i) un’espressione per l’angolo dei massimi di interferenza (rispetto alla normale) lungo le direzioni principali indicate dai bordi della scatola nella