Spagna 2021

PROBLEMA 1. Un saltador de esquí abandona la rampa de salto con una velocidad de 90 km/h. El ángulo de ataque (ángulo que forma el vector velocidad con la horizontal en el momento del despegue) es de $-10^{\circ }$ (ver figura 1). La inclinación de la pista sobre la que se ha de aterrizar es de $45^{\circ }$ y la resistencia del aire se supondrá despreciable. Hallar: a) [1 punto] El tiempo de vuelo del saltador, así como sus coordenadas en el momento del aterrizaje, referidas al sistema de referencia (x, y). b) [0.5 puntos] La distancia, medida a lo largo de la pendiente, que el saltador ha estado en el aire. c) [0.5 puntos] El vector velocidad del saltador, en el momento del aterrizaje. d) [0.5 puntos] La componente de la velocidad del saltador perpendicular a la pista, en el momento del aterrizaje. Figura 1: Saltador de trampolín en el momento de iniciar el vuelo.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Free-Body Diagram Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il problema 1. Un salvatore di sci abbandona la rampa di salto a una velocità di 90 km/h. El angolo di attacco (angolo che forma il vettore velocità con il momento orizzontale di $-10^{\circ }$ (vedere figura 1). L’inclinazione della pista su cui si deve percorrere L’atterraggio è di $45^{\circ }$ e la resistenza dell’aria sarà considerata scarsa. Trovare: a) [1 punto] Il tempo di volo del saltatore e le sue coordinate al momento del salto L’aeroporto è stato aereo di riferimento. b) [0,5 punti] La distanza, misurata lungo la pendenza, che il saltatore ha avuto

• In aria. c) [0,5 punti] Vettore di velocità del saltatore, al momento del atterraggio. d) [0,5 punti] La componente della velocità del saltatore perpendicolare alla pista, in momento dell’atterraggio. Figura 1: Salto a terra al momento di avviare il volo.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Free-Body Diagram Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problem number one. A ski jumper leaves the jump ramp at a speed of 90 km/h. El angle of attack (angle that forms the velocity vector with the horizontal at the time The maximum take-off speed is $-10^{\circ }$ (see Figure 1). The slope of the track on which it is to be run The landing is $45^{\circ }$ and the air resistance will be considered negligible. Find out: (a) [1 point] The time of flight of the jumper and its coordinates at the time of the jump landing, referred to the reference system (x, y). (b) [0.5 points] The distance, measured along the slope, that the jumper has been in the air. (c) [0.5 points] The velocity vector of the jumper at the time of landing. (d) [0.5 points] The component of the speed of the jumper perpendicular to the track, at the time of landing. Figure 1: Trampoline jumper at the time of launch.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Free-Body Diagram Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.2

PROBLEMA 2. Una estrella cuya masa es 3 veces la de nuestro Sol, $M_e=3M_S$, acaba su ciclo de vida colapsando bajo el efecto de su propia gravedad, convirtiéndose en una diminuta estrella de neutrones de 50 km de diámetro [ver figuras 2(a) y 2(b)]. Antes del colapso, el diámetro de la estrella es de $2\times 10^9$ m, y su periodo de rotación es de 40 días. Suponiendo que la masa de la estrella permanece constante durante todo el proceso, hallar: a) [1 punto] Las velocidades angulares de rotación de la estrella antes (${\omega }_1$) y después (${\omega }_2$) del colapso.

• B. [0.75 puntos] La gravedad superficial de la estrella de neutrones.
• C. [0.75 puntos] La velocidad de escape en la superficie de la estrella de neutrones. Datos: Constante de gravitación universal: $G=6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$. Masa del Sol: $M_S=2\times 10^{30}$ kg. Momento de inercia de una esfera sólida de masa $M$ y radio $R$: $I=\frac{2}{5}M{R}^2$. Figura 2: Representación esquemática de la estrella: (a) antes del colapso, con diámetro $D_1$ y velocidad angular de rotación ${\omega }_1$, (b) después del colapso, convertida en una estrella de neutrones, con diámetro $D_2$ y velocidad angular de rotación ${\omega }_2$ (no está a escala).

Topic: Rotational Dynamics, Gravitation, Astrophysics Metodi: Conservation of Momentum, Newton’s Law of Gravitation, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3

Il problema 2 Una stella di massa 3 volte quella del nostro Sole, $M_e=3M_S$, termina il suo ciclo di vita Collassando sotto l’effetto della sua stessa gravità, diventando una piccola stella. di neutroni di diametro di 50 km [vedi figure 2(a) e 2(b)]. Prima del crollo, il diametro La stella è $2\times 10^9$ m, e il suo periodo di rotazione è di 40 giorni. Supponendo che la la massa della stella rimane costante durante tutto il processo, trovando: a) [1 punto] Le velocità angolari di rotazione della stella prima (${\omega }_1$) e dopo (${\omega }_2$) del crollo.

• B. [0,75 punti] Gravità superficiale della stella di neutroni.
• C. [0,75 punti] La velocità di scarico sulla superficie della stella di neutroni. Dati: Costante di gravità universale: $G=6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$. Massa del Sole: $M_S=2\times 10^{30}$ kg. Momento di inerzia di una sfera solida di massa $M$ e di raggio $R$: $I=\frac{2}{5}M{R}^2$. Figura 2: Rappresentazione schematica della stella: (a) prima del collasso, con diametro $D_1$ e velocità angolare di rotazione ${\omega }_1$, (b) dopo il crollo, convertita in una stella di neutroni, di diametro $D_2$ e velocità angolare di rotazione ${\omega }_2$ (non su scala).

Topic: Rotational Dynamics, Gravitation, Astrophysics Metodi: Conservation of Momentum, Newton’s Law of Gravitation, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problem two. Una estrella cuya masa es 3 veces la de nuestro Sol, $M_e=3M_S$, acaba su ciclo de vida collapsing under the effect of its own gravity, becoming a tiny star. of neutrons of 50 km in diameter (see Figures 2(a) and 2(b)). Before the collapse, the diameter The star’s orbit is $2\times 10^9$ m, and its rotation period is 40 days. Assuming that the The mass of the star remains constant throughout the process, finding: (a) [1 point] The angular rotational speeds of the star before (${\omega }_1$) and after (${\omega }_2$) The collapse.

• B. [0.75 points] The surface gravity of the neutron star.
• C. [0.75 points] The escape velocity on the surface of the neutron star. The data: Constante de gravitación universal: $G=6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$. The mass of the Sun: $M_S=2\times 10^{30}$ kg. The moment of inertia of a solid sphere of mass $M$ and radius $R$: $I=\frac{2}{5}M{R}^2$. Figure 2: Schematic representation of the star: (a) before collapse, with diameter $D_1$ and angular rotation speed ${\omega }_1$, (b) after collapse, converted to a star of neutrons, with diameter $D_2$ and angular rotation speed ${\omega }_2$ (not on scale).

Topic: Rotational Dynamics, Gravitation, Astrophysics Metodi: Conservation of Momentum, Newton’s Law of Gravitation, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3

PROBLEMA 3. Una carga positiva $Q=+10^{-5}$ C se encuentra fija, en el origen de coordenadas. Una partícula alfa1 moviéndose por el eje x se dirige hacia el origen, tal y como se muestra en la figura 3. Cuando la partícula alfa se encuentra en el punto A, a 1 metro de distancia del origen de coordenadas, lleva una velocidad $v=2\times 10^6$ m/s. Suponiendo despreciables los efectos de la gravedad, hallar: a) [0.5 puntos] El vector fuerza que actúa sobre la partícula alfa cuando está situada en el punto A.

• B. [0.5 puntos] La energía potencial de la partícula alfa en el punto A.
• C. [0.5 puntos] La posición en la que la partícula alfa se detiene.
• D. [0.5 puntos] La variación de la energía cinética de la partícula alfa cuando se encuentra en el punto A, después y antes de detenerse. e) [0.5 puntos] La variación del momento lineal de la partícula alfa cuando se encuentra en el punto A, después y antes de detenerse. Datos: Constante de Coulomb: $k=9\times 10^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$. Masa de la partícula alfa: $m_{\alpha }=6.64\times 10^{-27}$ kg. Carga de la partícula alfa: $q_{\alpha }=+3.2\times 10^{-19}$ C. Figura 3: Partícula $\alpha$ acercándose con velocidad v en la dirección del eje X a una carga Q fija en el origen de coordenadas. 1Las partículas alfa ($\alpha$) son núcleos completamente ionizados de helio-4 (4He)

Topic: Electrostatics, Conservation of Energy Metodi: Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.4

Il problema 3. Un carico positivo $Q=+10^{-5}$ C è fisso, alla fonte delle coordinate. Una la particella alfa1 che si muove sull’asse x si dirige verso l’origine, come mostrato in figura 3. Quando la particella alfa si trova al punto A, a 1 metro di distanza di origine delle coordinate, ha una velocità $v=2\times 10^6$ m/s. Supponendo sconsiderati gli effetti della gravità, trovare: a) [0,5 punti] Il vettore di forza che agisce sulla particella alfa quando è situata nel punto A.

• B. [0,5 punti] L’energia potenziale della particella alfa al punto A.
• C. [0,5 punti] La posizione in cui si ferma la particella alfa.
• D. [0,5 punti] Variazione dell’energia cinetica della particella alfa quando si trova al punto A, dopo e prima di fermarsi. e) [0,5 punti] La variazione del momento lineare della particella alfa quando si trova in punto A, dopo e prima di fermarsi. Dati: Costante di Coulomb: $k=9\times 10^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$. Massa della particella alfa: $m_{\alpha }=6.64\times 10^{-27}$ kg. Carga della particella alfa: $q_{\alpha }=+3.2\times 10^{-19}$ C. Figura 3: Particella $\alpha$ avvicinandosi a velocità v in direzione da un’asse X ad una carica Q fissa alla fonte delle coordinate. 1Le particelle alfa ($\alpha$) sono nuclei completamente ionizzati di elio-4 (4He)

Topic: Electrostatics, Conservation of Energy Metodi: Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problem three. A positive charge $Q=+10^{-5}$ C is fixed at the origin of the coordinates. One of them. alpha1 particle moving along the x-axis is heading towards the origin, as shown in the figure 3. When the alpha particle is at point A, 1 meter away The speed of the coordinate source is $v=2\times 10^6$ m/s. Assuming they’re despicable the effects of gravity, find: (a) [0.5 points] The force vector acting on the alpha particle when it is located at the The following points shall be added:

• B. [0.5 points] The potential energy of the alpha particle at point A.
• C. [0.5 points] The position at which the alpha particle stops.
• D. [0.5 points] The change in kinetic energy of the alpha particle when it is located At point A, after and before stopping. (e) [0.5 points] The variation in linear momentum of the alpha particle when it is in point A, after and before stopping. The data: The coulomb constant is $k=9\times 10^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$. The mass of the alpha particle: $m_{\alpha }=6.64\times 10^{-27}$ kg. The alpha particle load: $q_{\alpha }=+3.2\times 10^{-19}$ C. Figure 3: Particle $\alpha$ approaching at v speed in the direction from the X-axis to a Q-load fixed at the origin of the coordinates. 1Alpha particles ($\alpha$) are fully ionized helium-4 (4He) nuclei

Topic: Electrostatics, Conservation of Energy Metodi: Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.4

PROBLEMA 4. Para medir la velocidad del sonido se utiliza un dispositivo llamado “tubo de Kundt”, en cuyo interior se generan ondas estacionarias sonoras. En una de sus posibles configuraciones, uno de los extremos se encuentra abierto (vientre) y tiene montado un altavoz a modo de generador de ondas sonoras sinusoidales. El otro extremo se encuentra cerrado (nodo), de forma que refleja las ondas sonoras que le llegan (ver figura 4). El tubo de Kundt que vamos a manejar tiene una longitud de 50 cm, y contiene aire a una temperatura de 15 grados Celsius y presión atmosférica. La fórmula para la velocidad del sonido en un gas, en función de la temperatura, viene dada por la siguiente expresión: $v_s=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}},$ donde $\gamma$ es el coeficiente adiabático del gas, R es la constante universal de los gases ideales, T es la temperatura absoluta del gas y M es la masa molar del gas. a) [1 punto] Calcular la velocidad del sonido en el aire a una temperatura de 15 grados Celsius. b) [0.75 puntos] Calcular las 4 primeras frecuencias de sonido permitidas en las condiciones de presión y temperatura anteriormente citadas. c) [0.75 puntos] Si en lugar de aire, el gas en el interior del tubo de Kundt fuera helio bajo las mismas condiciones de presión y temperatura, ¿cuáles serían en ese caso las 4 primeras frecuencias de sonido permitidas? Datos: Constante universal de los gases ideales: $R=8.31\text{J}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$. Coeficiente adiabático del aire: ${\gamma }_{\text{aire}}=7/5$. Coeficiente adiabático del helio: ${\gamma }_{\text{helio}}=5/3$. Masa molar del aire: $M_{\text{aire}}=0.029$ kg/mol. Masa molar del helio: $M_{\text{helio}}=0.004$ kg/mol. Figura 4: Tubo de Kundt, con la onda de sonido propagándose en su interior.

Topic: Oscillations & Waves, Kinetic Theory Metodi: Wave Equation, Superposition Principle, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5

Il problema 4. Per misurare la velocità del suono si utilizza un dispositivo chiamato “tubo di Kundt”, in che generano onde sonore stazionarie all’interno. In una delle sue possibili configurazioni, uno degli estremi è aperto (ventri) e ha montato un altoparlante a modulo di generatore di onde sonore sinusoidali. L’altra estremità è chiusa (nodo), in modo da riflettere le onde sonore che arrivano (vedere figura 4). Il tubo di Kundt che gestiremo ha una lunghezza di 50 cm, e contiene aria a una temperatura di 15 gradi Celsius e pressione atmosferica. La formula per la velocità del il suono in un gas, a seconda della temperatura, viene dato dalla seguente espressione: $v_s=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}},$ dove $\gamma$ è il coefficiente adiabatico del gas, R è la costante universale dei gas ideali, T è la temperatura assoluta del gas e M è la massa mollare del gas. a) [1 punto] Calcolare la velocità del suono in aria a una temperatura di 15 gradi

• Celsia. b) [0,75 punti] Calcolare le prime 4 frequenze sonore consentite nelle condizioni di pressione e temperatura sopra citate. c) [0,75 punti] Se invece di aria, il gas all’interno del tubo di Kundt fosse elio In questo caso, quali sarebbero le 4 le prime frequenze sonore consentite? Dati: Costante universale dei gas ideali: $R=8.31\text{J}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$. Coefficiente adiabatico dell’aria: ${\gamma }_{\text{aire}}=7/5$. Coefficiente adiabatico dell’elio: ${\gamma }_{\text{helio}}=5/3$. Massa mollare dell’aria: $M_{\text{aire}}=0.029$ kg/mol. Massa mollare dell’elio: $M_{\text{helio}}=0.004$ kg/mol. Figura 4: Tubbo di Kundt, con l’onda sonora che si diffonde all’interno.

Topic: Oscillations & Waves, Kinetic Theory Metodi: Wave Equation, Superposition Principle, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problem number four. To measure the speed of sound a device called the Kundt tube is used, in which generate sound stationary waves. In one of its possible configurations, one of the ends is open (belly) and has a speaker mounted to the the synusoidal sound wave generator mode. The other end is closed. (node), so that it reflects the sound waves that reach it (see Figure 4). The Kundt tube we’re going to handle is 50 centimeters long, and it contains air to a temperature of 15 degrees Celsius and atmospheric pressure. The formula for the speed of the The sound in a gas, depending on the temperature, is given by the following expression: $v_s=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}},$ where $\gamma$ is the adiabatic coefficient of the gas, R is the universal constant of ideal gases, T is the absolute temperature of the gas and M is the molar mass of the gas. (a) [1 point] Calculate the speed of sound in air at a temperature of 15 degrees

• It’s a few degrees. (b) [0.75 points] Calculate the first 4 sound frequencies allowed under the conditions pressure and temperature mentioned above. (c) [0.75 points] If instead of air, the gas inside the Kundt tube was helium Under the same pressure and temperature conditions, what would be the 4 the first allowed sound frequencies? The data: Universal constant of ideal gases: $R=8.31\text{J}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$. Air adiabatic coefficient: ${\gamma }_{\text{aire}}=7/5$. Helium adiabatic coefficient: ${\gamma }_{\text{helio}}=5/3$. Molar mass of air: $M_{\text{aire}}=0.029$ kg/mol. The molar mass of helium: $M_{\text{helio}}=0.004$ kg/mol. Figure 4: Kundt tube, with the sound wave propagating inside.

Topic: Oscillations & Waves, Kinetic Theory Metodi: Wave Equation, Superposition Principle, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5

PROBLEMA 5. La dispersión cromática consiste en la variación del índice de refracción de un medio con la longitud de onda. Es bien conocido el ejemplo de un haz de luz blanca incidiendo sobre un prisma: el haz refractado presenta separación de colores. La ecuación de dispersión de Cauchy es una expresión empírica que relaciona el índice de refracción y la longitud de onda, $n(\lambda )=A+\frac{B}{{\lambda }^2}+\frac{C}{{\lambda }^4}+\cdots$ Esta expresión es útil para materiales ópticos comunes como el vidrio. En general, con saber los dos primeros términos, A y B, es suficiente. Cierto vidrio presenta los siguientes valores de las constantes de Cauchy: $A=1.45$ y $B=10^4{\text{nm}}^2$. En la figura 5 se muestra un haz de luz blanca incidiendo sobre un prisma equilátero de dicho vidrio, con un ángulo de $75^{\circ }$ respecto a la normal. a) [1 punto] Determinar los índices de refracción del vidrio para una luz roja (${\lambda }_R=700$ nm) y otra violeta (${\lambda }_V=400$ nm). b) [1.5 puntos] Calcular los ángulos formados por dos rayos, uno de luz roja y otro de luz violeta, a la salida del prisma. Datos: Índice de refracción del aire: $n_a=1$. Figura 5: Descomposición de la luz al atravesar un prisma.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema 5. La dispersione cromatica consiste nella variazione dell’indice di refraczione di un mezzo con la lunghezza d’onda. È noto l’esempio di un raggio di luce bianca che incide su un prisma: il fascio refrattato presenta separazione di colore. L’equazione di dispersione di Cauchy è un’espressione empirica che relaziona l’indice di refraczione e la lunghezza di onda, $n(\lambda )=A+\frac{B}{{\lambda }^2}+\frac{C}{{\lambda }^4}+\cdots$ Questa espressione è utile per materiali ottici comuni come il vetro. In generale, con Sapere i primi due termini, A e B, è sufficiente. Un vetro presenta i seguenti valori delle costanti di Cauchy: $A=1.45$ e $B=10^4{\text{nm}}^2$. La figura 5 mostra un raggio di luce bianca che incide su un prisma. un’equilateralità di tale vetro, ad un angolo $75^{\circ }$ rispetto alla normale. a) [1 punto] Determinare i riflessi del vetro per una luce rossa (${\lambda }_R=700$) Nm) e un’altra viola (${\lambda }_V=400$ nm). b) [1,5 punti] Calcolare gli angoli formati da due raggi, uno di luce rossa e l’altro di luce viola, all’uscita del prisma. Dati: Indice di refraczione dell’aria: $n_a=1$. Figura 5: Decadimento della luce attraverso un prisma.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problem five. Chromatic dispersion is the variation in the refractive index of a medium with a the wavelength. The example of a beam of white light striking the a prism: the refracted beam has color separation. The dispersion equation of Cauchy is an empirical expression relating the refractive index to the length of the wave, $n(\lambda )=A+\frac{B}{{\lambda }^2}+\frac{C}{{\lambda }^4}+\cdots$ This expression is useful for common optical materials such as glass. In general, with Knowing the first two terms, A and B, is enough. A certain glass has the following values of the Cauchy constants: $A=1.45$ and $B=10^4{\text{nm}}^2$. Figure 5 shows a beam of white light striking a prism. an equilateral of such glass, at an angle of $75^{\circ }$ from the normal. (a) [1 point] Determine the refractive index of the glass for a red light (${\lambda }_R=700$) nm) y otra violeta (${\lambda }_V=400$ nm). (b) [1.5 points] Calculate the angles formed by two rays, one of red light and the other of light Violet, at the exit of the prism. The data: Índice de refracción del aire: $n_a=1$. Figure 5: Decomposition of light when passing through a prism.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.6