Spagna 2021

P1. Dos puestas de sol consecutivas Una enamorada pareja se encuentra al pie de un lujoso hotel, en la orilla de una idílica playa situada en el círculo ecuatorial terrestre, cuando, al atardecer, observan una bella estampa de la puesta de sol sobre un mar en calma (Fig. 1). Una de las atracciones que presenta este lujoso hotel es la posibilidad de poder observar una segunda puesta de sol. Para facilitar este capricho astronómico el hotel sitúa la puerta de acceso de un ascensor justo al pie de la playa. Para dar cumplida satisfacción a este evento, la feliz pareja, inmediatamente después de observar la primera puesta de Sol, toma el ascensor y se dirigen a la terraza del hotel, situada a una altura $H=20\text{m}$, donde esperan poder ver por segunda vez tan excitante escena. Por simplicidad, vamos a considerar que el ascensor sube con una velocidad constante $v=0,8\text{m/s}$. Debido a la rotación terrestre, con velocidad angular $\omega$, la Tierra gira un pequeño ángulo $\theta$ que provoca, tras la primera puesta de sol, la aparición de una sombra de altura $h$ sobre la fachada del hotel, tal como muestra la figura 2. Para simplificar la situación descrita, supongamos que los rayos del Sol inciden en paralelo al plano del círculo ecuatorial terrestre. a) Calcula el tiempo que tarda el ascensor en llegar a la terraza del edificio. b) Obtén la expresión de la altura $h$ de la sombra proyectada por la Tierra sobre la fachada del hotel en función de $R$, $\omega$ y $t$. c) Determina si la pareja llegará a tiempo a la terraza para ver una segunda puesta de sol. El equipo técnico del hotel decide mejorar la atracción incorporando un sistema de control del ascensor que permita su ascenso simultáneamente a la sombra proyectada sobre el mismo, de forma que los enamorados viajeros a bordo del ascensor puedan disfrutar de una prolongada puesta de sol que dure hasta que el ascensor llegue a la terraza. d) A partir de la expresión obtenida en b), calcula, en función de $R$, $\omega$ y $t$, la velocidad a la que debería ascender el ascensor para seguir la sombra del sol sobre la fachada del hotel.

Fig. 1

Fig. 2

Dado que el ángulo de giro $\theta$ de la Tierra durante la subida del ascensor es pequeño, las funciones $\text{sen}\theta$ y $\cos \theta$ se pueden aproximar del siguiente modo: $\text{sen}\theta \approx \theta$; $\cos \theta \approx 1$. e) Aplica la aproximación propuesta para simplificar la expresión de la velocidad obtenida en el apartado d). f) A partir del resultado anterior deduce con qué aceleración debe ascender el ascensor para seguir la sombra. ¿Qué tipo de movimiento debe describir el ascensor? g) ¿Según los resultados de los apartados e) y f), ¿cuánto tiempo disfrutará la enamorada pareja de la puesta de sol desde que el ascensor empieza a ascender hasta que llegan a la terraza del hotel?

Datos: - Radio de la Tierra $R_T=6,37\times 10^6\text{m}$.

P1. Solución a) El ascensor sube con velocidad constante, de modo que tardará un tiempo $t_1$ en llegar a la terraza,

$v=\frac{H}{t_1}\Rightarrow t_1=\frac{H}{v}=\frac{20}{0,8}\Rightarrow t_1=25\text{s}$

b) Según la figura 2, del triángulo rectángulo de ángulo $\theta$ que tiene por catetos $R$ y el rayo del Sol tangente a la superficie de la Tierra, se deduce

$\cos \theta =\frac{R}{R+h}\Rightarrow h=R\left(\frac{1}{\cos \theta }-1\right)$

Sustituyendo $\theta =\omega t$,

$h=R\left(\frac{1}{\cos \omega t}-1\right)(1)$

c) Durante el tiempo $t_1$ que el ascensor tarda en llegar a la terraza del hotel, la sombra del sol alcanzará una altura

$h=6,371\cdot 10^6\left(\frac{1}{\cos \left(\frac{2\pi }{24\cdot 3600}25\right)}-1\right)\Rightarrow h=10,52\text{m}$

Esta altura es inferior a la altura de la terraza del hotel, de modo que la pareja sí llegará a tiempo para observar la segunda puesta de Sol. d) Para seguir la puesta de sol, el ascensor deberá ascender con la misma velocidad que asciende la sombra, que podemos obtener a partir de la ecuación (1),

$v(t)=\frac{dh}{dt}\Rightarrow v(t)=\frac{R\omega \text{sen}(\omega t)}{{\cos }^2(\omega t)}$

e) Con la aproximación propuesta podemos obtener una expresión de la velocidad más simple,

$v(t)=R{\omega }^{2}t(2)$

f) A partir de la expresión (2) podemos obtener la aceleración como

$a(t)=\frac{dv}{dt}\Rightarrow a(t)=R{\omega }^2$

La expresión obtenida indica que la aceleración es constante, por lo que el ascensor debe ascender con un movimiento uniformemente acelerado. g) Como el ascensor sube con movimiento uniformemente acelerado, el tiempo $t_2$ que tarda en subir hasta la terraza del edifico, a una altura $H$, estará determinado por

$H=\frac{1}{2}a{t}_2^2=\frac{1}{2}R{\omega }^2{t}_2^2\Rightarrow t_2=\sqrt{\frac{2H}{R{\omega }^2}}=\sqrt{\frac{2\cdot 20}{6,371\cdot 10^6{\left(\frac{2\pi }{24\cdot 3600}\right)}^2}}\Rightarrow t_2=34,45\text{s}$

Así que los enamorados disfrutarán de algo más de medio minuto para proceder a su declaración de amor, tiempo que, en términos físicos, no se puede determinar si es o no suficiente. Para que este tiempo fuera más prolongado sería necesario añadir plantas al edifico o frenar la rotación del Sol, algo que solo está al alcance de parejas verdaderamente enamoradas.

geometria ombra Terra-Sole hotel

Topic: Newtonian Mechanics, Astrophysics Metodi: Kinematic Equations, Small-Angle Approximation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Due tramonde consecutive Una coppia innamorata si trova al piede di un lussuoso hotel, sul bordo di una idilliaca spiaggia situata nel cerchio equatoriale quando, al tramonto, vedono una bella stampa della Terra Il sole che si pone su un mare calmo (Fig. 1). Uno degli attrazioni di questo lussuoso hotel è la la possibilità di osservare un secondo tramonto. Per Per facilitare questo capriccio astronomico l’hotel pone la porta d’accesso di un ascensore proprio al piede della spiaggia. Per adempiere soddisfazione di questo evento, la coppia felice, immediatamente dopo Da osservare il primo tramonto, prendere l’ascensore e andare sulla terrazza dell’hotel, situata ad un’altezza $H=20\text{m}$, dove si aspettano di poter vedere per la seconda volta così eccitante Scena. Per semplicità, consideriamo che l’ascensore salire a una velocità costante $v=0,8\text{m/s}$. A causa della rotazione terrestre, con velocità angolare $\omega$, la Terra ruota un piccolo angolo $\theta$ che provoca, dopo il primo tramonto, l’apparenza di un’ombra di altezza $h$ sulla facciata dell’hotel, tale come mostra la figura 2. Per semplificare la situazione descritta, supponiamo che i raggi del sole incidano su parallelo al piano del cerchio equatoriale terrestre. a) Calcola il tempo che l’ascensore impiega per raggiungere la terrazza dell’edificio. b) Ottieni l’espressione $h$ di altezza dell’ombra proiettata dalla Terra sullo sfondo dell’hotel in La funzione $R$, $\omega$ e $t$. c) Determina se la coppia arrivera’ in tempo al terrazzo per vedere un secondo tramonto. L’equipaggio tecnico dell’hotel decide di migliorare l’attrazione integrando un sistema di controllo del L’ascensore che permette di salire contemporaneamente alla sua ombra, in modo che le Gli amanti viaggiatori a bordo dell’ascensore possono godere di un lungo tramonto che dura fino a che l’ascensore arrivi sulla terrazza. d) Sulla base dell’espressione ottenuta in b), calcola, in base a $R$, $\omega$ e $t$, la velocità a cui dovrebbe salire l’ascensore per seguire l’ombra del sole sulla facciata dell’hotel.

Fig. 1

Fig. 2

Dado que el ángulo de giro $\theta$ de la Tierra durante la subida del ascensor es pequeño, las funciones $\text{sen}\theta$ e $\cos \theta$ possono essere avvicinati come segue: $\text{sen}\theta \approx \theta$; $\cos \theta \approx 1$. e) Applica l’approccio proposto per semplificare l’espressione della velocità ottenuta nel paragrafo d). f) Dall’esito precedente deduce con quale velocità deve salire l’ascensore per seguire la

• Oh, l’ombra. Che tipo di movimento dovrebbe descrivere l’ascensore? g) Secondo i risultati di cui ai paragrafi e) e f), quanto tempo la coppia innamorata avrà per vivere il matrimonio? Il tramonto, dal momento che l’ascensore inizia a salire fino a quando arrivano sulla terrazza dell’hotel?

Dati: - Radio Terra $R_T=6,37\times 10^6\text{m}$.

P1. Soluzione a) L’ascensore sale a velocità costante, in modo che ci vorrà un tempo $t_1$ per raggiungere il terrazzo;

$v=\frac{H}{t_1}\Rightarrow t_1=\frac{H}{v}=\frac{20}{0,8}\Rightarrow t_1=25\text{s}$

b) Secondo la figura 2, del triangolo rettangolo di angolo $\theta$ che ha per cateti $R$ e il raggio del Sole tangente a la superficie della Terra, si deduce

$\cos \theta =\frac{R}{R+h}\Rightarrow h=R\left(\frac{1}{\cos \theta }-1\right)$

sostituendo $\theta =\omega t$,

$h=R\left(\frac{1}{\cos \omega t}-1\right)(1)$

c) Durante el tiempo $t_1$ que el ascensor tarda en llegar a la terraza del hotel, la sombra del sol alcanzará una altezza

$h=6,371\cdot 10^6\left(\frac{1}{\cos \left(\frac{2\pi }{24\cdot 3600}25\right)}-1\right)\Rightarrow h=10,52\text{m}$

Questa altezza è inferiore alla altezza della terrazza dell’hotel, quindi la coppia arriverà in tempo per osservare il secondo tramonto. d) Per seguire il tramonto, l’ascensore deve salire alla stessa velocità con cui l’ombra sale; che possiamo ottenere dall’equazione (1),

$v(t)=\frac{dh}{dt}\Rightarrow v(t)=\frac{R\omega \text{sen}(\omega t)}{{\cos }^2(\omega t)}$

e) Con l’approccio proposto possiamo ottenere un’espressione della velocità più semplice,

$v(t)=R{\omega }^{2}t(2)$

f) L’accelerazione può essere ottenuta dall’espressione (2) come

$a(t)=\frac{dv}{dt}\Rightarrow a(t)=R{\omega }^2$

L’espressione ottenuta indica che l’accelerazione è costante, quindi l’ascensore deve salire con un movimento uniformemente accelerato. g) Poiché l’ascensore sale con un movimento uniformemente accelerato, il tempo di salita $t_2$ fino alla fine del ciclo di terrazza del edificio, a una altezza $H$, sarà determinata da

$H=\frac{1}{2}a{t}_2^2=\frac{1}{2}R{\omega }^2{t}_2^2\Rightarrow t_2=\sqrt{\frac{2H}{R{\omega }^2}}=\sqrt{\frac{2\cdot 20}{6,371\cdot 10^6{\left(\frac{2\pi }{24\cdot 3600}\right)}^2}}\Rightarrow t_2=34,45\text{s}$

Quindi gli innamorati avranno un po’ più di mezzo minuto per procedere alla loro dichiarazione d’amore, Il tempo che, in termini fisici, non può essere determinato se è sufficiente o meno. Per questo tempo La maggior parte dei progetti di ricerca e di sviluppo sono stati realizzati in modo che la produzione di energia sia più rapida. La portata di coppie veramente innamorate.

geometria ombra Terra-Sole hotel

Topic: Newtonian Mechanics, Astrophysics Metodi: Kinematic Equations, Small-Angle Approximation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Two consecutive sunsets

A romantic couple finds themselves at the base of a luxurious hotel, on the shore of an idyllic beach located on Earth’s equatorial circle, when, at sunset, they observe a beautiful scene of the sun setting over a calm sea (Fig. 1).

One of the attractions offered by this luxurious hotel is the possibility of witnessing a second sunset. To facilitate this astronomical whim, the hotel positions the elevator entrance exactly at the base of the beach. In order to fully enjoy this event, the happy couple immediately after observing the first sunset takes the elevator and heads toward the hotel’s rooftop terrace, located at a height $H=20\text{m}$, where they hope to witness the same exciting scene for a second time. For simplicity, we assume that the elevator ascends with constant speed $v=0,8\text{m/s}$.

Due to Earth’s rotation, with angular velocity $\omega$, the Earth rotates through a small angle $\theta$ which causes, after the first sunset, the appearance of a shadow of height $h$ on the hotel’s façade, as shown in Fig. 2. To simplify the described situation, assume that sunlight rays are parallel to the plane of Earth’s equatorial circle.

a) Calculate the time it takes for the elevator to reach the rooftop terrace of the building.

b) Obtain the expression for the height $h$ of the shadow projected by Earth onto the hotel’s façade, as a function of $R$, $\omega$ and $t$.

c) Determine whether the couple will arrive in time to see a second sunset from the terrace. The hotel’s technical team decides to improve the attraction by incorporating an elevator control system that allows the elevator to ascend simultaneously with the shadow projected onto it, so that the enamored travelers aboard the elevator can enjoy an extended sunset lasting until the elevator reaches the terrace.

d) Based on the expression obtained in b), calculate, in terms of $R$, $\omega$ and $t$, the velocity at which the elevator should ascend to follow the sun’s shadow on the hotel façade.

Fig. 1 Fig. 2

Given that the Earth’s rotation angle $\theta$ during the elevator’s ascent is small, the functions $\text{sen}\theta$ and $\cos \theta$ can be approximated as follows: $\text{sen}\theta \approx \theta$; $\cos \theta \approx 1$.

e) Apply the proposed approximation to simplify the velocity expression obtained in part d).

f) From the previous result, deduce with what acceleration the elevator must ascend to follow the shadow. What type of motion should the elevator perform?

g) According to the results from parts e) and f), how long will the enamored couple enjoy the sunset, from the moment the elevator begins ascending until they reach the hotel terrace?

Data: - Earth’s radius $R_T=6,37\times 10^6\text{m}$.

P1. Solution a) The elevator ascends at constant velocity, so it will take a time $t_1$ to reach the terrace,

$v=\frac{H}{t_1}\Rightarrow t_1=\frac{H}{v}=\frac{20}{0,8}\Rightarrow t_1=25\text{s}$

b) According to Figure 2, from the right triangle with angle $\theta$ whose legs are $R$ and the ray of sunlight tangent to Earth’s surface, it follows that

$\cos \theta =\frac{R}{R+h}\Rightarrow h=R\left(\frac{1}{\cos \theta }-1\right)$

Substituting $\theta =\omega t$,

$h=R\left(\frac{1}{\cos \omega t}-1\right)(1)$

c) During the time $t_1$ that the elevator takes to reach the hotel’s rooftop, the shadow of the Sun will have risen to a height

$h=6,371\cdot 10^6\left(\frac{1}{\cos \left(\frac{2\pi }{24\cdot 3600}25\right)}-1\right)\Rightarrow h=10,52\text{m}$

This height is less than the height of the hotel’s rooftop, so the couple will indeed arrive in time to observe the second sunset.

d) To follow the sunset, the elevator must ascend at the same speed as the shadow’s ascent, which we can obtain from equation (1):

$v(t)=\frac{dh}{dt}\Rightarrow v(t)=\frac{R\omega \text{sen}(\omega t)}{{\cos }^2(\omega t)}$

e) With the proposed approximation, we can obtain a simpler expression for velocity:

$v(t)=R{\omega }^{2}t(2)$

f) From equation (2), we can determine acceleration as

$a(t)=\frac{dv}{dt}\Rightarrow a(t)=R{\omega }^2$

The obtained expression indicates that the acceleration is constant, so the elevator must ascend with uniformly accelerated motion.

g) Since the elevator ascends with uniformly accelerated motion, the time $t_2$ it takes to reach the rooftop at height $H$ is determined by

$H=\frac{1}{2}a{t}_2^2=\frac{1}{2}R{\omega }^2{t}_2^2\Rightarrow t_2=\sqrt{\frac{2H}{R{\omega }^2}}=\sqrt{\frac{2\cdot 20}{6,371\cdot 10^6{\left(\frac{2\pi }{24\cdot 3600}\right)}^2}}\Rightarrow t_2=34,45\text{s}$

Thus, the couple will enjoy more than half a minute to proceed with their declaration of love—time that, from a physical standpoint, cannot be determined as sufficient or not. To extend this time further would require adding more floors to the building or slowing down the Sun’s rotation, something only truly in love couples could achieve.

geometry of Earth-Sun shadow hotel

P2. La cazadora de agujeros negros Los agujeros negros son objetos astrofísicos que concentran una masa tan grande que ni siquiera la luz puede escapar del campo gravitatorio que generan. Esta propiedad hace que sean invisibles y por lo tanto muy difíciles de detectar, salvo por sus efectos gravitatorios, ya que gobiernan la dinámica de las estrellas que orbitan en su entorno. Los agujeros negros parecen emitir diferentes formas de radiación, realmente originada por la materia que “cae” en ellos. Sagittarius A* es un objeto compacto y brillante en ondas de radio en el centro de la Vía Láctea, a 26 mil años-luz del sistema solar. Sagittarius A fue descubierto en 1931 por Karl Jansky, y consiste en diferentes fuentes de ondas de radio superpuestas, que en 1974 fueron resueltas, siendo Sagittarius A* la denominación que recibió la más intensa y compacta de todas ellas. Sagittarius A* se encuentra en el foco de las órbitas de varias estrellas, cuyos movimientos orbitales fueron analizados durante más de 16 años por Andrea Ghez y Reinhard Genzel. En la figura 1 se muestran las órbitas aparentes1 de seis de estas estrellas. Las observaciones de Ghez y Genzel han revelado la existencia de un objeto invisible y extremadamente pesado, compatible con un agujero negro supermasivo, que atrae a dichas estrellas de forma que orbitan a su alrededor a increíbles velocidades. Andrea Ghez obtuvo, junto a Reinhard Genzel, el premio Nobel en Física en 2020 por su investigación pionera que ha permitido descubrir este agujero negro supermasivo, que se encuentra en el centro de la Vía Láctea, siendo la cuarta mujer en recibir este premio desde su instauración2. Vamos a suponer de forma simplificada que se puede aplicar la dinámica newtoniana a las órbitas de las estrellas que rodean Sagittarius A*, de modo que no es necesario introducir correcciones de Relatividad General. a) Expresa la tercera ley de Kepler en función de la masa $M$ del objeto central. Para ello puedes suponer órbitas circulares. Vamos a centrar nuestra atención en las estrellas S1 y S2, cuyos datos se indican al final. Sus órbitas son elipses muy excéntricas3, cuyo semieje mayor equivale al radio orbital promedio. b) A partir de los datos de las órbitas de S1 y S2, comprueba que cumplen la tercera ley de Kepler.

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(1) La órbita aparente es la trayectoria de la estrella que se observa desde la Tierra, es decir, la proyección de la orbita sobre el plano perpendicular a nuestra línea de visión. (2) Andrea Ghez comparte la mitad del premio Nobel con Reinhard Genzel. La otra mitad del premio Nobel le corresponde a Roger Penrose por el hallazgo de que la formación de agujeros negros es una consecuencia directa de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein. (3) La excentricidad de una órbita se relaciona con las distancias al afelio, $r_A$, y al perihelio, $r_P$, en la forma

$e=\frac{r_A-r_P}{r_A+r_P}$

Fig. 2: Andrea Ghez

https://en.wikipedia.org/wiki/Sagittarius_A* Fig. 1

c) Calcula la masa $M_{\ast }$ del objeto central, responsable del movimiento de las estrellas S1 y S2. Las dimensiones del objeto “central” no son conocidas, pero se han acotado a una esfera de radio $R_{\ast }=2,2\cdot 10^7\text{km}$. d) Calcula la aceleración de la gravedad que observaríamos en un punto en el borde de dicha distribución de masa, supuesta esférica, en unidades de $g$, la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. e) ¿Cuál sería la velocidad de escape correspondiente a dicho objeto en unidades de la velocidad de la luz en vacío, $c$? Cuando un objeto no puntual está sometido a la acción gravitatoria de otro aparecen sobre él lo que se denominan fuerzas de marea, debidas a la diferencia de las fuerzas gravitatorias que experimentaría una masa $m$ en diferentes posiciones de la superficie del objeto no puntual4. Se definen como la diferencia entre la fuerza que actúa sobre la masa $m$ en un punto de la superficie del objeto no puntual menos la fuerza que actuaría sobre dicha masa si estuviera situada en el punto central del objeto. La situación simplificada se ilustra en la figura 3. Consideraremos los puntos A y B, en la superficie del objeto de radio $R$ sobre el que actúa la acción gravitatoria de la masa $M$ (que podemos considerar puntual); C es el centro del objeto, a distancia $r$ de la masa $M$; A el punto de la superficie más próximo a la masa $M$ y B el más alejado. Todos los puntos están alineados. f) Calcula5 la fuerza de marea para una masa $m$ colocada en los puntos A y B, en función de $r$, $R$ y $M$, indicando su módulo, dirección y sentido. g) Determina la relación entre la fuerza de marea que actúa sobre el punto A de la Tierra debido a la acción combinada del Sol y la Luna cuando los tres se encuentran perfectamente alineados y la fuerza de marea que experimentaría dicho punto A en la Tierra si ésta se encontrara colocada en el perihelio de la órbita de la estrella S2 alrededor de Sagittarius A*.

Datos:

• Excentricidad de la órbita de S1, $e_1=0,5560$
• Excentricidad de la órbita de S2, $e_2=0,8843$
• Periodo orbital de S1, $T_1=166\text{an˜os}$
• Periodo orbital de S2, $T_2=16,1\text{an˜os}$
• Distancia al perihelio de S1, $r_{P1}=2160,7\text{UA}$
• Distancia al perihelio de S2, $r_{P2}=118,4\text{UA}$
• Unidad astronómica, $1\text{UA}=1,5\cdot 10^{11}\text{m}$
• Velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot 10^8\text{m/s}$
• Masa del Sol, $M_{\odot }=1,99\cdot 10^{30}\text{kg}$
• Masa de la Luna, $M_L=7,34\cdot 10^{22}\text{kg}$
• Distancia Sol-Tierra, $r_S=1\text{UA}$
• Distancia Luna-Tierra, $r_L=3,844\cdot 10^5\text{km}$
• Constante gravitatoria $G=6,67\cdot 10^{-11}{\text{N m}}^2{\text{kg}}^{-2}$
• Radio de la Tierra $R_T=6,37\times 10^6\text{m}$

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(4) Las fuerzas de marea provocan las mareas en la Tierra, son responsables de que siempre veamos la misma cara de la Luna y frenan de forma continua la rotación de la Tierra. Si las fuerzas de marea sobre un objeto sólido son muy grandes, podrían producir su ruptura. (5) Dado que en general se cumplirá que $r\gg R$, puedes utilizar las aproximaciones:

$\frac{1}{(1-R/r{)}^2}\approx 1+2\frac{R}{r};\frac{1}{(1+R/r{)}^2}\approx 1-2\frac{R}{r}$

Fig. 3

P2. Solución a) Suponiendo órbitas circulares de radio $r$ podemos igualar la fuerza centrípeta con la fuerza gravitatoria,

$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$

El periodo de la órbita $T$ lo podemos relacionar con la velocidad orbital y la longitud de la circunferencia,

$T=\frac{2\pi r}{v}$

De donde, si despejamos $v$ y sustituimos en la expresión de la fuerza centrípeta, obtenemos,

$G\frac{M}{r^2}=\frac{{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)}^2}{r}\Rightarrow \frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$

Para órbitas elípticas, esta relación se convierte en

$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}(1)$

Siendo $a$ el semieje mayor de la órbita (que coincide con el radio orbital medio). b) Para comprobar la ley de Kepler utilizando los datos de las órbitas S1 y S2 calculamos el cuadrado del periodo orbital dividido por el cubo del semieje mayor de la órbita. Este cociente debe ser constante. A partir de los datos de la excentricidad orbital, $e$, y distancia al perihelio, $r_P$, calculamos la distancia al afelio, $r_A$,

$r_A=r_P\frac{1+e}{1-e}$

Sustituyendo los datos de la tabla para la excentricidad de S1 y S2 obtenemos

$r_{A1}=3,5r_{P1};r_{A2}=16,3r_{P2}$

De modo que el semieje mayor de sus órbitas será

$a_1=\frac{1}{2}(r_{A1}+r_{P1})=2,25r_{P1}=4861,58\text{UA}$

$a_2=\frac{1}{2}(r_{A2}+r_{P2})=8,65r_{P2}=1024,16\text{UA}$

Se comprueba que

$\frac{T_1^2}{a_1^3}=\frac{T_2^2}{a_2^3}\cong 2,4\cdot 10^{-7}{\text{an˜os}}^2/{\text{UA}}^3(2)$

Por lo que podemos concluir que se cumple la Ley de Kepler para las órbitas de S1 y S2. c) Para calcular la masa $M_{\ast }$ del objeto central, la despejamos de la expresión (1) de la ley de Kepler que hemos obtenidos en el apartado a) y sustituimos por el valor obtenido en (2)

$M_{\ast }=\frac{4{\pi }^2}{G}{\left(\frac{T^2}{a^3}\right)}^{-1}=\frac{4{\pi }^2}{6,67\cdot 10^{-11}}(2,4\cdot 10^{-7}{)}^{-1}\Rightarrow M_{\ast }=8,35\cdot 10^{36}\text{kg}=4,18\cdot 10^6{M}_{\odot }$

*orbite stelle intorno a Sagittario A

massa M e punti A B superficie terrestre

Topic: Gravitation, Astrophysics, Newtonian Mechanics Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Black Hole, Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2. La cacciatrice di buchi neri I buchi neri sono oggetti astrofisici che concentrano una massa così grande che non c’è nemmeno la luce. può sfuggire al campo gravitazionale che generano. Questa proprietà rende invisibili e quindi molto difficili da individuare, salvo per i loro effetti gravitazionali, poiché governano la dinamica delle stelle che orbitano intorno a loro. I buchi neri sembrano emettere forme diverse di radiazione, in realtà. originata dalla materia che li circonda. Sagittarius A* è un oggetto compatto e luminoso in onde radio nel centro della Via Lattea, a 26 mila anni luce dal Sistema solare. Sagittarius A fu scoperto nel 1931 da Karl Jansky, e consiste in diverse fonti di onde radio che nel 1974 sono state risolte, essendo Sagittario A* la denominazione che ha ricevuto la più intensa e compatta di tutte. Sagittarius A* si trova nel foco delle orbite di varie stelle, i cui movimenti orbitali sono stati analizzati per più di 16 anni da Andrea Ghez e Reinhard Genzel. La figura 1 mostra le orbite apparenti1 di sei di queste Le stelle. Le osservazioni di Ghez e Genzel hanno rivelato che la l’esistenza di un oggetto invisibile ed estremamente pesante, compatibile con un buco nero supermassiccio, che attira Le stelle orbitano intorno a loro in modo incredibile. velocità. Andrea Ghez ha ottenuto, insieme a Reinhard Genzel, il Premio Nobel di Fisica nel 2020 per la sua ricerca pionieristica che ha permesso di scoprire questo buco nero supermassiccio, che Si trova al centro della Via Lattea, il quarto donna in ricevere questo premio sin dalla sua istituzione2. Supponiamo in modo semplificato che si possa Applicare la dinamica newtonica alle orbite delle stelle che circondano Sagittarius A*, quindi non è necessario inserire correzioni di Relatività Generale. a) Esprime la terza legge di Kepler in funzione della massa $M$ dell’oggetto centrale. Per questo si può supporre orbite circolari. Concentreremo la nostra attenzione sulle stelle S1 e S2, i cui dati sono indicati alla fine. Le sue orbite sono Elipsi molto eccentrici, il cui semiegio maggiore equivale al raggio orbitale medio. b) Sulla base dei dati delle orbite di S1 e S2, verifica che rispettano la terza legge di Kepler.

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(1) L’orbita apparente è la traiettoria della stella osservata dalla Terra, cioè la proiezione dell’orbita sulla Terra. piano perpendicolare alla nostra linea di vista. (2) Andrea Ghez condivide metà del premio Nobel con Reinhard Genzel. L’altra metà del premio Nobel è per Roger Penrose per aver scoperto che la formazione di buchi neri è una conseguenza diretta della teoria generale della la relatività di Albert Einstein. (3) L’escentricità di un’orbita è correlata alle distanze all’afélium, $r_A$, e al perihelium, $r_P$, in forma

$e=\frac{r_A-r_P}{r_A+r_P}$

Fig. 2: Andrea Ghez

Il suo nome è stato firmato in un’unica occasione. Fig. 1

c) Calcola la massa $M_{\ast }$ dell’oggetto centrale, responsabile del movimento delle stelle S1 e S2. Le dimensioni dell’oggetto centro non sono note, ma sono state accostate ad una sfera radio $R_{\ast }=2,2\cdot 10^7\text{km}$. d) Calcola l’accelerazione della gravità che avremmo osservato in un punto sul bordo di tale distribuzione di massa, presumibilmente sferica, in unità $g$, l’accelerazione della gravità sulla superficie terrestre. e) Qual è la velocità di scarico di tale oggetto in unità della velocità della luce? in vuoto, $c$? Quando un oggetto non puntuale è sottoposto all’azione gravitazionale di un altro appariscono su di esso ciò che si La forza di marea è la differenza tra le forze gravitazionali che un’altra massa $m$ in diverse posizioni della superficie dell’oggetto non puntuale4. Sono definite come la differenza tra la forza che agisce sulla massa $m$ in un punto della superficie dell’oggetto non puntuale meno la forza che agisce su tale massa se si trova al centro dell’oggetto. La situazione semplificata è illustrata in figura 3. Considereremo i punti A e B, sulla superficie del oggetto radio $R$ su cui agisce l’azione gravitazionale di massa $M$ (che possiamo considerare puntuale); C è il centro dell’oggetto, a distanza $r$ dalla massa $M$; di superficie più vicina alla massa $M$ e B più

• Non lo so. Tutti i punti sono allineati. f) Calcolare5 la forza di marea per una massa $m$ collocata nei punti A e B, in funzione di $r$, $R$ e $M$, Indicando il modulo, la direzione e il senso. g) Determina il rapporto tra la forza di marea che agisce sul punto A della Terra a causa della l’azione combinata del sole e della luna quando i tre sono perfettamente allineati e la forza di La marea che avrebbe sperimentato tale punto A sulla Terra se si trovasse situato sul perihelio della Terra Orbita della stella S2 attorno a Sagittario A*.

Dati:

• eccentricità dell’orbita di S1, $e_1=0,5560$
• eccentricità dell’orbita di S2, $e_2=0,8843$
• Periodo orbitale di S1, $T_1=166\text{an˜os}$
• Periodo orbitale di S2, $T_2=16,1\text{an˜os}$
• Distanza per perihelione di S1, $r_{P1}=2160,7\text{UA}$
• Distanza da S2 perielio, $r_{P2}=118,4\text{UA}$
• unità astronomica, $1\text{UA}=1,5\cdot 10^{11}\text{m}$
• Velocità della luce in vuoto, $c=3\cdot 10^8\text{m/s}$
• Massa del Sole, $M_{\odot }=1,99\cdot 10^{30}\text{kg}$
• Massa della luna, $M_L=7,34\cdot 10^{22}\text{kg}$
• Distanza Sole-Terra, $r_S=1\text{UA}$
• Distanza Luna-Terra, $r_L=3,844\cdot 10^5\text{km}$
• Costante gravitazionale $G=6,67\cdot 10^{-11}{\text{N m}}^2{\text{kg}}^{-2}$
• Radio Terra $R_T=6,37\times 10^6\text{m}$

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(4) Le forze delle maree provocano le maree sulla Terra, sono responsabili del fatto che vediamo sempre la stessa faccia della Luna e frenano continuamente la rotazione della Terra. Se le forze di marea su un oggetto solido sono molto grandi, potrebbero e di creare la sua rottura. (5) Poiché in genere si soddisferà $r\gg R$, si possono utilizzare le seguenti approcci:

$\frac{1}{(1-R/r{)}^2}\approx 1+2\frac{R}{r};\frac{1}{(1+R/r{)}^2}\approx 1-2\frac{R}{r}$

Fig. 3

P2. Soluzione a) Supponiamo orbite circolari di radio $r$ che la forza centripetal sia uguale alla forza gravitazionale,

$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$

Il periodo di orbita $T$ può essere correlato alla velocità orbitale e alla lunghezza della circonferenza,

$T=\frac{2\pi r}{v}$

Da dove, se si sbarazza di $v$ e si sostituisce nell’espressione della forza centripeta, si ottiene,

$G\frac{M}{r^2}=\frac{{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)}^2}{r}\Rightarrow \frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$

Per le orbite elliptiche, questa relazione diventa

$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}(1)$

Essendo $a$ la semicirca maggiore dell’orbita (corrispondente al raggio orbitale medio). b) Per verificare la legge di Kepler utilizzando i dati delle orbite S1 e S2 calcoliamo il quadrato del periodo orbitale diviso dal cubo del semiegio maggiore dell’orbita. Questo coefficiente deve essere costante. A Sulla base dei dati dell’eccentricità orbitale, $e$, e della distanza al perihelione, $r_P$, calcoliamo la distanza al aereo, $r_A$,

$r_A=r_P\frac{1+e}{1-e}$

Sostituendo i dati della tabella per l’escentricità di S1 e S2 otteniamo

$r_{A1}=3,5r_{P1};r_{A2}=16,3r_{P2}$

Quindi la semiaestria maggiore delle sue orbite sarà

$a_1=\frac{1}{2}(r_{A1}+r_{P1})=2,25r_{P1}=4861,58\text{UA}$

$a_2=\frac{1}{2}(r_{A2}+r_{P2})=8,65r_{P2}=1024,16\text{UA}$

Si verifica che

$\frac{T_1^2}{a_1^3}=\frac{T_2^2}{a_2^3}\cong 2,4\cdot 10^{-7}{\text{an˜os}}^2/{\text{UA}}^3(2)$

Quindi possiamo concludere che si adempie alla legge di Kepler per le orbite di S1 e S2. c) Per calcolare la massa $M_{\ast }$ dell’oggetto centrale, la dischiamo dall’espressione (1) della legge di Kepler che abbiamo ottenuto al punto (a) e sostituito con il valore ottenuto al punto (2)

$M_{\ast }=\frac{4{\pi }^2}{G}{\left(\frac{T^2}{a^3}\right)}^{-1}=\frac{4{\pi }^2}{6,67\cdot 10^{-11}}(2,4\cdot 10^{-7}{)}^{-1}\Rightarrow M_{\ast }=8,35\cdot 10^{36}\text{kg}=4,18\cdot 10^6{M}_{\odot }$

Orbita stellare attorno a Sagittario A

massa M e punti A B superficie terrestre

Topic: Gravitation, Astrophysics, Newtonian Mechanics Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Black Hole, Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2. The black hole hunter Black holes are astrophysical objects that concentrate mass so large that not even light can be seen. It can escape the gravitational field they generate. This property makes them invisible and therefore Very difficult to detect, except for their gravitational effects, as they govern the dynamics of stars. orbiting in their environment. Black holes seem to emit different forms of radiation, actually. The origin of the matter in them. Sagittarius A* is a compact, bright object in waves The radiation at the center of the Milky Way, 26,000 light-years from Earth The solar system. Sagittarius A was discovered in 1931 by Karl Jansky, and consists of different radio wave sources overlapping, which in 1974 were resolved, being Sagittarius A* the name given to the most intense and compact of the All of them. Sagittarius A* is in the focus of the orbits of the Several stars, whose orbital motions were analyzed For over 16 years by Andrea Ghez and Reinhard Genzel. Figure 1 shows the apparent orbits1 of six of these The stars. The observations of Ghez and Genzel have revealed the the existence of an invisible and extremely heavy object, It is compatible with a supermassive black hole, which attracts These stars orbit around them in incredible ways. speed. Andrea Ghez obtained, together with Reinhard Genzel, the Nobel Prize in Physics in 2020 for his pioneering research which has allowed us to discover this supermassive black hole, which It is located in the center of the Milky Way, being the fourth The award is the first of its kind to be awarded since its inception. Let’s assume in a simplified way that you can Apply newtonian dynamics to the orbits of stars that surround Sagittarius A*, so it is not necessary to enter The correction of general relativity. a) Expresa la tercera ley de Kepler en función de la masa $M$ del objeto central. For that you can assume orbiting in a circular orbit. We’re going to focus our attention on the stars S1 and S2, whose data are indicated at the end. Its orbits are Very eccentric ellipses3, the major half-life of which is equal to the average orbital radius. b) From the data of the orbits of S1 and S2, you check that they meet Kepler’s third law.

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(1) The apparent orbit is the path of the star as seen from Earth, i.e. the projection of the orbit over the plane perpendicular to our line of sight. (2) Andrea Ghez shares half the Nobel Prize with Reinhard Genzel. The other half of the Nobel Prize goes to Roger Penrose for finding that black hole formation is a direct consequence of the general theory of It’s the theory of relativity of Albert Einstein. (3) The eccentricity of an orbit is related to the distances to the aphelion, $r_A$, and to the perihelion, $r_P$, in the form

$e=\frac{r_A-r_P}{r_A+r_P}$

Fig. 2: Andrea Ghez

https://en.wikipedia.org/wiki/Sagittarius_A* Fig. 1

c) Calculates the mass $M_{\ast }$ of the central object, responsible for the movement of the stars S1 and S2. The dimensions of the object are unknown, but they have been attached to a radio sphere. $R_{\ast }=2,2\cdot 10^7\text{km}$. d) Calculate the gravitational acceleration we would observe at a point on the edge of that distribution of mass, assumed spherical, in units of $g$, the acceleration of gravity on the earth’s surface. e) What would be the escape velocity of that object in units of the speed of light? in the vacuum, $c$? When a non-point object is subjected to the gravitational action of another object, what appears over it is They call tidal forces, because of the difference in gravitational forces that would be experienced by a mass $m$ at different positions on the surface of the non-point object4. They are defined as the difference between The force acting on the mass $m$ at a point on the surface of the object not punctuated less the force that It would act on that mass if it were located at the centre of the object. The simplified situation is illustrated in Figure 3. We will consider points A and B on the surface of the radio object $R$ on which the gravitational action acts of mass $M$ (which we can consider pointed); C is the The object centre, at a distance $r$ from the mass $M$; of the surface closest to the mass $M$ and B the nearest I’m going to go away. All points are aligned. f) Calculate5 the tidal force for a mass $m$ placed at points A and B, based on $r$, $R$ and $M$, indicating its module, direction and direction. g) It determines the relationship between the tidal force acting on point A of the Earth due to the The combined action of the Sun and Moon when the three are perfectly aligned and the force of the The tidal wave that would be experienced by point A on Earth if it were placed at the perihelion of the orbit of the star S2 around Sagittarius A*.

The data:

• Excentricity of the orbit of S1, $e_1=0,5560$
• Excentricity of the orbit of S2, $e_2=0,8843$
• orbital period of S1, $T_1=166\text{an˜os}$
• orbital period of S2, $T_2=16,1\text{an˜os}$
• S1 perihelion distance, $r_{P1}=2160,7\text{UA}$
• S2 perihelion distance, $r_{P2}=118,4\text{UA}$
• Astronomical unit, $1\text{UA}=1,5\cdot 10^{11}\text{m}$
• Speed of light in vacuum, $c=3\cdot 10^8\text{m/s}$
• Mass of the Sun, $M_{\odot }=1,99\cdot 10^{30}\text{kg}$
• Mass of the Moon, $M_L=7,34\cdot 10^{22}\text{kg}$
• Sun-Earth distance, $r_S=1\text{UA}$
• Moon-Earth distance, $r_L=3,844\cdot 10^5\text{km}$
• Gravitational constant $G=6,67\cdot 10^{-11}{\text{N m}}^2{\text{kg}}^{-2}$
• Radio of the Earth $R_T=6,37\times 10^6\text{m}$

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(4) The tidal forces cause the tides on Earth, they’re responsible for making us always see the same face of the moon and They continuously slow down the Earth’s rotation. If the tidal forces on a solid object are too great, they could cause its rupture. (5) Since $r\gg R$ will generally be met, you can use the following approaches:

$\frac{1}{(1-R/r{)}^2}\approx 1+2\frac{R}{r};\frac{1}{(1+R/r{)}^2}\approx 1-2\frac{R}{r}$

Fig. 3

P2. Solution (a) Assuming circular radial orbits $r$ we can equate the centrifugal force with the gravitational force,

$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$

El periodo de la órbita $T$ lo podemos relacionar con la velocidad orbital y la longitud de la circunferencia,

$T=\frac{2\pi r}{v}$

Where, if we clear $v$ and substitute in the centrifugal force expression, we get,

$G\frac{M}{r^2}=\frac{{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)}^2}{r}\Rightarrow \frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$

For elliptical orbits, this relationship becomes

$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}(1)$

Being $a$ the major halfway point of the orbit (which coincides with the mean orbital radius). (b) To test Kepler’s law using the data from orbits S1 and S2 we calculated the square of the orbital period divided by the cube of the major semicircle of the orbit. This ratio must be constant. A From the data of the orbital eccentricity, $e$, and distance to perihelion, $r_P$, we calculate the distance to the afelio, $r_A$,

$r_A=r_P\frac{1+e}{1-e}$

By replacing the data from the table for the eccentricity of S1 and S2 we get

$r_{A1}=3,5r_{P1};r_{A2}=16,3r_{P2}$

So the major semiaquity of its orbits will be

$a_1=\frac{1}{2}(r_{A1}+r_{P1})=2,25r_{P1}=4861,58\text{UA}$

$a_2=\frac{1}{2}(r_{A2}+r_{P2})=8,65r_{P2}=1024,16\text{UA}$

It is proved that

$\frac{T_1^2}{a_1^3}=\frac{T_2^2}{a_2^3}\cong 2,4\cdot 10^{-7}{\text{an˜os}}^2/{\text{UA}}^3(2)$

So we can conclude that Kepler’s Law is fulfilled for the orbits of S1 and S2. c) Para calcular la masa $M_{\ast }$ del objeto central, la despejamos de la expresión (1) de la ley de Kepler que We have obtained in subparagraph (a) and we have replaced by the value obtained in (2)

$M_{\ast }=\frac{4{\pi }^2}{G}{\left(\frac{T^2}{a^3}\right)}^{-1}=\frac{4{\pi }^2}{6,67\cdot 10^{-11}}(2,4\cdot 10^{-7}{)}^{-1}\Rightarrow M_{\ast }=8,35\cdot 10^{36}\text{kg}=4,18\cdot 10^6{M}_{\odot }$

*orbite stelle intorno a Sagittario A

*mass M and points A B surface *

Topic: Gravitation, Astrophysics, Newtonian Mechanics Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Black Hole, Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.5

P3. Espectrómetro de masas de sector magnético1 En la figura 1 se muestra el esquema de un espectrómetro de masas (de Dempster) cuyo funcionamiento es, en esencia, el siguiente: En la cámara de ionización, los electrones emitidos por un filamento incandescente, una vez acelerados, chocan con los átomos o moléculas de un gas, produciendo iones positivos. Supondremos, por sencillez, que los iones producidos tienen carga eléctrica $+e$, siendo $e=1,60218\times 10^{-19}\text{C}$, y que “nacen” con velocidad nula. Mediante un campo eléctrico poco intenso se conducen hacia las placas aceleradoras, entre las que existe una diferencia de potencial $\Delta V$, (figura 2). Los iones que allí entran son acelerados por el campo eléctrico $\vec{E}$ existente entre dichas placas y salen con una velocidad $v_0$. A través de la rendija de entrada, estos iones penetran con la velocidad $v_0$ en una región en la que hay un campo magnético uniforme (región sombreada de la figura 1), de módulo $B$ y con dirección perpendicular al plano de la figura. Como consecuencia, los iones describen una trayectoria circular.

1 Este problema se propuso en la Fase Aragonesa de la XV Olimpiada Española de Física, celebrada en 2004.

Fig. 1

Fig. 2

a) Determina el radio de la trayectoria de los iones, $R$, en función de su masa, $m$, de su carga eléctrica, $e$, del potencial acelerador, $\Delta V$, y del campo magnético, $B$. b) Comprueba que, en un espectrómetro de este tipo, con $R=0,150\text{m}$ y $\Delta V=3,00\text{kV}$, el campo magnético $B$ que focaliza los iones en la rendija de salida viene dado, en función de la masa $m$ de los iones, por la expresión $B=0,0526\sqrt{m}$, en la que $B$ se obtiene en teslas cuando $m$ se expresa en unidades de masa atómica. Cuando los iones salen del campo magnético por la rendija de salida, son recogidos en un colector (caja de Faraday). Los iones que entran en él dan lugar a una corriente eléctrica en la resistencia $R_c$ y, por consiguiente, a una diferencia de potencial entre sus extremos. Este voltaje es proporcional a la cantidad de iones de una determinada relación $m/e$ que llegan al colector por unidad de tiempo. Por lo tanto, será también proporcional a la abundancia de moléculas o átomos de masa $m$ que contenga el gas que se estudia. Variando la intensidad del campo magnético se podrán recoger en el colector iones de distintas masas, dando lugar en $R_c$ a señales que, una vez amplificadas, procesadas y registradas, proporcionan el espectro de masas del gas estudiado. En la figura 3 se muestra el espectro de masas de una mezcla de dos gases nobles. En dicho espectro aparecen los picos correspondientes a los isótopos de cada gas. c) Ayudándote del fragmento de Tabla Periódica que se encuentra junto a la figura 3, determina los gases nobles que componen la mezcla.

Datos: - Unidad de masa atómica, $1\text{uma}=1,66054\cdot 10^{-27}\text{kg}$.

Fig. 2

P3. Solución a) Cuando los iones de masa $m$ y carga $+e$ entran con velocidad prácticamente nula en el campo eléctrico existente entre las placas aceleradoras (figura 2), su energía mecánica es exclusivamente potencial electrostática, $e\Delta V$. El campo eléctrico los acelera y salen de él con energía que sólo es cinética, $m{v}_0^2/2$. Como la energía mecánica debe conservarse

$e\Delta V=\frac{1}{2}m{v}_0^2$

La velocidad de los iones al entrar en la región del campo magnético es

$v_0=\sqrt{\frac{2e\Delta V}{m}}(1)$

A continuación, sobre los iones que se mueven en el campo magnético actúa la fuerza de Lorentz, indicada en la nota 1 del enunciado

$\vec{F}=e{\vec{v}}_0\times \vec{B}$

Como ${\vec{v}}_0$ y $\vec{B}$ son perpendiculares, el módulo de esta fuerza es

$F=e{v}_{0}B$

Esta fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, de forma que la aceleración de los iones es normal o centrípeta, por lo que

$e{v}_{0}B=m\frac{v_0^2}{R}$

y, por tanto

$R=\frac{m{v}_0}{eB}(2)$

Como $v_0$ es constante2, el radio de curvatura de la trayectoria que describen los iones es también constante, es decir, desde que entran en el campo magnético por la rendija de entrada hasta que lo abandonan a través de la rendija de salida seguirán una trayectoria circular. Teniendo en cuenta (1) y (2), el radio de esta trayectoria es

$R=\frac{1}{B}\sqrt{2\Delta V\frac{m}{e}}(3)$

b) Despejando $B$ en (3), obtenemos el campo magnético que “conduce” a los iones de masa $m$ hasta la rendija de salida, en función de los datos de construcción del espectrómetro (radio $R$ del tubo y potencial acelerador $\Delta V$)

$B=\frac{1}{R}\sqrt{2\Delta V\frac{m}{e}}$

Con los datos numéricos que se indican en el enunciado expresados en unidades del S.I., el valor del campo magnético necesario para focalizar iones de masa $m$ en la rejilla de salida es

$B=\frac{1}{0,150}\sqrt{\frac{2\times 3000}{1,60\times 10^{-19}}}\sqrt{m}=1,29\times 10^{12}\sqrt{m}$

Como se ha indicado antes, en la expresión anterior la masa $m$ debe estar expresada en kg, pero en espectrometría de masas es habitual la utilización de la unidad de masa atómica, uma. Teniendo en cuenta la equivalencia $1\text{uma}=1,66054\times 10^{-27}\text{kg}$, la expresión del campo magnético se convierte en

$B=0,0526\sqrt{m}(4)$

(B en T; m en uma) c) En el espectro de la figura 3 se distinguen siete picos, correspondientes a iones que alcanzan el colector para siete valores del campo magnético $B$. En la tabla I se presentan estos valores de $B$ junto con las correspondientes masas de los iones obtenidas a partir de (4). Lógicamente, estas masas tienen que pertenecer a los isótopos de los dos gases nobles que constituyen la mezcla a la que hace alusión el enunciado. Utilizando la Tabla Periódica puede concluirse que los dos primeros picos corresponden a masas próximas a 20,179 que es la masa atómica del Ne, luego deben pertenecer a isótopos de dicho gas. Análogamente, los otros cinco picos pueden ser identificados como isótopos del Kr ya que sus masas están en torno a 83,6 que es la masa de este gas noble. En consecuencia, la respuesta a este apartado del problema es: la mezcla binaria es de Ne-Kr

Nota: aunque no lo pide explícitamente el enunciado, a partir del espectro de la figura 3 es posible determinar la abundancia relativa de los isótopos de Ne y Kr presentes en la mezcla de gases analizada, que es directamente proporcional a la altura de los picos registrados. Los dos primeros picos, correspondientes a isótopos del Ne, tienen alturas en la figura 3 de 54 y 6 unidades (arbitrarias). Por tanto, la abundancia total de Ne en la mezcla será proporcional a 60 y la abundancia de cada uno de los isótopos correspondientes será 54/60 = 0,90 y 6/60 = 0,10, es decir un 90% y un 10% respectivamente. Consultando una tabla adecuada se encuentra que el Ne es una mezcla natural de tres isótopos estables: 20Ne, 21Ne y 22Ne, cuyas abundancias son, respectivamente, 90,48%, 0,27% y 9,25%. Aunque el 21Ne es demasiado poco abundante para ser apreciado en el espectro, las abundancias que hemos deducido para los otros dos isótopos, habida cuenta de la imprecisión en la lectura de las alturas, concuerdan satisfactoriamente con las dadas en la bibliografía. Análogamente, los otros cinco picos corresponden al Kr, con alturas respectivas de 0,9 , 4,5 , 4,5 , 22 y 6,8 unidades. Por tanto, la abundancia de Kr en la mezcla es proporcional a la suma de estas alturas (38,7) y la relativa de cada isótopo es, respectivamente: 2,3%, 11,6%, 11,6%, 56,8% y 17,6%. De nuevo estos datos concuerdan aceptablemente con las abundancias relativas de los isótopos estables del Kr, que son: 78Kr (0,35%; no se distingue en el espectro), 80Kr (2,25%), 82Kr (11,6%), 83Kr (11,5%), 84Kr (57,0%) y 86Kr (17,3%). Por último, las sumas de las alturas de los picos del Ne (60) y del Kr (38,7) son proporcionales a las abundancias de dichos gases en la mezcla. Por consiguiente, se deduce que la mezcla está constituida por un 61% de Ne y un 39% de Kr, aproximadamente.

schema spettrometro di massa Dempster

regione accelerazione ioni tra le piastre

spettro di massa miscela gas nobili

Topic: Magnetism, Electrostatics Metodi: Lorentz Force Analysis, Energy Conservation Method, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Electron, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.10

P3. Spettrometro di massa a settore magnetico1 Nella figura 1 è mostrato lo schema di uno spettrometro di massa (di Dempster) il cui funzionamento è, in sostanza, il seguente: Nella camera di ionizzazione, gli elettroni emessi da un filamento incandescente, una volta accelerati, urtano con gli atomi o le molecole di un gas, producendo ioni positivi. Supporremo, per semplicità, che gli ioni prodotti abbiano carica elettrica $+e$, essendo $e=1,60218\times 10^{-19}\text{C}$, e che “nascano” con velocità nulla. Mediante un campo elettrico poco intenso vengono condotti verso le piastre acceleratrici, tra le quali esiste una differenza di potenziale $\Delta V$, (figura 2). Gli ioni che vi entrano sono accelerati dal campo elettrico $\vec{E}$ esistente tra dette piastre ed escono con una velocità $v_0$. Attraverso la fenditura di ingresso, questi ioni penetrano con la velocità $v_0$ in una regione in cui c’è un campo magnetico uniforme (regione ombreggiata della figura 1), di modulo $B$ e con direzione perpendicolare al piano della figura. Di conseguenza, gli ioni descrivono una traiettoria circolare.

1 Questo problema è stato proposto nella Fase Aragonese della XV Olimpiade Spagnola di Fisica, tenutasi nel 2004.

Fig. 1

Fig. 2

a) Determina il raggio della traiettoria degli ioni, $R$, in funzione della loro massa, $m$, della loro carica elettrica, $e$, del potenziale acceleratore, $\Delta V$, e del campo magnetico, $B$. b) Verifica che, in uno spettrometro di questo tipo, con $R=0,150\text{m}$ e $\Delta V=3,00\text{kV}$, il campo magnetico $B$ che focalizza gli ioni nella fenditura di uscita sia dato, in funzione della massa $m$ degli ioni, dall’espressione $B=0,0526\sqrt{m}$, nella quale $B$ si ottiene in tesla quando $m$ è espressa in unità di massa atomica. Quando gli ioni escono dal campo magnetico attraverso la fenditura di uscita, vengono raccolti in un collettore (scatola di Faraday). Gli ioni che vi entrano danno luogo a una corrente elettrica nella resistenza $R_c$ e, di conseguenza, a una differenza di potenziale ai suoi estremi. Questa tensione è proporzionale alla quantità di ioni di un determinato rapporto $m/e$ che arrivano al collettore nell’unità di tempo. Pertanto, sarà anche proporzionale all’abbondanza di molecole o atomi di massa $m$ contenuti nel gas in esame. Variando l’intensità del campo magnetico si potranno raccogliere nel collettore ioni di masse diverse, dando luogo in $R_c$ a segnali che, una volta amplificati, elaborati e registrati, forniscono lo spettro di massa del gas studiato. Nella figura 3 è mostrato lo spettro di massa di una miscela di due gas nobili. In tale spettro compaiono i picchi corrispondenti agli isotopi di ciascun gas. c) Aiutandoti con il frammento di Tavola Periodica che si trova accanto alla figura 3, determina i gas nobili che compongono la miscela.

Dati: - Unità di massa atomica, $1\text{uma}=1,66054\cdot 10^{-27}\text{kg}$.

Fig. 2

P3. Soluzione a) Quando gli ioni di massa $m$ e carica $+e$ entrano con velocità praticamente nulla nel campo elettrico esistente tra le piastre acceleratrici (figura 2), la loro energia meccanica è esclusivamente potenziale elettrostatica, $e\Delta V$. Il campo elettrico li accelera ed essi ne escono con energia che è solo cinetica, $m{v}_0^2/2$. Poiché l’energia meccanica deve conservarsi

$e\Delta V=\frac{1}{2}m{v}_0^2$

La velocità degli ioni all’ingresso nella regione del campo magnetico è

$v_0=\sqrt{\frac{2e\Delta V}{m}}(1)$

Successivamente, sugli ioni che si muovono nel campo magnetico agisce la forza di Lorentz, indicata nella nota 1 del testo

$\vec{F}=e{\vec{v}}_0\times \vec{B}$

Poiché ${\vec{v}}_0$ e $\vec{B}$ sono perpendicolari, il modulo di questa forza è

$F=e{v}_{0}B$

Questa forza è sempre perpendicolare alla velocità, cosicché l’accelerazione degli ioni è normale o centripeta, per cui

$e{v}_{0}B=m\frac{v_0^2}{R}$

e, pertanto

$R=\frac{m{v}_0}{eB}(2)$

Poiché $v_0$ è costante2, il raggio di curvatura della traiettoria che gli ioni descrivono è anch’esso costante, cioè dal momento in cui entrano nel campo magnetico attraverso la fenditura di ingresso fino a quando lo abbandonano attraverso la fenditura di uscita seguiranno una traiettoria circolare. Tenendo conto di (1) e (2), il raggio di questa traiettoria è

$R=\frac{1}{B}\sqrt{2\Delta V\frac{m}{e}}(3)$

b) Ricavando $B$ in (3), otteniamo il campo magnetico che “conduce” gli ioni di massa $m$ fino alla fenditura di uscita, in funzione dei dati costruttivi dello spettrometro (raggio $R$ del tubo e potenziale acceleratore $\Delta V$)

$B=\frac{1}{R}\sqrt{2\Delta V\frac{m}{e}}$

Con i dati numerici indicati nell’enunciato espressi in unità del S.I., il valore del campo magnetico necessario per focalizzare ioni di massa $m$ nella griglia di uscita è

$B=\frac{1}{0,150}\sqrt{\frac{2\times 3000}{1,60\times 10^{-19}}}\sqrt{m}=1,29\times 10^{12}\sqrt{m}$

Come indicato in precedenza, nell’espressione precedente la massa $m$ deve essere espressa in kg, ma in spettrometria di massa è abituale l’utilizzo dell’unità di massa atomica, uma. Tenendo conto dell’equivalenza $1\text{uma}=1,66054\times 10^{-27}\text{kg}$, l’espressione del campo magnetico diventa

$B=0,0526\sqrt{m}(4)$

(B in T; m in uma) c) Nello spettro della figura 3 si distinguono sette picchi, corrispondenti a ioni che raggiungono il collettore per sette valori del campo magnetico $B$. Nella tabella I si presentano questi valori di $B$ insieme alle corrispondenti masse degli ioni ottenute da (4). Logicamente, queste masse devono appartenere agli isotopi dei due gas nobili che costituiscono la miscela a cui fa allusione l’enunciato. Utilizzando la Tavola Periodica si può concludere che i primi due picchi corrispondono a masse prossime a 20,179 che è la massa atomica del Ne, quindi devono appartenere a isotopi di detto gas. Analogamente, gli altri cinque picchi possono essere identificati come isotopi del Kr poiché le loro masse sono intorno a 83,6 che è la massa di questo gas nobile. Di conseguenza, la risposta a questa parte del problema è: la miscela binaria è di Ne-Kr

Nota: sebbene l’enunciato non lo richieda esplicitamente, dallo spettro della figura 3 è possibile determinare l’abbondanza relativa degli isotopi di Ne e Kr presenti nella miscela di gas analizzata, che è direttamente proporzionale all’altezza dei picchi registrati. I primi due picchi, corrispondenti agli isotopi del Ne, hanno altezze nella figura 3 di 54 e 6 unità (arbitrarie). Pertanto, l’abbondanza totale di Ne nella miscela sarà proporzionale a 60 e l’abbondanza di ciascuno degli isotopi corrispondenti sarà 54/60 = 0,90 e 6/60 = 0,10, cioè il 90% e il 10% rispettivamente. Consultando una tabella adeguata si trova che il Ne è una miscela naturale di tre isotopi stabili: 20Ne, 21Ne e 22Ne, le cui abbondanze sono, rispettivamente, 90,48%, 0,27% e 9,25%. Sebbene il 21Ne sia troppo poco abbondante per essere apprezzato nello spettro, le abbondanze che abbiamo dedotto per gli altri due isotopi, tenuto conto dell’imprecisione nella lettura delle altezze, concordano soddisfacentemente con quelle date in bibliografia. Analogamente, gli altri cinque picchi corrispondono al Kr, con altezze rispettive di 0,9 , 4,5 , 4,5 , 22 e 6,8 unità. Pertanto, l’abbondanza di Kr nella miscela è proporzionale alla somma di queste altezze (38,7) e quella relativa di ciascun isotopo è, rispettivamente: 2,3%, 11,6%, 11,6%, 56,8% e 17,6%. Ancora una volta questi dati concordano accettabilmente con le abbondanze relative degli isotopi stabili del Kr, che sono: 78Kr (0,35%; non si distingue nello spettro), 80Kr (2,25%), 82Kr (11,6%), 83Kr (11,5%), 84Kr (57,0%) e 86Kr (17,3%). Infine, le somme delle altezze dei picchi del Ne (60) e del Kr (38,7) sono proporzionali alle abbondanze di tali gas nella miscela. Di conseguenza, si deduce che la miscela è costituita da circa il 61% di Ne e il 39% di Kr.

schema spettrometro di massa Dempster

regione accelerazione ioni tra le piastre

spettro di massa miscela gas nobili

P3. Magnetic sector mass spectrometer1 Figure 1 shows the schematic of a mass spectrometer (Dempster type) whose operation is, in essence, the following: In the ionization chamber, the electrons emitted by an incandescent filament, once accelerated, collide with the atoms or molecules of a gas, producing positive ions. For simplicity, we will assume that the ions produced have electric charge $+e$, where $e=1,60218\times 10^{-19}\text{C}$, and that they “are born” with zero velocity. By means of a weak electric field they are conducted toward the accelerating plates, between which there is a potential difference $\Delta V$, (Figure 2). The ions that enter there are accelerated by the electric field $\vec{E}$ existing between said plates and emerge with a velocity $v_0$. Through the entrance slit, these ions penetrate with velocity $v_0$ into a region in which there is a uniform magnetic field (shaded region of Figure 1), with magnitude $B$ and with direction perpendicular to the plane of the figure. As a consequence, the ions describe a circular trajectory.

1 This problem was proposed in the Aragonese Phase of the XV Spanish Physics Olympiad, held in 2004.

Fig. 1

Fig. 2

a) Determine the radius of the trajectory of the ions, $R$, as a function of their mass, $m$, their electric charge, $e$, the accelerating potential, $\Delta V$, and the magnetic field, $B$. b) Verify that, in a spectrometer of this type, with $R=0,150\text{m}$ and $\Delta V=3,00\text{kV}$, the magnetic field $B$ that focuses the ions onto the exit slit is given, as a function of the mass $m$ of the ions, by the expression $B=0,0526\sqrt{m}$, in which $B$ is obtained in teslas when $m$ is expressed in atomic mass units. When the ions leave the magnetic field through the exit slit, they are collected in a collector (Faraday cup). The ions that enter it give rise to an electric current in the resistor $R_c$ and, consequently, to a potential difference between its ends. This voltage is proportional to the quantity of ions of a given ratio $m/e$ that reach the collector per unit time. Therefore, it will also be proportional to the abundance of molecules or atoms of mass $m$ contained in the gas being studied. By varying the intensity of the magnetic field, ions of different masses can be collected in the collector, giving rise in $R_c$ to signals that, once amplified, processed and recorded, provide the mass spectrum of the gas studied. Figure 3 shows the mass spectrum of a mixture of two noble gases. In this spectrum the peaks corresponding to the isotopes of each gas appear. c) Using the fragment of the Periodic Table found next to Figure 3, determine the noble gases that make up the mixture.

Data: - Atomic mass unit, $1\text{uma}=1,66054\cdot 10^{-27}\text{kg}$.

Fig. 2

P3. Solution a) When ions of mass $m$ and charge $+e$ enter with practically zero velocity into the electric field existing between the accelerating plates (figure 2), their mechanical energy is exclusively electrostatic potential, $e\Delta V$. The electric field accelerates them and they leave it with energy that is only kinetic, $m{v}_0^2/2$. Since mechanical energy must be conserved

$e\Delta V=\frac{1}{2}m{v}_0^2$

The velocity of the ions upon entering the region of the magnetic field is

$v_0=\sqrt{\frac{2e\Delta V}{m}}(1)$

Next, the Lorentz force, indicated in note 1 of the statement, acts on the ions moving in the magnetic field

$\vec{F}=e{\vec{v}}_0\times \vec{B}$

Since ${\vec{v}}_0$ and $\vec{B}$ are perpendicular, the magnitude of this force is

$F=e{v}_{0}B$

This force is always perpendicular to the velocity, so that the acceleration of the ions is normal or centripetal, therefore

$e{v}_{0}B=m\frac{v_0^2}{R}$

and, therefore

$R=\frac{m{v}_0}{eB}(2)$

Since $v_0$ is constant2, the radius of curvature of the trajectory described by the ions is also constant, that is, from the moment they enter the magnetic field through the entrance slit until they leave it through the exit slit they will follow a circular trajectory. Taking into account (1) and (2), the radius of this trajectory is

$R=\frac{1}{B}\sqrt{2\Delta V\frac{m}{e}}(3)$

b) Solving for $B$ in (3), we obtain the magnetic field that “conducts” the ions of mass $m$ to the exit slit, as a function of the construction data of the spectrometer (radius $R$ of the tube and accelerating potential $\Delta V$)

$B=\frac{1}{R}\sqrt{2\Delta V\frac{m}{e}}$

With the numerical data indicated in the statement expressed in SI units, the value of the magnetic field necessary to focus ions of mass $m$ on the output grid is

$B=\frac{1}{0,150}\sqrt{\frac{2\times 3000}{1,60\times 10^{-19}}}\sqrt{m}=1,29\times 10^{12}\sqrt{m}$

As indicated above, in the previous expression the mass $m$ must be expressed in kg, but in mass spectrometry it is common to use the atomic mass unit, amu. Taking into account the equivalence $1\text{uma}=1,66054\times 10^{-27}\text{kg}$, the expression for the magnetic field becomes

$B=0,0526\sqrt{m}(4)$

(B in T; m in amu) c) In the spectrum of figure 3, seven peaks are distinguished, corresponding to ions that reach the collector for seven values of the magnetic field $B$. Table I presents these values of $B$ together with the corresponding masses of the ions obtained from (4). Logically, these masses must belong to the isotopes of the two noble gases that make up the mixture referred to in the statement. Using the Periodic Table, it can be concluded that the first two peaks correspond to masses close to 20.179, which is the atomic mass of Ne, so they must belong to isotopes of that gas. Similarly, the other five peaks can be identified as isotopes of Kr since their masses are around 83.6, which is the mass of this noble gas. Consequently, the answer to this part of the problem is: the binary mixture is Ne-Kr

Note: although the statement does not explicitly ask for it, from the spectrum in figure 3 it is possible to determine the relative abundance of the Ne and Kr isotopes present in the analyzed gas mixture, which is directly proportional to the height of the recorded peaks. The first two peaks, corresponding to isotopes of Ne, have heights in figure 3 of 54 and 6 units (arbitrary). Therefore, the total abundance of Ne in the mixture will be proportional to 60 and the abundance of each of the corresponding isotopes will be 54/60 = 0.90 and 6/60 = 0.10, that is, 90% and 10% respectively. Consulting a suitable table, it is found that Ne is a natural mixture of three stable isotopes: 20Ne, 21Ne and 22Ne, whose abundances are, respectively, 90.48%, 0.27% and 9.25%. Although 21Ne is too little abundant to be appreciated in the spectrum, the abundances that we have deduced for the other two isotopes, taking into account the imprecision in reading the heights, agree satisfactorily with those given in the bibliography. Similarly, the other five peaks correspond to Kr, with respective heights of 0.9, 4.5, 4.5, 22 and 6.8 units. Therefore, the abundance of Kr in the mixture is proportional to the sum of these heights (38.7) and the relative abundance of each isotope is, respectively: 2.3%, 11.6%, 11.6%, 56.8% and 17.6%. Once again these data agree acceptably with the relative abundances of the stable isotopes of the Kr, which are: 78Kr (0.35%; not distinguishable in the spectrum), 80Kr (2.25%), 82Kr (11.6%), 83Kr (11.5%), 84Kr (57.0%) and 86Kr (17.3%). Finally, the sums of the peak heights of Ne (60) and Kr (38.7) are proportional to the abundances of said gases in the mixture. Therefore, it is deduced that the mixture consists of approximately 61% Ne and 39% Kr.

Dempster mass spectrometer diagram

ion acceleration region between the plates

mass spectrum of noble gas mixture