Spagna 2021

Problema 1: La Física de la bicicleta

(6.5 puntos) El pasado día 7 de noviembre de 2020 se celebró la 17a etapa de la Vuelta Ciclista a España entre Sequeros y el puerto de la Covatilla, en la provincia de Salamanca. En la Figura 1 se muestra el perfil de la misma, que fue ganada por el corredor francés David Gaudu, seguido a 28 segundos por el suizo Gino Mäder. En este problema que os planteamos vamos a estudiar, desde el punto de vista de la Física, algunos aspectos relacionados con el ciclismo. Para ello, en primer lugar, vamos a familiarizarnos con algunos conceptos clave.

Figura 1: Perfil de la etapa. En el eje vertical se muestra la altitud (en metros) respecto del nivel del mar, y en el horizontal la distancia (en kilómetros) desde el inicio de etapa. Comencemos analizando el pedaleo de un ciclista. Como se muestra en la Figura 2, la trasmisión de la bicicleta consta de tres partes: el plato, la cadena y el piñón. El plato es una estructura circular, solidaria a los pedales (es decir, gira a la vez que ellos), dotado de unos salientes denominados dientes mediante los cuales se conecta a la cadena. Ésta se encarga de transmitir el pedaleo desde el plato a los piñones, situados en la rueda trasera (y que giran solidariamente con ella). Llamamos cadencia o frecuencia de pedaleo al número de pedaladas por minuto que efectúa un ciclista sobre su bicicleta, es decir, el número de giros completos del eje del pedal en cada minuto.

Figura 2: Partes relevantes de la trasmisión de una bicicleta. XXXII Olimpiada Española de Física 12 de marzo de 2021 Fase Local, Universidad de Salamanca Nombre y apellidos:

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Escribe la expresión de la velocidad $v$ de una bicicleta en función de la cadencia $Ω$ , del radio de las ruedas $R$ y del número de dientes del plato y del piñón, $N_{1}$ y $N_{2}$ , respectivamente. (0.3 puntos)
Aplicación numérica: Calcula la velocidad en km/h de un corredor que pedalea con una cadencia de $Ω = 90$ pedaladas/minuto, $N_{1} = 54$ , $N_{2} = 18$ y un diámetro de la rueda de 700 mm.i (0.2 puntos)

A continuación, vamos a estudiar el concepto clave para entender el rendimiento y la calidad de un corredor: la potencia ( $P$ ) que el ciclista desarrolla sobre la bicicleta. Recordemos que la potencia es la fuerza $F$ multiplicada por la velocidad, $P = F \cdot v$ . Para ello emplearemos un modelo sencillo en el que consideraremos únicamente tres tipos de fuerzas externas al ciclista: ● La fuerza ascensional, $F_{g}$ . ● La fuerza o resistencia aerodinámica, $F_{a}$ . ● El rozamiento con el asfalto o fuerza de rodadura, $F_{r}$ . Vamos a obtener por separado la expresión matemática de cada una de ellas, siendo $m$ la masa del sistema [ciclista + bicicleta]. La fuerza ascensional, $F_{g}$ , es la necesaria para vencer la fuerza gravitatoria, es decir, para subir una pendiente. 3. Escribe la expresión de la fuerza ascensional $F_{g}$ para el sistema [ciclista + bicicleta] que se mueve en un plano inclinado de ángulo $θ$ . La aceleración de la gravedad es $g$ y $m$ es la masa conjunta del ciclista y la bicicleta. (0.25 puntos) 4. Aplicación numérica: Considerando únicamente la fuerza ascensional y suponiendo que nuestro ciclista puede desarrollar 250 W de potencia calcula:

A. la velocidad, (0.25 puntos)
B. el tiempo invertido, (0.25 puntos)
C. y el trabajo necesario (0.25 puntos) para subir un tramo del puerto del Portillo de las Batuecas de $d = 5$ km de distancia recorrida con ángulo de pendiente igual a $3^{\circ}$ . (d) Si la pendiente se duplica, como por ejemplo en el Alto de la Covatilla, ¿cuál sería la velocidad con la misma potencia? (0.25 puntos) Para los cálculos usa $g = 10 m/s^{2}$ y $m = 80$ kg.

i Evidentemente se supone que las ruedas de la bicicleta ruedan por el asfalto sin deslizar. En un caso real, el perímetro de la rueda se ve ligeramente modificado por el peso del ciclista, la presión de inflado y la anchura del neumático. XXXII Olimpiada Española de Física 12 de marzo de 2021 Fase Local, Universidad de Salamanca Nombre y apellidos:

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A continuación, vamos a calcular la fuerza aerodinámica $F_{a}$ . Se trata de la fuerza necesaria para superar la resistencia que supone el desplazamiento en el aire. Supongamos que el sistema [ciclista + bicicleta] se aproxima por un cubo de arista “a” y que se desplaza a velocidad $v$ respecto del aire, cuya densidad $ρ$ es constante. 5. Consideremos que el trabajo realizado por el ciclista se invierte en una ganancia de energía cinética del aire.

A. Escribe la energía cinética, $E_{c}$ , del volumen de aire desplazado (0.3 puntos)
B. Realiza el balance de potencia $P = \frac{d E _{c}}{d t}$ para determinar la fuerza aerodinámica (0.5 puntos) (c) Demuestra que la expresión de la fuerza aerodinámica $F_{a}$ en términos de la densidad del aire $ρ$ , del área frontal del ciclista $A$ y la velocidad del ciclista $v$ toma la forma de $F_{a} = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{2}$ , donde $C_{d}$ es el coeficiente aerodinámico que multiplica al resultado encontrado y está relacionado con la forma del cuerpo que se desplaza en el aireii (0.2 puntos)

Por último, la fuerza de rodadura o de rozamiento, $F_{r}$ , es la necesaria para vencer el rozamiento mecánico. 6. Escribe la expresión de la fuerza de rozamiento $F_{r}$ en función del coeficiente de rozamiento $μ$ en un terreno llano. (0.25 puntos)

A continuación, consideremos un ciclista que rueda por una zona de la etapa entre puertos que consideraremos totalmente llana para no tener que considerar la fuerza ascensional. 7. Aplicación numérica: Utilizando unos valores típicos para el coeficiente de rozamiento, $μ = 0.004$ , y para el término de la fuerza aerodinámica de $\frac{1}{2} ρ C_{d} A = 0.24 Kg/m$ , calcula la potencia necesaria para que nuestro ciclista avance a una velocidad de 36 km/h en un recorrido horizontal en los siguientes casos:

A. Sin viento (0.25 puntos)
B. Con viento a favor de 18 km/h y con viento en contra de 18 km/h (0.5 puntos)

ii En la práctica, dependiendo de la forma del objeto, en la fuerza aerodinámica se introduce un coeficiente aerodinámico $C_{d}$ para tener en cuenta, por ejemplo, que parte del aire se desplaza lateralmente. Por ejemplo, este coeficiente será pequeño si el ciclista pedalea agachado, mientras que tendrá un valor grande si circula muy erguido. XXXII Olimpiada Española de Física 12 de marzo de 2021 Fase Local, Universidad de Salamanca Nombre y apellidos:

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En la parte final de la etapa, ascendiendo La Covatilla, un corredor que marcha escapado con velocidad constante $V$ se encuentra a una distancia $L$ de la línea de meta. Nuestro ciclista, que se encuentra en el pelotón que también marcha con la misma velocidad $V$ , tiene un retraso de un tiempo $T$ respecto al primero. Con el fin de disputar la etapa, el segundo corredor decide atacar aumentando bruscamente su velocidad a un valor $v_{0}$ , pero debido a la fatiga no puede mantenerla, y su velocidad disminuye exponencialmente de la forma:

$\frac{d x}{d t} = v (t) = v_{0} e^{- β t},$

donde $β$ es un parámetro con dimensión inversa de tiempo.iii 8. Determina el valor mínimo de $v_{0}$ necesario para que el corredor que va en segunda posición obtenga la victoria de la etapa. (1.5 puntos) 9. Aplicación numérica: Supongamos $V = 16$ km/h, $L = 4$ km, $T = 36$ s y $β = 4 h^{- 1}$ . (0.25 puntos)

Tras terminar la etapa, nuestro ciclista comienza a descender La Covatilla sin dar pedales camino al hotel de Béjar. Durante la larga bajada se da cuenta de que su velocidad crece hasta un cierto valor limitado por la fuerza aerodinámica. 10. Despreciando la fuerza de rozamiento con el asfalto o fuerza de rodadura $F_{r}$ y suponiendo un ángulo de descenso constante de $9^{\circ}$ , ¿cuál será esa velocidad límite? (1 punto)

Profilo altimetrico tappa ciclistica

Bicicletta con piñon e plato etichettati

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Energy Conservation Method, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Wheel, Gear Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 1: Fisica della bicicletta

(6,5 punti) Lo scorso 7 novembre 2020 si è svolta la 17a tappa della Vuelta Ciclista a Spagna tra Sequeros e il porto della Covatilla, nella provincia di Salamanca. En la La figura 1 mostra il profilo di questa, che è stata vinciuta dal corridore francese David Gaudu, seguito a 28 secondi dal svizzero Gino Mäder. In questo problema che vi La nostra proposta è di studiare, dal punto di vista della fisica, alcuni aspetti

per quanto riguarda il ciclismo. Per questo, prima di tutto, familiarizzamoci con alcuni concetti chiave.

Figura 1: Profil dello stadio. L’altezza (in metri) rispetto al livello del mare è indicata sull’asse verticale e l’altezza (in metri) è indicata sull’asse orizzontale. la distanza (in chilometri) dall’inizio della fase. Iniziamo analizzando il pedalaggio di un ciclista. Come mostra la figura 2, la la trasmissione della bicicletta è composta da tre parti: il piatto, la catena e il piñone. Il piatto è una struttura circolare, solidale ai pedali (cioè che gira allo stesso tempo con loro), dotata di salienti denominati denti, con cui si collega alla catena. Questa trasmette il pedalo dal piatto ai pignoni, situati sulla ruota e che girano in giro con essa. Chiamiamo cadenza o frequenza di pedalare il numero di pedalazioni al minuto effettuate da un ciclista sulla sua bicicletta, cioè il numero di giri completi dell’asse della pedala per minuto.

Figura 2: Parti rilevanti della trasmissione di una bicicletta. XXXII Olimpiada spagnola di fisica 12 marzo 2021 Fase Locale, Università di Salamanca Nome e cognome:

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Scrivere l’espressione della velocità $v$ di una bicicletta in funzione della cadenza $Ω$ , il radio delle ruote $R$ e il numero di denti del piatto e del pino, $N_{1}$ e $N_{2}$ , rispettivamente. 0,3 punti)
Applicazione numerica: Calcola la velocità in km/h di un corridore che pedale con una cadenza di $Ω = 90$ pedalate/minuto, $N_{1} = 54$ , $N_{2} = 18$ e un diametro della ruota di 700 mm.i (0,2 punti)

In seguito, esamineremo il concetto chiave per comprendere il rendimento e la qualità di un corridore: la potenza ( $P$ ) che il ciclista sviluppa sulla bicicletta. Ricordiamo che la potenza è la forza $F$ moltiplicata dalla velocità, $P = F \cdot v$ . Per questo, useremo un modello semplice in cui consideriamo solo tre: tipi di forze esterne al ciclista: ● Forza ascendente, $F_{g}$ . ● Forza o resistenza aerodinamica, $F_{a}$ . ● Grossamento con asfalto o forza di rotolamento, $F_{r}$ . Quindi, facciamo un’espressione matematica separata di ciascuna di queste, essendo $m$ la massa del sistema [ciclista + bicicletta]. La forza ascendente, $F_{g}$ , è necessaria per superare la forza gravitazionale, cioè per salire un pendio. 3. Scrive l’espressione della forza ascendente $F_{g}$ per il sistema [ciclista + bicicletta] che si muove in un piano inclinato da un angolo $θ$ . L’accelerazione della gravità è $g$ e $m$ è la massa congiunta del ciclista e della bicicletta. 0,25 punti) 4. Applicazione numerica: considerando soltanto la forza ascendente e Supponiamo che il nostro ciclista possa sviluppare 250 W di potenza calcola:

A. velocità, (0,25 punti)
B. tempo inverso, (0,25 punti)
C. e il lavoro necessario (0,25 punti) per salire un tratto del porto del Portillo delle Batuecas di $d = 5$ km di distanza percorso con angolo di pendenza pari a $3^{\circ}$ . (d) Se la pendenza si raddoppia, come ad esempio nel Alto della Cova, quale sarebbe il valore di la velocità con la stessa potenza? 0,25 punti) Per i calcoli si utilizzano $g = 10 m/s^{2}$ e $m = 80$ kg.

I ruote della bicicletta sono ovviamente destinate a girare sull’asfalto senza scivolare. En un In un caso reale, il perimetro della ruota è leggermente modificato dal peso del ciclista, dalla pressione di gonfiore e larghezza della gomma. XXXII Olimpiada spagnola di fisica 12 marzo 2021 Fase Locale, Università di Salamanca Nome e cognome:

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Quindi calcoliamo la forza aerodinamica $F_{a}$ . Si tratta di forza. La resistenza a spostamento in aria è necessaria per superare la resistenza. Supponiamo che il sistema [ciclista + bicicletta] si avvicini da un cubo di bordo a e che si muove a velocità $v$ rispetto all’aria, la cui densità $ρ$ è costante. 5. Considerate che il lavoro svolto dal ciclista sia investito in un profitto di energia cinetica dell’aria.

A. Indica l’energia cinetica, $E_{c}$ , del volume di aria spostato (0,3 punti)
B. Realizza il bilanciamento di potenza $P = \frac{d E _{c}}{d t}$ per determinare la forza aerodinamica 0,5 punti) (c) Dimostra che l’espressione della forza aerea $F_{a}$ in termini di densidad del aire $ρ$ , del área frontal del ciclista $A$ y la velocidad del ciclista $v$ toma la di $F_{a} = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{2}$ , dove $C_{d}$ è il coefficiente aerodinamico che moltiplica il Il risultato è stato trovato e è correlato alla forma del corpo che si muove nel ariaii (0,2 punti)

Infine, la forza di rotazione o di rottura, $F_{r}$ , è necessaria per superare il Grossamento meccanico. 6. Scrive l’espressione della forza di ruggine $F_{r}$ in funzione del coefficiente di Rottura $μ$ su terreno piatto. 0,25 punti)

Quindi, consideriamo un ciclista che ruota per una zona della tappa tra port che consideriamo completamente piana per non avere a considerare la forza

Ascensione.

Applicazione numerico: utilizzando valori tipici per il coefficiente di rozamiento, $μ = 0.004$ , y para el término de la fuerza aerodinámica de $\frac{1}{2} ρ C_{d} A = 0.24 Kg/m$ , calcola la potenza necessaria per far avanzare il nostro ciclista a una velocità di 36 km/h in un percorso orizzontale nei seguenti casi:

A. Senza vento (0,25 punti)
B. Con vento a favore di 18 km/h e con vento contro di 18 km/h (0,5 punti)

ii In pratica, a seconda della forma dell’oggetto, nella forza aerodinamica viene introdotta una Coefficiente aerodinamico $C_{d}$ per tenere conto, ad esempio, di quale parte dell’aria si muove

Sotto le spalle. Per esempio, questo coefficiente sarà piccolo se il ciclista pedale in ginocchio, mentre che avrà un grande valore se si muove molto in alto. XXXII Olimpiada spagnola di fisica 12 marzo 2021 Fase Locale, Università di Salamanca Nome e cognome:

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Alla fine della tappa, saliendo La Covatilla, un corridore che scappa con velocità costante $V$ si trova a una distanza $L$ dalla linea di destinazione. Il nostro ciclista, che si trova nel peloton che va anche alla stessa velocità $V$ , ha un ritardo di un tempo $T$ rispetto al primo. Per disputare la tappa, il il secondo corridore decide di attaccare aumentando bruscamente la sua velocità a un valore $v_{0}$ , Ma a causa della fatica non riesce a mantenerla, e la sua velocità diminuisce in modo esponenziale:

$\frac{d x}{d t} = v (t) = v_{0} e^{- β t},$

dove $β$ è un parametro con dimensione inversa di tempo.iii 8. Determina il valore minimo di $v_{0}$ necessario per il corridore che va in seconda La posizione che si trova nella scena, la vittoria. 1, 5 punti) 9. Applicazione numerico: supponiamo $V = 16$ km/h, $L = 4$ km, $T = 36$ s e $β = 4 h^{- 1}$ . 0,25 punti)

Dopo aver terminato la tappa, il nostro ciclista inizia a scendere La Covatilla senza pedalizzare

Stavo andando all’hotel di Béjar. Durante la lunga discesa si accorge che la sua velocità aumenta fino a un certo valore limitato dalla forza aerodinamica.

Sotto il risparmio della forza di rottura con l’asfalto o della forza di rotazione $F_{r}$ e Supponiamo un angolo di discesa costante di $9^{\circ}$ , qual è quella velocità limite? (punto 1)

Profilio altimetrico ciclismo stappa

Bicicletta con piñon e plato etichettati

Problem 1: The Physics of the Bicycle

(6.5 points) On November 7, 2020, the 17th stage of the Vuelta Ciclista a España took place between Sequeros and the Puerto de la Covatilla, in the province of Salamanca. Figure 1 shows the profile of this stage, which was won by French cyclist David Gaudu, followed 28 seconds later by Swiss rider Gino Mäder. In this problem we present to you, we will analyze from a physics perspective several aspects related to cycling. To begin with, let us first become familiar with some key concepts.

Figure 1: Stage profile. The vertical axis shows altitude (in meters) above sea level, and the horizontal axis shows distance (in kilometers) from the start of the stage.

Let us begin by analyzing a cyclist’s pedaling. As shown in Figure 2, the bicycle transmission consists of three parts: the chainring (plato), the chain, and the cassette sprocket (piñón). The chainring is a circular structure rigidly attached to the pedals (i.e., it rotates simultaneously with them), equipped with protrusions called teeth that connect to the chain. The chain transmits pedaling motion from the chainring to the sprockets located on the rear wheel (and which rotate rigidly with it). We define cadence or pedaling frequency as the number of pedal revolutions per minute performed by a cyclist, that is, the number of complete rotations of the pedal axle each minute.

Figure 2: Relevant parts of a bicycle transmission system. XXXII Spanish Physics Olympiad March 12, 2021 Local Phase, University of Salamanca

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Write the expression for the velocity $v$ of a bicycle as a function of cadence $Ω$ , wheel radius $R$ , and the number of teeth on the chainring and rear sprocket, $N_{1}$ and $N_{2}$ , respectively. (0.3 points)
Numerical application: Calculate the speed in km/h of a cyclist pedaling at a cadence of $Ω = 90$ pedal strokes per minute, with $N_{1} = 54$ , $N_{2} = 18$ , and a wheel diameter of 700 mm. (0.2 points)

Next, we will analyze the key concept for understanding performance and quality of a cyclist: the power $P$ developed by the cyclist on the bicycle. Recall that power is force $F$ multiplied by velocity, $P = F \cdot v$ . To do this, we will use a simple model in which only three types of external forces acting on the cyclist are considered: ● The climbing force, $F_{g}$ . ● The aerodynamic resistance force, $F_{a}$ . ● Rolling friction with the asphalt or rolling resistance force, $F_{r}$ . We will now derive separately the mathematical expression for each of these forces, where $m$ denotes the mass of the system [cyclist + bicycle].

The climbing force, $F_{g}$ , is that required to overcome gravitational force, i.e., to ascend a slope.

Write the expression for the climbing force $F_{g}$ for the system [cyclist + bicycle]. a cyclist moving on an inclined plane with angle $θ$ . The acceleration due to gravity is $g$ , and $m$ represents the combined mass of cyclist and bicycle. (0.25 points)
Numerical application: Considering only the ascending force, and assuming our cyclist can generate 250 W of power, calculate:

A. the velocity, (0.25 points)
B. the time required, (0.25 points)
C. and the work needed (0.25 points) to climb a section of the Portillo del Puerto de las Batuecas that is $d = 5$ km long, with a slope angle of $3^{\circ}$ . (d) If the slope is doubled—such as at Alto de la Covatilla—what would be the velocity achieved with the same power? (0.25 points)

For calculations, use $g = 10 m/s^{2}$ and $m = 80$ kg.

i It is obviously assumed that the bicycle wheels roll on asphalt without slipping. In a real case, the wheel circumference is slightly modified by the cyclist’s weight, tire inflation pressure, and tire width.

XXXII Spanish Physics Olympiad March 12, 2021 Local Phase, University of Salamanca

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Next, we will calculate the aerodynamic force $F_{a}$ . This is the force required to overcome the resistance posed by movement through air.

Assume that the system [cyclist + bicycle] is approximated by a cube of edge length “a”, and that it moves at velocity $v$ relative to the air, whose density $ρ$ is constant.

Consider that the work done by the cyclist is entirely converted into kinetic energy gain of the air.

A. Write down the kinetic energy, $E_{c}$ , of the volume of air displaced (0.3 points)
B. Perform a power balance $P = \frac{d E _{c}}{d t}$ to determine the aerodynamic force (0.5 points)

(c) Demonstrate that the expression for the aerodynamic force $F_{a}$ in terms of air density $ρ$ , frontal area of the cyclist $A$ , and cyclist’s velocity $v$ takes the form of $F_{a} = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{2}$ , where $C_{d}$ is the aerodynamic coefficient that multiplies the result obtained and is related to the shape of the body moving through air (0.2 points)

Finally, the rolling friction force or resistance $F_{r}$ is that required to overcome mechanical friction.

Write the expression for the friction force $F_{r}$ in terms of the coefficient of friction $μ$ on a flat terrain. (0.25 points)

Next, let us consider a cyclist riding along a section of the stage between mountain passes that we will assume to be completely flat, so as not to have to account for the climbing force.

Numerical application: Using typical values for the friction coefficient, $μ = 0.004$ , and for the aerodynamic force term, $\frac{1}{2} ρ C_{d} A = 0.24 Kg/m$ , calculate the power required for our cyclist to move forward at a speed of 36 km/h on a horizontal path in the following cases:

A. With no wind (0.25 points)
B. With a tailwind of 18 km/h and with a headwind of 18 km/h (0.5 points)

ii In practice, depending on the shape of the object, an aerodynamic coefficient $C_{d}$ is introduced into the aerodynamic force to account for factors such as lateral air displacement. For example, this coefficient will be small if the cyclist is crouched while pedaling, whereas it will have a large value if the cyclist rides very upright.

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At the end of the stage, ascending La Covatilla, a runner who has escaped and is moving at constant speed $V$ finds himself a distance $L$ from the finish line. Our cyclist, who is part of the peloton moving at the same constant speed $V$ , is delayed by a time $T$ relative to the first runner. In order to contest the stage, the second rider decides to attack by suddenly increasing his speed to a value $v_{0}$ , but due to fatigue he cannot maintain it, and his speed decreases exponentially according to the expression:

$\frac{d x}{d t} = v (t) = v_{0} e^{- β t},$

where $β$ is a parameter with inverse time dimensions.

Determine the minimum value of $v_{0}$ required for the second-position rider to win the stage. (1.5 points)
Numerical application: Suppose $V = 16$ km/h, $L = 4$ km, $T = 36$ s, and $β = 4 h^{- 1}$ . (0.25 points)

After finishing the stage, our cyclist begins descending La Covatilla without pedaling toward the hotel in Béjar. During the long descent, he notices that his speed increases until reaching a certain limiting value determined by aerodynamic drag.

Neglecting the frictional force with the asphalt or rolling resistance $F_{r}$ and assuming a constant descent angle of $9^{\circ}$ , what will that limiting speed be? (1 point)

Altitude profile of the cycling stage

Bicycle with labeled sprocket and chainring

Problema 2: Factor de idealidad de un diodo de Silicio (3.5 puntos) Fundamento teórico Un diodo es un dispositivo electrónico que básicamente permite el paso a través de él de corriente eléctrica en un sentido e impide el paso en sentido contrario. El símbolo de un diodo está representado en la figura 1.

La relación entre la intensidad de corriente a través del diodo, $I$ y la diferencia de potencial, $V_{D}$ , puede describirse mediante la ecuación de Shockley:

$I = I_{S} (e^{\frac{V _{D} q}{η k T}} - 1) (1)$

donde $I_{S}$ es la corriente de saturación, $q$ es la carga elemental, $k$ es la constante de Boltzmann, $T$ es la temperatura absoluta y $η$ es el factor de idealidad. Para diferencias de potencial suficientemente altas, el término exponencial es muy superior a 1 y la ecuación anterior se puede aproximar a la forma:

$I = I_{S} e^{\frac{V _{D} q}{η k T}} (2)$

Montaje y toma de datos El esquema del circuito eléctrico para la toma de datos se muestra en la figura 2, y el montaje real en la figura 3. Ánodo Cátodo

Fig. 1 XXXII Olimpiada Española de Física 12 de marzo de 2021 Fase Local, Universidad de Salamanca Nombre y apellidos:

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Se gira el potenciómetro y, para diferencias de potencial, $V_{D}$ , comprendidas entre 0.550 V y 0.775 V, a una temperatura ambiente de $20^{\circ} C$ , se recogen los correspondientes valores de la intensidad $I$ . Los diez pares de medidas que se han tomado están registrados a continuación:

Procedimiento experimental

Traslada las medidas anteriores a una tabla como la siguiente: (0.5 puntos)

$V_{D}$ (V) $I$ (A) $ln I$

Anota en la tercera columna de la tabla los valores de $ln I$ . (0.5 puntos)
Aplica logaritmos a la ecuación (2) con el fin de obtener una dependencia lineal entre $ln I$ y $V_{D}$ . Escribe la expresión obtenida, a la que se designará como expresión (3). (0.5 puntos) XXXII Olimpiada Española de Física 12 de marzo de 2021 Fase Local, Universidad de Salamanca Nombre y apellidos:

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Representa gráficamente los valores de $ln I$ [en ordenadas] frente a los de $V_{D}$ [en abscisas]. (0.5 puntos)
Determina la pendiente, $p$ , de la recta que mejor se ajusta a los puntos experimentales. (0.5 puntos)
Como la pendiente de la recta ha de ser igual a la pendiente de la expresión (3), iguala ambas, halla el factor de idealidad, $η$ , del diodo. (1 punto)

Datos: $q = 1.60 \times 1 0^{- 19}$ C $k = 1.38 \times 1 0^{- 23} J \cdot K^{- 1}$ $t = 20^{\circ} C$ (o bien: $T = 293$ K)

Simbolo circuitale diodo Ánodo-Cátodo

Schema circuito elettrico con diodo

Montaggio reale con strumenti di misura

Foto display multimetri con misure sperimentali

Topic: Circuits, Modern-Quantum Physics Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 2: fattore di idealità di un diodo di silicio (3,5 punti) Fondamento teorico Un diodo è un dispositivo elettronico che permette di passare a attraverso di esso corrente elettrica in un senso e impedisce il passaggio in senso Al contrario. Il simbolo di un diodo è rappresentato nella figura 1.

Il rapporto tra l’intensità di corrente attraverso il diodo, $I$ e la differenza di Potenzialmente, $V_{D}$ , si può descrivere con l’equazione di Shockley:

$I = I_{S} (e^{\frac{V _{D} q}{η k T}} - 1) (1)$

dove $I_{S}$ è il corrente di saturazione, $q$ è la carica elementare, $k$ è la costante di Boltzmann, $T$ è la temperatura assoluta e $η$ è il fattore di idealità. Per differenze di potenziale sufficientemente elevate, il termine esponenziale è molto più di 1 e l’equazione precedente può essere avvicinata alla forma:

$I = I_{S} e^{\frac{V _{D} q}{η k T}} (2)$

Montaggio e raccolta dati Il diagramma del circuito elettrico per la presa di dati è mostrato in figura 2, e il Montaggio reale in figura 3. Anodo Cato

Fig. 1 XXXII Olimpiada spagnola di fisica 12 marzo 2021 Fase Locale, Università di Salamanca Nome e cognome:

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Rottare il potenziometro e, per differenze di potenziale, $V_{D}$ , compresi tra 0,550 V e 0,775 V, a temperatura ambiente $20^{\circ} C$ , si raccolgono i valori corrispondenti di intensità $I$ . Le dieci coppie di misure adottate sono riportate qui sotto:

Procedura sperimentale

Trasferisce le misure precedenti in una tabella come segue: (0,5 punti)

$V_{D}$ (V) $I$ (A) $ln I$

In base ai dati riportati nella tabella, il valore di $ln I$ deve essere riportato nella terza colonna della tabella. 0,5 punti)
Applica logaritmi all’equazione (2) per ottenere una dipendenza lineare tra $ln I$ e $V_{D}$ . Scrivi l’espressione ottenuta, che sarà designata come espressione (3). 0,5 punti) XXXII Olimpiada spagnola di fisica 12 marzo 2021 Fase Locale, Università di Salamanca Nome e cognome:

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Rappresenta graficamente i valori di $ln I$ [in ordinato] rispetto a quelli di $V_{D}$ [in ordinato] [Abbissi]. 0,5 punti)
Determina la pendenza, $p$ , della retta che si adatta meglio ai punti

Esperienti. 0,5 punti)

Poiché la pendenza della retta deve essere uguale alla pendenza dell’espressione (3), iguala ambas, halla el factor de idealidad, $η$ , del diodo. (punto 1)

Dati: $q = 1.60 \times 1 0^{- 19}$ C $k = 1.38 \times 1 0^{- 23} J \cdot K^{- 1}$ $t = 20^{\circ} C$ (o: $T = 293$ K)

Simbolo di circuito diodo anodo-catodo

Schema di circuito elettrico con diodo

Montaggio reale con strumenti di misura

Foto display multimetria con misure sperimentali

Problem 2: Ideality Factor of a Silicon Diode (3.5 points)

Theoretical Background A diode is an electronic device that essentially allows electric current to pass through it in one direction and blocks it in the opposite direction. The symbol for a diode is shown in Figure 1.

The relationship between the current through the diode, $I$ , and the voltage difference across it, $V_{D}$ , can be described by the Shockley equation:

$I = I_{S} (e^{\frac{V _{D} q}{η k T}} - 1) (1)$

where $I_{S}$ is the saturation current, $q$ is the elementary charge, $k$ is Boltzmann’s constant, $T$ is the absolute temperature, and $η$ is the ideality factor.

For sufficiently high voltage differences, the exponential term greatly exceeds 1 and the above equation can be approximated as:

$I = I_{S} e^{\frac{V _{D} q}{η k T}} (2)$

Experimental Setup and Data Collection The circuit diagram for data collection is shown in Figure 2, and the actual setup is depicted in Figure 3. Anode Cathode

Fig. 1 XXXII Spanish Physics Olympiad March 12, 2021 Local Phase, University of Salamanca

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School: Grade:

The potentiometer is adjusted, and for voltage differences $V_{D}$ ranging from 0.550 V to 0.775 V, at an ambient temperature of $20^{\circ} C$ , the corresponding current values $I$ are recorded. The ten measured pairs of data are listed below:

Experimental Procedure

Transfer the previous measurements to a table as follows: (0.5 points)

$V_{D}$ (V) $I$ (A) $ln I$

Record in the third column of the table the values of $ln I$ . (0.5 points)
Apply logarithms to equation (2) in order to obtain a linear dependence between $ln I$ and $V_{D}$ . Write down the resulting expression, which will be referred to as equation (3). (0.5 points)

XXXII Spanish Physics Olympiad March 12, 2021 Local Phase, University of Salamanca

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School: Grade:

Plot graphically the values of $ln I$ [on the vertical axis] versus those of $V_{D}$ [on the horizontal axis]. (0.5 points)
Determine the slope, $p$ , of the straight line that best fits the experimental points. (0.5 points)
Since the slope of the line must equal the slope of equation (3), equate both and find the ideality factor, $η$ , of the diode. (1 point)

Data: $q = 1.60 \times 1 0^{- 19}$ C $k = 1.38 \times 1 0^{- 23} J \cdot K^{- 1}$ $t = 20^{\circ} C$ (or: $T = 293$ K)

Diode circuit symbol: Anode-Cathode

Electrical circuit diagram with diode

Actual experimental setup with measuring instruments

Photo of multimeter display showing experimental measurements

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