Spagna 2021 — 2021 Experimento Inercia rodamiento resuelto.pdf

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Problema 1

Experimento: Obtención del momento de inercia de un dispositivo cilíndrico

El momento de inercia de un cuerpo viene dado por la expresión:

$I = \sum m_{i} r_{i}^{2}$

En el caso de un cilindro macizo y homogéneo esta expresión, para el momento de inercia respecto a su eje principal, toma la expresión sencilla $I = 0, 5 m r^{2}$ siendo $m$ la masa total del cilindro y $r$ su radio. En el caso en que el cilindro sea hueco y tenga toda su masa en el exterior la expresión toma la forma $I = m r^{2}$ .

Se nos pide que obtengamos el momento de inercia de un cilindro, de 400 g de masa y 12 cm de diámetro exterior, respecto de su eje principal. El cilindro es un rodamiento que tiene una estructura heterogénea, haciéndose difícil utilizar expresiones analíticas. Sin embargo, vamos a usar un procedimiento indirecto para obtenerlo.

Para ello disponemos de un plano inclinado de 1,2 metros de largo y 30° de inclinación sobre el que vamos a dejar caer rodando, sin deslizar, el cilindro anterior.

El momento de inercia del cilindro podremos expresarlo en función de su masa y del radio exterior del cilindro de la forma:

$I = A m r^{2} donde A es un factor entre 0,5 y 1 (1)$

Si colocamos el cilindro en el plano inclinado y lo dejamos caer deberá cumplirse que la energía potencial que posee cuando está arriba se convierte en su parte inferior en energía cinética de traslación más energía cinética de rotación:

$m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} A m r^{2} ω^{2}$

Y si el cilindro no desliza, $v = r ω$ :

$m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} A m r^{2} ω^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} A m v^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} (1 + A)$

Por lo que:

$v^{2} = \frac{2 g h}{1 + A} o bien h = \frac{( 1 + A )}{2 g} v^{2} (2)$

Se ha situado el cilindro a diferentes distancias $s$ (medidas desde su parte inferior) y se han calculado sus velocidades teniendo en cuenta que el movimiento es uniformemente acelerado y parte del reposo:

$v = a t s = \frac{1}{2} a t^{2}$

En nuestro experimento, al dejar caer el cilindro desde el reposo, desde distintas distancias $s$ , se han obtenido las medidas del tiempo que se recogen en la tabla:

$s$ (m)	$t$ (s)	$t^{2}$ (s²)	$h$ (m)	$a$ (m s⁻²)	$v$ (m s⁻¹)	$v^{2}$ (m² s⁻²)
1,20	0,900	0,810	0,60	2,962	2,666	7,108
1,00	0,820	0,673	0,50	2,972	2,438	5,944
0,90	0,779	0,625	0,45	2,880	2,243	5,033
0,80	0,743	0,552	0,40	2,900	2,154	4,640
0,60	0,646	0,417	0,30	2,879	1,859	3,454
0,50	0,569	0,324	0,25	3,084	1,756	3,084
0,40	0,533	0,284	0,20	2,813	1,500	2,251
0,30	0,462	0,208	0,15	2,885	1,333	1,777
0,20	0,364	0,132	0,10	3,025	1,100	1,210

Nota: la altura $h = s sin 30° = s /2$ ; la aceleración $a = 2 s / t^{2}$ ; la velocidad final $v = a t = 2 s / t$ .

a) Rellene los valores de la tabla (utilice tres cifras decimales para que los resultados sean más precisos).

b) Con los valores obtenidos en la tabla represente $h$ frente a $v^{2}$ en papel milimetrado y a partir de la gráfica obtenga el valor de $A$ teniendo en cuenta la ecuación (2). Tome para $g$ el valor de 9,81 m s⁻².