BPhO 2021

1. PHOTON ROCKET (5 points) — Jaan Kalda, Oskar Vallhagen. Consider a hypothetical interstellar travel with a photon‐propelled spaceship of initial rest mass $M=1\times 10^5\text{kg}$. The on‐board fuel (antimatter) is annihil‐ ated with an equal mass of matter to cre‐ ate photons yielding a reactive force. The matter required for annihilation is collec‐ ted from the very sparse plasma of the in‐ terstellar space (assume that the velocity of the interstellar plasma is zero in the Earth’s frame of reference). The speed of light is $c=3\times 10^8\text{m/s}$. i) (1 point) What should be the initial rate $\mu$ (kg/s) at which the antimatter should be burned for the acceleration to be equal to the free fall acceleration on Earth ($g=9.81{\text{m/s}}^2$)? ii) (3 points) The engines of the spaceship are switched off when its rest mass has de‐ creased down to $m_f=M/10$; what is its final speed? iii) (1 point) The frequency of the emitted photons is measured by an observer on Earth. What is the frequency of the last photons (emitted just before the engine is switched off), as measured on Earth, if the frequency in the the space ship frame remains constant and equal to $f_0$?

Topic: Special Relativity, Modern-Quantum Physics, Astrophysics Metodi: Mass-Energy Equivalence, Relativistic Energy-Momentum, Photon Energy Relation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Photon Fonte: Testo (PDF) — p.1

1. PHOTON ROCKET (5 punti) Jaan Kalda, Oskar Vallhagen. Considerate un ipotetico viaggi interstellari con un motore fotonico nave spaziale di massa di riposo iniziale $M=1\times 10^5\text{kg}$. Il combustibile a bordo (antimateria) è annihil­ con una massa di materia pari a quella del cre­ mangiato fotoni che producono una forza reattiva. Il La materia necessaria per l’annientamento è raccolta La concentrazione di plasma di spazio terstelare (assumendo che la velocità di il plasma interstellare è zero nelle Terre quadro di riferimento). La velocità della luce è $c=3\times 10^8\text{m/s}$. I) (1 punto) Qual è il tasso iniziale $\mu$ (kg/s) al quale l’antimateria deve essere bruciato per ottenere un’accelerazione pari al Accelerazione della caduta libera sulla Terra ($g=9.81{\text{m/s}}^2$)? ii) (3 punti) Motori della nave spaziale sono spenti quando la sua massa di riposo è de- ripiegato a $m_f=M/10$; qual è il suo valore finale

• La velocità? iii) (1 punto) La frequenza delle emissioni di gas i fotoni sono misurati da un osservatore sulla Terra. Qual è la frequenza degli ultimi fotoni (emissi poco prima di aver commesso il cambio del motore) off), come misurato sulla Terra, se la frequenza nel quadro della nave spaziale rimane costante e pari a $f_0$?

Topic: Special Relativity, Modern-Quantum Physics, Astrophysics Metodi: Mass-Energy Equivalence, Relativistic Energy-Momentum, Photon Energy Relation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Photon Fonte: Testo (PDF) — p.1

2. GAS AND FLUID FLOWS (10 points) — Jaan Kalda, Päivo Simson. i) (1 point)If you let a glass plate fall onto an‐ other glass plate, it will not break, but stop softly. The figure depicts, a plate (marked with ‘1’) is resting on the floor, and another plate (marked with ‘2’) is falling while a bump on the ground (marked with ‘3’) prevents it from sliding. The falling plate started from the position A and is now at the position B, at a very small distance $h=h_0$ from the resting plate, and falling currently with the angular speed ${\omega }_0$. What is the speed of air between the plates near the leftmost edge? ii) (2.5 points) The glass plate has width $L\gg h_0$, thickness $t\ll L$, density ${\rho }_g$, and its length (into the depth of the figure) is much bigger than $L$. How will the angular speed of the plate depend on $h$ during its subsequent mo‐ tion if the density of air is ${\rho }_a$? Neglect the gravity as well as the viscosity and compress‐ ibility of the air. Assume that the air flow re‐ mains everywhere laminar. iii) (3 points)A cylindrical stone disc (marked with ‘1’ in the figure) of radius $R$, thickness $h$ and density ${\rho }_s$ is pressed against the ceil‐ ing of a basin filled with water of density ${\rho }_w$. Small bumps on the surface of the ceil‐ ing maintain a small gap of thickness $t\ll R$ between the ceiling and the surface of the disk. Water flows from a pipe (marked with ‘2’; the outflow pipe ‘3’ is far away) of radius $r\ll R$ coaxially with the disk into the basin, see the figure. The radius of the pipe is much bigger than the gap between the disk and the ceiling, i.e. $r\gg t$. What should be the mass flow rate $\mu$ (kg/s) from the pipe so as to keep the disk from fall‐ ing down? The free fall acceleration is $g$. 1 2 3 iv) (0.5 points) Steam turbines are widely used in power plants. According to a simpli‐ fied model, water is being boiled at temper‐ ature $t_t=180{}^{\circ }\text{C}$ and pressure $p_t=1\times 10^6\text{Pa}$ (real steam turbines can have much higher pressures than that), and the created vapour flows out through a cylindrical channel of cross‐sectional area $A=1{\text{cm}}^2$ in the wall; the ambient pressure $p_0=1\times 10^5\text{Pa}$. Find the entropy difference $\Delta S$ of one mole of vapour and one mole of liquid water (molar mass $M=18\text{g/mol}$, latent heat of vaporisation at $100{}^{\circ }\text{C}$: $L=2.3\text{MJ/kg}$ ) in the outflowing jet. v) (3 points) Find the mass flow rate $\mu$ of the created steam jet, as well as the relative mass content $r$ of liquid‐phase‐water in it. Assume that while flowing into and in the channel, the expansion of water vapours is reversible (i.e. heat conductivity can be neglected, and that there is always equilibrium between the liquid and gaseous phases); the adiabatic in‐ dex of water vapours $\gamma =4/3$.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Bernoulli’s Equation, Continuity Equation, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Disk, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.1

2. GAS E FLUID FLOWS (10 punti) Jaan Kalda, Päivo Simson. i) (1 punto) Se si lascia cadere una piastra di vetro su un altra piastra di vetro, non si romperà, ma si fermerà

• Piuttosto. La figura raffigura una targa (marcata con 1) si riposa sul pavimento, e un altro la piastra (marcata con 2) cade mentre un bump sul terreno (marcato con 3) impedisce dal scivolare. La piastra che cadeva partì da la posizione A e si trova ora nella posizione B, al una distanza molto piccola $h=h_0$ dal riposo piastra, e cadendo attualmente con l’angolare velocità ${\omega }_0$. Qual è la velocità dell’aria tra le placche vicino al bordo sinistro? ii) (2,5 punti) La piastra di vetro ha larghezza h_0$,thickness$t \ll L$,density$\rho_g$,elasualunghezza(inprofondit\grave{a}dellafigura)\grave{e}moltopi\grave{u}grandedi$L$.Comelavelocit\grave{a}angolaredelLapiastradipendeda$h$duranteilsuosuccessivomo-Seladensit\grave{a}del{l}^{\prime }aria\grave{e}$\rho_a$? - Non si tratta di gravità, viscosità e compressione
• la mobilità dell’aria. Supponiamo che il flusso d’aria sia
• Le reti elettriche sono ovunque laminate. iii) (3 punti) Un disco di pietra cilindrico (marcato) con 1 nella figura) di raggio $R$, spessore La pressione di $h$ e la densità ${\rho }_s$ è pressata contro il soffitto. Ing di un bacino pieno di acqua di densità ${\rho }_w$. Piccoli insormonti sulla superficie del soffitto Ing mantenere un piccolo gap di spessore R$trailsoffittoelasuperficiediIldisco.Flusso{d}^{\prime }acquadauntubo(marcato)con2;iltubodiuscita3\grave{e}lontano)diradius$r \ll R$coassialeconildiscoinIlbacino,vedilafigura.Ilraggiodiiltubo\grave{e}moltopi\grave{u}grandedeldivariotraildiscoeilsoffitto,ovvero$r \gg t$.Checosa?deveesserelavelocit\grave{a}diflussodimassa$\mu$ (kg/s) da il tubo in modo da impedire che il disco cadga;
• In giù? L’accelerazione della caduta libera è $g$. 1 2 3 (I) (0,5 punti) Le turbine a vapore sono ampiamente utilizzate utilizzati nelle centrali elettriche. Secondo un semplice modello di fied, l’acqua viene bollita a temperatura attorno a $t_t=180{}^{\circ }\text{C}$ e pressione $p_t=1\times 10^6\text{Pa}$ (le vere turbine a vapore possono avere di pressione superiore a quella), e il vapore creato scorre attraverso un canale cilindrico di area trasversale $A=1{\text{cm}}^2$ nella parete; pressione ambientale $p_0=1\times 10^5\text{Pa}$. Trova il differenza di entropia $\Delta S$ di un mol di vapore e un mol di acqua liquida (massa molare) $M=18\text{g/mol}$, calore latente di vaporizzazione a $100{}^{\circ }\text{C}$: $L=2.3\text{MJ/kg}$) nel getto in uscita. V) (3 punti) Trova la velocità di flusso di massa $\mu$ del il gas di vapore creato, nonché la massa relativa contenuto $r$ di acqua di fase liquida contenuta. Supponiamo che mentre scorre nel canale, l’espansione dei vapori d’acqua è reversibile (i.e. la conducibilità termico può essere trascurata, e che c’è sempre un equilibrio tra i Fase liquide e gassose); adiabatico in dex di vapori d’acqua $\gamma =4/3$.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Bernoulli’s Equation, Continuity Equation, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Disk, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.1

ROTATING SPACE STATION (13 points) — Jaan Kalda, Kaarel Hänni. A space station at a geostationary orbit has a form of a cylinder of length $L=100\text{km}$ and radius $R=1\text{km}$ is filled with air (molar mass $M=29\text{g/mol}$) at the atmospheric pressure and temperature $T=295\text{K}$ and the cylindrical walls serve as a ground for the people living inside. It rotates around its axis so as to create normal gravity $g=9.81{\text{m/s}}^2$ at the “ground”. i) (0.5 points)What is the rotation period $\tau$? ii) (2 points) A ball is thrown from a certain point on the “ground”, and caught $t=\tau /2$ later at the very same point. What was the throw‐ ing speed of the ball? Neglect air drag. iii) (2 points) A spherical balloon of radius $r=3\text{m}$ is filled with helium (molar mass $M^{\prime }=4\text{g/mol}$), and is used to lift a weight of un‐ known mass $m$. The weight is fixed to the ball with a light rope of length $L=20\text{m}$, and the system rises until coming to a stop at the height $H=500\text{m}$ from the “ground”. Determ‐ ine the value of the mass $m$. A rope of linear mass density $\lambda =1\text{kg/m}$ is fixed to the “ground” at two diametrically opposite points of the cylinder (so that the distance between the endpoints of the rope is $2R$). Let A, B, and C denote the two end‐ points and the middle point of the rope, re‐ spectively. iv) (1.5 points)Assuming that the height of the point C above the “ground” is $h$, determine $T_A-T_C$, the difference of the tension forces in the rope at the points A and C. v) (1.5 points) Assuming that at the point A, the rope meets the “ground” at an angle $\alpha$, de‐ termine the ratio of the tension forces $T_A/T_C$. vi) (1.5 points)Find $T_C$ if $h=495\text{m}$ by approx‐ imating the shape of the rope with a para‐ bola. vii) (2 points) The metallic walls of the space station carry a total charge $Q$. Inside the space station, a charged ball hovers above the “ground” motionlessly. Find the charge‐ to‐mass ratio $q/m$ of the ball. Ignore the ef‐ fect of charges induced by the charged ball on the “ground”. viii) (2 points) Gauss theorem states that $\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=0$, where integral is taken over a closed surface embracing a volume $V$ with no charges inside. How should this equality be modified by an observer on board of the space station if there are no other charges than the total charge $Q$ distributed over the perimeter of the station?

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics, Electrostatics Metodi: Free-Body Diagram, Gauss’s Law, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Satellite, Cylinder, String Fonte: Testo (PDF) — p.1

STATION SPAZALE ROTATTA (13 punti) — Jaan Kalda, Kaarel Hänni. Una stazione spaziale a un’orbita geostazionaria ha la forma di un cilindro di lunghezza $L=100\text{km}$ e raggio $R=1\text{km}$ è riempito di aria (massa molare $M=29\text{g/mol}$) a la pressione e la temperatura atmosferiche $T=295\text{K}$ e le pareti cilindriche servono come terreno per le persone che vivono dentro. - Si gira . intorno al suo asse per creare una gravità normale $g=9.81{\text{m/s}}^2$ al ground. i) (0,5 punti) Qual è il periodo di rotazione $\tau$? ii) (2 punti) Una palla viene lanciata da un certo puntata sul terreno e catturata $t=\tau /2$ successivamente

• Proprio nello stesso punto. - Che cosa è stato il lancio? La velocità della palla? - Non si tratta di resistenza all’aria. iii) (2 punti) Un pallone sferico di raggio $r=3\text{m}$ è riempito di elio (massa molare $M^{\prime }=4\text{g/mol}$), e viene utilizzato per sollevare un peso di un- massa nota $m$. Il peso è fissato al una palla con una corda leggera di lunghezza $L=20\text{m}$, e il sistema si alza fino a che si ferma al altezza $H=500\text{m}$ dal terreno. Determinazione il valore della massa $m$. Fonte di massa lineare $\lambda =1\text{kg/m}$ è fissato al solar a due diametri punti opposti del cilindro (in modo che la Distanza tra i punti di fine della corda is $2R$). A, B e C indicino le due estremità punti e il punto medio della corda, re-
• Spettativamente. (iv) (1,5 punti) Supponendo che l’altezza del punto C sopra il ground è $h$, determinare $T_A-T_C$, la differenza delle forze di tensione nella corda ai punti A e C. v) (1,5 punti) Supponendo che al punto A, la corda incontra il terra in un angolo $\alpha$, de- termine il rapporto delle forze di tensione $T_A/T_C$. vi) (1.5 points)Find $T_C$ if $h=495\text{m}$ by approx‐ imitazione della forma della corda con un para-
• Bola. - Cosa? vii) (2 punti) Le pareti metalliche dello spazio la stazione porta una carica totale $Q$. All’interno del Stazione spaziale, una palla carica si trova sopra il terreno immobile. Trova la carica il rapporto massa-massa $q/m$ della palla. Ignorare l’eff- Fatto di carica indotta dalla palla carica sul terreno. (viii) (2 punti) Il teorema di Gauss afferma che $\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=0$, in cui l’integrale è assunto da un superficie chiusa con un volume $V$ con Nessuna carica dentro. Come dovrebbe essere essere modificata da un osservatore a bordo della stazione spaziale se non ci sono altre cariche che il carico totale $Q$ distribuito su perimetro della stazione?

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics, Electrostatics Metodi: Free-Body Diagram, Gauss’s Law, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Satellite, Cylinder, String Fonte: Testo (PDF) — p.1

STRETCHING GLOVES (8 points) — Eero Uustalu. Tools At least three pairs of large color‐ less medical semi‐transparent latex rubber gloves; a roll of transparent and strong office tape; a pair of sharp scissors; at least four sheets of A4 or larger size graphing paper; three rulers; a flexible measuring tape with a length of at least one meter; extra‐fine point universal surface marker. Rubber gloves can be cut as needed into pieces. The pieces of gloves can be fixed to your working table either directly using the tape and/or with the help of a ruler (to achieve a firmer fixing). Latex is a highly stretchable elastic ma‐ terial for which it can be assumed that its volume remains constant during stretching, up to the breaking point. For each of the tasks, sketch your experi‐ mental setup and explain the steps you made to obtain the best possible precision, and tab‐ ulate the directly measured data. i) (1 point) Determine the maximal strain ${ϵ}_m$ of the latex film band (i.e. the strain by which the band breaks). Strain is defined as the rel‐ ative change in length, $ϵ=(l-l_0)/l_0$, where $l$ and $l_0$ are the stretched and unstretched lengths of the band. ii) (7 points) Determine and plot the stress‐ strain relationship for latex bands. Stress is defined as the tension force per cross‐ sectional area. Express the stress $\sigma$ in relat‐ ive units, normalised to the maximal stress at the breaking point.

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Stress-Strain Analysis, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Graph Linearization Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

GLOVES di estensione (8 punti) Eero Uustalu. Strumenti Almeno tre coppie di grandi colori gomma di lattice semitransparente meno medica Guanti; un rotolio di ufficio trasparente e solido n.d.c. fogli di carta grafica A4 o di dimensioni maggiori; tre reggenti; nastro di misura flessibile con un lunghezza di almeno un metro; punto extra-finito marcatore di superficie universale. Guanti di gomma essere tagliati in pezzi. I pezzi di guanti può essere fissato al tuo tavolo di lavoro sia direttamente con il nastro e/o con il Aiuto di una regola (per ottenere un fissaggio più solido). Il lattice è un materiale elastico altamente estensibile

• il numero di persone che hanno il volume rimane costante durante lo stretching, fino al punto di rottura. Per ciascuna delle attività, disegna le tue esperienze la configurazione mentale e spiegare i passi che hai fatto per ottenere la massima precisione possibile, e tab-
• il valore di un’operazione di misurazione i) (1 punto) Determina la tensione massima ${ϵ}_m$ di una banda di film in lattice (ossia la tensione con cui la banda si rompe). La tensione è definita come la tensione del variazione attiva di lunghezza, $ϵ=(l-l_0)/l_0$, dove $l$ e $l_0$ sono le parti estese e non estese lunghezza della banda. ii) (7 punti) Determinare e tracciare il stress Relazione di tensione per le bande in lattice. Lo stress è definito come la forza di tensione per area di sezione. Esprimere la tensione $\sigma$ in rela­ unità, normalizzate alla tensione massima al punto di rottura.

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Stress-Strain Analysis, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Graph Linearization Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1