UK 2021

British Physics Olympiad 2020-21 Round 2 Competition Paper Saturday 6th February 2021 Instructions Time: 3 hours. Questions: All questions should be attempted. Marks: The questions carry similar marks. Solutions: Answers and calculations are to be written on loose paper. Students should ensure their name and school is clearly written on all answer sheets. Begin each question on a new page. Pages must be numbered. A standard formula booklet with standard physical constants may be used. Instructions: Please do not discuss any aspect of the paper on the internet until 8 am Saturday 13th March. Clarity: Solutions must be written legibly, in black pen, and working down the page. Scribble will not be marked and overall clarity is an important aspect of this exam paper. Diagrams should be used. ————— —————— —————– —————— —————— ———– Training Dates and the International Physics Olympiad Following this round, the best students eligible to represent the UK at the International Physics Olympiad (IPhO) will be invited to attend the Training Camp to be held online his year, (Tuesday 6th April to Saturday 10th April 2021). Problem solving skills will be developed, practical skills enhanced, as well as some coverage of new material (Thermodynamics, Relativity, etc.). Five students (and possibly a reserve) will be selected for further training. From May there will be mentoring by email to cover some topics and problems. The IPhO this year will be held in Vilnius, Lithuania, from 17th to 25th July 2021.

Important Constants

Constant	Symbol	Value
Speed of light in free space	$c$	$3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$
Elementary charge	$e$	$1.60\times 10^{-19}\text{C}$
Acceleration of free fall at Earth’s surface	$g$	$9.81{\text{m s}}^{-2}$
Permittivity of free space	${ϵ}_0$	$8.85\times 10^{-12}{\text{F m}}^{-1}$
Permeability of free space	${\mu }_0$	$4\pi \times 10^{-7}{\text{H m}}^{-1}$
Mass of an electron	$m_e$	$9.11\times 10^{-31}\text{kg}$
Mass of a neutron	$m_n$	$1.67\times 10^{-27}\text{kg}$
Mass of a proton	$m_p$	$1.67\times 10^{-27}\text{kg}$
Radius of a nucleon	$r_0$	$1.2\times 10^{-15}\text{m}$
Planck’s constant	$h$	$6.63\times 10^{-34}\text{J s}$
Gravitational constant	$G$	$6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$
Boltzmann constant	$k$	$1.38\times 10^{-23}{\text{J K}}^{-1}$
Molar gas constant	$R$	$8.31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
Specific heat capacity of water	$c_w$	$4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
Mass of the Sun	$M_S$	$1.99\times 10^{30}\text{kg}$
Mass of the Earth	$M_E$	$5.97\times 10^{24}\text{kg}$
Radius of the Earth	$R_E$	$6.38\times 10^6\text{m}$

Qu 1. General Questions (a) The bottle below is filled to the brim with salad dressing made from oil and vinegar. The bottle is shaken before being left to stand, whereupon it is observed that the oil slowly separates and rises to the top. Is the pressure on the bottom of the bottle now the same, greater or less than before? Explain your reasoning carefully. Figure 1: Credit IndiaMART Glass 200ml Milk Bottle [5] (b) Table 1 shows the timetable of a passenger boat on the River Rhine. Time Town Time Town Position along the river /km 1700 St Goarhausen 1851 St Goarhausen 642 1830 Bacharach 1801 Bacharach 659 Table 1: Rhine cruise timetable Obtain a numerical estimate of the speed of the Rhine current and the speed of the boats in still water. N.B. the position markers follow the river Rhine, indicating the distance along its course from a zero marker. [5] (c) Estimate the work done in inflating a bicycle tyre. Provide your own approximate data and work in SI units. [5] (d) A sodium salt is heated in a flame at a temperature of 1500 K and the sodium line of wavelength 590 nm is observed. Calculate the spread of wavelengths assuming that all the molecules move with the same speed. Mass number of sodium is 23. [5] (e) A thick walled flask has an outer surface which is a sphere of radius 10 cm and an inner surface which is also spherical and concentric with the outer. When it is filled with an opaque liquid and held up against a diffuse source of light, the flask looks black all over. Is the flask able to contain 1 litre of liquid? 1 litre = $1000{\text{cm}}^3$ [5] [25 marks]

Qu 2. Proton Decay Proton decay is a hypothetical form of particle decay in which the proton decays into lighter subatomic particles. One possible decay mode, common to many models (including Grand unified Theories and String Theories), is into a positron and a neutral pion: $p\to e^{+}+{\pi }^0$. The masses of these particles, expressed in units of $\text{MeV}/c^2$ where $c$ is the speed of light in vacuo, are: $m_p=938\text{MeV}/c^2$, $m_e=0.511\text{MeV}/c^2$ and $m_{\pi }=135\text{MeV}/c^2$. As with radioactive decay the rate of decay is presumed to be proportional to the number of undecayed protons in a given sample. (a) Show that $N=N_0{e}^{-\lambda t}$, where $N$ is the number of undecayed protons at time $t$, $N_0$ is the number at time $t=0$ and $\lambda$ is a constant called the decay constant. [2] (b) By considering the number of protons, $dN$, that decay in time $dt$: (i) Show that the probability, $dP$ for a proton to decay in this time can be expressed as $dP=\lambda e^{-\lambda t}dt$. [2] (ii) Show that all the probabilities (from $t=0$ to $t=\infty$) sum to 1 as expected. [1] (iii) Show that the probability that a proton remains undecayed after time $t$ is given by $p(t)=e^{-\lambda t}$. [2] (iv) Show that the mean time taken for a proton to decay, $\tau$, known as the mean lifetime of the proton, is given by $\tau =1/\lambda$. Hint: The mean of a quantity, $f(t)$, is given by $⟨f(t)⟩=\frac{{\int }_0^{\infty }f(t)p(t)dt}{{\int }_0^{\infty }p(t)dt}$ You may assume, without proof, the standard integral ${\int }_0^{\infty }x{e}^{-x}dx=1$ [2] (c) The average heat outflux through the surface of the Earth is $Q=92{\text{mW m}}^{-2}$. (i) Assuming that this outflux is produced entirely by proton decay, estimate a lower bound for the proton’s mean lifetime. [4] (ii) Why is this a considerable underestimate? [1]

(d) The Super-Kamiokande detector in Japan is currently the largest detector for the observation of proton decay. It consists of a tank containing 50, 000 tons of ultrapure water with about 13,000 photomultiplier tubes, covering about 40% of the area around the tank that detect Cherenkov radiation produced by the movement of charged particles through the water. (i) Assuming the detectors are 100% efficient, how long would you have to wait, on average, to observe one proton decay. [4] (ii) How many decays would you expect to observe per year, on average? [2] (iii) The detection process for such decays can be modelled using Poisson statistics where the probability of observing $k$ decays per year, $p(k)$, is given by $p(k)=\frac{{\mu }^k{e}^{-\mu }}{k!}$ with $\mu$ the average number of decays per year. So far, no convincing proton decays have been observed. What would be the probability of not observing any decays in a year and what would this mean for the lifetime you calculated in (c) (i)? [3] (e) Assuming that any proton decay occurs via the process $p\to e^{+}+{\pi }^0$, with the proton decaying while at rest, determine the energies and speeds of the positron and neutral pion produced. Hint: The energy, $E$, of a particle of rest mass $m$ and momentum $p$ (velocity $v$) is given by $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$ with $p=\gamma mv$ and $\gamma =1/\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$. [3] [26 marks]

Qu 3. Orbits This question is about the mechanics of circular and elliptical orbits. Consider a satellite of mass $m$ in orbit around a planet of mass $M$ such that it is in free fall and sufficiently far from the planet to be able to ignore atmospheric effects. The point of closest approach (perigee) is at a distance $r_p$ from the centre of the planet and the highest point in the orbit (apogee) is at a distance $r_a$ from the centre of the planet. (a) As the orbit is not circular, the equation $F=m{v}^2/r$ does not apply at any point in the orbit. However, at the apogee and perigee the velocity vector is perpendicular to the gravitational force. Hence the angular momentum ($=mr\omega$ where $\omega$ is the angular velocity) is constant and at those two points is simply equal to $m{v}_a{r}_a=m{v}_b{r}_b$. Use this with the conservation of energy (kinetic + gravitational potential) to derive Newton’s vis viva equation (eq. 1) to find the velocity at any given radius of orbit on the ellipse: $v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)\text{(eq. 1)}$ where $a=(r_a+r_p)/2$, the semi-major axis of the ellipse, $r_a=a(1+e)$ and $r_p=a(1-e)$, where $e$ is the eccentricity. Note: the largest diameter of an ellipse has a length $2a$ so

Topic: Newtonian Mechanics, Nuclear & Particle Physics, Gravitation Metodi: Conservation of Energy, Conservation of Momentum, Radioactive Decay Law, Kepler’s Laws, Kinematic Equations, Order-of-Magnitude Estimation, Relativistic Energy-Momentum Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation, Mathematical Modeling Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.1

British Physics Olympiad 2020-21 Prova di gara del Round 2 Sabato 6 febbraio 2021 Istruzioni Tempo: 3 ore. Domande: Si deve tentare di rispondere a tutte le domande. Punteggi: Le domande hanno punteggi simili. Soluzioni: Le risposte e i calcoli devono essere scritti su fogli sciolti. Gli studenti devono assicurarsi che il proprio nome e la propria scuola siano scritti chiaramente su tutti i fogli delle risposte. Iniziare ogni domanda su una nuova pagina. Le pagine devono essere numerate. Si può usare un formulario standard con le costanti fisiche standard. Istruzioni: Non discutere alcun aspetto della prova su internet fino alle 8 di sabato 13 marzo. Chiarezza: Le soluzioni devono essere scritte in modo leggibile, con penna nera, procedendo verso il basso lungo la pagina. Gli scarabocchi non saranno valutati e la chiarezza complessiva è un aspetto importante di questa prova d’esame. Si devono usare diagrammi. ————— —————— —————– —————— —————— ———– Date di allenamento e le Olimpiadi Internazionali della Fisica Dopo questo round, i migliori studenti idonei a rappresentare il Regno Unito alle Olimpiadi Internazionali della Fisica (IPhO) saranno invitati a partecipare al Training Camp che si terrà online quest’anno (da martedì 6 aprile a sabato 10 aprile 2021). Saranno sviluppate le capacità di problem solving, potenziate le abilità pratiche, e affrontato anche del nuovo materiale (Termodinamica, Relatività, ecc.). Cinque studenti (ed eventualmente una riserva) saranno selezionati per un ulteriore allenamento. Da maggio ci sarà un tutoraggio via email per coprire alcuni argomenti e problemi. Le IPhO quest’anno si terranno a Vilnius, Lituania, dal 17 al 25 luglio 2021.

Costanti importanti

Costante	Simbolo	Valore
Velocità della luce nel vuoto	$c$	$3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$
Carica elementare	$e$	$1.60\times 10^{-19}\text{C}$
Accelerazione di caduta libera alla superficie terrestre	$g$	$9.81{\text{m s}}^{-2}$
Permittività del vuoto	${ϵ}_0$	$8.85\times 10^{-12}{\text{F m}}^{-1}$
Permeabilità del vuoto	${\mu }_0$	$4\pi \times 10^{-7}{\text{H m}}^{-1}$
Massa dell’elettrone	$m_e$	$9.11\times 10^{-31}\text{kg}$
Massa del neutrone	$m_n$	$1.67\times 10^{-27}\text{kg}$
Massa del protone	$m_p$	$1.67\times 10^{-27}\text{kg}$
Raggio di un nucleone	$r_0$	$1.2\times 10^{-15}\text{m}$
Costante di Planck	$h$	$6.63\times 10^{-34}\text{J s}$
Costante gravitazionale	$G$	$6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$
Costante di Boltzmann	$k$	$1.38\times 10^{-23}{\text{J K}}^{-1}$
Costante molare dei gas	$R$	$8.31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
Calore specifico dell’acqua	$c_w$	$4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
Massa del Sole	$M_S$	$1.99\times 10^{30}\text{kg}$
Massa della Terra	$M_E$	$5.97\times 10^{24}\text{kg}$
Raggio della Terra	$R_E$	$6.38\times 10^6\text{m}$

Qu 1. Domande generali (a) La bottiglia qui sotto è riempita fino all’orlo con un condimento per insalata fatto di olio e aceto. La bottiglia viene agitata prima di essere lasciata a riposo, dopodiché si osserva che l’olio si separa lentamente e sale verso l’alto. La pressione sul fondo della bottiglia è ora uguale, maggiore o minore di prima? Spiega attentamente il tuo ragionamento. Figura 1: Credit IndiaMART Glass 200ml Milk Bottle [5] (b) La Tabella 1 mostra l’orario di un battello passeggeri sul fiume Reno. Ora Città Ora Città Posizione lungo il fiume /km 1700 St Goarhausen 1851 St Goarhausen 642 1830 Bacharach 1801 Bacharach 659 Tabella 1: orario della crociera sul Reno Ottieni una stima numerica della velocità della corrente del Reno e della velocità dei battelli in acqua ferma. N.B. i segnalatori di posizione seguono il corso del fiume Reno, indicando la distanza lungo il suo percorso a partire da un segnalatore zero. [5] (c) Stima il lavoro compiuto per gonfiare la gomma di una bicicletta. Fornisci tu stesso dei dati approssimati e lavora in unità SI. [5] (d) Un sale di sodio viene riscaldato in una fiamma a una temperatura di 1500 K e si osserva la riga del sodio di lunghezza d’onda 590 nm. Calcola l’allargamento delle lunghezze d’onda assumendo che tutte le molecole si muovano con la stessa velocità. Il numero di massa del sodio è 23. [5] (e) Un recipiente a pareti spesse ha una superficie esterna che è una sfera di raggio 10 cm e una superficie interna anch’essa sferica e concentrica con quella esterna. Quando viene riempito con un liquido opaco e messo controluce davanti a una sorgente di luce diffusa, il recipiente appare completamente nero. Il recipiente è in grado di contenere 1 litro di liquido? 1 litro = $1000{\text{cm}}^3$ [5] [25 punti]

Qu 2. Decadimento del protone Il decadimento del protone è una forma ipotetica di decadimento delle particelle in cui il protone decade in particelle subatomiche più leggere. Una possibile modalità di decadimento, comune a molti modelli (comprese le Teorie di Grande Unificazione e le Teorie delle Stringhe), è in un positrone e un pione neutro: $p\to e^{+}+{\pi }^0$. Le masse di queste particelle, espresse in unità di $\text{MeV}/c^2$ dove $c$ è la velocità della luce nel vuoto, sono: $m_p=938\text{MeV}/c^2$, $m_e=0.511\text{MeV}/c^2$ e $m_{\pi }=135\text{MeV}/c^2$. Come per il decadimento radioattivo, si suppone che il tasso di decadimento sia proporzionale al numero di protoni non ancora decaduti in un dato campione. (a) Mostra che $N=N_0{e}^{-\lambda t}$, dove $N$ è il numero di protoni non decaduti al tempo $t$, $N_0$ è il numero al tempo $t=0$ e $\lambda$ è una costante detta costante di decadimento. [2] (b) Considerando il numero di protoni, $dN$, che decadono nel tempo $dt$: (i) Mostra che la probabilità, $dP$, che un protone decada in questo intervallo di tempo può essere espressa come $dP=\lambda e^{-\lambda t}dt$. [2] (ii) Mostra che tutte le probabilità (da $t=0$ a $t=\infty$) sommano a 1 come atteso. [1] (iii) Mostra che la probabilità che un protone rimanga non decaduto dopo il tempo $t$ è data da $p(t)=e^{-\lambda t}$. [2] (iv) Mostra che il tempo medio impiegato da un protone per decadere, $\tau$, noto come vita media del protone, è dato da $\tau =1/\lambda$. Suggerimento: la media di una grandezza, $f(t)$, è data da $⟨f(t)⟩=\frac{{\int }_0^{\infty }f(t)p(t)dt}{{\int }_0^{\infty }p(t)dt}$ Puoi assumere, senza dimostrazione, l’integrale standard ${\int }_0^{\infty }x{e}^{-x}dx=1$ [2] (c) Il flusso termico medio uscente attraverso la superficie della Terra è $Q=92{\text{mW m}}^{-2}$. (i) Assumendo che questo flusso uscente sia prodotto interamente dal decadimento del protone, stima un limite inferiore per la vita media del protone. [4] (ii) Perché questa è una notevole sottostima? [1]

(d) Il rivelatore Super-Kamiokande in Giappone è attualmente il più grande rivelatore per l’osservazione del decadimento del protone. Consiste in un serbatoio contenente 50 000 tonnellate di acqua ultrapura con circa 13 000 tubi fotomoltiplicatori, che coprono circa il 40% dell’area intorno al serbatoio, i quali rivelano la radiazione Cherenkov prodotta dal movimento delle particelle cariche attraverso l’acqua. (i) Assumendo che i rivelatori siano efficienti al 100%, quanto tempo dovresti aspettare, in media, per osservare il decadimento di un protone. [4] (ii) Quanti decadimenti ti aspetteresti di osservare all’anno, in media? [2] (iii) Il processo di rivelazione di tali decadimenti può essere modellizzato usando la statistica di Poisson dove la probabilità di osservare $k$ decadimenti all’anno, $p(k)$, è data da $p(k)=\frac{{\mu }^k{e}^{-\mu }}{k!}$ con $\mu$ il numero medio di decadimenti all’anno. Finora non sono stati osservati decadimenti del protone convincenti. Quale sarebbe la probabilità di non osservare alcun decadimento in un anno e cosa significherebbe questo per la vita media che hai calcolato in (c) (i)? [3] (e) Assumendo che ogni decadimento del protone avvenga tramite il processo $p\to e^{+}+{\pi }^0$, con il protone che decade mentre è a riposo, determina le energie e le velocità del positrone e del pione neutro prodotti. Suggerimento: l’energia, $E$, di una particella di massa a riposo $m$ e quantità di moto $p$ (velocità $v$) è data da $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$ con $p=\gamma mv$ e $\gamma =1/\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$. [3] [26 punti]

Qu 3. Orbite Questa domanda riguarda la meccanica delle orbite circolari ed ellittiche. Considera un satellite di massa $m$ in orbita attorno a un pianeta di massa $M$ tale che sia in caduta libera e sufficientemente lontano dal pianeta da poter trascurare gli effetti atmosferici. Il punto di massimo avvicinamento (perigeo) è a una distanza $r_p$ dal centro del pianeta e il punto più alto dell’orbita (apogeo) è a una distanza $r_a$ dal centro del pianeta. (a) Poiché l’orbita non è circolare, l’equazione $F=m{v}^2/r$ non si applica in alcun punto dell’orbita. Tuttavia, all’apogeo e al perigeo il vettore velocità è perpendicolare alla forza gravitazionale. Quindi il momento angolare ($=mr\omega$ dove $\omega$ è la velocità angolare) è costante e in quei due punti è semplicemente uguale a $m{v}_a{r}_a=m{v}_b{r}_b$. Usa questo insieme alla conservazione dell’energia (cinetica + potenziale gravitazionale) per ricavare l’equazione vis viva di Newton (eq. 1) per trovare la velocità a un qualsiasi raggio dell’orbita sull’ ellisse: $v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)\text{(eq. 1)}$ dove $a=(r_a+r_p)/2$, il semiasse maggiore dell’ellisse, $r_a=a(1+e)$ e $r_p=a(1-e)$, dove $e$ è l’eccentricità. Nota: il diametro maggiore di un’ellisse ha lunghezza $2a$ quindi

Topic: Newtonian Mechanics, Nuclear & Particle Physics, Gravitation Metodi: Conservation of Energy, Conservation of Momentum, Radioactive Decay Law, Kepler’s Laws, Kinematic Equations, Order-of-Magnitude Estimation, Relativistic Energy-Momentum Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation, Mathematical Modeling Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.1