Spagna 2022

EJERCICIO 1. Un cañón dispara un proyectil con velocidad inicial $v_0$ y ángulo de tiro $\varphi$ (ver Fig. 1). Considerando despreciable la resistencia del aire, el alcance horizontal viene dado por la expresión: $d=\frac{v_0^2\sin 2\varphi }{g},$ siendo $g=9.8{\text{m/s}}^2$, la aceleración de la gravedad terrestre.

• A. [1 punto] Deducir la expresión para el alcance horizontal, $d$, mostrada arriba.
• B. [0.5 puntos] Calcular el alcance para el caso en que el proyectil sale del cañón con velocidad inicial $v_0=1500$ km/h y con ángulo de tiro $\varphi =35^{\circ }$. c) [0.5 puntos] Si la velocidad inicial se conoce con una imprecisión del 5% (es decir, $\Delta v_0/v_0=0.05$), determinar la incertidumbre del alcance, $\Delta d$, suponiendo que el ángulo de tiro se mide con total exactitud $(\Delta \varphi =0)$. d) [0.5 puntos] En un lanzamiento real, se dispara un proyectil de masa $m=50$ kg, con velocidad inicial $v_0=1500$ km/h y ángulo de tiro $\varphi =35^{\circ }$, resultando ser el alcance horizontal de 5.5 km. Estimar las pérdidas energéticas debidas a la resistencia del aire sobre el proyectil. Datos: $\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi$ Figura 1: Esquema de las trayectorias del proyectil sin y con resistencia del aire.

traiettorie proiettile con e senza resistenza

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Error Propagation, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Physical Reasoning Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.2

Esercizio 1. Un cannone lancia un proiettile con velocità iniziale $v_0$ e angolo di lancio $\varphi$ (vedi Figura. 1). Considerando che La resistenza dell’aria è scarsa, la portata orizzontale viene data dall’espressione: $d=\frac{v_0^2\sin 2\varphi }{g},$ Se la gravità terrestre è $g=9.8{\text{m/s}}^2$, l’accelerazione è

• A. [1 punto] Detraggere l’espressione per la portata orizzontale, $d$, mostrata sopra.
• B. [0,5 punti] Calcolare la portata nel caso in cui il proiettile esci dal cannone a velocità iniziale $v_0=1500$ km/h e con angolo di lancio $\varphi =35^{\circ }$. c) [0,5 punti] Se la velocità iniziale è conosciuta con un’imprecisione del 5% (cioè $\Delta v_0/v_0=0.05$), determinare l’incertezza di portata, $\Delta d$, supponendo che l’angolo di tiro sia misurato con totale accuratezza $(\Delta \varphi =0)$. d) [0,5 punti] In un lancio reale, un proiettile di massa $m=50$ kg viene lanciato, con velocità iniziale $v_0=1500$ km/h e angolo di lancio $\varphi =35^{\circ }$, risultando il raggio orizzontale di 5,5 km. Valutare le perdite energetiche dovute alla resistenza dell’aria sul proiettile. Dati: $\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi$ Figura 1: Schema delle traiettorie del proiettile senza e con resistenza all’aria.

traiettorie proiettile con e senza resistenza

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Error Propagation, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation, Physical Reasoning Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.2

PROBLEM 1. A cannon fires a projectile with initial velocity $v_0$ and firing angle $\varphi$ (see Fig. 1). Assuming air resistance is negligible, the horizontal range is given by the expression: $d=\frac{v_0^2\sin 2\varphi }{g},$ where $g=9.8{\text{m/s}}^2$ is the acceleration due to Earth’s gravity.

• A. [1 point] Derive the expression for the horizontal range, $d$, shown above.
• B. [0.5 points] Calculate the range for the case in which the projectile is launched from the cannon with initial velocity $v_0=1500$ km/h and firing angle $\varphi =35^{\circ }$. c) [0.5 points] If the initial velocity is known with a 5% uncertainty (i.e., $\Delta v_0/v_0=0.05$), determine the uncertainty in the range, $\Delta d$, assuming that the firing angle is measured with perfect accuracy $(\Delta \varphi =0)$. d) [0.5 points] In a real launch, a projectile of mass $m=50$ kg is fired with initial velocity $v_0=1500$ km/h and firing angle $\varphi =35^{\circ }$, resulting in a horizontal range of 5.5 km. Estimate the energy losses due to air resistance on the projectile.

Data: $\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi$ Figure 1: Schematic of projectile trajectories with and without air resistance.

trajectory of projectile with and without resistance

EJERCICIO 2. Un objeto de masa $m$ puede moverse en una tubería horizontal sin rozamiento bajo la acción de la fuerza gravitatoria terrestre, tal y como se muestra en la figura 2. Si el movimiento del objeto verifica que las distancias de separación $x$ respecto al punto de equilibrio son muy pequeñas comparadas con el radio de la Tierra $R$, se trata de un movimiento armónico simple (MAS), con frecuencia angular, $\omega =\sqrt{GM/R^3}$, siendo $G$ la constante de gravitación universal, $M$ la masa de la Tierra y $R$ el radio de la Tierra.

• A. [1 punto] Deducir la expresión que se muestra para la frecuencia angular $\omega$.
• B. [0.75 puntos] Obtener el periodo de dicho movimiento.
• C. [0.75 puntos] Supongamos que el objeto se mueve en la misma tubería y con la misma configuración, pero en otro planeta con radio doble que el de la tierra, ¿cómo debería ser la masa del planeta, en relación a la masa terrestre, para que el periodo del movimiento permaneciese inalterado? Datos: Constante de gravitación universal: $G=6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$. Masa de la Tierra: $M=5.97\times 10^{24}$ kg. Radio de la Tierra: $R=6370$ km. Aceleración de la gravedad terrestre: $g=GM/R^2$. Figura 2: Representación esquemática del objeto moviéndose en la tubería sin rozamiento, bajo la acción de la fuerza de gravedad terrestre.

oggetto in tuberia terrestre senza rozamiento

Topic: Oscillations & Waves, Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.3

Esercizio 2. Un oggetto di massa $m$ può essere spostato in un tubo orizzontale senza rottura sotto l’azione della la forza gravitazionale terrestre, come mostrato nella figura 2. Se il movimento dell’oggetto verifica che le distanze di separazione $x$ rispetto al punto di equilibrio sono molto piccole rispetto a il raggio della Terra $R$, si tratta di un semplice movimento ormonale (MAS), con frequenza angolare, $\omega =\sqrt{GM/R^3}$, essendo $G$ la costante di gravità universale, $M$ la massa della Terra e $R$ il raggio di la Terra.

• A. [1 punto] Detrarre l’espressione mostrata per la frequenza angolare $\omega$.
• B. [0,75 punti] Ottenere il periodo di tale movimento.
• C. [0,75 punti] Supponiamo che l’oggetto si muova nello stesso tubo e con la stessa configurazione, Ma su un altro pianeta con il doppio raggio di radius della Terra, quale dovrebbe essere la massa del pianeta, in La relazione con la massa terrestre, in modo che il periodo di movimento rimanga invariato? Dati: Costante di gravità universale: $G=6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$. Massa terrestre: $M=5.97\times 10^{24}$ kg. Radiosfera della Terra: $R=6370$ km. Accelerazione della gravità terrestre: $g=GM/R^2$. Figura 2: Rappresentazione schematica dell’oggetto che si muove nel tubo senza rughe, sotto l’azione della forza di gravità terrestre.

*oggetto in tubi terrestri senza rottura *

Topic: Oscillations & Waves, Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.3

PROBLEM 2. An object of mass $m$ can move along a horizontal pipe without friction under the influence of Earth’s gravitational force, as shown in Figure 2. If the object’s motion satisfies that its displacement distances $x$ from the equilibrium point are very small compared to Earth’s radius $R$, then it undergoes simple harmonic motion (SHM) with angular frequency $\omega =\sqrt{GM/R^3}$, where $G$ is the universal gravitational constant, $M$ is Earth’s mass, and $R$ is Earth’s radius.

• A. [1 point] Derive the expression shown for the angular frequency $\omega$.
• B. [0.75 points] Obtain the period of this motion.
• C. [0.75 points] Suppose the object moves in the same pipe and under the same configuration, but on another planet with double Earth’s radius. How should the mass of this planet relate to Earth’s mass so that the motion period remains unchanged?

Data: Universal gravitational constant: $G=6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$. Earth’s mass: $M=5.97\times 10^{24}$ kg. Earth’s radius: $R=6370$ km. Acceleration due to gravity on Earth: $g=GM/R^2$. Figure 2: Schematic representation of the object moving in a frictionless pipe under Earth’s gravitational force.

object in frictionless Earth pipe

EJERCICIO 3. En la figura 3(a), se muestra una distribución infinita de cargas eléctricas idénticas de valor $q$, conformando todas ellas una red bidimensional regular. La celda básica de esta red es cuadrada, teniendo su lado una longitud $d$. a) [0.5 puntos] Calcular, de forma razonada, el valor de la fuerza total que se ejerce sobre la carga $q$ señalada en la figura 3(a), debido a la acción del resto de cargas. b) [1 punto] Si ahora quitamos la carga justo encima de $q$, como se indica en la figura 3(b), ¿cuál será ahora la fuerza total sobre $q$? (Escribir la expresión vectorial para el valor de dicha fuerza y representarla gráficamente). c) [1 punto] Si las cargas fueran libres de moverse, ¿cómo se redistribuirían (cualitativamente) después de quitar una de ellas, tal y como se indica en el apartado b)? Datos: Constante de Coulomb: $k=9\times 10^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$. Figura 3: (a) Distribución infinita de cargas idénticas de valor $q$, formando una red bidimensional regular cuya celda básica es cuadrada. (b) Distribución idéntica a la mostrada en (a), donde se ha eliminado una de las cargas.

distribuzione cariche su reticolo 2D pannelli (a) (b)

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Symmetry Argument, Superposition Principle Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.4

Esercizio 3. In figura 3 (a) è mostrata una distribuzione infinita di carichi elettrici identici di valore $q$, che costituiscono una rete bidimensionale regolare. La cella di base di questa rete è quadrata, avendo il suo un lato di lunghezza $d$. a) [0,5 punti] Calcolare, in modo ragionevole, il valore della forza totale esercitata sul carico $q$ (a) a causa dell’azione degli altri carichi. b) [1 punto] Se adesso togliamo il carico appena sopra $q$, come indicato nella figura 3(b), quale la forza totale su $q$? (Escrivere l’espressione vettoriale per il valore di tale forza e (Gli utenti possono utilizzare i dati di cui sopra) (c) [1 punto] Se le cariche fossero libere di muoversi, come sarebbero ridistribuite (qualitativamente) dopo di rimuovere una di esse, come indicato al punto (b)? Dati: Costante di Coulomb: $k=9\times 10^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$. Figura 3: (a) Distribuzione infinita di carichi identici di valore $q$, formando una rete regolare bidimensionale la cui cellula di base è quadrata. (b) Distribuzione identica a quella indicata in (a), in cui è stata eliminata una delle cariche.

*distribuzione cariche il suo reticolo 2D pannelli (a) (b) *

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Symmetry Argument, Superposition Principle Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.4

PROBLEM 3. In Figure 3(a), an infinite two-dimensional distribution of identical electric charges with value $q$ is shown, forming a regular square lattice. The side length of the unit cell in this lattice is $d$.

a) [0.5 points] Reasonably calculate the total force acting on the charge $q$ indicated in Figure 3(a), due to the rest of the charges.

b) [1 point] If now we remove the charge located directly above $q$, as indicated in Figure 3(b), what will be the total force on $q$? (Write the vector expression for this force and represent it graphically.)

c) [1 point] If the charges were free to move, how would they redistribute (qualitatively) after removing one of them as described in part (b)?

Data: Coulomb constant: $k=9\times 10^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$.

Figure 3: (a) Infinite two-dimensional distribution of identical charges with value $q$, forming a regular square lattice. (b) Identical distribution as in (a), with one charge removed.

distribution of charges on 2D lattice panels (a) (b)

EJERCICIO 4. Un tubo cilíndrico semiabierto, de 1 m de altura y $400{\text{cm}}^2$ de sección, se coloca verticalmente con el extremo cerrado en contacto con el suelo. Un diapasón, que se encuentra sobre el tubo, está vibrando continuamente a 512 Hz. En un instante determinado, estando el tubo inicialmente vacío, se comienza a verter agua en su interior a ritmo constante de 1 litro por segundo, como se muestra en la figura 4. En determinados instantes se producen resonancias (el sonido se amplifica súbitamente, comenzando luego a disminuir). a) [1.5 puntos] Calcular el número de resonancias que se producen, desde que se comienza a verter agua en el tubo hasta que queda totalmente lleno, junto con un dibujo explicativo de las ondas acústicas generadas en cada caso. b) [1 punto] Calcular los tiempos transcurridos hasta que se producen las distintas resonancias, así como la masa de agua en el interior del tubo en cada una de ellas (tomar como origen de tiempos el momento en que se comienza a verter el agua). Datos: Velocidad del sonido: $v_s=340\text{m/s}$. Densidad del agua: ${\rho }_{\text{agua}}=1{\text{g/cm}}^3$. Figura 4: Tubo semiabierto en el que se vierte agua a ritmo constante, con un diapasón vibrando a frecuencia $f$ en las inmediaciones del extremo abierto. En determinados instantes se producen resonancias.

tubo semiaperto con acqua e diapason

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics Metodi: Wave Equation, Superposition Principle, Continuity Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Tuning Fork Fonte: Testo (PDF) — p.5

Esercizio 4. Un tubo cilindrico semiapertito, di 1 m di altezza e $400{\text{cm}}^2$ di sezione, è collocato verticalmente con il estremità chiusa in contatto con il suolo. Un diapasone, che si trova sopra il tubo, sta vibrando continuamente a 512 Hz. In un istante determinato, il tubo inizialmente vuoto, inizia per versare acqua all’interno a un ritmo costante di 1 litro al secondo, come mostrato nella figura 4. In alcuni istanti si producono risonanti (il suono si amplifica improvvisamente, iniziando da un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’azione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’accelerazione di un’azione di un’accelerazione di un’azione di un’accelerazione di un’azione di un’accelerazione di un’azione di poi diminuire). a) [1,5 punti] Calcolare il numero di risonanti che si producono, da quando si inizia a versare acqua nel tubo fino a quando non è completamente pieno, insieme a un disegno esplicativo delle onde acustiche generate in ogni caso. b) [1 punto] Calcolare i tempi trascorsi fino a quando si producono le diverse risonanze, nonché La massa di acqua all’interno del tubo in ciascuna di esse (prendere come fonte di tempi il quando si inizia a versare l’acqua). Dati: Velocità del suono: $v_s=340\text{m/s}$. Densità dell’acqua: ${\rho }_{\text{agua}}=1{\text{g/cm}}^3$. Figura 4: tubo semia aperto in cui si versano acqua a ritmo costante, con un diapasone che vibra a frequenza $f$ nei pressi del

• L’estremità aperta. In alcuni istanti si producono risonanti.

tubo semiapertato con acqua e diapasone

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics Metodi: Wave Equation, Superposition Principle, Continuity Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Tuning Fork Fonte: Testo (PDF) — p.5

PROBLEM 4. A semi-open cylindrical tube, 1 m in height and with cross-sectional area $400{\text{cm}}^2$, is placed vertically with its closed end touching the ground. A tuning fork located above the tube vibrates continuously at 512 Hz. At a certain instant, when the tube is initially empty, water begins to be poured into it at a constant rate of 1 liter per second, as shown in Figure 4.

At certain instants, resonance occurs (the sound suddenly intensifies and then begins to decrease).

a) [1.5 points] Calculate the number of resonances that occur from the moment water pouring begins until the tube is completely filled, along with an explanatory sketch of the acoustic waves generated in each case.

b) [1 point] Calculate the time elapsed until each resonance occurs, as well as the mass of water inside the tube at each such moment (take the time origin as the instant when pouring begins).

Data: Speed of sound: $v_s=340\text{m/s}$. Density of water: ${\rho }_{\text{agua}}=1{\text{g/cm}}^3$.

Figure 4: Semi-open tube into which water is poured at a constant rate, with a tuning fork vibrating at frequency $f$ near the open end. Resonances occur at certain instants.

tube semiaperto con acqua e diapason

EJERCICIO 5. En óptica, la apertura numérica de un sistema ($AN$) es un número adimensional que caracteriza el rango de ángulos para los que el sistema acepta luz. Para una fibra óptica, formada por un núcleo y un recubrimiento, la apertura numérica viene dada por: $AN\equiv n_{\text{ext}}\sin {\theta }_{\text{maˊx}}=\sqrt{n_n^2-n_c^2},$ donde ${\theta }_{\text{maˊx}}$ es el ángulo máximo en el que la fibra acepta luz, o ángulo de aceptancia, $n_{\text{ext}}$ es el índice de refracción del medio exterior y $n_n$ y $n_c$ son los índices de refracción del núcleo y de la cubierta respectivamente (ver Fig. 5). Una fibra óptica únicamente guía luz que entra incidiendo con un ángulo menor que el de aceptancia, ${\theta }_{\text{maˊx}}$. Si el ángulo de incidencia en la intefase 1 (medio exterior-núcleo) es igual a ${\theta }_{\text{maˊx}}$, el ángulo de refracción en la interfase 2 (núcleo-cubierta) es de $90^{\circ }$, produciéndose reflexión total. Si el ángulo de incidencia es mayor, la fibra no será capaz de guiar la luz. Si es menor, la luz viajará a lo largo de la fibra por el interior del núcleo. Sea una fibra óptica con los datos proporcionados: a) [0.75 puntos] Deducir la expresión para $AN$ en términos de $n_n$ y $n_c$, $AN=\sqrt{n_n^2-n_c^2}$, a partir de su definición, $AN\equiv n_{\text{ext}}\sin {\theta }_{\text{maˊx}}$. b) [0.5 puntos] Calcular el ángulo de aceptancia, ${\theta }_{\text{maˊx}}$, de la fibra óptica de la Fig. 5, así como su correspondiente apertura numérica, $AN$, si el medio exterior es aire. c) [0.5 puntos] Calcular el nuevo ángulo de aceptancia, ${\theta }_{\text{maˊx}}^{\prime }$, si se desea mantener el mismo valor para la apertura numérica de la fibra, cuando el medio exterior es agua. d) [0.75 puntos] Calcular el ángulo, ${\theta }_3$, con el que se refleja un rayo en la cubierta de la fibra (interfase 2) una vez que incide desde el aire sobre la fibra (interfase 1) con un ángulo ${\theta }_1=8^{\circ }$, así como la distancia recorrida a través del núcleo, $d$, desde que entra en la fibra hasta que choca por primera vez con el recubrimiento. Datos: $n_{\text{aire}}=1$, $n_{\text{agua}}=1.33$, $n_n=1.47$, $n_c=1.45$, $D=10\mu \text{m}$. Figura 5: Esquema de un rayo (línea gruesa) incidiendo en una fibra óptica.

raggio incidente su fibra ottica con angoli

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

Esercizio 5. In ottica, l’apertura numerica di un sistema ($AN$) è un numero dimensionale che caratterizza il sistema di gamma di angoli per i quali il sistema accetta la luce. Per una fibra ottica, costituita da un nucleo e da un di copertura, l’apertura numerica è data da: $AN\equiv n_{\text{ext}}\sin {\theta }_{\text{maˊx}}=\sqrt{n_n^2-n_c^2},$ dove ${\theta }_{\text{maˊx}}$ è l’angolo massimo in cui la fibra accetta la luce, o angolo di accettazione, $n_{\text{ext}}$ è l’indice di refraczione del mezzo esterno e $n_n$ e $n_c$ sono i indici di refraczione del nucleo e della copertura (vedi Fig. 5). Una fibra ottica guida solo la luce che entra incidendo con un angolo inferiore a quella di accettazione, ${\theta }_{\text{maˊx}}$. Se l’angolo di incidenza nell’intefase 1 (medio esterno-nucleo) è pari a ${\theta }_{\text{maˊx}}$, l’angolo di rifrazione nell’interfase 2 (nucleo-coperta) è di $90^{\circ }$, producendo riflessione

• Tutto. Se l’angolo di incidenza è maggiore, la fibra non sarà in grado di guidare la luce. Se è minore, la luce Viaggerà lungo la fibra all’interno del nucleo. Essere una fibra ottica con i dati forniti: a) [0,75 punti] Deduce l’espressione per $AN$ in termini di $n_n$ e $n_c$, $AN=\sqrt{n_n^2-n_c^2}$, a partire dal suo La definizione è $AN\equiv n_{\text{ext}}\sin {\theta }_{\text{maˊx}}$. b) [0,5 punti] Calcolare l’angolo di accettazione, ${\theta }_{\text{maˊx}}$, della fibra ottica di Figura. 5, così come il suo corrispondente apertura numerico, $AN$, se il mezzo esterno è aria. c) [0,5 punti] Calcolare il nuovo angolo di accettazione, ${\theta }_{\text{maˊx}}^{\prime }$, se si desidera mantenere lo stesso valore per la apertura numerico della fibra, quando il mezzo esterno è acqua. d) [0,75 punti] Calcolare l’angolo, ${\theta }_3$, con cui un raggio si riflette sulla copertura della fibra (interfaccia)

2. una volta che incide dall’aria sulla fibra (interfaccia 1) con un angolo ${\theta }_1=8^{\circ }$, e la Distanza percorsa attraverso il nucleo, $d$, dall’entrata nella fibra fino al primo colpisce

• E’ il rivestimento. Dati: $n_{\text{aire}}=1$, $n_{\text{agua}}=1.33$, $n_n=1.47$, $n_c=1.45$, $D=10\mu \text{m}$. Figura 5: Schema di un raggio (linea spessa) incidendo su una fibra ottica.

raggio incidente la sua fibra ottica con angoli

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

PROBLEM 5. In optics, the numerical aperture of a system ($AN$) is a dimensionless number that characterizes the range of angles over which the system can accept light. For an optical fiber, consisting of a core and a cladding, the numerical aperture is given by: $AN\equiv n_{\text{ext}}\sin {\theta }_{\text{maˊx}}=\sqrt{n_n^2-n_c^2},$ where ${\theta }_{\text{maˊx}}$ is the maximum angle at which the fiber accepts light, also known as the acceptance angle, $n_{\text{ext}}$ is the refractive index of the external medium, and $n_n$ and $n_c$ are the refractive indices of the core and cladding, respectively (see Fig. 5). An optical fiber only guides light that enters at an angle smaller than the acceptance angle, ${\theta }_{\text{maˊx}}$. If the incidence angle at interface 1 (external medium-core) equals ${\theta }_{\text{maˊx}}$, then the refraction angle at interface 2 (core-cladding) is $90^{\circ }$, resulting in total internal reflection. If the incidence angle is larger, the fiber will not be able to guide the light. If it is smaller, the light will travel along the fiber inside the core.

Given an optical fiber with the provided data: a) [0.75 points] Derive the expression for $AN$ in terms of $n_n$ and $n_c$, $AN=\sqrt{n_n^2-n_c^2}$, starting from its definition, $AN\equiv n_{\text{ext}}\sin {\theta }_{\text{maˊx}}$. b) [0.5 points] Calculate the acceptance angle, ${\theta }_{\text{maˊx}}$, of the optical fiber in Fig. 5, as well as its corresponding numerical aperture, $AN$, if the external medium is air. c) [0.5 points] Calculate the new acceptance angle, ${\theta }_{\text{maˊx}}^{\prime }$, if it is desired to maintain the same numerical aperture value for the fiber when the external medium is water. d) [0.75 points] Calculate the angle, ${\theta }_3$, at which a ray reflects off the fiber’s cladding (interface 2), after incident from air onto the fiber (interface 1) at an angle ${\theta }_1=8^{\circ }$, as well as the distance traveled through the core, $d$, from the moment it enters the fiber until its first collision with the cladding.

Given: $n_{\text{aire}}=1$, $n_{\text{agua}}=1.33$, $n_n=1.47$, $n_c=1.45$, $D=10\mu \text{m}$.

Figure 5: Schematic of a ray (thick line) incident on an optical fiber.

incident ray on optical fiber with angles