Spagna 2022

Problema experimental. Pesar el Sol.

Vera Rubin nació en Filadelfia, EEUU, en 1928 y murió en 2016. Estuvo nominada en varias ocasiones al premio Nobel en Física. Tuvo una dilatada trayectoria en el campo de la Astronomía y Astrofísica. En particular, fue responsable junto a su colega Kent Ford de la medida de las velocidades de rotación de estrellas en los brazos de numerosas galaxias espirales. Estas velocidades se determinan mediante el efecto Doppler en las líneas espectrales observadas.

Sus medidas en el rango visible, junto con las de Albert Bosma en ondas de radio, evidenciaron que la dinámica de las galaxias espirales no se puede explicar con la materia luminosa que identificamos mediante nuestros telescopios. Hace falta otro tipo de materia, la materia oscura, que no emita ni absorba radiación electromagnética de la forma en que lo hace la materia ordinaria que conocemos.

Inspirada por el trabajo de Vera Rubin, una estudiante de primer curso del Grado de Física decide determinar por sí misma la masa del Sol a partir de la medida de las velocidades de rotación de los planetas del Sistema Solar.

Modelo teórico.

Si se considera que la dinámica de todos los planetas del Sistema Solar está dominada por el efecto del Sol, podemos utilizar la tercera ley de Kepler para órbitas circulares, o la relación entre fuerza gravitatoria y fuerza centrípeta, para obtener la relación entre la velocidad orbital media de un planeta, $v$, y su distancia media al Sol, $r$, como:

$v(r)=\sqrt{\frac{GM}{r}}(1)$

siendo $M$ la masa del Sol y $G$ la constante de gravitación universal.

A partir de (1) se puede obtener una relación lineal si expresamos $v$ en función de $r^{-1/2}$ en la forma

$v(r)=\sqrt{GM}\cdot r^{-1/2}(2)$

La pendiente de esta recta es $\sqrt{GM}$, a partir de la cual podemos obtener el valor de la masa del Sol, $M$.

Preguntas.

En la siguiente tabla se recogen los valores de velocidad de rotación media de cada planeta alrededor del Sol, $v$, junto con su distancia media al Sol, $r$, expresada en Unidades Astronómicas (UA).

Planeta	$r$ (UA)	$v$ (km/s)
Mercurio	0,39	47,56
Venus	0,72	35,41
Marte	1,52	24,64
Ceres	2,77	20,67
Júpiter	5,20	15,57
Saturno	9,54	9,28
Urano	19,18	6,25
Neptuno	30,06	8,25
Plutón	39,44	6,26

(a) Representa gráficamente en el papel milimetrado los puntos $(x,y)=(r^{-1/2},v)$.

(b) Determina el valor de la pendiente $p$ de la recta que mejor se ajusta a estos puntos.

(c) A partir de la pendiente $p$ y de la expresión (2) deduce el valor de la masa del Sol, $M$.

(d) Haz una estimación razonada de la incertidumbre $\Delta p$ de la pendiente obtenida en el apartado (b).

(e) Teniendo en cuenta lo anterior, haz una estimación de la incertidumbre $\Delta M$ en el valor de la masa del Sol que has obtenido en (c).

Datos:

• Constante de Gravitación Universal: $G=6,67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$
• Unidad Astronómica (distancia promedio Tierra-Sol): $1\text{UA}=1,5\times 10^{11}\text{m}$

Topic: Gravitation, Astrophysics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema experimental. Peso del Sole.

Vera Rubin è nata a Filadelfia, negli Stati Uniti, nel 1928 e è morta nel 2016. È stata nominata a più volte al premio Nobel per la fisica. Ha avuto una lunga carriera nel campo dell’astronomia e dell’astrofisica. In particolare, fu responsabile, insieme al suo collega Kent Ford, della misurazione delle velocità di rotazione delle stelle negli bracci di numerose galassie a spirale. Queste velocità sono determinate dall’effetto Doppler sulle linee spettrali osservate.

Le sue misurazioni nel raggio visibile, insieme a quelle di Albert Bosma in onde radio, evidenziarono che la dinamica delle galassie spirali non può essere spiegata con la materia luminosa che abbiamo identificato con i nostri telescopi. Hace falta otro tipo de materia, la materia oscura, que no emita ni absorba radiación electromagnética de la forma en que lo hace la materia ordinaria que conocemos.

Ispirata al lavoro di Vera Rubin, una studentessa di primo anno del Dipartimento di Fisica decide di determinare per sé la massa del Sole a partire dalla misura delle velocità di rotazione dei pianeti del Sistema Solare.

Modello teorico.

Se si considera che la dinamica di tutti i pianeti del Sistema Solare sia dominata dall’effetto del Sole, possiamo usare la terza legge di Kepler per orbite circolari, o il rapporto tra forza gravitazionale e forza centripetal, per ottenere il rapporto tra la velocità orbitale media di un pianeta, $v$, e la sua distanza media dal Sole, $r$, come:

$v(r)=\sqrt{\frac{GM}{r}}(1)$

essendo $M$ la massa del Sole e $G$ la costante di gravitazione universale.

A partire da (1) si può ottenere un rapporto lineare se si esprime $v$ in funzione di $r^{-1/2}$ in

$v(r)=\sqrt{GM}\cdot r^{-1/2}(2)$

L’inclinazione di questa retta è $\sqrt{GM}$, da cui possiamo ottenere il valore della massa del Sole, $M$.

Domande.

La tabella seguente raccoglie i valori di velocità di rotazione media di ogni pianeta attorno al Sole, $v$, insieme alla sua distanza media dal Sole, $r$, espressa in Unità Astronomiche (UA).

Planeta	$r$ (UA)	$v$ (km/s)

Mercurio # 0,39 # 47,56

Venus # 0,72 # 35,41

Marte # 1,52 # 24,64

2,77 # 20,67

➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove ➡️Giove

Saturno # 9,54 # 9,28

➡️Urano ➡️ 19,18 ➡️ 6,25 ➡️

Neptuno # 30,06 # 8,25

Plutone # 39,44 # 6,26

(a) Rappresenta graficamente i punti $(x,y)=(r^{-1/2},v)$ su carta millimetrica.

(b) Determina il valore della pendenza $p$ della retta che meglio si adatta a questi punti.

(c) Dal pendente $p$ e dall’espressione (2) deduce il valore della massa del Sole, $M$.

(d) Sottolineare ragionevolmente l’incertezza $\Delta p$ della pendenza ottenuta in (b).

(e) Considerando quanto sopra, calcoli l’incertezza $\Delta M$ del valore della massa del Sole ottenuto in (c).

**Dati: **

• Costante di gravità universale: $G=6,67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$
• Unità astronomica (distanza media Terra-Sol): $1\text{UA}=1,5\times 10^{11}\text{m}$

Topic: Gravitation, Astrophysics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema experimental. Pesar el Sol.

Vera Rubin was born in Philadelphia, USA, in 1928 and died in 2016. She was nominated several times for the Nobel Prize in Physics. He had a long career in the field of Astronomy and Astrophysics. In particular, he was responsible, along with his colleague Kent Ford, for measuring the rotational speeds of stars in the arms of numerous spiral galaxies. These velocities are determined by the Doppler effect on the spectral lines observed.

Their measurements in the visible range, along with those of Albert Bosma in radio waves, showed that the dynamics of spiral galaxies cannot be explained by the luminous matter we identify through our telescopes. Hace falta otro tipo de materia, la materia oscura, que no emita ni absorba radiación electromagnética de la forma en que lo hace la materia ordinaria que conocemos.

Inspired by the work of Vera Rubin, a first-year student in the Physics Degree decides to determine the mass of the Sun by herself from the measurement of the rotational speeds of the planets of the Solar System.

Modelo teórico.

If the dynamics of all the planets in the Solar System are considered to be dominated by the effect of the Sun, we can use Kepler’s third law for circular orbits, or the relationship between gravitational force and centrifugal force, to obtain the relationship between a planet’s average orbital speed, $v$, and its average distance from the Sun, $r$, such as:

$v(r)=\sqrt{\frac{GM}{r}}(1)$

where $M$ is the mass of the Sun and $G$ is the universal gravitational constant.

From (1) a linear relation can be obtained if we express $v$ as a function of $r^{-1/2}$ in the form

$v(r)=\sqrt{GM}\cdot r^{-1/2}(2)$

The slope of this straight line is $\sqrt{GM}$, from which we can get the mass value of the Sun, $M$.

Preguntas.

The following table summarizes the mean rotational speed values of each planet around the Sun, $v$, together with its mean distance from the Sun, $r$, expressed in Astronomical Units (UA).

Planeta	$r$ (UA)	$v$ (km/s)
♪ Mercury is 0.39 47.56 ♪
♪ Venus is 0.72 ♪ 35.41 ♪
This is the first time I’ve ever seen a human being.
♪ I’m not going to be able to do it ♪
♪ The moon is the moon ♪
♪ Saturn ♪ 9.54 ♪ 9.28 ♪
This is the first time that I’ve ever seen a planet.
♪ I’m not going to be able to see you ♪
♪ Pluto ♪ 39,44 6,26

(a) Graphically represent the $(x,y)=(r^{-1/2},v)$ points on millimeter paper.

(b) Determine the value of the slope $p$ of the straight line that best fits these points.

(c) From the slope $p$ and the expression (2) deduct the mass value of the Sun, $M$.

(d) Make a reasoned estimate of the slope uncertainty $\Delta p$ obtained in paragraph (b).

(e) In view of the above, estimate the uncertainty $\Delta M$ in the Sun mass value obtained in (c).

Datos:

• Universal gravity constant: $G=6,67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$
• Astronomical unit (average distance from Earth to the Sun): $1\text{UA}=1,5\times 10^{11}\text{m}$

Topic: Gravitation, Astrophysics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.1