Spagna 2022

P1. Mira arriba. En la película “No mires arriba” (2021), la estudiante de doctorado Kate Dibiasky descubre cerca de la órbita de Júpiter un meteorito, al que se da el nombre de su descubridora, y que se dirige directamente hacia la Tierra, de 10 km de diámetro, tamaño similar al del meteorito que produjo la extinción de los dinosaurios. Para evitar el impacto del meteorito Dibiasky con la Tierra se programa el lanzamiento de un conjunto de naves que deben chocar contra él y desviar su trayectoria. Vamos a tratar de analizar la viabilidad de semejante misión. Considera (Figura 1) que un meteorito de masa m cae radialmente hacia el centro de la Tierra, partiendo con velocidad igual a cero a una gran distancia de la misma (por simplicidad, despreciamos la interacción gravitatoria del meteorito con el resto de cuerpos del Sistema Solar). A una distancia r de la Tierra un satélite de intercepción de cometas, de masa m’, describe una órbita circular. El satélite y el meteorito tienen una colisión completamente inelástica, saliendo juntos después de la misma, moviéndose el objeto conjunto C en una órbita que es rasante a la Tierra y que, por tanto, evita el choque con la misma (Figura 2). a) ¿Cuál es la velocidad del meteorito y del satélite inmediatamente antes de la colisión? b) ¿Cuál es el vector velocidad del objeto C inmediatamente después de la colisión? Utiliza un vector unitario radial y un vector unitario tangencial a la trayectoria circular del satélite c) Halla la velocidad de C en el perigeo. d) A partir de la conservación de la energía de C, calcula la masa m’ del satélite interceptor necesaria para que el meteorito no impacte con la tierra, en función del radio r de la órbita circular inicial del satélite. Considera que el meteorito Dibiasky tiene una forma aproximadamente esférica y una densidad 3 2,5 g/cm $\rho$ = . La intercepción se produce a una distancia 6 4 10 km r

e) Calcula la masa m del meteorito. f) Determina numéricamente la masa m’ que debe tener el satélite. ¿Consideras viable poner en órbita dicha masa? Dato: Radio de la Tierra: 3 6,37 10 km T R = $\cdot$ m’ m RT r m+m’ RT r Fig. 1 Fig. 2 C 33 OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN P1. Solución a) Para el asteroide 2 1 0 2 ast Mm G mv r $-$ +

$\Rightarrow$ 2 ast M v G r

(1) donde M es la masa de la Tierra. Para el satélite, 2 2 sat v Mm G m r r ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

$\Rightarrow$ sat M v G r

(2) b) En una colisión se conserva el momento lineal. Considerando un vector unitario radial, ru , cuya dirección pasa por el centro de la Tierra y cuyo sentido va hacia el exterior de la misma, y un vector unitario tangencial, tu , tangente a la trayectoria circular del satélite de radio r y aplicando la conservación del momento lineal: 2 ( ) ( ) r t f objeto M M m G u m G u m m v r r ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ $-$ +

2 ( ) ( ) ( ) f objeto r t m M m M v G u G u m m r m m r ${}^{\prime }$

$-$ + ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

(3) c) El objeto se mueve bajo la acción de la fuerza de la gravedad, orientada hacia el centro de la Tierra. El momento de esta fuerza respecto del centro de la Tierra es cero permanentemente, luego se conserva el momento angular. Tras la colisión el momento angular es ( ) 2 ( ) ( ) ( ) r r t m M m M L m m ru G u G u m m r m m r GM m r k m GMrk r

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

$\times$ $-$ +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

=

(4) siendo k

un vector unitario perpendicular al plano de la figura 2 y dirigido hacia el lector. En el perigeo el vector velocidad será perpendicular a la dirección radial y el vector momento angular será ( ) p T p L R m m v k ${}^{\prime }$

(5) Por la conservación del momento angular, p L L

( ) T p m GMr R m m v ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

$\Rightarrow$ ( ) p T m v GMr m m R ${}^{\prime }$

${}^{\prime }$ + (6) d) A partir de la velocidad de C obtenida en la ecuación (3), la energía mecánica de C en el punto de impacto es 2 2 2 2 ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) 4 2 mec M m m m GM m GM E G m m r r r m m m m Mm m m G r m m

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + ${}^{\prime }$ = $-$ + + +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }+$

= $-$

${}^{\prime }$ +

(7) 33 OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN En la nueva órbita, tras la colisión, se conserva la energía mecánica, de modo que de la conservación de energía entre el punto de impacto y el perigeo se tiene 2 4 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) T T Mm m m M m m m G G m m GMr r m m R m m R

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

${}^{\prime }$ $-$ = $-$ + +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

(8) Arreglando y simplificando la expresión (8) obtenemos una ecuación de segundo grado para m’, ( ) ( ) 2 2 2 4 2 0 T T T T R r m mR R r m rR m ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ $-$ + $-$ $-$

(9) De donde ( ) 2 2 4 2 T T T T R R rR m m r R $\pm$ + ${}^{\prime }$ = $-$ (10) Como r > RT, la solución con “-“ no tiene sentido físico pues daría un valor negativo de m’, así pues, ( ) 2 2 4 2 0,06 T T T T R R rR m m m r R + + ${}^{\prime }$ =

$-$ (11) e) El radio del meteorito Dibiasky es 3 5km 5 10 m D R

= $\cdot$ y su densidad es 3 3 3 2,5g/cm 2,5 10 kg / m $\rho$ =

$\cdot$ . Su volumen vendrá dado por 3 4 3 D V R $\pi$

(12) De modo que su masa será 3 4 3 D m V R $\rho$ $\pi \rho$

= $\Rightarrow$ 15 1,3 10 kg m = $\cdot$ (13) f) Sustituyendo m en la expresión (11) obtenemos 13 7,8 10 kg $m^{\prime }$ = $\cdot$ La tecnología actual no permite poner en órbita una masa tan grande. Una posible solución alternativa, que se sugiere en la película “No mires arriba”, sería enviar cargas nucleares que exploten en la superficie del meteorito, de forma que el material eyectado en la explosión produzca un impulso que lleve a una desviación suficiente. En todo caso, nos movemos en los límites de la ciencia ficción, aunque actualmente se ensayan técnicas de desviación, como es el caso del proyecto DART de la NASA. 33 OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN

Meteorite in caduta verso la Terra

Satellite intercettore in orbita circolare

Topic: Gravitation, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Conservation Laws, Torque & Angular Momentum Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Guarda in alto. Nel film “Non guardare sopra” (2021), la dottoressa Kate Dibiasky scopre che L’orbita di Giove è un meteorite, che prende il nome dal suo scopritore, e che si dirige direttamente verso la Terra. Terra, di 10 km di diametro, simile a quella del meteorito che ha prodotto l’estinzione dei dinosauri. Per per evitare l’impatto del meteorito Dibiasky con la Terra è programmata il lancio di un insieme di navi che Dovranno sbattersi contro di lui e deviare il loro percorso. Cercheremo di analizzare la fattibilità di una missione del genere. Considera (Figura 1) che un meteorito di massa m cade radialmente verso il centro della Terra, partendo con velocità pari a zero ad una grande distanza da essa (per semplicità, disprezziamo l’interazione gravità del meteorito con il resto dei corpi del Sistema Solare). A r distanza dalla Terra un satellite di intercepzione di comete, di massa m, descrive un’orbita circolare. Il satellite e il meteorito hanno una Colpissione completamente inelastica, uscendo insieme dopo di esso, spostando l’oggetto insieme C in un’orbita che è rasata verso la Terra e che quindi evita l’impatto con la Terra (Figura 2). a) Qual è la velocità del meteorito e del satellite immediatamente prima della collisione? b) Qual è la velocità vettoriale dell’oggetto C immediatamente dopo la collisione? Utilizza un vettore unitario radial e un vettore unitario tangenziale al percorso circolare del satellite c) Trova la velocità di C nel perigeo. d) Sulla base della conservazione dell’energia di C, si calcola la massa m del satellite interceptor necessario per che il meteorito non colpisca la terra, a seconda del raggio r dell’orbita circolare iniziale del satellite. Considera che il meteorito dibiasky ha una forma circa sferica e una densità 3 2,5 g/cm $\rho$ = . L’intercettazione avviene a distanza 6 4 10 km r

e) Calcola la massa m del meteorito. f) Determina numericamente la massa m che il satellite deve avere. Rite possibile mettere in orbita tale massa? Data: Radio Terra: 3 6,37 10 km T R = $\cdot$ m’ m RT r m+m’ RT r Fig. 1 Fig. 2 C 33 Olimpiadi di Fisica in Spagna Fase di ARAGON P1. Soluzione a) Per l’asteroide 2 1 0 2 ast Mm G mv r $-$ +

$\Rightarrow$ 2 ast M v G r

(1) dove M è la massa della Terra. Per il satellite, 2 2 sat v Mm G m r r ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

$\Rightarrow$ sat M v G r

(2) b) In una collisione il momento lineare viene conservato. Considerando un vettore unitario radial, ru , la cui direzione passa attraverso il centro della Terra e il cui senso E’ un vettore unitario tangenziale. Tu , tangente alla traiettoria circolare del radio r satellite e applicando la conservazione del tempo lineare: 2 ( ) ( ) r t f oggetto M M m G u m G u m m v r r ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ $-$ +

2 ( ) ( ) ( ) f oggetto r t m M m M v G u G u m m r m m r ${}^{\prime }$

$-$ + ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

(3) c) L’oggetto si muove sotto l’azione della forza della gravità, orientata verso il centro della Terra. El Il momento di questa forza rispetto al centro della Terra è zero per sempre, quindi si conserva il momento angolare. Dopo la collisione il momento angolare è ( ) 2 ( ) ( ) ( ) r r t m M m M L m m ru G u G u m m r m m r GM m r k m GMrk r

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

$\times$ $-$ +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

=

(4) essendo k

un vettore unitario perpendicolare al piano della figura 2 e rivolto verso il lettore. Nel perigeo il vettore di velocità sarà perpendicolare alla direzione radial e il vettore angolare del momento sarà ( ) p T p L R m m v k ${}^{\prime }$

(5) Per la conservazione del momento angolare, p L L

( ) T p m GMr R m m v ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

$\Rightarrow$ ( ) p T m v GMr m m R ${}^{\prime }$

${}^{\prime }$ + (6) d) A partire dalla velocità di C ottenuta nell’equazione (3), l’energia meccanica di C al punto di impatto es 2 2 2 2 ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) 4 2 mec M m m m GM m GM E G m m r r r m m m m Mm m m G r m m

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + ${}^{\prime }$ = $-$ + + +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }+$

= $-$

${}^{\prime }$ +

(7) 33 Olimpiadi di Fisica in Spagna Fase di ARAGON La nuova orbita, dopo la collisione, conserva l’energia meccanica, in modo che la conservazione di l’energia tra il punto di impatto e il perigeo si ha 2 4 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) T T Mm m m M m m m G G m m GMr r m m R m m R

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

${}^{\prime }$ $-$ = $-$ + +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

(8) Arrangendo e semplificando l’espressione (8) otteniamo un’equazione di secondo grado per m, ( ) ( ) 2 2 2 4 2 0 T T T T R r m mR R r m rR m ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ $-$ + $-$ $-$

(9) Da dove ( ) 2 2 4 2 T T T T R R rR m m r R $\pm$ + ${}^{\prime }$ = $-$ (10) Come r > RT, la soluzione con - non ha senso fisico perché darebbe un valore negativo di m, quindi, ( ) 2 2 4 2 0,06 T T T T R R rR m m m r R + + ${}^{\prime }$ =

$-$ (11) e) Il radio del meteorito Dibiasky è 3 5km 5 10 m D R

= $\cdot$ e la densità è 3 3 3 2,5g/cm 2,5 10 kg / m $\rho$ =

$\cdot$ . Il volume verrà dato da 3 4 3 D V R $\pi$

(12) Quindi la sua massa sarà 3 4 3 D m V R $\rho$ $\pi \rho$

= $\Rightarrow$ 15 1,3 10 kg m = $\cdot$ (13) f) Substituendo m nell’espressione (11) otteniamo 13 7,8 10 kg $m^{\prime }$ = $\cdot$ La tecnologia attuale non permette di mettere in orbita una massa così grande. Una possibile soluzione alternativa, che Il film suggerisce che non guardate sopra, sarebbe inviare cariche nucleari che esplodono sulla superficie del pianeta. La meteorite, così che il materiale ejectato nell’esplosione produce un impulso che porta a una

• Basta deviare. In ogni caso, ci stiamo muovendo nei limiti della fantascienza, anche se attualmente si provano tecniche di deviazione, come il progetto DART della NASA. 33 Olimpiadi di Fisica in Spagna Fase di ARAGON

Meteorite in caduta verso la Terra

Satellite intercettore in orbita circolare

Topic: Gravitation, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Conservation Laws, Torque & Angular Momentum Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Look up.

In the movie “Don’t Look Up” (2021), doctoral student Kate Dibiasky discovers a meteorite near Jupiter’s orbit, which is named after her discoverer. The meteorite is heading directly toward Earth, with a diameter of 10 km—similar in size to the meteorite that caused the extinction of the dinosaurs. To prevent impact, a mission is programmed involving launching a number of spacecraft that must collide with the meteorite and deflect its trajectory. We will now analyze whether such a mission is feasible.

Consider (Figure 1) that a meteorite of mass m falls radially toward the center of Earth, starting from rest at a large distance from Earth (for simplicity, we neglect gravitational interaction between the meteorite and other bodies in the Solar System). At a distance r from Earth, a comet-interception satellite of mass m′ moves in a circular orbit. The satellite and meteorite undergo a perfectly inelastic collision, after which they move together as object C along an orbit that just grazes Earth’s surface and thus avoids collision with Earth (Figure 2).

a) What is the velocity of the meteorite and the satellite immediately before the collision?

b) What is the velocity vector of object C immediately after the collision? Use a unit radial vector and a unit tangential vector to the satellite’s circular trajectory.

c) Find the velocity of C at perigee. d) From conservation of energy for C, calculate the mass m’ of the interceptor satellite necessary to prevent the meteorite from impacting Earth, expressed as a function of the initial circular orbit radius r of the satellite. Consider that the meteorite Dibiasky has an approximately spherical shape and a density of 3 2.5 g/cm $\rho$ = . The interception occurs at a distance of 6 4 × 10 km r

e) Calculate the mass m of the meteorite. f) Determine numerically the required mass m’ for the satellite. Do you consider it feasible to place such a mass into orbit? Given: Earth’s radius: 3 6.37 × 10 km T R = $\cdot$ m’ m RT r m+m’ RT r Figure 1 Figure 2 C

33 SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGON REGIONAL ROUND P1. Solution a) For the asteroid: 2 1 0 2 ast Mm G mv r $-$ +

$\Rightarrow$ 2 ast M v G r = (1) where M is Earth’s mass. For the satellite: 2 2 sat v Mm G m r r ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

$\Rightarrow$ sat M v G r = (2)

b) Linear momentum is conserved in a collision. Considering a radial unit vector, ru , directed from Earth’s center outward along the line passing through it, and a tangential unit vector, tu , tangent to the circular trajectory of radius r of the satellite, and applying conservation of linear momentum: 2 ( ) ( ) r t f object M M m G u m G u m m v r r ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ $-$ +

2 ( ) ( ) ( ) f object r t m M m M v G u G u m m r m m r ${}^{\prime }$

$-$ + ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

(3) c) The object moves under the action of gravity, directed toward the center of the Earth. The torque due to this force about the center of the Earth is permanently zero, hence angular momentum is conserved. After the collision, the angular momentum is ( ) 2 ( ) ( ) ( ) r r t m M m M L m m ru G u G u m m r m m r GM m r k m GMrk r

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

$\times$ $-$ +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

=

(4) where k is a unit vector perpendicular to the plane of Figure 2 and directed toward the reader. At perigee, the velocity vector will be perpendicular to the radial direction and the angular momentum vector is ( ) p T p L R m m v k

${}^{\prime }$

(5) From conservation of angular momentum, L_p = L_T: ( ) T p m GMr R m m v ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

$\Rightarrow$ ( ) p T m v GMr m m R ${}^{\prime }$

${}^{\prime }$ +

(6) d) From the velocity of C obtained in equation (3), the mechanical energy of C at the point of impact is 2 2 2 2 ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) 4 2 mec M m m m GM m GM E G m m r r r m m m m Mm m m G r m m

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + ${}^{\prime }$ = $-$ + + +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }+$

= $-$

${}^{\prime }$ +

(7) 33 SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGON REGIONAL ROUND

In the new orbit, after the collision, mechanical energy is conserved; thus, from conservation of energy between the point of impact and perigee we have 2 4 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) T T Mm m m M m m m G G m m GMr r m m R m m R

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

${}^{\prime }$ $-$ = $-$ + +

${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ + +

(8) After rearranging and simplifying expression (8), we obtain a quadratic equation for m′, ( ) ( ) 2 2 2 4 2 0 T T T T R r m mR R r m rR m ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ $-$ + $-$ $-$ = (9) From this, ( ) 2 2 4 2 T T T T R R rR m m r R $\pm$ + ${}^{\prime }$ = $-$ (10) Since r > RT, the solution with “−” is unphysical because it would yield a negative value for m′; therefore, ( ) 2 2 4 2 0.06 T T T T R R rR m m m r R + + ${}^{\prime }$ =

$-$ (11) e) The radius of the meteorite Dibiasky is 3 5 km 5 10 m D R

= $\cdot$ and its density is 3 3 3 2.5 g/cm 2.5 10 kg/m $\rho$ =

$\cdot$ Its volume is given by 3 4 3 D V R $\pi$ = (12) Thus, its mass is 3 4 3 D m V R $\rho$ $\pi \rho$

= $\Rightarrow$ 15 1.3 10 kg m = $\cdot$ (13) f) Substituting m into expression (11), we obtain 13 7.8 10 kg $m^{\prime }$ = $\cdot$ Current technology does not allow placing such a large mass into orbit. An alternative solution, as suggested in the film Don’t Look Up, would be to send nuclear charges that explode on the meteorite’s surface, so that material ejected in the explosion produces a thrust sufficient to cause adequate deflection. In any case, we are operating at the limits of science fiction; however, current research is exploring deflection techniques, such as NASA’s DART mission.

33 ESPAÑOLA DE FÍSICA PHASE OF ARAGÓN

Meteorite falling toward Earth

Intercepting satellite in circular orbit

P2. Carga oscilante. Considera dos pequeñas esferas sujetas en los extremos de una varilla no conductora de longitud 2d (Figura 1). Una tercera esfera C tiene masa m y puede deslizar sin rozamiento en la varilla. Las tres esferas son no conductoras y cada una tiene una carga eléctrica q distribuida sobre su superficie. Se separa la esfera C una distancia x de la posición de equilibrio O. Fig. 1 a) Halla la expresión de la fuerza que actúa sobre la esfera C cuando se encuentra a distancia x de la posición de equilibrio. b) ¿Cuál es la expresión de la fuerza sobre la esfera C si se considera que x << d ? Se desplaza la esfera C hasta un punto A, a una distancia x = d/20 hacia la derecha de O, como se observa en la figura, y se libera. c) Calcula la velocidad que llevará la esfera C cuando pase por la posición de equilibrio O. d) Calcula la frecuencia angular de oscilación de la esfera C alrededor de la posición de equilibrio. e) ¿Cuánto tiempo tardará la esfera C en ir desde A hasta O. f) Para 10 nC q = , 10 cm d = y 1g m = , calcula el valor del periodo T de una oscilación completa de la esfera C alrededor del punto O. Datos: * Constante de Coulomb, 9 2 -2 1 9 10 N m C 4 o $\pi ϵ$

$\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ * 9 1nC 10 C $-$

x q q q d d O C A 33 OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN P2. Solución a) La fuerza sobre la esfera cargada C será la suma de las fuerzas producidas sobre ella por cada una de las esferas cargadas de los extremos, 1 2 F F F

. Ambas fuerzas son repulsivas. La fuerza que ejerce cada una de las esferas sobre la esfera C es la misma que se ejercería entre dos cargas puntuales, 2 2 2 2 1 1 4 4 ( ) ( ) o o q q F d x d x $\pi ϵ$ $\pi ϵ$

$-$ + $-$ $\Rightarrow$ 2 2 2 1 4 $\cdot$ 4 ( ) ( ) o q d x F d x d x $\pi ϵ$ = $-$ $-$ + (1) b) Si x << d, podemos aproximar 2 2 ( ) x d d $-$ $\approx$ y 2 2 ( ) x d d + $\approx$ en la expresión (1) de modo que 2 3 1 4 4 o q x F d $\pi ϵ$ $\approx -$ (2) c) La fuerza eléctrica sobre la carga q es conservativa, por lo tanto, se conserva la energía mecánica entre A y O. 2 2 2 2 1 1 1 1 2 4 4 4 2 20 20 o o o q q q mv d d d d d $\pi ϵ$ $\pi ϵ$ $\pi ϵ$ +

$-$

$\Rightarrow$ 2 1 0,1 4 o q v md $\pi ϵ$

(3) d) En la expresión (2) se observa que la fuerza F es proporcional a la distancia x de separación de la posición de equilibrio, y de sentido contrario, similar a una fuerza elástica F Kx = $-$ , a partir de lo que podemos determinar la “constante elástica” K del sistema, 2 3 1 4 4 o q x Kx d $\pi ϵ$

$\Rightarrow$ 2 3 1 4 4 o q K d $\pi ϵ$

(4) La frecuencia angular de oscilación alrededor de la posición de equilibrio vendrá dada por K m $\omega$ = $\Rightarrow$ 2 3 1 4 4 o q md $\omega$ $\pi ϵ$

(5) e) El tiempo que tardará la partícula C en ir de A hasta O será un cuarto del periodo T, tiempo que tarda en realizar una oscilación completa y volver a A. A partir de la expresión (5) se obtiene 3 2 (1/ 4 ) o md T q $\pi$ $\pi$ $\omega$ $\pi ϵ$

= (6) De modo que el tiempo para ir de A hasta O será 4 T t = $\Rightarrow$ 3 4 (1/ 4 ) o md t q $\pi$ $\pi ϵ$

(7) f) Expresando q, m y d en unidades del Sistema Internacional y sustituyendo en la expresión (6) obtenemos 3,31s T = 33 OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN

Tre sfere cariche su asta non conduttrice

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves Metodi: Coulomb’s Law, Small-Angle Approximation, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Rod, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2. Carico oscilante. Considera due piccole sfere attaccate alle estremità di un bastone non conduttore di lunghezza 2d (Figura 1). Una terza sfera C ha massa m e può scivolare senza rottura sul bastone. Le tre sfere sono Le parti di questo sistema sono di tipo non conduttore e ognuna ha una carica elettrica distribuita sulla sua superficie. Separazione della sfera C una Distanza x dalla posizione di equilibrio O. Fig. 1 a) Trova l’espressione della forza che agisce sulla sfera C quando si trova a distanza x dalla posizione di equilibrio. b) Qual è l’espressione della forza sulla sfera C se si considera che x << d ? La sfera C viene spostata fino a un punto A, a una distanza x = d/20 verso la destra di O, come si osserva nella figura, e si libera. c) Calcola la velocità che la sfera C porterà quando passerà attraverso la posizione di equilibrio O. d) Calcola la frequenza angolare di oscillazione della sfera C attorno alla posizione di equilibrio. e) Quanto tempo ci vorrà per la sfera C di andare da A a O. f) Per 10 nC q = , 10 cm d = y 1g m = , calcola il valore del periodo T di un’oscillazione completa della sfera C intorno al punto O. Data: * Costante di Coulomb, 9 2 -2 1 9 10 N m C 4 o $\pi ϵ$

$\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ * 9 1nC 10 C $-$

x q q q d d O C A 33 Olimpiadi di Fisica in Spagna Fase di ARAGON P2. Soluzione a) La forza sulla sfera carica C sarà la somma delle forze prodotte su di essa da ciascuna delle sfere cariche dalle estremità, 1 2 F F F

. Entrambe le forze sono ripugnanti. La forza esercitata da ogni una sfera sopra la sfera C è la stessa che si eserciterebbe tra due carichi puntiali, 2 2 2 2 1 1 4 4 ( ) ( ) o o q q F d x d x $\pi ϵ$ $\pi ϵ$

$-$ + $-$ $\Rightarrow$ 2 2 2 1 4 $\cdot$ 4 ( ) ( ) o q d x F d x d x $\pi ϵ$ = $-$ $-$ + (1) b) Se x << d, possiamo avvicinare 2 2 ( ) x d d $-$ $\approx$ y 2 2 ( ) x d d + $\approx$ in espressione (1) in modo che 2 3 1 4 4 o q x F d $\pi ϵ$ $\approx -$ (2) c) La forza elettrica sulla carica q è conservatrice, quindi l’energia meccanica viene conservata tra A e A. y O. 2 2 2 2 1 1 1 1 2 4 4 4 2 20 20 o o o q q q mv d d d d d $\pi ϵ$ $\pi ϵ$ $\pi ϵ$ +

$-$

$\Rightarrow$ 2 1 0,1 4 o q v md $\pi ϵ$

(3) d) Nella espressione (2) si osserva che la forza F è proporzionale alla distanza x di separazione della posizione di equilibrio, e di senso contrario, simile a una forza elastica F Kx = $-$ , da quanto possiamo determinare la costante elastica K del sistema, 2 3 1 4 4 o q x Kx d $\pi ϵ$

$\Rightarrow$ 2 3 1 4 4 o q K d $\pi ϵ$

(4) Frequenza angolare di oscillazione intorno alla posizione di equilibrio verrà data da K m $\omega$ = $\Rightarrow$ 2 3 1 4 4 o q md $\omega$ $\pi ϵ$

(5) e) Il tempo che ci vorrà per la particella C di andare da A a O sarà un quarto del periodo T, tempo che ci vorrà per fare un’oscillazione completa e tornare a A. L’espressione (5) è 3 2 (1/ 4 ) o md T q $\pi$ $\pi$ $\omega$ $\pi ϵ$

= (6) Quindi il tempo per andare da A a O sarà 4 T t = $\Rightarrow$ 3 4 (1/ 4 ) o md t q $\pi$ $\pi ϵ$

(7) f) Esprimendo q, m e d in unità del Sistema Internazionale e sostituendo in espressione (6) otteniamo 3,31s T = 33 Olimpiadi di Fisica in Spagna Fase di ARAGON

Tre sfere carica la sua asta non conduttrice

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves Metodi: Coulomb’s Law, Small-Angle Approximation, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Rod, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2. Oscillating Charge.

Consider two small spheres attached to the ends of a non-conducting rod of length 2d (Figure 1). A third sphere C has mass m and can slide without friction along the rod. All three spheres are non-conducting, and each carries an electric charge q distributed over its surface. The sphere C is displaced a distance x from the equilibrium position O.

Fig. 1 a) Find the expression for the force acting on sphere C when it is at a distance x from the equilibrium position. b) What is the expression for the force on sphere C if it is assumed that x << d? The sphere C is displaced to point A, located a distance x = d/20 to the right of O, as shown in the figure, and then released. c) Calculate the velocity that sphere C will have when passing through the equilibrium position O. d) Calculate the angular frequency of oscillation of sphere C around the equilibrium position. e) How long will it take for sphere C to move from A to O? f) For q = 10 nC, d = 10 cm, and m = 1 g, calculate the value of the period T for one complete oscillation of sphere C around point O.

Data: * Coulomb constant, 9 2 -2 1 9 × 10 N m C 4 π ε₀ $\pi ϵ$

$\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ * 9 1 nC = 10⁻⁹ C $-$ = q q q d d O C A

33 SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGON REGIONAL ROUND

P2. Solution a) The force on the charged sphere C is the sum of the forces exerted on it by each of the two charged spheres at the ends: F = F₁ + F₂

. Both forces are repulsive. The force exerted by each sphere on sphere C is the same as that between two point charges, 2 2 2 2 1 1 4 4 ( ) ( ) o o q q F d x d x $\pi ϵ$ $\pi ϵ$

$-$ + $-$ $\Rightarrow$ 2 2 2 1 4 $\cdot$ 4 ( ) ( ) o q d x F d x d x $\pi ϵ$ = $-$ $-$

• (1)

b) If x << d, we can approximate 2 2 ( ) x d d $-$ $\approx$ and 2 2 ( ) x d d + $\approx$ in expression (1) so that 2 3 1 4 4 o q x F d $\pi ϵ$ $\approx -$ (2)

c) The electric force on charge q is conservative, therefore mechanical energy is conserved between points A and O. 2 2 2 2 1 1 1 1 2 4 4 4 2 20 20 o o o q q q mv d d d d d $\pi ϵ$ $\pi ϵ$ $\pi ϵ$ +

$-$

$\Rightarrow$ 2 1 0.1 4 o q v md $\pi ϵ$ = (3) d) In expression (2), it is observed that the force F is proportional to the distance x from equilibrium position and opposite in direction, similar to an elastic force F = −Kx $-$. From this, we can determine the “spring constant” K of the system: 2 3 1 4 4 o q x Kx d $\pi ϵ$

$\Rightarrow$ 2 3 1 4 4 o q K d $\pi ϵ$ = (4)

The angular frequency of oscillation around the equilibrium position is given by K m $\omega$ = $\Rightarrow$ 2 3 1 4 4 o q md $\omega$ $\pi ϵ$ = (5)

e) The time the particle C takes to move from A to O is one-quarter of the period T, which is the time required for a complete oscillation and return to A. From expression (5), we obtain 3 2 (1/ 4) o md T q $\pi$ $\pi$ $\omega$ $\pi ϵ$

= (6)

Thus, the time to travel from A to O is 4 T t = $\Rightarrow$ 3 4 (1/ 4) o md t q $\pi$ $\pi ϵ$ = (7)

f) Expressing q, m, and d in SI units and substituting into expression (6), we obtain 3.31 s T = 33 SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGON REGIONAL ROUND

Three charged spheres on a non-conducting rod

P3. Una aproximación a las fibras ópticas0F1. Las fibras ópticas han revolucionado el mundo de las telecomunicaciones en las últimas décadas. Su funcionamiento está basado en las leyes de la reflexión y de la refracción (ley de Snell), en particular en el fenómeno de la reflexión total. Esquemáticamente (figura 1) una fibra óptica es un fino hilo de material transparente, llamado núcleo, por el que se propaga la luz sufriendo sucesivas reflexiones totales, pues está rodeado por otro material, llamado revestimiento, de menor índice de refracción. a) Si 465 ,1 nuc = n y 460 ,1 rev = n , determina el máximo ángulo respecto al eje, max $\theta$ , con que puede viajar la luz dentro del núcleo para que se produzcan reflexiones totales al alcanzar el revestimiento. ¿A qué ángulo de iluminación, max $\alpha$ , desde el exterior ( 000 ,1 aire = n ) corresponde esta situación? Todos los rayos que inciden sobre la entrada del núcleo con max 0 $\alpha$ $\alpha \le$ $\le$ se propagarán confinadamente por la fibra, pero siguiendo caminos diferentes, y por tanto tardando tiempos diferentes en alcanzar el extremo de salida. Dato: velocidad de la luz en el vacío, m/s 10 998 , 2 8 $\times$

c . b) Calcula las longitudes, 0 L y max L recorridas por la luz en los casos extremos 0

$\alpha$ y max $\alpha$ $\alpha$ = , y los tiempos de tránsito correspondientes, 0t y max t , para una longitud de fibra L =1000 m. La luz que viaja por la fibra es producida por un LED o un diodo láser que ilumina su entrada en un amplio margen de ángulos de incidencia. La señal a transmitir (por ejemplo, una conexión de internet o una conversación telefónica) se codifica digitalmente mediante una rápida sucesión de pulsos de luz, “bits” (figura 2), según un código binario preestablecido, de forma que un sistema detector al final de la fibra pueda reconocer estos pulsos luminosos y descifrar (decodificar) el mensaje que transportan. En el segundo apartado se ha visto que el tiempo de tránsito de la luz por la fibra depende del ángulo de propagación. Este fenómeno, llamado dispersión, es indeseable para los fines prácticos de comunicación digital, pues ensancha los pulsos transmitidos y tiende a superponer dos consecutivos, de forma que el detector puede llegar a no distinguirlos y la información se pierde. c) Supón que los pulsos luminosos que inciden sobre la fibra cubren todo el margen de ángulos de incidencia, entre 0

$\alpha$ y max $\alpha$ $\alpha$ = . Si la duración inicial de los pulsos es ns 5 0 = T , tal como indica la figura 2, calcula la duración total de los pulsos de salida, T. d) Calcula la frecuencia máxima de transmisión de los pulsos, max f , para que puedan ser distinguidos por el detector a la salida de la fibra. Para aumentar la capacidad de transmisión del sistema, interesa que esta frecuencia sea lo más alta posible. ¿Cómo modificarías los datos de diseño de la fibra para conseguirlo? 1 Este problema fue propuesto en la 24 Olimpiada Española de Física celebrada en 2013 en la Universidad de Lleida. Fig. 1 $\theta$ $\alpha$ Núcleo Revestimiento L Fig. 2 t 33 OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN P3. Solución Cuando la de luz incide desde un medio de índice n hacia otro de índice n’, la ley de Snell establece $ϵ$ $ϵ$ ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

sen sen n n (1) donde $ϵ$ y ${ϵ}^{\prime }$ son los ángulos de incidencia y refracción, respecto a la normal a ambas superficies. Si n n < ${}^{\prime }$ , se tendrá que $ϵ$ $ϵ$ sen sen

${}^{\prime }$ , y por tanto $ϵ$ $ϵ$ > ${}^{\prime }$ (figura 3). El ángulo límite $lϵ$ se define como aquél al que corresponde el máximo ángulo de refracción, 2 / $\pi$ $ϵ$ = ${}^{\prime }$ (figura 4), es decir n n l ${}^{\prime }$

$ϵ$ sen $\Rightarrow$ ) / ( sen arc n n l ${}^{\prime }$

$ϵ$ (2) Para incidencia con ángulo superior al límite, $lϵ$ $ϵ$ > , la ecuación (1) no tiene solución real para ${ϵ}^{\prime }$ , pues sería necesario que 1 sen

${}^{\prime }$ $ϵ$ . En estas circunstancias no existe rayo refractado; toda la energía luminosa se refleja en la superficie de separación entre los dos medios, con ángulo de reflexión igual al de incidencia, Este es el conocido fenómeno de “reflexión total”. a) En nuestro problema, la luz incide desde el núcleo hacia el revestimiento, con 460 ,1 465 ,1 rev nuc

= ${}^{\prime }$

=

n n n n Por tanto, se producirá reflexión total cuando el ángulo de incidencia sea mayor que el límite, que puede calcularse teniendo en cuenta (2). Se obtiene o 265 , 85

$lϵ$ El ángulo que se pide, $\theta$ , es el complementario de $ϵ$ , (figura 5). Para que se produzcan reflexiones totales debe ser o 265 , 85

$lϵ$ $ϵ$

$\Rightarrow$ o 735 , 4 max = $\theta$ El ángulo de propagación respecto al eje, $\theta$ , es el ángulo de refracción respecto a la entrada de la luz en el núcleo de la fibra, procedente del aire. Como el índice del aire es la unidad, se cumplirá l n n $ϵ$ $\theta$ $\alpha$ cos sen sen nuc max nuc max

= $\Rightarrow$ o 946 , 6 max = $\alpha$ Fig. 4 $ϵ$ Rayo refractado Rayo reflejado $ϵ$ Rayo incidente Rayo incidente Rayo reflejado Fig. 3 Rayo refractado Fig. 5 Revestimiento Revestimiento Aire Núcleo 33 OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN b) Los rayos que inciden desde el aire sobre el núcleo con 0

$\alpha$ viajarán por la fibra con 0

$\theta$ , en paralelo al eje y sin sufrir reflexiones totales en el revestimiento. Por tanto, han de recorrer una distancia m 1000 0

= L L La velocidad de propagación de la luz dentro del núcleo es nuc /n c v = , donde m/s 10 00 ,3 8 $\times$

c es la velocidad de la luz en el vacío. Por tanto, el tiempo que tardarán los rayos de luz en recorrer la fibra, para 0

$\alpha$ , es c n L v L t nuc 0 0

= $\Rightarrow$ s 887 , 4 0 $\mu$

t Los rayos que inciden desde el aire sobre el núcleo con max $\alpha$ $\alpha$ = viajarán por la fibra con max $\theta$ $\theta$ = , de forma que la longitud realmente recorrida es L n n L L L l max max rev nuc sen cos

=

$ϵ$ $\theta$ $\Rightarrow$ m 4 , 1003 max = L El tiempo de recorrido por la fibra para max $\alpha$ $\alpha$ = será, por tanto 0 rev nuc nuc max max max t n n c n L v L t

=

$\Rightarrow$ s 903 , 4 max $\mu$

t c) Cada pulso de luz es transmitido por la fibra mediante rayos correspondientes a todo el margen de admisión a la entrada, max 0 $\alpha$ $\alpha \le$ $\le$ , de forma que la luz que ha entrado en la fibra en un cierto instante t llega al final entre 0t t + y max t t + , durante un intervalo de tiempo ns 16 0 max $\approx$ $-$

$\Delta$ t t t Como los pulsos tienen una duración inicial ns 5 0 = T , a la salida de la fibra serán mucho más anchos, con una duración t T T $\Delta$ +

0 $\Rightarrow$ ns 21 $\approx$ T Además, serán menos intensos, pues la energía inyectada se reparte en un mayor intervalo de tiempo. d) La separación temporal mínima entre dos pulsos consecutivos, para que no se solapen en el detector, es precisamente T . Esto corresponde a una frecuencia máxima de transmisión de pulsos T f 1 max = $\Rightarrow$ MHz 47 max $\approx$ f Para aumentar max f es necesario reducir T , o sea t $\Delta$. ( ) rev nuc rev nuc rev nuc 0 0 max 1 n n n c n L n n t t t t $-$

$-$

$-$

$\Delta$ Por tanto, para una L dada, un aumento de la frecuencia max f requiere: Reducir la diferencia de índices entre el núcleo y revestimiento, rev nuc n n $-$ . En nuestro problema, 005 , 0 rev nuc

$-n$ n . Si, por ejemplo, la diferencia fuese 001 0 rev nuc , n n

$-$ , t $\Delta$ se reduciría en un factor 5 y, max f aumentaría a unos 120 MHz. 33 OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA FASE DE ARAGÓN Nota: En las fibras reales la luz no puede viajar confinada para cualquier ángulo max $\theta$ $\theta$ < , sino sólo para algunos ángulos concretos, correspondientes a los llamados modos de propagación de la fibra. Para comprender cualitativamente este fenómeno basta plantearse el problema desde el punto de vista de un observador que viajase en paralelo al eje de la fibra y con la misma velocidad de avance de la luz a lo largo de dicho eje. Este observador vería luz viajando en una trayectoria rectilínea perpendicular al eje y sufriendo repetidas reflexiones en las fronteras núcleo-revestimiento (hacia arriba y hacia abajo en la figura 1). La interferencia de estas ondas sólo sería constructiva cuando se cumpliese una condición de tipo onda estacionaria para la luz en las dimensiones transversales del núcleo. Esta condición conduce a una cuantización de los posibles ángulos de propagación de la luz respecto al eje de la f

Sezione trasversale fibra ottica con angoli

Diagramma temporale impulsi luminosi

Rifrazione luce a interfaccia (n<n’)

Riflessione totale a interfaccia (n>n’)

Riflessione totale interna in fibra ottica

Topic: Geometric Optics, Oscillations & Waves Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.7

P3. Un approccio alle fibre ottiche0F1. Le fibre ottiche hanno rivoluzionato il mondo delle telecomunicazioni negli ultimi decenni. Su La funzione è basata sulle leggi della riflessione e della refraczione (legge di Snell), in particolare in Il fenomeno della riflessione totale. Schematicamente (Figura 1) una fibra ottica è un filo di materiale sottile Il nucleo, chiamato nucleo, attraverso il quale la luce si diffonde subendo successive riflessioni totali, perché è circondato da un altro materiale, chiamato rivestimento, di minore indice di rifrazione. a) Si 465 ,1 nuc = n y 460 ,1 rev = n , determina l’angolo massimo rispetto all’asse, Max $\theta$ , con cui può viaggiare la luce all’interno del nucleo per produrre riflessi totali quando raggiunge il rivestimento. A cosa? angolo di illuminazione, Max $\alpha$ , dall’esterno ( 000 ,1 aria = n ) corrisponde a questa situazione? Tutti i raggi che incidono sull’entrata del nucleo con Max 0 $\alpha$ $\alpha \le$ $\le$ si diffonderanno in modo confinato La fibra, ma seguendo percorsi diversi, e quindi impiegando tempi diversi per raggiungere l’estremità di uscita. Data: velocità della luce nel vuoto, m/s 10 998 , 2 8 $\times$

c . b) Calcola le lunghezze, 0 L y Max L viaggiati in luce in casi estremi 0

$\alpha$ y Max $\alpha$ $\alpha$ = , e i i corrispondenti tempi di transito, 0t y Max t , per una lunghezza di fibra L = 1000 m. La luce che viaggia attraverso la fibra è prodotta da un LED o diodo laser che illumina la sua entrata in un ampio margine di angoli di incidenza. Il segnale a trasmettere (ad esempio, una connessione internet o una conversazione telefonica) codifica digitalmente attraverso una rapida successione di pulsi di luce, bits (figura 2), secondo un codice binario pre-impostato, in modo che un sistema di La fibra può riconoscere questi pulsi luminosi e decifrare il il messaggio che trasportano. Il secondo comma ha rilevato che il tempo di transito della luce attraverso la fibra dipende dall’angolo di diffusione. Questo fenomeno, chiamato dispersione, è indesiderabile per scopi pratici di comunicazione La misurazione del sistema di accelerazione è più elevata, in quanto aumenta i polsi trasmessi e tende a superponiere due successivi, in modo che il rilevatore si può non distinguere e l’informazione viene persa. c) Supponiamo che i pulsi luminosi che incidono sulla fibra coprono l’intero margine di angoli di incidenza, Entrate 0

$\alpha$ y Max $\alpha$ $\alpha$ = . Se la durata iniziale dei polsi è ns 5 0 = T , come indicato in figura 2, Calcola la durata totale dei pulsi di uscita, T. d) Calcola la frequenza massima di trasmissione dei polsi, Max f , in modo che possano essere distinguiti dal il rilevatore all’uscita della fibra. Per aumentare la capacità di trasmissione del sistema, è interessante che questa Frequenza massima possibile. Come modificare i dati di design della fibra per ottenere questo? 1 Questo problema è stato proposto alla 24a Olimpiada spagnola di fisica celebrata nel 2013 presso l’Università di Lleida. Fig. 1 $\theta$ $\alpha$ Cernello Cappello L Fig. 2 t 33 Olimpiadi di fisica in Spagna Fase di ARAGON P3. Soluzione Quando la luce incide da un mezzo di indice n verso un altro di indice n, la legge di Snell stabilisce che $ϵ$ $ϵ$ ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$

sen sen n n (1) dove $ϵ$ e ${ϵ}^{\prime }$ sono gli angoli di incidenza e di refraczione rispetto al normale per entrambe le superfici. Si n n < ${}^{\prime }$ , dovrà $ϵ$ $ϵ$ sen sen

${}^{\prime }$ , e quindi $ϵ$ $ϵ$ > ${}^{\prime }$ (Figura 3). L’angolo limite $lϵ$ è definito come tale il quale corrisponde all’angolo di rifrazione massimo, 2 / $\pi$ $ϵ$ = ${}^{\prime }$ (Figura 4), cioè: n n l ${}^{\prime }$

$ϵ$ sen $\Rightarrow$ ) / ( sen arc n n l ${}^{\prime }$

$ϵ$ (2) Per incidenti con angolo superiore al limite, $lϵ$ $ϵ$ > , l’equazione (1) non ha una soluzione reale per ${ϵ}^{\prime }$, poiché Sarebbe necessario che 1 sen

${}^{\prime }$ $ϵ$ . In queste circostanze non esiste un raggio refrattato; tutta l’energia luminosa è riflette sulla superficie di separazione tra i due media, con angolo di riflessione pari a quello di incidenza, è il fenomeno noto di “riflessione totale”. a) Nel nostro problema, la luce incide dal nucleo verso il rivestimento, con 460 ,1 465 ,1 rev Nuovo

= ${}^{\prime }$

=

n n n n Si verifica quindi una riflessione totale quando l’angolo di l’incidenza è superiore al limite, che può essere calcolato considerando (2). Si ottiene o 265 , 85

$lϵ$ L’angolo richiesto, $\theta$ , è il complementare di $ϵ$ , (figura 5). Per avere riflessioni totali è necessario o 265 , 85

$lϵ$ $ϵ$

$\Rightarrow$ o 735 , 4 Max = $\theta$ L’angolo di diffusione rispetto all’asse, $\theta$ , è l’angolo di refrazione rispetto all’ingresso della luce in il nucleo della fibra, proveniente dall’aria. Poiché l’indice dell’aria è l’unità, si soddisferà l n n $ϵ$ $\theta$ $\alpha$ cos sen sen Nuovo Max Nuovo Max

= $\Rightarrow$ o 946 , 6 Max = $\alpha$ Fig. 4 $ϵ$ Raggiustato Raggi riflessi $ϵ$ Raggi incidente Raggi incidente Raggi riflessi Fig. 3 Raggiustato Fig. 5 Cappello Cappello Air Cernello 33 Olimpiadi di Fisica in Spagna Fase di ARAGON b) I raggi che incitano dall’aria sul nucleo con 0

$\alpha$ viaggiano attraverso la fibra con 0

$\theta$ , in parallelo L’acciaio e la rivestimento non sono completamente riflessi. Quindi, devono percorrere una distanza m 1000 0

= L L La velocità di diffusione della luce all’interno del nucleo è Nuovo /n c v = , dove m/s 10 00 ,3 8 $\times$

c es la velocità della luce nel vuoto. Quindi, il tempo che i raggi di luce impiegano per attraversare la fibra, per 0

$\alpha$ , es c n L v L t Nuovo 0 0

= $\Rightarrow$ s 887 , 4 0 $\mu$

t I raggi che incitano dall’aria sul nucleo con Max $\alpha$ $\alpha$ = viaggiano attraverso la fibra con Max $\theta$ $\theta$ = , de modo che la lunghezza realmente percorso è L n n L L L l Max Max rev Nuovo sen cos

=

$ϵ$ $\theta$ $\Rightarrow$ m 4 , 1003 Max = L Il tempo di percorrenza della fibra per Max $\alpha$ $\alpha$ = sarà, quindi, 0 rev Nuovo Nuovo Max Max Max t n n c n L v L t

=

$\Rightarrow$ s 903 , 4 Max $\mu$

t c) Ogni pulso di luce viene trasmesso dalla fibra attraverso raggi corrispondenti a tutto il margine di l’ingresso, Max 0 $\alpha$ $\alpha \le$ $\le$ , in modo che la luce che è entrata nella fibra in un certo istante t arriva alla fine tra 0t t + y Max t t + , per un periodo di tempo ns 16 0 Max $\approx$ $-$

$\Delta$ t t t Come i polsi hanno una durata iniziale ns 5 0 = T , all’uscita della fibra saranno molto più larghi, con durata t T T $\Delta$ +

0 $\Rightarrow$ ns 21 $\approx$ T Inoltre, saranno meno intense, poiché l’energia iniezionata viene distribuita in un intervallo di tempo più lungo. d) La minima separazione temporale tra due pulsi consecutivi, per non sovrapporsi nel rilevatore, è Proprio T. Questo corrisponde a una frequenza massima di trasmissione di polsi T f 1 Max = $\Rightarrow$ MHz 47 Max $\approx$ f Per aumentare Max f è necessario ridurre T , cioè t $\Delta$. ( ) rev Nuovo rev Nuovo rev Nuovo 0 0 Max 1 n n n c n L n n t t t t $-$

$-$

$-$

$\Delta$ Per un dato L, un aumento della frequenza Max f richiede: Riduzione del differenziale di indici tra il nucleo e il rivestimento, rev Nuovo n n $-$ . Nel nostro problema, 005 , 0 rev Nuovo

$-n$ n . Se, per esempio, la differenza fosse 001 0 rev Nuovo , n n

$-$ , t $\Delta$ si ridurrebbe di un fattore 5 e, Max f aumenterebbe a circa 120 MHz. 33 Olimpiadi di Fisica in Spagna Fase di ARAGON Nota: nelle fibre reali la luce non può viaggiare confinata ad ogni angolo Max $\theta$ $\theta$ < , ma solo per I campioni di produzione sono stati rilevati in base alle seguenti indicazioni: Per La nostra capacità di comprendere qualitativamente questo fenomeno è sufficiente a porre il problema dal punto di vista di un un osservatore che viaggiasse in parallelo all’asse della fibra e con la stessa velocità di avanzamento della luce al lungo tale asse. Questo osservatore vedrebbe la luce viaggiare in un percorso rettilineo perpendicolare all’asse e La riforma delle linee di controllo delle frontiere nucleare-rivestimento (upward and downward in the Figura 1). L’interferenza di queste onde sarebbe costruttiva solo se si soddisfa una condizione di tipo di onda stazionaria per la luce nelle dimensioni trasversali del nucleo. Questa condizione porta a una quantificazione dei possibili angoli di diffusione della luce rispetto all’asse della f

Sezione trasversale di fibra ottica con angoli

Tempo di grafico pulso luminoso

*Rifrazione luce a interfaccia (n<n’) *

*Riflessione totale a interfaccia (n>n’) *

Riflessione totale interna in fibra ottica

Topic: Geometric Optics, Oscillations & Waves Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.7

P3. An approach to optical fibers0F1. Optical fibers have revolutionized the world of telecommunications in recent decades. Their operation is based on the laws of reflection and refraction (Snell’s law), in particular on the phenomenon of total reflection. Schematically (figure 1) an optical fiber is a thin thread of transparent material, called the core, through which light propagates undergoing successive total reflections, since it is surrounded by another material, called the cladding, with a lower refractive index. a) If 465 ,1 nuc = n and 460 ,1 rev = n , determine the maximum angle with respect to the axis, max $\theta$ , at which light can travel inside the core so that total reflections occur when it reaches the cladding. To what illumination angle, max $\alpha$ , from the outside ( 000 ,1 air = n ) does this situation correspond? All rays that strike the entrance of the core with max 0 $\alpha$ $\alpha \le$ $\le$ will propagate confined through the fiber, but following different paths, and therefore taking different times to reach the output end. Data: speed of light in vacuum, m/s 10 998 , 2 8 $\times$ = c . b) Calculate the lengths, 0 L and max L traveled by the light in the extreme cases 0

$\alpha$ and max $\alpha$ $\alpha$ = , and the corresponding transit times, 0t and max t , for a fiber length L =1000 m. The light that travels through the fiber is produced by an LED or a laser diode that illuminates its input over a wide range of incidence angles. The signal to be transmitted (for example, an internet connection or a telephone conversation) is digitally encoded by a rapid succession of light pulses, “bits” (figure 2), according to a preestablished binary code, so that a detector system at the end of the fiber can recognize these light pulses and decipher (decode) the message they carry. In the second section it has been seen that the transit time of light through the fiber depends on the propagation angle. This phenomenon, called dispersion, is undesirable for the practical purposes of digital communication, since it broadens the transmitted pulses and tends to superimpose two consecutive ones, so that the detector may fail to distinguish them and the information is lost. c) Suppose that the light pulses that strike the fiber cover the entire range of incidence angles, between 0 = $\alpha$ and max $\alpha$ $\alpha$ = . If the initial duration of the pulses is ns 5 0 = T , as indicated in figure 2, calculate the total duration of the output pulses, T. d) Calculate the maximum pulse transmission frequency, max f , so that they can be distinguished by the detector at the output of the fiber. To increase the transmission capacity of the system, it is desirable for this frequency to be as high as possible. How would you modify the fiber design data to achieve this? 1 This problem was proposed at the 24th Spanish Physics Olympiad held in 2013 at the University of Lleida. Fig. 1 $\theta$ $\alpha$ Core Cladding L Fig. 2 t 33rd SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGON PHASE P3. Solution When light is incident from a medium of index n toward another of index n’, Snell’s law states $ϵ$ $ϵ$ ${}^{\prime }$ ${}^{\prime }$ = sen sen n n (1) where $ϵ$ and ${ϵ}^{\prime }$ are the angles of incidence and refraction, with respect to the normal to both surfaces. If n n < ${}^{\prime }$ , it will follow that $ϵ$ $ϵ$ sen sen

${}^{\prime }$ , and therefore $ϵ$ $ϵ$ > ${}^{\prime }$ (figure 3). The critical angle $lϵ$ is defined as the one corresponding to the maximum angle of refraction, 2 / $\pi$ $ϵ$ = ${}^{\prime }$ (figure 4), that is n n l ${}^{\prime }$

$ϵ$ sen $\Rightarrow$ ) / ( sen arc n n l ${}^{\prime }$

$ϵ$ (2) For incidence with an angle greater than the critical angle, $lϵ$ $ϵ$ > , equation (1) has no real solution for ${ϵ}^{\prime }$ , since it would be necessary that 1 sen

${}^{\prime }$ $ϵ$ . Under these circumstances there is no refracted ray; all the light energy is reflected at the interface between the two media, with an angle of reflection equal to that of incidence. This is the well-known phenomenon of “total reflection”. a) In our problem, the light is incident from the core toward the cladding, with 460 ,1 465 ,1 rev nuc

= ${}^{\prime }$

= = n n n n Therefore, total reflection will occur when the angle of incidence is greater than the critical angle, which can be calculated taking into account (2). One obtains o 265 , 85

$lϵ$ The angle that is asked for, $\theta$, is the complement of $ϵ$, (figure 5). For total reflections to occur, it must be either 265 , 85

$lϵ$ $ϵ$

$\Rightarrow$ or 735 , 4 max = $\theta$ The propagation angle with respect to the axis, $\theta$, is the refraction angle with respect to the entry of light into the fiber core, coming from the air. Since the index of air is unity, it will hold that l n n $ϵ$ $\theta$ $\alpha$ cos sen sen nuc max nuc max

= $\Rightarrow$ or 946 , 6 max = $\alpha$ Fig. 4 $ϵ$ Refracted ray Reflected ray $ϵ$ Incident ray Incident ray Reflected ray Fig. 3 Refracted ray Fig. 5 Coating Coating Air Core 33rd SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGON PHASE b) The rays that strike the core from the air with 0

$\alpha$ will travel through the fiber with 0

$\theta$ , parallel to the axis and without undergoing total reflections in the coating. Therefore, they must travel a distance m 1000 0

= L L The propagation speed of light inside the core is nuc /n c v = , where m/s 10 00 ,3 8 $\times$ = c is the speed of light in vacuum. Therefore, the time that the light rays will take to travel through the fiber, for 0

$\alpha$ , is c n L v L t nuc 0 0

= $\Rightarrow$ s 887 , 4 0 $\mu$ = t The rays that strike the core from the air with max $\alpha$ $\alpha$ = will travel through the fiber with max $\theta$ $\theta$ = , so that the length actually traveled is L n n L L L l max max rev nuc sen cos

=

$ϵ$ $\theta$ $\Rightarrow$ m 4 , 1003 max = L The travel time through the fiber for max $\alpha$ $\alpha$ = will therefore be 0 rev nuc nuc max max max t n n c n L v L t

=

$\Rightarrow$ s 903 , 4 max $\mu$ = t c) Each light pulse is transmitted through the fiber by rays corresponding to the entire acceptance range at the input, max 0 $\alpha$ $\alpha \le$ $\le$ , so that the light that entered the fiber at a certain instant t reaches the end between 0t t + and max t t + , during a time interval ns 16 0 max $\approx$ $-$

$\Delta$ t t t Since the pulses have an initial duration ns 5 0 = T , at the output of the fiber they will be much wider, with a duration t T T $\Delta$ +

0 $\Rightarrow$ ns 21 $\approx$ T Furthermore, they will be less intense, since the injected energy is spread over a longer time interval. d) The minimum time separation between two consecutive pulses, so that they do not overlap at the detector, is precisely T . This corresponds to a maximum pulse transmission frequency T f 1 max = $\Rightarrow$ MHz 47 max $\approx$ f To increase max f it is necessary to reduce T , that is, t $\Delta$. ( ) rev nuc rev nuc rev nuc 0 0 max 1 n n n c n L n n t t t t $-$

$-$

$-$

$\Delta$ Therefore, for a given L, an increase in the maximum frequency f requires: Reducing the difference in indices between the core and cladding, rev nuc n n $-$ . In our problem, 005 , 0 rev nuc

$-n$ n . If, for example, the difference were 001 0 rev nuc , n n

$-$ , t $\Delta$ would be reduced by a factor of 5 and max f would increase to about 120 MHz. 33 SPANISH PHYSICS OLYMPIAD ARAGON PHASE Note: In real fibers, light cannot travel confined for any angle max $\theta$ $\theta$ < , but only for some specific angles, corresponding to the so-called propagation modes of the fiber. To understand this phenomenon qualitatively, it is enough to consider the problem from the point of view of an observer traveling parallel to the fiber axis and with the same speed of light propagation along said axis. This observer would see light traveling in a straight path perpendicular to the axis and undergoing repeated reflections at the core-cladding boundaries (upward and downward in figure 1). The interference of these waves would only be constructive when a standing-wave-type condition were satisfied for the light in the transverse dimensions of the core. This condition leads to a quantization of the possible angles of light propagation with respect to the axis of the f

Optical fiber cross-section with angles

Timing diagram of light pulses

Light refraction at interface (n<n’)

Total reflection at interface (n>n’)

Total internal reflection in optical fiber