BPhO 2022

EsCAPE (8 points) — Päivo Simson. During a nuclear weapon test, a bomb is dropped from an airplane at an altitude of $H = 9 km$ and is set to detonate at $h = 500 m$ above the ground. The air drag acting on the bomb during the fall is negligible. Imme‐ diately after releasing the bomb, the plane starts to escape the explosion. The crew is protected from radiation burst by a protect‐ ive screen, but the plane is vulnerable to the shockwave and needs to be as far as possible from the detonation point. i) (1 point) The maximum speed of the air‐ plane for a straight level flight (constant alti‐ tude) is $v_{0}$ . What is the maximum diving angle so that the speed does not exceed the speed of sound $c$ ? The mass of the airplane is $m$ , the air drag force is $F_{d} = k v^{2}$ , and the gravitational acceleration is $g$ . For simplicity, assume from now on that the airplane stays at a constant altitude, flies at a constant speed $v = 190 m/s$ , and all air maneuvers are limited by the maximum al‐ lowed lift‐to‐weight ratio $n = 2.5$ . The gravit‐ ational acceleration $g = 9.81 m/s^{2}$ . ii) (1 point) After releasing the bomb, how much time does the airplane have before the radiation burst from the bomb hits it? iii) (1 point) What is the smallest possible curvature radius $R$ of the plane’s trajectory and the corresponding bank angle $α$ (cf fig‐ ure) of the plane? iv) (3 points) Suggest a trajectory for the fast‐ est escape. Calculate all the parameters that define the shape of the trajectory and its po‐ sition relative to the detonation point. v) (2 points) Based on the suggested traject‐ ory, how far is the airplane from the deton‐ ation point when the shockwave hits it? It is estimated that the safe distance is 25 km. Is the plane able to escape the explosion? As‐ sume that the average traveling speed of the shock wave is $u = 350 m/s$ . For this part, if needed, you can use justified approxima‐ tions to simplify the algebra.

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Vector Decomposition, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.1

Escappe (8 punti) Päivo Simson. Durante un test di arma nucleare, una bomba è caduto da un aereo ad un’altitudine di $H = 9 km$ e è impostato per esplodere a $h = 500 m$

Sopra il terreno. La resistenza aerea agisce sulla La bomba durante l’autunno è trascurabile. Imme- diately dopo aver rilasciato la bomba, l’aereo inizia a fuggire dall’esplosione. L’ equipaggio è protetto dalle radiazioni che si estendono con un prote-
E’ un’immagine di un’immagine. l’onda di shock e deve essere il più lontano possibile dal punto di detonazione. i) (1 punto) La velocità massima dell’aria piano per un volo a livello retto (alta- tude) è $v_{0}$ . Qual è il massimo di immersione angolo in modo che la velocità non superi il velocità del suono $c$ ? La massa dell’aereo è $m$ , la forza di resistenza a aria è $F_{d} = k v^{2}$ , e il l’accelerazione gravitazionale è $g$ . Per semplicità, supponiamo che da ora in poi l’aereo rimane ad un’altitudine costante, vola a velocità costante $v = 190 m/s$ e tutta l’aria Le manovre sono limitate dal massimo di il rapporto peso-lift $n = 2.5$ . La gravità Accelerazione azionale $g = 9.81 m/s^{2}$ . ii) (1 punto) Dopo il rilascio della bomba, come l’aereo ha molto tempo prima del La radiazione esplosa dalla bomba lo colpisce? iii) (1 punto) Qual è il minimo possibile radio di curvatura $R$ della traiettoria del piano e l’angolo bancario corrispondente $α$ (cfr. figura-
L’aereo?

(3 punti) Suggerire una traiettoria per il rapido È la fuga. Calcolare tutti i parametri che definire la forma della traiettoria e la sua posizione Sitio relativo al punto di detonazione. V) (2 punti) Sulla base del percorso proposto

a che distanza l’aereo si trova dal detonatore? Un punto di azione quando l’onda d’urto lo colpisce? It is si stima che la distanza di sicurezza sia di 25 km. Is l’aereo riuscito a sfuggire all’esplosione? As‐ la velocità di movimento media del L’onda di shock è $u = 350 m/s$ . Per questa parte, se necessario, può utilizzare una approssimativa giustificata La Commissione ha adottato una proposta di risoluzione che prevede un’azione di riforma del sistema di gestione delle risorse.

GAs (6 points) — Jaan Kalda. A box of volume $V$ contains $ν$ moles of a monoatomic gas of molar mass $μ$ at a neg‐ ligibly low temperature. The box stops in‐ stantaneously after having moved with a con‐ stant speed $v$ (much greater than the thermal speed). i) (2 points) Find the temperature inside the box after thermalization. ii) (2 points) Find pressure to the front wall (the wall that was at the front while the box was moving) immediately after stopping. iii) (2 points) Now, a spherical ball of gas (he‐ lium, $μ = 4 g/mol$ ) of radius $r = 1 cm$ , at temperature $T = 300 K$ is surrounded by va‐ cuum. The mean free path of the molecules is much larger than $r$ . At a certain moment, the walls of the ball break and after $τ = 5 ms$ , a part of the gas is trapped by erecting in‐ stantaneously walls forming a cubical vessel of volume $V = 1 m^{3}$ . Find the temperature of the gas inside the cube $T^{'}$ after thermaliz‐ ation; neglect the thermal capacitance of the walls of the cubical vessel. $R = 8.31 J/kg K$ .

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law, Kinetic Theory of Gases, First Law of Thermodynamics, Statistical Averaging Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Container Fonte: Testo (PDF) — p.1

GAs (6 punti) Jaan Kalda. Una scatola di volume $V$ contiene $ν$ molli di un gas monoatomo di massa molare $μ$ a un livello di temperatura molto bassa. La scatola si ferma in-

il trasferimento di un’impresa con un’impresa velocità di stant $v$ (molto superiore alla temperatura termico velocità). i) (2 punti) Trova la temperatura all’interno del scatola dopo la termizzazione. ii) (2 punti) Trova la pressione sulla parete anteriore (il muro che era davanti mentre la scatola (se si sta muovendo) immediatamente dopo l’arresto. (iii) (2 punti) Ora, una sfera di gas (he di lium, $μ = 4 g/mol$ ) di raggio $r = 1 cm$ , a la temperatura $T = 300 K$ è circondata da va-
Non è vero. Il percorso libero medio delle molecole è molto più grande di $r$ . In un certo momento, le pareti della spaccatura e dopo $τ = 5 ms$ , una parte del gas viene intrappolata mediante l’elevazione di un pareti stantaneamente formate da un recipiente cubico di volume $V = 1 m^{3}$ . Trova la temperatura di gas all’interno del cubo $T^{'}$ dopo la termosi- azione; trascurare la capacità termica della pareti del recipiente cubico. $R = 8.31 J/kg K$ .

ROCĸET (5 points) — Jaan Kalda. A photon rocket is accelerated by a laser beam sent from the ground: the rocket’s mir‐ ror reflects the photons in the exact opposite direction. The rocket’s rest mass $M_{0}$ did not change during the ride. The total energy of the photons emitted by the laser (and later reflected by the rocket) is $α M_{0} c^{2}$ . The laser power is constant over time. i) (1 point) What speed $v$ does the rocket reach if $α = 1 \times 1 0^{- 6}$ ? ii) (2 points) What speed $v$ does the rocket reach if $α = 1$ ? iii) (2 points) How many times does the rocket’s acceleration, as perceived by passen‐ gers (i.e. the inertial force acting on them) differ at the beginning and at the end of the acceleration if $α = 1$ ? Express the answer in terms of the rocket’s final speed $v$ .

Topic: Special Relativity, Modern-Quantum Physics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Photon Energy Relation, Conservation Laws, Mass-Energy Equivalence Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Photon, Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.1

ROCET (5 punti) Jaan Kalda. Un razzo fotonico è accelerato da un laser Il raggio di raggi inviato dal suolo: il missile è mir- ROR riflette i fotoni esattamente l’opposto direzione. La massa di riposo del razzo $M_{0}$ non è stata cambiamento durante il viaggio. L’energia totale di i fotoni emessi dal laser (e successivamente riflesso dal razzo) è $α M_{0} c^{2}$ . Il laser La potenza è costante nel tempo. i) (1 punto) Che velocità $v$ raggiunge il razzo if $α = 1 \times 1 0^{- 6}$ ? ii) (2 punti) Che velocità $v$ fa il razzo raggiungere se $α = 1$ ? (iii) (2 punti) Quante volte la Accelerazione del razzo, come percepita da passe- Gers (cioè la forza inerziale che agisce su di loro) La differenza è stata accelerazione se $α = 1$ ? Esprimi la risposta in termini della velocità finale del razzo $v$ .

AC FıLTER (5 points) — Jaan Kalda. An alternating voltage with amplitude $V_{0}$ and circular frequency $ω_{0}$ is applied to the circuit shown below. i) (2 points) For which circular frequency $ω_{0}$ would the output voltage be infinite? ii) (3 points) Now let the circular frequency $ω$ be twice the value found in the previous task, $ω = 2 ω_{0}$ . The capacitance $C_{1}$ is chosen such that the phase difference $ϕ$ between the in‐ put and output voltages is maximum (para‐ meters $C_{0}$ , $L$ and $R$ are not changed). Find the phase shift $ϕ$ and the output voltage amp‐ litude $V_{out}$ . $V_{0}$ output $L$ ~ $C_{0}$ $C_{1}$ $R$

Topic: Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Inductor, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.1

AC FILTER (5 punti) Jaan Kalda. Voltaggio alternato con amplitudine $V_{0}$ e la frequenza circolare $ω_{0}$ viene applicata al circuito mostrato di seguito. i) (2 punti) per i quali la frequenza circolare $ω_{0}$ la tensione di uscita sarebbe infinita? ii) (3 punti) Ora lasciate che la frequenza circolare $ω$ essere il doppio del valore riscontrato nel compito precedente, $ω = 2 ω_{0}$ . La capacità $C_{1}$ è scelta in modo tale che la differenza di fase $ϕ$ tra i tensioni di input e di output sono massime (para- i contatori $C_{0}$ , $L$ e $R$ non sono modificati). Trova il cambio di fase $ϕ$ e la tensione di uscita amp- Lito $V_{out}$ . $V_{0}$ uscita $L$ ~ $C_{0}$ $C_{1}$ $R$

FERROMAGNETıC sTRıPE (12 points) — Jaan Kalda, Eero Uustalu. Tools A caliper, a ruler, graph papers, a resistive magnetic field sensor connected to batteries in a battery holder, a multi‐ meter with two wires, a magnet a stripe made from soft ferromagnetic material of thick‐ ness $0.25 mm$ — do not bend excessively to avoid damaging. i) (0.5 points) Connect the banana ends of the wires to the COM port and to the V $Ω$ mA‐port of the multimeter. Switch on the multimeter in 20 volt (DC) range, and touch the two metallic leads of the battery holder (which are next to the points were the red and black wires come out from the holder) with the cro‐ codile ends of the wires. Record the voltage $E$ on the output leads of the battery holder. If the voltage is below $3.0 V$ , you may ask for replacement batteries. For all your magnetic field measure‐ ments, keep in mind that if the battery voltage were to be exactly 3 V, each millivolt in the read ing would correspond to 10 microteslas of the magnetic field strength. However, the reading in millivolts is proportional to both the magnetic field and to the battery voltage. Connect the crocodiles to the yellow and red wires of the magnetic sensor. Keep in mind that (a) the sensor may have a non‐zero offset: even if there is no magnetic field, the multimeter reading $V_{0}$ might be non‐zero; (b) there is always the magnetic field of Earth. In what follows, avoid measuring magnetic fields which correspond to voltage readings bigger than $500 mV$ — such strong fields may cause changes in the offset value $V_{0}$ . If you accidentally expose sensor to such fields, de‐ termine and use the new value of $V_{0}$ . The magnetic sensor has a small white dot marked on one of its edges. This points to the direction of that magnetic field com‐ ponent which is being measured. ii) (1.5 points) Determine the offset voltage $V_{0}$ and the magnitude of the Earth’s magnetic field $B_{E} \equiv ∣ B_{E} ∣$ , and the angle between the vertical direction and the direction of $B_{E}$ . Now, attach the magnet to the ferromag‐ netic stripe so that its circular face is touch‐ ing the stripe’s surface near one of its ends. Let us use a perpendicular system of coordin‐ ates where $x$ ‐ $y$ ‐plane is the plane of the stripe, with the longest symmetry axis of the stripe serving as the $x$ ‐axis, and $x = 0$ being at the position of the centre of the magnet. The total magnetic field is the superpos‐ ition of the field of the permanent magnet $B_{m}$ , the field of the magnetised ferromag‐ netic stripe $B$ , and the Earth’s magnetic field $B_{E}$ . Below we are interested only in $B$ . As‐ sume that $B_{m}$ depends only on the distance from the magnet and remains unchanged when the magnet is detached from the stripe. iii) (2.5 points) Measure the vertical field $B_{z} = B_{z} (L /2, y)$ caused by the stripe with the mag‐ net, as a function of $y$ , for $- w /2 \leq y \leq w /2$ , at $x = L /2$ , where $w$ denotes the width and $L$ — the length of the stripe. Find the ratio $κ = ⟨ B_{z} ⟩$ to $B_{z} (L /2, 0)$ , where the average magnetic field $⟨ B_{z} ⟩ \equiv \int_{- w /2}^{w /2} B_{z} (L /2, y) d y .$ Assume that $κ$ remains constant along the stripe. iv) (3.5 points) Measure $B_{z} (x, 0)$ near the sur‐ face of the stripe, as a function of $x$ , and plot the measurement results. v) (2.5 points) Let $J_{s}$ denote the saturation magnetisation of the stripe material; estim‐ ate the value of $J_{s} μ_{0}$ (this is, roughly speak‐ ing, the strongest magnetic $B$ ‐field which the ferromagnet is able to carry). vi) (1.5 points) Prove experimentally that by small values of $x$ , the magnetisation inside the stripe has reached saturation. NORDıC‐BALTıC PHYsıCs OLYMPıAD 2022

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Experimental Data Analysis, Superposition Principle, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Graph Linearization Objects: Magnet Fonte: Testo (PDF) — p.1

FERROMAGNETıC sTRıPE (12 punti) — Jaan Kalda, Eero Uustalu. Strumenti Un calibro, una regola, carta grafica, un sensore di campo magnetico resistivo collegato per le batterie in un contenitore di batterie, un metricottero con due fili, un magnete e una striscia fatta di materiale ferromagnetico morbido di spessore di ness $0.25 mm$ — do not bend excessively to evitare danni. i) (0,5 punti) Connettere le estremità della banana della fili al porto COM e al porto V $Ω$ mA di un multimetro. Accendi il multimetro in gamma di 20 volt (DC), e toccare i due connessioni metalliche del contenitore della batteria (che sono vicino ai punti erano il rosso e nero Il filo di ferro è stato le estremità dei fili. Registra la tensione $E$ sulle condotte di uscita del contenitore della batteria. Se la tensione è inferiore a $3.0 V$ , è possibile richiedere batterie di sostituzione. Per tutte le misure del campo magnetico se la batteria è a tensione di La misurazione di un’energia di 3 V è stata determinata in base alle In questo caso, il forza del campo magnetico. Tuttavia, la lettura in millivolti è proporzionale a entrambi i magnetici campo e alla tensione della batteria. Connettere i coccodrilli con il giallo e fili rossi del sensore magnetico. - Non ti fermi. Attenzione che (a) il sensore può avere un valore non zero

la presenza di un campo magnetico, la lettura del multimetro $V_{0}$ potrebbe essere non zero; c’è sempre il campo magnetico della Terra. In quanto segue, evitare di misurare la magneticità campi che corrispondono alle letture di tensione più grande di $500 mV$ tali campi forti possono causare modifiche del valore di compensazione $V_{0}$ . Se tu
esposizione accidentale del sensore a tali campi, termine e utilizzare il nuovo valore di $V_{0}$ . Il sensore magnetico ha un piccolo bianco punto segnato su uno dei suoi bordi. Questo punto La direzione del campo magnetico Ponte che viene misurata. ii) (1,5 punti) Determina la tensione di compensazione $V_{0}$ e la magnitudine della Terra campo $B_{E} \equiv ∣ B_{E} ∣$ , e l’angolo tra il direzione verticale e direzione di $B_{E}$ . Ora, attaccate il magnete al ferromag- stringa di cui la faccia circolare è toccante La superficie della striscia è vicino ad una delle sue estremità. Utilizziamo un sistema perpendicolare di coordinate
quando il piano $x$ ‐ $y$ ‐ è il piano del di una linea di linea, con l’asse di simmetria più lungo della la striscia che serve come asse $x$ - e $x = 0$ che è nella posizione del centro del magnete. Il campo magnetico totale è il superpos Ition del campo del magnete permanente $B_{m}$ , campo del ferromag magnetizzato la striscia $B$ e il campo magnetico terrestre $B_{E}$ . Qui di seguito ci interessa solo $B$ . As‐ somma che $B_{m}$ dipende solo dalla distanza dal magnete e rimane invariato quando il magnete è distaccato dalla striscia. iii) (2,5 punti) Misurare il campo verticale $B_{z} = B_{z} (L /2, y)$ causata dalla striscia con la mag- per $- w /2 \leq y \leq w /2$ , in funzione di $y$ , in $x = L /2$ , dove $w$ indica la larghezza e $L$ lunghezza della striscia. Trova il rapporto $κ = ⟨ B_{z} ⟩$ a $B_{z} (L /2, 0)$ , dove la media è campo magnetico $⟨ B_{z} ⟩ \equiv \int_{- w /2}^{w /2} B_{z} (L /2, y) d y .$ Supponiamo che $κ$ rimanga costante lungo il
La striscia. iv) (3.5 points) Measure $B_{z} (x, 0)$ near the sur‐ la faccia della striscia, in funzione di $x$ , e il plot i risultati delle misure. v) (2,5 punti) $J_{s}$ indichi la saturazione Magnetizzazione del materiale della striscia; Il valore di $J_{s} μ_{0}$ (cioè, in grosso modo, ing, the strongest magnetic $B$ ‐field which the il ferromagnete è in grado di trasportare). • (a) (1,5 punti) Prova sperimentalmente che i valori di $x$ , la magnetizzazione all’interno la striscia ha raggiunto la saturazione. NORDıC-BALTıC PHYsıCs OLYMPıAD 2022

LıFE HACĸs (6 points) — Jurij Bajc and Jaan Kalda. A normal healthy eye is able to see an ob‐ ject clearly if the object is located at a dis‐ tance between $25.0 cm$ to infinity from the eye. A nearsighted eye sees equally well with the aid of a contact lens with an optical power of $- 6.00$ dioptres. i) (1 point) What is the clear‐vision range for the nearsighted eye without the contact lens? ii) (2 points) If a person uses glasses instead of contact lenses and the lens in the glasses is $2.00 cm$ from the eye, what is the ad‐ equate optical power of the lens to aid the nearsighted eye to see normally? iii) (3 points) A front‐wheel‐drive car can hold steady on a sloping asphalt road with the brakes blocking all the four wheels when the road slope is no more than 45 degrees, and it can drive uphill when the road slope is no more than 22 degrees. What is the maximum slope of the road along which the car can re‐ verse uphill? Assume that the centre of grav‐ ity of the car is equidistant from both the front and rear wheels.

Topic: Geometric Optics, Newtonian Mechanics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Lens Fonte: Testo (PDF) — p.2

LıFE HACs (6 punti) Jurij Bajc e Jaan Calda, non è così. Un occhio sano è in grado di vedere un’ob-

il sistema di controllo del sistema di controllo il tempo di danza tra $25.0 cm$ e infinito dal
Occhio. Un occhio miope vede altrettanto bene con l’aiuto di un obiettivo a contatto con un’ottica potenza di $- 6.00$ dioptri. i) (1 punto) Qual è il campo di visione chiaro per l’occhio miope senza lenti a contatto? ii) (2 punti) Se invece una persona usa occhiali di lenti a contatto e di lenti negli occhiali è $2.00 cm$ dall’occhio, qual è l’ad- la potenza ottica della lente per aiutare la con un occhio miope per vedere normalmente? iii) (3 punti) Una macchina a trazione anteriore può contenere stabilmente su una strada asfaltata inclinata con il frenate che bloccano tutte le quattro ruote quando il la pendenza della strada non è superiore a 45 gradi e può guidare verso l’alto quando la pendenza della strada non è più di 22 gradi. Qual è il massimo pendice della strada lungo la quale l’auto può ri- verso l’alto? Supponiamo che il centro di gravità La distanza tra le due parti è pari. ruote anteriori e posteriori.

ELECTRONs ıN MAGNETıC FıELD (9 points) — Kaarel Hänni, Jaan Kalda. In what follows we consider two electrons (of mass $m$ and charge $- e$ ) moving in homo‐ geneous magnetic field of flux density $B$ in such a way that the distance between the two electrons remains always constant; different subtasks explore different possibilities. i) (2 points) The distance between the elec‐ trons is so large that their electrostatic repul‐ sion can be neglected. At a certain moment, the angle between the velocity vectors of the electrons is $α \neq = 0$ , and one of them moves in the direction of the other with speed $v$ . Sketch the trajectories of the both electrons. What is the speed of the other electron? ii) (1 point) The electrostatic repulsion is still to be neglected. Now, the trajectories of the two electrons intersect, and at a certain mo‐ ment, the velocity of one of them is $v$ . What can be said about the velocity of the other electron at the same moment? Sketch the both trajectories. iii) (2 points) What is the distance $l$ between the electrons if both of them perform a peri‐ odic motion of period $\frac{6 π m}{B e}$ while moving with a constant speed? iv) (2 points) The figure below depicts the tra‐ jectory of one of the electrons for a certain set of initial conditions. Where is the other elec‐ tron at the moment when the first electron is at the position of the small circle? What is the period of this motion? v) (2 points) The figure below depicts the tra‐ jectory of one of the electrons for a certain set of initial conditions. What is the speed of the other electron at the moment when the first electron is at the position of the small circle?

Topic: Magnetism, Electrostatics Metodi: Lorentz Force Analysis, Coulomb’s Law, Conservation of Momentum Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.2

ELECTRONs ıN MAGNETıC FıD (9 punti) Kaarel Hänni, Jaan Kalda. In questo punto di vista consideriamo due elettroni: (di massa $m$ e carica $- e$ ) in movimento in campo magnetico genico di densità di flusso $B$ in in modo tale che la distanza tra i due gli elettroni rimangono sempre costanti; diversi Le sottotribuzioni esplorano diverse possibilità. i) (2 punti) La distanza tra il La presenza di troni è così grande che il loro respiro elettrostatico Sione può essere trascurata. In un certo momento, l’angolo tra i vettori di velocità del gli elettroni sono $α \neq = 0$ , e uno di essi si muove in direzione dell’altro con velocità $v$ . Segna le traiettorie di entrambi gli elettroni. Qual è la velocità dell’altro elettrone? (ii) (1 punto) La repulsione elettrostatica è ancora

che non si può fare. Ora, le traiettorie del due elettroni si intersecano e a un certo mo La velocità di uno di essi è $v$ . Che cosa ? si può dire della velocità dell’altro l’elettrone nello stesso momento? Sketta il entrambe le traiettorie. iii) (2 punti) Qual è la distanza $l$ tra gli elettroni se entrambi eseguono un peri- Movimento di periodo $\frac{6 π m}{B e}$ mentre si muove con una velocità costante? Il quadro seguente riporta i risultati della ricerca. ictoria di uno degli elettroni per un determinato insieme delle condizioni iniziali. Dove si trova l’altro Tron nel momento in cui il primo elettrone è nella posizione del piccolo cerchio? Che cos’è ? Il periodo di applicazione della mozione? V) (2 punti) La figura seguente raffigura il traffico di ictoria di uno degli elettroni per un determinato insieme delle condizioni iniziali. Qual è la velocità della altri elettroni nel momento in cui il primo L’elettrone è nella posizione del piccolo cerchio?

BRıGHTNEss OF PLANETs (9 points) — Topi Löytäinen, Jaan Kalda. In this problem, the time periods are measured in years (y), and the distances are measured in astronomical units (au); the dis‐ tance of Earth from Sun is $R_{\oplus} = 1$ au. The planets and Moon are assumed to move in the same plane, the ecliptic, around circu‐ lar orbits in the same direction. Distance of Venus from Sun is $R_{♀} = 0.72$ au, and distance of Mars from Sun is $R_{♂} = 1.5$ au. In some parts below, you will need to assume that the planets are so‐called Lambertian scat‐ terers, i.e. when you can see the full disc of a planet illuminated by sunlight, middle parts of the disc seem exactly as bright as the parts at the edge of the disc. Through‐ out the problem, assume that the observer is situated in Tallinn, at the geographical co‐ ordinates $59. 5^{\circ}$ N and $24. 7^{\circ}$ E. The axis of Earth is tilted by $23. 5^{\circ}$ with respect to the normal of the ecliptic plane. i) (0.7 points) When can you see a waxing crescent moon? Select one or more options (A, B and/or C), and motivate your answer with a diagram depicting Sun, Moon and Earth. Select from the options A: immediately after sunset; B: during midnight; C: immediately before sunrise. ii) (1.2 points) What is the culmination angle (i.e. the maximal angle above the horizon) of a full moon during winter solstice in Tallinn? iii) (1.2 points) The apparent brightness (illu‐ minance at Earth, i.e. luminous flux dens‐ ity) of planets may vary over a wide range of values. By how many times does the appar‐ ent brightness of Mars vary between when it’s closest and farthest away from Earth? iv) (1.2 points) What is the time period on Earth between the moments when Mars is the closest to Earth and farthest? v) (1.2 points) From autumn to spring, Venus can never be seen at midnight. For how long maximally it can be seen after the sunset? vi) (2.5 points) Express the normalised ap‐ parent brightness $I / I_{0}$ as a function of $R_{\oplus}$ , $R_{♀}$ , and the distance $L$ from Earth to Venus. Here, the normalisation constant $I_{0}$ can be chosen arbitrarily. Hint: $I / I_{0}$ should be a polynomial of $L^{- 1}$ . vii) (1 point) Find the distance $L = L_{0}$ when the apparent brightness of Venus is the highest, and the angular distance between Venus and Sun at that moment.

Topic: Astrophysics, Gravitation, Geometric Optics Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.2

BRIGHTNEss OF PLANETES (9 punti) Topi Löytäinen, Jaan Kalda. In questo problema, i periodi di tempo sono misurata in anni (y), e le distanze sono misurata in unità astronomiche (au); la dis- la tensione della Terra dal Sole è $R_{\oplus} = 1$ au. Il I pianeti e la Luna si muovono lo stesso piano, l’eclittica, intorno ai circuiti L’orbita è nella stessa direzione. Distanza di Venere dal Sole è $R_{♀} = 0.72$ au, e la distanza di Marte dal Sole è $R_{♂} = 1.5$ au. In alcuni Se si tratta di un’operazione di cui non si tratta, è necessario che la I pianeti sono i cosiddetti scat lambertiani. Terri, ovvero quando potrai vedere il disco intero di un pianeta illuminato dalla luce solare, parti del disco sembrano esattamente luminose come le parti al bordo del disco. - per il l’osservatore, che Si trova a Tallinn, al confine geografico con la città di ordinati $59. 5^{\circ}$ N e $24. 7^{\circ}$ E. L’asse della Terra è inclinato da $23. 5^{\circ}$ rispetto alla norma di il piano eclittico. i) (0,7 punti) Quando si può vedere una cera Crescente luna? Selezionare una o più opzioni (A, B e/o C), e motiva la tua risposta con un diagramma che raffigura il Sole, la Luna e La Terra. Selezionare tra le opzioni A: immediatamente dopo il tramonto; B: a mezzanotte; C: immediatamente prima dell’alba. (ii) (1,2 punti) Qual è l’angolo di culminazione (i.e. l’angolo massimo sopra l’orizzonte) di una luna piena durante il solstizio d’inverno a Tallinn? iii) (1,2 punti) La luminosità apparente (illu- la minazione sulla Terra, cioè densità di flusso luminoso- La variazione dei livelli di massa dei pianeti può variare in una vasta gamma di

i valori. Quante volte l’apparizione la luminosità ent di Marte varia tra quando E’ la piu’ vicina e lontana dalla Terra? (I) (1.2 punti) Qual è il periodo di tempo per la Terra tra i momenti in cui Marte è la più vicina alla Terra e la più lontana? v) (1,2 punti) Da autunno a primavera, Venere Non si può mai vedere a mezzanotte. Per quanto tempo
Si può vedere al massimo dopo il tramonto? (vi) (2,5 punti) Esprimere l’ap luminosità madre $I / I_{0}$ in funzione di $R_{\oplus}$ , $R_{♀}$ , e la distanza $L$ dalla Terra a Venere. Qui, la costante di normalizzazione $I_{0}$ può essere scelto arbitrariamente. Suggerimento: $I / I_{0}$ deve essere un polinomio di $L^{- 1}$ . vii) (1 punto) Trova la distanza $L = L_{0}$ Quando la luminosità apparente di Venere è il più alto e la distanza angolare tra Venere e Sole in quel momento.

MAGNET ıN GLAss (12 points) — Jaan Kalda, Eero Uustalu. Tools A transparent cylinder with a cyl‐ indrical permanent magnet inside and with foil caps covering its top and bottom; a solid cylinder made from a homogeneous mater‐ ial; a caliper; two boards (for building a slope on which the cylinders can roll down); two bricks (for fixing and adjusting the slope angles); a box for catching rolling cylinders; a ruler — can be also used to release the cylin‐ ders; a permanent marker — only for mark‐ ing on the cylinders, ask an organizer if you need to clean the markings; a pencil — for marking on the boards. NB! the glass cylin‐ der with the magnet is brittle and expens‐ ive, handle it with care and avoid dropping it to the floor. In all the tasks, aim to obtain the best pos‐ sible precision. You will get points both for the steps you take to improve the precision and for the accuracy of your results. i) (1 point) Determine the height of the mag‐ net as accurately as possible and estimate the uncertainty of your result. ii) (3 points) The acceleration with which a cylinder rolls down a slope depends on the slope angle, and on the ratio $κ = I_{0} / M R^{2}$ , where $I_{0}$ is its moment of inertia relative to the axis, $M$ — its mass, and $R$ — its radius. Determine the ratio $κ$ for the glass cylinder with a magnet inside. iii) (2.5 points) Determine the diameter of the magnet. Hint: find a way to determine it without knowing the coefficient of refraction of the glass. iv) (2.5 points) Notice that the transparent part of the cylinder is actually made of two different materials: the coefficient of refrac‐ tion of the central part $n_{c}$ is slightly different from the coefficient of refraction of the outer part of the cylinder $n_{o}$ (the central part has the same diameter as the permanent mag‐ net). Determine the coefficient of refraction $n_{o}$ and estimate the uncertainty of the result. v) (3 points) Determine the coefficient of re‐ fraction $n_{c}$ .

Topic: Rotational Dynamics, Geometric Optics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Ray Tracing, Snell’s Law, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Magnet Fonte: Testo (PDF) — p.2

Magnet® GLAss (12 punti) Jaan Kalda, Eero Uustalu. Strumenti Un cilindro trasparente con un cilindro Magnete permanente indrico all’interno e con cappucci di foglia che coprono la parte superiore e inferiore; un solido cilindro realizzato in materiale omogeneo Ial; un calibro; due tavole (per costruire un pendice sulla quale possono rullare i cilindri; due mattoni (per fissare e regolare la pendenza) angoli); una scatola per la cattura di cilindri a rotoli; Una regola può essere utilizzata anche per rilasciare il cilindro

un marchio permanente solo per marchio In questo caso, il gruppo di lavoro deve essere informato.
la necessità di pulire i segni; una matita per segnalamento sulle tavole. NB! il cilindro di vetro Il magnetismo è fragile e spende
il trattamento con cura e evitare di cadere
Lo metti al pavimento. In tutti i compiti, il fine è quello di ottenere le migliori posizioni Precisione sibile. Otterrai punti per entrambi i passi da intraprendere per migliorare la precisione e per l’accuratezza dei risultati. i) (1 punto) Determinare l’altezza del mag- La Commissione ha adottato una decisione del Consiglio che prevede che il l’incertezza del tuo risultato. (iii) (3 punti) L’accelerazione con cui un il cilindro ruota verso il basso di una pendice dipende dalla angolo di pendenza e sul rapporto $κ = I_{0} / M R^{2}$ , in cui $I_{0}$ è il suo momento di inerzia rispetto a l’asse, $M$ la sua massa e $R$ il suo raggio. Determinare il rapporto $κ$ per il cilindro di vetro con un magnete dentro. iii) (2,5 punti) Determinare il diametro del
Magnete. Suggerimento: trovare un modo per determinarlo senza conoscere il coefficiente di rifrazione del vetro. (v) (2,5 punti) Si noti che la trasparenza parte del cilindro è in realtà fatta di due diversi materiali: il coefficiente di refrac- La funzione della parte centrale $n_{c}$ è leggermente diversa dal coefficiente di rifrazione dell’esterno parte del cilindro $n_{o}$ (la parte centrale ha lo stesso diametro della mag- (Ricerca) Determinare il coefficiente di rifrazione $n_{o}$ e stimare l’incertezza del risultato. V) (3 punti) Determinare il coefficiente di re- frazione $n_{c}$ .

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