USAPhO 2022

Problem A1 — Moment of Clarity

When you hold a pencil horizontally by its tip, you must exert two types of forces: a net upward force to support the pencil’s weight, and a pair of opposite forces that twist the pencil to keep it level. This second type of force is called the bending moment.

More precisely, consider a horizontal rod. Imagine making a cut somewhere in the middle of the rod, and think of the bending moment at that point as the torque that the left half of the rod exerts on the right half (or equivalently, the torque the right half exerts on the left half), measured about the cut point.

(a) Consider a rod of length $ℓ$ and uniform mass per unit length $λ$ , held horizontal. What is the magnitude of the bending moment $M$ you must exert at the end of the rod to hold it horizontally (i.e., the bending moment at the supported end)?

(b) Now suppose the same rod is supported at both ends, forming a bridge. The supports are simple (they only exert upward forces, no bending moment). The rod has uniform mass per unit length $λ$ , length $ℓ$ , and can sustain a maximum bending moment of magnitude $M_{0}$ at any point before breaking. Find the maximum value of $λ$ for which the bridge does not collapse.

(c) Now suppose one support is at the left end ( $x = 0$ ) and the other is located a distance $d$ from the right end (i.e., at position $x = ℓ - d$ ), so the right end overhangs by a distance $d$ . The rod again has uniform mass per unit length $λ$ and maximum tolerable bending moment $M_{0}$ . Find the value of $d$ (in terms of $ℓ$ ) that maximizes the load $λ$ the bridge can carry without collapsing, and find the corresponding maximum $λ$ .

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod, Beam Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema A1 Momento di chiarezza

Quando si tiene una matita orizzontale dalla punta, si devono esercitare due tipi di forze: una forza al rialzo per sostenere il peso della matita e una coppia di forze opposte che torsionano la matita per mantenerla in piattaforma. Questo secondo tipo di forza è chiamato il momento di flessione ****.

Prendiamo più precisamente una canna orizzontale. Immaginate di fare un taglio da qualche parte nel mezzo della canna, e pensate al momento di piegatura a quel punto come la coppia che la metà sinistra della canna esercita sulla metà destra (o equivalentemente, la coppia che la metà destra esercita sulla metà sinistra), misurata intorno al punto di taglio.

**(a) ** Si consideri una canna di lunghezza $ℓ$ e massa uniforme per unità di lunghezza $λ$ , tenuta orizzontale. Qual è la grandezza del momento di piega $M$ che si deve esercitare alla fine della canna per tenerla orizzontale (cioè il momento di piega alla fine sostenuta)?

**(b) ** Ora supponiamo che la stessa canna sia sostenuta alle entrambe le estremità, formando un ponte. I supporti sono semplici (eserciziano solo forze verso l’alto, nessun momento di piegatura). La canna ha una massa uniforme per unità di lunghezza $λ$ , lunghezza $ℓ$ e può sostenere un momento di piegatura massimo di magnitudo $M_{0}$ in qualsiasi punto prima di rompersi. Trova il valore massimo di $λ$ per il quale il ponte non crolla.

**(c) ** Supponiamo che un supporto sia all’estremità sinistra ( $x = 0$ ) e l’altro sia situato a una distanza $d$ dall’estremità destra (cioè, in posizione $x = ℓ - d$ ), quindi l’estremità destra si sovrasta di una distanza $d$ . La canna ha ancora una volta una massa uniforme per lunghezza unità $λ$ e un momento di piegatura massimo tollerato $M_{0}$ . Trova il valore di $d$ (in termini di $ℓ$ ) che massimizza il carico $λ$ che il ponte può trasportare senza crollare, e trova il corrispondente massimo $λ$ .

Problem A2 — Droplet Fission

A droplet of liquid metal has constant mass density $ρ$ and constant surface tension $σ$ (energy per unit area), which causes it to form into a sphere of radius $R$ . A thin wire is inserted into the droplet and connected to an electric current source, which slowly charges the droplet.

There is a critical value of the charge, $Q_{0}$ , that causes the droplet to split in half. Each half takes half the total charge ( $Q_{0} /2$ ) and half the mass of the original droplet. The “ejected half” is repelled far away from the other half, which remains in contact with the wire.

(a) For simplicity, assume the droplet splits as soon as the final state (after the droplet has split in half and the two halves are well separated) has a lower total energy than the initial single droplet. Find the critical charge $Q_{0}$ . Express your answer in terms of $σ$ , $R$ , and $ε_{0}$ .

Hint: when the droplet splits, each new half has radius $R_{1} = R / 2^{1/3}$ (since total volume is conserved).

(b) As more charge is added to the droplet by the current source, the remaining droplet continues to split in half repeatedly. What is the charge $q_{n}$ on the $n$ -th ejected droplet (in terms of $Q_{0}$ and $n$ )?

(c) In the limit where all of the initial mass of the droplet has been ejected (infinitely many splittings), what is the total work $W$ done by the current source? Give your answer in the form $W = B σ^{α} R^{β} ε_{0}^{γ}$ , specify the exponents, and give the numerical value of $B$ to three significant figures.

Topic: Electrostatics, Fluid Mechanics Metodi: Energy Conservation Method, Conservation Laws, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Droplet, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema A2 Fusione della goccia

Una goccia di metallo liquido ha una densità di massa costante $ρ$ e una tensione superficiale costante $σ$ (energia per unità di superficie), che la fa formare in una sfera di raggio $R$ . Un filo sottile viene inserito nella goccia e collegato a una fonte di corrente elettrica, che ricarica lentamente la goccia.

C’è un valore critico della carica, $Q_{0}$ , che fa scendere la goccia in due. Ogni metà assume la metà della carica totale ( $Q_{0} /2$ ) e la metà della massa della goccia originale. La “metà espulsa” viene respinta lontano dall’altra metà, che rimane in contatto con il filo.

**(a) ** Per semplicità, supponiamo che la goccia si dividi appena lo stato finale (dopo che la goccia si sia divisa a metà e le due metà siano ben separate) ha un’energia totale inferiore rispetto alla goccia singola iniziale. Trova la carica critica $Q_{0}$ . Esprimere la risposta in termini di $σ$ , $R$ e $ε_{0}$ .

Suggetta: quando la goccia si sparti, ogni nuova metà ha un raggio $R_{1} = R / 2^{1/3}$ (dal momento che il volume totale è conservato).

**(b) ** Man mano che la fonte corrente aggiunge più carica alla goccia, la goccia rimanente continua a dividersi in metà ripetutamente. Qual è la carica $q_{n}$ sulla goccia $n$ -th espulsa (in termini di $Q_{0}$ e $n$ )?

**(c) ** Nel limite in cui è stata espulsa tutta la massa iniziale della goccia (infinitamente molte divisioni), qual è il lavoro totale $W$ svolto dalla fonte corrente? Rispondi nella forma $W = B σ^{α} R^{β} ε_{0}^{γ}$ , specifica gli esponenti e diita il valore numérico di $B$ a tre cifre significative.

Problem A3 — Rainbow Road

A caustic is a bright curve of light that appears when many incoming light rays converge to nearly the same outgoing direction. The most famous example is the rainbow, which occurs when sunlight interacts with spherical water droplets.

Consider a spherical liquid droplet of radius $r$ with index of refraction $n$ ( $1 < n < 2$ ), suspended in air. A light ray enters the droplet with impact parameter $b$ (perpendicular distance from the centre of the droplet to the incoming ray). The ray refracts upon entry, reflects once off the inside surface, then refracts again upon exit. All answers should be expressed in terms of the dimensionless impact parameter $x = b / r \in [0, 1]$ .

(a) Find the angle $θ_{r}$ by which the ray is deflected at the first refraction (i.e., the change in direction upon entering the droplet), in terms of $x$ and $n$ .

(b) Find the total deflection angle $Φ (x, n)$ of the light ray (measured from its original direction of travel) after undergoing one internal reflection and two refractions.

(c) The rainbow angle $ϕ_{0}$ corresponds to the minimum total deflection angle (i.e., the value of $Φ$ at the stationary point $d Φ/ d x = 0$ ). Find $ϕ_{0}$ in terms of $n$ .

(d) For water, the index of refraction for red light is $n_{red} = 1.331$ and for violet light is $n_{violet} = 1.343$ . Calculate the angular width of the rainbow (difference in rainbow angles for red and violet light) in degrees.

Topic: Geometric Optics, Wave Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema A3 Rainbow Road

Una caustica è una curva luminosa di luce che appare quando molti raggi luminosi in entrata convergono quasi nella stessa direzione uscente. L’esempio più famoso è l’arcobaleno, che si verifica quando la luce solare interagisce con goccioline di acqua sferiche.

Si consideri una goccia di liquido sferica di raggio $r$ con indice di rifrazione $n$ ( $1 < n < 2$ ), sospesa in aria. Un raggio luminoso entra nella goccia con parametro di impatto $b$ (distanza perpendicolare dal centro della goccia al raggio in entrata). Il raggio si rifracca all’ingresso, si riflette una volta dalla superficie interna, poi si rifracca all’uscita. Tutte le risposte devono essere espresse in termini di parametro di impatto senza dimensioni $x = b / r \in [0, 1]$ .

**(a) ** Trova l’angolo $θ_{r}$ con cui il raggio si devia alla prima rifrazione (cioè il cambiamento di direzione all’entrata nella goccia), in termini di $x$ e $n$ .

**(b) ** Trova l’angolo di deviazione totale $Φ (x, n)$ del raggio di luce (misurato dalla sua direzione di spostamento iniziale) dopo aver subito una riflessione interna e due rifrazioni.

**(c) ** L’angolo dell’arcobaleno $ϕ_{0}$ corrisponde all’angolo minimo di deviazione totale (cioè il valore di $Φ$ al punto di stazione $d Φ/ d x = 0$ ). Trova $ϕ_{0}$ in termini di $n$ .

**(d) ** Per l’acqua, l’indice di rifrazione per la luce rossa è $n_{red} = 1.331$ e per la luce viola è $n_{violet} = 1.343$ . Calcolare la larghezza angolare dell’arcobaleno (differenza negli angoli dell’arcobaleno per la luce rossa e viola) in gradi.

Problem B1 — Virial Reality

The ideal gas law states that $P V_{m} = R T$ , where $V_{m} = V / n$ is the molar volume of the gas. Real gases exhibit deviations from ideal behaviour, described by the virial expansion:

$P V_{m} = R T [1 + \frac{B ( T )}{V _{m}} + \frac{C ( T )}{V _{m}^{2}} + \dots]$

where $B (T)$ , $C (T)$ , … are the second, third, … virial coefficients. In this problem, keep only the $B (T) / V_{m}$ correction and neglect all higher-order terms.

The table below gives measured values of the second virial coefficient $B$ for nitrogen gas (N $_{2}$ ) at atmospheric pressure $P = 1.01 \times 1 0^{5} Pa$ :

$T$ (K)	$B$ (cm $^{3}$ /mol)
100	$- 160$
200	$- 35$
300	$- 4.2$
400	$+ 9.0$
500	$+ 16.9$
600	$+ 21.3$

(a) Using the ideal gas law, calculate the molar volume $V_{m}$ at $T = 100 K$ , $T = 300 K$ , and $T = 600 K$ . Give your answers in SI units.

(b) The van der Waals equation of state implies that $B (T) \approx b - a / (R T)$ , where $a$ and $b$ are the van der Waals constants. Describe how to linearise the data to obtain $a$ and $b$ from a graph, and sketch the expected form of the graph.

(c) Using the data in the table, determine the van der Waals constants $a$ and $b$ for nitrogen by applying the linearisation from part (b). (A precise graphical analysis or linear regression is expected.)

(d) Using the van der Waals constants found in part (c), estimate the temperature range within which the volume correction due to $B (T) / V_{m}$ is at most 10% at atmospheric pressure.

(e) Comment briefly on whether the van der Waals approximation is consistent with the data over the entire temperature range given.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema B1 Realtà virale

La legge del gas ideale afferma che $P V_{m} = R T$ , dove $V_{m} = V / n$ è il volume molare del gas. I gas reali presentano deviazioni dal comportamento ideale, descritte dalla espansione viriale ****:

$P V_{m} = R T [1 + \frac{B ( T )}{V _{m}} + \frac{C ( T )}{V _{m}^{2}} + \dots]$

dove $B (T)$ , $C (T)$ , … sono i coefficienti virili secondo, terzo, …. In questo problema, mantenere solo la correzione $B (T) / V_{m}$ e trascurare tutti i termini di ordine superiore.

La tabella seguente fornisce i valori misurati del secondo coefficiente viriale $B$ per il gas azoto (N $_{2}$ ) a pressione atmosferica $P = 1.01 \times 1 0^{5} Pa$ :

$T$ (K)	$B$ (cm $^{3}$ /mol)
100	$- 160$
200	$- 35$
300	$- 4.2$
400	$+ 9.0$
500	$+ 16.9$
600	$+ 21.3$

**(a) ** Con la legge dei gas ideali calcolare il volume molare $V_{m}$ a $T = 100 K$ , $T = 300 K$ e $T = 600 K$ . Date le vostre risposte in unità SI.

**(b) ** L’equazione di stato di van der Waals implica che $B (T) \approx b - a / (R T)$ , dove $a$ e $b$ sono le costanti di van der Waals. Descrivere come linearizzare i dati per ottenere $a$ e $b$ da un grafico e disegnare la forma prevista del grafico.

**(c) ** Con i dati riportati nella tabella, determinare le costanti di van der Waals $a$ e $b$ per l’azoto applicando la linearizzazione della parte (b). (Si prevede un’analisi grafica precisa o una regressione lineare.)

**(d) ** Usando le costanti di van der Waals di cui alla parte (c), si stima la gamma di temperature entro la quale la correzione del volume dovuta a $B (T) / V_{m}$ è massima del 10% alla pressione atmosferica.

**(e) ** Commento brevemente sul fatto che l’approssimazione di van der Waals sia coerente con i dati relativi a tutta la gamma di temperature data.

Problem B2 — Broken Vase

A uniformly charged ring of radius $d$ with total charge $Q$ is fixed in place. A point charge $- q$ of mass $m$ is placed at the centre of the ring. Both $Q$ and $q$ are positive.

(a) If the point charge is given a small velocity along the ring’s axis of symmetry, it will undergo simple harmonic oscillation about the centre. Find the period $T$ of these oscillations in terms of $Q$ , $q$ , $m$ , $d$ , and $ε_{0}$ .

(b) Now consider the system from a reference frame moving with a small velocity $v$ along the axis of symmetry of the ring (i.e., the ring and charge move together with velocity $v$ in the lab frame, with the charge additionally oscillating about the ring’s centre). In this frame, the charges $Q$ and $q$ appear as currents. By computing the effective currents and using the resulting magnetic force, find the restoring force on the oscillating charge in this moving frame. Express your answer in terms of $q^{'}$ , $Q^{'}$ , $v$ , $d$ , $Δ x$ (small displacement from centre along the axis), and fundamental constants, where $q^{'}$ and $Q^{'}$ are the charges as measured in the moving frame.

(c) Using the result of parts (a) and (b), show that the period of oscillation measured in the moving frame is consistent with the time-dilation formula from special relativity: $T^{'} = γ T$ , where $γ = (1 - v^{2} / c^{2})^{- 1/2}$ . This is a demonstration that electrostatics plus special relativity implies time dilation.

Topic: Electrostatics, Special Relativity Metodi: Lorentz Transformation, Simple Harmonic Motion Analysis, Lorentz Force Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema B2 Vaso rotto

È fissato un anello di radio $d$ con carica totale $Q$ con carica uniforme. Un punto di carica $- q$ di massa $m$ è posto al centro dell’anello. Sia $Q$ che $q$ sono positivi.

Se la carica puntologica è data una piccola velocità lungo l’asse di simmetria dell’anello, subirà una semplice oscillazione armonica intorno al centro. Trova il periodo $T$ di queste oscillazioni in termini di $Q$ , $q$ , $m$ , $d$ e $ε_{0}$ .

**(b) ** Ora consideriamo il sistema da un quadro di riferimento che si muove con una piccola velocità $v$ lungo l’asse di simmetria dell’anello (cioè, l’anello e la carica si muovono insieme con velocità $v$ nel quadro di laboratorio, con la carica oscillante ulteriormente intorno al centro dell’anello). In questo quadro, le cariche $Q$ e $q$ appaiono come correnti. Calcolando le correnti efficaci e usando la forza magnetica risultante, trovare la forza di ripristino sulla carica oscillante in questo quadro in movimento. Esprimere la risposta in termini di $q^{'}$ , $Q^{'}$ , $v$ , $d$ , $Δ x$ (piccolo spostamento dal centro lungo l’asse) e costanti fondamentali, dove $q^{'}$ e $Q^{'}$ sono le cariche misurate nel telaio in movimento.

**(c) ** Usando il risultato delle parti a) e b), dimostrare che il periodo di oscillazione misurato nel quadro in movimento è coerente con la formula di dilatazione temporale della relatività speciale: $T^{'} = γ T$ , dove $γ = (1 - v^{2} / c^{2})^{- 1/2}$ . Questa è una dimostrazione che l’elettrostatica più la relatività speciale implica la dilatazione temporale.

Problem B3 — Time Crystal

For a free particle, the momentum $p$ and energy $E$ are related by $E = p^{2} / (2 m)$ . However, when an electron moves inside a metal, its interactions with the crystal lattice lead to a different dispersion relation. In a simplified one-dimensional model, the energy–momentum relation becomes:

$E (p) = V (1 - cos (\frac{p b}{ℏ}))$

where $V$ and $b$ are constants that depend on the metal, and $ℏ$ is the reduced Planck constant.

(a) Find the velocity $v$ of the electron as a function of its momentum $p$ .

(b) Define the effective mass $m^{*}$ of the electron by $F = m^{*} a$ , where $F$ is an applied force and $a$ is the resulting acceleration (both along the one-dimensional direction of motion). Find $m^{*}$ as a function of $p$ .

(c) A uniform electric field $E_{0}$ is applied along the rod (so the force on the electron is $F = e E_{0}$ ). The electron suffers collisions with the crystal lattice every time interval $τ$ , which resets its momentum to $p = 0$ instantaneously. Assuming the electron starts from rest after each collision and $e E_{0} b τ /ℏ ≪ 1$ , find the average current density (current per unit cross-sectional area per electron) $⟨ J ⟩$ in the limit of frequent collisions.

(d) If $τ$ can be freely adjusted, find the value of $τ$ (in terms of the given constants) that maximises the average current $⟨ J ⟩$ , and find the corresponding maximum current.

Topic: Modern-Quantum Physics, Electromagnetism Metodi: de Broglie Relation, Differential Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problema B3 Cristallo del Tempo

Per una particella libera, il momento $p$ e l’energia $E$ sono correlati da $E = p^{2} / (2 m)$ . Tuttavia, quando un elettrone si muove all’interno di un metallo, le sue interazioni con la rete cristallina portano a una relazione di dispersione diversa. In un modello unidimensionato semplificato, la relazione energiamomento diventa:

$E (p) = V (1 - cos (\frac{p b}{ℏ}))$

dove $V$ e $b$ sono costanti che dipendono dal metallo, e $ℏ$ è la costante di Planck ridotta.

**(a) ** Trova la velocità $v$ dell’elettrone in funzione del suo impulso $p$ .

**(b) ** Definire la massa effettiva **** $m^{*}$ dell’elettrone da $F = m^{*} a$ , dove $F$ è una forza applicata e $a$ è l’accelerazione risultante (entrambi lungo la direzione unidimensionale del movimento). Trova $m^{*}$ come funzione di $p$ .

**(c) ** Un campo elettrico uniforme $E_{0}$ viene applicato lungo la canna (così la forza sull’elettrone è $F = e E_{0}$ ). L’elettrone subisce collisioni con la reticola di cristallo ogni intervallo di tempo $τ$ , che ripristina istantaneamente la sua dinamica a $p = 0$ . Supponendo che l’elettrone si riposi dopo ogni collisione e $e E_{0} b τ /ℏ ≪ 1$ , si trova la densità media di corrente (corente per unità di area trasversale per elettrone) $⟨ J ⟩$ nel limite delle collisioni frequenti.

Se $τ$ può essere regolato liberamente, trovare il valore di $τ$ (in termini di costanti dati) che massimizzi la corrente media $⟨ J ⟩$ e trovare la corrente massima corrispondente.

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