UK 2022

Qu 1. General Questions

You are expected to write clear physics, to suggest a model, and to suggest ideas for these effects in Q1. You may find it helpful to bullet point your answers.

(a) In 1998 the McLaren F1 became the world’s fastest production car, achieving a top speed of 240 miles per hour. If the maximum useful power developed by the engine is 461 kW, estimate the drag coefficient of the McLaren F1. The drag force is proportional to $v^{2}$ , the cross-sectional area of the car, and the density of air. The drag coefficient is then the constant of proportionality.

(b) A resistance $R$ is placed in series with an alternating voltage source, of negligible internal resistance, which has an amplitude $V_{0}$ and frequency $f$ . Determine an expression for the average power dissipated by the resistor. If the source can supply a total energy $E$ , calculate how long the source lasts before being drained.

(c) A bag of dried sage and onion stuffing is unpacked from its box. It consists of dried organic particles of a range of sizes. On examination it is seen that the larger particles in the mixture are on top. Suggest, based on your knowledge of physics, why this might be so.

(d) A car is left outside overnight in the cold when there is a frost (below zero). Explain why the glass front windscreen of the car can form a thicker layer of ice, compared to that on the side windows of the car.

McLaren F1 sports car, Q1(a)

Bag of dried sage and onion stuffing, Q1(c)

Topic: Newtonian Mechanics, Circuits, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Dimensional Analysis, Energy Conservation Method, Physical Modeling Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.3

Qu 1. Domande generali

Si prevede che scriva una fisica chiara, suggerisca un modello e suggerisca idee per questi effetti nel primo trimestre. Potresti trovare utile puntare le tue risposte.

Nel 1998 la McLaren F1 divenne la vettura di produzione più veloce del mondo, raggiungendo una velocità massima di 240 miglia all’ora. Se la potenza massima utile sviluppata dal motore è di 461 kW, calcolare il coefficiente di resistenza della McLaren F1. La forza di trazione è proporzionale a $v^{2}$ , all’area trasversale della vettura e alla densità dell’aria. Il coefficiente di resistenza è quindi la costante di proporzionalità.

**(b) ** Una resistenza $R$ viene posizionata in serie con una fonte di tensione alternata, di resistenza interna trascurabile, che ha un’ampiezza $V_{0}$ e una frequenza $f$ . Determinare un’espressione della potenza media dissipata dalla resistenza. Se la fonte può fornire un’energia totale $E$ , calcolare quanto dura la fonte prima di essere drenata.

**(c) ** Una borsa di salvia secca e di polvere di cipolla viene scaricata dalla sua scatola. È costituito da particelle organiche secche di varie dimensioni. L’esame mostra che le particelle più grandi della miscela sono in cima. Suggerisci, sulla base delle tue conoscenze di fisica, perché potrebbe esserlo.

**(d) ** Una macchina viene lasciata fuori per la notte nel freddo quando c’è il gelo (sotto lo zero). Spiegate perché il vetro di vetro della vetra può formare uno strato di ghiaccio più spessore rispetto a quello delle finestre laterali.

*McLaren F1 sport car, Q1(a) *

Sacchetto di salvia secca e di polvere di cipolla, Q1(c) *

Qu 2. Stellar Interiors

This question explores nuclear fusion and the interior structure of stars.

(a) As shown in Figure 3, two protons separated by 7 fm experience a mutual electrostatic repulsion of about 5 N. Verify this fact by calculation.

(b) Make a rough copy of the graph of Figure 3 and add your own sketch to it to show the resultant force between two protons, as a function of their separation. Explain why very high temperatures are required for fusion to occur. Hence estimate the minimum temperature for proton–proton fusion to occur.

(c) Suggest why your answer to part (b) is likely to be an overestimate.

(d) The gravitational field strength within a star is given by $g (r) = - G m (r) / r^{2}$ , where $m (r) = \int_{0}^{r} 4 π r^{'2} ρ (r^{'}) d r^{'}$ is the mass enclosed at radius $r$ and $ρ (r)$ is the gas density, i.e. the force of attraction at radius $r$ is only due to the mass of the sphere that lies within radius $r$ . By considering the forces on the fluid parcel indicated in the right-hand panel of Figure 3, show that the pressure gradient within a star in hydrostatic equilibrium is given by

$\frac{d p}{d r} = ρ (r) g (r) (1)$

and thereby argue that the pressure decreases with increasing radius throughout the star.

(e) The Sun has mass $M = 2 \times 1 0^{30}$ kg and radius $R = 7 \times 1 0^{5}$ km. By taking crude averages (across the whole star) for each of the quantities in Eq. 1, estimate the pressure and temperature of the Sun’s core. Is it plausible that the Sun is powered by nuclear fusion? Do protons move relativistically in the Sun’s core?

(f) Modelling the Sun with the following density profile, determine more careful estimates for the pressure and temperature at the Sun’s core:

$ρ (r) = ρ_{0} (1 - \frac{r ^{2}}{R ^{2}}) (2)$

where $ρ_{0}$ is the density at the Sun’s core.

(g) Almost all stars we observe have a mass $M$ in the range $0.1 M_{⊙} < M < 100 M_{⊙}$ , where $M_{⊙}$ is the mass of our Sun. Suggest an explanation for this.

Forces between two protons vs separation

Fluid parcel within a spherical shell

Topic: Astrophysics, Electrostatics, Thermodynamics Metodi: Coulomb’s Law, Hydrostatic Equilibrium, Calculus-Integration Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.4

Qu 2. Interni Stellari

Questa domanda esplora la fusione nucleare e la struttura interna delle stelle.

**(a) ** Come mostrato alla figura 3, due protoni separati da 7 fm sperimentano una reciproca repulsione elettrostatica di circa 5 N. Verifica questo fatto con calcoli.

**(b) ** Fai una copia approssimativa del grafico della figura 3 e aggiungi al grafico il tuo schizzo per mostrare la forza risultante tra due protoni, in funzione della loro separazione. Spiegate perché per la fusione sono necessarie temperature molto elevate. Si stima quindi la temperatura minima per la fusione di protoni.

**(c) ** Suggerisci perché la tua risposta alla parte (b) è probabile che sia sovrastimata.

**(d) ** La forza del campo gravitazionale all’interno di una stella è data da $g (r) = - G m (r) / r^{2}$ , dove $m (r) = \int_{0}^{r} 4 π r^{'2} ρ (r^{'}) d r^{'}$ è la massa chiusa al raggio $r$ e $ρ (r)$ è la densità del gas, ovvero la forza di attrazione al raggio $r$ è dovuta solo alla massa della sfera che si trova all’interno del raggio $r$ . Considerando le forze sul parcello del fluido indicate nel pannello a destra della figura 3, mostrare che il gradiente di pressione all’interno di una stella in equilibrio idrostatico è dato da

$\frac{d p}{d r} = ρ (r) g (r) (1)$

e quindi sostengono che la pressione diminuisce con l’aumento del raggio in tutta la stella.

**(e) ** Il Sole ha massa $M = 2 \times 1 0^{30}$ kg e raggio $R = 7 \times 1 0^{5}$ km. Prendendo le medie grezze (in tutta la stella) per ciascuna delle quantità in Eq. 1, stimare la pressione e la temperatura del nucleo solare. È plausibile che il Sole sia alimentato dalla fusione nucleare? I protoni si muovono relativamente nel nucleo del Sole?

**(f) ** Modellare il Sole con il seguente profilo di densità, determinare stime più accurate della pressione e della temperatura al nucleo del Sole:

$ρ (r) = ρ_{0} (1 - \frac{r ^{2}}{R ^{2}}) (2)$

dove $ρ_{0}$ è la densità al nucleo del Sole.

Quasi tutte le stelle che osserviamo hanno una massa $M$ nell’intervallo $0.1 M_{⊙} < M < 100 M_{⊙}$ , dove $M_{⊙}$ è la massa del nostro Sole. Proponi una spiegazione.

Forze tra due protoni contro separazione

Parcello di liquido all’interno di una conchiglia sferica

Qu 3. The Runner’s Pace Function

The pace function of a runner specifies how much time she takes to run a certain horizontal distance, according to the slope of the ground on which she travels.

A particular runner has the following pace function:

$p (m) = 3.500 + 0.210 m + 0.035 m^{2} (3)$

where $p$ is measured in min km $^{- 1}$ , and $m$ is the gradient of the slope expressed as a percentage. For example: if $m = + 1.5$ , the ground rises 1.5 m vertically for every 100 m of horizontal distance travelled; if $m = - 4$ , the ground falls 4 m vertically for every 100 m of horizontal distance travelled.

(a) Suggest why $p$ increases with increasing $m$ for all $m > 0$ .

(b) Determine the speed of the runner on flat ground in m s $^{- 1}$ .

(c) Determine the gradient on which she runs the fastest, and the corresponding pace in min km $^{- 1}$ .

(d) Sketch the pace function for $- 15 \leq m \leq 15$ , including numerical detail. Would you expect this pace function to be valid for all $m$ ?

(e) Figure 4 shows the elevation profile of a particular route, which indicates the height above sea level of any particular point along the route. Determine the time the runner takes to run the route and her average pace in min km $^{- 1}$ .

(f) Determine the gradient that allows the runner to gain vertical height most rapidly. Mark this critical gradient and the corresponding pace on your sketch in part (d).

(g) Another runner has a pace function which is linear, rather than quadratic, in $m$ . For routes that start and finish at the same place, explain the impact that the route elevation profile has in determining their total runtime. Does a critical gradient exist in this case?

Race elevation profile for Q3(e)

Topic: Newtonian Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation, Conservation of Energy Metodi: Calculus-Integration, Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

Qu 3. Funzione di velocità del corridore

La funzione di ritmo di un corridore specifica quanto tempo richiede per correre una certa distanza orizzontale, in base alla pendenza del terreno su cui viaggia.

Un corridore ha la seguente funzione di ritmo:

$p (m) = 3.500 + 0.210 m + 0.035 m^{2} (3)$

dove $p$ è misurato in min km $^{- 1}$ , e $m$ è il gradiente della pendenza espresso in percentuale. Per esempio: se $m = + 1.5$ , il terreno si alza di 1,5 m verticalmente per ogni 100 m di distanza orizzontale percorsa; se $m = - 4$ , il terreno cade di 4 m verticalmente per ogni 100 m di distanza orizzontale percorsa.

**(a) ** Suggerire perché $p$ aumenta con l’ aumento di $m$ per tutti $m > 0$ .

**(b) ** Determina la velocità del corridore su terreno piatto in m s $^{- 1}$ .

**(c) ** Determina la gradiente in cui correre più velocemente e il corrispondente ritmo in min km $^{- 1}$ .

**(d) ** Segnare la funzione di ritmo per $- 15 \leq m \leq 15$ , inclusi i dettagli numerici. Si prevede che questa funzione di ritmo sia valida per tutti i $m$ ?

**(e) ** La figura 4 mostra il profilo di altitudine di un determinato percorso, che indica l’altezza sul livello del mare di un determinato punto lungo il percorso. Determinare il tempo necessario per correre il percorso e il suo ritmo medio in min km $^{- 1}$ .

**(f) ** Determina il gradiente che consente al corridore di ottenere l’altezza verticale più rapidamente. Segnalare questo gradiente critico e il corrispondente ritmo sul tuo disegno nella parte (d).

**(g) ** Un altro corridore ha una funzione di ritmo che è lineare, piuttosto che quadrata, in $m$ . Per le rotte che partono e terminano nello stesso luogo, spiegare l’impatto che il profilo di elevazione della rotta ha sulla determinazione del loro tempo di esercizio totale. C’è un gradiente critico in questo caso?

*Profil di elevazione della gara per Q3(e) *

Qu 4. Cloud Physics

This question explores the formation of clouds in the lower atmosphere.

(a) Consider a sealed flask, connected to a pressure gauge, containing dry air (no water vapour) at atmospheric pressure. A small volume of liquid water is injected into the flask.

(i) With reference to evaporation and condensation, explain why the pressure inside the flask is observed to increase over time, then eventually level-off.

(ii) The flask is now cooled externally. With the aid of a sketch graph, explain qualitatively the subsequent readings on the pressure gauge.

(b) Sketch out the phase diagram on your answer sheet and mark the regions showing the three possible phases – solid, liquid and vapour – with the letters S, L and V respectively. Now add arrows to indicate the names of the variety of different phase transitions possible, e.g., melting from S to L.

The coexistence curve $A - C$ shows the possible combinations of pressure $p$ and temperature $T$ for which water exists in equilibrium as a mixture of liquid and vapour phases.

The Clausius–Clapeyron equation describes the gradient of this co-existence curve:

$\frac{d p}{d T} = \frac{L M p}{R T ^{2}} (4)$

where $L = 2.50 \times 1 0^{6}$ J kg $^{- 1}$ is the specific latent heat of vaporisation of water, $M$ is the molar mass of water and $R$ is the molar gas constant. At any given temperature $T$ , the equilibrium pressure exerted by water in its vapour phase is called the saturation pressure, $p_{sat} (T)$ .

(c) Using the triple point A, indicated on Figure 5, to provide the relevant initial conditions, show that:

$ln (\frac{p _{sat}}{p _{0}}) = \frac{L M}{R} (\frac{1}{T _{0}} - \frac{1}{T}) (5)$

where $p_{0}$ and $T_{0}$ are the pressure and absolute temperature at the triple point, respectively.

(d) Calculate the saturation pressure of water at $2 0^{\circ}$ C.

(e) The relative humidity $ϕ$ of a parcel of air is defined as the ratio of the partial pressure of the vapour to the saturation pressure, with all quantities evaluated at the temperature of the parcel:

$ϕ (T) = \frac{p _{w} ( T )}{p _{sat} ( T )} (6)$

With reference to Eq. 6, explain what happens to the relative humidity of an air parcel that rises from the Earth’s surface and hence explain how convective clouds form in the lower atmosphere.

For the rest of the question, take the air at sea level to be at $2 0^{\circ}$ C and 35% relative humidity.

(f) Calculate the partial pressure of water vapour in air at sea level. Hence determine the number of water molecules in 1 m $^{3}$ of air under these conditions.

(g) Determine the mass fraction of water in the air, making assumptions about the chemical composition of the atmosphere.

(h) Use the following atmospheric data to estimate the altitude at which cloud formation will occur.

Altitude / m	Atmospheric pressure / atm	Temperature / °C
0	1.00	20
750	0.92	15
1500	0.84	6

(i) Using your understanding developed in the previous parts of the question, and without calculation, suggest the probable atmospheric conditions in Britain when air approaches from each of the three directions, A, B and C, indicated in Figure 6.

Phase diagram for water, Q4(b)

Wind directions approaching Britain, Q4(i)

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Container, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6

Qu 4. Fisica dei cloud

Questa domanda esplora la formazione di nuvole nell’atmosfera inferiore.

** a) ** Si consideri un flacone sigillato, collegato a un calcolatore di pressione, contenente aria secca (nessun vapore d’acqua) a pressione atmosferica. Un piccolo volume di acqua liquida viene iniettato nel flacone.

(i) Per quanto riguarda l’evaporazione e la condensazione, spiegare perché si osserva che la pressione all’interno del flacone aumenta nel tempo e poi si allontana.

il flacone è raffreddato esternamente. Con l’aiuto di un grafico di bozza, spiegare qualitativamente le ulteriori letture del calcolatore di pressione.

**(b) ** Segnare il diagramma di fase sulla scheda delle risposte e segnalare le regioni che mostrano le tre possibili fasi solide, liquide e vapore rispettivamente con le lettere S, L e V. Ora aggiungere frecce per indicare i nomi della varietà di diverse transizioni di fase possibili, ad esempio, scioglimento da S a L.

La curva di coesistenza $A - C$ mostra le possibili combinazioni di pressione $p$ e temperatura $T$ per le quali l’acqua esiste in equilibrio come miscela di fasi liquide e di vapore.

L’equazione di Clausius Clapeyron descrive il gradiente di questa curva di coesistenza:

$\frac{d p}{d T} = \frac{L M p}{R T ^{2}} (4)$

se $L = 2.50 \times 1 0^{6}$ J kg $^{- 1}$ è il calore latente specifico della vaporizzazione dell’acqua, $M$ è la massa molare dell’acqua e $R$ è la costante di gas molare. A una temperatura data $T$ , la pressione di equilibrio esercitata dall’acqua nella sua fase di vapore è chiamata pressione di saturazione, $p_{sat} (T)$ .

**(c) ** Usando il triplo punto A indicato alla figura 5, per fornire le condizioni iniziali pertinenti, dimostrare che:

$ln (\frac{p _{sat}}{p _{0}}) = \frac{L M}{R} (\frac{1}{T _{0}} - \frac{1}{T}) (5)$

dove $p_{0}$ e $T_{0}$ sono rispettivamente la pressione e la temperatura assoluta al punto triplo.

**(d) ** Calcolare la pressione di saturazione dell’acqua a $2 0^{\circ}$ C.

**(e) ** L’umidità relativa $ϕ$ di un pacchetto d’aria è definita come il rapporto tra la pressione parziale del vapore e la pressione di saturazione, con tutte le quantità valutate alla temperatura del pacchetto:

$ϕ (T) = \frac{p _{w} ( T )}{p _{sat} ( T )} (6)$

In riferimento a Eq. 6, spiegare cosa accade all’umidità relativa di un pacchetto d’aria che si alza dalla superficie terrestre e quindi spiegare come si formano nuvole convective nella bassa atmosfera.

Per il resto della domanda, si deve prendere l’aria al livello del mare a $2 0^{\circ}$ C e un’umidità relativa del 35%.

**(f) ** Calcolare la pressione parziale del vapore idrico nell’aria al livello del mare. Determinare quindi il numero di molecole d’acqua in 1 m $^{3}$ di aria in queste condizioni.

**(g) ** Determinare la frazione di massa dell’acqua nell’aria, facendo ipotesi sulla composizione chimica dell’atmosfera.

**(h) ** Utilizzare i seguenti dati atmosferici per stimare l’altitudine a cui si verificherà la formazione di nuvole.

♬ Altitudine / m ♬ Pressione atmosferica / atm ♬ Temperatura / °C ♬ |---|---|---| | 0 | 1.00 | 20 | | 750 | 0.92 | 15 | | 1500 | 0.84 | 6 |

Il sistema di controllo delle condizioni atmosferiche in Gran Bretagna è stato sviluppato in precedenza e non è stato calcolato.

*Diagramma di fase per l’acqua, Q4(b) *

*Conducenti del vento che si avvicinano alla Gran Bretagna, Q4(i) *

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