Spagna 2023

P1. Física en el tren. Albert Einstein y su segunda esposa visitaron España entre marzo y abril de 1923, cuando ya era público que le habían concedido el premio Nobel de Física. Su llegada en tren a Barcelona fue pintoresca, ya que olvidó avisar en qué tren llegaban, con lo que no hubo nadie esperándoles en la estación. Afortunadamente, a su llegada a Zaragoza, el 12 de marzo, fue recibido como merecía un genio de su nivel. Los largos viajes en tren de la época seguro que permitieron a Einstein meditar sobre sus teorías. De hecho, uno de sus experimentos mentales más famosos, que le ayudó a deducir su teoría de la relatividad, está relacionado con un tren y un rayo de luz. Si tienes ocasión de viajar en tren puedes realizar el siguiente experimento: Imagina un péndulo colgado en el interior del tren. Si el tren está parado, el péndulo permanecerá en su posición de equilibrio (Fig. 1a). Por el contrario, cuando el tren arranque, el péndulo se moverá “misteriosamente” debido a la inercia (Fig. 1b).

a) Indica en qué sentido está acelerando el tren. Considera que el tren se mueve con aceleración constante, $a$, y el péndulo tiene una longitud $L$ y masa $m$.

b) Dibuja el diagrama de cuerpo libre del péndulo, es decir, las fuerzas que actúan sobre él.

c) Calcula la relación entre la aceleración del tren, $a$, y el ángulo de inclinación del péndulo, $\theta$.

Este sencillo sistema puede usarse1 para calcular la distancia entre dos estaciones de tren, suponiendo que el desplazamiento del tren está compuesto por la concatenación de multitud de movimientos rectilíneos uniformemente acelerados y obteniendo la aceleración para cada uno de ellos a partir del ángulo que forma el péndulo con la vertical. Imaginemos que el tren parte del reposo y medimos el ángulo promedio en intervalos de 10 segundos, considerando que la aceleración se mantiene prácticamente constante en el intervalo. Obtenemos los siguientes valores:

$t_i-t_f$ (s)	0-10	11-20	21-30	31-40	41-50
$\theta$ (${}^{\circ }$)	3	5	7	6	4

d) Calcula qué distancia ha recorrido durante los 50 segundos.

Cuando el tren viaja con aceleración constante, $a$, separamos ligeramente el péndulo de su posición de equilibrio.

e) Calcula el periodo de la oscilación resultante alrededor de la posición de equilibrio.

A partir de un determinado momento el tren se mueve con velocidad constante.

f) Calcula en este caso el periodo de la oscilación alrededor de la posición de equilibrio.

1 Claire Tham et al. “Using a Simple Pendulum to Calculate the Distance Between Two Train Stations”, The Physics Teacher 60, 748-751 (2022) https://doi.org/10.1119/5.0043205

P1. Solución

a) La masa suspendida del péndulo tiende a quedarse en reposo por efecto de la inercia mientras el tren acelera, siendo la componente de la tensión de la cuerda en dirección horizontal la que le hace moverse solidaria con el tren. Por tanto, como muestra la Fig. 2, el tren está acelerando hacia la derecha.

b) Las únicas fuerzas “reales” que actúan sobre el péndulo son el peso, $m\vec{g}$, y la tensión de la cuerda, $\vec{T}$, con lo que el diagrama de cuerpo libre quedaría tal y como muestra la figura 2.

c) Aplicando la 2a Ley de Newton, tenemos

$\vec{F}=m\sum \vec{a}(1)$

Descomponiendo en los ejes horizontal, $x$, y vertical, $y$, tenemos

$\{\begin{array}{l}T\cos \theta -mg=0\\ T\text{sen}\theta =ma\end{array}(2)$

De donde podemos despejar $a$ en función de $\theta$,

$a=g\text{tg}\theta (3)$

d) El espacio recorrido en cada tramo vendrá dado por la ecuación del desplazamiento con movimiento uniformemente acelerado,

$x_i=v_{0,i}\Delta t_i+\frac{1}{2}{a}_i\Delta t_i^2(4)$

Para cada tramo necesitamos saber la velocidad inicial, que vendrá dada por la aceleración y velocidad inicial del tramo anterior

$v_{0,i+1}=v_{0,i}+a_i\Delta t_i(5)$

con $v_{0,1}=0$, puesto que el tren parte del reposo. A partir de las ecuaciones (3), (4) y (5) obtenemos

$i$	1	2	3	4	5
$\Delta t_i$ (s)	10	10	10	10	10
$\theta$ (${}^{\circ }$)	3	5	7	6	4
$a_i$ (${\text{m/s}}^2$)	0,51	0,86	1,20	1,03	0,69
$v_{0,i}$ (m/s)	0	5,1	13,7	25,7	36,0
$x_i$ (m)	25,5	94,0	197,0	308,5	394,5

De modo que el espacio total recorrido en los 50 primeros segundos será

$x={\sum }_{i=1}^5{x}_i=1019,5\text{m}(6)$

e) En un péndulo sometido sólo a la aceleración de la gravedad, el periodo de oscilación viene dado por

$P_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}(7)$

Un observador montado en el tren es un observador no inercial (se mueve con velocidad no constante). Al arrancar el tren con una cierta aceleración $\vec{a}$, el observador montado en el tren ve que el péndulo se inclina sin que sobre él actúe aparentemente ninguna fuerza, por lo que decide inventarse una fuerza hacia atrás, ${\vec{F}}_i=-m\vec{a}$, que denomina “fuerza de inercia” (Fig. 3). Esta es la misteriosa fuerza que parece empujarnos hacia atrás cuando viajamos en un tren que acelera. Pero esta fuerza es ficticia, no existe. Visto por un observador inercial exterior, fijo al suelo de la calle, lo que ocurre es que el tren acelera mientras que el pasajero tiende a mantenerse con velocidad constante. Por ello el pasajero necesita agarrarse a la barra del tren para no quedarse rezagado respecto del tren, y por tanto, caerse al suelo. Para el observador que viaja en el tren el péndulo está en equilibrio, por lo que el diagrama de fuerzas sobre el péndulo sería el mostrado en la figura 3, de modo que

$\vec{T}=m(\vec{g}-\vec{a})(8)$

El observador no inercial interpreta que el péndulo se orienta en la dirección de una gravedad “aparente” $\vec{g}{}^{\prime }$, mostrada en la figura 3, dada por

$\vec{g}{}^{\prime }=\vec{g}-\vec{a}(9)$

Por analogía con la expresión (7), sometido a esta “gravedad aparente”, al separarlo ligeramente de la posición de equilibrio el péndulo oscila con un periodo

$P=2\pi \sqrt{\frac{L}{g^{\prime }}}(10)$

A partir de (9) obtenemos el módulo de la gravedad aparente, $g^{\prime }$,

$g^{\prime }=\sqrt{g^2+a^2}(11)$

Y sustituyendo $a$ por la expresión obtenida en (3),

$g^{\prime }=\sqrt{g^2+(g\text{tg}\theta {)}^2}=g\sqrt{1+(\text{tg}\theta {)}^2}=\frac{g}{\cos \theta }(12)$

De modo que el periodo del péndulo que se mueve con aceleración $a$ viene dado por

$P=2\pi \sqrt{\frac{L\cos \theta }{g}}(13)$

f) Si el tren se mueve con velocidad constante, un observador montado en el tren será un observador inercial y por tanto aplicará las leyes de Newton como si estuviera en reposo. Por tanto, el periodo del péndulo será el dado por la expresión (7).

$P_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

Se puede comprobar que esta expresión coincide con la (12) cuando $a=0$ (y por tanto $\theta =0$), como era de esperar.

Pendolo nel treno fermo e accelerante

Diagramma corpo libero pendolo (Fig 2)

FBD pendolo con forza d’inerzia (Fig 3)

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Vector Decomposition, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Fisica sul treno. Albert Einstein e la sua seconda moglie hanno visitato la Spagna tra marzo e marzo. Aprile 1923, quando era già pubblico che gli erano stati concessi il premio Il Nobel di fisica. Il suo arrivo in treno a Barcellona è stato pittoresco, perché Si dimenticò di segnalare con quale treno arrivarono, così non c’era nessuno che li aspettava.

• La stazione. Fortunatamente, all’arrivo a Saragozza, il 12 marzo, fu accolto come meritava un genio del suo livello. I lunghi viaggi in treno dell’epoca sicura che permettevano di Einstein meditare sulle sue teorie. Infatti, uno dei suoi esperimenti e che gli ha aiutato a dedurre la sua teoria della relatività, È legato a un treno e a un raggio di luce. Se avete l’occasione di viaggiare in treno, potete fare il seguente: Esperimento: Immaginate un pendolo appeso all’interno del treno. Se il treno Se il pendolo è fermo, rimane in posizione di equilibrio (Fig. 1a). Al contrario, quando il treno parte, il pendolo si muove misteriosamente a causa dell’inerzia (Fig. 1b).

a) Indica in che direzione il treno sta accelerando. Considera che il treno si muove a costante accelerazione, $a$, e il il pendolo ha una lunghezza $L$ e una massa $m$.

b) Disegna il diagramma del corpo libero del pendolo, cioè le forze che agiscono su di lui.

c) Calcola il rapporto tra l’accelerazione del treno, $a$, e l’angolo di inclinamento del pendolo, $\theta$.

Questo semplice sistema può essere utilizzato1 per calcolare la distanza tra due stazioni ferroviarie, supponendo che che il movimento del treno è composto dalla concatenamento di molteplici movimenti rettilini l’accelerazione per ciascuno di essi dall’angolo che forma l’angolo pendolo con la verticale. Immaginiamo che il treno parte dal riposo e misuriamo l’angolo medio in intervalli di 10 secondi, considerando che l’accelerazione è praticamente costante nell’intervallo. Noi otteniamo i seguenti valori:

$t_i-t_f$ (s)	0-10	11-20	21-30	31-40	41-50
$\theta$ (${}^{\circ }$)	3	5	7	6	4

d) Calcola la distanza percorsa durante i 50 secondi.

Quando il treno viaggia a costante accelerazione, $a$, separamo leggermente il pendolo dalla sua posizione di equilibrio.

e) Calcola il periodo di oscillazione risultante intorno alla posizione di equilibrio.

A partire da un certo momento il treno si muove a velocità costante.

f) Calcola in questo caso il periodo di oscillazione intorno alla posizione di equilibrio.

1 Claire Tham et al. “Using a Simple Pendulum to Calculate the Distance Between Two Train Stations”, The Physics Teacher 60, La Commissione ha adottato una decisione che prevede che il Consiglio europeo di sicurezza possa prendere decisioni in merito a tali decisioni.

P1. Soluzione

a) La massa sospesa del pendolo tende a rimanere a riposo a causa dell’inerzia mentre il treno accelera, essendo la componente della tensione della corda in direzione orizzontale che lo fa muoversi in solidarietà con il treno. Pertanto, come mostra la figura. 2, il treno sta accelerando a destra.

b) Le uniche forze reali che agiscono sul pendolo sono il peso, $m\vec{g}$, y la tensione della corda, $\vec{T}$, con cui il diagramma di corpo libero sarebbe rimasto come mostra la figura 2.

c) Applicando la seconda legge di Newton, abbiamo

$\vec{F}=m\sum \vec{a}(1)$

Se si decompone in assi orizzontali, $x$, e verticali, $y$, si ottiene

$\{\begin{array}{l}T\cos \theta -mg=0\\ T\text{sen}\theta =ma\end{array}(2)$

Da dove possiamo chiarire $a$ in funzione di $\theta$,

$a=g\text{tg}\theta (3)$

d) Lo spazio percorso in ogni tratto sarà dato dall’equazione di spostamento in movimento accelerato uniformemente,

$x_i=v_{0,i}\Delta t_i+\frac{1}{2}{a}_i\Delta t_i^2(4)$

Per ogni tratto dobbiamo sapere la velocità iniziale, che verrà data dall’accelerazione e dalla velocità iniziale del precedente tratto

$v_{0,i+1}=v_{0,i}+a_i\Delta t_i(5)$

con $v_{0,1}=0$, poiché il treno parte dal riposo. Da queste equazioni (3), (4) e (5) si ottiene

$i$	1	2	3	4	5
$\Delta t_i$ (s)	10	10	10	10	10
$\theta$ (${}^{\circ }$)	3	5	7	6	4
$a_i$ (${\text{m/s}}^2$)	0,51	0,86	1,20	1,03	0,69
$v_{0,i}$ (m/s)	0	5,1	13,7	25,7	36,0
$x_i$ (m)	25,5	94,0	197,0	308,5	394,5

Quindi il totale dello spazio percorso nei primi 50 secondi sarà

$x={\sum }_{i=1}^5{x}_i=1019,5\text{m}(6)$

e) In un pendolo che è solo sottoposto all’accelerazione della gravità, il periodo di oscillazione è dato da

$P_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}(7)$

Un osservatore montato sul treno è un osservatore non inerziale (si muove a velocità non costante). Quando si parte il treno con una certa accelerazione $\vec{a}$, l’osservatore montato sul treno vede che il pendolo si inclina senza che apparentemente non agisca alcuna forza su di lui, quindi decide inventare una forza indietro, ${\vec{F}}_i=-m\vec{a}$, che definisce la forza di Inerzia (Fig. 3). Questa è la misteriosa forza che sembra spingerci indietro quando Siamo in un treno ad alta velocità. Ma questa forza è immaginaria, non esiste. Visto da un osservatore inertile esterno, fissato al pavimento della strada, ciò che accade è che il treno accelera mentre il passeggero tende a mantenere la velocità costante. Per questo il passeggero deve aggrapparsi alla barra del treno per non restare indietro rispetto al treno, e quindi cadere a terra. Per l’osservatore che viaggia in treno il pendolo è in equilibrio, quindi che il diagramma delle forze sul pendolo sarebbe quello mostrato nella figura 3, Quindi

$\vec{T}=m(\vec{g}-\vec{a})(8)$

L’osservatore non inerziale interpreta che il pendolo si orienta in direzione di una gravità apparece $\vec{g}{}^{\prime }$, mostrato in figura 3, dato da

$\vec{g}{}^{\prime }=\vec{g}-\vec{a}(9)$

Per analogia con l’espressione (7) sottoposta a questa gravità apparente, separandola leggermente dalla posizione di equilibrio il pendolo oscilla con un periodo

$P=2\pi \sqrt{\frac{L}{g^{\prime }}}(10)$

A partire da (9) si ottiene il modulo della gravità apparente, $g^{\prime }$,

$g^{\prime }=\sqrt{g^2+a^2}(11)$

E sostituendo $a$ con l’espressione ottenuta in (3),

$g^{\prime }=\sqrt{g^2+(g\text{tg}\theta {)}^2}=g\sqrt{1+(\text{tg}\theta {)}^2}=\frac{g}{\cos \theta }(12)$

Quindi il periodo del pendolo che si muove con l’accelerazione $a$ viene dato da

$P=2\pi \sqrt{\frac{L\cos \theta }{g}}(13)$

f) Se il treno si muove a velocità costante, un osservatore montato sul treno sarà un osservatore Inerziale e quindi applicherà le leggi di Newton come se fosse a riposo. Il periodo di il pendolo sarà il dato per l’espressione (7).

$P_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

Si può verificare che questa espressione coincida con la (12) quando $a=0$ (e quindi $\theta =0$), come Era da aspettare.

Pendila sul treno fermo e in frenata

*Diagramma corpo libero pendolo (Fig. 2) *

FBD pendolo con forza d’inerzia (Fig. 3)

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Vector Decomposition, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Physicist on the train. Albert Einstein and his second wife visited Spain between March and April 1923, when it was already public that he had been awarded the prize Nobel Prize in physics. His arrival by train to Barcelona was picturesque, since He forgot to tell me what train they were coming with, so there was no one waiting for them. At the station. Fortunately, upon his arrival in Zaragoza on March 12, He was received as a genius of his level deserved. The long train journeys of the safe era allowed Einstein meditating on his theories. In fact, one of his experiments He was the first to write about the theory of relativity. It’s related to a train and a lightning strike. If you have the opportunity to travel by train you can do the following: Experiment: Imagine a pendulum hanging from the inside of the train. If the train The pendulum is still, the pendulum will remain in its equilibrium position (Fig. 1a). On the contrary, when the train starts, the pendulum will move mysteriously due to inertia (Fig. 1b).

(a) Indicate the direction in which the train is accelerating. It considers that the train is moving at constant speed, $a$, and the The pendulum has a length $L$ and mass $m$.

(b) Draw the free-body diagram of the pendulum, i.e. the forces who act upon him.

(c) Calculate the ratio of the train’s acceleration, $a$, to the angle of inclination of the pendulum, $\theta$.

This simple system can be used1 to calculate the distance between two train stations, assuming that the that the movement of the train is composed of the concatenation of multitude of rectal movements The acceleration of the current is the same as the acceleration of the current. the vertical pendant. Let’s say the train leaves the rest and we measure the average angle at intervals of 10 seconds, Whereas acceleration is practically constant at interval. We get the the following values:

$t_i-t_f$ (s)	0-10	11-20	21-30	31-40	41-50
$\theta$ (${}^{\circ }$)	3	5	7	6	4

(d) Calculate the distance travelled during the 50 seconds.

When the train is travelling at constant speed, $a$, we slightly separate the pendulum from its position of The balance.

(e) Calculate the period of oscillation around the equilibrium position.

From a certain moment on, the train moves at a constant speed.

(f) Calculate the period of oscillation around the equilibrium position.

1 Claire Tham et al. “Using a Simple Pendulum to Calculate the Distance Between Two Train Stations”, The Physics Teacher 60, The Commission has also adopted a number of proposals for the European Parliament and the Council.

P1. Solution

(a) The suspended mass of the pendulum tends to remain at rest by effect of inertia The train is accelerating, the rope tension component being the horizontal direction that makes you move in solidarity with the train. Therefore, as Fig. 1 shows the figure. 2, the train is speeding to the right.

(b) The only real forces acting on the pendulum are weight, $m\vec{g}$, y la the tension of the rope, $\vec{T}$, with which the free body diagram would be as follows: The following table shows the figures for the following categories:

c) Applying Newton’s second law, we have

$\vec{F}=m\sum \vec{a}(1)$

By breaking down into the horizontal, $x$, and vertical, $y$ axes, we have

$\{\begin{array}{l}T\cos \theta -mg=0\\ T\text{sen}\theta =ma\end{array}(2)$

Where we can clear $a$ according to $\theta$,

$a=g\text{tg}\theta (3)$

(d) The space travelled in each section shall be given by the equation of motion uniformly accelerated,

$x_i=v_{0,i}\Delta t_i+\frac{1}{2}{a}_i\Delta t_i^2(4)$

For each stretch we need to know the initial velocity, which will be given by the acceleration and velocity initial of the previous tranche

$v_{0,i+1}=v_{0,i}+a_i\Delta t_i(5)$

with $v_{0,1}=0$, since the train leaves at rest. From the equations (3), (4) and (5) we get

$i$	1	2	3	4	5
$\Delta t_i$ (s)	10	10	10	10	10
$\theta$ (${}^{\circ }$)	3	5	7	6	4
$a_i$ (${\text{m/s}}^2$)	0,51	0,86	1,20	1,03	0,69
$v_{0,i}$ (m/s)	0	5,1	13,7	25,7	36,0
$x_i$ (m)	25,5	94,0	197,0	308,5	394,5

So the total space travelled in the first 50 seconds will be

$x={\sum }_{i=1}^5{x}_i=1019,5\text{m}(6)$

(e) In a pendulum subjected only to gravitational acceleration, the period of oscillation is given by

$P_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}(7)$

A train-mounted observer is a non-inercial observer (moving at non-constant speed). When starting the train at a certain speed $\vec{a}$, el observador montado en el tren ve que el péndulo se He bends without apparent force acting upon him, so he decides inventing a force backwards, ${\vec{F}}_i=-m\vec{a}$, which refers to the force of The following is a list of the main types of energy sources: 3). This is the mysterious force that seems to push us back when We were traveling on a high-speed train. But this force is fictitious, it doesn’t exist. I saw it. By an outside inertial observer, fixed to the street floor, what happens is The train is accelerating while the passenger tends to keep up with speed. It’s constant. That is why the passenger needs to hold onto the train bar to avoid falling behind the train and therefore falling to the ground. For the observer travelling on the train the pendulum is in balance, so The force diagram on the pendulum would be as shown in Figure 3, So that

$\vec{T}=m(\vec{g}-\vec{a})(8)$

The non-inercial observer interprets that the pendulum is oriented in the direction of gravity appearing $\vec{g}{}^{\prime }$, shown in Figure 3, given by

$\vec{g}{}^{\prime }=\vec{g}-\vec{a}(9)$

By analogy with the expression (7), subjected to this apparent gravity, by slightly separating it from the The pendulum oscillates with a period

$P=2\pi \sqrt{\frac{L}{g^{\prime }}}(10)$

From (9) we get the module of apparent gravity, $g^{\prime }$,

$g^{\prime }=\sqrt{g^2+a^2}(11)$

And replacing $a$ with the expression obtained in (3),

$g^{\prime }=\sqrt{g^2+(g\text{tg}\theta {)}^2}=g\sqrt{1+(\text{tg}\theta {)}^2}=\frac{g}{\cos \theta }(12)$

So the period of the pendulum moving at $a$ is given by

$P=2\pi \sqrt{\frac{L\cos \theta }{g}}(13)$

(f) If the train is moving at constant speed, an observer mounted on the train shall be an observer. It’s inert and will therefore apply Newton’s laws as if it were at rest. The period of the The pendulum is the given for the expression (7).

$P_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

This expression can be found to be in line with (12) when $a=0$ (and therefore $\theta =0$), as follows: It was a wait.

Pending it in the stationary and accelerating train

Diagramma corpo libero pendolo (Fig 2)

FBD pendolo con forza d’inerzia (Fig 3)

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Vector Decomposition, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.2

P2. Einstein y su violín. Albert Einstein era un apasionado de la música. A los 6 años comenzó a tocar el violín y más adelante el piano. Cuando viajaba solía llevar su violín, al que llamaba “Lina”, a la espera de alguna ocasión para interpretar a sus músicos preferidos, solo o en compañía. Con tal de enfrascarse en la música tocaba con científicos amigos, con vecinos de su entorno o con cualquiera que le ofreciera esa oportunidad. Tocar el violín le ayudaba a pensar y a la vez era una válvula de escape cuando se encallaba trabajando en sus teorías. Incluso es posible que la “cuantificación” de frecuencias característica de las ondas estacionarias que se producen en los instrumentos musicales influyera en la intuición de Einstein de que la energía de los fotones está cuantizada. Vamos a estudiar las ondas estacionarias que se producen en las cuerdas del violín. Colocamos junto a un violín un altavoz con un generador de frecuencia variable capaz de producir sonidos armónicos entre 500 y 1500 Hz. Observamos que la segunda cuerda (que cuando el violín está afinado corresponde a la nota La) sólo oscila apreciablemente para las frecuencias de 880 y 1320 Hz. La cuerda tiene una longitud $L=32,6\text{cm}$.

A partir de estos datos,

a) Determina y calcula la velocidad, $v$, de propagación de las ondas transversales en la cuerda de violín.

b) ¿Se produciría una oscilación apreciable de la cuerda para alguna frecuencia inferior a 500 Hz? Explica por qué.

La velocidad de propagación de ondas transversales en una cuerda tensa depende de la densidad lineal de masa $\mu$ de la cuerda (masa por unidad de longitud) y de su tensión $T$. La forma de esta dependencia es una de las cuatro siguientes:

i) $v=\sqrt{\frac{\mu }{T}}$

ii) $v=\sqrt{\frac{1}{\mu T}}$

iii) $v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$

iv) $v=\sqrt{\mu T}$

c) Basándote en la homogeneidad de dimensiones de las fórmulas físicas, indica razonadamente cuál de estas expresiones es la única correcta.

La segunda cuerda del violín tiene un diámetro $D=0,76\text{mm}$ y una densidad de masa por unidad de volumen promedio $\rho =5,93{\text{g/cm}}^3$.

d) Calcula la tensión a la que está sometida la cuerda del violín.

Se observa que los vientres (antinodos) de la onda estacionaria que se produce a 880 Hz tienen una amplitud de oscilación $A=12,7\text{mm}$. Tomamos $t=0$ en el instante en que la cuerda pasa por su posición de equilibrio,

e) Escribe la ecuación de la onda estacionaria, en unidades SI.

f) Escribe la ecuación de la velocidad máxima $v_t$ de vibración de cualquier punto de la cuerda. Determina su valor para un punto situado a una distancia $x=\lambda /2$ de un extremo de la cuerda, siendo $\lambda$ la longitud de onda.

P2. Solución

a) La cuerda oscilará apreciablemente cuando el sonido que produce el altavoz corresponda a una de las frecuencias que pueden generar ondas estacionarias en la cuerda. Esto ocurre para dos frecuencias consecutivas, $f_n=880$ Hz y $f_{n+1}=1320$ Hz. Aunque desconocemos el valor de $n$, se debe cumplir,

$\begin{array}{rl}{f}_n& =n\frac{v}{2L}\\ f_{n+1}& =(n+1)\frac{v}{2L}\end{array}\}(1)$

Despejamos $n$ de la primera ecuación,

$n=\frac{2L}{v}{f}_n(2)$

y sustituimos en la segunda

$f_{n+1}=f_n+\frac{v}{2L}\Rightarrow v=2L(f_{n+1}-f_n)=286,9\text{m/s}(3)$

b) En la ecuación (2) sustituimos la velocidad obtenida,

$n=\frac{f_n}{f_{n+1}-f_n}=2(4)$

lo que significa que se excita el modo $n=2$ para una frecuencia $f_2=880$ Hz y el modo $n+1=3$ para una frecuencia $f_3=1320$ Hz. Por tanto, el modo fundamental ($n=1$) se excitará para una frecuencia

$f_1=\frac{v}{2L}=440\text{Hz}(5)$

que es la correspondiente a la nota La.

c) Utilizando el análisis dimensional podemos determinar cuál de las cuatro ecuaciones es la correcta. En el lado de la izquierda de las cuatro aparece la velocidad. Sus dimensiones físicas son

$[v]=\frac{[L]}{[T]}(6)$

Las dimensiones físicas de la densidad de masa por unidad de longitud $\mu$ son

$[\mu ]=\frac{[M]}{[L]}(7)$

y las de la tensión (considerando que es una fuerza, y por tanto tiene dimensiones de masa por aceleración),

$[T]=[M]\frac{[L]}{[T{]}^2}(8)$

Teniendo en cuenta las ecuaciones (7) y (8), las dimensiones del término de la izquierda de cada una de las expresiones de $v$ son

i) $\sqrt{\frac{[\mu ]}{[T]}}$

ii) $\sqrt{\frac{1}{[\mu ][T]}}$

iii) $\sqrt{\frac{[T]}{[\mu ]}}=\frac{[L]}{[T]}$

iv) $\sqrt{[\mu ][T]}(9)$

Como las dimensiones deben coincidir en los dos términos de la ecuación, la ecuación correcta es

$\text{iii)}v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}(10)$

d) A partir de la expresión (10) podemos despejar la tensión,

$T=\mu \cdot v^2(11)$

La densidad de masa por unidad de volumen $\rho$ y la densidad de masa por unidad de longitud $\mu$ están relacionadas con la sección $S$ de la cuerda, de modo que

$\mu =\rho \cdot S\Rightarrow \mu =\rho \cdot \pi {\left(\frac{D}{2}\right)}^2(12)$

Sustituyendo en la ecuación (11) se obtiene

$T=\pi \rho {\left(\frac{D}{2}\right)}^2{v}^2\Rightarrow T=221,4\text{N}(13)$

e) La cuerda de violín está sujeta por sus extremos, por lo que dichos extremos están en reposo, y por tanto son nodos de la onda estacionaria. Tomando $x=0$ en el extremo izquierdo, la ecuación de la onda estacionaria es

$y(x,t)=A\text{sen}Kx\text{sen}(\omega t+{\varphi }_0)(14)$

El valor de ${\varphi }_0$ se obtiene de la situación inicial. En $t=0$ la cuerda está en su posición de equilibrio, $y(x,0)=0$, de modo que

$0=A\text{sen}Kx\text{sen}{\varphi }_0(15)$

Como $A\ne 0$ y, en general, $\text{sen}Kx\ne 0$ (sólo es cero en los nodos), se deduce que

$\text{sen}{\varphi }_0=0\Rightarrow {\varphi }_0=\{\begin{array}{l}0\\ \pi \text{rad}\end{array}(16)$

Dado que el ejercicio no nos dá más información, podemos elegir cualquiera de las dos, por lo que tomamos la más simple, ${\varphi }_0=0$. Los valores de $K$ y $\omega$ vienen dados por

$K=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi }{v}f\approx 2\pi \cdot 3\text{rad/m},\omega =2\pi f=1760\pi \text{rad/s}(17)$

de modo que

$y(x,t)=12,7\cdot 10^{-3}\text{sen}\left(2\pi \cdot 3x\right)\text{sen}(1760\pi t)\text{m}(18)$

f) La velocidad de vibración trasversal de los puntos de la cuerda viene determinada por

$v_t(x,t)=\frac{\mathrm{d}y(x,t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\left[A\text{sen}Kx\text{sen}\omega t\right]}{\mathrm{d}t}=A\omega \text{sen}Kx\cos \omega t(19)$

La velocidad transversal máxima se producirá cuando $\cos \omega t=1$, es decir,

$v_{t\text{max}}(x)=A\omega \text{sen}Kx(20)$

de modo que

$v_{t\text{max}}\left(x=\frac{\lambda }{2}\right)=A\omega \text{sen}\left(K\frac{\lambda }{2}\right)=A\omega \text{sen}\pi =0(21)$

como era de esperar, dado que en la posición $x=\lambda /2$ aparece un nodo de oscilación para esa frecuencia.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.6

P2. Einstein e il suo violino. Albert Einstein era appassionato di musica. A sei anni ha iniziato a suonare il violino e poi il pianoforte. Quando viaggiava, portava il suo violino. che chiamava “Lina”, in attesa di qualche occasione per interpretare i suoi musicisti preferiti, da soli o in compagnia. Per immergersi nella musica ha giocato con gli amici scienziati, con i suoi vicini o con chiunque gli offrirebbe quella possibilità. Suonare il violino gli aiutava a pensare e al tempo stesso era una valvola di scarico quando si incollava lavorando alle sue teorie. Anche È possibile che la quantificazione delle frequenze caratteristiche delle onde La produzione di strumenti musicali a livello di l’intuizione di Einstein che l’energia dei fotoni è quantificata. Studiamo le onde stazionarie che si producono nelle corde del violino. Abbiamo messo al fianco di un violino un altoparlante con un generatore di frequenza variabile capace di produrre suoni armonici tra 500 y 1500 Hz. Si osserva che la seconda corda (che quando il violino è affine corrisponde alla nota La) oscilla appreziatamente solo per le frequenze di 880 e 1320 Hz. La corda ha una lunghezza $L=32,6\text{cm}$.

Sulla base di questi dati,

a) Determina e calcola la velocità, $v$, di diffusione delle onde trasversali nella corda del violino.

b) Si produrrebbe un oscillazione apprezzabile della corda per una frequenza inferiore a 500 Hz? Spiega

• Perché?

La velocità di diffusione delle onde trasversali in una corda tensa dipende dalla densità lineare di massa $\mu$ della corda (massa per unità di lunghezza) e di tensione $T$. La forma di questa dipendenza è una di cui sopra:

i) $v=\sqrt{\frac{\mu }{T}}$

ii) $v=\sqrt{\frac{1}{\mu T}}$

(iii) $v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$

iv) $v=\sqrt{\mu T}$

c) Sulla base dell’omogeneità di dimensioni delle formule fisiche, indicare ragionevolmente quale di esse sia Queste espressioni sono le uniche giuste.

La seconda corda del violino ha un diametro $D=0,76\text{mm}$ e una densità di massa per unità di volume medio $\rho =5,93{\text{g/cm}}^3$.

d) Calcola la tensione alla quale è sottoposta la corda del violino.

Si osserva che i ventri (antinodi) dell’onda stazionaria che si produce a 880 Hz hanno un amplitudine di oscillazione $A=12,7\text{mm}$. Prendiamo $t=0$ nel momento in cui la corda passa attraverso la sua posizione di equilibrio,

e) Scrivi l’equazione dell’onda stazionaria, in unità SI.

f) Scrivere l’equazione della velocità massima di vibrazione $v_t$ di qualsiasi punto della corda. Determina il suo valore per un punto situato a $x=\lambda /2$ di un’estremità della corda, la cui lunghezza è $\lambda$

• Come?

P2. Soluzione

a) La corda oscilla notevolmente quando il suono prodotto dal altoparlante corrisponde a una delle seguenti condizioni: frequenze che possono generare onde stazionarie nella corda. Questo avviene per due frequenze in seguito, $f_n=880$ Hz e $f_{n+1}=1320$ Hz. Anche se non sappiamo il valore di $n$, deve essere rispettato,

$\begin{array}{rl}{f}_n& =n\frac{v}{2L}\\ f_{n+1}& =(n+1)\frac{v}{2L}\end{array}\}(1)$

Quindi, se si toglie $n$ dalla prima equazione,

$n=\frac{2L}{v}{f}_n(2)$

e sostituiremo la seconda

$f_{n+1}=f_n+\frac{v}{2L}\Rightarrow v=2L(f_{n+1}-f_n)=286,9\text{m/s}(3)$

b) Nella equazione (2) sostituiremo la velocità ottenuta,

$n=\frac{f_n}{f_{n+1}-f_n}=2(4)$

che significa che viene attivato il modo $n=2$ per una frequenza $f_2=880$ Hz e il modo $n+1=3$ per una frequenza $f_3=1320$ Hz. Quindi, il modo fondamentale ($n=1$) sarà eccitato per una frequenza

$f_1=\frac{v}{2L}=440\text{Hz}(5)$

che corrisponde alla nota La.

c) Usando l’analisi dimensionale possiamo determinare quale delle quattro equazioni sia corretta. En el Il lato sinistro delle quattro è la velocità. Le sue dimensioni fisiche sono

$[v]=\frac{[L]}{[T]}(6)$

Le dimensioni fisiche della densità di massa per unità di lunghezza $\mu$ sono:

$[\mu ]=\frac{[M]}{[L]}(7)$

e quelle della tensione (considerando che è una forza, e quindi ha dimensioni di massa per accelerazione),

$[T]=[M]\frac{[L]}{[T{]}^2}(8)$

Considerando le equazioni (7) e (8), le dimensioni del termine a sinistra di ciascuna di le espressioni di $v$ sono

i) $\sqrt{\frac{[\mu ]}{[T]}}$

ii) $\sqrt{\frac{1}{[\mu ][T]}}$

(iii) $\sqrt{\frac{[T]}{[\mu ]}}=\frac{[L]}{[T]}$

iv) $\sqrt{[\mu ][T]}(9)$

Poiché le dimensioni devono coincidere nei due termini dell’equazione, l’equazione corretta è

$\text{iii)}v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}(10)$

d) L’espressione (10) consente di chiarire la tensione,

$T=\mu \cdot v^2(11)$

La densità di massa per unità di volume $\rho$ e la densità di massa per unità di lunghezza $\mu$ sono connessi alla sezione $S$ della corda, in modo che

$\mu =\rho \cdot S\Rightarrow \mu =\rho \cdot \pi {\left(\frac{D}{2}\right)}^2(12)$

Substituendo nell’equazione (11) si ottiene

$T=\pi \rho {\left(\frac{D}{2}\right)}^2{v}^2\Rightarrow T=221,4\text{N}(13)$

e) La corda del violino è tenuta per le sue estremità, quindi tali estremità sono a riposo, e quindi Sono nodi dell’onda stazionaria. Prendendo $x=0$ all’estremo sinistro, l’equazione dell’onda Stazionaria è

$y(x,t)=A\text{sen}Kx\text{sen}(\omega t+{\varphi }_0)(14)$

Il valore di ${\varphi }_0$ si ottiene dalla situazione iniziale. In $t=0$ la corda è in posizione di equilibrio, $y(x,0)=0$, in modo che

$0=A\text{sen}Kx\text{sen}{\varphi }_0(15)$

Come $A\ne 0$ e, in generale, $\text{sen}Kx\ne 0$ (solo zero nei nodi), si deduce che

$\text{sen}{\varphi }_0=0\Rightarrow {\varphi }_0=\{\begin{array}{l}0\\ \pi \text{rad}\end{array}(16)$

Poiché l’esercizio non ci dà più informazioni, possiamo scegliere tra le due, quindi Prendiamo la più semplice, ${\varphi }_0=0$. I valori di $K$ e $\omega$ vengono dati da

$K=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi }{v}f\approx 2\pi \cdot 3\text{rad/m},\omega =2\pi f=1760\pi \text{rad/s}(17)$

Quindi

$y(x,t)=12,7\cdot 10^{-3}\text{sen}\left(2\pi \cdot 3x\right)\text{sen}(1760\pi t)\text{m}(18)$

f) La velocità di vibrazione trasversale dei punti della corda è determinata da

$v_t(x,t)=\frac{\mathrm{d}y(x,t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\left[A\text{sen}Kx\text{sen}\omega t\right]}{\mathrm{d}t}=A\omega \text{sen}Kx\cos \omega t(19)$

La velocità trasversale massima si verificherà quando: $\cos \omega t=1$, cioè:

$v_{t\text{max}}(x)=A\omega \text{sen}Kx(20)$

Quindi

$v_{t\text{max}}\left(x=\frac{\lambda }{2}\right)=A\omega \text{sen}\left(K\frac{\lambda }{2}\right)=A\omega \text{sen}\pi =0(21)$

Come ci si aspetterebbe, dato che nella posizione $x=\lambda /2$ appare un nodo di oscillazione per quella frequenza.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.6

P2. Einstein and his violin. Albert Einstein was a passionate musician. At the age of six he began to playing the violin and later the piano. When I was traveling, I used to bring his violin. I called her “Lina”, waiting for some opportunity to play her favorite musicians, solo or in company. So you can immerse yourself in music. He played with friends scientists, neighbors around him or anyone else who I’d give him that chance. Playing the violin helped him think and at the same time it was an exhaust valve when he was working on his theories. Even the It is possible that the quantification of characteristic frequencies of waves The use of the instrument in the production of musical instruments Einstein’s intuition that the energy of photons is quantified. We’re going to study the stationary waves that occur in the strings of the violin. We put it next to a violin a speaker with a variable frequency generator capable of producing harmonic sounds between 500 y 1500 Hz. We notice that the second string (which when the violin is tuned corresponds to the note La) It only oscillates appreciably for the frequencies of 880 and 1320 Hz. The string has a length $L=32,6\text{cm}$.

Based on this data,

(a) Determine and calculate the speed, $v$, of propagation of the cross-wave waves on the violin string.

(b) Would there be a noticeable oscillation of the string at any frequency below 500 Hz? Explain Why?

The speed of propagation of transverse waves in a tense string depends on the linear density The value of the wire shall be the sum of the values of the wire’s mass $\mu$ (mass per unit length) and its voltage $T$. The form of this dependence is a of the following four:

i) $v=\sqrt{\frac{\mu }{T}}$

ii) $v=\sqrt{\frac{1}{\mu T}}$

(iii) $v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$

iv) $v=\sqrt{\mu T}$

(c) Based on the homogeneity of dimensions of the physical formulas, reasonably indicate which of the following: These expressions are the only correct ones.

The second string of the violin has a diameter $D=0,76\text{mm}$ and a mass density per unit of The average volume is $\rho =5,93{\text{g/cm}}^3$.

(d) Calculate the tension to which the violin string is subjected.

It is observed that the ventricles (anthenoids) of the stationary wave occurring at 880 Hz have a amplitud de oscilación $A=12,7\text{mm}$. We take $t=0$ the moment the string passes through its position of the balance,

(e) Write the equation of the stationary wave, in SI units.

(f) Write the equation of the maximum vibration speed $v_t$ of any point on the rope. Determine its value for a point located at a distance $x=\lambda /2$ from one end of the rope, being $\lambda$ the length I’m going to be a wave.

P2. Solution

(a) The string shall oscillate appreciably when the sound produced by the speaker corresponds to one of the following: frequencies that can generate stationary waves on the string. This is happening for two frequencies. consecutivas, $f_n=880$ Hz y $f_{n+1}=1320$ Hz. Although we do not know the value of $n$, it must be met,

$\begin{array}{rl}{f}_n& =n\frac{v}{2L}\\ f_{n+1}& =(n+1)\frac{v}{2L}\end{array}\}(1)$

We cleared $n$ from the first equation,

$n=\frac{2L}{v}{f}_n(2)$

And we replace it with the second.

$f_{n+1}=f_n+\frac{v}{2L}\Rightarrow v=2L(f_{n+1}-f_n)=286,9\text{m/s}(3)$

(b) In equation (2), we substitute the obtained velocity,

$n=\frac{f_n}{f_{n+1}-f_n}=2(4)$

This means that the $n=2$ mode is triggered for a frequency $f_2=880$ Hz and the $n+1=3$ mode is triggered for a frequency $f_3=1320$ Hz. Therefore, the fundamental mode ($n=1$) will be excited for a frequency

$f_1=\frac{v}{2L}=440\text{Hz}(5)$

which is the corresponding one to the note La.

c) Using dimensional analysis we can determine which of the four equations is correct. En el The left side of the four shows the speed. Its physical dimensions are

$[v]=\frac{[L]}{[T]}(6)$

The physical dimensions of the mass density per unit length $\mu$ are

$[\mu ]=\frac{[M]}{[L]}(7)$

And the voltage (considering that it’s a force, and therefore has mass dimensions per the acceleration),

$[T]=[M]\frac{[L]}{[T{]}^2}(8)$

Taking into account the equations (7) and (8), the dimensions of the left term of each of the the expressions of $v$ are

i) $\sqrt{\frac{[\mu ]}{[T]}}$

ii) $\sqrt{\frac{1}{[\mu ][T]}}$

(iii) $\sqrt{\frac{[T]}{[\mu ]}}=\frac{[L]}{[T]}$

iv) $\sqrt{[\mu ][T]}(9)$

Since the dimensions must match both terms of the equation, the correct equation is

$\text{iii)}v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}(10)$

(d) From the expression (10) we can clear the voltage,

$T=\mu \cdot v^2(11)$

The mass density per unit volume $\rho$ and the mass density per unit length $\mu$ are related to the $S$ section of the rope, so that

$\mu =\rho \cdot S\Rightarrow \mu =\rho \cdot \pi {\left(\frac{D}{2}\right)}^2(12)$

Substituting in equation (11) is obtained

$T=\pi \rho {\left(\frac{D}{2}\right)}^2{v}^2\Rightarrow T=221,4\text{N}(13)$

(e) The violin string is held by its ends, so that those ends are at rest, and therefore They’re nodes in the stationary wave. Taking $x=0$ at the left end, the wave equation stationary is

$y(x,t)=A\text{sen}Kx\text{sen}(\omega t+{\varphi }_0)(14)$

The value of ${\varphi }_0$ is obtained from the initial situation. In $t=0$ the string is in its equilibrium position, $y(x,0)=0$, so that

$0=A\text{sen}Kx\text{sen}{\varphi }_0(15)$

As $A\ne 0$ and generally $\text{sen}Kx\ne 0$ (only zero at the nodes), it follows that

$\text{sen}{\varphi }_0=0\Rightarrow {\varphi }_0=\{\begin{array}{l}0\\ \pi \text{rad}\end{array}(16)$

Since the exercise does not give us any more information, we can choose either, so We take the simplest one, ${\varphi }_0=0$. The values of $K$ and $\omega$ are given by

$K=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{2\pi }{v}f\approx 2\pi \cdot 3\text{rad/m},\omega =2\pi f=1760\pi \text{rad/s}(17)$

So that

$y(x,t)=12,7\cdot 10^{-3}\text{sen}\left(2\pi \cdot 3x\right)\text{sen}(1760\pi t)\text{m}(18)$

(f) The transverse vibration velocity of the points of the rope is determined by

$v_t(x,t)=\frac{\mathrm{d}y(x,t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\left[A\text{sen}Kx\text{sen}\omega t\right]}{\mathrm{d}t}=A\omega \text{sen}Kx\cos \omega t(19)$

The maximum transverse speed shall occur when $\cos \omega t=1$, that is to say,

$v_{t\text{max}}(x)=A\omega \text{sen}Kx(20)$

So that

$v_{t\text{max}}\left(x=\frac{\lambda }{2}\right)=A\omega \text{sen}\left(K\frac{\lambda }{2}\right)=A\omega \text{sen}\pi =0(21)$

As expected, given that in the position $x=\lambda /2$ there is a oscillation node for that frequency.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.6

P3. Einstein y la velocidad de la luz. En su visita a Zaragoza, Einstein impartió dos conferencias en el Paraninfo de la Universidad. La primera de ellas la dedicó a exponer su teoría de la Relatividad Especial. Uno de los postulados más importantes de esta teoría es que la velocidad de la luz en el vacío, $c$, es constante e independiente del movimiento relativo entre emisor, receptor y observadores. Con un sencillo experimento mental podemos deducir alguna de las consecuencias de dicho postulado. Considera un tren en movimiento a velocidad contante $v$. Una joven estudiante de física que va montada en el tren (Fig. 1) observa que se emite un pulso de luz desde un foco situado en el suelo hacia un espejo colocado en el techo del tren, a una altura $L$ desde el suelo, de modo que la luz se refleja y vuelve al foco.

a) Calcula el tiempo $\Delta t$ que, desde el punto de vista de la estudiante, tarda el pulso desde que sale del foco hasta que vuelve al mismo.

Un compañero suyo, que está viendo pasar el tren, observa que la luz describe una trayectoria distinta (Fig. 2), aunque según el postulado de Einstein, la velocidad de la luz, $c$, es la misma para él que la que observa su compañera en el tren. Por lo tanto, para él, el pulso tardará un tiempo $\Delta t_0>\Delta t$ en volver al foco.

b) Calcula en función del tiempo $\Delta t_0$ la distancia $D$ que recorre la luz desde el foco hasta el espejo desde el punto de vista del estudiante en reposo.

c) Calcula, en función de $v$, $c$ y $L$, el tiempo $\Delta t_0$ que, desde el punto de vista del estudiante en reposo, tarda el pulso desde que sale del foco hasta que vuelve al mismo.

d) Expresa $\Delta t$ en función de $\Delta t_0$.

La expresión que has obtenido en d) corresponde a la dilatación temporal relativista: un reloj que se mueve se retrasa respecto de otro que se encuentra en reposo. Este efecto permite que lleguen a la superficie de la Tierra partículas como los piones cargados ${\pi }^{\pm }$, que se producen en las capas altas de la atmósfera por el bombardeo constante de partículas cargadas (principalmente protones y núcleos de átomos más pesados) que llegan desde el espacio exterior, conocidas como rayos cósmicos. Los piones en reposo tienen un tiempo de vida media de 25 ns, antes de desintegrarse en otras partículas, por lo que difícilmente tendrían tiempo de llegar a la superficie terrestre. Sin embargo, gracias a la dilatación temporal que se produce cuando se observan moviéndose a gran velocidad, pudieron ser detectados por primera vez en 1947 en el Laboratorio de Física de Rayos Cósmicos de Chacaltaya (Bolivia), situado a 5200 m sobre el nivel del mar. Supongamos que los piones viajan por la atmósfera a una velocidad constante $v$ cercana a la de la luz, $v=0,99999c$.

e) Determina el tiempo de vida media de los piones a dicha velocidad que medirá un observador en el laboratorio.

f) Calcula la altura media sobre el nivel del mar a la que se generaron estos piones en la atmósfera.

$c=3\cdot 10^5\text{km/s}$

P3. Solución

a) Para la observadora montada en el tren, el pulso de luz recorre una distancia $2L$ y se mueve con velocidad $c$, por lo que

$\Delta t=\frac{2L}{c}(1)$

b) Para el observador que está viendo pasar el tren con velocidad $v$, la distancia $s$ que recorre el tren desde que el pulso de luz sale del foco hasta que vuelve al mismo viene dada por

$s=v\Delta t_0(2)$

Aplicando el teorema de Pitágoras (Fig. 3), la distancia $D$ que recorre la luz entre el foco y el espejo es

$D=\sqrt{L^2+{\left(\frac{s}{2}\right)}^2}\Rightarrow D=\sqrt{L^2+{\left(\frac{v\Delta t_0}{2}\right)}^2}(3)$

c) Para el observador que está en reposo, el pulso de luz recorre una distancia $2D$ y, según el postulado de Einstein, se mueve también con velocidad $c$, por lo que

$\Delta t_0=\frac{2D}{c}(4)$

Sustituyendo (4) en (3) encontramos la siguiente relación,

$\Delta t_0=\frac{2}{c}\sqrt{L^2+{\left(\frac{v\Delta t_0}{2}\right)}^2}(5)$

Pasando $c/2$ multiplicando a la izquierda y elevando ambos términos al cuadrado podemos quitar la raíz cuadrada,

$\frac{c^2}{4}\Delta t_0^2=L^2+{\left(\frac{v\Delta t_0}{2}\right)}^2(6)$

de donde, con un poco de álgebra, podemos despejar $\Delta t_0$,

$\Delta t_0=\frac{2L}{\sqrt{c^2-v^2}}(7)$

Para poder comparar con el valor de $\Delta t$ obtenido para la observadora en movimiento, la expresión (7) se puede escribir en la forma

$\Delta t_0=\frac{2L}{c}\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}(8)$

d) A partir de la expresión (8) podemos escribir,

$\Delta t_0\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}=\frac{2L}{c}(9)$

Comparando la expresión (9) con la (1) se obtiene

$\Delta t=\Delta t_0\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}(10)$

e) En el sistema de referencia del pion (en movimiento con velocidad $v=0,99999c$ respecto del laboratorio) su tiempo de vida media es $\Delta t=25$ ns. Para el observador en el laboratorio, que está en reposo, el tiempo de vida media del pion, $\Delta t_0$, se puede obtener despejando de la ecuación (10),

$\Delta t_0=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}\Rightarrow \Delta t_0=5590\text{ns}(11)$

f) La distancia media que recorren los piones más alejados desde que se producen hasta el punto de detección, $s$, vendrá dada por

$s=v\cdot \Delta t_0(12)$

De modo que

$s=0,99999c\cdot \Delta t_0\Rightarrow s=1670\text{m}(13)$

Como el laboratorio de Chacaltaya se encuentra a una altitud $h_0=5200\text{m}$, la altura media sobre el nivel del mar a la que se producen estos piones es

$h=h_0+s=6870\text{m}$

Luce verticale nel treno (Figura 1)

Luce diagonale D osservatore fermo (Figura 2)

Triangolo pitagorico percorso luce (Figura 3)

Topic: Special Relativity, Nuclear & Particle Physics Metodi: Lorentz Transformation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.10

P3. Einstein e la velocità della luce. Nella sua visita a Saragoza, Einstein ha tenuto due conferenze presso il Paraninfo dell’Università. La prima di queste le dedicò a esporre la sua teoria della Relatività Speciale. Uno dei più importanti postulati di Questa teoria è che la velocità della luce nel vuoto, $c$, è costante e indipendente dal movimento relativo tra emittente, ricevente e osservatore. Con un semplice esperimento mentale possiamo dedurre alcune delle Le conseguenze di tale pretesa. Considera un treno in movimento a velocità continua $v$. Una giovane studente di fisica che si imbarca in treno (Fig. 1) osserva che emette un impulso di luce da un foco situato sul suolo verso uno specchio posto sul tetto del treno, ad un’altezza $L$ dal il terreno, così la luce si riflette e ritorna al fuoco.

a) Calcola il tempo $\Delta t$ que, desde el punto de vista de la studente, il polso dura da quando esce dal fuoco fino a quando Torna allo stesso.

Un suo compagno, che sta guardando il treno passare, osserva che La luce descrive un percorso diverso (Fig. 2), anche se secondo il postulato da Einstein, la velocità della luce, $c$, è la stessa per lui che quella che guarda la sua compagna sul treno. Per lui, quindi, il pulso ci vorrà un po ’ $\Delta t_0>\Delta t$ en volver al foco.

b) Calcolazione in base al tempo $\Delta t_0$ la distanza $D$ percorsa la luce dal foco allo specchio dal punto di vista del studente in riposo.

c) Calcola, in funzione di $v$, $c$ e $L$, il tempo $\Delta t_0$ que, desde el punto de vista del estudiante en reposo, tarda il polso dal momento in cui esce dal fuoco fino a quando ritorna al suo stesso.

d) Espresso $\Delta t$ in funzione del $\Delta t_0$.

L’espressione che hai ottenuto in d) corrisponde alla dilatazione temporale Relativista: un orologio in movimento si ritardano rispetto ad un altro in riposo. Questo effetto permette di raggiungere la superficie della Terra particelle come i pioni carichi ${\pi }^{\pm }$, che si producono nelle alte strati dell’atmosfera dal costante bombardamento di particelle cariche (principalmente protoni e nuclei di atomi più pesanti) che arrivano dallo spazio esterno, noti Come i raggi cosmici. I pioni in riposo hanno una vita media di 25 ns prima di disintegrarsi. In altre particelle, quindi non avrebbero avuto il tempo di raggiungere la superficie terrestre. Tuttavia, Grazie alla dilatazione temporale che si verifica quando si osservano muoversi a grande velocità, sono stati I primi sono stati rilevati nel 1947 al Laboratorio di Fisica dei Raggi Cosmici di Chacaltaya (Bolivia), situato a 5200 m sul livello del mare. Supponiamo che i pioni viaggiino nell’atmosfera a una velocità costante $v$ vicino a quella della luce, $v=0,99999c$.

e) Determina il tempo di vita medio dei pignoni a tale velocità che un osservatore in laboratorio.

f) Calcola l’altezza media sul livello del mare a cui sono stati generati questi pioni nell’atmosfera.

$c=3\cdot 10^5\text{km/s}$

P3. Soluzione

a) Per l’osservatore montato sul treno, il pulso di luce percorre una distanza $2L$ e si muove a velocità $c$, per cui

$\Delta t=\frac{2L}{c}(1)$

b) Per l’osservatore che sta osservando il treno a $v$, la distanza $s$ da cui il treno passa che il polso di luce esce dal foco fino a quando non torna allo stesso viene dato da

$s=v\Delta t_0(2)$

Applicando il teorema di Pitagora (Fig. 3), la distanza $D$ tra la luce Il fuoco e lo specchio sono

$D=\sqrt{L^2+{\left(\frac{s}{2}\right)}^2}\Rightarrow D=\sqrt{L^2+{\left(\frac{v\Delta t_0}{2}\right)}^2}(3)$

c) Per l’osservatore a riposo, il pulso di luce percorre una distanza $2D$ e, secondo il postulato di Einstein, si muove anche a velocità $c$, quindi

$\Delta t_0=\frac{2D}{c}(4)$

Rimpiazzando (4) con (3) troviamo la seguente relazione,

$\Delta t_0=\frac{2}{c}\sqrt{L^2+{\left(\frac{v\Delta t_0}{2}\right)}^2}(5)$

Passando $c/2$ moltiplicando a sinistra e sollevando entrambi i termini al quadrato possiamo rimuovere la radice quadrato,

$\frac{c^2}{4}\Delta t_0^2=L^2+{\left(\frac{v\Delta t_0}{2}\right)}^2(6)$

Da dove, con un po’ di algebra, possiamo chiarire $\Delta t_0$,

$\Delta t_0=\frac{2L}{\sqrt{c^2-v^2}}(7)$

Per poter confrontare il valore di $\Delta t$ ottenuto per l’osservatore in movimento, espressione (7) è può scrivere in forma

$\Delta t_0=\frac{2L}{c}\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}(8)$

d) L’espressione (8) ci permette di scrivere:

$\Delta t_0\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}=\frac{2L}{c}(9)$

Confrontando l’espressione (9) con la (1) si ottiene

$\Delta t=\Delta t_0\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}(10)$

e) Nel sistema di riferimento del pion (in movimento a velocità) $v=0,99999c$ per quanto riguarda il laboratorio) La sua media vita è $\Delta t=25$ ns. Per l’osservatore in laboratorio, che sta a riposo, il tempo di vita media del pion, $\Delta t_0$, può essere ottenuto chiarendo l’equazione (10),

$\Delta t_0=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}\Rightarrow \Delta t_0=5590\text{ns}(11)$

f) La distanza media tra i pioni più lontani da quando si producono fino al punto di Il sistema di controllo, $s$, verrà fornito da

$s=v\cdot \Delta t_0(12)$

Quindi

$s=0,99999c\cdot \Delta t_0\Rightarrow s=1670\text{m}(13)$

Come il laboratorio di Chacaltaya si trova ad un’altitudine $h_0=5200\text{m}$, altezza media sul livello Il mare dove vengono prodotti questi pioni è

$h=h_0+s=6870\text{m}$

*Luminazione verticale nel treno (Figura 1) *

*Luce diagonale D osservatore fermo (Figura 2) *

*Triangolo pitagorico percorso luce (Figura 3) *

Topic: Special Relativity, Nuclear & Particle Physics Metodi: Lorentz Transformation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.10

P3. Einstein and the speed of light. In his visit to Zaragoza, Einstein gave two lectures at the Paraninfo of the University. The first one He devoted some of these to expounding his theory of special relativity. One of the most important proposals of the This theory is that the speed of light in vacuum, $c$, is constant and independent of relative motion. between the transmitter, receiver and observer. With a simple mental experiment we can deduce some of the The Commission has not yet taken any further action. Consider a train moving at constant speed $v$. One of them. A young physics student riding a train (Fig. 1) observes a pulse of light is emitted from a ground-based focus towards the a mirror placed on the roof of the train, at a height $L$ from the So the light is reflected back into the focus.

(a) Calculate the time $\Delta t$ que, desde el punto de vista de la Student, it takes the pulse from the exit of the focus until the It’s back to the same.

A colleague of yours, watching the train pass, observes that The light describes a different path (Fig. 2), although according to the Einstein’s postulate, the speed of light, $c$, is the same for him than the one watching her partner on the train. Therefore, for him, the Pulse will take a while $\Delta t_0>\Delta t$ en volver al foco.

(b) Calculate based on time $\Delta t_0$ the distance $D$ travelled The light from the focus to the mirror from the point of view of the student on leave.

(c) Calculate, based on $v$, $c$ and $L$, the time $\Delta t_0$ que, desde el punto de vista del estudiante en reposo, tarda pulse from the moment it exits the focus until it returns to the same.

(d) Expressed $\Delta t$ depending on the $\Delta t_0$.

The expression the amount of time you have received in d) corresponds to the time dilation Relativist: a moving clock lags behind a resting clock. This effect allows particles like charged pions to reach the Earth’s surface ${\pi }^{\pm }$, which They occur in the upper atmosphere by the constant bombardment of charged particles. (mainly protons and heavier atomic nuclei) coming from outer space, known as like cosmic rays. The resting pions have a half-life of 25 ns, before disintegrating. In other particles, they would hardly have time to reach the Earth’s surface. However, And because of the time dilation that occurs when they’re seen moving at high speed, they could be first detected in 1947 at the Cosmic Ray Physics Laboratory in Chacaltaya, Bolivia, located at 5200 m above sea level. Suppose the pions travel through the atmosphere at a speed constant $v$ close to that of the light, $v=0,99999c$.

(e) Determines the half-life of the pions at that speed which an observer will measure at the The lab.

(f) Calculate the average elevation above sea level at which these pions were generated in the atmosphere.

$c=3\cdot 10^5\text{km/s}$

P3. Solution

(a) For the observation apparatus mounted on the train, the light pulse travels a distance $2L$ and moves at speed $c$, therefore

$\Delta t=\frac{2L}{c}(1)$

(b) For the observer watching the train passing at $v$, the distance $s$ travelled by the train from The pulse of light that comes out of the focus until it comes back to the same is given by

$s=v\Delta t_0(2)$

Applying the Pythagorean theorem (Fig. 3), the $D$ distance travelled by the light between The focus and the mirror is

$D=\sqrt{L^2+{\left(\frac{s}{2}\right)}^2}\Rightarrow D=\sqrt{L^2+{\left(\frac{v\Delta t_0}{2}\right)}^2}(3)$

(c) For the observer at rest, the pulse of light travels a distance $2D$ and, according to the postulate of Einstein, it also moves at $c$, so

$\Delta t_0=\frac{2D}{c}(4)$

Substituting (4) for (3) we find the following relationship,

$\Delta t_0=\frac{2}{c}\sqrt{L^2+{\left(\frac{v\Delta t_0}{2}\right)}^2}(5)$

By passing $c/2$ by multiplying to the left and by squaring both terms we can remove the root square,

$\frac{c^2}{4}\Delta t_0^2=L^2+{\left(\frac{v\Delta t_0}{2}\right)}^2(6)$

where, with a little bit of algebra, we can clear $\Delta t_0$,

$\Delta t_0=\frac{2L}{\sqrt{c^2-v^2}}(7)$

To compare the value of $\Delta t$ obtained for the moving observer, the expression (7) is You can write in the form

$\Delta t_0=\frac{2L}{c}\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}(8)$

(d) From the expression (8) we can write,

$\Delta t_0\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}=\frac{2L}{c}(9)$

Comparing the expression (9) with the expression (1) is obtained

$\Delta t=\Delta t_0\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}(10)$

(e) In the pione reference system (in motion at speed) $v=0,99999c$ for the laboratory) Its half-life is $\Delta t=25$ ns. For the lab observer, who is at rest, the weather the half-life of the pion, $\Delta t_0$, can be obtained by clearing the equation (10),

$\Delta t_0=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}\Rightarrow \Delta t_0=5590\text{ns}(11)$

(f) The average distance travelled by the furthest pions from the time they occur to the point of The detection, $s$, shall be given by:

$s=v\cdot \Delta t_0(12)$

So that

$s=0,99999c\cdot \Delta t_0\Rightarrow s=1670\text{m}(13)$

As the laboratory at Chacaltaya is located at an altitude $h_0=5200\text{m}$, the average height above the level The sea from which these pions are produced is

$h=h_0+s=6870\text{m}$

Luce verticale nel treno (Figura 1)

Luce diagonale D osservatore fermo (Figura 2)

Triangolo pitagorico percorso luce (Figura 3)

Topic: Special Relativity, Nuclear & Particle Physics Metodi: Lorentz Transformation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.10