UK 2023

February 2023

British Physics Olympiad 2022-23 Round 2 Competition Paper February 2023 Instructions Time: 3 hours (approximately: Q1 40 min, Q2 45 min, Q3 45 min, Q4 50 min). Questions: All four questions should be attempted. Marks: The questions carry marks indicated by the times above. Solutions: Answers and calculations are to be written on loose paper or in examination booklets, and graph paper should be provided. Students should ensure their name and school is clearly written on all answer sheets and pages are numbered. A standard formula booklet with standard physical constants should be supplied. Instructions: To accommodate students sitting the paper at different times, please do not discuss any aspect of the paper on the internet until March. This paper must not be taken out of the exam room. All notes must be collected in. Calculators: Any standard calculator may be used, but calculators must not have symbolic algebra capability. If they are programmable, then they must be cleared or used in “exam mode”. Clarity: Solutions must be written legibly, in black pen (the papers are photocopied), and working down the page. Scribble will not be marked and overall clarity is an important aspect of this exam paper.

Important Constants Constant Symbol Value Speed of light in free space $c$ $3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$ Elementary charge $e$ $1.60\times 10^{-19}$ C Acceleration of free fall at Earth’s surface $g$ $9.81{\text{m s}}^{-2}$ Permittivity of free space ${ϵ}_0$ $8.85\times 10^{-12}{\text{F m}}^{-1}$ Permeability of free space ${\mu }_0$ $4\pi \times 10^{-7}{\text{H m}}^{-1}$ Mass of an electron $m_e$ $9.11\times 10^{-31}$ kg Mass of a neutron $m_n$ $1.67\times 10^{-27}$ kg Mass of a proton $m_p$ $1.67\times 10^{-27}$ kg Radius of a nucleon $r_0$ $1.2\times 10^{-15}$ m Planck’s constant $h$ $6.63\times 10^{-34}$ J s Gravitational constant $G$ $6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$ Boltzmann constant $k$ $1.38\times 10^{-23}{\text{J K}}^{-1}$ Molar gas constant $R$ $8.31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ Specific heat capacity of water $c_w$ $4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ Mass of the Sun $M_S$ $1.99\times 10^{30}$ kg Mass of the Earth $M_E$ $5.97\times 10^{24}$ kg Radius of the Earth $R_E$ $6.38\times 10^6$ m The BPhO is sponsored by G-Research

Qu 1. General Questions (a). Air bubbles in water are observed to rise towards the surface at different speeds according to their initial size. Use your knowledge of physics to suggest an explanation. (b). Walking out of the front door on a cold, frosty morning, two effects are observed outside. (i) A nail, hammered in to the wooden gate, has a splay of ice crystals growing from it, shown in Fig. 1. With a few brief statements, suggest a possible explanation of this effect. Figure 1: Ice crystals formed on a nail in a wooden fence on a frosty morning. (ii) The windscreen of a car has a pattern on it, as in Fig. 2, which is not scratches on the glass, but ice. Again, with a few brief statements, suggest a possible explanation of this effect. Figure 2: Ice crystals forming a pattern on the windscreen of a car on a cold, dry morning. (c). Estimate the number of peas (the small, green edible vegetable) that are consumed in the UK in a year. (d). A voltage amplifier of the type known as an op-amp consists of an integrated circuit constructed from many elements (transistors, resistors, etc.). Its internal workings are unimportant in this question. It is symbolised by a triangle with two inputs and an output, as shown in Fig. 3. It has a dc power supply to enable it to work, but that is not shown. The signal input terminals are labelled

• and $-$, which is a notation and not the polarity of voltage supplied. They are respectively the

Figure 3: op-amp. non-inverting input and the inverting input. We will assume a perfectly adjusted op-amp in order to make the following simplified statements. • If the two inputs are connected together, the output is 0 V. • If the inverting input (-) is set to 0 V then a small voltage, $V_{\text{in}}$, applied to the non-inverting input (+) will produce an output voltage $A_0{V}_{\text{in}}$ where $A_0$ is the open-loop gain and $A_0\gg 1$ ($A_0$ is typically of order $10^5-10^6$). If $V_{\text{in}}$ is not small, then the output will saturate at the supply voltage and not at $A_0{V}_{\text{in}}$. • If the non-inverting input (+) is set to 0 V, and a small voltage $V_{\text{in}}$ is applied to the inverting input (-) then the output voltage will be $-A_0{V}_{\text{in}}$. Three examples are shown in Fig. 4. The op-amp is rarely used in this simple manner as the $A_0$ is Figure 4: Three op-amp examples of the input and output values. large but not known precisely. So usually, a small fraction of the output signal is fed back to the input and, as we shall see, this controls the gain of $A_g$ of the circuit ($A_0$ is for the op-amp alone). (i) In the circuit shown in Fig. 5, we can assume that negligible current enters the inverting terminal. i. Copy the circuit and sketch the path of the current $i$ that flows into the circuit at $V_{\text{in}}$ through the pair of resistors to $V_{\text{out}}$. ii. Given that the non-inverting input is at 0 V, and that the (small) potential at the inverting input is given by $v=-\frac{V_{\text{out}}}{A_0}$, obtain equations for the current $i$ flowing through $R_{\text{in}}$ in terms of $V_{\text{out}}$, $V_{\text{in}}$ and $A_0$, and the same current $i$ through $R_f$ in terms of these quantities.

iii. Eliminating the current $i$ between these two equations, obtain an expression for $A_g=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}$. iv. For $A_0\gg 1$, obtain an expression for $A_g$ in terms of $R_f$ and $R_{\text{in}}$. Figure 5: Inverting amplifier circuit with feedback from the output to the inverting input. (ii) For the non-inverting amplifier of Fig. 6 the non-inverting input is now at $V_{\text{in}}$ whilst the inverting input is again at potential $v$ given by $V_{\text{out}}=A_0(V_{\text{in}}-v)$. A current $i$ flows from the output down to 0 V with no current entering the inverting input. i. Write down equations for the current $i$ flowing through $R_1$ and $R_2$ in terms of $V_{\text{out}}$, and the same current through $R_2$ in terms of $v$. ii. Eliminating the current $i$ between these two equations, obtain an expression for $A_g=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}$. iii. For $A_0\gg 1$, obtain an expression for $A_g$ in terms of $R_1$ and $R_2$ only. Figure 6: Non-inverting amplifier circuit with feedback from the output again to the inverting input. (iii) In the following circuit, we assume that $A_0\gg 1$ and so $v$ is small enough that the two inputs can be taken to be the same value and $v\approx 0$, and also that no current enters the op-amp inputs (these are the two “Golden Rules” for op-amps). For the circuit of Fig. 7 a current $i$ flows through $R_{\text{in}}$ and onto the capacitor when switch S is opened at time $t=0$. No current enters the inverting input. i. Obtain equations for the current $i$ in terms of $R_{\text{in}}$ and $V_{\text{in}}$, and then the charge $Q$ on the capacitor in terms of $C$ and $V_{\text{out}}$. ii. Obtain a differential equation $\frac{d{V}_{\text{out}}}{dt}$ which can then be expressed in terms of $V_{\text{in}}$, $R_{\text{in}}$ and $C$. Solve this for $V_{\text{out}}$ in terms $V_{\text{in}}$. iii. Sketch a graph of $V_{\text{out}}$ against time, $t$. Figure 7: Circuit with feedback via a capacitor to the inverting input.

Qu 2. Energy Levels This question explores energy levels in atoms. The model is interesting both from a historical perspective and as an example of where classical physics meets quantum physics. (a). In a simple model of the hydrogen atom due to Bohr and de Broglie, electrons are assumed to follow circular orbits around the nucleus with the wave-like nature of electrons manifest as resonant states or standing waves around a closed orbit, with the number of half-wavelengths given by the integer, $n$. This model of the orbits is illustrated in Fig. 8. Figure 8: Bohr orbits, pictured as standing waves of an electron in a closed orbit around the nucleus. (i) Sketch the $n=3$ example shown and referring to your sketch, comment on what determines the value of $n$. (ii) By considering the electron simply as a particle of mass $m$ and charge $e$ orbiting the nucleus, derive an expression for the total energy of the system, $E$, in terms of the radius of the orbit of the electron around the nucleus, $r$ The energy of the electron in its orbit is dependent upon $r$, but there is no restriction on the value of $r$ or of $E$. Now, if we consider the electron as a de Broglie wave, (iii) show that the wave-like nature illustrated in Fig. 8 leads to the quantisation condition

$rp=n\frac{h}{2\pi }$

where $p$ is the momentum of the electron. (iv) Determine the radius of the hydrogen atom that this predicts when $n=1$. Does it seem sensible? (v) Determine the energy levels of atomic hydrogen, $E_n$, in this model. Calculate the ground state energy in eV. (b). In a slightly improved model, the electron and nucleus orbit their common centre of mass. (i) Show that the electron and nucleus orbit with a common angular velocity, $\omega$, and find an expression for $\omega$ in terms of $r$, the separation of the electron from the nucleus, and $\mu$, the so-called ‘reduced mass’

$\mu =\frac{mM}{m+M}$

with $m$ the mass of the electron and $M$ the mass of the nucleus. (ii) The quantity $rp$ in (a).(iii) is the angular momentum of the electron. This is the ‘moment of momentum’ about the orbital centre. A generalisation of the quantisation condition arrived at previously has the total (sum of) angular momentum of the electron and nucleus quantised in units of $\frac{h}{2\pi }$. Calculate the lowest two energy levels of both atomic hydrogen and atomic tritium in this model. (iii) Which of hydrogen and tritium would absorb a shorter wavelength of light for a given atomic transition? What is the difference between the two wavelengths?

Qu 3. Party balloons (a). Explain why a heavy balloon inflated with helium-4 gives a lower reading on an accurate weighing scale than the same balloon when deflated, despite having a larger mass. A party balloon of mass 10 g is inflated with helium-4. (b). Show that, under typical atmospheric conditions, the volume of the balloon $V$ should satisfy $V\gtrsim 1.0\times 10^{-2}{\text{m}}^3$ if it is to float. The balloon is initially inflated to a volume $V_0=2.0\times 10^{-2}{\text{m}}^3$, then released. It floats up gently before coming to rest on the ceiling. Unfortunately, there is a leak, and the balloon slowly deflates through a very small hole of area $A$. (c). Show that the root mean-square momentum $P_{\text{rms}}$ of a particle in a pure ideal gas of temperature $T$ is

$P_{\text{rms}}=\sqrt{3mkT},$

where $m$ is the particle mass. Hence reason why the typical momentum in any given direction is

$P=\sqrt{mkT}.$

(d). The pressure of a gas can be loosely thought of as the total momentum flowing through unit area per unit time. Making the approximation that all particles travelling in a given direction have momentum $P$, explain why $N$, the number of atoms of helium-4 in the balloon, decreases over time as:

$\frac{dN}{dt}=-\frac{pA}{\sqrt{mkT}}.$

(e). Hence obtain an expression for the rate of change of the volume, $\frac{dV}{dt}$, in terms of $A,k,T,m$. (f). If after 1 hour the balloon has shrunk by 5% in volume, estimate the time until the balloon drops back to the floor, and estimate the area of the leaky hole. How does this compare to the initial surface area of the balloon? (g). Suggest why the model presented above would break down if the hole was made significantly larger. (h). The balloon was itself filled from a rigid, pressurised cylinder of helium-4 of fixed volume $v$. If this cylinder also develops a small leak (of area $a$), derive an algebraic expression for the gas pressure inside the cylinder as a function of time. Take the initial pressure to be $p_0$. No numerical calculations are needed.

Qu 4. A Space Elevator This question explores the idea of a space elevator for reaching a high altitude orbit such as a geostationary one. When considering the physics of rotating objects, a helpful way to analyse the motion can be to transform to a frame of reference which is rotating with the object, and in which the object is therefore (in the simplest case) at rest. When an object of mass $m$ is at rest in this frame of reference, and the reference frame is rotating uniformly with angular velocity $\omega$, the transformation to this frame gives rise to a fictitious ‘centrifugal’ force equal to $mr{\omega }^2$, where $r$ is the distance of the mass from the axis of rotation. The force is centrifugal in that it is directed away from the axis of rotation rather than towards it. To handle the laws of motion in such a rotating frame, simply treat the fictitious forces like real forces and go about things as usual! (a). Find an expression for the orbital time period for a satellite of mass $m_s$ orbiting at a distance $r_g$ from the centre of the earth. Calculate the radius of the orbit of a geostationary satellite. (b). A mass $m$ is to be kept in orbit at a radius $r_g+r^{\prime }$ ($r^{\prime }\ll r_g$) as shown in the diagram below. What extra force is required to do this over and above the gravitational force. Determine both its magnitude and direction. $r_g$ $r^{\prime }$ $m$ elevator (c). An elevator is hung from the mass $m$ as shown in the diagram above and reaches all the way down to the surface of the earth. Modelling the elevator as a thin rod with mass per unit length $\mu$, show that for the elevator plus mass to maintain the same geostationary orbital period then the mass must (taking the radius of a geostationary orbit to be very much bigger than the radius of the earth) be given by

$m=\frac{\mu r_g^3}{3r_e{r}^{\prime }}$

where $r_e$ is the radius of the earth. (d). Using reasonable estimates for $\mu$ and $r^{\prime }$, comment on the viability of this proposal using standard materials.

(e). Contemplate instead a ‘free-standing’ elevator without a counterweight, modelled as a uniform cable whose ends require no restraint. Again the cable rotates with the earth. Consider the net stress $d\sigma$ on an element of cable $dr$ with cross-sectional area $A$ at a distance $r$ from the centre of the earth. Show that

$\frac{d\sigma }{dr}=G{m}_e\rho \left(\frac{1}{r^2}-\frac{r}{r_g^3}\right)$

where $\rho$ is the mass density (by volume) of the cable and $m_e$ is the mass of the earth. (f). What is the largest tensile stress in the cable and at what radius does it occur? Compare this for the three different materials in the table below and comment on your findings. Material — Density / ${\text{kg m}}^{-3}$ — Maximum tensile stress⋆ / GPa Steel — 7900 — 5.0 Kevlar — 1400 — 3.6 Carbon nanotubes — 1300 — 130 ⋆ Safe practice typically dictates that materials are not subject to stresses of more than half their maximum. (g). A different design of elevator is one where the stress is held fixed (at a safe value) and instead the cross-sectional area varies. Show that in this setup the cross-sectional area is given by

$A(r)=A_b\exp \left[\frac{r_e^2}{L_c}\left(-\frac{1}{r}-\frac{r^2}{2r_g^3}+k\right)\right]$

where $k$ is a constant to be determined, $A_b$ is the area at the base of the elevator and $L_c=\frac{\sigma }{\rho g}$ (with $g$ the acceleration due to gravity at the surface of the earth) is the ’characteristic length’ of the elevator material. What is the maximum area and at what radius does it occur? (h). For a realistic construction, the ratio between the area at ground level and the maximum area should not be too large. Determine this ratio (known as the ‘taper ratio’) for the materials given above (for a suitable stress) and comment on your findings. (i). Assuming a symmetrical construction of the variable area elevator, calculate its height and compare the value you obtain with the height of the setup in (e). END OF PAPER Questions proposed by: Rupert Allison (Harrow School) James Bedford (Harrow School) Robin Hughes (Isaac Physics & BPhO)

Topic: Circuits, Modern-Quantum Physics, Fluid Mechanics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Bohr Model & Quantization, de Broglie Relation, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Capacitor, Resistor, Atom, Satellite, Bubble Fonte: Testo (PDF) — p.1

Febbraio 2023

Olimpiade Britannica di Fisica 2022-23 Prova della Seconda Tappa Febbraio 2023 Istruzioni Tempo: 3 ore (circa: Q1 40 min, Q2 45 min, Q3 45 min, Q4 50 min). Domande: Devono essere affrontate tutte e quattro le domande. Punti: Le domande valgono i punti indicati in base al tempo previsto. Soluzioni: Risposte e calcoli devono essere scritti su fogli protocollo o in quaderni d’esame, e deve essere fornito carta millimetrata. Gli studenti devono assicurarsi che il proprio nome e la scuola siano chiaramente indicati su tutti i fogli di risposta, e che le pagine siano numerate. Deve essere fornito un foglio con formule standard e costanti fisiche fondamentali. Istruzioni: Per consentire a studenti che svolgono la prova in orari diversi di partecipare, non si deve discutere alcun aspetto della prova su internet fino al mese di marzo. La prova non deve essere portata fuori dalla sala d’esame. Tutti i appunti devono essere raccolti alla fine della prova. Calcolatrici: È consentito l’uso di qualsiasi calcolatrice standard, ma non devono avere la capacità di algebra simbolica. Se sono programmabili, devono essere cancellate o utilizzate in modalità “esame”. Chiarezza: Le soluzioni devono essere scritte con chiarezza, a penna nera (i fogli vengono fotocopiati), e i calcoli devono essere svolti in ordine discendente lungo la pagina. I bozzetti non verranno valutati, e la chiarezza generale è un aspetto importante della prova.

Costanti importanti Costante Simbolo Valore Velocità della luce nel vuoto $c$ $3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$ Carica elementare $e$ $1.60\times 10^{-19}$ C Accelerazione dovuta alla gravità alla superficie della Terra $g$ $9.81{\text{m s}}^{-2}$ Permittività del vuoto ${ϵ}_0$ $8.85\times 10^{-12}{\text{F m}}^{-1}$ Permeabilità del vuoto ${\mu }_0$ $4\pi \times 10^{-7}{\text{H m}}^{-1}$ Massa di un elettrone $m_e$ $9.11\times 10^{-31}$ kg Massa di un neutrone $m_n$ $1.67\times 10^{-27}$ kg Massa di un protone $m_p$ $1.67\times 10^{-27}$ kg Raggio di un nucleone $r_0$ $1.2\times 10^{-15}$ m Costante di Planck $h$ $6.63\times 10^{-34}$ J s Costante gravitazionale $G$ $6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$ Costante di Boltzmann $k$ $1.38\times 10^{-23}{\text{J K}}^{-1}$ Costante dei gas molari $R$ $8.31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ Calore specifico dell’acqua $c_w$ $4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ Massa del Sole $M_S$ $1.99\times 10^{30}$ kg Massa della Terra $M_E$ $5.97\times 10^{24}$ kg Raggio della Terra $R_E$ $6.38\times 10^6$ m

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Quesito 1. Domande generali (a). Si osserva che le bolle d’aria nell’acqua risalgono verso la superficie a velocità diverse in base alla loro dimensione iniziale. Utilizzando le tue conoscenze di fisica, suggerisci una spiegazione.

(b). Uscendo dalla porta principale di una mattina fredda e gelida, si osservano due fenomeni all’esterno. (i) Un chiodo conficcato nel cancello di legno presenta una radiosa formazione di cristalli di ghiaccio che ne partono, come mostrato in Fig. 1. Con poche brevi affermazioni, suggerisci una possibile spiegazione di questo fenomeno. Figura 1: Cristalli di ghiaccio formatisi su un chiodo nel cancello di legno in una mattina gelida e ghiacciata.

(ii) Il parabrezza di un’auto presenta un disegno, come nella Fig. 2, che non è dovuto a graffi sul vetro ma al ghiaccio. Ancora una volta, con poche brevi affermazioni, suggerisci una possibile spiegazione di questo fenomeno. Figura 2: Cristalli di ghiaccio che formano un disegno sul parabrezza dell’auto in una mattina fredda e asciutta.

(c). Stimare il numero di piselli (la piccola verdura verde commestibile) consumati nel Regno Unito in un anno.

(d). Un amplificatore di tensione del tipo noto come op-amp è costituito da un circuito integrato realizzato con molti elementi (transistor, resistenze, ecc.). Il suo funzionamento interno è irrilevante in questo quesito. È rappresentato da un triangolo con due ingressi e una uscita, come mostrato in Fig. 3. Ha un alimentatore in corrente continua necessario per il suo funzionamento, ma non è rappresentato. I terminali di ingresso del segnale sono etichettati con + e $-$, che è una notazione e non indica il segno della tensione fornita. Essi sono rispettivamente il Figura 3: op-amp. ingresso non invertente e ingresso invertente. Assumeremo un amplificatore operazionale perfettamente regolato per poter formulare le seguenti affermazioni semplificate. • Se i due ingressi sono collegati insieme, la tensione di uscita è 0 V. • Se l’ingresso invertente (-) viene impostato a 0 V, una piccola tensione $V_{\text{in}}$ applicata all’ingresso non invertente (+) produrrà una tensione di uscita $A_0{V}_{\text{in}}$, dove $A_0$ è il guadagno in anello aperto e $A_0\gg 1$ ($A_0$ è tipicamente dell’ordine di $10^5-10^6$). Se $V_{\text{in}}$ non è piccolo, l’uscita si saturerà alla tensione di alimentazione e non a $A_0{V}_{\text{in}}$. • Se l’ingresso non invertente (+) viene impostato a 0 V e si applica una piccola tensione $V_{\text{in}}$ all’ingresso invertente (-), la tensione di uscita sarà $-A_0{V}_{\text{in}}$. Tre esempi sono mostrati in Fig. 4. L’amplificatore operazionale raramente viene utilizzato in questo modo semplice poiché il $A_0$ è grande ma non noto con precisione. Di conseguenza, di solito una piccola frazione del segnale di uscita viene riportata al ingresso e, come vedremo, questo controlla il guadagno di $A_g$ del circuito ($A_0$ si riferisce all’amplificatore operazionale da solo). (i) Nel circuito mostrato in Fig. 5, possiamo assumere che una corrente trascurabile entri nel terminale invertente. i. Copia il circuito e disegna il percorso della corrente $i$ che fluisce nel circuito in $V_{\text{in}}$ attraverso la coppia di resistori fino a $V_{\text{out}}$. ii. Dato che l’ingresso non invertente si trova a 0 V e che il (piccolo) potenziale all’ingresso invertente è dato da $v=-\frac{V_{\text{out}}}{A_0}$, ricava le equazioni per la corrente $i$ che scorre attraverso $R_{\text{in}}$ in funzione di $V_{\text{out}}$, $V_{\text{in}}$ e $A_0$, e la stessa corrente $i$ che scorre attraverso $R_f$ in funzione di queste stesse quantità.

iii. Eliminando la corrente $i$ tra queste due equazioni, ottieni un’espressione per $A_g=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}$.

iv. Per $A_0\gg 1$, ricava un’espressione per $A_g$ in funzione di $R_f$ e $R_{\text{in}}$.

Figura 5: Circuito amplificatore invertente con retroazione dal collegamento in uscita all’ingresso invertente.

(ii) Per l’amplificatore non invertente della Figura 6, l’ingresso non invertente si trova ora a $V_{\text{in}}$ mentre l’ingresso invertente è nuovamente al potenziale $v$ dato da $V_{\text{out}}=A_0(V_{\text{in}}-v)$. Una corrente $i$ fluisce dall’uscita verso 0 V, senza corrente che entra nell’ingresso invertente.

i. Scrivi le equazioni per la corrente $i$ che scorre attraverso $R_1$ e $R_2$ in funzione di $V_{\text{out}}$, e la stessa corrente che scorre attraverso $R_2$ in funzione di $v$.

ii. Eliminando la corrente $i$ tra queste due equazioni, ottieni un’espressione per $A_g=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}$.

iii. Per $A_0\gg 1$, ricava un’espressione per $A_g$ in funzione solo di $R_1$ e $R_2$.

Figura 6: Circuito amplificatore non invertente con retroazione dal collegamento in uscita all’ingresso invertente.

(iii) Nel seguente circuito, si assume che $A_0\gg 1$ e quindi $v$ sia sufficientemente piccolo da poter considerare i due ingressi come aventi lo stesso valore e $v\approx 0$, inoltre si assume che non entri corrente negli ingressi dell’amplificatore operazionale (queste sono le due “Regole d’Oro” per gli amplificatori operazionali). Per il circuito della Figura 7, quando l’interruttore S viene aperto al tempo $t=0$, una corrente $i$ fluisce attraverso $R_{\text{in}}$ e verso il condensatore. Nessuna corrente entra nell’ingresso invertente.

i. Ricavare le equazioni per la corrente $i$ in funzione di $R_{\text{in}}$ e $V_{\text{in}}$, quindi la carica $Q$ sul condensatore in funzione di $C$ e $V_{\text{out}}$.

ii. Ricavare un’equazione differenziale $\frac{d{V}_{\text{out}}}{dt}$ che può quindi essere espressa in termini di $V_{\text{in}}$, $R_{\text{in}}$ e $C$. Risolvere questa per $V_{\text{out}}$ in funzione di $V_{\text{in}}$.

iii. Rappresentare graficamente $V_{\text{out}}$ in funzione del tempo, $t$. Figura 7: Circuito con retroazione tramite un condensatore all’ingresso invertente.

Qu 2. Livelli di energia Questo quesito esplora i livelli energetici negli atomi. Il modello è interessante sia dal punto di vista storico che come esempio di incontro tra la fisica classica e la fisica quantistica.

(a). In un semplice modello dell’atomo di idrogeno dovuto a Bohr e de Broglie, si assume che gli elettroni seguano orbite circolari intorno al nucleo, con la natura ondulatoria degli elettroni manifestata come stati risonanti o onde stazionarie intorno a un’orbita chiusa, con il numero di mezze lunghezze d’onda dato dall’intero $n$. Questo modello delle orbite è illustrato nella Figura 8.

Figura 8: Orbite di Bohr, rappresentate come onde stazionarie dell’elettrone in un’orbita chiusa intorno al nucleo.

(i) Disegna l’esempio $n=3$ mostrato e, facendo riferimento al tuo disegno, commenta cosa determina il valore di $n$.

(ii) Considerando semplicemente l’elettrone come una particella di massa $m$ e carica $e$ che orbita intorno al nucleo, ricava un’espressione per l’energia totale del sistema, $E$, in funzione del raggio dell’orbita dell’elettrone intorno al nucleo, $r$.

L’energia dell’elettrone nella sua orbita dipende da $r$, ma non vi è alcun vincolo sul valore di $r$ o di $E$. Ora, se consideriamo l’elettrone come un’onda de Broglie, (iii) dimostra che la natura ondulatoria illustrata nella Figura 8 porta alla condizione di quantizzazione

$rp=n\frac{h}{2\pi }$

dove $p$ è la quantità di moto dell’elettrone. (iv) Determinare il raggio dell’atomo di idrogeno previsto da questo modello quando $n=1$. Sembrerebbe ragionevole? (v) Determinare i livelli energetici dell’idrogeno atomico, $E_n$, in questo modello. Calcolare l’energia dello stato fondamentale in eV.

(b). In un modello leggermente migliorato, l’elettrone e il nucleo orbitano intorno al loro comune centro di massa. (i) Dimostrare che elettrone e nucleo orbitano con una stessa velocità angolare, $\omega$, e trovare un’espressione per $\omega$ in termini di $r$, la distanza tra elettrone e nucleo, e $\mu$, la cosiddetta “massa ridotta”

$\mu =\frac{mM}{m+M}$

con $m$ la massa dell’elettrone e $M$ la massa del nucleo. (ii) La quantità $rp$ in (a).(iii) è il momento angolare dell’elettrone. Questo rappresenta il “momento della quantità di moto” rispetto al centro dell’orbita. Una generalizzazione della condizione di quantizzazione precedentemente ottenuta prevede che il momento angolare totale (somma) di elettrone e nucleo sia quantizzato in unità di $\frac{h}{2\pi }$. Calcolare i due livelli energetici più bassi sia per l’idrogeno atomico che per il trizio atomico in questo modello. (iii) Tra idrogeno e trizio, quale assorbirà una lunghezza d’onda più corta della luce per una transizione atomica data? Qual è la differenza tra le due lunghezze d’onda?

Qu 3. Palloncini per feste (a). Spiegare perché un pallone pesante gonfiato con elio-4 fornisce una lettura più bassa su una bilancia precisa rispetto allo stesso pallone sgonfio, nonostante abbia una massa maggiore. Un palloncino per feste di massa 10 g viene gonfiato con elio-4. (b). Dimostrare che, in condizioni atmosferiche tipiche, il volume del pallone $V$ deve soddisfare $V\gtrsim 1.0\times 10^{-2}{\text{m}}^3$ affinché possa galleggiare. Il pallone viene inizialmente gonfiato fino a un volume $V_0=2.0\times 10^{-2}{\text{m}}^3$, quindi rilasciato. Si alza lentamente fino a fermarsi sul soffitto. Sfortunatamente, c’è una perdita, e il pallone si sgonfia lentamente attraverso un foro molto piccolo di area $A$. (c). Dimostrare che il quantità di moto quadratico medio $P_{\text{rms}}$ di una particella in un gas ideale puro alla temperatura $T$ è

$P_{\text{rms}}=\sqrt{3mkT},$

dove $m$ è la massa della particella. Di conseguenza, spiegare perché il momento tipico in una direzione data è

$P=\sqrt{mkT}.$

(d). La pressione di un gas può essere approssimativamente pensata come il momento totale che fluisce attraverso un’unità di area per unità di tempo. Facendo l’approssimazione che tutte le particelle in movimento in una data direzione abbiano momento $P$, spiegare perché $N$, il numero di atomi di elio-4 nel pallone, diminuisce col tempo secondo la relazione:

$\frac{dN}{dt}=-\frac{pA}{\sqrt{mkT}}.$

(e). Ottenere quindi un’espressione per il tasso di variazione del volume, $\frac{dV}{dt}$, in termini di $A,k,T,m$.

(f). Se dopo 1 ora il pallone si è contratto del 5% in volume, stimare il tempo necessario affinché il pallone ricada al pavimento e stimare l’area del foro leaky. Come si confronta questo valore con la superficie iniziale del pallone?

(g). Suggerire perché il modello presentato sopra crollerebbe se il foro fosse notevolmente più grande.

(h). Il pallone era stato stesso riempito da un cilindro rigido, pressurizzato, di elio-4 di volume fisso $v$. Se questo cilindro presenta anche un piccolo foro (di area $a$), ricavare un’espressione algebrica per la pressione del gas all’interno del cilindro in funzione del tempo. Assumere che la pressione iniziale sia $p_0$. Non sono richieste calcolazioni numeriche.

Quesito 4. Un ascensore spaziale Questo quesito esplora l’idea di un ascensore spaziale per raggiungere un’orbita ad alta quota, come quella geostazionaria. Quando si considerano le leggi della fisica dei corpi in rotazione, un utile metodo per analizzare il moto consiste nel passare a un sistema di riferimento che ruota insieme all’oggetto, in cui l’oggetto risulta (nel caso più semplice) fermo. Quando un corpo di massa $m$ è fermo in questo sistema di riferimento, e il sistema di riferimento ruota uniformemente con velocità angolare $\omega$, la trasformazione a questo sistema produce una forza fittizia “centrifuga” pari a $mr{\omega }^2$, dove $r$ è la distanza della massa dall’asse di rotazione. La forza è centrifuga nel senso che è diretta lontano dall’asse di rotazione piuttosto che verso di esso. Per trattare le leggi del moto in un tale sistema di riferimento rotante, basta considerare le forze fittizie come se fossero vere forze e procedere come al solito!

(a). Trovare un’espressione per il periodo orbitale di un satellite di massa $m_s$ che orbita a una distanza $r_g$ dal centro della Terra. Calcolare il raggio dell’orbita di un satellite geostazionario.

(b). Una massa $m$ deve essere mantenuta in orbita a un raggio $r_g+r^{\prime }$ ($r^{\prime }\ll r_g$), come mostrato nel disegno qui sotto. Quale forza aggiuntiva è necessaria per realizzare questo oltre alla forza gravitazionale? Determinare sia il modulo che la direzione di tale forza. $r_g$ $r^{\prime }$ $m$ ascensore

(c). Un ascensore è appeso alla massa $m$ come mostrato nel disegno sopra e si estende fino alla superficie della Terra. Modellando l’ascensore come un sottile asta con massa per unità di lunghezza $\mu$, dimostrare che perché l’ascensore più la massa possano mantenere lo stesso periodo orbitale geostazionario, la massa deve essere (considerando che il raggio di un’orbita geostazionaria è molto maggiore del raggio della Terra)

$m=\frac{\mu r_g^3}{3r_e{r}^{\prime }}$

dove $r_e$ è il raggio della Terra.

(d). Utilizzando stime ragionevoli per $\mu$ e $r^{\prime }$, commentare sulla fattibilità di questa proposta usando materiali standard.

(e). Consideriamo invece un ascensore «autonomo» privo di contrappeso, modellato come un cavo omogeneo i cui estremi non richiedono vincoli. Ancora una volta, il cavo ruota con la Terra. Consideriamo lo sforzo netto $d\sigma$ su un elemento di cavo $dr$ avente area della sezione trasversale $A$ a distanza $r$ dal centro della Terra. Dimostrare che

$\frac{d\sigma }{dr}=G{m}_e\rho \left(\frac{1}{r^2}-\frac{r}{r_g^3}\right)$

dove $\rho$ è la densità di massa (per volume) del cavo e $m_e$ è la massa della Terra.

(f). Qual è lo sforzo di trazione massimo nel cavo e a quale raggio si verifica? Confrontare questo valore per i tre diversi materiali nella tabella seguente e commentare i risultati ottenuti.

| Materiale — Densità / ${\text{kg m}}^{-3}$ — Massimo sforzo di trazione⋆ / GPa | |------------|------------------|---------------------------------------------| | Acciaio — 7900 — 5.0 | | Kevlar — 1400 — 3.6 | | Nanotubi di carbonio — 1300 — 130 |

⋆ La pratica sicura prevede tipicamente che i materiali non siano soggetti a tensioni superiori alla metà del loro massimo.

(g). Un diverso progetto di ascensore prevede che lo sforzo sia mantenuto fisso (a un valore sicuro) e che invece l’area della sezione trasversale vari. Dimostrare che in questo caso l’area della sezione trasversale è data da

$A(r)=A_b\exp \left[\frac{r_e^2}{L_c}\left(-\frac{1}{r}-\frac{r^2}{2r_g^3}+k\right)\right]$

dove $k$ è una costante da determinare, $A_b$ è l’area alla base dell’ascensore e $L_c=\frac{\sigma }{\rho g}$ (con $g$ l’accelerazione di gravità alla superficie della Terra) è la “lunghezza caratteristica” del materiale dell’ascensore. Qual è l’area massima e in quale raggio si verifica?

(h). Per una costruzione realistica, il rapporto tra l’area al livello del suolo e l’area massima non dovrebbe essere troppo grande. Determina questo rapporto (noto come “rapporto di allungamento”) per i materiali indicati in precedenza (per una tensione opportuna) e commenta i tuoi risultati.

(i). Supponendo una costruzione simmetrica dell’ascensore con area variabile, calcola la sua altezza e confronta il valore ottenuto con l’altezza del sistema in (e).

FINE DELLA PROVA Domande proposte da: Rupert Allison (Harrow School) James Bedford (Harrow School) Robin Hughes (Isaac Physics & BPhO)