UK 2023

February 2023

British Physics Olympiad 2022-23 Round 2 Competition Paper February 2023 Instructions Time: 3 hours (approximately: Q1 40 min, Q2 45 min, Q3 45 min, Q4 50 min). Questions: All four questions should be attempted. Marks: The questions carry marks indicated by the times above. Solutions: Answers and calculations are to be written on loose paper or in examination booklets, and graph paper should be provided. Students should ensure their name and school is clearly written on all answer sheets and pages are numbered. A standard formula booklet with standard physical constants should be supplied. Instructions: To accommodate students sitting the paper at different times, please do not discuss any aspect of the paper on the internet until March. This paper must not be taken out of the exam room. All notes must be collected in. Calculators: Any standard calculator may be used, but calculators must not have symbolic algebra capability. If they are programmable, then they must be cleared or used in “exam mode”. Clarity: Solutions must be written legibly, in black pen (the papers are photocopied), and working down the page. Scribble will not be marked and overall clarity is an important aspect of this exam paper.

Important Constants Constant Symbol Value Speed of light in free space $c$ $3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$ Elementary charge $e$ $1.60\times 10^{-19}$ C Acceleration of free fall at Earth’s surface $g$ $9.81{\text{m s}}^{-2}$ Permittivity of free space ${ϵ}_0$ $8.85\times 10^{-12}{\text{F m}}^{-1}$ Permeability of free space ${\mu }_0$ $4\pi \times 10^{-7}{\text{H m}}^{-1}$ Mass of an electron $m_e$ $9.11\times 10^{-31}$ kg Mass of a neutron $m_n$ $1.67\times 10^{-27}$ kg Mass of a proton $m_p$ $1.67\times 10^{-27}$ kg Radius of a nucleon $r_0$ $1.2\times 10^{-15}$ m Planck’s constant $h$ $6.63\times 10^{-34}$ J s Gravitational constant $G$ $6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$ Boltzmann constant $k$ $1.38\times 10^{-23}{\text{J K}}^{-1}$ Molar gas constant $R$ $8.31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ Specific heat capacity of water $c_w$ $4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ Mass of the Sun $M_S$ $1.99\times 10^{30}$ kg Mass of the Earth $M_E$ $5.97\times 10^{24}$ kg Radius of the Earth $R_E$ $6.38\times 10^6$ m The BPhO is sponsored by G-Research

Qu 1. General Questions (a). Air bubbles in water are observed to rise towards the surface at different speeds according to their initial size. Use your knowledge of physics to suggest an explanation. (b). Walking out of the front door on a cold, frosty morning, two effects are observed outside. (i) A nail, hammered in to the wooden gate, has a splay of ice crystals growing from it, shown in Fig. 1. With a few brief statements, suggest a possible explanation of this effect. Figure 1: Ice crystals formed on a nail in a wooden fence on a frosty morning. (ii) The windscreen of a car has a pattern on it, as in Fig. 2, which is not scratches on the glass, but ice. Again, with a few brief statements, suggest a possible explanation of this effect. Figure 2: Ice crystals forming a pattern on the windscreen of a car on a cold, dry morning. (c). Estimate the number of peas (the small, green edible vegetable) that are consumed in the UK in a year. (d). A voltage amplifier of the type known as an op-amp consists of an integrated circuit constructed from many elements (transistors, resistors, etc.). Its internal workings are unimportant in this question. It is symbolised by a triangle with two inputs and an output, as shown in Fig. 3. It has a dc power supply to enable it to work, but that is not shown. The signal input terminals are labelled

• and $-$, which is a notation and not the polarity of voltage supplied. They are respectively the

Figure 3: op-amp. non-inverting input and the inverting input. We will assume a perfectly adjusted op-amp in order to make the following simplified statements. • If the two inputs are connected together, the output is 0 V. • If the inverting input (-) is set to 0 V then a small voltage, $V_{\text{in}}$, applied to the non-inverting input (+) will produce an output voltage $A_0{V}_{\text{in}}$ where $A_0$ is the open-loop gain and $A_0\gg 1$ ($A_0$ is typically of order $10^5-10^6$). If $V_{\text{in}}$ is not small, then the output will saturate at the supply voltage and not at $A_0{V}_{\text{in}}$. • If the non-inverting input (+) is set to 0 V, and a small voltage $V_{\text{in}}$ is applied to the inverting input (-) then the output voltage will be $-A_0{V}_{\text{in}}$. Three examples are shown in Fig. 4. The op-amp is rarely used in this simple manner as the $A_0$ is Figure 4: Three op-amp examples of the input and output values. large but not known precisely. So usually, a small fraction of the output signal is fed back to the input and, as we shall see, this controls the gain of $A_g$ of the circuit ($A_0$ is for the op-amp alone). (i) In the circuit shown in Fig. 5, we can assume that negligible current enters the inverting terminal. i. Copy the circuit and sketch the path of the current $i$ that flows into the circuit at $V_{\text{in}}$ through the pair of resistors to $V_{\text{out}}$. ii. Given that the non-inverting input is at 0 V, and that the (small) potential at the inverting input is given by $v=-\frac{V_{\text{out}}}{A_0}$, obtain equations for the current $i$ flowing through $R_{\text{in}}$ in terms of $V_{\text{out}}$, $V_{\text{in}}$ and $A_0$, and the same current $i$ through $R_f$ in terms of these quantities.

iii. Eliminating the current $i$ between these two equations, obtain an expression for $A_g=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}$. iv. For $A_0\gg 1$, obtain an expression for $A_g$ in terms of $R_f$ and $R_{\text{in}}$. Figure 5: Inverting amplifier circuit with feedback from the output to the inverting input. (ii) For the non-inverting amplifier of Fig. 6 the non-inverting input is now at $V_{\text{in}}$ whilst the inverting input is again at potential $v$ given by $V_{\text{out}}=A_0(V_{\text{in}}-v)$. A current $i$ flows from the output down to 0 V with no current entering the inverting input. i. Write down equations for the current $i$ flowing through $R_1$ and $R_2$ in terms of $V_{\text{out}}$, and the same current through $R_2$ in terms of $v$. ii. Eliminating the current $i$ between these two equations, obtain an expression for $A_g=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}$. iii. For $A_0\gg 1$, obtain an expression for $A_g$ in terms of $R_1$ and $R_2$ only. Figure 6: Non-inverting amplifier circuit with feedback from the output again to the inverting input. (iii) In the following circuit, we assume that $A_0\gg 1$ and so $v$ is small enough that the two inputs can be taken to be the same value and $v\approx 0$, and also that no current enters the op-amp inputs (these are the two “Golden Rules” for op-amps). For the circuit of Fig. 7 a current $i$ flows through $R_{\text{in}}$ and onto the capacitor when switch S is opened at time $t=0$. No current enters the inverting input. i. Obtain equations for the current $i$ in terms of $R_{\text{in}}$ and $V_{\text{in}}$, and then the charge $Q$ on the capacitor in terms of $C$ and $V_{\text{out}}$. ii. Obtain a differential equation $\frac{d{V}_{\text{out}}}{dt}$ which can then be expressed in terms of $V_{\text{in}}$, $R_{\text{in}}$ and $C$. Solve this for $V_{\text{out}}$ in terms $V_{\text{in}}$. iii. Sketch a graph of $V_{\text{out}}$ against time, $t$. Figure 7: Circuit with feedback via a capacitor to the inverting input.

Qu 2. Energy Levels This question explores energy levels in atoms. The model is interesting both from a historical perspective and as an example of where classical physics meets quantum physics. (a). In a simple model of the hydrogen atom due to Bohr and de Broglie, electrons are assumed to follow circular orbits around the nucleus with the wave-like nature of electrons manifest as resonant states or standing waves around a closed orbit, with the number of half-wavelengths given by the integer, $n$. This model of the orbits is illustrated in Fig. 8. Figure 8: Bohr orbits, pictured as standing waves of an electron in a closed orbit around the nucleus. (i) Sketch the $n=3$ example shown and referring to your sketch, comment on what determines the value of $n$. (ii) By considering the electron simply as a particle of mass $m$ and charge $e$ orbiting the nucleus, derive an expression for the total energy of the system, $E$, in terms of the radius of the orbit of the electron around the nucleus, $r$ The energy of the electron in its orbit is dependent upon $r$, but there is no restriction on the value of $r$ or of $E$. Now, if we consider the electron as a de Broglie wave, (iii) show that the wave-like nature illustrated in Fig. 8 leads to the quantisation condition

$rp=n\frac{h}{2\pi }$

where $p$ is the momentum of the electron. (iv) Determine the radius of the hydrogen atom that this predicts when $n=1$. Does it seem sensible? (v) Determine the energy levels of atomic hydrogen, $E_n$, in this model. Calculate the ground state energy in eV. (b). In a slightly improved model, the electron and nucleus orbit their common centre of mass. (i) Show that the electron and nucleus orbit with a common angular velocity, $\omega$, and find an expression for $\omega$ in terms of $r$, the separation of the electron from the nucleus, and $\mu$, the so-called ‘reduced mass’

$\mu =\frac{mM}{m+M}$

with $m$ the mass of the electron and $M$ the mass of the nucleus. (ii) The quantity $rp$ in (a).(iii) is the angular momentum of the electron. This is the ‘moment of momentum’ about the orbital centre. A generalisation of the quantisation condition arrived at previously has the total (sum of) angular momentum of the electron and nucleus quantised in units of $\frac{h}{2\pi }$. Calculate the lowest two energy levels of both atomic hydrogen and atomic tritium in this model. (iii) Which of hydrogen and tritium would absorb a shorter wavelength of light for a given atomic transition? What is the difference between the two wavelengths?

Qu 3. Party balloons (a). Explain why a heavy balloon inflated with helium-4 gives a lower reading on an accurate weighing scale than the same balloon when deflated, despite having a larger mass. A party balloon of mass 10 g is inflated with helium-4. (b). Show that, under typical atmospheric conditions, the volume of the balloon $V$ should satisfy $V\gtrsim 1.0\times 10^{-2}{\text{m}}^3$ if it is to float. The balloon is initially inflated to a volume $V_0=2.0\times 10^{-2}{\text{m}}^3$, then released. It floats up gently before coming to rest on the ceiling. Unfortunately, there is a leak, and the balloon slowly deflates through a very small hole of area $A$. (c). Show that the root mean-square momentum $P_{\text{rms}}$ of a particle in a pure ideal gas of temperature $T$ is

$P_{\text{rms}}=\sqrt{3mkT},$

where $m$ is the particle mass. Hence reason why the typical momentum in any given direction is

$P=\sqrt{mkT}.$

(d). The pressure of a gas can be loosely thought of as the total momentum flowing through unit area per unit time. Making the approximation that all particles travelling in a given direction have momentum $P$, explain why $N$, the number of atoms of helium-4 in the balloon, decreases over time as:

$\frac{dN}{dt}=-\frac{pA}{\sqrt{mkT}}.$

(e). Hence obtain an expression for the rate of change of the volume, $\frac{dV}{dt}$, in terms of $A,k,T,m$. (f). If after 1 hour the balloon has shrunk by 5% in volume, estimate the time until the balloon drops back to the floor, and estimate the area of the leaky hole. How does this compare to the initial surface area of the balloon? (g). Suggest why the model presented above would break down if the hole was made significantly larger. (h). The balloon was itself filled from a rigid, pressurised cylinder of helium-4 of fixed volume $v$. If this cylinder also develops a small leak (of area $a$), derive an algebraic expression for the gas pressure inside the cylinder as a function of time. Take the initial pressure to be $p_0$. No numerical calculations are needed.

Qu 4. A Space Elevator This question explores the idea of a space elevator for reaching a high altitude orbit such as a geostationary one. When considering the physics of rotating objects, a helpful way to analyse the motion can be to transform to a frame of reference which is rotating with the object, and in which the object is therefore (in the simplest case) at rest. When an object of mass $m$ is at rest in this frame of reference, and the reference frame is rotating uniformly with angular velocity $\omega$, the transformation to this frame gives rise to a fictitious ‘centrifugal’ force equal to $mr{\omega }^2$, where $r$ is the distance of the mass from the axis of rotation. The force is centrifugal in that it is directed away from the axis of rotation rather than towards it. To handle the laws of motion in such a rotating frame, simply treat the fictitious forces like real forces and go about things as usual! (a). Find an expression for the orbital time period for a satellite of mass $m_s$ orbiting at a distance $r_g$ from the centre of the earth. Calculate the radius of the orbit of a geostationary satellite. (b). A mass $m$ is to be kept in orbit at a radius $r_g+r^{\prime }$ ($r^{\prime }\ll r_g$) as shown in the diagram below. What extra force is required to do this over and above the gravitational force. Determine both its magnitude and direction. $r_g$ $r^{\prime }$ $m$ elevator (c). An elevator is hung from the mass $m$ as shown in the diagram above and reaches all the way down to the surface of the earth. Modelling the elevator as a thin rod with mass per unit length $\mu$, show that for the elevator plus mass to maintain the same geostationary orbital period then the mass must (taking the radius of a geostationary orbit to be very much bigger than the radius of the earth) be given by

$m=\frac{\mu r_g^3}{3r_e{r}^{\prime }}$

where $r_e$ is the radius of the earth. (d). Using reasonable estimates for $\mu$ and $r^{\prime }$, comment on the viability of this proposal using standard materials.

(e). Contemplate instead a ‘free-standing’ elevator without a counterweight, modelled as a uniform cable whose ends require no restraint. Again the cable rotates with the earth. Consider the net stress $d\sigma$ on an element of cable $dr$ with cross-sectional area $A$ at a distance $r$ from the centre of the earth. Show that

$\frac{d\sigma }{dr}=G{m}_e\rho \left(\frac{1}{r^2}-\frac{r}{r_g^3}\right)$

where $\rho$ is the mass density (by volume) of the cable and $m_e$ is the mass of the earth. (f). What is the largest tensile stress in the cable and at what radius does it occur? Compare this for the three different materials in the table below and comment on your findings. Material — Density / ${\text{kg m}}^{-3}$ — Maximum tensile stress⋆ / GPa Steel — 7900 — 5.0 Kevlar — 1400 — 3.6 Carbon nanotubes — 1300 — 130 ⋆ Safe practice typically dictates that materials are not subject to stresses of more than half their maximum. (g). A different design of elevator is one where the stress is held fixed (at a safe value) and instead the cross-sectional area varies. Show that in this setup the cross-sectional area is given by

$A(r)=A_b\exp \left[\frac{r_e^2}{L_c}\left(-\frac{1}{r}-\frac{r^2}{2r_g^3}+k\right)\right]$

where $k$ is a constant to be determined, $A_b$ is the area at the base of the elevator and $L_c=\frac{\sigma }{\rho g}$ (with $g$ the acceleration due to gravity at the surface of the earth) is the ’characteristic length’ of the elevator material. What is the maximum area and at what radius does it occur? (h). For a realistic construction, the ratio between the area at ground level and the maximum area should not be too large. Determine this ratio (known as the ‘taper ratio’) for the materials given above (for a suitable stress) and comment on your findings. (i). Assuming a symmetrical construction of the variable area elevator, calculate its height and compare the value you obtain with the height of the setup in (e). END OF PAPER Questions proposed by: Rupert Allison (Harrow School) James Bedford (Harrow School) Robin Hughes (Isaac Physics & BPhO)

Topic: Circuits, Modern-Quantum Physics, Fluid Mechanics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Bohr Model & Quantization, de Broglie Relation, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Capacitor, Resistor, Atom, Satellite, Bubble Fonte: Testo (PDF) — p.1

Febbraio 2023

Olimpiada britannica di fisica 2022-23 Documento di gara del secondo turno febbraio 2023 Instruzioni Tempo: 3 ore (circa: Q1 40 min, Q2 45 min, Q3 45 min, Q4 50 min). Domande: Dovreste provare tutte e quattro le domande. Marchi: le domande contengono i marchi indicati dai tempi sopra indicati. Risposte e calcoli devono essere scritti su carta libera o in opuscoli di esame, e occorre fornire carta grafica. Gli studenti dovrebbero assicurarsi che il loro nome e la scuola siano chiaramente scritti su tutti i Le schede di risposta e le pagine sono numerate. Un opuscolo di formula standard con costanti fisiche standard

• che dovrebbe essere fornito. Instruzioni: per accogliere gli studenti seduti in carta in momenti diversi, non discutere di Il documento è stato pubblicato su Internet fino a marzo. Questo documento non deve essere portato fuori dalla sala di esame. Tutti i biglietti devono essere raccolti. Calcolatori: può essere utilizzato qualsiasi calcolatore standard, ma non devono avere l’algebra simbolica
• Capacità. Se sono programmabili, devono essere eliminati o utilizzati in modalità di esame. Chiarezza: le soluzioni devono essere scritte in modo leggibile, con penna nera (le carte sono fotocopiate) e lavorate a fondo La pagina. Scribble non sarà contrassegnato e la chiarezza generale è un aspetto importante di questo documento di esame.

Costanti importanti Costante Simbolica Valore Velocità della luce nello spazio libero $c$ $3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$ Carga elementare $e$ $1.60\times 10^{-19}$ C Accelerazione della caduta libera alla superficie terrestre $g$ $9.81{\text{m s}}^{-2}$ Permittività dello spazio libero ${ϵ}_0$ $8.85\times 10^{-12}{\text{F m}}^{-1}$ Permeabilità dello spazio libero ${\mu }_0$ $4\pi \times 10^{-7}{\text{H m}}^{-1}$ Massa di un elettrone $m_e$ $9.11\times 10^{-31}$ kg Massa di un neutrone $m_n$ $1.67\times 10^{-27}$ kg Massa di un protone $m_p$ $1.67\times 10^{-27}$ kg Radius di un nucleone $r_0$ $1.2\times 10^{-15}$ m Costante di Planck $h$ $6.63\times 10^{-34}$ J s Costante gravitazionale $G$ $6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$ Costante di Boltzmann $k$ $1.38\times 10^{-23}{\text{J K}}^{-1}$ Costante di gas molare $R$ $8.31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ Capacità termica specifica dell’acqua $c_w$ $4.19\times 10^3{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ La massa del sole $M_S$ $1.99\times 10^{30}$ kg Massa della Terra $M_E$ $5.97\times 10^{24}$ kg Radius della Terra $R_E$ $6.38\times 10^6$ m Il BPhO è sponsorizzato da G-Research

Qu 1. Domande generali (a). Le bolle d’aria nell’acqua si osservano salire verso la superficie a velocità diverse a seconda delle loro dimensioni iniziali. Usa le tue conoscenze di fisica per suggerire una spiegazione. (b). Uscendo dalla porta d’ingresso in una mattina fredda e fredda, fuori si osservano due effetti. (i) Un chiodo, marciato alla porta di legno, ha una spilla di cristalli di ghiaccio che cresce da esso, mostrato in Fig. 1. Con alcune brevi affermazioni, suggerisci una possibile spiegazione di questo effetto. Figura 1: cristalli di ghiaccio formati su un chiodo in una recinzione di legno in una mattina gelata. (ii) Il parabrezza di un’auto ha un modello, come in Figura. 2, che non sono graffi sul vetro, Ma ghiaccio. Ancora una volta, con alcune brevi affermazioni, suggerisci una possibile spiegazione di questo effetto. Figura 2: cristalli di ghiaccio che formano un modello sul parabrezza di un’auto in una mattina fredda e secca. (c). Estimare il numero di piselli (il piccolo verdura verde da mangiare) consumati nel Regno Unito in un periodo di

• L’anno. (d). Un amplificatore di tensione del tipo noto come amplificatore operativo è costituito da un circuito integrato costruito di molti elementi (transistor, resistori, ecc.). Il suo funzionamento interno non è importante in questo campo.
• La domanda. È simboleggiato da un triangolo con due entrate e un’uscita, come mostrato nella figura. 3. Ha un La Commissione ha adottato una proposta di risoluzione che prevede che la Commissione possa adottare misure di sicurezza per la produzione di energia elettrica. I terminali di ingresso del segnale sono etichettati

• e $-$, che è una notazione e non la polarità della tensione fornita. Sono rispettivamente le

Figura 3: amplificatore operativo. l’input non invertevole e l’input invertevole. Supponiamo un amplificatore operativo perfettamente regolato in ordine di formulare le seguenti dichiarazioni semplificate. • Se i due input sono collegati, la uscita è di 0 V. • Se l’entrata di inversione (-) è impostata su 0 V, una piccola tensione, $V_{\text{in}}$, viene applicata al non inversione L’input (+) produrrà una tensione di uscita $A_0{V}_{\text{in}}$ in cui $A_0$ è il guadagno a circuito aperto e $A_0\gg 1$ ($A_0$ è tipicamente di ordine $10^5-10^6$). Se $V_{\text{in}}$ non è piccolo, l’output si saturerà al tensione di alimentazione e non $A_0{V}_{\text{in}}$. • Se l’entrata non inversione (+) è impostata su 0 V e viene applicata una piccola tensione $V_{\text{in}}$ all’inversione Input (-) la tensione di uscita sarà $-A_0{V}_{\text{in}}$. Tre esempi sono riportati nella Figura 1. 4. L’amplificatore operativo è raramente utilizzato in modo così semplice come il $A_0$ Figura 4: Tre esempi di valori di input e output. grande ma non conosciuta con precisione. Quindi di solito, una piccola frazione del segnale di uscita viene ripreso al In questo modo, il sistema di controllo del circuito è in grado di ottenere un valore di $A_g$ ($A_0$ è solo per l’amplificatore operativo).

• nel circuito illustrato alla figura 5, possiamo supporre che una corrente trascurabile entra nell’inversione
• Terminale. i. Copia il circuito e disegna il percorso della corrente $i$ che scorre nel circuito a $V_{\text{in}}$ attraverso la coppia di resistori a $V_{\text{out}}$. ii. Considerato che l’input non inverte è a 0 V e che il potenziale (piccolo) al se l’input viene dato da $v=-\frac{V_{\text{out}}}{A_0}$, si ottengono equazioni per la corrente $i$ che scorre attraverso $R_{\text{in}}$ in i termini di $V_{\text{out}}$, $V_{\text{in}}$ e $A_0$, e la stessa corrente $i$ fino a $R_f$ in termini di tali quantità.

iii. Eliminazione della corrente $i$ tra questi due equazioni, ottenere un’espressione per $A_g=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}$. iv. Per $A_0\gg 1$, ottenere un’espressione per $A_g$ in termini di $R_f$ e $R_{\text{in}}$. Figura 5: Invertire il circuito dell’amplificatore con feedback da l’uscita all’ingresso inverso.

• per l’amplificatore non inversione di Fig. 6 l’input non inversione è ora a $V_{\text{in}}$ mentre il l’input inverter è di nuovo al potenziale $v$ dato da $V_{\text{out}}=A_0(V_{\text{in}}-v)$. Un flusso di corrente $i$ la uscita fino a 0 V senza corrente che entri nell’ingresso inversione. i. Scrittura delle equazioni per la corrente $i$ fluire attraverso $R_1$ e $R_2$ in termini di $V_{\text{out}}$, e la stessa corrente attraverso $R_2$ in termini di $v$. ii. Eliminazione della corrente $i$ tra questi due equazioni, ottenere un’espressione per $A_g=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}$. iii. Per $A_0\gg 1$, ottenere un’espressione per $A_g$ solo in termini di $R_1$ e $R_2$. Figura 6: circuito di amplificatore non inversione con feedback da la uscita di nuovo all’input inversione. (iii) Nel circuito seguente, supponiamo che $A_0\gg 1$ e quindi $v$ sia abbastanza piccolo da far sì che i due Le entrate possono essere prese per essere lo stesso valore e $v\approx 0$, e anche che nessuna corrente entra nel Input di amplificazione op (queste sono le due Golden Rules per gli amplificazione op). Per il circuito di Fig. 7 una corrente $i$ scorre attraverso $R_{\text{in}}$ e sul condensatore quando si interrompono S viene aperto al momento $t=0$. Nessuna corrente entra nell’input inverso. i. Ottenere le equazioni per la corrente $i$ in i termini $R_{\text{in}}$ e $V_{\text{in}}$, e quindi il carica $Q$ sul condensatore in termini di $C$ e $V_{\text{out}}$. ii. Ottenere un’equazione differenziale $\frac{d{V}_{\text{out}}}{dt}$ che può quindi essere espressa in termini di $V_{\text{in}}$, $R_{\text{in}}$ e $C$. Risolvi questo per $V_{\text{out}}$ in termini $V_{\text{in}}$. iii. Segnare un grafico di $V_{\text{out}}$ contro il tempo, $t$. Figura 7: Circuito con feedback tramite un condensatore all’input inverter.

Qu 2. Livelli energetici Questa domanda esplora i livelli di energia negli atomi. Il modello è interessante sia da una prospettiva storica e come esempio di dove la fisica classica incontra la fisica quantistica. (a). In un modello semplice dell’atomo di idrogeno dovuto a Bohr e de Broglie, si presume che gli elettroni seguire orbite circolari intorno al nucleo con la natura ondulare degli elettroni manifestato come stati di risonanza o onde in piedi attorno ad un’orbita chiusa, con il numero di semilängen data dal numero intero $n$. Questo modello delle orbite è illustrato in Figura. 8. Figura 8: Orbita di Bohr, raffigurata come onde in piedi di un elettrone in un’orbita chiusa intorno al nucleo. (i) Sketch the $n=3$ example shown and referring to your sketch, comment on what determines il valore di $n$. (ii) Considerando l’elettrone semplicemente come una particella di massa $m$ e carica $e$ che orbita intorno al nucleo, derivare un’espressione per l’energia totale del sistema, $E$, in termini di raggio di orbita of the electron around the nucleus, $r$ L’energia dell’elettrone nella sua orbita dipende da $r$, ma non vi è alcuna restrizione sul valore of $r$ or of $E$. Ora, se consideriamo l’elettrone come un’onda de Broglie,

• mostrare che la natura ondulata illustrata nella figura. 8 porta alla condizione di quantizzazione

$rp=n\frac{h}{2\pi }$

dove $p$ è la dinamica dell’elettrone. (iv) Determinare il raggio di atomo di idrogeno che questo prevede quando $n=1$. Sembra che

• Senziale? (v) Determinare i livelli energetici dell’idrogeno atomico, $E_n$, in questo modello. Calcolare il terreno energia di stato in eV. (b). In un modello leggermente migliorato, l’elettrone e il nucleo orbitano intorno al loro comune centro di massa. (i) Mostra che l’orbita di un elettrone e di un nucleo con una velocità angolare comune, $\omega$, e trova un espressione per $\omega$ in termini di $r$, la separazione dell’elettrone dal nucleo, e $\mu$, la cosiddetta massa ridotta

$\mu =\frac{mM}{m+M}$

con $m$ la massa dell’elettrone e $M$ la massa del nucleo. (ii) La quantità $rp$ di (a). Questo è il momento di

• l’impulso intorno al centro orbitale. Si è conclusa una generalizzazione della condizione di quantificazione in precedenza ha la quantità totale (summa) di impulso angolare di elettrone e nucleo quantizzata in unità di $\frac{h}{2\pi }$. Calcolare i due livelli di energia più bassi sia dell’idrogeno atomico che dell’idrogeno atomico tritio in questo modello.
• quale di essi assorbe una lunghezza d’onda di luce più breve per un dato atomo
• La transizione? Qual è la differenza tra le due lunghezze d’onda?

Qu 3. Baloni da festa (a). Spiegate perché un pesante pallone gonfiato di elio-4 dà una lettura inferiore su un peso preciso di dimensioni superiori a quelle dello stesso pallone quando deflato, nonostante abbia una massa maggiore. Un pallone da festa di massa 10 g è gonfiato di elio-4. (b). Indicare che, in condizioni atmosferiche tipiche, il volume del palloncino $V$ deve soddisfare $V\gtrsim 1.0\times 10^{-2}{\text{m}}^3$ se deve galleggiare. Il palloncino viene inizialmente gonfiato a un volume $V_0=2.0\times 10^{-2}{\text{m}}^3$, quindi rilasciato. Si galleggia delicatamente prima

• E’ venuto a riposare sul soffitto. Sfortunatamente, c’è una perdita, e il palloncino lentamente si defla un buco molto piccolo di superficie $A$. (c). Indicare che la radice media di impulso quadrato $P_{\text{rms}}$ di una particella in un gas puro ideale di temperatura $T$ is

$P_{\text{rms}}=\sqrt{3mkT},$

dove $m$ è la massa delle particelle. La ragione per cui la dinamica tipica in una determinata direzione è

$P=\sqrt{mkT}.$

(d). La pressione di un gas può essere considerata vagamente come la dinamica totale che scorre attraverso l’area unitaria per unità di tempo. Rendere l’approssimazione che tutte le particelle che viaggiano in una determinata direzione hanno momentum $P$, explain why $N$, the number of atoms of helium-4 in the balloon, decreases over tempo come:

$\frac{dN}{dt}=-\frac{pA}{\sqrt{mkT}}.$

(e). Si ottiene quindi un’espressione per il tasso di variazione del volume, $\frac{dV}{dt}$, in termini di $A,k,T,m$. (f). Se dopo un’ora il palloncino si è ridotto del 5% di volume, calcolare il tempo fino a quando il palloncino si abbassa Torna al pavimento e stima l’area del buco che perde. Come si confronta questo con l’inizio area della superficie del palloncino? (g). Suggerire perché il modello presentato sopra si sarebbe rotto se il buco fosse stato fatto in modo significativo più grandi. (h). Il pallone era stato riempito da un cilindro rigido e pressurizzato di elio-4 di volume fisso $v$. If Questo cilindro sviluppa anche una piccola perdita (di superficie $a$), derivare un’espressione algebrica per il gas la pressione all’interno del cilindro in funzione del tempo. Prendete la pressione iniziale a $p_0$. Nessuna cifra sono necessari calcoli.

Qu 4. Un ascensore spaziale Questa domanda esplora l’idea di un ascensore spaziale per raggiungere un’orbita ad alta quota come un

• Una geostazionaria. Quando si considera la fisica degli oggetti in rotazione, un modo utile per analizzare il movimento può essere trasformare Un sistema di riferimento che ruota con l’oggetto e in cui l’oggetto si trova (in
• il caso più semplice) in riposo. Quando un oggetto di massa $m$ è a riposo in questo quadro di riferimento, e il riferimento La struttura ruota uniformemente con velocità angolare $\omega$, la trasformazione a questa struttura dà luogo a un la forza centrifugare fittizia è uguale a $mr{\omega }^2$, dove $r$ è la distanza della massa dall’asse di rotazione. La forza è centrifugante in quanto è diretta lontano dall’asse di rotazione piuttosto che verso di esso. To trattare le leggi del movimento in un quadro rotante, semplicemente trattare le forze fittizie come forze reali e
• Vai avanti come al solito! (a). Trova un’espressione per il periodo di tempo orbitale per un satellite di massa $m_s$ in orbita a distanza $r_g$ dal centro della terra. Calcolare il raggio di orbita di un satellite geostazionario. (b). Una massa $m$ deve essere mantenuta in orbita a un raggio $r_g+r^{\prime }$ ($r^{\prime }\ll r_g$) come mostrato nel diagramma di seguito. Che forza extra è necessaria per farlo oltre la forza gravitazionale. Determina sia i suoi grandezza e direzione. $r_g$ $r^{\prime }$ $m$ ascensore (c). Un ascensore è appeso alla massa $m$ come mostrato nel diagramma di cui sopra e raggiunge tutta la discesa sulla superficie della terra. Modellazione dell’ascensore come una scia sottile con massa per unità di lunghezza $\mu$, mostra che per l’ascensore più massa per mantenere lo stesso periodo orbitale geostazionario allora la massa (il raggio di una orbita geostazionaria deve essere molto più grande del raggio di una (terreno)

$m=\frac{\mu r_g^3}{3r_e{r}^{\prime }}$

dove $r_e$ è il raggio della terra. (d). Utilizzando le stime ragionevoli per $\mu$ e $r^{\prime }$, commenta la fattibilità della presente proposta utilizzando la norma materiali.

(e). Considera invece un ascensore senza contrappeso, modellato come un’uniforme il cavo che non richiede contenimento alle estremità. Ancora una volta il cavo ruota con la terra. Prendiamo il net tensione $d\sigma$ su un elemento di cavo $dr$ con superficie trasversale $A$ a distanza $r$ dal centro del la terra. Mostrami questo.

$\frac{d\sigma }{dr}=G{m}_e\rho \left(\frac{1}{r^2}-\frac{r}{r_g^3}\right)$

in cui $\rho$ è la densità di massa (per volume) del cavo e $m_e$ è la massa della terra. (f). Qual è la maggiore tensione di trazione del cavo e a che raggio si verifica? Confrontare questo per il 3 materiali diversi nella tabella seguente e commentare le sue scoperte. Materiale Densità / ${\text{kg m}}^{-3}$ Tensione massima di trazione ⋆ / GPa Acciaio 7900 5,0 Kevlar 1400 3.6 Nanotubi di carbonio 1300 130 ⋆ La pratica sicura di solito impone che i materiali non siano soggetti a stress di più della metà dei loro

• Il massimo. (g). Un’elettrice diversa è quella in cui la tensione è mantenuta fissa (a un valore sicuro) e invece la la superficie di sezione trasversale varia. Mostrare che in questa configurazione l’area trasversale è data da

$A(r)=A_b\exp \left[\frac{r_e^2}{L_c}\left(-\frac{1}{r}-\frac{r^2}{2r_g^3}+k\right)\right]$

se $k$ è una costante da determinare, $A_b$ è l’area alla base dell’ascensore e $L_c=\frac{\sigma }{\rho g}$ (con $g$ l’accelerazione dovuta alla gravità alla superficie terrestre) è la lunghezza caratteristica di il materiale dell’ascensore. Qual è la superficie massima e a che raggio si verifica? (h). Per una costruzione realistica, il rapporto tra la superficie a livello del suolo e la superficie massima dovrebbe essere non essere troppo grandi. Determinare questo rapporto (noto come rapporto taper) per i materiali sopra indicati (per un stress appropriato) e commentare le sue scoperte. (i). Supponendo una costruzione simmetrica dell’ascensore di superficie variabile, calcolare la sua altezza e confrontare il valore ottenuto con l’altezza dell’impianto di cui alla lettera e). Fino alla fine della carta Domande poste da: Rupert Allison (Harrow School) James Bedford (Scuola Harrow) Robin Hughes (Isaac Physics & BPhO)

Topic: Circuits, Modern-Quantum Physics, Fluid Mechanics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Bohr Model & Quantization, de Broglie Relation, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Capacitor, Resistor, Atom, Satellite, Bubble Fonte: Testo (PDF) — p.1